EXERCICIO V - CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

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1
A área entre duas funções pode ser determinada pela integração da diferença entre
as duas funções ao longo do intervalo de interesse. Calcule a área delimitada entre as
curvas ,   e  .
A
B
C
D
E
Resposta correta
Gabarito comentado
Desenhando as restrições das curvas, temos:
y = 1/x y = x, y = x/4 x > 0
ln 2 −
3
8
u. a
3
8
u ⋅ a
ln 2 u. a.  
ln 2 +
3
4
u. a
2 ln 2 u. a.  
Exercício - Integrais. AplicaçõesVoltar para desempenho
Índice de questões
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Corretas (2) Incorretas (6) Em branco (0)
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Questão 1 de 8
Gabarito https://aluno.qlabs.com.br/exercicio/5207263/gabarito
1 of 13 04/06/2023, 14:55
 
O intervalo de integração é de 0 a 2, sendo que até o 1, temos curva amarela por
cima e laranja por baixo e a partir daí, temos azul por cima e laranja por baixo,
ou seja:
 
Integrando cada uma delas em separado, para depois somarmos, temos:
2
Na engenharia, o cálculo de áreas entre funções é usado para determinar o volume
de materiais em estruturas complexas, como reservatórios, tanques de
armazenamento e outras formas irregulares. Sabendo disso determine o volume do
solido de rotação, em unidade de volume (u.v.), da região  em torno do eixo , paraA x
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os seguintes critérios:
A
B
C
D
E
Resposta incorreta Resposta correta: C
Gabarito comentado
Do enunciado tiramos os intervalos:
Desenhando as restrições das curvas, temos:
A :
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
y =
x
4
+ 1  se  − 4 ≤ x < 0
y =
√
1 − x
2
 se 0 ≤ x ≤ 1
y = 0  se 1 ≤ x ≤ 4
π
3
.
3π
2
.
2π.
1
2
.
π
2
.
A
1
: −4 ≤ x < 0
A
2
: 0 ≤ x ≤ 1
A
3
: 1 ≤ x ≤ 4
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Onde   representa a área que será rotacionada para gerar o sólido de
revolução.
O volume será dado pela soma do volume de cada intervalo:
e
Calculado o volume de  :
Calculado o volume de  :
Calculado o volume de  :
O volume da terceira região vai ser zero, porque a função  não tem nada para
rotacionar
A
V = V
1
+ V
2
+ V
3
A
1
A
2
A
3
V
3
= 0
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Assim:
3
As integrais são uma das ferramentas mais poderosas da matemática, e são usadas
em uma variedade de campos, sendo aplicadas na determinação de áreas e
volumes de formas complexas. Seja  região limitada pela curva    pelas retas 
 e  . Calcule o volume, em unidades de volume (u.v.), do sólido de
revolução gerado pela rotação de   em torno do eixo  .
A
B
C
D
E
Resposta incorreta Resposta correta: E
Gabarito comentado
Desenhando as restrições das curvas, temos
V = V
1
+ V
2
+ V
3
=
4π
3
+
2π
3
+ 0 =
6π
3
= 2π
V = 2πu. v.
y = x
3
y = 8 x = 0
A x = −1
266π
5
.
246π
5
.
236π
5
.
226π
5
.
216π
5
.
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Como vamos integrar em , precisamos deixar em função de :
Agora integramos no formato para seções transversais, onde a função raio será
a própria função  , já que o eixo de rotação dista  do eixo :
 
Mas ainda não acabou.
Entre o eixo  e o de rotação fica um vácuo que precisa ser levado em conta. Ele
vai gerar um cilindro de raio  e altura o, ou seja:
O volume total da figura é:
 
y y
y = x
3
→ x =
3
√
y
+1 1 y
y
1
V
cil
= πr
2
h = 8π
V
T
= V − V
cil
=
256π
5
− 8π =
216π
5
V
T
=
216π
5
u. v.
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4
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de
pontos formados pela função  e o eixo x, para  .
A
B
C
D
E
Resposta incorreta Resposta correta: A
Gabarito comentado
A resposta correta é: 
5
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de
pontos formados pela função g(x) = 2x e o eixo x, para  .
f(x) =
√
x − 3 4 ≤ x ≤ 7
14π
3
7π
3
14π
5
7π
5
3π
2
14π
3
6 
0 ≤ x ≤ 2
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A
B
C
D
E
Resposta incorreta Resposta correta: E
Gabarito comentado
A resposta correta é: 
6
A entrada de um túnel tem a forma da figura abaixo, sendo constituída por 2 tubos
circulares na forma de arco de curvas  e   sendo iluminados internamente por
luzes de led. O custo estimado para estes tubos é de   por metro. As curvas
são determinadas por funções, sendo  e  . O
custo total desta obra será:
16π
32π
64π
76π
128π
128π
C
1
C
2
R$5.000, 00
C
1
: y = 3x
2/3
C
2
: y = 3(16 − x)
2/3
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Gabarito https://aluno.qlabs.com.br/exercicio/5207263/gabarito
8 of 13 04/06/2023, 14:55
Fonte: YDUQS. 2023.
A
B
C
D
E
Resposta correta
Gabarito comentado
Para calcular o custo, devemos calcular o comprimento dos arcos.
Contudo, não precisamos calcular os comprimentos de  e  . Note que a
diferença entre os arcos é a substituição de  por   é espelho de  . 
Portanto, os arcos são simétricos e Note que a diferença entre os arcos é a
substituição de possuem o mesmo comprimento.
Assim, basta calcular o comprimento de , multiplicar por 2 e depois
multiplicar pelo custo por metro.
Sabemos que:
R$ 156.274, 17.
R$ 246.274, 17.
R$ 149.274, 17.
R$ 146.274, 17.
R$ 416.274, 17.
C
1
C
2
x 16 − x. C
2
C
1
C
1
L = ∫
b
a
√
1 + [f
′
(x)]
2
dx
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9 of 13 04/06/2023, 14:55
Para a curva 
Usando o método ,
Fazendo a substituição:
Aplicando:
Calculando o custo:
7
O cálculo de áreas entre funções utilizando integral é uma técnica usada na
matemática para determinar a área de uma região que é limitada por duas ou mais
curvas. Calcule a área delimitada entre as curvas 
 e . 
A
C
1
:
y = 3x
2/3
dy
dx
= 3 ⋅
2
3
⋅ x
−
1
3
= 2x
−
1
3
L = ∫
8
0
√
1 + [2x
−
1
3
]
2
dx = ∫
8
0
√
1 + 4x
−
2
3
dx
x = f(y)
y = 3x
2
3
→ x
2
3
=
y
3
→ x =
y
3
2
3
3
2
dx
dy
=
1
3
3
2
⋅
3
2
⋅ y
1
2
=
1
2
√
3
(y)
1
2
x = 0 → y = 0
x = 8 → y = 12
L = ∫
12
0
√
1 + [
1
2
√
3
(y)
1
2
]
2
dy = ∫
12
0
√
1 +
1
12
⋅ ydy
u = 1 +
1
12
y → du =
1
12
dy → dy = 12du
y = 0 → u = 1
y = 12 → u = 2
L = ∫
2
1
√
u ⋅ 12du = 12 ∫
2
1
u
1
2
du = 12 ⋅
2
3
u
1
2
2
1
= 8(2
√
2 − 1)
∣
C = 2 ⋅ 8(2
√
2 − 1) ⋅ 5000 = R$146.274, 17
y = 1 − x
2
, y = 1 + x
2
, y = −
3x
2
+ 2 x = 1
1
16
u ⋅ a.
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B
C
D
E
Resposta incorreta Resposta correta: D
Gabarito comentado
Desenhando as restrições das curvas, temos:
 
Analisando os intervalos de integração:
• De 0 até 0,5 temos a parábola de cima sobre a parábola de baixo.
• De 0,5 até 1 temos a reta não vertical em cima da parábola de baixo.
 
Assim:
Integrando cada uma delas em separado, para depois somarmos, temos:
1
8
u ⋅ a.
3
16
 u . a.
5
16
 u . a
1
4
 u . a
A = ∫
b
a
[f
cima 
− f
baixo 
]dx
A = ∫
1
2
0
[f
parábola de cima  − fparábola de baixo ]dx + ∫
1
1
2
[f
reta não vertical  − fparábola de baixo ]dx
A = ∫
1
2
0
[1 + x
2
− (1 − x
2
)]dx + ∫
1
1
2
[−
3x
2
+ 2 − (1 − x
2
)]dx
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Somando as duas partes, temos:
8
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de
pontos formados pela função   e o eixo y, para  .
A
B
C
D
E
Resposta incorreta Resposta correta: C
Gabarito comentado
A resposta correta é: 
∫
1
1
2
[−
3x
2
+2 − (1 − x
2
)]dx = ∫
1
1
2
[−
3x
2
+ 1 + x
2
]dx = [−
3x
2
4
+ x +
x
3
3
]
1
1
2
= (−
3
4
+ 1 +
1
3
) − (−
3
16
+
1
2
+
1
24
) = (
7
12
) − (
17
48
) =
11
48
∣
A = ∫
1
2
0
[1 + x
2
− (1 − x
2
)]dx + ∫
1
1
2
[−
3x
2
+ 2 − (1 − x
2
)]dx =
1
12
+
11
48
=
15
48
=
5
16
 u.a.
f(x) = arccos arccos 2x 0 ≤ x ≤ 0, 5
2π
2
3
π
2
6
π
2
16
2π
2
15
π
2
64
π
2
16
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