10-EDO_primeira_ordem

Edo Calculo III

•

USP-LN

RICARDO BRANDAO

26/10/2023

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Edo Calculo III

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Equações Diferenciais Ordinárias
de primeira ordem
Erwin Doescher
ICT/SJC
UNIFESP – 2017
Erwin Doescher (ICT/SJC) EDO 1a ordem UNIFESP – 2017 1 / 27
1 Equações Diferenciais Ordinárias
Introdução
Problema de Valor Inicial
Existência e Unicidade
Equações Separáveis
2 Exerćıcios
Erwin Doescher (ICT/SJC) EDO 1a ordem UNIFESP – 2017 2 / 27
Equações Diferenciais
Ordinárias
Erwin Doescher (ICT/SJC) EDO 1a ordem UNIFESP – 2017 3 / 27
Equações Diferenciais Ordinárias – Introdução
Equação Diferencial: Equação que envolve uma função
e suas derivadas.
Exemplo 1: Seja y = y(x) e f (x , z) funções. São
exemplos de equações diferenciais:
(y ′)2 + y = y ′′ − xy
∂f
∂x
+
∂f
∂z
= f
Erwin Doescher (ICT/SJC) EDO 1a ordem UNIFESP – 2017 4 / 27
Equações Diferenciais Ordinárias – Introdução
Uma equação diferencial podem ser classificada em:
• Equação Diferencial Ordinária (EDO) quando
a função tem uma única incógnita.
• Equação Diferencial Parcial (EDP) quando a
função tem mais de uma incógnita.
Exemplo 2: Seja y = y(x) uma função. São exemplos de
equações diferenciais ordinárias:
(y ′)2 + y = y ′′ − xy
y ′′ − 2y ′ + zy = 0
Erwin Doescher (ICT/SJC) EDO 1a ordem UNIFESP – 2017 5 / 27
Equações Diferenciais Ordinárias – Introdução
Exemplo 3: Seja f (x , y) uma função. São exemplos de
equações diferenciais parciais:
∂f
∂x
+
∂f
∂y
= xy + f
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y 2
=
∂2f
∂x∂y
Obs. 1: Neste curso estudaremos apenas as Equações
Diferenciais Ordinárias (EDOs).
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Equações Diferenciais Ordinárias – Introdução
Definição 1: A ordem de uma EDO é a ordem da
derivada de maior ordem que aparece na equação.
Exemplo 4: A EDO (y ′)5 + y = y ′′ − xy tem ordem 2.
Definição 2: Seja y = y(x) uma função. A forma geral
de um EDO é dada por:
F
(
x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n−1), y (n)
)
= 0
A forma geral também pode ser indicada isolando a
derivada de maior ordem:
y (n) = f
(
x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n−1)
)
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Equações Diferenciais Ordinárias – Introdução
Definição 3: Seja y (n) = f
(
x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n−1)
)
uma
EDO. Dizemos que a função Φ é solução de uma
equação diferencial se
Φ(n)(x) = f
(
x ,Φ(x),Φ′(x),Φ′′(x), . . . ,Φ(n−1)(x)
)
, ∀x
Exemplo 5: Verifique que y(x) = x2 é solução da EDO
xy ′ = 2y .
De fato:
∀x ∈ R, x(x2)′ = x(2x) = 2x2 = 2y
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Equações Diferenciais Ordinárias – Introdução
Exemplo 6: Verifique que y(x) = ax2, a ∈ R fixo, é
solução da EDO xy ′ = 2y .
De fato:
∀x ∈ R, x(ax2)′ = x(2ax) = 2ax2 = 2y(x)
Exemplo 7: Verifique que y(x) = cos x é solução da
EDO y (4) = y .
De fato: ∀x ∈ R temos:
y (4)(x) = (cos x)(4) = (− sen x)′′′ = (−cos x)′′ =
= ( sen x)′ = cos x = y(x)
Erwin Doescher (ICT/SJC) EDO 1a ordem UNIFESP – 2017 9 / 27
Equações Diferenciais Ordinárias – Introdução
Exemplo 8: Verifique que z(x) = sen x é solução da
EDO y (4) = y .
De fato: ∀x ∈ R temos:
z (4)(x) = ( sen x)(4) = (cos x)′′′ = (− sen x)′′ =
= (−cos x)′ = sen x = z(x)
Exemplo 9: Verifique que w(x) = ex é solução da EDO
y (4) = y .
De fato: ∀x ∈ R temos:
w (4)(x) = (ex)(4) = (ex)′′′ = (ex)′′ = (ex)′ = ex = w(x)
Erwin Doescher (ICT/SJC) EDO 1a ordem UNIFESP – 2017 10 / 27
Equações Diferenciais Ordinárias – Introdução
Exemplo 10: Verifique que, para a, b, c ∈ R fixos,
Φ(x) = acos x + b sen x + cex é solução da EDO y (4) = y .
De fato: ∀x ∈ R temos:
Φ(4)(x) = (acos x + b sen x + cex)(4) =
= (−a sen x + bcos x + cex)′′′ =
= (−acos x − b sen x + cex)′′ =
= (a sen x − bcos x + cex)′ =
= acos x + b sen x + cex = Φ(x)
Questão: Em quais condições a solução de uma EDO
existe e é única?
Erwin Doescher (ICT/SJC) EDO 1a ordem UNIFESP – 2017 11 / 27
Equações Diferenciais Ordinárias – Introdução
Exemplo 11: Encontre todas as soluções da EDO
y ′(x) = x .
Solução: Temos que:
y ′(x) = x ⇒
∫
y ′(x)dx =
∫
xdx ⇒
⇒ y(x) + K1 =
x2
2
+ K2 ⇒ y(x) =
x2
2
+ (K2 − K1)⇒
⇒ y(x) = x
2
2
+ K
Portanto y(x) = x
2
2 + K , K ∈ R são todas as soluções da
EDO.
Erwin Doescher (ICT/SJC) EDO 1a ordem UNIFESP – 2017 12 / 27
Equações Diferenciais Ordinárias – Introdução
Obs. 2: No exemplo anterior, a solução se torna única se
conhecermos o valor da função y(x) em um ponto. Por
exemplo, se soubermos que y(1) = 1, temos que:
1 = y(1) =
12
2
+ K ⇒ K = 1
2
Portanto a única solução é y(x) = x
2
2 +
1
2 .
De forma geral, neste exemplo, se y(x0) = y0, então
y0 = y(x0) =
x20
2
+ K ⇒ K = 2y0 − x
2
0
2
e a única solução é dada por y(x) = x
2
2 +
2y0−x20
2 .
Erwin Doescher (ICT/SJC) EDO 1a ordem UNIFESP – 2017 13 / 27
Problema de Valor Inicial
Erwin Doescher (ICT/SJC) EDO 1a ordem UNIFESP – 2017 14 / 27
EDO – Problema de Valor Inicial
Definição 4: Um problema de valor inicial é
constitúıdo de:
• Uma EDO de ordem n.
• Os valores de y(x0), y ′(x0), . . . , y (n−1)(x0), para um
dado ponto x0.
Ou seja:
PVI

y (n) = f
(
x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n−1)
)
y(x0) = y00
y ′(x0) = y01
...
y (n−1)(x0) = y0 n−1
Erwin Doescher (ICT/SJC) EDO 1a ordem UNIFESP – 2017 15 / 27
EDO de 1a ordem – Existência e Unicidade
Teorema 1: Seja o PVI de 1a ordem:{
y ′ = f (x , y)
y(x0) = y0
e seja Ω ⊂ R2 aberto tal que:
• f (x , y) está definida em Ω.
• f e ∂f∂y são cont́ınuas em Ω.
• (x0, y0) ∈ Ω.
Então existe uma única função Φ(x), definida em um
intervalo aberto I contendo x0, que é solução para o PVI.
Erwin Doescher (ICT/SJC) EDO 1a ordem UNIFESP – 2017 16 / 27
EDO de 1a ordem – Existência e Unicidade
Exemplo 12: Seja o PVI dado por y ′ = xy com y(1) = 2.
Temos que f (x , y) = xy está definida em R2
Além disso, f e ∂f∂y = x são cont́ınuas em R
2.
Logo, existe uma única solução para o PVI dado.
Como y(1) = 2, existe um intervalo I contendo x0 = 1 tal
que y(x) 6= 0, ∀x ∈ I .
Assim,
y ′ = xy ⇒ y
′
y
= x ⇒ (ln y)′ = x ⇒
⇒
∫
(ln y)′ dx =
∫
xdx ⇒ ln y = x
2
2
+ K
Erwin Doescher (ICT/SJC) EDO 1a ordem UNIFESP – 2017 17 / 27
EDO de 1a ordem – Existência e Unicidade
Desta forma,
ln y =
x2
2
+ K ⇒ y(x) = e
x2
2 +K ⇒ y(x) = eKe
x2
2
Como y(1) = 2, segue que:
2 = eKe
12
2 ⇒ eK = 2√
e
Portanto, a solução do PVI dado é:
y(x) =
2√
e
e
x2
2
Erwin Doescher (ICT/SJC) EDO 1a ordem UNIFESP – 2017 18 / 27
Equações Separáveis
Erwin Doescher (ICT/SJC) EDO 1a ordem UNIFESP – 2017 19 / 27
EDO de 1a ordem – Equações Separáveis
Definição 5: Dizemos que uma EDO de 1a ordem tem
variáveis separáveis se ela pode ser escrita como
y ′ = g(x)h(y).
Exemplo 13: A EDO y ′ = ( sen x)(cos y) é separável.
Exemplo 14: A EDO y ′ = x + y não é separável.
Erwin Doescher (ICT/SJC) EDO 1a ordem UNIFESP – 2017 20 / 27
EDO de 1a ordem – Equações Separáveis
Teorema 2: Seja o PVI dado por{
y ′ = g(x)h(y)
y(x0) = y0
tal que g(x) não é identicamente nula. O PVI tem solução
constante y(x) = y0 se, e somente se, y0 é raiz de h(y).
Demonstração:
y(x) = y0 ⇔ y ′(x) = 0 = g(x)h(y0)⇔ h(y0) = 0
Erwin Doescher (ICT/SJC) EDO 1a ordem UNIFESP – 2017 21 / 27
EDO de 1a ordem – Equações Separáveis
Teorema 3: Seja o PVI dado por{
y ′ = g(x)h(y)
y(x0) = y0
tal que h(y0) 6= 0. Então a solução y(x) pode ser obtida
por: ∫
1
h(y)
dy =
∫
g(x) dx + K
Demonstração:
Como h(y0) 6= 0, existe um intervalo I , contendo x0 tal
que h(y(x)) 6= 0,∀x ∈ I .
Erwin Doescher (ICT/SJC) EDO 1a ordem UNIFESP – 2017 22 / 27
EDO de 1a ordem – Equações Separáveis
Logo,
y ′ = g(x)h(y)⇒ y
′
h(y)
= g(x)⇒
⇒
∫
y ′
h(y)
dx =
∫
g(x) dx
Fazendo a mudança de variável y = y(x) na primeira
integral, temos que dy = y ′dx e:∫
y ′
h(y)
dx =
∫
1
h(y)
dy =
∫
g(x) dx + K
Erwin Doescher (ICT/SJC) EDO 1a ordem UNIFESP – 2017 23 / 27
EDO de 1a ordem – Equações Separáveis
Exemplo 15: Resolva oPVI{
y ′ = xy 2
y(0) = 1
Solução:
Temos uma equação separável com g(x) = x e
h(y) = y 2, sendo que h(y0) = h(1) = 1 6= 0.
Logo, ∫
1
h(y)
dy =
∫
g(x) dx + K ⇒
⇒
∫
1
y 2
dy =
∫
x dx + K ⇒ −1
y
=
x2
2
+ K
Erwin Doescher (ICT/SJC) EDO 1a ordem UNIFESP – 2017 24 / 27
EDO de 1a ordem – Equações Separáveis
Assim,
y(x) = − 2
x2 + 2K
Mas, pela condição inicial, y(0) = 1, ou seja:
1 = y(0) = − 2
02 + 2K
⇒ 2K = −2
Portanto, a solução do PVI é dada por
y(x) = − 2
x2 − 2
Erwin Doescher (ICT/SJC) EDO 1a ordem UNIFESP – 2017 25 / 27
Exerćıcios
1a) Resolva o PVI
y ′ =
3x2 + 4x + 2
2y − 2
y(0) = −1
1b) Determine o intervalo em que a solução é válida.
Erwin Doescher (ICT/SJC) EDO 1a ordem UNIFESP – 2017 26 / 27
Exerćıcios Adicionais
Guidorizzi, vol. 4:
•Exerćıcios 10.2 (1, 2, 3), pág. 178;
•Exerćıcios 10.3 (1, 2), pág. 187;
Leitura Complementar:
Boyce e Diprima: caṕıtulo 1, pág. 1 a 4
Erwin Doescher (ICT/SJC) EDO 1a ordem UNIFESP – 2017 27 / 27
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