8) Um fato interessante é que se M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 for uma equação homogênea, então terá µ(x, y) = 1/xM(x, y) + yN(x, y) como fator int...

Para resolver a equação diferencial 2ydx - xdy = 0, primeiro precisamos verificar se ela é homogênea. Podemos fazer isso verificando se a equação é invariante sob a transformação x → tx e y → ty para qualquer t ≠ 0. 2ydx - xdy = 0 é homogênea de grau 1, pois se substituirmos x por tx e y por ty, a equação se torna: 2tydx - txdy = 0 Podemos ver que a equação é invariante sob essa transformação. Agora, podemos usar o fator integrante µ(x, y) = 1/xM(x, y) + yN(x, y) = 1/2y para resolver a equação. Multiplicando ambos os lados da equação por µ(x, y), obtemos: 1/x dx - 1/2y dy = 0 Integrando ambos os lados, obtemos: ln|x| - ln|2y| = ln|C| Onde C é a constante de integração. Simplificando, obtemos: ln|x/2y| = ln|C| Tomando exponencial em ambos os lados, obtemos: |x/2y| = C Ou seja, a solução geral da equação diferencial é: x = Cy Para resolver a equação diferencial dy/dx = x² + 3y²/2xy, podemos primeiro reescrevê-la como: 2ydy = (x² + 3y²)dx Novamente, podemos verificar que a equação é homogênea de grau 1. O fator integrante é µ(x, y) = 1/xM(x, y) + yN(x, y) = 1/x. Multiplicando ambos os lados da equação por µ(x, y), obtemos: 2y/x dy = (x + 3y²/2x)dx Integrando ambos os lados, obtemos: ln|x| + ln|y²| = (x²/2) + ln|C| Onde C é a constante de integração. Simplificando, obtemos: ln|x y²| = (x²/2) + ln|C| Tomando exponencial em ambos os lados, obtemos: |x y²| = Ce^(x²/2) Ou seja, a solução geral da equação diferencial é: xy² = Ce^(x²/2)