MAT_2-MATEMATIQUES_II

Prévia do material em texto

MATEMÀTIQUES II 
 
 
 
2n de Batxillerat de Ciències 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Antonio Cipriano Santiago Zaragoza 
IES Ramón Giraldo 
Villanueva de los Infantes 
 
 Maite Alejandre Gómez 
IES Joan Fuster 
Bellreguard 
 
 
ipri 
 
i 
Índex general 
Índex general 
 
BLOC D’ÀLGEBRA 
 
UNITAT 1: 
SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS 
1. SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS .............................................................................................. 3 
2. MÈTODE DE GAUSS .......................................................................................................................... 3 
3. CLASSIFICACIÓ DELS SISTEMES ................................................................................................... 3 
 
UNITAT 2: 
MATRIUS 
1. MATRIUS ............................................................................................................................................. 5 
2. TIPUS DE MATRIUS ........................................................................................................................... 7 
3. OPERACIONS AMB MATRIUS ......................................................................................................... 7 
4. MÈTODE DE GAUSS ........................................................................................................................ 11 
5. INVERSA D’UNA MATRIU ............................................................................................................. 11 
6. EQUACIONS I SISTEMES MATRICIALS ...................................................................................... 13 
7. RANG D’UNA MATRIU ................................................................................................................... 14 
 
UNITAT 3: 
DETERMINANTS 
1. DETERMINANTS .............................................................................................................................. 17 
2. PROPIETATS ..................................................................................................................................... 19 
3. MÈTODES PER A CALCULAR DETERMINANTS ........................................................................ 23 
4. APLICACIONS DELS DETERMINANTS ........................................................................................ 23 
 
UNITAT 4: 
DISCUSSIÓ DE SISTEMES D'EQUACIONS LINEALS 
1. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS ........................................................................................... 31 
2. DISCUSSIÓ DE SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS ................................................................. 31 
3. DISCUSSIÓ DE SISTEMES AMB UN PARÀMETRE .................................................................... 32 
4. ELIMINACIÓ DE PARÀMETRES .................................................................................................... 32 
 
 
BLOC DE GEOMETRIA 
 
UNITAT 5: 
ipri 
 
ii 
Índex general 
ESPAI AFÍ 
1. ESPAI AFÍ TRIDIMENSIONAL ....................................................................................................... 37 
2. EQUACIONS DE LA RECTA ........................................................................................................... 41 
3. INCIDÈNCIA DE PUNT I RECTA .................................................................................................... 43 
4. CONDICIÓ PE TAL QUE TRES PUNTS ESTIGUEN ALINEATS ................................................. 44 
5. POSICIONS RELATIVES DE DUES RECTES ................................................................................ 44 
6. EQUACIONS DEL PLA ..................................................................................................................... 46 
7. INCIDÈNCIA DE PUNT I PLA ......................................................................................................... 48 
8. QUAN 4 PUNTS SÓN COPLANARIS? ............................................................................................ 48 
9. EQUACIÓ GENERAL, CARTESSIANA O IMPLÍCITA DEL PLA ............................................... 48 
10. EQUACIÓ DEL PLA QUE PASSA PER TRES PUNTS ................................................................. 49 
11. EQUACIÓ CANÓNICA DEL PLA .................................................................................................. 49 
12. POSICIONS RELATIVES DE DOS PLANS ................................................................................... 50 
13. POSICIONS RELATIVES D’UNA RECTA I UN PLAN ............................................................... 51 
14. POSICIONS RELATIVES DE TRES PLANS ................................................................................. 52 
15. FEIX DE PLANS .............................................................................................................................. 55 
 15.1. FEIX DE PLANS D’ARESTA UNA RECTA: FEIX DE PLANS SECANTS ....................................................... 55 
 15.2. FEIX DE PLANS PARAL·LELS ............................................................................................................ 56 
16. RADIACIÓ DE PLANS.................................................................................................................... 57 
 
UNITAT 6: 
ESPAI AFÍ EUCLIDIÀ 
1. PRODUCTE ESCALAR ..................................................................................................................... 59 
2. ESPAI VECTORIAL EUCLIDIÀ. ESPAI EUCLIDIÀ ...................................................................... 62 
3. PRODUCTE VECTORIAL ................................................................................................................ 62 
4. ÀREA DEL TRIANGLE .................................................................................................................... 64 
5. VECTOR DIRECTOR D’UNA RECTA ............................................................................................ 64 
6. PRODUCTE MIXTE .......................................................................................................................... 64 
7. VOLUM DEL TETRAEDRE ............................................................................................................. 65 
8. VOLUM D’UNA PIRÀMIDE ............................................................................................................ 66 
9. EQUACIÓ NORMAL DEL PLA........................................................................................................ 67 
10. ANGLE ENTRE RECTES ................................................................................................................ 67 
11.ANGLE DE RECTA I PLA ............................................................................................................... 68 
12.ANGLE DE DOS PLANS.................................................................................................................. 69 
13. DISTÀNCIA D’UN PUNT A UN PLA I D’UN PLA A UNA RECTA .......................................... 70 
14. DISTÀNCIA D’UN PUNT A UNA RECTA .................................................................................... 71 
15. DISTÀNCIA ENTRE DUES RECTES ............................................................................................ 71 
16. DISTÀNCIA ENTRE DOS PLANS ................................................................................................. 73 
17. PERPENDICULAR COMUNA ........................................................................................................ 73 
ipri 
 
iii 
Índex general 
18. PUNT SIMÈTRIC D’UN PUNT RESPECTE D’UN ALTRE PUNT .............................................. 74 
19. PUNT SIMÈTRIC RESPECTE D’UNA RECTA ............................................................................. 75 
20. PUNTS SIMÈTRICS RESPECTE D’UN PLA ................................................................................. 7521. PROJECCIÓ ORTOGONAL D’UN PUNT SOBRE UN PLA ......................................................... 76 
22. PROJECCIÓ ORTOGONAL D’UN PUNT SOBRE UNA RECTA ................................................ 76 
23. PROJECCIÓ ORTOGONAL D’UNA RECTA SOBRE UN PLA ................................................... 77 
 
 
BLOC D'ANÀLISI MATEMÀTIC 
 
UNITAT 7: 
LÍMITS 
1. SUCCESSIONS .................................................................................................................................. 81 
2. LÍMIT D’UNA SUCCESSIÓ .............................................................................................................. 81 
3. ENTORNS EN LA RECTA. DISTÀNCIA......................................................................................... 82 
4. LÍMIT D’UNA FUNCIÓ EN UN PUNT ............................................................................................ 83 
4.1. DEFINICIONS ................................................................................................................................... 83 
4.2. APLICACIÓ: CÀLCUL D’UN LÍMIT APLICANT LA DEFINICIÓ .................................................................. 84 
5. LÍMITS INFINITS: ASÍMPTOTES VERTICALS ............................................................................. 85 
6. LÍMITS EN L ‘INFINIT: ASÍMPTOTES HORIZONTALS .............................................................. 86 
7. LÍMITS INFINITS EN L’INFINIT: ASÍMPTOTES OBLÍQÜES ..................................................... 87 
8. ALGUNS LÍMITS IMPORTANTS .................................................................................................... 87 
9. INDETERMINACIONS ..................................................................................................................... 89 
 
UNITAT 8: 
CONTINUÏTAT 
1. CONCEPTE DE FUNCIÓ CONTÍNUA ............................................................................................ 95 
1.1. DEFINICIONS............................................................................................................................... 95 
1.2. APLICACIÓ: ESTUDI DE LA CONTINUÏTAT EMPRANT LA DEFINICIÓ  − ........................................ 96 
1.3. APLICACIÓ: CONTINUÏTAT EN PUNTS AÏLLATS I EN PUNTS D’ACUMULACIÓ...................................... 97 
2. OPERACIONS AMB FUNCIONS CONTÍNUES ............................................................................. 98 
3. CONTINUÏTAT DE LES FUNCIONS ELEMENTALS .................................................................... 98 
4. DISCONTINUÏTATS: CLASSIFICACIÓ ........................................................................................ 101 
5. TEOREMA DE BOLZANO I DE WEIERSTRASS ......................................................................... 103 
 
UNITAT 9: 
DERIVADES 
1. TAXA DE VARIACIÓ ..................................................................................................................... 105 
2. CONCEPTE DE DERIVADA .......................................................................................................... 105 
2.1. DERIVADES LATERALS .................................................................................................................... 106 
ipri 
 
iv 
Índex general 
2.2. DERIVABILITAT I CONTINUÏTAT ....................................................................................................... 106 
2.3. OPERACIONS AMB FUNCIONS DERIVABLES ....................................................................................... 108 
3. TAULES DE DERIVADES .............................................................................................................. 110 
4. INTERPRETACIÓ GEOMÈTRICA DE LA DERIVADA .............................................................. 117 
5. INTERPRETACIÓ FÍSICA DE LA DERIVADA ............................................................................ 118 
6. DERIVADES SUCCESSIVES ......................................................................................................... 118 
 
UNITAT 10: 
APLICACIONS DE LES DERIVADES 
1. ESTUDI GLOBAL I LOCAL DE FUNCIONS ................................................................................ 119 
1.1. MONOTONIA D’UNA FUNCIÓ ........................................................................................................... 119 
1.2. EXTREMS RELATIUS (EXTREMS LOCALS O PUNTS CRÍTICS) ................................................................ 119 
1.3. CURVATURA D’UNA FUNCIÓ: PUNTS D’INFLEXIÓ ............................................................................. 120 
 1.3.1. Definición no rigurosa de convexidad ........................... 120 
 1.3.2. Ampliació: definició de funció convexa ........................... 121 
 1.3.3. Criteri de la derivada segona ........................... 121 
2. REPRESENTACIÓ GRÀFICA DE FUNCIONS ............................................................................. 122 
3. OPTIMITZACIÓ DE FUNCIONS ................................................................................................... 124 
 3.1. PROBLEMES RESOLTS D’OPTIMITZACIÓ DE FUNCIONS........................................................................ 124 
 
UNITAT 11: 
PROPIETATS DE LES FUNCIONS DERIVABLES 
1. TEOREMA DE ROLLE.................................................................................................................... 134 
2. TEOREMA DEL VALOR MITJÀ.................................................................................................... 136 
3. TEOREMA DE CAUCHY................................................................................................................ 137 
4. REGLES DE L’HÔPITAL ................................................................................................................ 138 
 
UNITAT 12: 
PRIMITIVES I INTEGRALS 
1. CONCEPTE DE PRIMITIVA .......................................................................................................... 143 
2. TAULES D’INTEGRALS ................................................................................................................ 144 
3. MÈTODES D’INTEGRACIÓ ........................................................................................................... 146 
4. APLICACIÓ: PROBLEMES DE VALORS INICIALS ................................................................... 154 
 
UNITAT 13: 
INTEGRAL DEFINIDA 
1. INTEGRAL DEFINIDA ................................................................................................................... 155 
2. PROPIETATS IMMEDIATES ......................................................................................................... 157 
3. TEOREMES IMPORTANTS ........................................................................................................... 158 
 
UNITAT 14: 
ipri 
 
v 
Índex general 
APLICACIONS DE LA INTEGRAL 
1. ÀREES DE RECINTES PLANS ...................................................................................................... 161 
 1.1.EXERCICIS RESOLTS DE CÀLCUL D’ÀREES PER INTEGRACIÓ ............................................................... 162 
2. VOLUMS .......................................................................................................................................... 169 
3. LONGITUDS .................................................................................................................................... 169 
 
 
BLOC D'ESTADÍSTICA I PROBABILITAT 
 
UNITAT 15: 
PROBABILAT 
1. INTRODUCCIÓ ............................................................................................................................... 171 
2. EXPERIMENTS ............................................................................................................................... 171 
3. ESPAI MOSTRAL. SUCCESSOS. ESPAI DE SUCCESSOS .........................................................172 
4. EXPERIMENTS COMPOSTOS. ESPAIS PRODUCTE ................................................................. 174 
5. FREQÜÈNCIES D’UN SUCCÉS ..................................................................................................... 175 
6. DEFINICIÓ EMPÍRICA DE VON MISES: FREQÜENTISTA PROBABILITAT ......................... 176 
7. DEFINICIÓ CLÁSSICA: LAPLACE ............................................................................................... 176 
8. DEFINICIÓ AXIOMÀTICA: KOLMOGOROV .............................................................................. 178 
9. PROBABILITAT CONDICIONADA .............................................................................................. 179 
10. INDEPENDÈNCIA DE SUCCESSOS ........................................................................................... 179 
11. PROBABILITAT TOTAL. FÓRMULA DE BAYES .................................................................... 181 
12. PROBLEMES PROPOSATS EN LA SELECTIVITAT DE MATEMÀTIQUES APLICADES II 183 
 
UNITAT 16: 
DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT 
0.- INTRODUCCIÓ .............................................................................................................................. 189 
1. VARIABLES ALEATORIES ........................................................................................................... 190 
2. DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT ......................................................................................... 192 
3. LA DISTRIBUCIÓ BINOMIAL ...................................................................................................... 193 
4. LA DISTRIBUCIÓ NORMAL ......................................................................................................... 196 
5. ÚS DE TAULES ............................................................................................................................... 197 
6. APROXIMACIÓ DE LA BINOMIAL PER LA NORMAL ............................................................. 199 
TAULAA DE LA DISTRIBUCIÓ BINOMIAL ................................................................................ 200 
TAULA DE LA DISTRIBUCIÓ NORMAL ..................................................................................... 202 
 
 
 
 
ipri 
 
vi 
Índex general 
 
 
 
 
 
 
 
ipri 
 
 1 
 
 
 
BLOC 
 
ÀLGEBRA 
 
 
ipri 
 
 2 
 
 
 
 
ipri 
 
3 
Unitat 1: Sistemes d’equacions lineals 
Unitat 1: 
SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS 
 
1. SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS 
 
Equacions lineals 
Una equació lineal d’incògnites 
1 2, ,..., nx x x és una igualtat de la forma 
1 1 2 2 ... n na x a x a x b+ + + = 
on els nombres reals 
1,..., na a es denominen coeficients, i el número real b , terme independent. 
 
Sistemes d’equacions 
Un sistema lineal de m equacions amb n incògnites, és un conjunt d’equacions lineals de la forma: 
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
... ... ... ... ... ... ... ...
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =

+ + + =


 + + + =
 [1] 
on els 𝑎𝑖𝑗 ∈ ℝ són els coeficients, 𝑏𝑘 ∈ ℝ els termes independents i 𝑥𝑝 ∈ ℝ són les incògnites 
(nombres reals que cal calcular, si existeixen). 
 
Una solució de [1] és una n− upla ( )1 2, ,..., nx x x de nombres reals que fan que les equacions de [1] 
es transformen en identitats. Resoldre un sistema d’equacions lineals, és calcular totes les solucions. 
 
Direm que dos sistemes d’equacions lineals amb les mateixes incògnites són equivalents, quan 
tenen les mateixes solucions. 
 
 
2. MÈTODE DE GAUSS 
 
Mètode de Gauss 
Un sistema té forma escalonada quan cada una de les equacions posseïx una incògnita menys que 
l'anterior. 
 
Un sistema d'equacions es resol pel mètode de Gauss quan les seues solucions per mitjà de la 
reducció del sistema donat a un altre sistema equivalent a ell que siga escalonat. El desenrotllament 
del mètode ho veurem en la unitat següent. 
 
3. CLASSIFICACIÓ DELS SISTEMES 
 
Els sistemes els podem classificar, atenent al nombre de solucions que tinguen, com segueix: 
ipri 
 
4 
Unitat 1: Sistemes d’equacions lineals 
 
 
 
 
INDETERMINAT (SCI) 
INDETERMINAT (SCI) 
 
DETERMINAT (SCD) 
SISTEMA COMPATIBLE 
SISTEMA 
INCOMPATIBLE (SI) 
SISTEMA 
Sistema amb alguna solució 
Sistema sense cap solució 
Sistema amb una única solució 
Sistema amb infinites solucions 
ipri 
 
5 
Unitat 2: Matrius 
Unitat 2: 
MATRIUS 
 
1. MATRIUS 
 
Definició: 
Una matriu de dimensió (o orde) m n és un conjunt de mn nombres reals distribuïts en una 
taula de m files i n columnes (s’escriuen entre parèntesis) 
11 1 1
1
1
j n
i ij inm n
m mj mn
a a a
a a aA
a a a

 
 
 
 =
 
 
 
 
 
També es sol representar en la forma, ( ) , 1,..., , 1,...,ijA a i m j n= = = en què l’element ija es 
troba en la intersecció de la fila i amb la columna j. 
 
Definició: 
Direm que dues matrius són iguals si tenen la mateixa dimensió i els elements que estan en la 
mateixa posició són iguals. 
 
Exercicis: 
1. En un IES hi ha 107 alumnes en 3ºESO, i 110 alumnes. En 4ºESO hi ha 84 alumnes i 95 
alumnes. En 1ºBACH. hi ha 69 alumnes i 68 alumnes, i en 2ºBACH. hi ha 46 alumnes i 48 alumnes. 
a) Representa per mitjà d'una matriu, les dades anteriors. La dita matriu la representarem per A. 
b) Explica el significat dels elements 𝑎22 ,𝑎31𝑖 𝑎42. 
 c) Assigna subíndexs a les entrades amb valor superior a 60 i inferior a 100. 
d) Quants alumnes cursen 2ºBACH.? 
 
2. Si l’IES anterior és un centre comarcal on es reuneixen estudiants procedents de tres pobles 
𝑃1, 𝑃2𝑖 𝑃3 , atenent a la seua procedència i sexe, obtenim la següent matriu 2 3 : 
1 2 3
90 182 34
91 182 41
P P P
B H
M
=  
 
 
 
 
a) Quants alumnes procedeixen del poble 1? 
b) Quin significat té l’element 23b ? 
I si considerem l’activitat professional principal dels pares dels alumnes i el seu lloc origen, tenim 
la matriu 3 3 : 
 
ipri 
 
6 
Unitat 2: Matrius 
1 2 3 
Funcionario 22 105 11
Agricultor 114 115 12
Manufacturero 45 151 52
P P P
C
 
=  
 
 
 
 
 
c) Explica el significat dels termes 𝑐12, 𝑐31 𝑖 𝑐23. 
d) Assigna subíndexs als elements de la matriu de valor inferior a 50. 
e) Quin valor numèric correspon a les entrades de la matriu 𝑐13, 𝑐22 𝑖 𝑐32. 
 
3. En la matriu següent es representen els grams de vitamines A, B i C de dos aliments 1 i 2. 
Quin aliment te més vitamina B? I C? Quin aliment té major quantitat de vitamines? 
 
1 15 6 2
2 0 18 9
A B C
 
 
 
 
 
4. El gràfic següent ens mostra les relacions que s’estableixen en un grup de sis persones. 
Construeix una matriu que indique les relacions anteriors, indicant amb 1 l’existència de relació 
entre dues persones i amb 0 la no existència de relació. 
 
2 3
4 5 6
11
 
 
(Indicació: per conveni posarem 0 en la diagonal principal (en els elements a11, a22, a33, a44, a55 i 
a66), ja que les relacions les considerem amb altres i no amb un mateix) 
 
5. Una xarxa de cinc processadors poden relacionar-se segon el següent esquema: 
Procesador 2 Procesador 3
Procesador 1
Procesador 4 Procesador 5
 
 
Construeix una matriu que indique les relacions entre els processadors, indicant amb 1 l'existència 
de relació entre dos processadors i amb 0 la no existència de relació. És possible una comunicació 
total entre tots els processadors? 
 
6. El grafo1 adjunt representa els camins que comuniquen diverses localitats, amb les seues 
respectives distàncies. Calcula la matriu de les distàncies més curtes. 
 
 
1 Un grafo és un conjunt, no buit, d’objetes anomenats vèrtexs i una altra col·lecció de parelles de vèrtexs, anomenats 
arestes ( que poden ser orientats o no). Usualment, un grafo es representa mitjançant una sèrie de punts ( els vèrtexs) 
connectats per línies ( les arestes)ipri 
 
7 
Unitat 2: Matrius 
A
B
C
D
E
120 km
50 km 128 km
70 km
60 km
55 km
 
 
 
2. TIPUS DE MATRIUS 
 
Definició: 
Es diu matriu transposada de A a la matriu que resulta de intercanviar, ordenadament, les files 
per les columnes. Es representa per At o per AT. 
 
Definició: 
Una matriu és nul·la si tots els seus elements són zero. 
 
Definició: 
Una matriu és quadrada si té igual número de files que de columnes. 
 
Diagonal principal: Els elements iia d’una matriu quadrada formen la diagonal principal. 
 
Definició: 
Una matriu quadrada és simètrica quan 
ij jia a= , és a dir, quan 
TA A= . 
 
Definició: 
Una matriu quadrada és: 
- triangular superior quan tots els elements per davall la diagonal principal són zero. 
- triangular inferior quan tots els elements per damunt la diagonal principal són zero. 
 
Definició: 
Una matriu diagonal és una matriu quadrada on tots els elements que no estiguen en la diagonal 
principal són zero. 
 
Definició: 
La matriu identitat és una matriu diagonal on els elements de la diagonal principal son uns. 
 
 
3. OPERACIONS AMB MATRIUS 
 
Suma: 
Sobre la dimensió: han de ser d’igual dimensió 
( )
( )
( ) ( ) ( )
ij
ij ij ij ij
ij
A a
A B a b a b
B b
= 
 + = + = +
= 
 
ipri 
 
8 
Unitat 2: Matrius 
 
Propietats: 
• Associativa: ( ) ( )A B C A B C+ + = + + 
• Commutativa: A B B A+ = + 
• Element neutre: A O A+ = 
• Element oposat: ( )A A O+ − = 
 
Producte d’un número real per una matriu: 
Es multiplica el número per tots els elements de la matriu. 
( )
( ) ( )ij ij ij
A a
A a a  

= 
 = =
 
 
 
 Propietats: 
o ( )A B A B  + = + 
o ( ) A A A   + = + 
o ( ) ( )A A  = 
o 1A A= 
 
Per complir aquestes huit propietats, el conjunt ℳ(ℝ) = {𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑢𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑠 𝑑′𝑜𝑟𝑑𝑒 𝑛 𝑥 𝑚} 
M té estructura algebraica d’espai vectorial real: 
 
(ℳ𝑛𝑥𝑚(ℝ), +,· ) és un espai vectorial real 
 
Producte de matrius: 
Sobre la dimensió: número de files del segon factor = número de columnes del primer factor 
 
Per a multiplicar dues matrius cal efectuar el producte de cada fila de la primera matriu per totes 
les columnes de la segona. 
 Sobre la dimensió de la matriu producte: ( )
n m m p n p
A B AB
  
  
 
Propietats: 
 Que no compleix: 
• Commutativa: AB BA 
• Divisors de zero: 0AB =  0 ó 0A B= = 
• Cancel·lat iva: 𝐴𝐵 = 𝐶𝐵 ⇏ 𝐴 = 𝐵 ( 𝑝𝑒𝑟 𝑎 𝐵 ≠ 0) 
 Que compleix: 
➢ Associativa: ( ) ( )A BC AB C= 
➢ Distributiva: ( )A B C AB AC+ = + 
➢ Element neutre: e m n n m n m m n m nA I A I A A    =  = 
 
Potència d’una matriu quadrada: 
)
... con 
n
nA A A A n=     
 
ipri 
 
9 
Unitat 2: Matrius 
Exercicis: 
7. Donades les matrius 
2 4 0 5 1 8 1 0 3
, y 
6 3 1 7 9 4 2 4 1
A B C
     
= = =     
−     
 
calcula: 
 a) A B C+ + c) ( ) ( )A B C+ − + − 
 b) ( )B C+ − d) ( )
tt tA B C+ + − 
 
8. Fes la següent operació: 
1 2 2 3 1 2 1 0
3 4 3 4 0 3 0 2
−       
+ + +       
− −       
 
 
9. Calcula a, b, c i d per què es verifique: 
2 2 7 5
2 2 2 3 4
a b a a b
c d d c d
+     
= +     
− +     
 
 
10. Comprova amb un exemple que la transposada d’una suma de dues matrius és igual a la 
suma de les dues matrius transposades: ( )
t t tA B A B+ = + . 
 
11. Realitza les següents operacions: 
 a) 
1 2 2 3 1 2
2 3
3 4 3 4 0 3
−     
 − +     
−     
 
 b) 
1 0 2 31 1
0 2 1 43 2
   
−   
− −   
 
 
12. Donades les matrius: 
1 1 4 0 1 2
, y 
0 3 1 2 2 3
A B C
− −     
= = =     
− − −     
 
calcula: 
 a)
1
2
A B+ 
 b) 3 5 6A B C+ − 
 c)
1 1
2
2 3
A B C− − 
 
13. Calcula tots els productes possibles entre les matrius: 
, , 
 
14. Donades les matrius A i B: 






−
=
152
321
A













−
=
03
12
40
17
B










−−
−
=
0120
4170
0132
C
ipri 
 
10 
Unitat 2: Matrius 
, 
calcula: 
 a) ( )A B B  
 b) ( )A B A  
 
15. Per a les matrius: 
 
Fes les següents operacions: 
 a) b) c) 
 d) e) f) CD 
 g) h) i) 
 j) k) 
 
16. Amb les matrius , calcula: 
 a) b) c) d) e) 
 f) Són commutatives les matrius A i B? 
 
17. Calcula y on . 
 
18. Donades les matrius: 
 
a) Calcula la matriu . 
b) Calcula . 
 
19. Siga un número natural i la matriu: 
 
Calcula per a 𝑘 ∈ ℝ. 
 










−−
−
=
021
011
201
A










−=
040
122
053
B
2 3 0 1 2
1 1 2 0 3 4
, , 5 1 4 2 y 1
4 0 3 1 2 3
1 0 0 3 3
A B C D
   
−       
= = = − − =       − − −       −   
A B+ 3 4A B− AB
AD BC
tA C
t tD A tB A
tD D tDD
2 4 5 1 1 0
, y 
6 3 9 8 2 7
A B C
−     
= = =     
−     
AB BA
2C 3C 2tA C
32 , AA 4A










=
100
110
111
A
5 2 1 2
0 1 3 5
4 7 4 2
A B
−   
   
= = −   
   − −   
5 3t tA B−
tAB
k
1 1 1
0 1 0
0 0 1
A
 
 
=  
 
 
kA
ipri 
 
11 
Unitat 2: Matrius 
20. Considera la matriu i calcula els valors de p i q que fan que es verifique la 
següent igualtat: . 
 
21. Siga la matriu . Calcula nA per a n∈ ℕ. 
 
22. Fes les següents operacions amb matrius: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
 
 
4. MÈTODE DE GAUSS 
 
Consisteix en transformar el sistema original en un sistema triangular, mitjançant les 
transformacions elementals de Gauss: 
 
 
 
Transformacions elementals de Gauss: 
▪ Multiplicar una fila per un número diferent de zero 
▪ Sumar a una fila un múltiple d’una altra ( ) 
▪ Intercanviar files ( ) 
 
N’hi ha una variant del mètode de Gauss que es coneix com a mètode de Gauss-Jordan i que 
consisteix en diagonalitzar la matriu, és a dir, fer-ne 1 en la diagonal principal i 0 en la resta. 
 
 
5. INVERSA D’UNA MATRIU 
 
0 1
A
p q
 
=  
 
2A A=
1 1
0 1
A
 
=  
 
22 0
2 3 1 1 0
3 1
0 1 2 1 0
1 2
 
−    
− −    − − −    − − 
2
1 0 2 31
0 1 1 42
   
−   
− −   
2
1 0 2 33
1 0 1 45
    
−    
− −    
2
2 3 1 2 2 0 2 01
2
1 4 1 3 1 3 1 32
      
+ −      
− −      
11 12 13 14
transformaciones
21 22 23 24 de Gauss
31 32 33 34
( )
a x a y a z a
a x a y a z a
a x a y a z a
+ + = 

+ + = ⎯⎯⎯⎯⎯→
+ + = 
11 12 13 14
22 23 24
33 34
b x b y b z b
b y b z b
b z b
 + + = 
 
→ + =  
 =  
( )i iF F→
j j iF F pF→ +
i jF F
ipri 
 
12 
Unitat 2: Matrius 
Inversa: 
Sobre la dimensió: la matriu (i, com a conseqüència la seua inversa) han de ser matrius 
quadrades. 
 
Una matriu quadrada és invertible, inversible (o té inversa), si existeix una matriu, que es 
representa per , i que verifica: 
 
 
Mètodes per a calcular la inversa: 
- Mètode directe per a calcular : 
Resolent el sistema d’equacions lineals que resulta. 
 
- Mètode de Gauss-Jordan 
 
 
Exercicis: 
23. Calcula, si existeix, la inversa de: 
a) b) c) 
 
 
24. Troba x i y tals que , on: 
 i 
 
25. Calcula la inversa de i l’ inversa de . 
 
26. Emprant els mètodes treballats en classe, calcula les matrius inverses de 
 
I comprova que . 
Comprova també que: 
 a) 
 b) 
 c) 
 
27. Calcula, emprant el mètode de Gauss-Jordan, les inverses de les matrius: 
A
1A−
1 1AA A A I− −= =
1A−
( )1( | ) transformaciones de Gauss |A I I A−





 −
=
11
32
A 





−
=
64
32
B 




 −
=
00
11
C
0=BA










−−
−
−−
=
431
541
532
A










−
−−
−
=
yx
yx
B
1
531
1










−
−
−
=
011
112
131
A
0 1 2
1 0 1
2 1 0
B
 
 
=  
 
 
3 1 2 3
 
5 2 1 1
A B
   
= =   
   
1 1 y AA I BB I− −= =
( )
1 1 1AB B A
− − −=
( )
1
1A A
−
− =
( )
1 113
3
A A
− −=
ipri 
 
13 
Unitat 2: Matrius 
 
I comprova que 
 
 
6. EQUACIONS I SISTEMES MATRICIALS 
 
Definició: 
Una equació matricial lineal és una equació matricial lineal on la incògnita és una matriu. 
 
 
Resolució d’equacions matricials: 
Totes les equacions matricials (lineals), es poden transformar en una del tipo 
 o AX B XA B= = 
Seguint els mateixos passos que per a resoldre equacions polinòmiques de primer grau. L’única 
diferència és que no n’hi ha una divisió de matrius, és per aquesta raó que, per a aïllar X, cal 
emprar la inversa: 
1 1
1
AX B
A AX A B
X A B
− −
−
=
=
=
 
1 1
1
XA B
XAA BA
X BA
− −
−
=
=
=
 
 
 
Definició: 
Un sistema lineal d’equacions matricials és un sistema lineal on les incògnites són matrius. 
 
Resolució de sistemes lineals d’equacions matricials: 
Per a resoldre un sistema matricial (lineal), s’apliquen els mètodes coneguts de resolució de 
sistemes d’equacions lineals (reducció, substitució o igualació). 
 
Exercicis: 
28. Si i , resol les equacions 
 a) 
 b) 
 
29. Calcula i en els següents sistemes d’equacions matricials: 
a) 
1 3
2 3
2 1
0 5
1 3
X Y
X Y
  
− =  
  

  − =  
 
 b) 
2 3 4
2 3
7 1 2
3 2 1
2
4 0 1
X Y
X Y
 − 
+ =  
−  

  − =   − 
 
 
30. Obtin la matriu en les següents equacions matricials: 
 a) h) 
1 2 3 1 2 2
2 3 1 2 2 1
3 2 1 1 0 1
A B
   
   
= =   
   
   
1 1 y A A I BB I− −= =






=
12
21
A 




 −
=
11
11
B
AXA =+32
BAX =
X Y
X
CBAX =+ BAAX +=+ −13
ipri 
 
14 
Unitat 2: Matrius 
 b) i) 
 c) j) 
d) k) 
 e) l) 
 f) m) 
 g) n) 
 
31. Resol l’equació matricial , on: 
 
 
32. Siguen les matrius: 
 
(a) Calcula les matrius C i D, sabent que AC = BD = I, on I és la matriu identitat d’orde dos. 
(b) Discuteix i resol el sistema donat per : 
 
On 𝐶−1𝑖 𝐷−1 són les matrius inverses de les matrius C i D indicades en l’apartat anterior. 
 
33. Troba una matriu que verifique on 
 
 
34. Siguent 
 
resol l’equació matricial . 
 
 
7. RANG D’UNA MATRIU 
 
Definició: 
Direm que una fila o columna (d’una matriu) és linealment independent si no es pot expressar 
com a una combinació lineal de les altres. 
 
Definició: 
El rang d’una matriu és el número de files (o de columnes) linealment independents que té la 
matriu. Es representa per o per rang (A). 
 
Mètode de Gauss per al càlcul del rang: 
CBXA += 2 AXIAAX −=−
BAAX =+ IXAAX =+ −1
CXBA =+ 2 BXAX =− 2
CBXA =− XBAXA t =+
CBXAX += CXAXA t =+
XBXA =− AXB C=
22 AABX =−






−
=





=
22
31
 y 
01
32
BA
2 3 1 0
3 1 1 5
A y B
   
= =   
−   
( )1 1
1
2
x
C D
y
− −    − =   
   
X
2X B AB− =
1 2 1 1 0 1
1 3 1 y 2 2 2
0 0 2 0 0 6
A B
   
   
= =   
   
   
3 1
2 0 1 1 2 9 3
, 0 1 , 
1 1 5 3 4 8 13
1 2
A B C y D
 
      
= = = =      
      
 
AB CX D+ =
A
( )rg A
ipri 
 
15 
Unitat 2: Matrius 
Es calcula, aplicant el mètode de Gauss, fent zero el major número de files (o de columnes). En 
aquest cas, el rang és el número de files (o de columnes) no nul·les. 
 
EXEMPLES: 
Calculem el rang de les següents matrius: 
a) 
8 1 4
5 2 4
1 1 0
A
 
 
= − 
 
 
 
3 1 2 1
3
8
5 2
8 1 4 0 7 4 0 0 0
5 2 4 0 7 4 0 7 4
1 1 0 1 1 0 1 1 0
F F F F
F Fl
A
− + +
− +
−     
     
= − ⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→ −     
     
     
⟹ 𝑟𝑔(𝐴) = 2 
(número de files diferents de zero) 
 
b) 
6 1 3
6 8 0
2 5 5
B
− 
 
= − 
 − 
 
2 31 2 1 2
1 3
32 428
5
6 1 3 1 6 3 1 6 3
6 8 0 8 6 0 0 42 24
2 5 5 5 2 5 0 32 10
F FC C F F
F F
B
− + +
+
− − −     
     
= − ⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯→     
     − −     
 
( )
1 6 3
0 42 24 3
0 0 348
rango B
− 
 
→  = 
 − 
 donat que té tres files diferents de zero. 
 
c) 
1 2 3 7
2 4 3 5
1 6 5 4
C
 
 
= − 
 − 
 
( )2 31 2
1 3
2
1 2 3 7 1 2 3 7 1 2 3 7
2 4 3 5 0 8 9 19 0 8 9 19 3
1 6 5 4 0 8 8 11 0 0 1 8
F FF F
F F
C rango C
− ++
+
     
     
= − ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→  =     
     − − −     
 
 
Exercicis: 
35. Calcula, pel mètode de Gauss, el rang de les següents matrius: 
a) e) 
b) f) 
1 4 1
1 3 2
2 2 0
A
− 
 
= − 
 
 
1 0 2 1 1
0 2 1 1 2
1 1 3 2 0
0 8 7 9 4
E
− 
 
− =
 −
 
 
1 3 1
2 1 5
1 10 8
B
− 
 
= − 
 − 
1 1 1 2
2 3 5 11
1 1 6 29
F
 
 
=  
 − 
ipri 
 
16 
Unitat 2: Matrius 
c) g) 
d) h) 
 
36. Calcula el rang de les següents matrius: 
a) c) 
b) d) 
 
2 1 3
4 2 1
6 3 2
C
 
 
= − 
 
 
1 3 1 1
1 5 3 3
1 1 1 1
3 7 5 5
G
− − − 
 
 =
 
 
 
1 2 0 3
1 3 1 4
2 1 5 1
D
− − 
 
= − 
 − 
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
H
 
 
− − =
 − −
 
 
2 2 0
4 2 2
2 2 4
A
− 
 
=  
 − − 
1 0 1
2 1 0
3 2 1
C
− 
 
=  
 − 
1 2 3 4
2 4 6 9
3 6 9 1
B
 
 
=  
 − − − 
1 0 1
1 1 1
2 0 0
D
− 
 
=  
 − 
ipri 
 
17 
Unitat 3: Determinants 
Unitat 3: 
DETERMINANTS 
 
1. DETERMINANTS 
 
Determinant d’una matriu quadrada 
A cada matriu quadrada se li pot associar un número real, que anomenarem determinant de la 
matriu, que s’obté a partir dels elements de la mateixa. Si la matriu és A, les notacions seran 
. 
 
El determinant d’una matriu és important, perquè entre altres motius, permet saber si una matriu té 
inversa o no, sense haver de “calcular” la inversa. 
Determinant d’una matriu d’orde dos 
Definició: 
 
 
Exercicis: 
37. Calcula el determinant de les matrius: 
a) b) c) 
 
38. Indica per a quins valors de x són regulars les matrius: 
a) b) 
 
39. Resol les següents equacions: 
a) b) 
 
Determinant d’una matriu d’orde 3 
Definició: 
Si , es defineix el menor complementari de l’element , i s’escriu , 
com al determinant de la matriu d’orde dos, que resulta de suprimir la fila i i la columna j de la 
matriu A. 
 
Definició: 
( )det o A A
11 12
11 22 12 21
21 22
det
a a
a a a a
a a
 
= − 
 








−
−
=
60
3
5
3
1
A 





−−
−
=
22
11
B 





−−
=
27
311
C






−−
=
x
x
A
3
12






+−−
−−
=
11
31
xx
x
B
15
23
5
=
−
+
x
xx
69
31
59
=
+
−
xx
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
 
 
=  
 
 
ija ijM
ipri 
 
18 
Unitat 3: Determinants 
Anomenem adjunt de l’element , al número . 
 
Definició: 
El determinant d’una matriu d’orde 3 és la suma dels productes dels elements de qualsevol fila o 
columna pels seus adjunts corresponent. 
 
Regla de Sarrus: 
Efectuant el desenvolupament corresponent s’obté la regla de Sarrus, que reflexarem a 
continuació: 
|𝐴| =a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a21·a32·a13 – a13·a22·a31 -a32·a23·a11 – a12·a21·a33 
 
 
 
 
 
Exercicis: 
40. Calcula els determinants de les matrius: 
a) c) 
b) d) 
 
41. Indica quines de les matrius de l’exercici anterior són regulars i quines no. 
 
42. Resol: 
a) b) 
 
43. Calcula tots els adjunts de les següents matrius: 
a) b) 
 
44. Calcula els determinants per la regla de Sarrus: 
ija ( )1
i j
ij ijA M
+
= −










−−
−=
633
211
052
A










−=
124
103
221
C










−
−−=
521
431
001
B










−−
−
−
=
117
384
215
D
24
61
130
21
=
− x
x
47
34
12
011
−=
−
−
x
xx










−−
−
=
012
210
231
A










−
−
=
041
204
612
B
• • •
• • •
• • •
•• •
• • •
• • •
Productos con signo + Productos con signo −
ipri 
 
19 
Unitat 3: Determinants 
a) b) 
 
45. Calcula desenvolupant per una fila o una columna, els determinants: 
a) c) 
b) d) 
 
Determinant d’una matriu d’orde 4 
Definició: 
El càlcul del determinant de matrius quadrades d’orde 4 o superior es realitza seguint el mateix 
procediment (que emprarem com a definició), és a dir, es tria una fila o columna qualsevol i es 
realitza la suma dels productes de cada element de la fila o columna pel seu adjunt: 
11 11 21 21 31 31 41 41det A a A a A a A a A= + + + 
(determinant d’una matriu ( )ijA a= d’orde 4, que s’ha desenvolupat per la primera columna). 
 
 
2. PROPIETATS 
 
1. Si una matriu té una fila o una columna de zeros, el determinant és zero. 
 
Exemples: 
a) 
1 2
1 0 0 2 0
0 0
=  −  = 
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 0 2
1 0 2 1 0 3 0 1 2 2 0 1 1 0 2 0 2 1 1 0 3 0
1 0 3
−
− =   − +  −  − +   −   − +   + −   − =  
−
 
 
2. Si s’intercanvien dues files o dues columnes, canvia el signe del determinant. 
 
Exemples: 
a) ( )
1 2
1 3 2 2 7
2 3
−
=  −  − = 
Intercanviem la primera i la segona files: 
( )
2 3
2 2 1 3 7
1 2
=  − −  = −
−
 
1 3 4
2 0 5
3 8 9
−
−
4 5 2
7 9 0
4 1 6
− −
3 1 7
2 4 3
1 0 9
−
−
5 4 3
2 1 0
6 7 8
1 2 5
3 6 7
4 2 1
− 1 4 2
3 1 8
4 0 12
ipri 
 
20 
Unitat 3: Determinants 
b) 
3 0 1
1 4 2 12 8 4
2 0 1
−
= − =
−
 
c) Intercanviem la primera i la tercera columnes: 
1 0 3
2 4 1 8 12 4
1 0 2
−
= − = −
−
 
 
3. El determinant d’una matriu amb dues files o columnes iguals és zero. 
 
Exemples: 
a) 
1 2
2 2 0
1 2
= − = (té dues columnes iguals) 
b) 
1 2 0
2 4 1 2 2 0
1 2 0
−
= − + =
−
 (té dues files iguals) 
 
4. Si multipliquem una fila o columna per un número real, el valor del determinant resta 
multiplicat per aquest número. 
 
Exemples: 
a) multiplicamos la primera fila por 3
1 2 3 6
1 3
0 1 0 1
− −
= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = 
b) multiplicamos la tercera columna por 2
2 0 1 2 0 2
0 0 1 2 0 0 2 4 2 2
2 1 0 2 1 0
−
−
= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − = − = − 
− −
 
 
5. Un determinant, amb una fila o columna formada per la suma de dos números, es pot 
descompondre en suma d’altres dos determinants que tenen les mateixes files o columnes 
restants i, en lloc d’aquella, una altra formada pels primers i segons sumands, 
respectivament. 
 
Exemples: 
a) 
( ) ( )
1 2 2
1 2 0 1 3 2 4
1 3 0
1 2 2 1 2 2 2
2 6 4
1 3 0 1 0 3 0
+
= +  − − +  = −
− +
+
= + = − = −
− + −
 
ipri 
 
21 
Unitat 3: Determinants 
b) 
0 1 0
1 2 2 1 3 3
0 0 1
0 1 0 0 1 0 0 1 0
1 2 2 1 3 1 2 3 2 1 0 1 2 3
0 0 1 0 0 1 0 0 1
−
+ − =
− − −
+ − = + − = + =
 
 
6. El determinant d’una matriu no canvia si a una qualsevol de les seues files o columnes se 
li sumen o resten els elements d’una altra paral·lela a ella, multiplicats per una constant. 
 
Exemples: 
a) 
2 1 2
0 1
2
2 1
0 1 0 1
2
2 1 2 0
F F F
−
=
− −
 + =
 
b) 
1 2
1 3
2
1 1 0
2 3 0 3 2 5
1 2 1
1 1 0 1 1 0
2 3 0 0 5 0 5
1 2 1 0 1 1
F F
F F
− +
+
−
= + =
−
− −
= =
−
 
 
7. Un determinant és zero si alguna de les files o columnes que el componen és combinació 
lineal d’altres paral·leles a ella. 
 
Exemples: 
a) 
3 2
2 1 3
0 2 6 0 ya que 3
3 3 9
C C= =
− −
 
b) 
3 1 2
2 1 3
1 2 1 0 ya que 2
4 3 1
F F F
−
− = = + 
 
8. El determinant d’un producte de matrius és igual al producte dels determinants de cada 
factor. 
 
Exemple: 
ipri 
 
22 
Unitat 3: Determinants 
1 1 2 0 1 5
2 0 2 y 1 2 0
0 1 1 4 5 2
A B
−   
   
= − − = −   
   − −   
 
( ) ( ) ( )
1 1 2 0 1 5
det 2 0 2 =0 y det 1 2 0 67 det det 0 67 0
0 1 1 4 5 2
A B A B
−   
   
= − − = − = −  =  − =   
   − −   
 
( )
1 1 2 0 1 5 9 9 1
det 2 0 2 1 2 0 det 8 12 6 0 det 0
0 1 1 4 5 2 5 3 2
AB AB
 −     
     
= − − − = − − − =  =     
     − − − −     
 
 
Altres propietats dels determinants que és important conèixer són: 
9. 
TA A= 
 
10. 1
1
A
A
− = 
 
 Demostració: 
( )1 1 1 1
1
det det det det 1 det
det
AA I AA I A A A
A
− − − −=  =  =  = C.Q.D. 
 
Exercicis: 
46. Si , calcula: 
a) b) c) 
3
3
3
a d g
b e h
c f i
 
 d) 
g h i
a b c
d e f
 e) 
 
47. Aplica les propietats de determinants per a provar que val zero, siguent A la 
matriu: 
a) b) 
 
 
6==
ihg
fed
cba
A
A2 A5−
ihg
fed
cba
2
1
2
1
2
1
222
−−−
( )det A
3 6 9
4 8 12
a a a
A
 
 
=  
 
 
1 2 3
3 6 9
2 2 2
a a a
A
+ + + 
 
=  
 
 
ipri 
 
23 
Unitat 3: Determinants 
3. MÈTODES PER A CALCULAR DETERMINANTS 
 
Mètode del pivot: 
Es basa en la propietat 6, i consisteix en triar una fila o columna, prendre un element ( anomenat 
pivot) i fer zeros la resta d’elements de la mateixa fila o columna. Després, es desenvolupa el 
determinant per eixa fila o columna. 
 
Mètode de Gauss: 
Donat un determinat qualsevol d’odre n, per a calcular el seu valor pel mètode de Gauss, haurem 
de transformar-ho en un altre determinant de forma triangular. 
 
Per a anul·lar tots els elements que queden per davall de la diagonal principal, emprarem la cerca 
de zeros, fent servir les propietats dels determinants. 
 
Exercicis: 
48. Calcula els determinants: 
a) b) 
 
49. Demostra que: 
 
 
50. Calcula en funció de a el determinant: 
 
 
51. Resol 
 
 
 
4. APLICACIONS DELS DETERMINANTS 
 
(1) CÀLCUL DE LA MATRIU INVERSA 
 
1 0 1 1
1 4 2 3
2 1 0 0
0 3 1 2
− 3 1 0 1
2 3 1 3
5 6 2 4
0 1 1 1
−
−
−
( ) ( )
3
1 1 1
1 1 1
1 3
1 1 1
1 1 1
a
a
a a
a
a
−
−
= +  −
−
−
1
1
1
1
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
+
+
=
+
+
1 1 0
1 1
0
1 1 1
1 1 0
x
x x
x
x
− −
− −
=
−
−
ipri 
 
24 
Unitat 3: Determinants 
Definició: 
La matriu adjunta de la matriu és la matriu que resulta de substituir 
l’element pel seu adjunt corresponent, . 
 
Càlcul de la inversa: 
( )( )1
1
Adj
t
A A
A
− = 
 
 
Rang: el rang d’una matriu és el número de files o de columnes linealment independents. 
 
Teorema del rang: 
El rang d’una matriu coincideix amb l’orde de la major submatriu regular, és a dir, amb l’orde 
de la major submatriu quadrada amb determinant no nul. 
 
Del teorema del rang es dedueix que si en una matriu quadrada A 
- Intercanviem dues files (columnes) o 
- Multipliquem una fila (columna) per un número no nul o 
- Li sumem a una columna una combinació lineal de la resta 
la matriu 'A resultant té el mateix rang que A . 
 
Condicions necessàries i suficients per tal que una matriu tinga inversa: 
Una matriu quadrada té inversa (és a dir, existeix 1A− ) ( ) ( )rango orden 0A A A =    
 és regular. 
 
EXEMPLES: 
Calcula el rang de les següents matrius: 
a) 
8 1 4
5 2 4
1 1 0
A
 
 
= − 
 
 
 
A1= (8) és una submatriu de A d’orde 1 i |8| ≠ 0 ⟹ 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) ≥ 1 
𝐴2 = (
8 1
5 −2
) és una submatriu de A d’orde 2 i |
8 1
5 −2
| ≠ 0 ⇒ 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) ≥ 2 ⇒ 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑡 𝑠𝑒𝑟 3. 
Com a conseqüència, rang(A)= 2. 
 
b) 
6 1 3
6 8 0
2 5 5
B
− 
 
= − 
 − 
 
B1 =(6) és una submatriu d’orde 1 i |6| ≠ 0 ⇒ 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) ≥ 1 
𝐵2 = (
6 −1
−6 8
) és una submatriu de B d’orde 2 i |
6 −1
−6 8
| ≠ 0 ⇒ 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐵) ≥ 2. 
 
c) 
1 2 3 7
2 4 3 5
1 6 5 4
C
 
 
= − 
 − 
 
( )
ijaA = ( ) ( )ijAAAdj =
ija ijA
A
 A
ipri 
 
25 
Unitat 3: Determinants 
C1 =(1) és una submatriu de C d’orde 1 i |C1|=|1|≠0⇒rang(C)≥1 
𝐵2 = (
1 2
−2 4
) és una submatriu de C d’orde 2 i |𝐶2| ≠ 0 ⇒ 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐵) ≥ 2 (fixa’t que n’hi ha prou 
submatrius d’orde 2 en C) 
I, també n’hi ha 4 submatrius d’orde 3 
- Llevant la quarta columna: 
1 2 3
2 4 3
1 6 5
 
 
− 
 − 
 
- Llevant la tercera columna: 
1 2 7
24 5
1 6 4
 
 
− 
 − 
 
- Llevant la segona columna: 
3 7 2
3 5 1
1 5 4
− 
 
− 
 − 
 
- Llevant la primera columna: 
2 3 7
4 3 5
6 5 4
 
 
 
 
 
 
En canvi, en aquest cas, hem sigut afortunats i tots tenen determinant diferent de zero ( 8− , 
64, 53 y 30− − ), però si el primer haguera sigut nul, caldria calcular el segon, i així successivament 
fins a trobar, o no un determinant no nul. 
 
Com a conseqüència, rang (C) = 3. 
 
(2) REGLA DE CRAMER 
 
L’ expressió matricial del sistema de equacions i incògnites 
 
é , on , y . 
 
Definició: 
 és un sistema de Cramer és regular 
 
Regla de Cramer (vàlida només per a sistemes de Cramer): 
 
On, el determinant del numerador està format per les columnes de A, fent la substitució la i-
èssima columna per la columna b de termes independents. 
−m −n







=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
....
2211
22222121
11212111

BAX = ( )
nmij
aA

=










=
nx
x
X 
1










=
mb
b
B 
1
BAX =  A
0A 
( )
A
cbc
x
n
i
1det
=
ipri 
 
26 
Unitat 3: Determinants 
 
Exercicis: 
52. Considerem la matriu A: 
 a) Per a quins valors de a té inversa la matriu? 
 b) Calcula-la per a i per a . 
 
53. Calcula les matrius inverses: 
 a) b) 
 
54. Calcula la matriu inversa, quan siga possible: 
 a) b) c) 
 
55. Calcula el rang de les matrius: 
a) b) 
b) d) 
 
56. Cerca el valor de per a que la matriu A tinga rang 2: 
 
57. Estudia el rang de la matriu A, segons els valors del paràmetre a: 
 
58. Estudia el rang de les matrius segons els valors de a: 
a) b) 
 









 −
=
200
11
11
a
a
A
2=a 3=a














=
320
120
31
2
1
A










−
−
=
123
001
541
B










−−
−
=
311
230
121
A 





=
11
24
B










−
−−
=
921
030
1064
C










−
−−
−
=
933
622
311
A










−
−=
34
05
12
B










−
−
−
=
111
213
102
C 





−−
−
=
182
473
D
a










−
−
=
a
A
33
042
321
1 0
2 2 1
0 1
a
A a
a
 
 
= + − 
 
 
1 1 1
1 1 1
1 1 1
a
M a
a
+ 
 
= + 
 + 
1 0 2 3 1
2 1 3 0 2
4 1 6 4
N
a
− 
 
= − 
 − 
ipri 
 
27 
Unitat 3: Determinants 
59. Estudia el rang de A segons els valors del paràmetre a. Per a quins valors té inversa? 
 
 
Problemes de sistemes d’equacions lineals: Cramer vs Gauss 
60. En un grup de 2n de Batxillerat tots els alumnes tenen com a matèria optativa una d'estes 
tres assignatures: Literatura, Psicologia o Francés. El nombre d'alumnes matriculats en Literatura 
representa el 60% del total d'alumnes del grup. Si tres alumnes de Psicologia s'hagueren 
matriculat en Francés, llavors estes dos assignatures tindrien el mateix nombre d'alumnes. 
Finalment, el doble de la diferència del número de matriculats en Literatura i en Psicologia és el 
triple de la diferència dels matriculats en Psicologia i en Francés. Troba el nombre d'alumnes 
matriculats en cada una de les matèries optatives i el número alumnes del grup. 
 
61. En un Institut s’imparteixen ensenyances d'ESO, Batxillerat i Cicles Formatius. La suma del 
nombre dels alumnes de Batxillerat i del doble dels alumnes de Cicles Formatius excedeix en 100 al 
nombre dels alumnes d'ESO. Si sumem el 40% dels matriculats en AIXÒ amb el 30% dels 
matriculats en Batxillerat i amb el 20% dels matriculats en Cicles Formatius s'obté un número que 
excedeix en 45 unitats al 30% del nombre total d'alumnes. Sabent que cursen estos tres tipus 
d'ensenyança un total de 1200 alumnes, troba el número de matriculats en cada tipus d'ensenyança. 
 
62. Un alumne de 2n de Batxillerat empra en la compra de tres llapis, un maquineta de fer 
punta i dos gomes d'esborrar, tres euros. El doble del preu d'un llapis excedeix en cinc cèntims 
d'euro a la suma dels preus d'un maquineta de fer punta i d'una goma d'esborrar. Si cada llapis 
costara cinc cèntims d'euro més, llavors el seu preu duplicaria al d'una goma d'esborrar. 
Determina el preu d'un llapis, d'un maquineta de fer punta i d'una goma d'esborrar. 
 
63. La suma de les edats actuals dels tres fills d'un matrimoni és 59 anys. Fa cinc anys, l'edat 
del menor era un terç de la suma de les edats que tenien els altres dos. D'ací a cinc anys, el doble 
de l'edat del germà mitjà excedirà en una unitat a la suma de les edats que tindran els altres dos. 
Troba les edats actuals de cadascun dels fills. 
 
64. Un Institut compra 500 paquets de folis a tres proveïdors diferents de 2,75; 2,70 i 2,80 
euros cada paquet, respectivament. La factura total ascendeix a 1360 euros. La diferència entre el 
nombre de paquets subministrats pel 2n i el 3r proveïdor, és triple del nombre de paquets 
subministrats pel 1r proveïdor. Quants paquets subministra cada un dels proveïdors? 
 
65. En una població s'han presentat dos partits polítics A i B a les eleccions municipals. Si 250 
votants del partit A hagueren votat el partit B, ambdós partits hagueren empatat a vots. El nombre 
de vots en blanc o nuls és el 1% de la suma del nombre de vots obtinguts per ambdós candidatures. 
Sabent que van ser a votar 11615 electors, troba el nombre de vots obtingut per cada partit i quants 
són blancs o nuls. 
 
Solució: 
{
x = número de votants d′A
y = número de votants de B
z = número de votants de C
 
 
1 0 3
5 1 1 3
2 0 6 8
a
A
a
− 
 
= − 
 − + 
ipri 
 
28 
Unitat 3: Determinants 
( ) ( ) ( )
250 250 500
0.01 100 0 , , 6000,5500,115
1161511615
x y x y
z x y x y z x y z
x y zx y z
− = + − = 
 
= + → − − + = → = 
  + + =+ + = 
 
El candidat A obté 6000 vots, el B 5500, i nul o en blanc n’hi ha 115. 
 
66. Per a poder comprar 5 bolígrafs necessite 2 euros més dels que tinc. En canvi, em sobra un 
euro del que tinc si compre 2 llapis. Finalment, necessite 60 cèntims d'euro més del que tinc per a 
poder comprar dos bolígrafs i dos llapis. Troba el preu d'un bolígraf i el d'un llapis. De quants 
diners dispose? 
 
Solució: 
{
x = cuantitat de diners que tinc
y = preu d′un boli 
z = preu d′una llapisera 
 
( ) ( )
5 2
2 1 , , 2, 0.8, 0.5
2 2 0.60
y x
z x x y z
y z x
= +

= − → =
 + = +
 
Així, dispose de 2€, un bolígraf costa 80 cèntims i una llapissera costa 50 cèntims. 
 
67. Es consideren, el nombre de tres xifres “xyz” i el que resulta d'este al permutar les xifres de 
les unitats i de les centenes. Troba el valor de les xifres “x”, “ y” i “z” sabent que la suma dels dos 
números és 585, que la divisió del primer entre el segon té de quocient 1 i de resta 99 i que la suma 
de la xifra de les centenes i la xifra de les desenes del primer nombre és 7. 
 
Solució: 
( ) ( )
( ) ( )
100 10 100 10 585
100 10
100 10 100 10 99 , , 3,4,2
100 10
7
x y z z y x
xyz x y z
x y z z y x x y z
zyx z y x
x y
+ + + + + =
= + +  
 + + = + + + → = 
= + +   + =
 
Les xifres “x”, “y” i “z” prenen els valors 3, 4 i 2 respectivament. 
 
68. Un home li diu a la seua esposa: Te n'has adonat que des del dia de la nostra boda fins al 
dia del naixement del nostre fill van transcórrer el mateix nombre d'anys que des del dia del 
naixement del nostre fill fins hui? El dia del naixement del nostre fill la suma de les nostres edats 
era de 55 anys. La dona li va replicar: "Me acord que en eixe dia del naixement del nostre fill, 
tu tenies l'edat que jo tinc ara i a més recorde que el dia de la nostra boda el doble de l'edat que el 
teu tenies excedia en 20 anys a l'edat que jo tinc hui. Troba les edats actuals d'ambdós. 
 
Solució: 
 
( ) ( )
 Boda Nacimiento hijoHoy
edad marido
2 20 
edad mujer
 3ª
x x
y
y x z x
z
=
− = + + 
=
55 (1ª ecuación)
ecuación 
 (2ª ecuación)
y z
y z x
+ =

= +
 
ipri 
 
29 
Unitat 3: Determinants 
( ) ( )
( ) ( )
55 55
0 , , 5,35,30
4 2 202 2 20
y z y z
y z x x y z x y z
x y zy x z x
 + = + =
 
= + → − + − = → = 
 − + − =− = + + 
 
Per tant, a dia de hui, l’home té 30 + 5 = 35 anys i la dona 25 + 5 = 30 anys. 
 
69. Per a la compra d'un article de preu 10,70 euros s'utilitzen monedes d'1 euro, de 50 cèntims 
d'euro i de 20 cèntims d'euro. El nombre total de monedes excedeix en una unitat al triple de 
monedes d'1 euro. El 30% de la suma del nombre de monedes d'1 euro amb el doble del nombre de 
monedes de 50 cèntims coincideix amb el nombre de monedes de 20 cèntims. Troba el nombre de 
monedes que s'utilitzen de cada classe. 
 
Solució: 
{
x = número de monedes de 1euro 
y = número de monedes de 50 cèntims 
z = número de monedes de 20 cèntims 
 
 
( )
( ) ( )
 número de monedas de 1 €
 número de monedas de 50 cent.
 número de monedas de 20 cent.
0,5 0,2 10,70 100 50 20 1070
3 1 2 1 , , 6,7,6
3 6 10 00,3 2
x
y
z
x y z x y z
x y z x x y z x y z
x y zx y z
=

=
 =
 + + = + + =
 
+ + = + → − + + = → = 
  + − =+ = 
 
Per tant, utilitza 6 monedes de 1 €, 7 monedes de 50 cent. Y 6 monedes de 20 cent. 
 
ipri 
 
30 
Unitat 3: Determinants 
 
ipri 
 
31 
Unitat 4: Discussió de sistemes d’equacions 
Unitat 4: 
DISCUSSIÓ DE SISTEMES 
D’EQUACIONS LINEALS 
 
1. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS 
 
Duu el nom del matemàtic francés Eugène Rouché qui el va enunciar en 1875i el va completar en 
1880, i del matemàtic alemany Ferdinand Georg Fröbenius qui va ser un dels molts matemàtics 
que el van demostrar. 
 
Teorema de Rouché-Fröbenius 
 Un sistema d’equacions lineals és compatible si, i només si, el rang de la matriu de coeficients 
A, és igual al rang de la matriu ampliada : 
Sistema compatible ⟺ 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴|𝑏) 
 
Demostració 
Escrivim el sistema en forma vectorial: 
1 1 2 2 ... n nC x C x C x b+ + + = 
) Si el sistema és compatible determinat, aleshores, existeix almenys una solució ( )1 2, ,..., ns s s . 
Això és, 
1 1 2 2 ... n nC s C s C s b+ + + = , és a dir, la columna de termes independents és combinació 
lineal de les columnes de la matriu dels coeficients, A , i, coma conseqüència, rang(A)=rang(A│b). 
 
) Si rang(A)=rang(A│b), aleshores la columna de termes independents és combinació lineal de 
les columnes de la matriu A i, per tant, ( )1,..., ns s tal que 1 1 2 2 ... n nb C s C s C s= + + + , això és, 
( )1,..., ns s és una solució del sistema i, com a conseqüència, el sistema és compatible determinat. 
C.Q.D. 
 
 
2. DISCUSSIÓ DE SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS 
 
Siga un sistema de equacions i incògnites. 
 
Discussió de sistemes lineals homogenis 
 
 
Sistemes Homogenis {
𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)=𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴|𝑏)=𝑛 
𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑡é 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó,𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑣𝑖𝑎𝑙 
} 𝐶𝑂𝑀𝑃𝐴𝑇𝐼𝐵𝐿𝐸 𝐷𝐸𝑇𝐸𝑅𝑀𝐼𝑁𝐴𝑇
𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)=𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴|𝑏)<𝑛 
𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑡é 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑠
} 𝐶𝑂𝑀𝑃𝐴𝑇𝐼𝐵𝐿𝐸 𝐼𝑁𝐷𝐸𝑇𝐸𝑅𝑀𝐼𝑁𝐴𝑇
 
 
 
 
 
 
( ) A b
AX b= −m −n
http://es.wikipedia.org/wiki/Eug%C3%A8ne_Rouch%C3%A9
http://es.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_Georg_Frobenius
ipri 
 
32 
Unitat 4: Discussió de sistemes d’equacions 
 
Discussió de sistemes lineals no homogenis 
 
𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑒𝑠 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑖𝑠 {
𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) = 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴|𝑏) = 𝑟 ⇒ 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑡é 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó ⇒
𝐶𝑂𝑀𝑃𝐴𝑇𝐼𝐵𝐿𝐸 {
𝑟 = 𝑛 ⇒ 𝑠𝑜𝑙. ú𝑛𝑖𝑐𝑎 ⇒ 𝐷𝐸𝑇𝐸𝑅𝑀𝐼𝑁𝐴𝑇
𝑟 < 𝑛 ⇒ 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑠.⇒ 𝐼𝑁𝐷𝐸𝑇𝐸𝑅𝑀𝐼𝑁𝐴𝑇
𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) ≠ 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴|𝑏) ⟹ 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡. 𝑛𝑜 𝑡é 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó ⇒ 𝐼𝑁𝐶𝑂𝑀𝑃𝐴𝑇𝐼𝐵𝐿𝐸
 
 
 
 
Com a conseqüència del teorema de Rouché-Fröbenius tenim que tot sistema de Cramer és 
compatible determinat. Malgrat això, no tot sistema compatible determinat és de Cramer. 
 
 
3. DISCUSSIÓ DE SISTEMES AMB UN PARÀMETRE 
Un paràmetre és un símbol matemàtic que pot agafar infinits valors en una equació, per a cadascun 
dels quals s’obtindrà una solució diferent, anomenada solució particular. 
 
Definició: 
La discussió de sistemes amb un paràmetre consisteix en calcular els valors del paràmetre, per 
als que el sistema és compatible determinat, indeterminat o incompatible. 
 
Es pot discutir: 
- Emprant el mètode de Gauss. 
- Amb el teorema de Rouché–Fröbenius, aplicant, només, els determinants. 
- Amb el teorema de Rouché–Fröbenius primer i aplicant el mètode de Gauss després. 
 
 
4. ELIMINACIÓ DE PARÀMETRES 
L’eliminació de paràmetres d’un sistema d’equacions és el procediment que transforma un 
sistema donat en un altre equivalent on no apareixen els paràmetres anteriors. 
 
Considerem un sistema d’equacions expressat en funció dels paràmetres 
1,..., n  : 
1 11 1 1
1 1
...
.......................................
...
n n n
m m mn m m
b a a x
b a a x
 
 
+ + + = 


+ + + = 
 
Transformem el sistema anterior en un sistema de m-equacions amb n-incògnites (
1,..., n  ): 
11 1 1 1
1 1
...
..........................................
...
n n n
m mn m m m
a a x b
a a x b
 
 
+ + = − 


+ + = − 
 
Imposant que rang (A) = rang(𝐴|𝑏) obtenim un sistema equivalent on no apareixen els paràmetres 
1,..., n  . Aquestes equacions reben el nom d’equacions implícites del sistema. 
 
Consideracions a tindre en compte: 
ipri 
 
33 
Unitat 4: Discussió de sistemes d’equacions 
- Si en el sistema inicial, rang(A)= m, no podem eliminar cap paràmetre, donat que, com 
és un sistema compatible determinat, no té equacions implícites que el limiten. 
- Si rang (A)= k<m podrem eliminar alguns paràmetres; aquesta eliminació donarà lloc a 
un sistema de equacions. 
 
 
 
m k−
ipri 
 
34 
Unitat 4: Discussió de sistemes d’equacions 
 
ipri 
 
 35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BLOC 
 
GEOMETRIA 
 
 
ipri 
 
 36 
 
ipri 
 
37 
Unitat 5: Espai afi 
Unitat 5: 
ESPAI AFÍ 
 
1. ESPAI AFÍ TRIDIMENSIONAL 
1.1. VECTORS EN L’ESPAI 
Definició: 
Un vector fixe és un segment orientat que té el seu origen en el punt i el seu extrem en el punt . 
 
Els elements d’un vector són: 
- Mòdul de : és la longitud del segment. Es representa per . 
- Direcció de : és la direcció de la recta que passa per i . 
- Sentit de : és el recorregut de la recta quan ens traslladem de a . 
 
Dos vectors fixes no nuls són equipol·lents si tenen el mateix mòdul, la mateixa direcció i el mateix 
sentit. 
 
El conjunt de tots els vectors fixes de l’espai resta classificat en classes d’equivalència; cada classe 
d’equivalència estarà formada per un vector fixe i tots els equipol·lents a ell. A cadascuna 
d’aquestes classes l’anomenarem vector lliure2. 
 
Definició: 
Anomenarem vector lliure a cadascuna de les classes d’equivalència formada per un vector fixe i 
tots els seus equipol·lents. 
 
Al conjunt format per tots els vectors lliures el representem per . 
 
En tenim definides les següents operacions: 
a) Suma 
Per a sumar dos vectors lliures �⃗� 𝑖 𝑣 es representa el vector i, pel seu extrem s’afegeix un 
representant del vector . El vector que resulta d’unir l’origen de amb l’extrem de 
s’anomena vector suma de �⃗� 𝑖 𝑣 . 
u
v
u
u
v v−
u
v
+ ( )u v+ −
 
 
2 Això no és res estrany; de fet, ja coneixes un altre conjunt on passa el mateix, és el conjunt ℚ dels nombres racionals. 
Recorda que, quan es treballa amb fraccions, es pot triar la fracció equivalent que és resulte més útil.Exactament el 
mateix passa amb els vectors: de tots els que són equipolents entre si, triarem el que resulte més útil en cada situació. 
AB A B
AB AB
AB A B
AB A B
3V
3V
u
v u v
ipri 
 
38 
Unitat 5: Espai afi 
 
Propietats de la suma: 
(1) Commutativa: 
 
(2) Associativa: 
 
 
(3) Existència d’element neutre: : 
 
 
(4) Existència d’element oposat: 
 
b) Multiplicació d’un vector per un número real 
El producte del vector pel número real és el vector que té la mateixa direcció que 
, igual sentit si i sentit contrari si , i, amb mòdul igual a . 
 
 
Propietats de la multiplicació per escalars: 
 (5) 
 
 
 (6) 
 
 
 (7) 
 
 
 (8) 
 
Per verificar aquestes huit propietats es diu que la terna és un espai vectorial real. 
 
Siga l’espai ordinari i l’espai vectorial tridimensional dels vectors lliures en , encara que, 
tot el que es diga en aquest apartat, és general per als espais vectorials de qualsevol “dimensió”. 
 
Definició: 
Diem que els vectors són linealment dependents si no tots nuls 
tals que . En cas contrari, diem que els vectors són linealment 
independents, és a dir, si l’única possibilitat de què la igualtat anterior siga certa és que 
. 
 
Criteri pràctic: 
En un espai vectorial tridimensional tres vectors són linealment independents si la matriu que té 
les files ( columnes) formada per les components dels vectors té rang 3, és a dir, si el determinant 
de la matriu és no nul. 
 
u v v u+ = +
( ) ( )u v w u v w+ + = + +
0 0u u+ =
( ) 0u u+ − =
u k ku
u 0,k  0k  k u
u
 c
on
 
0
k
u
k


 c
on
 
0
k
u
k


( )k u v ku kv+ = +
( )k h u ku hu+ = +
( ) ( )kh u k hu=
1u u=
( )3 , ,V + 
E
3V E
1 2, , ... , nv v v 1 2, ,..., n   
1 1 2 2 ... 0n nu u u  + + + =
1 2 ... 0n  = = = =
ipri 
 
39 
Unitat 5: Espai afi 
 Casos particulars: 
• Dos vectors ( ) ( )1 2 3 1 2 3, , y , ,u u u u v v v v= = són linealment dependents si se verifica la 
següent condició: 
1 2 3
1 2 3
rango 1
u u u
v v v
 
= 
 
 
• Tres vectors ( )1 2 3, ,u u u u= , ( )1 2 3, ,v v v v= i ( )1 2 3, ,w w w w= són linealment dependents 
si se verifica la següent condició: 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
rango 1 o 2
u u u
v v v
w w w
 
 
= 
 
 
 
• Dos vectors ( ) ( )1 2 3 1 2 3, , y , ,u u u u v v v v= = són linealment independents si se verifica la 
següent condició: 
1 2 3
1 2 3
rango 2
u u u
v v v
 
= 
 
 
• Tres vectors ( )1 2 3, ,u u u u= , ( )1 2 3, ,v v v v= i ( )1 2 3, ,w w w w= són linealment 
independents si se verifica la següent condició: 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
rango 3
u u u
v v v
w w w
 
 
= 
 
 
 
 
Definició: 
Una combinació lineal dels vectors és una expressió de la forma 
amb . 
 
Definició: 
Un conjunt de vectors d’un espai vectorial es diu que formen un sistema de generadors si 
qualsevol vector de l’espai es pot escriure com a combinació lineal dels vectors del conjunt. 
 
Definició: 
Un conjunt de vectors formen una base si són linealment independents i, a més, formen un 
sistema de generadors. 
 
Criteri pràctic: 
En un espai vectorial tridimensional tres vectors linealment independents sempre formen una 
base. 
 
Definició: 
Si és una base, qualsevol altre vector de l’espai vectorial es pot escriure de 
forma única com a: 
 
1 2, , ..., nv v v 1 1 ... n nv v + +
1 2, ,..., n   
1 2, , ..., nu u u w
1 1 2 2 ... n nw u u u  = + + +
ipri 
 
40 
Unitat 5: Espai afi 
Els escalars són les coordenades del vector respecte d’aquesta base. 
 
Exercicis: 
70. Siguen els vectors i . Calcula 
 i c per tal que es verifique: . 
 
71. Estudia la dependència o independència lineal dels següents conjunts de vectors: 
a) 
b) 
c) 
 
72. Determina el valor de per tal que els següents conjunts de vectors siguen linealment 
dependents: 
a) 
b) 
 
73. Quin dels següents conjunts de vectors formen una base? 
a) 
b) 
 
74. Per a quins valors de a el conjunt de vectors és linealment 
independent? És una base pera aquests valors? 
 
ESPAI AFÍ ASSOCIAT A L’ESPAI VECTORIAL 
Siga l’espai ordinari i l’espai vectorial dels vectors lliures en . El par , on 
3: E E V  → definida per ( ),A B AB →   verifica les següents propietats, es denomina espai afí 
associat a l’espai vectorial : 
1) Donat un vector i un punt , existeix un únic punt tal que 
 
2) 
3) 
D’ara en avant, el denotarem por . 
 
La aplicació anterior és, evidentment, sobrejectiva, però no injectiva. 
 
Siga . Aleshores, qualsevol punt determina el vector lliure , que 
denominarem vector de posició del punt P respecte del punt O. 
 
1 2, ,..., n    w
( ) ( ) ( )1, 5,2 , 3, 4, 1 , 6,3, 5x y z= − = − = − ( )24,26, 6w = −
, a b ax by cz w+ + =
( ) ( ) ( )1,2,1 , 1,0,3 , 1, 2, 1u v w= = − = −
( ) ( ) ( ) ( )1,2,3 , 1,4,11 , 1,1, 1 , 0,1,4a b c d= = = − =
( ) ( ) ( )1,1,0 , 1,0,1 , 5, 2,3x y z= = =
k
( ) ( ) ( ), 3, 2 , 2,3, , 4,6, 4u k v k w= − = = −
( ) ( ) ( )3,2,5 , 2,4,7 , 1, 1,a b c k= = = −
( ) ( ) ( ) 1 1, 2,1 , 1,0,1 , 2, 2, 2B =
( ) ( ) ( ) ( ) 2 1,1,1 , 1,0,1 , 1,1,0 , 0,0,1B =
( ) ( ) ( ) 1,1,1 , ,1,1 , 1, ,0S a a=
3V
E
3V E ( ),E 
3V
3v V O E P E
( ),O P v =
( ), 0A B A B =  =
( ) ( ) ( ), , , , ,A B B C A C A B C E  + =  
3E
3O E
3P E p OP =  
ipri 
 
41 
Unitat 5: Espai afi 
Un sistema de referència en l’espai afí , és una quaterna de punto tals que els 
vectors I formen una base de . Les rectes determinades 
pel punt i cadascun dels punts U1 ,U2 i U3 s’anomenen eixos coordenats. Els plans determinats 
per cada parell d’eixos coordinats s’anomenen plans coordenats. Les coordenades d’un punt 
són els únics nombres reals , tals que: 
1 2 3OP p xu yu zu  = = + +  
 
El punt és la representació gràfica de la terna i ho indicarem per ( ), ,P x y z . Com a 
conseqüència, les ternes ordenades de nombres reals són una representació algebraica dels vectors 
lliures de l’espai. 
 
 
2. EQUACIONS DE LA RECTA 
 
Definició: 
S’anomena determinació lineal de la recta al parell format per un punt , anomenat base, i un vector 
(lliure) no nul que s’anomena vector director o de direcció de la recta. 
 
i
j
 k
A
X  , r A v
OA
OX
v
x
y
z
 
 
• Equació vectorial de la recta 
Siga r la recta determinada pel punt A i el vector 𝑣 . Si , tenim que 
 
I, com resulta: 
 
 
 
 
Si ( ), ,X x y z i tenim que: 
 
 
 
 
3E ( )1 2 3, , ,O U U U
1 1 2 2, ,u OU u OU   = =    3 3
u OU =
 
3V
O
3P E
( )1 2 3, ,x x x
P
r ( ),A v A
v
X r
OX OA AX= +
AX v=
( )1 2 3, , ,A a a a ( )1 2 3, ,v v v v=
𝑥 = 𝑎 + 𝜆𝑣 Equació vectorial de la recta 
(x,y,z) = (a1, a2, a3) +𝜆 (v1,v2,v3) 
Equació vectorial de la recta en coordenades 
ipri 
 
42 
Unitat 5: Espai afi 
 
• Equacions paramètriques de la recta 
 
 
 
 
 
 
 
• Equació contínua de la recta 
Eliminant de les equacions paramètriques resulta: 
 
 
 
 
 
 
En rectes paral·leles als eixos algun dels denominadors de l’equació contínua és zero, per tant, 
aquesta equació adquireix un caràcter formal o simbòlic; per a obtindre en aquests casos l’equació 
general només cal igualar a zero el corresponent numerador, i obtindré la segona equació de l’altra 
igualtat. 
 
• Equació implícita o cartesiana 
Desenvolupant l’equació contínua s’obté: 
 
 
 
 
Exercicis: 
75. Expressa, en totes les formes possibles l’equació de la recta que passa pel punt i 
té com a vector director . 
 
76. Expressa, en totes les formes possibles, l’equació de la recta que passa pels punts P(1,-2,5) i 
Q(-2,1,0). 
 
77. Calcula les equacions de la recta en forma paramètrica i contínua. 
 
78. Expressa cadascuna de les següents rectes de totes les formes vistes en classe: 
a) b) 
c) 
 

( )1, 2,5P −
( )3,1, 2v = −
2 3
2 1
x y z
x y z
+ + =
− − =
2 2 4
1 1 3
x y z− − −
= =
−
3 1
3 5
x y z
x y z
− − =

− + =
2
1
3 2
x t
y t
z t
= +

= −
 = +
{
𝑥 = 𝑎1 + 𝜆𝑣1
𝑦 = 𝑎2 + 𝜆𝑣2
𝑧 = 𝑎3 + 𝜆𝑣3
 Equacions paramètriques de la recta 
𝑥−𝑎1
𝑣1
=
𝑦−𝑎2
𝑣2
=
𝑧−𝑎3
𝑣3
 Equació contínua de la recta 
{
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0
𝐴′𝑥 + 𝐵′𝑦 + 𝐶′𝑧 + 𝐷′ = 0
 Equació implícita 
ipri 
 
43 
Unitat 5: Espai afi 
79. Calcula l’equació de la recta que passa per l’origen de coordenades i és paral·lela a la 
recta d’equació . 
 
Equacions dels eixos de coordenades: 
Eix OX: 
 ( ) ( ) 0,0,0 , 1,0,0OX O i = 
 Equació vectorial: ( ) ( ) ( ), , 0,0,0 1,0,0x y z = + 
 Equacions paramètriques: 0
0
x
y
z
=

=
 =
 
 Equacions implícites: 
0
0
y
z
=

=
 
 
Eix OY: 
 ( ) ( ) 0,0,0 , 0,1,0OY O j = 
 Equació vectorial: ( ) ( ) ( ), , 0,0,0 0,1,0x y z = + 
 Equacions paramètriques: 
0
0
x
y
z

=

=
 =
 
 Equacions implícites: 
0
0
x
z
=

=
 
 
Eix OZ: 
 ( ) ( ) 0,0,0 , 0,0,1OZ O k = 
 Equació vectorial: ( ) ( ) ( ), , 0,0,0 0,1,0x y z = + 
 Equacions paramètriques: 
0
0
x
y
z 
=

=
 =
 
 Equacions implícites: 
0
0
x
y
=

=
 
 
 
3. INCIDÈNCIA DE PUNT I RECTA 
Definició/ caracterització: 
Els vectors �⃗� = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) 𝑖 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) són paral·lels, ||u v , sii són linealment 
dependentes, és a dir, u v= amb 𝜆 ∈ ℝ, o equivalentment, quan 31 2
1 2 3
uu u
v v v
= = 
 
1
2 2
x y
z
+
= = −
−
ipri 
 
44 
Unitat 5: Espai afi 
Definició / caracterització: 
Siga la recta determinada pel punt i el vector . Tenim: 
𝑃(𝑝1, 𝑝2, 𝑝3) ∈ ℝ ⟺ {
𝑝1 = 𝑎1 + 𝜆𝑣1
𝑝2 = 𝑎2 + 𝜆𝑣2
𝑝3 = 𝑎3 + 𝜆𝑣3
 
 compatible determinat ⟺ 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∥ �⃗� 
 
 
Exercicis: 
80. Estudia si els punts P(1,-2,5)i Q(2,2,4) pertanyen a la recta . 
 
81. Els punts A (3,-4,2), B(1,2,3) i C(3,-4,6) estan alineats? 
 
 
4. CONDICIÓ PE TAL QUE TRES PUNTS ESTIGUEN 
ALINEATS 
Caracteritzacions: 
Els punts 𝐴(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3), 𝐵(𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) 𝑖 𝐶(𝑐1, 𝑐2, 𝑐3) estan alineats si, i només si, 
𝑟𝑎𝑛𝑔 (
𝑏1 − 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏3 − 𝑎3
𝑐1 − 𝑎1 𝑐2 − 𝑎2 𝑐3 − 𝑎3
) < 2 
o equivalentment si els vectors 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑖 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ són linealment dependents. 
 
 
5. POSICIONS RELATIVES DE DUES RECTES 
Siguen {
𝑥 = 𝑎1 + 𝜆𝑣1
𝑦 = 𝑎2 + 𝜆𝑣2
𝑥 = 𝑎3 + 𝜆𝑣3
 𝑖 {
𝑥 = 𝑎′1 + 𝜇𝑣′1
𝑦 = 𝑎′2 + 𝜇𝑣′2
𝑥 = 𝑎′3 + 𝜇𝑣′3
 
dues rectes i, siga i 
. Es poden presentar les següents posicions relatives: 
 
 * rang M=2 
 * r i s s’encreuen ⟺ 𝑟𝑎𝑛𝑔�̃� = 3 
 * r i s es tallen en un punt ⟺ 𝑟𝑎𝑛𝑔�̃� = 2 
 ** rang M=1 
 * r i s són paral·leles ( i diferents) ⟺ 𝑟𝑎𝑛𝑔�̃� = 2 
 * r i s són coincidents ⟺ 𝑟𝑎𝑛𝑔�̃� = 1 
 
Rang M 𝑟𝑎𝑛𝑔�̃� Sistema Posició relativa 
2 3 Incompatible S’encreuen 
2 2 Compatible determinat Es tallen en un punt 
1 2 Incompatible Són paral·leles 
r ( )1 2 3, ,A a a a ( )1 2 3, ,v v v v=
2 2 4
1 1 3
x y z− − −
= =
−
1 1
2 2
3 3
'
'
'
v v
M v v
v v
 
 
=  
 
 
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
' '
' '
' '
v v a a
M v v a a
v v a a
− 
 
= − 
 − 
ipri 
 
45 
Unitat 5: Espai afi 
1 1 Compatible indeterminat Són coincidents 
 
Si les rectes venen donades en equacions implícites, aleshores: 
 
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
4 4 4 4
0
0
0
0
A x B y C z D
r
A x B y C z D
A x B y C z D
s
A x B y C z D
 + + + =
 
+ + + =

+ + + =
  + + + =
 
 
𝑀 = (
𝐴1 𝐵1 𝐶1
𝐴2 𝐵2 𝐶2
𝐴3 𝐵3 𝐶3
𝐴4 𝐵4 𝐶4
) 𝑖 �̃� = (
𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1
𝐴2 𝐵2 𝐶2 𝐷2
𝐴3 𝐵3 𝐶3 𝐷3
𝐴4 𝐵4 𝐶4 𝐷4
) i 
 
 
 
I es poden presentar les següents posicions relatives: 
 
rang M rang�̃� Sistema Posició relativa 
3 4 Incompatible S’encreuen 
3 3 Compatible determinat Es tallen en un punt 
2 3 Incompatible Paral·leles 
2 2 Compatible indeterminat Coincidents 
 
r
s
 
Rectes que s’encreuen 
 
r
s
 
Rectes secants (en un punt) 
 
r
s
 
Rectes paral·leles 
r s=
 
Rectes coincidents 
 
Podem fer aquesta classificació seguint les relacions vectorials 
Siguen 𝑢𝑟⃗⃗⃗⃗ 𝑖 𝑢𝑠⃗⃗⃗⃗ els vectors directors de les rectes r i s, i Pr i Ps punts qualsevols de r i s 
respectivament. Tenim: 
 
Vectors directors 
Proporcionals No proporcionals 
 r su u ru su 
Coincidents Paral·leles Secants S’encreuen 
 r r su P P ru r sP P ( )det , , 0r s r su u P P = ( )det , , 0r s r su u P P  
ipri 
 
46 
Unitat 5: Espai afi 
 
Exercicis: 
82. Estudia la posició relativa de les següents parelles de rectes: 
a) b) 
 
83. Estudia la posició relativa de les rectes . 
 
84. Estudia, segons els valors de , la posició relativa de les rectes: 
 
 
85. Estudia les posicions relatives de les rectes que apareixen en cada apartat- Quan es tallen, 
calcula el punt on ho fan: 
a) 
1 5 1
2 3 y 1
5
x x
r y s y
z z


 
= − = 
 
 = +  = 
 = − + = 
 c) 
3 2 1 6
1 y 3 3
5 5
x x
r y s y
z z
 
 
= + = − − 
 
 = −  = + 
 = = 
 
b) 
3
 y 3
0
x x
r y s y
z z



= = 
 
 =  = 
 = = 
 d) 
3 2
2 y 3 2
1 1
x x
r y s y
z z
 
 
= + = − 
 
 = − −  = + 
 = = − 
 
 
 
6. EQUACIONS DEL PLA 
Definició: 
Un pla queda determinat per un punt (el vector s’anomena vector de 
posició) i dos vectors linealment independents ( no nuls i no proporcionals) i 
, que anomenem vectors directors. A ( ), ,A v w l’anomenem determinació lineal 
del plano  . 
 
A
w
v
 ( ), ,A v w
 
 
1
2
0
2 3
2 0
2 3
x y z
r
x y
x y z
r
x y z
 − + =
 
+ = 

− + =   − − =
1
2
2 5
4 10
2 7
2 3 8
x y
s
x z
y z
s
x y
 + = −
 
− = − 

− = −   − =
8 0
 y 
4 2 5
x z x y
r s
y z x y z
+ = + = 
  
+ = − + = 
k
( ) ( ) ( )
1
, , 1,0,2 3,1, y 1
3
x
r x y z k s y z
+
 = + −  = − + =
 ( )1 2 3, ,A a a a OA a=
( )1 2 3, ,v v v v=
( )1 2 3, ,w w w w=
ipri 
 
47 
Unitat 5: Espai afi 
i
j
 k
x
y
z
A
w
v
( ), ,A v w 
w
v
X
AX
OA
OX
 
Per obtindre l’equació vectorial, tenim en compte que OX OA AX= + i, com AX v w = + , 
resulta que 
OX OA v w = + + 
que és l’equació vectorial del pla determinat pel punt A i els vectors 𝑣 𝑖 �⃗⃗� . 
 
• Si ( ), ,X x y z  tenim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Efectuant les operacions obtenim: 
 
 
 
 
 
 
 
Exercicis: 
𝑥 = 𝑎 + 𝜆𝑣 + 𝜇�⃗⃗� Equació vectorial del pla 
on 𝜆, 𝜇 ∈ ℝ 
(x,y,z) = (a1, a2, a3) +𝜆 (v1,v2,v3)+ 𝜇(𝑤1, 𝑤2, 𝑤3) 
Equació vectorial del pla en coordenades 
{
𝑥 = 𝑎1 + 𝜆𝑣1 + µ𝑤1
𝑦 = 𝑎2 + 𝜆𝑣2 + µ𝑤2
𝑧 = 𝑎3 + 𝜆𝑣3 + µ𝑤3
 Equacions paramètriques del pla 
ipri 
 
48 
Unitat 5: Espai afi 
86. Expressa les equacions del pla determinat pel punt i els vectors 
. 
 
87. Calcula les equacions del pla que conté als punts i 
C(-2,4,-1). 
 
88. Determinar les equacions paramètriques del pla determinat pel punt P i els vectors 
directors �⃗� 𝑖 𝑣 en cadascun dels casos següents: 
a) 
b) 
 
 
7. INCIDÈNCIA DE PUNT I PLA 
Definició / caracterització: 
El punt pertany al pla (és un punt del pla), quan es compleix la següent 
condició: 
 
 
És a dir, si els vectors 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝑣 𝑖 �⃗⃗� són linealment dependents. 
 
 
8. QUAN 4 PUNTS SÓN COPLANARIS? 
Caracteritzacions: 
Els punts 𝐴(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3), 𝐵(𝑏1, 𝑏2, 𝑏3), 𝐶(𝑐1, 𝑐2, 𝑐2) 𝑖 𝐷(𝑑1, 𝑑2, 𝑑3, ) són coplanaris
3 si, i només si, 
els vectors 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑖 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ són linealment dependents si, i només si, ( )det , , 0AB AC AD = 
 
Exercicis: 
89. Calcula el valor de per tal que els quatre punts estigues en el mateix pla 
 . Calcula l’equació del pla. 
 
 
9. EQUACIÓ GENERAL, CARTESSIANA O IMPLÍCITA 
DEL PLA 
Siga el pla determinat pel punt i els vectors directors i 
. L’equació general ve donada per: 
 
3 Estan