MAT_2-MATEMATIQUES_II-AM_A_G_PyE

Prévia do material em texto

MATEMÀTIQUES II 
 
(ANÀLISI MATEMÀTIC, ÀLGEBRA, GEOMETRIA, i 
ESTADÍSTICA I PROBABILITAT) 
 
 
2n de Batxillerat de Ciències 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Antonio Cipriano Santiago Zaragoza 
IES Ramón Giraldo 
Villanueva de los Infantes 
 
 Maite Alejandre Gómez 
IES Joan Fuster 
Bellreguard 
 
 
ipri 
 
i 
Índex general 
Índex general 
 
BLOC D'ANÀLISI MATEMÀTIC 
 
UNITAT 1: 
LÍMITS 
1. SUCCESSIONS .................................................................................................................................... 1 
2. LÍMIT D’UNA SUCCESSIÓ ................................................................................................................ 1 
3. ENTORNS EN LA RECTA. DISTÀNCIA........................................................................................... 2 
4. LÍMIT D’UNA FUNCIÓ EN UN PUNT .............................................................................................. 2 
4.1. DEFINICIONS................................................................................................................................. 3 
4.2. APLICACIÓ: CÀLCUL D’UN LÍMIT APLICANT LA DEFINICIÓ ............................................................... 4 
5. LÍMITS INFINITS: ASÍMPTOTES VERTICALS ............................................................................... 5 
6. LÍMITS EN L ‘INFINIT: ASÍMPTOTES HORITZONTALS ............................................................. 6 
7. LÍMITS INFINITS EN L’INFINIT: ASÍMPTOTES OBLÍQÜES ....................................................... 7 
8. ALGUNS LÍMITS IMPORTANTS ...................................................................................................... 7 
9. INDETERMINACIONS ....................................................................................................................... 9 
 
UNITAT 2: 
CONTINUÏTAT 
1. CONCEPTE DE FUNCIÓ CONTÍNUA ............................................................................................ 15 
1.1. DEFINICIONS............................................................................................................................... 15 
1.2. APLICACIÓ: ESTUDI DE LA CONTINUÏTAT EMPRANT LA DEFINICIÓ  − ...................................... 16 
1.3. APLICACIÓ: CONTINUÏTAT EN PUNTS AÏLLATS I EN PUNTS D’ACUMULACIÓ...................................... 17 
2. OPERACIONS AMB FUNCIONS CONTÍNUES ............................................................................. 18 
3. CONTINUÏTAT DE LES FUNCIONS ELEMENTALS .................................................................... 18 
4. DISCONTINUÏTATS: CLASSIFICACIÓ .......................................................................................... 20 
5. TEOREMA DE BOLZANO I DE WEIERSTRASS ........................................................................... 23 
 
UNITAT 3: 
DERIVADES 
1. TAXA DE VARIACIÓ ....................................................................................................................... 25 
2. CONCEPTE DE DERIVADA ............................................................................................................ 25 
2.1. DERIVADES LATERALS ...................................................................................................................... 26 
2.2. DERIVABILITAT I CONTINUÏTAT ......................................................................................................... 26 
2.3. OPERACIONS AMB FUNCIONS DERIVABLES ......................................................................................... 28 
3. TAULES DE DERIVADES ................................................................................................................ 30 
4. INTERPRETACIÓ GEOMÈTRICA DE LA DERIVADA ................................................................ 37 
5. INTERPRETACIÓ FÍSICA DE LA DERIVADA .............................................................................. 38 
6. DERIVADES SUCCESSIVES ........................................................................................................... 38 
ipri 
 
ii 
Índex general 
 
UNITAT 4: 
APLICACIONS DE LES DERIVADES 
1. ESTUDI GLOBAL I LOCAL DE FUNCIONS .................................................................................. 39 
1.1. MONOTONIA D’UNA FUNCIÓ ............................................................................................................. 39 
1.2. EXTREMS RELATIUS (EXTREMS LOCALS O PUNTS CRÍTICS) .................................................................. 39 
1.3. CURVATURA D’UNA FUNCIÓ: PUNTS D’INFLEXIÓ ............................................................................... 40 
1.3.1. Definición no rigurosa de convexidad ............................. 40 
1.3.2. Ampliació: definició de funció convexa ............................. 41 
1.3.3. Criteri de la derivada segona ............................. 41 
2. REPRESENTACIÓ GRÀFICA DE FUNCIONS ............................................................................... 42 
3. OPTIMITZACIÓ DE FUNCIONS ..................................................................................................... 44 
3.1. PROBLEMES RESOLTS D’OPTIMITZACIÓ DE FUNCIONS ........................................................................ 44 
 
UNITAT 5: 
PROPIETATS DE LES FUNCIONS DERIVABLES 
1. TEOREMA DE ROLLE...................................................................................................................... 55 
2. TEOREMA DEL VALOR MITJÀ...................................................................................................... 57 
3. TEOREMA DE CAUCHY.................................................................................................................. 58 
4. REGLES DE L’HÔPITAL .................................................................................................................. 59 
 
UNITAT 6: 
PRIMITIVES I INTEGRALS 
1. CONCEPTE DE PRIMITIVA ............................................................................................................ 65 
2. TAULES D’INTEGRALS .................................................................................................................. 66 
3. MÈTODES D’INTEGRACIÓ ............................................................................................................. 68 
4. APLICACIÓ: PROBLEMES DE VALORS INICIALS ..................................................................... 76 
 
UNITAT 7: 
INTEGRAL DEFINIDA 
1. INTEGRAL DEFINIDA ..................................................................................................................... 77 
2. PROPIETATS IMMEDIATES ........................................................................................................... 79 
3. TEOREMES IMPORTANTS ............................................................................................................. 80 
 
UNITAT 8: 
APLICACIONS DE LA INTEGRAL 
1. ÀREES DE RECINTES PLANS ........................................................................................................ 83 
1.1. EXERCICIS RESOLTS DE CÀLCUL D’ÀREES PER INTEGRACIÓ ........................................................... 84 
2. VOLUMS ............................................................................................................................................ 91 
3. LONGITUDS ...................................................................................................................................... 91 
ipri 
 
iii 
Índex general 
 
 
BLOC D’ÀLGEBRA 
 
UNITAT 9: 
SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS 
1. SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS ............................................................................................ 93 
2. MÈTODE DE GAUSS ........................................................................................................................ 93 
3. CLASSIFICACIÓ DELS SISTEMES .................................................................................................93 
 
UNITAT 10: 
MATRIUS 
1. MATRIUS ........................................................................................................................................... 95 
2. TIPUS DE MATRIUS ......................................................................................................................... 97 
3. OPERACIONS AMB MATRIUS ....................................................................................................... 97 
4. MÈTODE DE GAUSS ...................................................................................................................... 101 
5. INVERSA D’UNA MATRIU ........................................................................................................... 101 
6. EQUACIONS I SISTEMES MATRICIALS .................................................................................... 103 
7. RANG D’UNA MATRIU ................................................................................................................. 104 
 
UNITAT 11: 
DETERMINANTS 
1. DETERMINANTS ............................................................................................................................ 107 
2. PROPIETATS ................................................................................................................................... 109 
3. MÈTODES PER A CALCULAR DETERMINANTS ...................................................................... 113 
4. APLICACIONS DELS DETERMINANTS ...................................................................................... 113 
 
UNITAT 12: 
DISCUSSIÓ DE SISTEMES D'EQUACIONS LINEALS 
1. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS ......................................................................................... 121 
2. DISCUSSIÓ DE SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS ............................................................... 121 
3. DISCUSSIÓ DE SISTEMES AMB UN PARÀMETRE .................................................................. 122 
4. ELIMINACIÓ DE PARÀMETRES .................................................................................................. 122 
 
 
BLOC DE GEOMETRIA 
 
UNITAT 13: 
ESPAI AFÍ 
ipri 
 
iv 
Índex general 
1. ESPAI AFÍ TRIDIMENSIONAL ..................................................................................................... 125 
2. EQUACIONS DE LA RECTA ......................................................................................................... 129 
3. INCIDÈNCIA DE PUNT I RECTA .................................................................................................. 131 
4. CONDICIÓ PE TAL QUE TRES PUNTS ESTIGUEN ALINEATS ............................................... 132 
5. POSICIONS RELATIVES DE DUES RECTES .............................................................................. 132 
6. EQUACIONS DEL PLA ................................................................................................................... 134 
7. INCIDÈNCIA DE PUNT I PLA ....................................................................................................... 136 
8. QUAN 4 PUNTS SÓN COPLANARIS? .......................................................................................... 136 
9. EQUACIÓ GENERAL, CARTESSIANA O IMPLÍCITA DEL PLA ............................................. 136 
10. EQUACIÓ DEL PLA QUE PASSA PER TRES PUNTS ............................................................... 137 
11. EQUACIÓ CANÓNICA DEL PLA ................................................................................................ 137 
12. POSICIONS RELATIVES DE DOS PLANS ................................................................................. 138 
13. POSICIONS RELATIVES D’UNA RECTA I UN PLAN ............................................................. 139 
14. POSICIONS RELATIVES DE TRES PLANS ............................................................................... 140 
15. FEIX DE PLANS ............................................................................................................................ 143 
15.1. FEIX DE PLANS D’ARESTA UNA RECTA: FEIX DE PLANS SECANTS ..................................................... 143 
15.2. FEIX DE PLANS PARAL·LELS .......................................................................................................... 144 
16. RADIACIÓ DE PLANS.................................................................................................................. 145 
 
UNITAT 14: 
ESPAI AFÍ EUCLIDIÀ 
1. PRODUCTE ESCALAR ................................................................................................................... 147 
2. ESPAI VECTORIAL EUCLIDIÀ. ESPAI EUCLIDIÀ .................................................................... 150 
3. PRODUCTE VECTORIAL .............................................................................................................. 150 
4. ÀREA DEL TRIANGLE .................................................................................................................. 152 
5. VECTOR DIRECTOR D’UNA RECTA .......................................................................................... 152 
6. PRODUCTE MIXTE ........................................................................................................................ 152 
7. VOLUM DEL TETRAEDRE ........................................................................................................... 153 
8. VOLUM D’UNA PIRÀMIDE .......................................................................................................... 154 
9. EQUACIÓ NORMAL DEL PLA...................................................................................................... 155 
10. ANGLE ENTRE RECTES .............................................................................................................. 155 
11.ANGLE DE RECTA I PLA ............................................................................................................. 156 
12.ANGLE DE DOS PLANS................................................................................................................ 157 
13. DISTÀNCIA D’UN PUNT A UN PLA I D’UN PLA A UNA RECTA ........................................ 158 
14. DISTÀNCIA D’UN PUNT A UNA RECTA .................................................................................. 159 
15. DISTÀNCIA ENTRE DUES RECTES .......................................................................................... 159 
16. DISTÀNCIA ENTRE DOS PLANS ............................................................................................... 161 
17. PERPENDICULAR COMUNA ...................................................................................................... 161 
18. PUNT SIMÈTRIC D’UN PUNT RESPECTE D’UN ALTRE PUNT ............................................ 162 
19. PUNT SIMÈTRIC RESPECTE D’UNA RECTA ........................................................................... 163 
ipri 
 
v 
Índex general 
20. PUNTS SIMÈTRICS RESPECTE D’UN PLA ............................................................................... 163 
21. PROJECCIÓ ORTOGONAL D’UN PUNT SOBRE UN PLA ....................................................... 164 
22. PROJECCIÓ ORTOGONAL D’UN PUNT SOBRE UNA RECTA .............................................. 164 
23. PROJECCIÓ ORTOGONAL D’UNA RECTA SOBRE UN PLA ................................................. 165 
 
 
BLOC D'ESTADÍSTICA I PROBABILITAT 
 
UNITAT 15: 
PROBABILAT 
1. INTRODUCCIÓ ............................................................................................................................... 167 
2. EXPERIMENTS ............................................................................................................................... 167 
3. ESPAI MOSTRAL. SUCCESSOS. ESPAI DE SUCCESSOS ......................................................... 168 
4. EXPERIMENTS COMPOSTOS.ESPAIS PRODUCTE ................................................................. 170 
5. FREQÜÈNCIES D’UN SUCCÉS ..................................................................................................... 171 
6. DEFINICIÓ DE VON MISES: CONCEPTE FREQÜENTISTA DE PROBABILITAT ................. 172 
7. DEFINICIÓ CLÁSSICA: LAPLACE ............................................................................................... 172 
8. DEFINICIÓ AXIOMÀTICA: KOLMOGOROV .............................................................................. 174 
9. PROBABILITAT CONDICIONADA .............................................................................................. 175 
10. INDEPENDÈNCIA DE SUCCESSOS ........................................................................................... 175 
11. PROBABILITAT TOTAL. FÓRMULA DE BAYES .................................................................... 177 
12. PROBLEMES PROPOSATS EN LA SELECTIVITAT DE MATEMÀTIQUES APLICADES II 179 
 
UNITAT 16: 
DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT 
0.- INTRODUCCIÓ .............................................................................................................................. 185 
1. VARIABLES ALEATORIES ........................................................................................................... 186 
2. DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT ......................................................................................... 188 
3. LA DISTRIBUCIÓ BINOMIAL ...................................................................................................... 189 
4. LA DISTRIBUCIÓ NORMAL ......................................................................................................... 192 
5. ÚS DE TAULES ............................................................................................................................... 193 
6. APROXIMACIÓ DE LA BINOMIAL PER LA NORMAL ............................................................. 195 
TAULAA DE LA DISTRIBUCIÓ BINOMIAL ................................................................................ 196 
TAULA DE LA DISTRIBUCIÓ NORMAL ..................................................................................... 198 
 
 
 
 
 
 
ipri 
 
vi 
Índex general 
 
 
 
 
 
ipri 
 
1 
Unitat 1: Límits 
Unitat 1: 
LÍMITS 
 
1. SUCCESSIONS 
 
Una successió de números reals és un conjunt ordenat d’infinits números reals 
1 2, ,..., ,...na a a 
on na és el terme general. Es representa pere
. 
 
Més formalment, una successió és una funció 
( )
:
 : n
f
n f n a
→
→ =
 
I així, ( ) ( )1 21 , 2 ,...f a f a= = 
 
 
2. LÍMIT D’UNA SUCCESSIÓ 
 
Intuïtivament, diem que el límit d’una successió  nx és el número real L si els termes de la dita 
successió van aproximant-se a L , i escriurem   o lim o limn n n
n
x L x L x L
→
→ = = 
 
Si nx L→ , aleshores 𝑥𝑛 = 𝐿 quan n és gran. 
La pregunta que sorgeix és: com de gran ha de ser n per tal que𝑥𝑛 = 𝐿 ? La resposta és “simple”: 
depen de l’aproximació desitjada i de la successió en qüestió. 
 
Definició: El número real a és el límit de la successió ( )na de números reals, quan, per a qualsevol 
número positiu  , podem trobar un terme de la successió 
0n
a tal que la distància dels infinits 
termes posteriors a 
0n
a al número a és menor que  : 
lim
𝑛→+∞
𝑎𝑎 = 𝑎 ⟺ ∀𝜀 > 𝑜 ∃ 𝑛0 𝑝𝑒𝑟 𝑎 𝑛 > 𝑛𝑜⁄ |𝑎𝑛 − 𝑎| < 𝜀 
 
Les successions que tenen límit s’anomenen convergents i, les que tendeixen a  s’anomenen 
divergents. 
 
Propietats elementals dels límits de successions: 
Suposem que 𝑥𝑛 → 𝑥, 𝑦𝑛 → 𝑦 𝑖 𝛼 ∈ ℝ. Aleshores: 
 a) 
n nx y x y+ → + 
 b) 
n nx y xy→ 
 c) 
ny y + → + 
 d) 
ny y → 
 e) 
n nx y x y− → − 
 f) 
𝑥𝑛
𝑦𝑛
→
𝑥
𝑦
 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑦 ≠ 0, 𝑦𝑛 = 0 ∀ 𝑛 ∈ ℕ. 
ipri 
 
2 
Unitat 1: Límits 
El número e 
 
1
lim 1
n
n
e
n→+
 
+ = 
 
, 𝑒 ∈ ℝ ∖ ℚ 𝑖 𝑒 = 2,7181828… 
 
Límits infinits 
1) 
n nx x→+− →− 
2) Si e n nx y→ →+ , aleshores: 
𝛼 +∞ 𝑠𝑖 𝛼 ∈ ℝ ∪ {+∞}
 𝛼 · (+∞) = {
+∞ 𝑠𝑖 0 < 𝛼 ≤ +∞
−∞ 𝑠𝑖 − ∞ ≤ 𝛼 < 0
𝑎
+∞
= 0 𝑠𝑖 𝛼𝜖ℝ
}
 
 
 
 
 𝐴𝑟𝑖𝑡𝑚è𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 ℝ̅ = [−∞,+∞] 
3) Els casos ( ), 0 , 

+−   

 són indeterminacions. 
 
 
3. ENTORNS EN LA RECTA. DISTÀNCIA 
 
Donat un número real a i un número real positiu  , s’anomena entorn de centre a i radi  , a 
l’interval obert d’extrems , a a − + : 
( ) ( )  , , : E a a a x a x a    = − + =  −   + 
 
El número real a és el límit d’una successió ( )na de números reals, quan, per a qualsevol entorn 
( ),E a  , podem trobar un terme de la successió 
0n
a tal que els infinits termes posteriors a 
0n
a 
pertanyen a l’entorn ( ),E a  : 
lim
𝑛→+∞
𝑎𝑎 = 𝑎 ⟺ ∀ 𝐸(𝑎, 𝜀) ∃𝑛0 𝑝𝑒𝑟 𝑎 𝑛 > 𝑛𝑜⁄ , 𝑎𝑛𝜖 𝐸(𝑎, 𝜀) 
 
S’anomena entorn reduït de centre a i radi  al conjunt: 
( ) ( )  * , ,E a E a a = − 
 
Donat un número 0M  arbitràriament gran, s’anomena entorn de més infinit, al conjunt: 
( )  :E x x M+ =   
Donat un número 0M  , amb valor absolut arbitràriament gran, s’anomena entorn de menys 
infinit, al conjunt: 
( )  :E x x M− =   
S’anomena entorn d’infinit, al conjunt: 
( ) ( ) ( )  :E E E x x M = −  + =   
 
Es defineix la distància entre els números reals x i y, com a: ( ),d x y x y= − 
 
 
4. LÍMIT D’UNA FUNCIÓ EN UN PUNT 
 
ipri 
 
3 
Unitat 1: Límits 
4.1. Definicions 
Un punt a D és un punt d’acumulació de D⊆ ℝ, i escriurem 'a D , si ( )*E a es té 
( )*E a D  . 
 
Criteri pràctic: Sempre que existisca un interval obert de centra a contingut en D es tindrà que 
'a D . 
 
Definició intuïtiva: Siga :f D → una funció, 'a D i L . Direm que el límit de ( )f x 
quan x a→ és L, i escriurem ( )lim
x a
f x L
→
= , si per a valors de x cada vegada més pròxims a a 
(diferents de a), els valors de les imatges ( )f x estan cada vegada més pròximes L. 
 
Definició formal: 
Siga :f D → una funció, 'a D i L . Direm que el límit de ( )f x quan x a→ és L, i 
escriurem ( )lim
x a
f x L
→
= , si per a cada número real positiu  , existeix un número real positiu  
(que depèn de  ), tal que ( )f x L −  , si x a −  . 
 
a
L
a +a −
L +
L −
x
y ( )y f x=
 
(En general 1 2   1 2min ,  = . El que si és simètric és l’interval ( ),L L − + ) 
 
Límits laterals: 
El límit per l’esquerra és el valor al que tendeix la funció f(x) quan la variable x s’aproxima a a 
siguent menor que a. La notació és: 
( ) ( )lim o lim
x a x a
x a
f x f x
→ − →

 
 
El límit per la dreta és el valor al que tendeix la funció ( )f x quan la variable x s’aproxima a a 
siguent major que a. La notació és: 
( ) ( )lim o lim
x a x a
x a
f x f x
→ + →

 
 
Tenim, per tant, la següent: 
 
 
 
a
L
a +a −
L +
L −
x
y
( )y f x=
1
2
ipri 
 
4 
Unitat 1: Límits 
Caracterització: 
( )
( ) ( )
( ) ( )
lim , lim
lim
lim lim
x a x a
x a
x a x a
f x f x
f x
f x f x
→ − → +
→
→ − → +
 

  
=
 
És a dir, ( ) ( ) ( )lim lim lim
x a x a x a
f x f x f x
→ → − → +
= = 
 
Propietats dels límits: 
1) lim
𝑥→𝑎
𝑘 = 𝑘 𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℝ 
 El límit d’un número és el propi número. 
 
2) 
 El límit d’una suma (resta) és igual a la suma (resta) dels límits. 
 
3) 
 El límit d’un producte és igual al producte dels límits. 
 
4) sempre que ( ) 0g a  i 
 El límit d’un quocient és igual al quocient dels límits 
 
5) ( )
( )
( )
( )lim
lim lim
x a
g x
g x
x a x a
f x f x
→
→ →
   =
   
 sempre que 
 El límit d’una potència és igual a la potència dels límits. 
 
6) ( ) ( )lim limn n
x a x a
f x f x
→ →
= sempre que f(x)≥ 0 𝑖 lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ≥ 0 quan n siga parell. 
 El límit d’una arrel és l’arrel del límit. 
 
 7) ( )( ) ( ) ( )lim log log lim siempre que 0 y lim 0A A
x a x a x a
f x f x f x f x
→ → →
 =      
 
 El límit d’un logaritme és igual al logaritme del límit. 
 
Exercici: 
1. Calcula, si existeix, el límit de les següents funcions quan x tendeix a zero: 
a) ( )
2
x x
f x
−
= b) ( )
2x x
f x
x
+
= 
 
4.2. Aplicació: càlcul d’un límit aplicant la definició 
Demostrem, aplicant la definició de límit, que 
2
3
lim 9
x
x
→
= . 
Donat 0  , hem de calcular un 0  tal que, si 3x −  , aleshores 
2 9x −  . 
Com un punt pròxim a 3 es pot escriure de la forma x=3 + h amb h≠ 0, es té que 
( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim
x a x a x a
f x g x f x g x
→ → →
+ = +  
( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim
x a x a x a
f x g x f x g x
→ → →
 =   
( )
( )
( )
( )
lim
lim
lim
x a
x a
x a
f xf x
g x g x
→
→
→
= ( )lim 0
x a
g x
→

( )lim 0
x a
f x
→

ipri 
 
5 
Unitat 1: Límits 
( )
2 23 9 6 6 7h h h h h h+ − = + = +  
Sempre que 1h  . 
Per tant, prenent 
7
h

 = si 1
7

 o 1h = = si 1
7

 , es té que ( )
2
3 9h + −  , i com a 
conseqüència, 
2
3
lim 9
x
x
→
= . 
 
 
5. LÍMITS INFINITS: ASÍMPTOTES VERTICALS 
 
Dir que ( )lim
x a
f x
→
= + significa que, quan x tendeix a a, amb x a , ( )f x pren valors majors que 
qualsevol número real k: 
( ) ( )lim 0, 0 tal que si 
x a
f x k x a k f x 
→
= +    −    
 
Anàlogament, dir que ( )lim
x a
f x
→
= − significa que, quan x tendeix a a, con x a , ( )f x pren 
valors cada vegada més xicotets: 
( ) ( )lim 0, 0 tal que si 
x a
f x k x a f x k 
→
= −    −    − 
 
Donada la gràfica d’una funció, una asímptota és una recta a la què la gràfica s’apropa cada vegada 
més. 
 
 Ara, discutirem de forma més detallada els diferents tipus d’asímptotes d’una funció. 
 
Definició: 
La recta x a= és una asímptota vertical de la funció ( )f x si existeix algun dels 
següents: ( )lim
x a
f x
→
=  ( )lim
x a
f x
→ +
=  ( )lim
x a
f x
→ −
=  
 
x a=
( )y f x=
( )lim
x a
f x
→
= −
 
 
Observacions: 
(1) Una funció pot tindre infinites asímptotes verticals. 
 
(2) En les funcions racionals les asímptotes verticals es troben en els valors de x que 
anul·len al denominador. 
ipri 
 
6 
Unitat 1: Límits 
 
(3) La gràfica de la funció no pot tallar a les asímptotes verticals. 
 
 
6. LÍMITS EN L ‘INFINIT: ASÍMPTOTES 
HORITZONTALS 
 
Direm que ( )lim
x
f x b
→+
= significa que, quan x es fa tan gran com vulguem, la funció ( )f x pren 
valors propers a un número fixe b: 
( ) ( )lim 0, 0 tal que si 
x
f x b k k x f x b 
→+
=       −  
 
De la mateixa forma, ( )lim
x
f x b
→−
= significa que ( )f x s’apropa a b quan x es fa cada vegada més 
menut: 
( ) ( )lim 0, 0 tal que si 
x
f x b k x k f x b 
→−
=      −  −  
 
Definició: 
La recta y = k és una asímptota horitzontal de ( )f x si existeix algun dels següents límits: 
( )lim
x
f x k
→−
= o ( )lim
x
f x k
→+
= 
 
y b=
( )y f x=
( )lim
x
f x b
→+
=
( )lim
x
f x b
→−
=
 
 
Observacions: 
(1) Una funció té, com a màxim, dues asímptotes horitzontals. 
 
(2) La gràfica de la funció pot tallar a les asímptotes horitzontals. 
 
(3) Per a funcions racionals: 
 Si en una funció racional el grau del numerador és menor que el grau del 
denominador, la recta 0y = (l’eix OX) és una asímptota horitzontal. 
 
 Si en una funció racional el grau del numerador i el del denominador són iguals, la recta 
 serà una asímptota horitzontal (b indica el quocient entre els coeficients líders del 
numerador y del denominador). 
•
•
y b=
ipri 
 
7 
Unitat 1: Límits 
 Si en una funció racional el grau del numerador és una unitat major que el del 
denominador, la funció presenta una asímptota obliqua i no n’hi ha asímptotes 
horitzontals. 
 
 Si en una funció racional, el grau del numerador és dos o més unitats major que el 
del denominador, n’hi ha asímptota horitzontal. 
 
 
7. LÍMITS INFINITS EN L’INFINIT: ASÍMPTOTES 
OBLÍQÜES 
 
També pot passar que ( )lim
x
f x
→
=  , el que significa que x i ( )f x se fan infinitament grans a la 
mateixa vegada. Per tant: 
( ) ( )lim
x
f x f x k
→
=   
Per a qualsevol x p , siguen k i p números arbitràriament grans. 
 
Definició: 
La recta y mx n= + , m 0 , és una asímptota obliqua de ( )f x si existeix algun dels 
següents límits: 
( )( )lim 0
x
f x mx n
→−
− − = ( )( )lim 0
x
f x mx n
→+
− − = 
On: 𝑚 = lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑥
 𝑖 𝑛 = lim
𝑥→∞
(𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥)
 
 
Observacions: 
(1) Una funció pot tindre, com a màxim dues 
asímptotes obliqües. 
 
(2) La gràfica de la funció pot tallar a les 
asímptotes obliqües. 
 
(3) Si en una funció racional el grau del 
numerador és dos o més unitats, major que el 
del denominador, no n’hi ha asímptota obliqua. 
 
(4) Si ( )
( )
( )
P x
f x
Q x
= és una funció racional i grau P(x) - grau Q(x)= 1, aleshores 
l’asímptota obliqua y mx n= + de ( )f x és el quocient de ( )P x entre ( )Q x . 
 
 
8. ALGUNS LÍMITS IMPORTANTS 
 
Anem a estudiar alguns límits molt senzills però que apareixen sovint i que, per tant, cal tindre-los 
sempre presents: 
 
•
•
ipri 
 
8 
Unitat 1: Límits 
(1) ( )
1
f x
x
= 
 
0
0
1
lim 0
1
lim 0
1
lim
1
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
→−
→+
→ −
→ +
=
=

= −
 
= +

0
1
lim
x x→
 
(2) ( ) 2
1
g x
x
= 
 
2
2
20
20
20
1
lim 0
1
lim 0
1
lim
1
lim
1
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→−
→+
→ −
→
→ +
=
=

= +
  = +
= +

 
 
(3) ( ) 3
1
h x
x
= 
 
3
3
30
30
1
lim 0
1
lim 0
1
lim
1
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
→−
→+
→ −
→ +
=
=

= −
 
= +

30
1
lim
x x→
 
 
(4) ( ) 4
1
i x
x
= 
 
4
4
40
40
40
1
lim 0
1
lim 0
1
lim
1
lim
1
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→−
→+
→ −
→
→ +
=
=

= +
  = +
= +

 
 
ipri 
 
9 
Unitat 1: Límits 
(5) En general: 
Per a n senar: Per a n parell: 
0
0
Para impar:
1
lim 0
1
lim 0
1
lim
1
lim
nx
nx
nx
nx
n
x
x
x
x
→−
→+
→ −
→ +
=
=

= −
 
= +

0
1
lim
nx x→
 
0
0
0
Para par:
1
lim 0
1
lim 0
1
lim
1
lim
1
lim
nx
nx
nx
nx
nx
n
x
x
x
x
x
→−
→+
→ −
→
→ +
=
=

= +
  = +
= +

 
 
Un parell de consideracions a tindre en compte quan calculem límits: 
 a) Si ( ) 1 0...
n
nP x a x a x a= + + + és un polinomi, aleshores 
( )lim
x
P x
→
=  
I el resultat només depèn del monomi nna x . 
 
b) Per a límits en l’infinit de funcions racionals es té la següent regla pràctica, on 
( ) 1 0...
n
nP x a x a x a= + + + y ( ) 1 0...
m
mQ x b x b x b= + + + 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
si
lim si
0 si
n
x
m
grau P grau Q
P x a
grau P grau Q
Q x b
grau P grau Q
→
 


= =

 
 
 
 
9. INDETERMINACIONS 
 
Quan es calcula el límit d’una suma, un producte, un quocient o una potència de funcions no es 
poden aplicar les propietats dels límits, és a dir, cal fer un estudi particular de cada cas. Es diu que, 
aquests límits presenten una indeterminació. 
 
Segons el professor R. Payá, en essència, només n’hi ha dos tipus d’indeterminacions [∞ −
∞] 𝑖 [0 · ∞], que apareixen en estudiar el comportament de sumes i productes, respectivament, de 
funcions. La segona pot prendre a més dos aspectes, [
0
0
] 𝑖 [
∞
∞
], que apareixen en estudiar quocients, 
i tres aspectes més, [00], [∞0] 𝑖 [1∞], que sorgeixen en estudiar potències. Es considerarà, a més la 
“indeterminació” del tipus [
𝑘
0
] 𝑎𝑚𝑏 𝑘 ∈ (ℝ − {0}) ∪ {±∞}.
 
INDETERMINACIÓ DEL TIPUS 
0
k
 AMB 𝑘 ∈ (ℝ − {0}) ∪ {±∞}. 
Calculem els límits laterals: ( ) ( )
x a-
lim , lim
x a
f x f x
→ + →
 
Si existeixen ambdós límits i coincideixen els seus valors, aleshores: 
( ) ( ) ( )lim lim lim
x a x a x a
f xf x f x
→ → + → −
 = = 
ipri 
 
10 
Unitat 1: Límits 
Si no existeix algun dels límits laterals o no coincideix el seu valor, aleshores, no existeix ( )lim
x a
f x
→
 
 
INDETERMINACIÓ DEL TIPUS 
0
0
 
 
 
 
a) Per a funcions racionals 
Fem la descomposició factorial de numerador i denominador per tal de poder simplificar. 
b) Per a funcions irracionals 
Si es tracta d’una funció amb arrels quadrades en el numerador (o en el denominador), 
multipliquem numerador i denominador per l’expressió amb arrels quadrades en el numerador ( 
o en el denominador), multipliquem numerador i denominador per l’expressió conjugada del 
numerador ( o del denominador). 
 
INDETERMINACIÓ DEL TIPUS 
 
  
 
Es divideix numerador i denominador per la major potència de x que aparega en la funció ( és prou 
amb dividir per la major potència de x del denominador). 
 
INDETERMINACIÓ DEL TIPUS   − 
a) La funció és la diferència de dues funcions racionals 
Es fa l’operació. 
b) La funció és la diferència de funcione irracionals 
Multipliquem i dividim per l’expressió conjugada de la funció. 
 
INDETERMINACIÓ DEL TIPUS  0  
Transformar aquesta indeterminació en una de les anteriors, generalment fent el càlcul de les 
operacions. 
 
INDETERMINACIÓ DEL TIPUS 1   
La indeterminació, en aquest cas, es resol emprant la següent igualtat: 
( )
( ) ( ) ( )lim 1
lim x a
g x f xg x
x a
f x e →
−  
→
= 
On a ∈ ℝ ∪ {±∞}. 
 
INDETERMINACIÓ DEL TIPUS 0 00 o    
Aquests dos tipus d’indeterminacions es poden resoldre aplicant la següent fórmula: 
( )
( ) ( ) ( )lim log
lim x a
g x f xg x
x a
f x e →
→
= 
On a ∈ ℝ ∪ {±∞} i log ln= . 
 
Suggeriment: 
Abans de fer la resolució d’indeterminacions cal fer una valoració i anàlisi del límit que volem 
calcular: 
ipri 
 
11 
Unitat 1: Límits 
0 0
0
lim lim
0x x
x x
x→ →
 
= = 
  x 0
lim1 1
x→
= = 
Realment caldria resoldre la indeterminació? La resposta ha de ser no, donat que 1
x
x
= i, per tant 
0 0
lim lim1 1
x x
x
x→ →
= =
 
Què ha passat? Hem vist la paraula límit i, sense pensar, hem substituït i hem resolt la 
indeterminació. 
 
Un altre exemple més: 
lim 1 1x
x

→+
 =   
I, ara resolem la indeterminació? Si tenim en compte que 1 1x = ja tenim resolt el límit que ens 
demanaven: 
lim 1 lim 1 1x
x x→+ →+
= = 
 
Per tant, el suggeriment és que abans de començar a calcular el límit, has de simplificar tot el que 
pugues la funció i, després, faces els càlculs que calga per a calcular-ho. 
 
Exercicis: 
2. Calcula els següents límits, resolent la corresponent indeterminació, qua aquesta hi 
aparega: 
1) 
3
5
lim
3x
x
x→
+
−
 2) ( )2lim 5 2
x
x x
→+
 + − +
 
 
3) 
2
22
2 8
lim
2x
x
x x→−
−
+ −
 4) 
4
3
lim
2x x→− −
 
5) 
4 2
4
3 2 5
lim
4 7x
x x
x→+
− + −
−
 6) 
2
2
2
3
lim
1
x
x
x
x→+
 +
 
− 
 
 
3. Calcula els següents límits: 
1) 
2
3
1
lim
1x
x
x→+
−
−
 2) 
2
3
6 9
lim
3x
x x
x→ +
+ −
−
 
3) 
3
2
6
lim
3 2x
x x
x x→+
− +
+ +
 4) 
2
20
2 6 3
lim
2 5x
x x
x x→
+ −
+
 
5) 
3
2
1
lim
1x
x
x→+
−
+
 6) 
2
21
2 3
lim
5 4x
x x
x x→ −
− +
− +
 
ipri 
 
12 
Unitat 1: Límits 
7) 
2
31
1
lim
1x
x
x→
−
−
 8) ( )lim 2 2x x x→+ + − − 
9) 
2
3 22
6
lim
3 2x
x x
x x x→−
− +
+ +
 10) ( )2lim 1
x
x x x
→+
+ + − 
11) 
2
22
5 6
lim
4 4x
x x
x x→
− +
− +
 12) ( )2 2lim 2 1
x
x x x
→+
− − + 
13) 
1
1
lim
1x
x
x→
−
−
 14) 
3 2
5 1
lim
5 1
x
x
x
x
+
→+
+ 
 
− 
 
15) 
0
2 4
lim
x
x
x→
− −
 16) 
3
3 1
21
1
lim
1
x
x
x
x
−
→
 +
 
+ 
 
17) 
0
lim
1 1x
x
x x→ + − −
 
18) 
2 1
2 1
2
2 1
lim
x
x
x
x x
x
+
−
→+
 + +
 
 
 
 
4. Calcula els següents límits: 
1) 
2 2
22
4 4
lim
1 2x
x x
x x x→
 − +
 
+ − 
 2) 
21
2 5
lim
1 1x
x x
x x→
+ + 
− 
− − 
 
3) ( )
3
2
2
lim 1 x
x
x −
→
− 
4) 
2 1
2
2
3 5
lim
3
x
x
x
x x
−
→+
 −
 
+ 
 
5) ( )( )2lim 4 5 2 3
x
x x
→+
− − − 6) 
2
2 4
lim
2x
x
x→ +
−
−
 
7) 
2
21
2 2
lim
2 1x
x
x x→ −
−
− +
 8) 
2
1
1
lim
3 3x
x
x→
−
+ −
 
9) lim
1x
x x
x→+
+
+
 10) 
2 1
1
4
lim
4
x
x
x
x
x
−
→
 +
 
+ 
 
11) 
1
1
1
1
lim
2
x
x
x
x
x
−
−
→
+ 
 
+ 
 12) 
2
2
5 3
lim
7 3x
x
x→
+ −
+ −
 
 
5. Calcula els següents límits, resolent la corresponent indeterminació, quan aquesta hi 
aparega: 
ipri 
 
13 
Unitat 1: Límits 
a) 
2
20
2
lim
5x
x
x→ +
 b) 
2
3
2 4 6
lim
3 6x
x x
x→
− −
− +
 
c) 
3
2
8
lim
2x
x
x→
−
−
 d) 
21
1
lim
1x
x
x→
−
−
 
e) 
3 2
21
3 3
lim
2 2 4x
x x x
x x→−
+ − −
− −
 f) 
2 1
2
2
2 1
lim
x x
x
x
x x
+ −
→+
 +
 
+ 
 
g) 
( )
22
3 1
lim
2x
x
x→
−
−
 h) 
2 21 1
lim
x
x x
x→+
+ − −
 
i) 
( )
2
22
6
lim
2x
x x
x x→
− − +
−
 j) ( )lim 2
x
x x x
→+
+ − 
k) 
22
2 6 4
lim
2 4x
x x
x x→
+ + 
− 
− − 
 l) 
1
2
lim
1x
x x
x→−
+ +
+
 
m) 
2
21
3 2
lim
1 3x
x x x
x x→
 + + −
 
− − 
 n) 
0
lim
1 1x
x
x→ − +
 
o) 
2 1
2 1
1
2
2 1
lim
2 2
x
x
x
x
x
−
−
→
+ 
 
+ 
 p) 
1
1
lim
x
x
x x
→
−
−
 
 
6. Determina, si existeixen, les asímptotes de cadascuna de les següents funcions: 
a) ( ) 2 1
x
f x
x
=
−
 b) ( )
2
2
x
g x
x
=
+
 
c) ( )
2
2
4
4
x
h x
x
−
=
+
 d) ( )
3 2
2
2 4
2 1
x x
i x
x
−
=
−
 
e) ( )
3
3
2 3
9
x
j x
x x
+
=
−
 f) ( )
3 2
2
2
3 4
x x
k x
x x
+ −
=
− −
 
 
 
 
 
 
ipri 
 
14 
Unitat 1: Límits 
 
ipri 
 
15 
Unitat 2: Continuïtat 
 
Unitat 2: 
CONTINUÏTAT 
 
1. CONCEPTE DE FUNCIÓ CONTÍNUA 
 
1.1. Definicions 
Definició: 
Una funció ( )y f x= , que suposarem definida en un entorn de a , és contínua en a , quan 
 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), tal que si E f a E a x E a f x E f a     (definició topològica) 
 
O, de forma equivalent: 
 
f contínua en 0, 0a      (que depèn de  i de a ( ) ( ): si x a f x f a −   −  
(definició mètrica o  − ). 
 
a − a +a
( )f a −
( )f a +
( )f a
x
y
 
 
Definició/Caracterització: 
Si f està definida en un interval1 A , es té la següent caracterització, que també es sol fer servir 
com a definició: 
 
f és contínua en a A  ( ) ( )lim
x a
f x f a
→
= (definició convergent) (1) 
 
Aclariments: 
• Per tal que una funció siga contínua en un punt, aquest punt ha de pertànyer al 
seu domini de definició. En un altre cas, no té sentit parlar de continuïtat. 
No té sentit dir que la funció 
1
y
x
= no és contínua en 0x = , donat que 
aquest punt no pertany al seu domini. 
 
• La condició (1) de continuïtat implica: 
 
1 Si A no és un interval, aleshores cal exigir que 'a A A  . 
ipri 
 
16 
Unitat 2: Continuïtat 
o ( )f a 
o ( )lim
x a
f x
→
 
o Aquests valors coincideixen: ( ) ( )lim
x a
f x f a
→
= 
 
Una funció és contínua quan ho és en tots els punts del seu domini de definició. 
 
Una funció és contínua per la dreta en un punt si existeix límit per la dreta en ell i coincideix amb 
el valor que pren la funció en aquest punt: 
( ) ( ) contínua en per la dreta lim
x a
f x a f x f a
→ +
=  = 
 
Una funció és contínua per l’esquerra en un punt si existeix límit per l’esquerra i coincideix amb el 
valor que pren la funció en aquest punt: 
( ) ( ) contínua en per l'esquerra lim
x a
f x a f x f a
→ −
=  = 
 
Caracterització: 
Una funció és contínua en un punt quan és contínua per l’esquerra i per la dreta en aquest punt: 
 
𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎 ⇔ 𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑝𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑖 𝑝𝑒𝑟 𝑙′𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑟𝑎𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎 
 
 
Definició: 
Una funció és contínua en  ,a b quan: 
(1) Siga contínua en l’interval obert ( ),a b 
(2) Siga contínuaper la dreta en a 
(3) Siga contínua per l’esquerra en b 
 
No sol ser una tasca fàcil demostrar que una funció donada és contínua, encara que ens ho puga 
semblar. Generalment, el que es fa és descompondre la funció que volem estudiar en altres més 
senzilles de les que coneixem la continuïtat prèviament. És per aquesta raó que és interessant saber 
quin tipus d’operacions realitzades amb funcions contínues ens porten a noves funcions contínues. 
 
1.2. Aplicació: estudi de la continuïtat emprant la definició  − 
(1) Demostrem la continuïtat de la funció ( ) 2 en 3f x x x= = , emprant la definició mètrica. 
En primer lloc, anem a demostrar, aplicant la definició de límit, que 
2
3
lim 9
x
x
→
= . 
Donat 0  , hem de determinar un 0  tal que, si 3x −  , aleshores 2 9x −  . 
Com un punt pròxim a 3 es pot escriure de la forma 𝑥 = 3 + ℎ 𝑎𝑚𝑏 ℎ ≠ 0, es té que 
( )
2 23 9 6 6 7h h h h h h+ − = + = +  
sempre que 1h  . 
ipri 
 
17 
Unitat 2: Continuïtat 
Per tant, prenent 
7
h

 = si 1
7

 o 1h = = si 1
7

 , es té que ( )
2
3 9h + −  , i, com a 
conseqüència,𝑓(𝑥) = 𝑥2 é𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 3. 
 
(2) Estudiem la continuïtat de la funció 𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑒𝑛 𝑎 ∈ ℝ. Si 0 1  i x a −  , aleshores, 
( )2 2 2 2 1x a x a x a x a x a a x a x− = − + = − − +  − + 
I prenent 
min 1,
2 1a


 
=   + 
 
És té que ( )2 2 2 1x a x −  +  , sempre que x a −  i, com a conseqüència, f és contínua en 
𝑎 ∈ ℝ. 
 
(3) Estudiem la continuïtat de la funció ( )
2 1sen si 0
0 si 0
x x
f x x
x
  
  
=  
 =
 en 0x = . 
 Siga 0  . Com 
( ) ( ) ( ) 20 f x f f x x x− =    
I volem que siga menor que  , prenem  = . Aleshores, 0x −  implica 2 2x   = , i així, 
( ) ( )0 0x f x f −   −  
És a dir, f és contínua en 0x = . 
 
1.3. Aplicació: continuïtat en punts aïllats i en punts d’acumulació 
Es diu que 𝑎 ∈ 𝐴 ⊆ ℝ és un punt aïllat, si 0  tal que ( )  ,a a A a − +  = . 
 
Una funció 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ → ℝ és contínua en tots els punts aïllats de A. 
 Demostració: 
Si a∈ 𝐴 ∖ 𝐴′( 𝑎 é𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡 𝑎ï𝑙𝑙𝑎𝑡 𝑑𝑒 𝐴), 0  (per definició de punt aïllat) tal que 
( )  ,a a A a − +  = , aleshores donat 0  , per a cada x A amb x a −  , es té que 
,x a= i, com a conseqüència, ( ) ( ) 0f x f a − =  . És a dir, f és contínua en a. 
 
Un punt a A és un punt d’acumulació de A , i escriurem 'a A , si ( )*E a es té que 
( )*E a D  . 
 
Criteri pràctic: sempre que existisca un interval obert de centre a contingut en A es tindrà que 
'a A . 
 
Siga 𝑓: 𝐴 ⊆ ℝ → ℝ una funció i 'a A A  . Són equivalents: 
i) f és contínua en a 
ii) ( ) ( )lim
x a
f x f a
→
= 
ipri 
 
18 
Unitat 2: Continuïtat 
Demostració: 
i)  ii) És prou observar que si  nx és una successió de punts de A diferents de a , amb 
 nx a→ , la continuïtat de en f a ens garanteix que ( )  ( )nf x f a→ . 
ii)  i) Donat 0  , emprant (ii) aconseguim un 0  tal que si 𝑥 ∈ 𝐴 𝑖 𝑜 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿, 
es té que ( ) ( )f x f a −  . Ara bé,, si x a= , l’última desigualtat és obvia, doncs aquesta 
desigualtat és certa per a qualsevol x A que verifique x a −  , i, com a conseqüència, 
tenim la continuïtat de en f a . 
 
 
2. OPERACIONS AMB FUNCIONS CONTÍNUES 
 
Si f i g són funcions contínues en el punt a , aleshores: 
• Suma/resta: f+g i f-g són contínues en a 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )lim lim lim
x a x a x a
f g x f x g x f a g a f g a
→ → →
 =  =  =  
 
• Producte: f·g és contínua en a 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )lim lim lim lim
x a x a x a x a
fg x f x g x x g x f a g a fg a
→ → → →
= = = =   
 
• Quocient: 
𝑓
𝑔
é𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑔(𝑎) ≠ 0 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
lim
lim
lim
x a
x a
x a
f x f af f
x a
g g x g a g
→
→
→
   
= = =   
   
 
 
Si s és contínua en a i g és contínua en b= f(a), aleshores: 
 
• Composició: g∘ 𝑓 é𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑎 
Donat 0  , per la continuïtat de g en ( )f a , existeix 0  tal que per a qualsevol ( )Domy g 
amb ( )y f a −  es té que ( ) ( )( )g y g f a −  . Ara, per la continuïtat de f en a , existeix 
0  tal que per a qualsevol ( )Domx f amb x a −  es té que ( ) ( )f x f a −  . Deduïm 
així que ( )( ) ( )( )g f x g f a −  per a qualsevol ( )Domx f amb x a −  . És a dir, la funció 
composta g f és contínua en a . 
 
 
3. CONTINUÏTAT DE LES FUNCIONS ELEMENTALS 
 
Anomenarem “funcions elementals” a les funcions obtingudes en realitzar sumes, productes, 
quocients i composicions de logaritmes, exponencials, potències i funcions trigonomètriques. 
 
• Les funcions polinòmiques, ( ) 11 1 0...
n n
n nf x a x a x a x a
−
−= + + + + , són contínues en tots els 
punts. 
ipri 
 
19 
Unitat 2: Continuïtat 
• Les funcions racionals, ( )
( )
( )
P x
f x
Q x
= , són contínues en el seu domini de definició. 
• La funció exponencial, ( )
f x
y e= , és contínua sempre que ho siga la ( )f x . 
• La funció logarítmica, ( )logy f x= , és continua en qualsevol punt x , tal que ( ) 0f x  i 
( )f x siga contínua. 
• Les funcions trigonomètriques, y= sinx i y=cosx, són sempre contínues. La funció 
tg y x= no és continua quan 𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 𝑎𝑚𝑏 𝑘𝜖ℝ. 
• Les funcions definides a trossos seran contínues si ho són en els seus intervals respectius i 
en els punts d’unió. En aquests punts ( punts d’unió) caldrà verificar que la funció estiga 
definida i que els límits laterals existeixen, són iguals i coincideixen amb el valor de la 
funció en aquest punt. 
 
Exercicis: 
7. Estudia la continuïtat d’aquesta funció segons els valors de a. 
( )
2
2 si 1
2 si 1
x a x
f x
x ax x
+ 
= 
− + 
 
 
8. Calcula a i b per tal que siga contínua la següent funció: 
( )
2 si 1
si 1 3
2 4 si 3
x ax x
f x b x
x x
 +  −

= −  
 + 
 
 
9. Siga ( )
2
4 si
3 si 0
10 si 0
x x c
f x c x
x x x
− − 

= −  
 − 
. Per a quin valor de c la funció f(x)és contínua en 
x=c? 
 
10. Considerem la funció . Determina el valor de b per tal que siga 
contínua. 
 
11. Donada la funció: 
( )
1
0
1
1
4
x b
x
f x
x b x

 
= 
 − 

ipri 
 
20 
Unitat 2: Continuïtat 
( )
2
2
3 si 1
si 1 1
si 1
ax x
f x bx a x
x b x
 +  −

= + −  
 − 
 
Calcula a i b per tal que siga contínua en ℝ. 
 
12. Donada la funció: 
( )
2 si 2 0
si 0 2x
a x x
f x
e a x
 − −  
= 
−  
 
Calcula el valor de a per tal que la funció siga contínua en  2, 2− . 
 
13. Donada la funció: 
( ) 2
2 5 si 1
si 1
x x
f x
x k x
+ 
= 
+ 
 
Determina k per tal que ( )f x siga contínua en x = 1. 
 
14. Calcula a i b per tal que ( )f x siga contínua en x=0 i en x=1: 
( ) 2
si 0
2 si 0 1
si 1
2
xe a x
f x ax x
b
x
x

 + 

= +  

 

 
 
15. Es considera la funció ( ) 2
ln si 0 1
si 1
x x
f x
ax b x
 
= 
+ 
. Determina els valors de a i b per tal 
que ( )f x siga contínua i ( )2 3f = . 
 
16. Calcula el valor de k per tal que la funció ( )f x siga contínua: ( )
1
si 1
1
si 1
x
x
f x x
k x
 −

=  −
 =
 
 
17. Estudia la continuïtat de les següents funcions: 
a) ( ) 2
2 si 1
si 1 1
2 1 si 1
x x
f x x x
x x
 +  −

= −  
 + 
 b) ( )
1
si 1
1
si 1
x
x
g x x
k x
 −

=  −
 =
 
 
4. DISCONTINUÏTATS: CLASSIFICACIÓ 
 
ipri 
 
21 
Unitat 2: Continuïtat 
El criteri és el següent: 
 
Una funció és discontínua en un punt quan no compleix alguna de les tres condicions de la 
definició de funció contínua en un punt. 
 
Definició: 
Classificació de les discontinuïtats en a : 
i) Evitable 
Direms que f presenta una discontinuïtat evitable quan
 ( )
( ) ( )
o
lim
x a
f a
f x f a
→



 
. 
 
ii) No evitable 
ii-1) De primera espècie 
Direm que f presenta una discontinuïtat de salt (finito infinit) quan  ( )lim
x a
f x
→ 
 ( ( ) ( )lim , lim ' y '
x a x a
f x L f x L L L
→ − → +
 =  =  ): 
 Finit ,si L, L′ϵℝ. En aquest cas, el salt és 'L L− . 
 
De salt infinit 
 Si {
𝐿 = ±∞
𝐿′ ∈ ℝ
 o {
𝐿 ∈ ℝ
𝐿′ = ±∞
 
Direm que f presenta una discontinuïtat asimptòtica en a quan ∄ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 
perquè els límits laterals són infinits i diferents 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ±∞ 
 
ii-2) De segona espècie 
Direm que f presenta una discontinuïtat de segona espècie o essencial, quan , 
almenys un dels límits laterals no existisca. 
 
 
𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó
{
 
 
 
 
𝐶𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎
𝐷𝑖𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎
{
 
 
 
 
𝐸𝑣𝑖𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒
𝑁𝑜 𝑒𝑣𝑖𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 {
𝐷𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑝è𝑐𝑖𝑒 {
𝐷𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑡 {
𝐹𝑖𝑛𝑖𝑡
𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡
𝐴𝑠𝑖𝑚𝑝𝑡ò𝑡𝑖𝑐𝑎
𝐷𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑜𝑛𝑎 𝑒𝑠𝑝è𝑐𝑖𝑒
 
 
Exemples: 
(1) La funció f:ℝ → ℝ definida per ( )
si 0
1 si 0
x x
f x
x

= 
=
 presenta una discontinuïtat evitable en 
0x = , ja que ( ) ( ) ( )2
1 1
lim lim 1 2 1 1
x x
f x x f
→− →−
= + =  − = − . 
El valor vertader de f en 0x = és ( )0 0f = . 
 
ipri 
 
22 
Unitat 2: Continuïtat 
(2) La funció f:ℝ → ℝ definida per ( )
2 1 si 1
1 si 1
x x
f x
x
 +  −
= 
− = −
 presenta una discontinuïtat evitable 
en 1x = − , ja que ( ) ( )
0 0
lim lim 0 1 1
x x
f x x f
→ →
= =  = . 
El valor vertader de ( ) en 1 es 1 2f x f= − − = . 
 
(3) La funció “signe de x ”, f:ℝ → ℝ definida per ( )
1 si 0
0 si 0
1 si 0
x
f x x
x


= =
− 
 presenta una 
discontinuïtat de salt finit en 0x = , ja que ( ) ( )
0 0
lim 1 1 lim
x x
f x f x
→ − → +
= −  = . 
 
(4) La funció f:ℝ → ℝ definida per ( )
1 si 0
0 si 0
1 si 0
x
f x x
x


= =
− 
 presenta una discontinuïtat de salt finit 
en 0x = , ja que ( ) ( )
0 0
lim 1 1 lim
x x
f x f x
→ − → +
= −  = . 
 
(5) La funció f:ℝ → ℝ definida per ( )
1
si 0
0 si 0
1 si 0
x
x
f x x
x



= =
− 


 presenta una discontinuïtat de salt 
infinit en 0x = , ja que ( ) ( )
0 0
lim y lim 1
x x
f x f x
→ + → −
= + = − . 
 
(6) La funció ( ) 2
1
f x
x
= presenta una discontinuïtat asimptòtica en x=0, ja que 
( ) ( )
0 0
lim lim
x x
f x f x
→ − → +
= + = 
 
(7) La funció ( )
1
f x
x
= presenta una discontinuïtat asimptòtica en x=0, ja que 
( ) ( )
0 0
lim y lim
x x
f x f x
→ − → +
= − = + 
 
(8) La funció ( ) 2 1f x x= − (amb domini (   ), 1 1,− −  + ) presenta discontinuïtats de segona 
espècie en x=-1 i, en x01, ja que: 
2
12
1
lim 1
lim 1 
x
x
x
x
→− −
→−
−
−
 2
1
lim 1
x
x
→− +



−

 i 
2
12
1
lim 1
lim 1 
x
x
x
x
→ +
→
−
−
 2
1
lim 1
x
x
→ −



−

 
 
(9) La funció f(x)=sin
1
𝑥
 presenta una discontinuïtat essencial en x=0, ja que els límits laterals no 
existeixen. 
 
ipri 
 
23 
Unitat 2: Continuïtat 
(10) La funció 𝑓(𝑥) = {
1
𝑥
 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ℚ 𝑖 𝑥 > 0 
0 𝑠𝑖 𝑥 = 0
1
𝑥
 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝐼 𝑖 𝑥 < 0
presenta una discontinuïtat de segona espècie ( o 
essencial) en x=0, ja que la funció no està acotada i carix de límits laterals en l’origen. 
 
 
5. TEOREMA DE BOLZANO I DE WEIERSTRASS 
 
Teorema de Bolzano2: 
Si f(x) és contínua en [a,b] i en els extrems de l’interval pren valors de signe contrari, aleshores 
  ( ), : 0c a b f c  = .
 
 
Interpretació geomètrica: Si f(a)>0 i f(b)< 0,i es déu dibuixar una corba des del punt 
(a,f(a)) al punt (b,f(b)) sense alçar la llapissera del paper, aquesta corba ha de tallar, almenys 
una vegada, a l’eix OX. 
x
y
a
b
c
( )f a
( )f b
 
 
Exemples: 
1. Demostra que l’equació 2xe x− + = té almenys una solució real. 
La funció ( ) 2xf x e x−= + − és contínua en , per ser suma de funcions contínues, i, en particular, 
és contínua en  0,3 . Com, a més f(0)=3>0 i f(3)<0, aplicant el Teorema de Bolzano, 
( ) ( )0,3 : 0c f c  = , és a dir, ( )0,3 : 2 0cc e x−  + − = ( el que significa que , c és una solució real 
de l’equació inicial). 
 
2. Demostra que existeix almenys un número real x tal que sinx=x 
Considerem la funció f(x)= sinx-x que és contínua en , per ser suma de funcions contínues, i, en 
particular, és contínua en  , − . Com, a més 𝑓(−𝜋) = 𝜋 > 0 𝑖 𝑓(𝜋) = −𝜋 < 0, aplicant el 
Teorema de Bolzano, ( ) ( ), : 0c f c   − = , és a dir,∃𝑐 ∈ (−𝜋, 𝜋) /sin(𝑐) − 𝑐 = 0 
 
2 Bernhard Bolzano: Filòsof, lògic i matemàtic xec nascut a Praga. Després d’ordenar-se sacerdot enseynà filosofia i 
religió en la Universitat, encara que, en 1820, acusat de racionalista, va ser expolsat. El teorema del què parlem és de 
1817,i, com la majoria dels seus resultats van ser redescoberts a finals del s.. 
ipri 
 
24 
Unitat 2: Continuïtat 
( ) ( ), : sen c 0c c   − − = (el que significa que, c és una solució real de l’equació inicial). Com a 
conseqüència, ( ),x    − (que és c ) tal que sinx=x. 
 
3. Com a aplicació del Teorema de Bolzano prova que les funcions ( ) logf x x= i ( ) xg x e−= 
es tallen en un punt. 
Considerem la funció ( ) ( ) ( ) log xh x f x g x x e−= − = − que és contínua en + , per ser diferència de 
funcions contínues, i, en particular, és contínua en  1, 2 . Com, a més f(1)<0 i f(2)>0, aplicant el 
Teorema de Bolzano, ( ) ( )1,2 : 0c h c  = , és a dir, ( )( ),c h c és el punt de tall d’ambdues funcions. 
 
4. Té l’equació 5 3 1x x− = alguna solució compresa entre 1 i 2? 
Considerem la funció ( ) 5 3 1f x x x= − − que és contínua en , per ser una funció polinòmica i, en 
particular, és contínua en  1, 2 . Com a més ( )1 3 0f = −  i ( )2 25 0f =  , aplicant el Teorema de 
Bolzano, ( ) ( )1, 2 : 0c f c  = , és a dir, l’equació donada té una solució en l’interval demanat. 
 
ipri 
 
25 
Unitat 3: Derivades 
Unitat 3: 
DERIVADES 
 
1. TAXA DE VARIACIÓ 
 
Moltes lleis de la Física, la Química, la Biologia o l’Economia, són funcions que relacionen una 
variable “depenent” i amb una altra variable “independent” x, el que solem escriure en la forma 
( )y f x= . Si la variable independent canvia d’un valor inicial a a un altre x, la variable y ho fa de 
de f (a) a f (x). La raó de canvi mitjà (o taxa de variació mitjana) de respecte a x en 
l’interval  ,a x és: 
 
Raó de canvi mitjà= 
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
≡ 𝑇𝑉𝑀[𝑎, 𝑥] 
 
Amb freqüència interessa considerar la raó de canvi en intervals cada vegada més menuts. Això 
mateix, ens porta a definir el que podem anomenar “raó de canvi puntual (o instantània) de 
 respecte a x en el punt a” com a: 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
≡ 𝑇𝑉𝐼(𝑎) 
 
 
2. CONCEPTE DE DERIVADA 
 
Definició: 
Siga f: A⊆ ℝ → ℝ una funció i a∈A∩ 𝐴′. Aleshores, 
 
f és derivable en x = a ⟺ ∃ lim
ℎ→0
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
∈ ℝ 
 
 
o equivalentment, si 
∃ lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
∈ ℝ 
 
 
en aquest límit, si existeix, es representa3 per: 
( )
( )
'
x a
df a df
f a
dx dx =
= = 
 es llig prima en a (derivada de f en a ) 
 es llig derivada de f respecte de x en a 
 
3 La notació va ser introduïda per Leibniz (1646-1716), i s’entén que és un operador, mentre que la 
notació va ser introduïda per Lagrange (1736-1813) i la notació es sol emprar en física, ingeniería… 
( )y f x=
( )y f x=
( )'f a f
( )df a
dx
( )
d
f a
dx
d
dx
( )'f a ( )f a
•
ipri 
 
26 
Unitat 3: Derivades 
Definició: 
2.1. Derivades laterals 
f derivable per l’esquerra en x = a ⟺ ∃𝑓′(𝑎−) = lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
∈ ℝ 
 
 
f derivable per la dreta en x = a ⟺ ∃𝑓′(𝑎+) = lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
∈ ℝ 
 
Caracterització: 
f és derivable en x = a⟺ ∃𝑓′(𝑎+), 𝑓′(𝑎−) 𝑖 𝑓′(𝑎−) = 𝑓′(𝑎−) 
 
2.2. Derivabilitat i continuïtat 
 
Propietat 1: 
Si una funció és derivable en un punt a aleshores és continua en a. 
 
Demostració: 
Si f és derivable en a , de la igualtat 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) 
f x f a
f x f a x a x a
x a
−
= + − 
−
 
Es segueix que ( ) ()lim
x a
f x f a
→
= , és a dir, f és contínua en a . 
C.Q.D. 
 
El recíproc és fals: 
 
Contraexemple: La funció ( )f x x= és contínua en 0 0x = però no és derivable en aquest punt. 
 
Continuïtat en 0 0x = : 
( ) ( )
( )
0 0 0
0
0 0 0
lim lim lim 0
lim 0
lim lim lim 0
x x x
x
x x x
f x x x
x
f x x x
→ − → − → −
→
→ + → + → +
= = − = 

  =
= = = 
 y ( )0 0 0f = = , ( )f x es continua en 0 0x = . 
 
 Derivabilitat en 0 0x = : 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
0 0
0 0
0
' 0 lim lim 1
0
 no existe ' 0
0
' 0 lim lim 1
0
x x
x x
f x f x
f
x x
f
f x f x
f
x x
→ − → −
→ + → +
− −
− = = = − 
−

− + = = =
− 
 i, per tant, y x= no és derivable 
en 0 0x = . 
 
Resumint: 
- f és contínua en 0 
- f no és derivable en 0 
- La gràfica de f no té recta tangent en 0. 
:f D  →
ipri 
 
27 
Unitat 3: Derivades 
 
Un altre contraexemple més: La funció 
1
3 3y x x= = és contínua en 0 0x = però no és derivable 
en aquest punt. 
 
Continuïtat en 0 0x = : 
( ) ( )
1
3
0 0
lim lim 0 0
x x
f x x f
→ →
= = = , per tant, ( )f x és contínua en 0 0x = . 
 
Derivabilitat en 0 0x = : 
( )
( ) ( )
1
3
20 0 0 3
0 0 1 1
' 0 lim lim lim
0 0x x x
f x f x
f
x x x
→ → →
− −  
= = = = = +  −  
( )' 0f , i, per tant, 
1
3y x= no és 
derivable en 0 0x = . 
 
Resumint: 
- f és contínua en 0 
- f no és derivable en 0 
- La gràfica de f té una recta tangent vertical en 0. 
Aquest resultat també es pot emprar en sentit negatiu: 
 
Propietat 1’: 
Si no és contínua en , aleshores no pot ser derivable en aquest punt. 
 
Com a conseqüència, sempre que demanen estudiar la derivabilitat d’una funció, començarem per 
estudiar la seua continuïtat. 
 
Resum: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gràficament les situacions en les que una funció no és derivable en un punt són: 
 
 
 
 
f no és contínua en c 
f no és derivable en c 
 
 
 
 
f a
xc
( )( ),c f c

𝑓 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥0 ⟹ 𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥0 
𝑓 𝑁𝑂 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥0
⟹ 𝑓 𝑁𝑂 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥0 
ipri 
 
28 
Unitat 3: Derivades 
 
f és contínua en c, però la 
gràfica de té una 
recta tangent vertical en 
c no és derivable 
en c 
 
 
 
 
 
 és contínua en c, però la gràfica de 
no té recta tangent en c (ja que té un valor 
màxim) no és derivable en c 
 
Els punts on la gràfica de la funció té aquests punts s’anomenen punts angulosos, i, en ells 
verifica: 
( ) ( )0 0' 'f x f x−  + 
 
2.3. Operacions amb funcions derivables 
Suma 
La funció derivada d’una suma de funcione derivables és la suma de les funcions derivades: 
 
 
 
Demostració: 
( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
' lim lim
h h
f g x h f g x f x h g x h f x g x
f g x
h h→ →
+ + − + + + + − −
+ = = = 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0
lim lim ' '
h h
f x h f x g x h g x
f x g x
h h→ →
+ − + −
= + = + 
 
Producte per un número real 
La funció derivada del producte d’una constant per una funció derivable és la constant per la funció 
derivada de la funció: 
 
 
 
 Demostració: 
( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
0 0
' lim lim
h h
f x h f x f x h f x
f x
h h
   

→ →
+ − + −
= = = 
( ) ( )
( )
0
lim '
h
f x h f x
f x
h
 
→
+ −
= = 
 
Producte de funcions 
La funció derivada d’un producte de funcions derivables és igual a la derivada del primer factor pel 
segon sense derivar més el primer factor sense derivar per la derivada del segon factor: 
( )( ),c f c
xc
f
 f
c
( )( ),c f c
x
f f
 f
( ) ( ) ( ) ( )' ' 'f g x f x g x+ = +
( ) ( ) ( )' 'f x f x = 
ipri 
 
29 
Unitat 3: Derivades 
 
 
 
Demostració: 
( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
' lim lim
h h
f g x h f g x f x h g x h f x g x
f g x
h h→ →
 + −  + + −
 = = = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
lim
h
f x h g x h f x g x h f x g x h f x g x
h→
+ + − + + + −
= = 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
0 0 0 0
lim lim lim lim
h h h h
f x h f x g x h g x
g x h f x
h h→ → → →
+ − + −
= + + = 
( ) ( ) ( ) ( )' 'f x g x f x g x= + 
 
Funció recíproca d’una funció 
La derivada de la funció recíproca d’una funció derivable ve donada per: 
 
 
 
 Demostració: 
( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0
1 11 1
1
' lim lim
h h
x h x
f x h f xf f
x
f h h→ →
   
−+ −    +     = = = 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )0 0
lim lim
h h
f x f x h
f x h f x f x f x h
h h f x f x h→ →
− +
+ − +
= = =
+
 
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
20
'1 1
lim '
h
f x h f x f x
f x
h f x h f x f x f x f x→
− + − −
= = − =
+
 
 
Quocient de funcions 
La funció derivada d’un quocient de funcions derivables és igual al quocient de la derivada del 
numerador pel denominador sense derivar menys el numerador sense derivar per la derivada del 
denominador, entre el denominador al quadrat: 
 
 
 
 Demostració: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
' '1 1
' ' '
g x f x f x g xf
x f x f x x f x
g g g g xg x g x
−   
= = + = − =   
   
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
' 'f x g x f x g x
g x
−
= 
 
Composició de funcions: regla de la cadena 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' 'f g x f x g x f x g x = +
( )
( )
( )
2
'1
'
f x
x
f f x
− 
= 
 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
' '
'
f x g x f x g xf
x
g g x
− 
= 
 
ipri 
 
30 
Unitat 3: Derivades 
Siguen f:A⊆ ℝ → ℝ 𝑖 g: B⊆ ℝ → ℝ funcions reale de variable real amb . Suposem que 
f és derivable en a i que g és derivable en . Aleshores: 
 
 
 
 Demostració: 
Siga h g f= . Cal provar que 
( ) ( )
( ) ( )lim ' '
x a
h x h a
g b f a
x a→
−
=
−
. 
Per hipòtesis, 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )lim lim ' '
y b x a
g y g b f x f a
g b f a
y b x a→ →
− −
=
− −
 
La idea és fer en aquesta igualtat la substitució ( )y f x= . Definim 
( )
( ) ( )
( )
:
'
B
g y g b
y b
y y b
g b y b


→
 −

= −
 =
 
que és una funció contínua. 
Es té que ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑎𝑚𝑏 𝑥 ≠ 𝑎 
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
  1
h x h a f x f a
f x
x a x a

− −
=
− −
 
i com f és contínua en a i 𝜑 és contínua en b=f(a), es segueix que f és contínua en a , per tant 
( )( ) ( )( ) ( ) ( )lim '
x a
f x f a b g b  
→
= = = 
La igualtat [1] ens diu ara que 
( ) ( )
( ) ( )lim ' '
x a
h x h a
g b f a
x a→
−
=
−
 C.Q.D. 
 
 
3. TAULES DE DERIVADES 
 
Com a exemple, calcularem les funcions derivades d’algunes funcions elementals. A la vegada que 
practiquem el càlcul de derivades aplicant la definició, també ho fem servir per a construir la 
coneguda taula de derivades i que, aquesta no aparega per art de màgia. 
 
1) La funció f:ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑐 és derivable en qualsevol punt a ∈ ℝ. La seua derivada ve 
donada per: 
( )
( ) ( )
' lim lim 0
x a x a
f x f a c c
f a
x a x a→ →
− −
= = =
− −
 
 
2) La funció f: ℝ → ℝ, f (x) = x és derivable en qualsevol punt a ∈ℝ. La seua derivada ve 
donada per: 
( )
( ) ( )
' lim lim 1
x a x a
f x f a x a
f a
x a x a→ →
− −
= = =
− −
 
 
( )f A B
( )b f a=
( ) ( ) ( )( ) ( )' ' 'g f a g f a f a=
ipri 
 
31 
Unitat 3: Derivades 
3) La funció f: ℝ → ℝ , f(x) = xn és derivable en qualsevol punt a ∈ℝ. Pera calcular la seua 
derivada emprarem la fórmula del binomi de Newton: 
( )
( ) ( ) ( )
0 0
' lim lim
n n
h h
f a h f a a h a
f a
h h→ →
+ − + −
= = = 
0
0
0
lim
n
h
n
a h
→
 
 
 
=
1 1 0...
1 1
n n n n
n n n
a h ah a h a
n n
− −     + + + + −     
−     
h
= 
1 2 2 1
0
...
2 1
lim
n n n n
h
n n n
na h a h ah ah
n n
h
− − −
→
     
+ + + +     
−     = = 
1 2 2 1
1
0
...
2 1
lim
n n n n
n
h
n n n
h na a h ah ah
n n
na
h
− − − −
−
→
      
+ + + +      
−      = = 
 
4) La funció:[0,+∞) → ℝ, f(x)= √𝑥, és derivable en qualsevol ( )0,a + . La seua derivada 
és: 
( )
( ) ( ) ( )( )
( )( )
' lim lim lim
x a x a x a
x a xaf x f a x a
f a
x a x a x a x a→ → →
− +− −
= = = =
− − − +
 
( ) ( )
( )( )
( )
2 2
lim lim
x a x a
x a x a
x a x a→ →
− −
= =
− − ( )x a− ( )
1 1
lim
2x a x a ax a →
= =
++
 
 
5) La funció exponencial f: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥, és derivable en qualsevol a∈ ℝ. 
( )
( ) ( ) ( )
0 0 0
1
' lim lim lim
a ha h a
a
h h h
e ef a h f a e e
f a e
h h h
+
→ → →
−+ − −
= = = = 
tenint en compte que 
0
1
lim 1
h
h
e
h→
−
= 
 
6) La funció f: ℝ → ℝ , f(x)=sinx, és derivable en qualsevol a∈ ℝ. 
( )
( ) ( ) ( )
0 0
sen sen 
' lim lim
h h
f a h f a a h a
f a
h h→ →
+ − + −
= = = 
0
2cos sen
2 2
lim cos
h
h h
a
a
h→
 
+ 
 = = 
On hem tingut en compte que 
sen sen 2cos sen
2 2
x y x y
x y
+ −
− = 
i que 
ipri 
 
32 
Unitat 3: Derivades 
0
sen
2lim 1
2
h
h
h→
= 
 
7) La funció f: ℝ → ℝ, f(x)=cosx, és derivable en qualsevol a∈ ℝ. La seua funció derivada es 
pot obtindre tenint en compte que cos(x)= sin(
𝜋
2
− 𝑥) ∀𝑥 ∈ ℝ i, aplicant la regla de la 
cadena: 
( )' cosf a a= − 
 
8) La funció 
tg : :
2
 tg 
k k
x x


 
− +  → 
  és derivable en qualsevol punt del seu domini i la 
seua derivada ve donada per: 
( )
( )
2 2
cos cos sen sen sen 1
tg ' '
cos cos cos
x x x xx
x x
x x x
− − 
= = = = 
 
 
2 21 tg secx x= + = 
 
9) La funció loga : (0, +∞) → ℝ és derivable en qualsevol ( )0 0,x  + 
 x⟼ log𝑎 𝑥 
 
La seua funció derivada ve donada per: 
( )
( ) ( ) ( )0 0 0 0
0
0 0
log log
' lim lim
a a
h h
f x h f x x h x
f x
h h→ →
+ − + −
= = = 
0
00 0
0 0 0
0 0
log 1log
1
lim lim lim log 1
aa
a
h h h
hx h
xx x h
h h h x x→ → →
 +
+ 
  = = = + = 
 
 
0 0
0 0
0 0 0 0
1 1
lim log 1 log lim 1
x x
h h
a a
h h
h h
x x x x→ →
 
    = + = + =    
    
 
 
0
0
00 0
1 1 1
log lim 1 log
x
h
a a
h
e
xx x
h
→
 
  
  
= + =  
  
  
 
 
En particular, la funció loge : (0, +∞) → ℝ és derivable en qualsevol 𝑥0 ∈ (0,+∞),i 
 x⟼ log𝑒 𝑥 ≡ 𝑙𝑛𝑥 
la seua derivada ve donada per: 
1
ln' x
x
= 
 
ipri 
 
33 
Unitat 3: Derivades 
Taula de derivades (de funcions simples) 
 
Funció Derivada 
 
 
 
 
 
 
 
 
log lny x x=  
 
 
 
arcsen y x= 2
1
'
1
y
x
=
−
 
arccosy x= 2
1
'
1
y
x
−
=
− 
arctg y x= 2
1
'
1
y
x
=
+
 
 
Exercici: 
18. Calcula la derivada de les següents funcions: 
 1) ( ) 5 3 27 2 3 4f x x x x= − + − 17) ( ) tg sen f x x x= 
 2) ( ) 4 25 3 2 7f x x x x= + + − 18) ( ) cos tg f x x x= 
y c=  ' 0y =
y x= ' 1y =
ny x= 1' ny nx −=
y x=
1
'
2
y
x
=
ny x=
1
1
'
n n
y
n x −
=

 con 0xy a a=  ' lnxy a a=
xy e= '
xy e=
logay x=
1
' logay e
x
=
1
'y
x
=
sen y x= ' cosy x=
cosy x= sen y x=−
tg y x= 2' 1 tgy x= +
ipri 
 
34 
Unitat 3: Derivades 
 3) ( ) ( )( )23 1 5 3 2f x x x x= − + − 19) ( ) tg xf x e x= 
 4) ( )
24 1
7 1
x
f x
x
+
=
+
 20) ( ) 2 lnxf x x= 
 5) ( ) 3
1
f x x x
x
= − + 21) ( ) 10log
xf x e x= 
 6) ( ) ( )( )f x x x x x= − + 22) ( ) 5log cosf x x x= 
 7) ( )
( )( )
2
3 1 2 3
7
x x
f x
x
− +
=
+
 23) ( )
sen 
tg 
x
f x
x
= 
 8) ( ) ( )2
2
5 3 1
5 3
x
f x x x
x
= − +
+
 24) ( )
2
ln
x
f x
x
= 
 9) ( ) 5 3 5
1
f x x x x
x
= + + + 25) ( )
2
ln
x
f x
x
= 
 10) ( )
( ) ( )
2 2
2
3 1 3 1
2
x x
f x
x
− − +
=
−
 26) ( ) sen cosf x x x= 
 11) ( ) 2
1
3 5 2
f x
x x
=
− +
 27) ( ) sen sen xf x x e x= + 
 12) ( ) ( )2
1
3 2
5 3
f x x x
x
= − +
−
 28) ( )
cos
sen cos
x
f x
x x
=
+
 
 13) ( ) ( )2 3 sen f x x x x= + 29) ( ) 3 sen 
2
x
x
x
f x
x e
=
+
 
 14) ( ) 3xf x = 30) ( ) 5 7log logf x x x= 
 15) ( )
 tg 
1
x x
f x
x
=
+
 31) ( ) sen xf x e x= 
 16) ( )
( )2 3 2 sen 
1 tg 
x x x
f x
x
− +
=
+
 32) ( ) 5xf x = 
 
Aplicant la regla de la cadena, obtenim la següent taula de derivades per a funcions compostes: 
 
 
Taula de derivades, per a funcions compostes 
 
 
Funció Derivada 
 
 
 
( )
n
y f x= ( ) ( )
1
' '
n
y n f x f x
−
=  
( )y f x=
( )
( )
'
'
2
f x
y
f x
=

( )ny f x=
( )
( )
1
'
'
n
n
f x
y
n f x
−
=

ipri 
 
35 
Unitat 3: Derivades 
 
 
 
 
 
 ( ) ( )' ' seny f x f x= −  
 
( )arcsen y f x=
 
( )
( )
2
'
'
1
f x
y
f x
=
−
 
( )arccosy f x=
 
( )
( )
2
'
'
1
f x
y
f x
−
=
−
 
( )arctg y f x=
 
( )
( )
2
'
'
1
f x
y
f x
=
+ 
 
 
Exercicis: 
19. Calcula la derivada de les següents funcions: 
 1) ( ) ( )2sen 2 3f x x x= − 13) ( ) ( )
5
2 1f x x= + 
 2) ( ) ( )ln 3 1f x x= + 14) ( ) 3senf x x= 
 3) ( ) 5xf x e= 15) ( ) ( )3sen f x x= 
 4) ( ) ( )tg 2 3f x x= − 16) ( ) 2 2sen cosf x x x= 
5) ( ) ( )
7
2 5 2f x x x= − + 17) ( )
( )
( )
sen 5 2
cos 3 1
x
f x
x
+
=
−
 
 6) ( ) en s xf x e= 18) ( ) sen cosxf x e x= 
 7) ( ) 1 sen cos3 x xf x + += 19) ( ) ( )5log 3 1f x x= + 
 8) ( ) ( )7log 4 sen f x x= + 20) ( ) ( )ln tg f x x= 
 9) ( ) 2senf x x= 21) ( ) ( )( )sen cos 3f x x= 
 10) ( ) 3tgf x x= 22) ( ) 25 3 2f x x x= − + 
 11) ( )
2 23 sen xf x x+= 23) ( ) ( )
2
23 3 2f x x= − 
( )
 con 0
f x
y a a=  ( ) ( )' ' ln
f x
y f x a a=  
( )f x
y e= ( ) ( )' ' f xy f x e= 
( )logay f x=
( )
( )
'
' loga
f x
y e
f x
= 
( )lny f x=
( )
( )
'
'
f x
y
f x
=
( )sen y f x= ( ) ( )' ' cosy f x f x= 
( )cosy f x=
( )tg y f x= ( ) ( )2' ' 1 tgy f x f x =  + 
ipri 
 
36 
Unitat 3: Derivades 
 12) ( ) ( ) ( )23 2 sen 5f x x x= − 24) ( ) 24 3 1f x x x= − + 
 
20. Calcula la derivada de les següents funcions: 
1) 
2
2
3
3
x
y
x
−
=
+
 14) 2seny x= 
2) 
2
31
1
x
y
x
− 
=  
+ 
 15) 2seny x= 
3) 
ln x
y
x
= 16) ( )2arctg 1y x= + 
4) 3 1xy = + 17) 2
1
log logy
x
 
=  
 
 
5) ( )
2
3 5 3y x= − 18) 2logy x= 
6) 
x x
x x
e e
y
e e
−
−
+
=
−
 19) 2 2seny x= 
7) 
3 23y x= 20) ( )5 2cos 7y x= 
8) 
22
2
x
y
x
= + 21) 
1
arctgy
x
= 
9) 7 xy e−= 22) ( )ln 2 1y x= − 
10) sen cosy x x=  23) 
2
arcsen
3
x
y = 
11) 
1
sen
y
x
= 24) 
2
tg
2
x
y = 
12) ( )2ln 1y x= + 25) arctg
3
x
y = 
13) ( )
7
2 3y x=  − 26) tgy x= 
 
21. Calcula la derivada de les següents funcions: 
a) ( )2ln 1y x= − 
b) arccos 2y x= 
c) ln 1y x= − 
d) 4xy e= 
e) ( )
2
arctgy x= 
f) ( )3log 7 2y x= + 
g) 
3
ln tgy
x
 
=  
 
 
i) 
2 1
2
x
xy
−
= 
j) 
1
arcsen
1
x
y
x
+
=
−
 
k) 
2tgy x= 
l) 3
2
2
x
y
x
−
=
+
 
m) 
2
arctg
1
x
y
x
=
−
 
n) ( )3 25 tg 3 1y x=  + 
ipri 
 
37 
Unitat 3: Derivades 
h) 
1
ln lny
x
 
=  
  
 
 
 
4. INTERPRETACIÓ GEOMÈTRICA DE LA DERIVADA 
 
Si és contínua en , la recta tangent a la gràfica de en el punt és: 
i) la recta que passa per i té pendent si aquest límit 
existeix, és a dir, és un número real. 
ii) la recta si 
 
Aclaració: aquesta definició prove del fet que la recta tangent a una funció en un punt és el 
límit de la recta secant a la funció, quan l’altre punt de tall de la recta secant i la funció tendeix a 
 
Siga una funció contínua i 
 
dos punts de la seua gràfica. Geomètricament es té que 
 
 
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
= 𝑡𝑔𝛼 = 𝑚𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑠 
 
 
que és el valor que mesura el pendent de la recta secant en els 
punts P i Q a la corba. 
 
Prenent límits en la igualtat anterior resulta: 
 
lim
ℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
= lim
ℎ→𝑜
𝑡𝑔𝛼 = lim
ℎ→0
𝑚𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑠 ⇔ 𝑓
′(𝑎) = 𝑡𝑔𝛼 =𝑚𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡 
 
és a dir, la derivada d’una funció en un punt és igual al pendent de la recta tangent a la funció en 
eixe punt. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com a conseqüència: 
 Equació de la recta tangent a la corba : 
 
 
f
0x f( )( )0 0,P x f x
P ( )
( ) ( )0 0
0
0
lim
x
f x x f x
m x
x →
+ −
=

0x x=
( ) ( )0 0
0
lim
x
f x x f x
x →
+ −
=

0x
0x
:f D  →
( )( ) ( )( ), , ,P a f a Q a h f a h= = + +
( ) ( )( ) en ,y f x a f a=
( ) ( )( )'y f a f a x a− = −
( )y f x=
a
( )f a
x
y
P
a h+

A
Q
Q
T
an
g
en
te Secantes
( )f a h+
0h →
( ) ( ) ( )'y f a f a x a− = −
( )y f x=
a
( )f a
x
y
P
ipri 
 
38 
Unitat 3: Derivades 
 
 Equació de la recta normal a la corba : 
 
 
 
 
5. INTERPRETACIÓ FÍSICA DE LA DERIVADA 
 
Si ( )x t és la posició d’un mòbil en el instant de temps t , la velocitat mitjana en l’interval de temps 
 ,t t h+ ve donada per 
 ( )
( ) ( )
,m
x t h x t
v t t h
h
+ −
+ = 
i la velocitat instantània en l’instant t s’obté prenent límits, quan 0h→ , en l’expressió anterior: 
( )
( ) ( )
( )
0
lim '
h
x t h x t
v t x t
h→
+ −
= = 
 
A més, la derivada de la velocitat és l’acceleració: 
( ) ( ) ( )' ''a t v t x t= = 
 
Si l’acceleració és zero, no n’hi ha canvi de velocitat respecte al temps, és a dir, la velocitat és 
constant. En aquest cas, la corba de x en funció de t és una línia recta. Si l’acceleració no és nul·la, 
però constant, la velocitat varia linealment amb el temps i la corba de x en funció de t és quadràtica 
amb el temps. 
 
En general, la derivada de la funció ( )y f x= és el ritme de canvi (velocitat) amb la que varia la 
magnitud y respecte de la magnitud x . 
 
 
6. DERIVADES SUCCESSIVES 
Siga I un interval i una funció derivable en I. Si f’ és derivable en 𝑎 ∈ 𝐼, la derivada 
s’anomena derivada segona de i la notació emprada és . 
 
Si x I  existeix ( )''f x , la funció s’anomena derivada segona de f en I. 
 
En general, definides les funcions , de forma que , per a 
, direm que és la funció derivada k-èssima (o derivada d’orde k) de , que 
també es representa per: ( ))
k
k
k
d f
f x
dx
= 
 
 
 
( ) ( )( ) en ,y f x a f a=
( )
( )
( )
1
'
y f a x a
f a
−
− = −
f ( ) ( )' 'f a
 en f a ( )''f a
( )''x f x
1)',..., :nf f I− → ( )) 1) 'k kf f −=
2,..., 1k n= − )kf en f I
ipri 
 
39 
Unitat 4: Aplicacions de les derivades 
Unitat 4: 
APLICACIONS DE LES DERIVADES 
 
1. ESTUDI GLOBAL I LOCAL DE FUNCIONS 
 
1.1. Monotonia d’una funció 
Recordem que, llevat que, expressament, es diga el contrari, el conjunt D és un interval obert. 
 
Definicions: 
Una funció :f D → és creixent (resp. decreixent) en D quan, per a qualsevols 
en la situació , es verifica que ( ) ( )f x f y (respectivament ( ) ( )f x f y ). 
 
Una funció és estrictament creixent (resp. estrictament decreixent) en D quan, 
per a qualsevols en la situació , es verifica que ( ) ( )f x f y (respectivament 
( ) ( )f x f y ). 
 
Criteri de la derivada primera: 
 Si :f D → é𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝐷 𝑖: 
𝑓′(𝑥0) {
> 0 ∀𝑥0 ∈ 𝐷 ⟹ 𝑓 é𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑟𝑒𝑖𝑥𝑒𝑛𝑡 𝑒𝑛 𝐷
< 0 ∀𝑥0 ∈ 𝐷 ⟹ 𝑓 é𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑖𝑥𝑒𝑛𝑡 𝑒𝑛 𝐷
 
 
Definicions: 
Direm que una funció és monòtona, quan siga creixent o decreixent i, estrictament monòtona, 
quan siga estrictament monòtona quan siga estrictament creixent o estrictament decreixent. 
 
Per tant, estudiar la monotonia d’una funció és estudiar el signe de . 
 
Exercici: 
22. Estudia la monotonia de les següents funcions: 
a) ( )
2
2 1
x
f x
x
=
−
 c) ( )
2 4
1
x
f x
x
−
=
+
 
b) ( ) 2 9
x
f x
x
=
−
 d) ( ) 2ln 1f x x= + 
 
1.2. Extrems relatius (extrems locals o punts crítics) 
Definició: 
Es diu que :f D → té un màxim (resp. mínim) relatiu en si 
 (resp. ). 
Les coordenades del màxim (resp. mínim) relatiu són ( )( )0 0,x f x . 
 
x, yD
x  y
:f D  →
x, yD x  y
'f
0x ( )0 :E x
( ) ( ) ( )0 0x E x f x f x   ( ) ( )0f x f x
ipri 
 
40 
Unitat 4: Aplicacions de les derivades 
Condició necessària per a l’existència d’extrems relatius en funcions derivables: 
Siga :f D → una funció derivable en i suposem que f té un extrem relatiu en . 
Aleshores: ( )0' 0f x = 
 
Contraexemple: El recíproc no és cert. 
La funció és derivable i, no obstant això, , no té un extrem relatiu en l’origen, 
donat que sempre és creixent. 
 
Condició necessària i suficient per tal que una funció derivable tinga un extrem relatiu en 
un punt: 
Siga :f D → una funció dues vegades derivable en i, suposem que: 
 1) ( )0' 0f x = 
 2) ( )0'' 0f x  
Aleshores, té un extrem relatiu en , que és un{
𝑚à𝑥𝑖𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑢 𝑠𝑖 𝑓′′(𝑥0) < 0
𝑚í𝑛𝑖𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑢 𝑠𝑖 𝑓′′(𝑥0) > 0
 
 
Exercici: 
23. Calcula, si ne té, els extrems relatius de les funcions de l’exercici anterior. 
 
Aquest criteri ens resultarà útil en la majoria dels casos, però n’hi ha un altre, més general, que és 
important conèixer: 
Criteri general: 
Siga :f D → una funció ( )1n − − vegades derivable en i suposem que 
 1) ( ) ( ) ( ) ( )1)0 0 0 0' '' ''' ... 0
nf x f x f x f x−= = = = = 
 2) ( )) 0 0
nf x  
Aleshores, si n és parell, presenta un extrem relatiu en , que és un 
{
𝑚à𝑥𝑖𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑢 𝑠𝑖 𝑓𝑛)(𝑥0) < 0
𝑚í𝑛𝑖𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑢 𝑠𝑖 𝑓𝑛)(𝑥0) > 0
 
I, si n és senar ( imparell). Aleshores, f no té un extrem relatiu en el punt 0x . 
 
1.3. Curvatura d’una funció: punts d’inflexió 
1.3.1. Definición no rigurosa de convexidad 
Una figura o regió del pla és convexa si, en triar dos punts qualsevols d’ella, el segment que els 
uneix està completament inclòs en la figura. En cas contrari es diu que la figura o regió és còncava. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0x 0x
( ) 3f x x= ( )' 0 0f =
0x
( )f x 0x
0x
( )f x 0x
Polígon convex 
 
Polígon cóncau 
ipri 
 
41 
Unitat 4: Aplicacions de les derivades 
Definició: 
Una funció és convexa4 en un interval si la tangent a la funció en qualsevol punt de l’interval 
roman per baix de la gràfica; si està per damunt, es dirà que la funció és còncava. 
Els punts on la tangent a la gràfica creua a la funció, s’anomenen punts d’inflexió. 
 
1.3.2. Ampliació: definició de funció convexa 
Una funció :f D → és convexa en D sii ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐷 𝑎𝑚𝑏 𝑎 < 𝑏 es té que 
( )( ) ( ) ( )  1 1 0,1f ta t b f t a f t b t+ −  + −   
 
Una funció :f D → és còncava en D sii f− és convexa en D . 
 
Exemples: 
Anem a demostrar que les funcions 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑔(𝑥) = |𝑥|∀𝑥 ∈ ℝ i les funcions afins són 
convexes. 
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ∀𝑥 ∈ ℝ 
 
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ i 0≤ 𝑡 ≤ 1 es té que: 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 22 21 1 1 1 1 0f tx t y tf x t f y tx t y tx t y t t x y+ − − − − = + − − − − = − − −   
 ( )( ) ( ) ( )  1 1 0,1f ta t b f t a f t b t f+ −  + −    és convexa en ℝ 
 
2) 𝑔(𝑥) = |𝑥|∀𝑥 ∈ ℝ 
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ i 0≤ 𝑡 ≤ 1 es té que: 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 tg 1g tx t y tx t y tx t y t x t y x t g y+ − = + −  + − = + − = + −  
 g es convexa en ℝ 
 
3) h(x)= mx+n ∀𝑥 ∈ ℝ, ∀ 𝑚, 𝑛 ∈ ℝ 𝑎𝑚𝑏 𝑚 ≠ 0 
∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ i 0≤ 𝑡 ≤ 1 es té que: 
 
( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1h tx t y m tx t y n t mx n t my n th x t h y+ − = + − + = + + − + = + −  
 h es convexa en ℝ 
 
1.3.3. Criteri de la derivada segona 
Criteri per a estudiar la curvatura d’una funció: 
Siga :f D → una funció dues vegades derivable en D . 
 
 
𝑆𝑖 𝑓′′(𝑥0) {
> 0 ∀𝑥0 ∈ 𝐷 ⟹ 𝑓 é𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑎 𝑒𝑛 𝐷
< 0 ∀𝑥0 ∈ 𝐷 ⟹ 𝑓 é𝑠 𝑐ò𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 𝑒𝑛 𝐷
 
 
 
Criteri per a estudiar els punts d’inflexió d’una funció: 
 
4 ¡Atenció!! En consultar la bibliografia, és possible trobar llibres on anomen funció còncava al que nosaltres 
anomenem funció convexa. El que importa és el seu significat, no el nom que li donen. No obstant això, no he trobat 
cap llibre de text que no siga de batxillerat on la funció siga còncava. 
2y x=
ipri 
 
42 
Unitat 4: Aplicacions de les derivades 
Definició: 
Els punts on una funció passa de còncava a convexa o de convexa a còncava s’anomenen punts 
d’inflexió. 
Si 0x