matematica aplicada estudo de caso

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Descreva a existência de relação entre as progressões geométricas e o desenvolvimento de fractais.
 Os fractais são formas geométricas que apresentam um padrão de repetição em diferentes escalas, ou seja, são auto similares. Eles podem ser gerados por meio de algoritmos matemáticos que aplicam uma regra de transformação em um objeto inicial, produzindo uma cópia reduzida do mesmo. Esse processo pode ser repetido infinitamente, criando formas complexas e irregulares.
 As progressões geométricas são sequências numéricas em que cada termo é obtido pela multiplicação do anterior por uma constante chamada razão. Elas podem ser usadas para modelar situações de crescimento ou decrescimento exponencial, como juros compostos, populações, radioatividade, entre outros.
 A relação entre as progressões geométricas e o desenvolvimento de fractais é que as progressões geométricas podem ser usadas para calcular algumas propriedades dos fractais, como a sua dimensão, área, perímetro e volume. Por exemplo, para calcular a dimensão de um fractal, podemos usar a fórmula:
 
 Onde D é a dimensão do fractal, N é o número de cópias reduzidas que compõem o fractal e r é a razão de redução entre as cópias. Essa fórmula mostra que a dimensão de um fractal é uma progressão geométrica em função da razão de redução.
 Outro exemplo é o cálculo da área do triângulo de Sierpinski, um dos fractais mais conhecidos. O triângulo de Sierpinski é formado pela remoção do triângulo central de um triângulo equilátero e repetindo esse processo nas três partes restantes. A área do triângulo de Sierpinski após n iterações pode ser calculada pela fórmula:
 Onde An​ é a área do triângulo de Sierpinski após n iterações A0​ é a área do triângulo original e 3/4 é a razão de redução da área. Essa fórmula mostra que a área do triângulo de Sierpinski é uma progressão geométrica em função do número de iterações.