09-Series_Fourier_parte2

Edo Calculo III

•

USP-LN

RICARDO BRANDAO

26/10/2023

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Edo Calculo III

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Séries de Fourier
(Continuação)
Erwin Doescher
ICT/SJC
UNIFESP – 2017
Erwin Doescher (ICT/SJC) Séries de Fourier UNIFESP – 2017 1 / 23
1 Séries de Fourier
Identidade de Parseval
Funções periódicas
2 Exerćıcios
Erwin Doescher (ICT/SJC) Séries de Fourier UNIFESP – 2017 2 / 23
Séries de Fourier:
Identidade de Parseval
Erwin Doescher (ICT/SJC) Séries de Fourier UNIFESP – 2017 3 / 23
Séries de Fourier – Identidade de Parseval
Teorema 1: (Identidade de Parseval) Seja uma função
f : R −→ R seccionalmente diferenciável e an, bn os
coeficientes da série de Fourier de f . Então
1
π
∫ π
−π
f 2(x) dx =
a20
2
+
∞∑
n=1
(
a2n + b
2
n
)
Demonstração: Temos
f (x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
(ancos nx + bn sen nx)⇒
f (x)f (x) =
a0
2
f (x) +
∞∑
n=1
(anf (x)cos nx + bnf (x) sen nx)
Erwin Doescher (ICT/SJC) Séries de Fourier UNIFESP – 2017 4 / 23
Séries de Fourier – Identidade de Parseval
Logo,∫ π
−π
f 2(x) dx =
a0
2
∫ π
−π
f (x) dx +
+
∞∑
n=1
(
an
∫ π
−π
f (x)cos nx dx + bn
∫ π
−π
f (x) sen nx dx
)
Portanto,∫ π
−π
f 2(x) dx =
a0
2
a0π +
∞∑
n=1
(ananπ + bnbnπ)⇒
⇒ 1
π
∫ π
−π
f 2(x) dx =
a20
2
+
∞∑
n=1
(
a2n + b
2
n
)
Erwin Doescher (ICT/SJC) Séries de Fourier UNIFESP – 2017 5 / 23
Séries de Fourier – Identidade de Parseval
Exemplo 1: Vimos anteriormente que os coeficientes da
série de Fourier da função
f (x) =
{
−1 , se −π 6 x < 0
1 , se 0 6 x < π
são dados por:
an = 0,∀n,
bn = 0, para n par e
bn =
4
nπ , para n ı́mpar.
Erwin Doescher (ICT/SJC) Séries de Fourier UNIFESP – 2017 6 / 23
Séries de Fourier – Identidade de Parseval
Como f 2(x) = 1,∀x ∈ [−π, π], temos, pela Identidade de
Parseval:
1
π
∫ π
−π
f 2(x)dx =
a20
2
+
∞∑
n=1
(
a2n + b
2
n
)
⇒
⇒ 1
π
∫ π
−π
1dx =
02
2
+
∞∑
n=1
(
02 + b2n
)
⇒
⇒ 2 =
∞∑
n=1
b2n =
∞∑
k=0
(
4
(2k + 1)π
)2
⇒
⇒ 16
π2
∞∑
k=0
1
(2k + 1)2
= 2⇒
∞∑
k=0
1
(2k + 1)2
=
π2
8
Erwin Doescher (ICT/SJC) Séries de Fourier UNIFESP – 2017 7 / 23
Séries de Fourier:
Funções periódicas
Erwin Doescher (ICT/SJC) Séries de Fourier UNIFESP – 2017 8 / 23
Séries de Fourier – Funções periódicas
Definição 1: Dizemos que uma função f : R −→ R é
periódica de peŕıodo T se f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ R.
Exemplo 2: As funções cos x e sen x são periódicas de
peŕıodo 2π, pois
cos (x + 2π) = (cos x)(cos 2π)− ( sen x)( sen 2π) =
= (cos x)1− ( sen x)0 = cos x
e
sen (x + 2π) = ( sen x)(cos 2π) + (cos x)( sen 2π) =
= ( sen x)1 + (cos x)0 = sen x
Erwin Doescher (ICT/SJC) Séries de Fourier UNIFESP – 2017 9 / 23
Séries de Fourier – Funções periódicas
Lema 1: Sejam f , g funções periódicas de peŕıodo T .
Então as seguintes funções são periódicas de peŕıodo T :
(a) αf + βg , para quaisquer constantes α, β ∈ R.
(b) fg , sendo (fg)(x) = f (x)g(x).
(b) h(x) = f (kx), para qualquer constante k ∈ Z.
Demonstração:
(a)
(αf + βg)(x + T ) = αf (x + T ) + βg(x + T ) =
= αf (x) + βg(x) = (αf + βg)(x)
Erwin Doescher (ICT/SJC) Séries de Fourier UNIFESP – 2017 10 / 23
Séries de Fourier – Funções periódicas
(b)
(fg)(x + T ) = f (x + T )g(x + T ) = f (x)g(x) =
= (fg)(x)
(c) Se k > 0, temos:
h(x + T ) = f (kx + kT ) = f (kx + (k − 1)T + T ) =
= f (kx + (k − 1)T ) = f (kx + (k − 2)T + T ) =
= f (kx + (k − 2)T ) = . . . = f (kx + (k − k)T + T ) =
= f (kx) = h(x)
Para k < 0, análogo.
Erwin Doescher (ICT/SJC) Séries de Fourier UNIFESP – 2017 11 / 23
Séries de Fourier – Funções periódicas
Teorema 2: Seja uma função f : R −→ R que pode ser
representada pela série de Fourier:
f (x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
(ancos nx + bn sen nx)
Então f é periódica de peŕıodo 2π.
Demonstração:
f (x + 2π) =
=
a0
2
+
∞∑
n=1
[ancos n(x + 2π) + bn sen n(x + 2π)] =
=
a0
2
+
∞∑
n=1
(ancos nx + bn sen nx) = f (x)
Erwin Doescher (ICT/SJC) Séries de Fourier UNIFESP – 2017 12 / 23
Séries de Fourier – Funções periódicas
Exemplo 3: Vimos anteriormente que a série de Fourier
da função
f (x) =
{
−1 , se −π 6 x < 0
1 , se 0 6 x < π
é dada por
∞∑
k=0
4
(2k + 1)π
sen (2k + 1)x .
Para obter o gráfico da função resultante da série no
intervalo [−10, 10], vamos considerar a soma dos 2500
primeiros termos da série, ou seja,
2500∑
k=0
4
(2k + 1)π
sen (2k + 1)x
Erwin Doescher (ICT/SJC) Séries de Fourier UNIFESP – 2017 13 / 23
Séries de Fourier – Funções periódicas
Gráfico:
Erwin Doescher (ICT/SJC) Séries de Fourier UNIFESP – 2017 14 / 23
Séries de Fourier – Funções com peŕıodo arbitrário
Seja f : R −→ R uma função com peŕıodo T = 2L > 0.
Para encontrar a série de Fourier de f , devemos
transformá-la em uma função de peŕıodo 2π.
A função g(x) = Lxπ é linear com g(−π) = −L e
g(π) = L. Logo, esta função mapeia o intervalo [−π, π]
no intervalo [−L, L].
Assim, a função f ◦ g dada por (f ◦ g)(x) = f (g(x)) é
uma função periódica de peŕıodo 2π.
⇒ Podemos obter a série de Fourier de f ◦ g .
Erwin Doescher (ICT/SJC) Séries de Fourier UNIFESP – 2017 15 / 23
Séries de Fourier – Funções com peŕıodo arbitrário
A série de Fourier de f ◦ g será dada por:
f (g(x)) =
a0
2
+
∞∑
n=1
(ancos nx + bn sen nx)
sendo que:
an =
1
π
∫ π
−π
f (g(x))cos nx dx , n = 0, 1, 2, . . .
bn =
1
π
∫ π
−π
f (g(x)) sen nx dx , n = 1, 2, . . .
Erwin Doescher (ICT/SJC) Séries de Fourier UNIFESP – 2017 16 / 23
Séries de Fourier – Funções com peŕıodo arbitrário
Fazendo a mudança de variável y = g(x) =
Lx
π
, temos
x =
πy
L
e
an =
1
π
∫ π
−π
f (g(x))cos nx dx =
=
1
π
∫ L
−L
f (y)
(
cos
nπy
L
) π
L
dy =
=
1
π
π
L
∫ L
−L
f (y)cos
nπy
L
dy =
=
1
L
∫ L
−L
f (y)cos
nπy
L
dy
Erwin Doescher (ICT/SJC) Séries de Fourier UNIFESP – 2017 17 / 23
Séries de Fourier – Funções com peŕıodo arbitrário
De modo análogo,
bn =
1
π
∫ π
−π
f (g(x)) sen nx dx =
=
1
L
∫ L
−L
f (y) sen
nπy
L
dy
Fazendo a mesma mudança de variável na série:
f (g(x)) =
a0
2
+
∞∑
n=1
(ancos nx + bn sen nx)⇒
f (y) =
a0
2
+
∞∑
n=1
(
ancos
nπy
L
+ bn sen
nπy
L
)
Erwin Doescher (ICT/SJC) Séries de Fourier UNIFESP – 2017 18 / 23
Séries de Fourier – Funções com peŕıodo arbitrário
Teorema 3: Seja f : R −→ R uma função com peŕıodo
2L > 0. A série de Fourier de f (x) será dada por:
a0
2
+
∞∑
n=1
(
ancos
nπx
L
+ bn sen
nπx
L
)
sendo que:
an =
1
L
∫ L
−L
f (x)cos
nπx
L
dx , n = 0, 1, 2, . . .
bn =
1
L
∫ L
−L
f (x) sen
nπx
L
dx , n = 1, 2, . . .
Erwin Doescher (ICT/SJC) Séries de Fourier UNIFESP – 2017 19 / 23
Exemplo 4: Encontre a série de Fourier da função:
f (x) =
{
−1 , se −5 6 x < 0
1 , se 0 6 x < 5
Solução:
Como f (x) é uma função ı́mpar, temos que an = 0,∀n.
bn =
1
5
∫ 5
−5
f (x) sen
nπx
5
dx =
=
1
5
∫ 0
−5
− sen nπx
5
dx +
1
5
∫ 5
0
sen
nπx
5
dx =
= − 1
5
· 5
nπ
(−cos nπx
5
)
∣∣∣∣0
−5
+
1
5
· 5
nπ
(−cos nπx
5
)
∣∣∣∣5
0
=
=
2
nπ
[1− (−1)n]
Erwin Doescher (ICT/SJC) Séries de Fourier UNIFESP – 2017 20 / 23
Ou seja,
bn =
{
0 se n for par
4
nπ se n for ı́mpar
Portanto,
f (x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
(
ancos
nπx
5
+ bn sen
nπx
5
)
=
=
∞∑
n=1
bn sen
nπx
5
=
=
∞∑
k=0
4
(2k + 1)π
sen
(2k + 1)πx
5
Erwin Doescher (ICT/SJC) Séries de Fourier UNIFESP – 2017 21 / 23
Obs. 1: A identidade de Parseval continua valendo para
funções de peŕıodo 2L, com as devidas adequações:
Teorema 4: (Identidade de Parseval) Seja uma função
f : R −→ R seccionalmente diferenciável e an, bn os
coeficientes da série de Fourier de f . Então
1
L
∫ L
−L
f 2(x) dx =
a20
2
+
∞∑
n=1
(
a2n + b
2
n
)
Erwin Doescher (ICT/SJC) Séries de Fourier UNIFESP – 2017 22 / 23
Exerćıcios
1a) Obtenha a série de Fourier da função f (x) = x , periódica de
peŕıodo 2L = 4.
1b) Aplicando a identidade de Parseval na série obtida no exerćıcio
1a), verifique que
∞∑
n=1
1
n2
=
π2
6
Erwin Doescher (ICT/SJC) Séries de Fourier UNIFESP – 2017 23 / 23
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	Funções periódicas
	Exercícios