MATEMÁTICA D _ Matemática Financeira

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MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
 
Porcentagem, Juros simples, Juros composto 
 
 MOTIVAÇÃO​ ​. 
Uma das principais motivações para se estudar matemática, se não a principal, é aprender a lidar com dinheiro. O                                     
que significa parcelar uma compra em 10x com juros de 5% ao mês? Qual a diferença entre juros simples e juros                                         
compostos? Como que calculamos 20% de desconto em um produto? Por que que um produto de R$100,00 pode                                   
aumentar seu preço em 20%, receber 20% de desconto, e agora custar R$96,00? 
 
 
 
 
 PORCENTAGEM​.   
A porcentagem é uma fração disfarçada.           
Quando dizemos 10% queremos dizer         
exatamente a mesma coisa que 1/10. O             
símbolo % significa /100, ou “por cem”, então:  
 
10 “porcento” = 10% = 10/100 = 1/10 
 
Porcentagem tem uma vantagem sobre as           
frações, pois é mais fácil comparar duas             
porcentagens. Não é tão óbvio qual das             
frações é maior, 6/14 ou 7/16, mas se               
escrevermos essas mesmas frações como         
porcentagem temos, respectivamente 42,8% e         
43,7%, e a comparação fica mais clara. 
 
Transformar frações em % 
Para transformar uma fração em uma           
porcentagem, temos que encontrar uma fração           
equivalente onde o denominador é 100. Por             
exemplo: 
 
1/20 = 1/20 * 5/5 = 5/100 = 5% 
 
Nem sempre conseguiremos encontrar um         
número inteiro que multiplica nosso         
denominador e resulta em 100. Quando for             
esse o caso, podemos passar primeiro para a               
forma decimal do número, e então multiplicar             
por 100: 
 
1/3 = 0,333… = 33,333/100 = 33,333% 
 
  
 
 DESCONTOS​. 
Quando um produto recebe um desconto de 10%,               
primeiro calculamos o valor de 10% do produto, ou                 
seja, 1/10 do produto, e depois subtraímos esse               
resultado do valor inicial. Por exemplo, se um carro                 
custa R$10.000,00, mas tem um desconto de 5%               
à vista, então: 
 
10.000 * 5% = 10.000 * 5/100 = 5*100 = 500 
 
10.000 - 500 = 9.500 
 
E por isso pagaríamos R$9.500,00 a vista. A               
mesma lógica se aplica quando o preço sobe uma                 
determinada porcentagem. 
É comum que em época de natal, por exemplo, o                   
preço de brinquedos para crianças aumente,           
devido a maior procura. Se determinado brinquedo             
custava R$65,00 e sofreu um aumento de 15%,               
quanto ele custa agora? 
 
 
65 * 15% = 65 * 15/100 = 9,75 
 
65+9,75 = 74,75 
 
E por isso agora ele custa R$74,75. É comum o                   
uso da notação: 
 
R$65,00 + 15% = R$74,75. 
1 
 
 
Note que isso é um abuso de notação, ou seja,                   
um leitor desacostumado poderia entender 65           
+ 15/100 = 66,5. Dentro de matemática             
financeira, todavia, vamos utilizar bastante         
dessa notação por praticidade. 
 
Aumentos e descontos sucessivos 
 
É importante perceber que aplicar um aumento             
de 15%, seguido de um desconto de 15% não                 
resulta no preço original, pois o aumento e o                 
desconto são aplicados em preços diferentes. 
 
 
74,75 * 15% = 11,21 
 
74,75 - 11,21 = 63,54  
 
É comum exercícios que peçam para calcular qual               
o desconto necessário para retornar ao preço             
original, antes do aumento.  
Por exemplo, qual seria o desconto necessário             
para que o brinquedo que antes custava R$65,00,               
e que após um aumento de 15% passou a custar                   
R$74,75 volte ao seu custo original? Nesse caso               
precisamos descobrir quanto porcento 9,75         
(aumento) é de 74,75. Para isso, basta dividir um                 
pelo outro: 
 
9,75/74,75 = 0,13 = 13/100 = 13% 
 
Ou seja, 13% * 74,75 = 9,75, e será necessário um 
desconto de 13% para o brinquedo retornar a seu 
preço original de R$65,00. 
 
 
GAME ON 
 
FIXAÇÃO 
01. ​Transforme as seguintes porcentagens em           
números decimais: 
a) 100% 
b) 30% 
c) 2% 
d) 45,2% 
e) 1,35% 
f) 7650% 
g) 2/5% 
 
02. ​Transforme os seguintes números em           
porcentagem: 
a) 1 
b) 0,52 
c) 0,03 
d) 0,0005 
e) 12 
f) 2,97 
g) 1/3 
 
03. ​Diga a correspondência numérica das           
expressões abaixo: 
a) 50% de 12 
b) 20% de 50 
c) 13,2% de 100 
d) 2,95% de 17,2 
 
 
 
 
 
APROFUNDAMENTO 
04. [PUC-RS 2014/1] Das dezenove Copas do             
Mundo realizadas, os países sul-americanos         
venceram 9. O Brasil ganhou 5, o que representa                 
uma porcentagem de, aproximadamente, _____         
em relação ao total de Copas já disputadas. 
a) 5% 
b) 18% 
c) 26% 
d) 50% 
e) 55% 
 
05. [ENEM 2011] Uma enquete, realizada em             
março de 2010, perguntava aos internautas se eles               
acreditavam que as atividades humanas provocam           
o aquecimento global. Eram 3 as alternativas             
possíveis e 279 internautas responderam à           
enquete, como mostra abaixo: 
● SIM: 83% 
● NÃO: 25% 
● NÃO RESPONDEU: 7% 
 
Analisando os dados, quantos internautas         
responderam ‘NÃO’ à enquete? 
a) Menos de 23. 
b) Mais de 23 e menos de 25. 
c) Mais de 50 e menos de 75. 
d) Mais que 75 e menos que 100. 
e) Mais de 100. 
   
2 
 
06. [ENEM 2014] 
O Brasil é um país com uma vantagem econômica                 
clara no terreno dos recursos naturais, dispondo de               
uma das maiores áreas com vocação agrícola do               
mundo. Especialistas calculam que, dos 853 milhões             
de hectares do país, as cidades, as reservas               
indígenas e as áreas de preservação, incluindo             
florestas e mananciais, cubram por volta de 140               
milhões de hectares. Aproximadamente 280 milhões           
se destinam à agropecuária, 200 milhões para             
pastagens e 80 milhões para a agricultura, somadas               
as lavouras anuais e as perenes, como o café e a                     
fruticultura. 
FORTES, G. 
Recuperação de pastagens é alternativa para ampliar 
cultivos. ​Folha de S. Paulo​, 30 out. 2011. 
 
De acordo com os dados apresentados, o             
percentual correspondente à área utilizada para           
agricultura em relação à área do território             
brasileiro é mais próximo: 
a) 32,8% 
b) 28,6% 
c) 10,7% 
d) 9,4% 
e) 8,0% 
 
07. [UNICAMP 2014] A figura abaixo exibe,             
em porcentagem, a previsão da oferta de             
energia no Brasil em 2030, segundo o Plano               
Nacional de Energia. 
 
Segundo o plano, em 2030, a oferta total de                 
energia do país irá atingir 557 milhões de tep                 
(toneladas equivalentes de petróleo). Nesse         
caso, podemos prever que a parcela oriunda             
de fontes renováveis, indicada em cinza na             
figura, equivalerá a: 
a) 178,240 milhões de tep. 
b) 297,995 milhões de tep. 
c) 353,138 milhões de tep. 
d) 259,562 milhões de tep. 
 
 
 
 
HARDCORE 
08. ​Uma televisão que custava R$900,00 teve um               
aumento de R$50,00. Qual foi o aumento             
percentual? 
 
09.  Seu João vende pastel na feira de             
domingo. Ele compra cada pastel por R$0,95 e o                 
vende a R$3,00. Sobre esse empreendimento,           
responda as questões abaixo: 
a) Qual é o lucro do seu João por               
pastel? 
b) Qual é o seu lucro percentual em             
relação ao custo? O que significa se             
esse valor for maior que 100%? 
 
10. Phoebe recebe R$5.000,00 por mês de salário               
e paga 35% deste em aluguel. Já sua amiga                 
Mônica, chef de cozinha, disse que metade de seu                 
salário é pago como aluguel e um décimo é a                   
conta de luz. Se a conta de luz de Mônica é de                       
R$300,00, quem paga mais caro no aluguel? 
a) Mônica,que paga R$250,00 a mais           
que Phoebe. 
b) Mônica, que paga R$1500,00. 
c) As duas pagam a mesma quantia. 
d) Phoebe, que paga R$1750. 
e) Phoebe, que paga R$100,00 a mais           
que Mônica. 
 
 
 
 
GABARITO 
QUESTÃO 01  a) 1 
b) 0,3 
c) 0,02 
d) 0,452 
e) 0,0135 
f) 76,5 
g) 0,0004 
QUESTÃO 02  a) 100% 
b) 52% 
c) 3% 
d) 0,05% 
e) 1200% 
f) 297% 
g) 33,333...% 
QUESTÃO 03  a) 6 
b) 10 
c) 13,2 
d) 0,5074 
QUESTÃO 04  c 
QUESTÃO 05  c 
QUESTÃO 06  d 
QUESTÃO 07  d 
3 
 
QUESTÃO 08  5,555…% 
QUESTÃO 09  a) R$2,05 
b)215,79%. Isso significa 
que seu lucro por pastel é 
maior que o referencial que 
ele está usando – o custo. 
Ou seja, em relação ao 
custo, o lucro é maior. 
QUESTÃO 10  d 
 
  
JUROS SIMPLES E COMPOSTO​.  
Juros simples 
 
Juros é uma cobrança pelo atraso de algum               
pagamento. Suponha que desejamos comprar         
um carro que custa R$10.000,00, mas não             
temos dinheiro para pagar a vista. Nos             
oferecem uma segunda opção de pagamento:           
12 parcelas iguais mensais com 1% de juros               
simples ao mês (a.m.). Nesse caso, pagaremos             
no total R$11.200,00, R$10.000,00 referentes         
ao preço do carro e R$1.200,00 referentes ao               
juros, pois: 
10.000 * 1% * 12 = 1.200 
 
Para descobrirmos o valor das parcelas           
mensais, basta dividir o valor total pelo número               
de parcelas: 
 
11.200/12 = 933,33 
 
Nem sempre o juros estará atrelado a             
produtos. Inclusive, ele é muito mais comum no               
contexto de investimentos. Importante aqui         
detalhar algumas nomenclaturas desse meio: 
 
Capital inicial: ​DInheiro inicialmente aplicado.         
Normalmente dado como C. 
 
Prazo: ​Tempo que o dinheiro permanecerá           
investido, normalmente dado como T. 
 
Montante: ​Dinheiro ao final do prazo,           
normalmente dado como M. 
 
Taxa de juros: ​porcentagem do dinheiro a ser               
somada ao montante ao final do mês. Quando               
o juros é simples, essa porcentagem diz             
respeito ao capital inicial. Quando o juros é               
composto, diz respeito ao capital ao fim do               
mês anterior. Normalmente dado como I.  
 
a.a., a.s., a.m., a.d.: Juros ​a​o ​a​no, ​a​o ​s​emestre,                 
a​o ​m​ês, ou ​a​o ​d​ia 
 
Ou seja, se temos um capital inicial de R$200,00 e                   
aplicamos esse dinheiro em um investimento que             
rende 10% a.m. em juros simples, por 2 meses,                 
teremos um montante de R$240,00. 
 
200 + 200*10%*2 = 240 
Capital inicial (c) + Juros (c*i*t) = Montante  
C  + C*I*T = M 
 
Podemos escrever mês a mês o montante em               
função do capital inicial para encontrar uma             
fórmula para o montante em juros simples. 
Ao fim do primeiro mês temos  
 
C+I*C 
 
 
Ao fim do segundo: 
 
C+I*C+I*C = C + 2*I*C = C*(1+2*I) 
 
Do terceiro: 
 
C+I*C+I*C+I*C= C + 3*I*C = C*(1+3*I) 
 
E assim em diante. Perceba que os números 2 e 3                     
que aparecem são referentes aos meses           
passados. Por isso, a fórmula do montante é: 
 
C+T*I*C = M 
ou 
C(1+T*I)=M 
 
 
 
 
4 
 
Juros Compostos 
 
As vezes, os juros serão cobrados não sobre o                 
capital inicial, mas sobre o dinheiro investido ao               
final de cada mês. Nesse caso, dizemos que o                 
juros é composto. Vamos primeiramente         
compara-lo ao juros simples por uma tabela.             
Suponha dois investimentos de R$100,00, com           
juros de 10% a.m., mas um deles é cobrado                 
como juros composto e outro cobrado como             
juros simples. 
 
Note nas tabelas ao lado, onde a de cima                 
representa o juros simples e a de baixo juros                 
compostos. Como o juros simples sempre           
aplica a taxa de juros sobre o capital inicial, a                   
quantidade de juros a ser ganho por mês é                 
constante. Como o juros composto aplica a             
taxa sobre o capital investido ao final do mês,                 
os juros ganhos por mês crescem cada vez               
mais. 
Podemos escrever algebricamente o montante         
ao final de cada mês, novamente com o intuito                 
de encontrar uma fórmula.  
 
Ao fim do primeiro mês temos, como no juros                 
simples: 
 
C+C*I = C(1+I) 
 
Ao fim do segundo mês: 
 
 C(1+I)(1+I) = C(1+I)² 
 
Do terceiro: 
 
 C(1+I)(1+I)(1+I) = C(1+I)³ 
 
Ou seja, genéricamente, temos: 
 
C(1+I)^T = M 
 
 
Tempo  Juros  Capital 
inicial 
Montante 
1 mês  R$10,00  R$100,00  R$110,00 
2 meses  R$10,00  R$100,00  R$120,00 
3 meses  R$10,00  R$100,00  R$130,00 
 
 
 
Tempo  Juros  Capital   Montante 
1 mês  R$10,00  R$100,00  R$110,00 
2 meses  R$11,00  R$110,00  R$121,00 
3 meses  R$12,10  R$121,00  R$133,10 
 
 
 
 Fórmulas​. 
C=Capital inicial 
T=Tempo do investimento 
M=Montante 
 
Porcentagem 
Multiplicação pela porcentagem: ​x*y% = x*y/100 
Soma de uma porcentagem(abuso de notação): ​x+y% = x*(1+y)/100 
 
Juros simples 
Montante: ​C+T*I*C = M  
 
Juros compostos 
Montante: ​C(1+I)^T = M 
 
   
5 
 
 
GAME ON 
 
FIXAÇÃO 
01. ​Imagine que aplicou um capital inicial de               
R$500,00 em uma poupança que segue o             
regime de juros simples. Assim, calcule o             
montante e o juros seguindo as condições             
abaixo: 
a) Taxa de juros de 10% ao mês ao               
longo de 3 meses 
b) Taxa de juros de 15% ao ano ao               
longo de 5 anos e 6 meses 
c) Taxa de juros de 5% ao mês ao               
longo de 3 anos 
d) Taxa de juros de 10% ao ano ao               
longo de 8 meses 
 
02. ​Mateus esqueceu de pagar sua conta de               
luz durante dois meses. Se a conta, que               
custava R$60,00, agora está valendo R$65,40,           
qual é a taxa de juros que ele pagou ao dia? 
 
03. ​Afonso comprou um carro de R$30.000,00.             
Negociando, ele resolveu pagar o carro em 36               
vezes a uma taxa de 10% de juros simples ao                   
ano. Se ele pagar R$10.000,00 de entrada,             
quanto custará cada parcela? 
 
 
APROFUNDAMENTO 
04. [FUVEST 2001] ​Um comerciante deu um             
desconto de 20% sobre o preço de venda de                 
uma mercadoria e, mesmo assim, conseguiu           
um lucro de 20% sobre o preço que pagou                 
pela mesma. Se o desconto não fosse dado,               
seu lucro, em porcentagem, seria: 
a) 40% 
b) 45% 
c) 50% 
d) 55% 
e) 60% 
 
05. [UFSC Adaptado] Assinale as alternativas           
CORRETAS: 
01. ​João ofereceu a um amigo uma             
televisão por R$ 1.500,00 à vista. A prazo,               
ele pediu R$ 1.800,00, sendo R$ 200,00             
de entrada e o restante após um ano. A                 
taxa de juros cobrada por João, no regime               
de capitalização simples, é maior que 20%             
ao ano. 
02. Os juros médios no cartão de crédito               
chegaram, em fevereiro de 2016, ao maior             
patamar desde outubro de 1995, segundo           
levantamento da Anefac. A taxa mensal           
atingiu 14,72%. Logo, o montante a ser             
pago por um consumidor que usou R$             
2.000,00 no rotativo do cartão de crédito             
por 30 dias é de R$ 2.294,40, sem que se                   
levem em conta os outros encargos           
referentes ao atraso no pagamento da           
dívida financiada. 
04. Se um investidor aplicou a importância             
de R$ 5.000,00, pelo prazo de 8 meses, à                 
taxa de 1,2% ao mês, então o valor               
correspondente aos juros será de R$           
480,00. 
 
06. [UNICAMP 2015] Uma compra no valor de               
1.000 reais será paga com uma entrada de 600                 
reais e uma mensalidade de 420 reais. A taxa de                   
juros aplicada na mensalidade é igual aa) 2% 
b) 5% 
c) 8% 
d) 10% 
 
07. [ENEM 2011] Um jovem investidor precisa             
escolher qual investimento lhe trará maior retorno             
financeiro em uma aplicação de R$ 500,00. Para               
isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser                 
pago em dois investimentos: poupança e CDB             
(certificado de depósito bancário). As informações           
obtidas estão resumidas no quadro: 
 
  Rendimento 
mensal (%) 
IR (imposto 
de renda) 
POUPANÇA  0,560  ISENTO 
CDB  0,876  4% (sobre o 
ganho) 
 
Para o jovem investidor, ao final de um mês, a                   
aplicação mais vantajosa é 
 
 
 
 
6 
 
a) a poupança, pois totalizará um         
montante de R$ 502,80. 
b) a poupança, pois totalizará um         
montante de R$ 500,56. 
c) o CDB, pois totalizará um montante           
de R$ 504,38. 
d) o CDB, pois totalizará um montante           
de R$ 504,21. 
e) o CDB, pois totalizará um montante           
de R$ 500,87. 
 
HARDCORE 
08. [UNESC 2016] ​Maria aplicou suas           
economias, a juros simples, em um banco a               
15% ao ano, durante 2 anos. Findo o prazo,                 
reaplicou o montante e mais R$ 2.000,00 de               
suas novas economias, por mais 4 anos, à taxa                 
de 20% ao ano, sob o mesmo regime de                 
capitalização. Admitindo-se que o total de juros             
nas aplicações somem R$ 18.216,00, qual foi o               
capital inicial em R$ da primeira aplicação: 
a) 10.721,00 
b) 11.360,00 
c) 12.400,00 
d) 12.550,00 
e) 12.732,00 
 
09.  [FGV 2015.2] ​A que taxa mensal de juros               
um capital deve ser aplicado a juros simples,               
durante 250 meses, para que quadruplique? 
a) 1,4% 
b) 1,5% 
c) 1,3% 
d) 1,6% 
e) 1,2% 
 
10. ​[FBD-BA 2015.1] Uma pessoa dividiu           
R$13 500,00 em três partes que foram             
investidas em aplicações financeiras distintas,         
rendendo juros simples de 6%, 8% e 10%,               
respectivamente. 
 
Sabendo-se que o valor investido a 8% foi o                 
dobro do valor investido a 10%, e que o                 
rendimento total foi de R$1050,00, pode-se           
afirmar que o valor da maior parte investida foi 
 
a) R$4000,00 
b) R$4500,00 
c) R$5000,00 
d) R$5500,00 
e) R$6000,00 
 
 
 
GABARITO 
QUESTÃO 01  a) M=R$650,00; J=R$150,00 
b) M=R$912,50; J=R$412,50 
c) M=R$1400,00; J=R$900,00 
d) M=R$533,33; J=R$33,33 
QUESTÃO 02  i = 4,5% 
QUESTÃO 03  R$722,22 
QUESTÃO 04  c 
QUESTÃO 05  07 (01 + 02 + 04) 
QUESTÃO 06  b 
QUESTÃO 07  d 
QUESTÃO 08  c 
QUESTÃO 09  e 
QUESTÃO 10  e 
 
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