Exercício de Fixação - Pesquisa Operacional 2-3

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Pergunta 1 0 / 0
A modelagem matemática de problemas faz parte da vida de inúmeros profissionais. Um analista financeiro, ao modelar 
um problema, deparou-se com um sistema de equações lineares com mequações e n incógnitas, e ele chamou a matriz 
dos coeficientes de M. Ao analisar o sistema, o analista verificou que o posto da matriz ampliada do sistema p(Au) era 
igual ao posto da matriz dos coeficientes p(M) e que os dois possuem valor equivalente ao número de incógnitas do 
sistema. Considere que o modelo construído pelo analista esteja correto.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre escalonamento de sistemas lineares e posto de 
matrizes, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) O sistema é possível.
II. ( ) O sistema de equações lineares modelado admite uma única solução. 
III. ( ) O sistema possui variáveis livres.
IV. ( ) O sistema é impossível, porque os postos das matrizes ampliada e dos coeficientes são iguais.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Resposta correta
I e II.
III e IV.
I, II e III.
Incorreta: 
I e III.
II, III e IV.
Comentários
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Comentários
Justificativa: A afirmativa I está correta, porque se os postos da matriz dos coeficientes e da matriz ampliada do 
sistema são iguais, o sistema tem solução, ou seja, é possível. A afirmativa II está correta, porque 
p(matrizdoscoeficientes)=p(Aumentada)=n. A afirmativa III é incorreta, porque como p(A)=p(Au)=n, não há variável 
livre. A afirmativa IV está incorreta, porque o sistema é possível, já que os postos da matriz dos coeficientes e da 
matriz ampliada do sistema são iguais.
Pergunta 2 0 / 0
Para entender o que são sistemas de equações lineares equivalentes, antes precisamos conhecer o que são matrizes 
equivalentes e aplicar esse conceito à matriz aumentada que podemos associar a cada sistema de equações lineares.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre sistemas lineares, analise as asserções a seguir e a 
relação proposta entre elas:
I. Quando temos um sistema linear, podemos associar a ele uma matriz aumentada, e por meio de operações 
elementares sobre suas linhas pode-se obter uma matriz na forma escada, que resolve o sistema.
Porque:
II. Dois sistemas de equações lineares são equivalentes, quando as suas matrizes aumentadas A =[A⋮B]e à =[Ã⋮B˜] 
são equivalentes. Invalid <msub> element 
A seguir, assinale a alternativa correta:
u u
As asserções I e II são proposições falsas.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
Incorreta: 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição 
falsa. 
Resposta correta
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e II é uma justificativa correta da I.
a asserção I é uma proposição falsa, e II é proposição verdadeira. 
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Comentários
Justificativa: A proposição I está correta, porque, ao aplicarmos operações elementares sobre as linhas de uma 
matriz aumentada que representa um sistema linear, obtemos uma matriz equivalente a ela (Método de Gauss), e 
essa matriz, por estar na forma escalonada, retorna uma solução para o sistema. A proposição II está correta e 
justifica a primeira, pois o fato de matrizes equivalentes representarem sistemas equivalentes permite que a matriz 
na forma escada – equivalente a matriz aumentada do sistema original – entregue a mesma solução para o sistema 
(pois são equivalentes os sistemas associados a essas duas matrizes).
Pergunta 3 0 / 0
Quando temos um problema real, o qual já identificamos que pode ser representado por um sistema de equações 
lineares, seguimos alguns passos para chegar à solução desse problema. Não há uma definição desses passos, que 
são práticos, mas ocorrem em uma certa sequência.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre sistemas de equações lineares, ordene os 
procedimentos a seguir de acordo com a sequência em que ocorrem durante a resolução de um sistema linear:
( ) Aplicação de um método de resolução de sistema linear.
( ) Representação do sistema linear em forma matricial.
( ) Representação do problema real em linguagem matemática (sistema linear).
( ) Obtenção da solução do sistema linear.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Resposta correta
3, 2, 1, 4. 
3, 1, 2, 4.
 2, 3, 1, 4.
Incorreta: 
1, 2, 4, 3.
1, 2, 4, 3.
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Comentários
Justificativa: Se já foi identificado que o problema real pode ser representado por um sistema linear, para resolver 
esse sistema temos que, sequencialmente: representar o problema real em linguagem matemática (por um sistema 
de equações lineares) (1), em seguida, representamos esse sistema por meio de matriz (2), aplicamos um método 
de resolução (3), e, finalmente, obtemos a solução do sistema linear (4).
Pergunta 4 0 / 0
A discussão de sistemas lineares permite que se identifique quantas soluções um sistema de equações lineares possui, 
mesmo antes de resolver o sistema, a partir de informações sobre o determinante da matriz dos coeficientes do 
sistema.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre os discussão de sistemas lineares, analise as 
afirmativas a seguir:
I. Se o determinante da matriz dos coeficientes de um sistema linear for igual a zero, o sistema possui uma única 
solução.
II. Se o determinante da matriz que representa os coeficientes de um sistema linear for diferente de zero, esse sistema 
pode ter uma única solução.
III. Quando o determinante da matriz que representa os coeficientes de um sistema linear for igual a zero, esse sistema 
não tem solução.
IV. Se um sistema linear possui infinitas soluções, podemos afirmar que o determinante da matriz dos coeficientes é 
diferente de zero.
Está correto apenas o que se afirma em:
I, III e IV.
Resposta correta
 II, III e IV.
III e IV.
Incorreta: 
I e III.
 I e II.
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Justificativa: A proposição I está incorreta, porque, quando o determinante da matriz dos coeficientes de um sistema 
linear é igual a zero, o sistema não tem solução. A proposição II está correta, pois, quando o determinante da matriz 
dos coeficientes de um sistema linear é diferente de zero ele pode ter uma única solução, ou infinitas soluções. A 
proposição III está correta, pois quando o determinante da matriz dos coeficientes de um sistema linear é igual de 
zero ele não tem solução. A proposição IV está correta, porque, se um sistema linear possui infinitas soluções, ou 
uma única solução, o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero.
Pergunta 5 0 / 0
Os sistemas de equações lineares, quando representados na forma escada, podem ser mais facilmente resolvidos. 
Além disso, nessa forma, fica mais fácil perceber se o sistema possui solução, ou não, permitindo a discussão do 
sistema linear.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre escalonamento de Sistemas Lineares, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) O sistema linear 
 está representado na forma escada.
II. ( ) A matriz ampliada 
 representa um sistema linear e está escalonada.
III. ( ) O sistema linear 
 está representado na forma escada.
IV. ( ) A matriz 
 está representada na forma escada.
Está correto apenas o que se afirma em:
Comentários
F, F, V, V.
V, F, V, F.
F, V, F, V.
Resposta correta
a) V, F, F, V.
Incorreta: 
V, V, F, F.
Justificativa: A afirmativa I é verdadeira, porque na primeira equação temos coeficientes para as variáveis ; na 
segunda equação temos coeficientes para as variáveis ; e na terceira equação temos coeficientes para a variável ; o 
que forma uma “escada” no sistema. A afirmativa II é falsa, porque a matriz sequer apresenta zeros, não poderia 
estar na forma escada. A afirmativa III é falsa, porque os coeficientesdas variáveis não estão na forma escada, pois 
temos nas duas primeiras equações. A afirmativa IV é verdadeira, porque abaixo do elemento da matriz há somente 
zeros, abaixo do elemento há somente zero, e a próxima linha (3) é a última linha; formando uma escada com 
elementos da diagonal dessa matriz.
Pergunta 6 0 / 0
Leia o trecho a seguir:
“Esse procedimento para obter a solução simultânea de um sistema de equações lineares é chamado método da 
eliminação de Gauss-Jordan ou, simplesmente, eliminação gaussiana.6 O conceito-chave para esse método é o uso de 
operações algébricas elementares para reduzir o sistema de equações original à forma apropriada da eliminação 
gaussiana em que cada variável básica foi eliminada de todas, exceto uma equação (a sua própria equação) e tem um 
coeficiente +1 nessa equação.” 
Fonte: HILLIER, F. S; LIEBERMAN, G. J. Introdução a pesquisa operacional. 9 ed. São Paulo: McGraw Hill, 2013, p.113.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre escalonamento, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Em uma matriz retangular, na sua forma escalonada por linhas, todas as linhas não-nulas estão acima de qualquer 
linha composta só de zeros.
II. ( ) Uma matriz escalonada por linhas apresenta o primeiro elemento não nulo (pivô) de cada linha em uma coluna à 
direita do pivô da linha acima.
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Comentários
III. ( ) Todos os elementos de uma coluna abaixo de um pivô são zero em uma matriz retangular escalonada por linhas.
IV. A matriz 
 é uma matriz na forma escada.
 
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Incorreta: 
F, V, V, F.
V, V, F, F.
Resposta correta
V, V, V, F.
F, F, F, V. 
V, F, V, F.
Justificativa: A afirmativa I é verdadeira, porque, se a linha de uma matriz escalonada for toda de zeros, ela tem que 
estar abaixo das linhas que possuem elementos diferentes de zero, caso contrário, não teremos a forma escada. A 
afirmativa II é verdadeira, pois, para que se obtenha a forma escada, os degraus são os pivôs (primeiros elementos 
não nulos de cada linha) que devem estar de uma coluna mais à esquerda, na primeira linha, para colunas mais à 
direita a cada linha. A afirmativa III é verdadeira, pois, se algum elemento abaixo de um pivô (na mesma coluna) não 
for igual a zero, a matriz não estará na forma escada. A afirmativa IV é falsa, porque o elemento que está na 
segunda coluna da última linha quebra a forma escada, pois todos os elementos de uma coluna abaixo de um pivô, 
que seria o a =1 devem ser iguais a zero. 12
Pergunta 7 0 / 0
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Comentários
A solução de um sistema de equações lineares consiste em um conjunto de valores que satisfazem, simultaneamente, 
todas as equações do sistema. Se a solução de um sistema 
S for igual a (x ,y ,z ) a solução de um sistema S terá a mesma solução se S e S forem equivalentes.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre sistemas lineares, analise as asserções a seguir e a 
relação proposta entre elas:
I. A solução de um sistema possível e determinado S1 formado por quatro equações e quatro variáveis deve ser uma 
sequência ordenada (x ,y ,z ,w ).
Porque:
II. Quando um sistema de equações lineares tem uma solução única, o determinante da matriz que representa os 
coeficientes do sistema é igual a zero. 
A seguir, assinale a alternativa correta:
1 1 1 1 2 1 2
1 1 1 1
As asserções I e II são proposições falsas.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
Incorreta: 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição 
verdadeira. 
Resposta correta
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
Justificativa: A proposição I está correta, pois se o sistema é possível e determinado ele terá uma solução única que 
podemos representar pela sequência ordenada, ou n−upla, (x ,y ,z ,w ).A proposição II está incorreta, porque, 
quando um sistema é possível e determinado, o determinantes da matriz dos coeficientes deve ser, 
obrigatoriamente, diferente de zero, e não igual a zero, como coloca a proposição. 
1 1 1 1
Pergunta 8 0 / 0
Existem alguns tipos de matrizes, que, por suas características, recebem nomes especiais como matriz linha (formada 
por uma única linha), matriz coluna (formada por uma única coluna), matriz quadrada, matriz inversa, matriz aumentada, 
entre outras.
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Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre sistemas lineares, analise as asserções a seguir e a 
relação proposta entre elas:
I. A matriz 
 não está na forma escada e é uma matriz quadrada de ordem 3. 
Porque:
II. Matrizes quadradas aumentadas possuem o mesmo número de linhas e colunas.
A seguir, assinale a alternativa correta:
Resposta correta
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
Incorreta: 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é 
uma justificativa correta da I.
As asserções I e II são proposições falsas.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e II é uma justificativa correta da I.
a asserção I é uma proposição falsa, e II é proposição verdadeira. 
Justificativa: A proposição I está correta, pois a matriz A possui o mesmo número de linhas e colunas, três, ou seja, 
é uma matriz quadrada de ordem 3; e não está na forma escada, pois podemos observar que abaixo o elemento 
a =1 há elementos diferentes de zero, o que já impede a matriz de ter a forma escada. A proposição II está 
incorreta, pois não existe o conceito de matriz quadrada aumentada. Matriz quadrada é toda aquela que apresenta o 
mesmo número de linhas e colunas, e matriz aumentada é aquela associada a um sistema linear, justapondo à 
direita da matriz dos coeficientes das equações o vetor que representa os termos independentes das equações.
11
Pergunta 9 0 / 0
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Comentários
O determinante de uma matriz, associada aos coeficientes de um sistema de equações lineares, traz informações sobre 
a solução do sistema. Considere que A seja a matriz dos coeficientes do sistema de equações lineares S, conforme 
descrito a seguir: 
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre determinantes e sistemas lineares, analise as 
afirmativas a seguir:
I. O sistema linear S é possível e indeterminado, porque det(A)=0
.II. O sistema linear S é possível e determinado, porque det(A)≠0.
 
III. O sistema linear S tem uma única solução.
IV. O sistema S possui infinitas soluções.
Está correto apenas o que se afirma em:
I e III.
I, III e IV.
Resposta correta
II e III. 
Incorreta: 
I e II.
III e IV.
Justificativa: Calculando o det(A), temos:








1 2
4 − 1
= 1 ∙ ( )− 1 − ( )2 ∙ 4 = − 1− 8= − 9
Como o det(A)≠0 o sistema é possível e determinado. Assim, a afirmativa I está incorreta, porque o sistema é 
determinado, pois o det(A)≠0. 
A afirmativa II está correta, porque o sistema é determinado, já que o cálculo do determinante da matriz A mostra 
que ele é diferente de zero. A afirmativa III está correta, pois quando o determinante é diferente de zero, o sistema 
linear possui uma única solução. A afirmativa IV está incorreta, porque no caso de o determinante ser igual a zero é 
que teríamos infinitas soluções, porém nesse sistema a matriz dos coeficientes apresenta det(A)≠0, e, portanto, uma 
única solução.
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Pergunta 10 0 / 0
Leia o trecho a seguir:
“Esse procedimento para obter a solução simultânea de um sistema de equações lineares é chamado método da 
eliminação de Gauss-Jordan [...]. O conceito-chave para esse método é o uso de operações algébricas elementares 
para reduzir o sistema de equações original à forma apropriada da eliminação gaussiana em que cada variávelbásica 
foi eliminada de todas, exceto uma equação (a sua própria equação) e tem um coeficiente +1 nessa equação.”
Fonte: HILLIER, F.S; LIEBERMAN, G. J. Introdução a pesquisa operacional. 9 ed. São Paulo: McGraw Hill, 2006, p. 113.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre escalonamento, analise as afirmativas a seguir:
I. Os métodos de Gauss e de Gauss-Jordan são iguais.
II. Pelo Método de Gauss-Jordan se obtém a matriz reduzida equivalente à matriz ampliada do sistema linear.
III. A partir da matriz escalonada obtida com a aplicação da eliminação de Gauss, podemos obter a matriz escalonada 
reduzida.
IV. Uma matriz está na forma escalonada reduzida quando foi escalonada, e todos os elementos líder (pivôs) são iguais 
a 1 e são os únicos elementos não nulos das suas colunas.
Está correto apenas o que se afirma em:
I e IV.
Resposta correta
Correta: 
II, III e IV.
I e II. 
I, II e III.
 I, II e IV.
Justificativa: A afirmativa I está incorreta, porque o método de Gauss não exige que o resultado seja uma matriz 
escalonada reduzida, somente escalonada; já o método de Gauss-Jordan leva a uma matriz escalonada reduzida 
(os pivôs são iguais a 1 e todos os outros elementos são iguais a zero). A afirmativa II está correta, porque o Método 
de Gauss-Jordan leva a matriz aumentada do sistema a uma matriz que é equivalente a ela, e ainda na forma 
escada reduzida (se fosse aplicado o Método de Gauss, não necessariamente seria uma matriz escalonada 
reduzida). A afirmativa III está correta, porque se tivermos uma matriz na forma escada (obtida pelo Método de 
Gauss – não necessariamente com pivôs iguais a 1 e os outros elementos iguais a zero) e continuarmos a operar 
sobre as linhas da matriz com objetivo de obter todos os pivôs iguais a 1 e os outros elementos iguais a zero, 
chegaremos a uma matriz escalonada reduzida. A afirmativa IV está correta, porque a definição de matriz 
escalonada reduzida é a de uma matriz em que todos os elementos os pivôs são iguais a 1 e são os únicos 
elementos não nulos das suas colunas.