MecânicadosFluidos5

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MECÂNICA DOS FLUIDOS 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Carina Pedrozo 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Nesta aula, vamos analisar o princípio da conservação da energia, a 
equação de Bernoulli e a equação geral da energia. Também vamos descrever 
os tipos de energia, a inclusão de máquinas em escoamentos e as definições de 
perda de carga em escoamentos conhecidos. 
O objetivo desta aula é aplicar, em várias situações de engenharia, os 
princípios de conservação da energia, a taxa de trabalho e a equação da energia. 
TEMA 1 – PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA 
Assim como a massa em um escoamento, a energia analisada em um 
sistema fechado não pode ser criada nem destruída, apenas transformada. Com 
esse princípio em mente, podemos concluir que a energia em escoamento 
aparece na forma de calor ou trabalho. Assim, a transferência de energia em um 
sistema é igual à variação de energia ao longo do escoamento. Com isso, a 
análise básica da energia se assemelha à análise da massa no escoamento, ou 
seja, a energia que entra e sai no sistema é igual à variação de energia dentro 
do volume de controle ao longo do tempo, o que é expresso na seguinte 
equação: 
𝑒�̇� − 𝑒�̇� =
𝑑𝐸𝑣𝑐
𝑑𝑡
 
• Eė = Energia total de transferência que entra no sistema 
• Eṡ = Energia total de transferência que sai no sistema 
• 
dEvc
dt
=
Variação da Energia dentro do Volume de controle ao longo do tempo 
1.1 Energia mecânica 
A energia mecânica é, basicamente, toda energia que pode ser convertida 
em trabalho. Em análises de escoamentos, o fluido é transportado de um local a 
outro. O escoamento pode resultar em taxas de trabalho em turbinas ou ainda 
utilizar as taxas de trabalho em bombas hidráulicas. 
 Como exemplo, vamos analisar uma caixa de água utilizada para 
abastecer um chuveiro em cota inferior, observando os tipos de energia 
mecânica que englobam o volume de controle. 
 
 
3 
Figura 1 – Escoamento 
 
A água, antes de chegar ao chuveiro, estava no reservatório superior 
(caixa d’água). Depois, percorre a tubulação com certa pressão e velocidade. Na 
figura, podemos observar as energias que atuam no sistema e que podem ser 
transformadas em trabalho. 
A energia cinética, a energia potencial e a energia de pressão do 
escoamento podem ser convertidas inteiramente em trabalho. Relembramos que 
o trabalho se deve a uma força que se move ao longo de uma distância por 
tempo, conforme a equação: 
�̇� = −𝐹. 𝑉 
• Ẇ = taxa de trabalho ou potência 
• F = Força do escoamento 
• V = velocidade medida a partir de um referencial fixo 
O sinal negativo se deve à convenção de que o trabalho sobre o volume 
de controle é negativo. 
A mera pressão não é energia, porém a força de pressão produz trabalho, 
que é exclusivo dos escoamentos, conhecido como trabalho de escoamento, que 
pode ser obtido a partir das propriedades do fluido a energia de pressão: 
𝑒𝑝 =
𝜌
𝑔
 por unidade de massa 
As energias mecânicas disponíveis em uma seção transversal do 
escoamento são dadas pela soma das energias, resultando na seguinte 
equação: 
 
 
4 
𝑒𝑚𝑒𝑐 =
𝑉2
2
+
𝜌
𝑔
+ 𝑧. 𝑔 
• 
V2
2
= energia cinética 
• 
ρ
g
= energia de pressão 
• z. g = energia potencial 
Essa energia é dimensionada por unidade de massa. A variação de 
energia pode ser verificada a partir da análise de duas seções transversais ao 
longo do volume de controle. 
1.2 Eficiência mecânica 
A utilização de fluidos em escoamentos, em nosso cotidiano, deve 
considerar a pressão, a velocidade ou a altura a que fluido pode chegar. Nos 
escoamentos, não é incomum utilizar bombas hidráulicas para o fornecimento 
de energia em forma de pressão, a fim de que o sistema atenda às necessidades 
de vazão e elevação do fluido. Por outro lado, também são incluídas turbinas 
para transformar a energia mecânica do fluido em potência elétrica, por exemplo. 
O trabalho mecânico fornecido pela bomba ou retirado pela turbina pode 
apresentar graus de conversão diferenciados, quando analisamos as energias 
mecânicas que atuam no escoamento. Tais diferenças são conhecidas como 
eficiência mecânica ou rendimento. 
Para bombas, a relação é definida pela equação: 
𝜂𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 = 
�̇�𝑢𝑡𝑖𝑙 𝑑𝑎 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎
�̇�𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎
 
Para turbinas, a relação é definida pela equação: 
𝜂𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎 = 
�̇� 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎
�̇�𝑢𝑡𝑖𝑙 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎
 
 
 
 
5 
Figura 2 – Rendimento do conjunto turbina-motor 
TEMA 2 – TAXA DE TRABALHO 
Verificamos anteriormente os tipos de energia mecânica que compõem a 
energia total do escoamento, com base na análise da realização de trabalho. 
Também estudamos como as forças envolvidas se tornam taxas de trabalho. 
Neste tema, vamos analisar os conceitos pertinentes em uma superfície 
de controle, em que a tensão que age sobre a seção transversal é variável, 
sendo dada pela equação: 
�̇� = − ∫ 𝑉. 𝑑𝐹 = − ∫ 𝜏. 𝑉. 𝑑𝐴 
Para a análise do trabalho que pode atuar em um sistema de controle, é 
necessário incluir a atuação de máquinas como bombas ou turbinas, o que é 
conhecido como trabalho de eixo (Ws). O trabalho de cisalhamento (Wcis) 
resulta da atuação da tensão de cisalhamento nos contornos. O trabalho inercial 
(Wi) busca adequar o referencial fixo. 
�̇� = ∫ 𝑝. 𝑉. 𝑑𝐴 + 𝑊𝑠 + 𝑊𝑐𝑖𝑠 + 𝑊𝐼 
▪ ∫ 𝑝. 𝑉. 𝑑𝐴 – taxa de trabalho de escoamento (trabalho resultante da força 
causada pela pressão que se move na superfície de controle); 
▪ Ws – taxa de trabalho resultante de eixos, bombas e/ou turbinas; 
▪ Wcis – taxa de trabalho causado pela ação do cisalhamento; 
▪ Wi – taxa de trabalho quando o volume de controle se move em relação 
ao referencial fixo. 
 
 
6 
A taxa de trabalho com relação ao tempo é chamada de potência (�̇�). 
Mesmo as energias que não se realizam em trabalho se transformam em calor. 
No caso de escoamentos cotidianos com fluidos como a água, tais dados podem 
ser em geral desprezados. 
• Taxa de trabalho de eixo – Ws: em sistemas que apresentam uma 
máquina como bomba ou turbina, nos quais o eixo atravessa a superfície 
de controle, a potência transmitida é proporcional ao torque, o que se 
expressa pela equação: 
�̇�𝑠 = 2𝜋. 𝑛. 𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜 
• Taxa de trabalho realizado pela força de pressão – Wp: o escoamento 
de fluido, delimitado pela superfície de controle, pode ser deformado pela 
força de pressão, que atua sempre para dentro na seção. 
Figura 3 – Influência da pressão no volume de controle 
 
Na Figura 3, é possível analisar a influência da pressão em um sistema 
fechado como um cilindro – pistão e volume de controle infinitesimal. 
• Taxa de trabalho realizado pelo Cisalhamento – Wcis: para 
escoamentos cotidianos, o trabalho realizado pelo cisalhamento ocorre 
devido a viscosidade do fluido, que ocorre contra o escoamento. Veremos 
este trabalho de acordo com a análise da perda de pressão ou perda de 
carga, detalhadas futuramente. 
Vejamos um exemplo a seguir (Çengel; Cimbala, 2007, p. 159). A água 
de um grande lago deve ser utilizada para gerar eletricidade, por meio da 
instalação de um conjunto turbina gerador hidráulico. A profundidade é de 50 
metros. A água será fornecida com vazão de 5.000 kg/s. Se a potência elétrica 
gerada é de 1.862 kW e a eficiência do gerador é de 95%, determine: 
 
 
7 
 
a. Eficiência global do conjunto turbina-gerador. 
b. Eficiência mecânica da turbina. 
c. Potência de eixo fornecida pela turbina ao gerador. 
Figura 3 – Exemplo: lago 
 
Hipóteses: 
• Profundidade do lago permanece constante. 
• Velocidade do fluido na superfície do lago é nula. 
• Massa específica da água é 1.000 kg/m³. 
• Escoamento permanente. 
• Escoamento incompressível. 
• Escoamento uniforme. 
A energia que movimenta o escoamento é a energia potencial por unidade 
de massa (Qm), dada por: 
Emec = Ep = z.g. Qm = 9,81 x 50 = 490,5 x 5000 = 2.452,5 kW 
a. Determinação da eficiência do conjunto turbina-motor: 
𝜂𝑡𝑢𝑟𝑏− 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = 
𝑊𝑒𝑙𝑒𝑡𝑟
𝐸𝑚𝑒𝑐
=
1.862
2.452,5
= 0,76 
A eficiência do conjunto é 76%. 
b. Eficiência mecânica da turbina: 
𝜂𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎 − 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = 𝜂𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎. 𝜂𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 
𝜂𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎 = 
𝜂𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎 − 𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟
𝜂𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟
 
𝜂𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎 = 
0,76
0,95
= 0,80 
 
 
8 
A eficiência da turbina é 80%. 
c. Potência de eixo fornecida pela turbina ao gerador: 
𝑊𝑠̇ = 𝜂𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎. 𝐸𝑚𝑒𝑐 
𝑊𝑠̇ = 0,8 𝑥 2452,5 = 1.964 𝑘𝑊 
Com esse exemplo, é possível determinar as perdas de energia que o 
trabalho de eixo do motor e do eixo da turbina ocasiona no volume de controle 
analisado. O sistema fornece 2.452,5 kW de energia. Por conta das perdas 
irreversíveis, fornece somente 1.862 kW de energia elétrica. 
TEMA 3 – EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Vamos deduzir a equação da energia com a análise das forças que atuam 
em uma partícula fluida de um escoamento permanente. Para tanto, vamos 
utilizar a segunda lei de Newton: 
𝐹 = 𝑚. 𝑎 
A partícula analisada segue a linha de corrente na direção caso na região 
analisada as forças de atrito que atuam sobre a partícula sejam desprezíveis e 
as forças de pressão e do peso sejam significativas. Na figura a seguir, vemos 
uma partícula de fluido em escoamento na direção s. 
Figura 4 – Escoamento de partícula 
 
 
 
9 
A força de pressão na partícula pode ser determinada a partir da variação 
da pressão, no objeto infinitesimal, em toda a área de atuação (seção 
transversal), considerando o sentido positivo do eixo x. Dessa forma, a força de 
pressão de pressão é revelada utilizando a equação: 
𝐹𝑝 = 𝑃. 𝑑𝐴 − (𝑃 + 𝑑𝑃). 𝑑𝐴 = −𝑑𝑃. 𝑑𝐴 
A força de peso é o resultado da multiplicação do volume do objeto 
infinitesimal pela massa do fluido e a gravidade. Como a força do peso está 
sempre direcionada verticalmente ao solo, é necessário decompor os dados, 
como mostra a figura anterior: 
𝐹𝑤 = −𝑊. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = −𝜌. 𝑔. 𝑑𝐴. 𝑑𝑠.
𝑑𝑧
𝑑𝑠
 
Voltando à segunda lei de Newton: 
−𝑑𝑃. 𝑑𝐴 − 𝜌. 𝑔. 𝑑𝐴. 𝑑𝑠.
𝑑𝑧
𝑑𝑠
= 𝑚. 𝑉.
𝑑𝑉
𝑑𝑠
 
Substituindo a massa pela massa específica x volume: 
−𝑑𝑃. 𝑑𝐴 − 𝜌. 𝑔. 𝑑𝐴. 𝑑𝑠.
𝑑𝑧
𝑑𝑠
= 𝜌. 𝑑𝐴. 𝑑𝑠. 𝑉.
𝑑𝑉
𝑑𝑠
 
Simplificando dA, que aparece em todos os termos e ds: 
 
A equação resulta em: 
−𝑑𝑃 − 𝜌. 𝑔. 𝑑𝑧 = 𝜌. 𝑉. 𝑑𝑉 
Dividindo todos os termos por ρ e organizando V.dV: 
𝑑𝑃
𝜌
+ 𝑔. 𝑑𝑧 + (
𝑉2
2
) = 0 
Como a análise acompanha a partícula ao longo de uma linha de corrente, 
com escoamento permanente, a integração da equação retorna a um valor 
constante: 
∫
𝑑𝑃
𝜌
+ 𝑔. 𝑧 + (
𝑉2
2
) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
 
 
10 
Dessa forma, para escoamentos ao longo de uma linha de corrente, 
permanente e incompressível, os termos da equação são exatos, resultando no 
seguinte: 
𝑃
𝜌
+ 𝑔. 𝑧 + (
𝑉2
2
) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
 Essa é a equação de Bernoulli. Daniel Bernoulli (1700-1782) foi um físico 
e matemático suíço, grande estudioso da mecânica e dos fluidos, tendo 
formulado teorias e equações matemáticas para eventos físicos. A equação de 
Bernoulli é bastante aplicada em estudos de energia em escoamentos. 
Analisando a equação de Bernoulli, podemos expressar seus termos 
como energia, definida como equação por Leonard Euller: 
𝑃
𝜌
= 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝐸𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
𝑔. 𝑧 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 
(
𝑉2
2
) = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝐶𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 
Como vimos no início da aula, não se ganha nem se perde energia, pois 
ela apenas se transforma. Assim, podemos admitir que a análise de energia de 
dois pontos ao longo de uma linha de corrente permanece constante, o que é 
expresso na equação: 
𝑃1
𝜌
+ 𝑔. 𝑧1 + (
𝑉12
2
) =
𝑃2
𝜌
+ 𝑔. 𝑧2 + (
𝑉22
2
) 
Figura 5 – Análise de energia entre dois pontos da linha de corrente 
 
 
 
11 
3.1 Equação de Bernoulli: cargas 
Para simplificar a utilização em termos de unidades, com a visualização 
do escoamento, a equação pode ser dividida pela gravidade (g (m/s²): 
𝑃1
𝛾
+ 𝑧1 + (
𝑉12
2𝑔
) =
𝑃2
𝛾
+ 𝑧2 + (
𝑉22
2𝑔
) 
Com essa simplificação, cada termo da equação é chamado de carga: 
𝑃
𝛾
= 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 (𝑚) 
𝑧 = 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 (𝑚) 
(
𝑉2
2𝑔
) = 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 (𝑚) 
Com a análise das cargas, a visualização do escoamento fica facilitada, 
considerando algumas situações cotidianas, por exemplo, “a carga piezométrica 
do chuveiro é 2 m”. Nessa expressão, podemos visualizar a pressão na 
tubulação, diferente da pressão atmosférica. 
3.2 Casos de utilização da equação de Bernoulli 
Como vimos ao longo da dedução da equação de Bernoulli, algumas 
hipóteses devem ser admitidas para a aplicação dessa expressão. São elas: 
• Escoamento ao longo de uma linha de corrente: a interpretação dessa 
limitação deve-se ao fato de que alguns escoamentos podem apresentar 
velocidades angulares dentro das seções analisadas, alterando valores 
pontuais de energia. Para escoamentos irrotacionais, não são 
consideradas velocidades angulares. 
• Escoamento permanente: hipótese admitida ao longo da dedução da 
equação. O escoamento é analisado após estabilização e manutenção de 
valores ao longo do tempo de análise. 
• Escoamento de fluidos ideais: outra hipótese admitida é a de que os 
efeitos do atrito seriam desprezíveis. Assim, o fluido analisado não 
apresenta viscosidade, o que é admitido para fins didáticos. 
 
 
12 
• Escoamento incompressível: a variação da massa específica ao longo 
do escoamento é desprezível, não alterando significativamente a 
quantidade de energia ou a carga entre as seções analisadas. 
• Ausência de máquina: quando são inseridas máquinas no escoamento, 
como bombas hidráulicas ou turbinas, os valores de energia podem ser 
alterados significativamente. Esses casos serão verificados futuramente. 
TEMA 4 – APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Como analisamos em aulas anteriores, a energia mecânica do 
escoamento é transferida na forma de trabalho, considerando a força ao longo 
de determinada distância. Mesmo com todas as limitações de interpretação das 
hipóteses de uso da equação de Bernoulli, a relação é amplamente utilizada em 
problemas cotidianos de escoamento de fluidos, retornando valores bastante 
próximos da realidade. 
4.1 Análise de Bernoulli em duas seções 
Vamos analisar novamente a Figura 5, determinando a parcela de cada 
tipo de energia mecânica em cada seção do escoamento. 
Por definição, a energia total mecânica na seção 1 é igual à energia total 
mecânica na seção 2. No entanto, por instinto podemos verificar que a área da 
seção transversal em 2 é menor do que na seção 1, o que resulta diretamente 
no valor da velocidade, a partir da equação de continuidade, vista anteriormente. 
Da mesma forma, os valores das cotas z1 e z2 são diferentes, resultando 
em diferentes valores de energia potencial entre os dois pontos. O mesmo ocorre 
com a energia de escoamento e a análise das pressões. De forma geral, é 
possível afirmar que as energias no ponto 1 são transformadas para manter a 
constância da energia total de, respeitando a premissa básica da equação de 
Bernoulli. 
4.2 Aplicação da equação de Bernoulli 
Para uma melhor interpretação da equação, optamos por analisar um 
comportamento cotidiano e de fácil visualização. Esse exercício é de fácil 
experimentação, podendo ser realizado em qualquer localidade. Se possível, 
faça esse experimento e verifique os resultados. 
 
 
13 
Vejamos mais um exemplo (Çengel; Cimbala, 2007, p. 169). A água 
escoa em uma mangueira ligada a uma tubulação de água com pressão 
manométrica igual a 400 kPa. Uma criança coloca o polegar para cobrir a maior 
parte da saída da mangueira, fazendo com que surja um jato fino de água com 
alta velocidade. Se a mangueira ficar para cima, qual é a altura máxima que pode 
ser atingida pelo jato? 
Figura 6 – Exemplo: mangueira 
 
Créditos: ivan_kislitsin/Shutterstock.14 
Hipóteses: 
• toda água que sai da mangueira é encaminhada para cima, não há 
respingos; 
• o escoamento é permanente; 
• o fluido incompressível; 
• imediatamente anterior ao dedo da criança, a pressão no interior da 
mangueira é 400 kPa manométrica; 
• o escoamento é irrotacional; 
• o escoamento é uniforme; 
• o atrito entre a água e o ar é desprezível; 
• a água fora da mangueira está sujeita à pressão atmosférica. 
Dados: massa específica da água (ρ) = 1.000 kg/m³. 
Vejamos a solução: após verificar as hipóteses, é possível definir que 
para este problema podemos utilizar a equação de Bernoulli. 
Para resolver, de forma mais compreensível, problemas que envolvem 
equações de energia, como a de Bernoulli, a primeira observação refere-se aos 
pontos de análise do escoamento. Essa escolha é realizada com a verificação 
da maior quantidade de dados. No caso da figura apresentada, os pontos para 
definir a equação da energia foram definidos como 1 e 2. 
Na seção 1, temos os valores de velocidade (~=0 m/s), pressão 
manométrica (400 kPa) e cota (z1=0). Neste caso, optamos por localizar o ponto 
de referência em 1. 
Na seção 2, temos o valor de velocidade (=0 m/s), pressão atmosférica e 
cota a definir (z2 = ?) 
Vamos encontrar 0s valores a partir da equação de cargas, com a 
seguinte aplicação: 
𝛾 = 𝜌. 𝑔 = 1000.9,81 = 9.810 𝑁/𝑚³ 
𝑃1
𝛾
+ 𝑧1 + (
𝑉12
2𝑔
) =
𝑃2
𝛾
+ 𝑧2 + (
𝑉22
2𝑔
) 
Substituindo os valores: 
400000
9810
+ 0 + (0) = 0 + 𝑧2 + 0 
𝑧2 =
400000
9810
= 40,77𝑚 
 
 
15 
Portanto, se a água dentro da mangueira tem pressão de 400kPa, a altura 
até o escoamento parar no ponto mais alto será de 40,77m. 
A resolução pela equação de Bernoulli nos fornece a altura máxima da 
água chegará, considerando os dados disponibilizados. Entretanto, em 
experimentos semelhantes, muito da água que sai da mangueira pode respingar 
quando o dedo fecha a saída, havendo perdas irreversíveis que foram 
desconsideradas para a utilização da equação, que resultariam em alturas 
menores. 
TEMA 5 – LINHA PIEZOMÉTRICA E LINHA DE ENERGIA 
Muitas vezes, para determinar a capacidade de escoamento de um 
sistema, verificamos a linha piezométrica, que representa graficamente as 
energias mecânicas de escoamento usando as cargas do escoamento, 
expressas em metros. A carga total do escoamento é chamada de H, 
representada pela somatória das cargas da seção analisada, conforme a 
equação a seguir. 
𝐻 =
𝑃
𝛾
+ 𝑧 + (
𝑉2
2𝑔
) (𝑚) 
Para visualizar com mais precisão a linha piezométrica, vamos estudar os 
tipos de pressão determinados pela equação de Bernoulli: pressão estática, 
dinâmica e de estagnação. 
5.1 Pressões estática, dinâmica e estagnação 
A equação de Bernoulli, em termos de energia cinética, de escoamento e 
potencial, pode ser convertida em energia de escoamento, o que retorna como 
variação de pressão. Para melhor visualização, a equação de Bernoulli é 
multiplicada por ρ (massa específica do fluido): 
𝑝 + 𝑧. 𝑔. 𝜌 + (𝜌
𝑉2
2
) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
Dessa forma, cada termo da equação é expresso em unidades de 
pressão, definidas como: 
• p – pressão estática, valores tabelados nas propriedades dos fluidos; 
 
 
16 
• z.g.ρ – pressão hidrostática, a depender das alturas do ponto analisado 
no nível de referência. 
• (ρ
V2
2
) – pressão dinâmica, representa o aumento de pressão quando o 
fluido em movimento está parado. 
Outra pressão que deve ser analisada, por conta da facilidade de 
medição, é a pressão de estagnação, a soma dos dois termos: 
𝑝𝑡 = 𝑝 + (𝜌
𝑉2
2
) 
A pressão de estagnação é medida de forma simples utilizando tubos 
piezométricos. Representa a pressão no ponto em que o fluido é parado de forma 
isoentrópica. Dessa forma, a velocidade pode ser calculada pela equação: 
𝑉1 = √
2
𝜌
. (𝑝2 − 𝑝1) 
A determinação dos pontos analisados para cálculo da velocidade é 
apresentada na figura a seguir. 
Figura 7 – Pressão de estagnação 
 
Fonte: Çengel; Cimbala, 2007, p. 165. 
Vimos na figura anterior um tubo piezométrico, conectado a piezômetros 
que fazem a leitura de pressões e de cargas de pressão (p/γ). 
 
 
17 
Outro tubo muito utilizado para determinar as variações de pressão e 
velocidades entre dois pontos analisados do escoamento é o tubo de pitot, tubo 
aberto na extremidade para medir o ponto de estagnação do escoamento. O tubo 
está apresentado na figura anterior. 
Curiosidade: os aviões utilizam sistemas de instrumentos com base em 
tubos de Pitot para medir velocidades, número de Mach, altitude e razão de 
subida. Eles são instalados na lateral ou sob as asas da aeronave. Na figura a 
seguir, é possível observar um tubo de Pitot em uma aeronave comercial. 
Figura 8 – Tubo de Pitot em aviões 
 
Créditos: Stefan Lambauer/Shutterstock. 
5.2 Linha piezométrica e linha de energia 
A linha piezométrica, comumente definida pela sigla HGL, é obtida por 
meio da medição da carga de pressão e da carga potencial em vários pontos de 
uma tubulação. A altura de elevação do fluido em cada um desses pontos 
expressa a carga de escoamento do ponto. A carga da HGL pode ser 
determinada da seguinte forma: 
𝐻𝐺𝐿 =
𝑃
𝛾
+ 𝑧 (𝑚) 
Sabendo que o piezômetro mede a pressão estática, se inserirmos 
diversos piezômetros ao longo do tubo em que se deseja verificar a linha 
piezométrica, ela é obtida ligando os pontos de leitura nos piezômetros. Na figura 
a seguir, podemos observar a linha piezométrica definida a partir das leituras. 
Figura 9 – Ilustração de linha piezométrica 
 
 
18 
 
A figura apresenta ainda a linha de energia (EGL), que representa a carga 
total do fluido. 
 Vejamos um último exemplo (Brunetti, 2008, p. 89): a água escoa em 
regime permanente no tubo de Venturi, conforme a figura. A área na seção 1 é 
20 cm² e na seção 2 é 10 cm². Foram realizadas análises de pressão conforme 
o manômetro instalado no tubo. O líquido manométrico é o mercúrio. Determine 
a vazão. 
 
 
Dados: 
• γH2O = 10.000 N/m³; 
• γHg = 136.000 N/m³; 
Hipóteses: 
• o escoamento é permanente; 
• o escoamento é uniforme; 
• o escoamento é incompressível; 
• perdas por atrito são desprezíveis; 
• não há máquinas no trecho; 
• para fins didáticos, considere g = 10 m/s². 
 
 
19 
Figura 9 – Exemplo: água no tubo de Venturi 
 
Solução: a primeira análise do escoamento é a interpretação do 
manômetro, para determinar a variação das pressões entre os pontos (1) e (2), 
lembrando que a leitura da pressão ocorre no centro da tubulação. 
Figura 10 – Exemplo: solução 
 
Já estudamos o cálculo da pressão nesta disciplina. 
pI = pII 
𝑝1 + 𝛾𝐻2𝑂. ℎ + 𝛾𝐻2𝑂. 0,10 = 𝑝2 + 𝛾𝐻2𝑂. ℎ + 𝛾𝐻𝑔. 0,10 
𝑝1 − 𝑝2 = 𝛾𝐻𝑔. 0,10 − 𝛾𝐻2𝑂. 0,10 
𝑝1 − 𝑝2 = 136000.0,10 − 10000.0,10 
𝑝1 − 𝑝2 = 126000 𝑁/𝑚² 
 
I 
II 
 
 
20 
Considerando as hipóteses adotadas, a equação de Bernoulli pode ser 
utilizada para determinar a vazão: 
𝑃1
𝛾
+ 𝑧1 + (
𝑉12
2𝑔
) =
𝑃2
𝛾
+ 𝑧2 + (
𝑉22
2𝑔
) 
Como os pontos (1) e (2) estão no mesmo nível, z1 = z2, eles podem ser 
simplificadas na equação, daí a equação de Bernoulli: 
𝑃1
𝛾
+ (
𝑉12
2𝑔
) =
𝑃2
𝛾
+ (
𝑉22
2𝑔
) 
(
𝑉22 − 𝑉12
2𝑔
) =
𝑝1 − 𝑝2
𝛾
 
Para encontrar a relação entre as velocidades, vamos utilizar a equação 
da continuidade, comentada em aulas anteriores. 
𝑄1 = 𝑄2 
𝑉1. 𝐴1 = 𝑉2. 𝐴2 
𝑉1.20. 10−4 = 𝑉2.10. 10−4 
𝑉2 = 2𝑉1 
Voltando à equação de Bernoulli, e substituindo as relações calculadas, o 
peso específico da equação é o do fluido que escoa no tubo de Venturi, em nosso 
caso a água (γH2O = 10.000 N/m³): 
(
(2𝑉1)2 − 𝑉12
2𝑔
) =
12600
10000
 
(
(4𝑉12 − 𝑉2
20
) = 1,26 
3𝑉12 = 1,26.20 
𝑉1 = √
1,26.20
20
= 2,9 𝑚/𝑠 
Por fim, para determinar a vazão, utilizamos a equação da vazão para a 
seção 1: 
𝑄1 = 𝑉1. 𝐴1 
𝑄1 = 2,9 𝑥 20. 10−4 = 0,0058 𝑚³/𝑠 
 
 
21 
Se a análise for feita para seção 2, o valor da vazãoé o mesmo. 
FINALIZANDO 
Aprendemos, nesta aula, a interpretar as energias de escoamento, 
verificando que as energias mecânicas podem ser transformadas em trabalho. 
Também analisamos as taxas de trabalho e rendimento de máquinas que podem 
ser incorporadas aos escoamentos. 
Na sequência, demonstramos a equação de Bernoulli, deduzida com base 
na equação de Euller, indicando suas limitações e hipóteses de utilização. 
Por fim, analisamos a aplicação da equação em dois exemplos distintos, 
conforme a verificação da pressão. 
 
 
 
22 
REFERÊNCIAS 
BRUNETTI, F. Mecânica dos fluidos. São Paulo: Pearson, 2008. 
ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e 
Aplicações. São Paulo: McGraw-Hill Interamericana do Brasil Ltda, 2007.