ZZ (08 2) 1 3 (A4) 3 (Livro) Introdução ao Processamento Digital de Sinal e Sequências Discretas

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Introdução
PROCESSAMENTO DIGITAL DEPROCESSAMENTO DIGITAL DE
SINAISSINAIS
INTRODUÇÃO AO PROCESSAMENTOINTRODUÇÃO AO PROCESSAMENTO
DIGITAL DE SINAL E SEQUÊNCIASDIGITAL DE SINAL E SEQUÊNCIAS
DISCRETASDISCRETAS
Au to r : M a . R a f a e l a G u i m a rã e s
R ev i s o r : M e . J a i m e G ro s s G a rc i a
Tempo de leitura do conteúdo estimado em 1 hora e 13 minutos.
Prezado(a) estudante, é com entusiasmo que convido você para a leitura deste material. Durante
nosso estudo, abordaremos o Processamento Digital de Sinais (PDS), uma área da Engenharia em
franca expansão , ainda mais com o nosso mundo se tornando cada vez mais envolto por sinais .
Tanto os sinais sonoros como os sinais de imagem e os sistemas de monitoramento utilizam
técnicas de processamento digital de sinais. Podemos limpar um ruído presente em um sinal,
decompor um sinal em imagens e até mesmo reproduzir um sinal desconhecido aplicando as
técnicas de PDS. Neste material, vamos iniciar o estudo do PDS pela de�nição e diferenciação de
sinais analógicos e digitais , abordando, também, o processador digital de sinais, sua maneira de
trabalhar e sua área de atuação. Depois, vamos entender como podemos digitalizar sinais
analógicos e qual a maneira correta de amostrá-los, para que tenhamos um bom processamento, da
mesma maneira que vamos explicar como um sinal digital depois do processamento voltará a se
tornar um sinal analógico. Continuando nosso estudo, de�niremos as principais propriedades
matemáticas utilizadas no processamento digital de sinais, começando pela transformada de
Fourier e como são feitos os sinais senoidais discretos e contínuos . A seguir, abordaremos a
normalização das frequências e a de�nição das funções impulso e degrau unitário .
Caro(a) estudante, você sabia que o Processamento Digital de Sinais (PDS) está presente de uma
forma constante em nosso dia a dia ? Como exemplos, podemos citar vários aparelhos
eletroeletrônicos, que se tornaram essenciais para nossa rotina, como o aparelho celular, a televisão
etc. Além disso, essa área da Engenharia se expandiu e, hoje, interage com várias outras, como a
Medicina , no monitoramento dos pacientes, os jogos e programas de VR (Realidade Virtual), a
automação industrial e muitas outras áreas.
Os sinais são representados matematicamente como “funções de uma ou mais variáveis
independentes” (OPPENHEIM, 2010, p. 2). “O som pode ser processado como a pressão acústica
em função do tempo e uma imagem pode ser processada como o brilho passando por duas
variáveis no espaço (x e y)” (OPPENHEIM, 2010, p. 2).
Introdução ao
Processamento Digital de
Sinais
Podemos de�nir o PDS como a representação de sinais analógicos , que variam continuamente no
tempo, por sinais digitais , que possuem uma lógica de 0 (desligado, falso) ou 1 (ligado, verdadeiro),
tentando aproximar o sinal analógico do sinal digital, para que este possa ser processado e
trabalhado no sentido de melhorar, reduzir ou até mesmo expandir o sinal. O�cialmente, o PDS é
de�nido por:
Análise matemática e prática do tratamento da informação como compreendida pelos
processadores, estudando quais os efeitos da operação de amostragem em um sinal
analógico para transformá-lo em um sinal digital, para a reconstrução de um sinal digital
em um sinal analógico e todas as operações possíveis para a representação numérica e
computacional de um sinal digital  (NALON, 2013, p. 1).
A quase totalidade dos sinais presentes na natureza é analógica , como a nossa voz (pressão que
exercemos empurrando o ar), os sinais de captura de imagem, a temperatura, velocidade etc., ou
seja, “esses sinais são representados por uma função contínua, a cada instante podemos receber
uma informação do sinal e, por esse motivo, os sinais não podem ser representados e tratados
adequadamente por um processador digital” (NALON, 2013, p. 1).
Para processar um sinal, precisamos que ele seja discretizado , ou seja, precisamos de amostras do
sinal para instantes especí�cos de tempo . Ao processo de armazenamento e processamento de
sinais analógicos damos o nome de amostragem , e, com isso, o processador digital pode
reconstruir o sinal processado e tratá-lo, e, assim, obter um resultado analógico novamente.
Para o estudo do PDS, devemos entender primeiramente como os sinais são classi�cados.
1. Sinais analógicos: sinais contínuos que variam em amplitude e comprimento com o tempo.
2. Sinais digitais: sinais discretos ou uma sequência de números (geralmente, variando entre os
valores de�nidos como 0 ou 1 - lógica binária). Quanto maior a representação de números 0 ou
1 (chamados de bites ), melhor o sinal digital representará o sinal analógico.
Portanto, um sinal pode ser analógico ou digital, nunca os dois. Às vezes, temos di�culdade de
perceber que o sinal é analógico, porque sua leitura é mostrada digitalmente, como os medidores de
temperatura presentes em aparelhos de ar-condicionado ou nos medidores de velocidade de
nossos carros. No entanto, um sinal que varia continuamente com o tempo de forma aleatória é
analógico, e um sinal que varia de forma “ligada ou desligada, verdadeira ou falsa - em degraus” é
digital.
Sinais Analógicos e Sinais Digitais
Os sinais digitais podem ser de�nidos como “sinais discretos tanto no tempo como na amplitude”
(NALON, 2013, p. 2). Os processadores digitais processam somente números inteiros e, por isso, a
quantidade de sinal amostrada deve ser limitada , ou, como chamamos, quantizada . Isso quer dizer
que a amostra deve ser discretizada em amplitude (tomamos um determinado trecho do sinal ou
número de amostras), podendo, desse modo, armazenar o sinal analógico como um sinal digital .
Na �gura 1.1, a seguir, vemos um exemplo de um sinal analógico, em cinza, e um sinal digital, em
vermelho. Vamos analisá-la para entender melhor esse conceito.
Figura 1.1 - Sinal digital (em vermelho) x sinal analógico (em cinza).
#PraCegoVer : a �gura é formada em cima de um papel quadriculado com o eixo x sendo o eixo do tempo
e o y o eixo que representa a função que descreve o sinal amostrado, sendo que o sinal analógico é, de
certa forma, formado de várias ondas, com diferentes tamanhos (alturas chamadas de amplitude) e
comprimentos. Já o sinal digital tenta reproduzir a onda por “degraus”, quanto mais degraus tivermos,
melhor é a reprodução do sinal, e, se houver poucos degraus, o sinal �ca distorcido.
O sinal analógico foi decomposto em uma sequência de 0 ou 1 dada por 4 bites (00, 01, 10 ou 11),
ou seja, quando o sinal inicia, ele é igual a 00, depois, sobe abruptamente para 11, em seguida,
oscila para 10, sobe novamente para 11, se mantém em 11 e decresce para 01, fazendo o primeiro
ciclo da função, que tem a forma parecida com uma senoide.
SAIBA MAIS
A Burgos Eletrônica, por meio de seu proprietário Luiz Carlos
Burgo, gravou um vídeo sobre as curiosidades que envolvem a
digitalização do sinal de áudio. Nesse vídeo, é possível ter uma
ideia bem-de�nida de como um sinal sonoro é amostrado em um
sinal digital utilizando um AO (Ampli�cador Operacional) através
de amostras de 8 bits (combinações de 000, 001, 010, 011, 100,
101, 110, 111).
Para saber mais, acesse:
A S S I S T I R
Fonte: Burgos Eletrônica (2016).
O mesmo equipamento eletrônico pode possuir ambos os conversores A/D e D/A , como é o caso
dos aparelhos celulares, ou somente um conversor. Atualmente, temos alguns softwares que
auxiliam no processamento de um sinal, como o MatLab (Matrix Laboratory), o SciLab e o Octave,
sendo os dois últimos de licença gratuita para estudantes. A maioria dos conversores mostra
milhões de bytes por segundo e os softwares possuem algumas amostras de sinais, como sons de
trem, sinfônicas, etc., para que possamos trabalhar o PDS nessas amostras, além da possibilidade
de realizar o download de novos sinais e adicioná-los às bibliotecas dos programas.
Processador Digital de Sinal
Agora, prezado(a) estudante, estudaremos como ocorre o processamento de um sinal analógico
que chamaremos de x (t). Esse sinal analógicoé capturado pelo conversor A/D (Analógico/Digital)
e convertido no sinal digital x [n], em que o n entre os colchetes indica o número de amostras do
sinal original que foi capturado. Esse sinal é processado digitalmente (podemos somá-lo a outro
sinal, subtrair os ruídos, multiplicá-lo por um número ou por uma fração etc.). Agora, o sinal digital
que foi processado é chamado de y [n]. Depois, ele é novamente transmitido a um processador,
mas, desta vez, a um processador inverso , tipo D/A (Digital/Analógico), para ser transmitido
novamente ao usuário ou emissor do sinal analógico inicial.
O exemplo �ca melhor ilustrado se imaginarmos que o primeiro captor A/D é nosso aparelho celular
e o sinal x (t) é a nossa voz . O aparelho celular converterá nossa fala em um sinal digital, para
transmiti-lo pela rede móvel de dados, até que outro aparelho celular faça a reconversão D/A, para
que o nosso interlocutor possa ouvir o que dissemos. A Figura 1.2 ilustra melhor esse processo,
portanto, vamos entendê-la.
Sendo que:
x (t) - representa um sinal analógico contínuo no tempo;
x [n] - representa o sinal x (t) amostrado com n amostras, sinal este que agora é digital;
y [n] - representa o sinal digital y modi�cado, ou seja, foi realizado algum tipo de
processamento para melhorar, comprimir ou transmitir o sinal original;
c
c
Figura 1.2 - Processador de sinal.
Fonte: Nalon (2013, p. 2).
#PraCegoVer : o sinal analógico x (t) é amostrado para o sinal x [n], por meio de n amostras coletadas por
um conversor A/D (Analógico/Digital,) e processado no sinal y [n], por meio de um processador de sinal.
Depois, ele é reconvertido no sinal analógico y (t) pelo conversor D/A (Digital/Analógico).
c
c
c
c
y (t) - representa o sinal modi�cado y [n] convertido novamente em um sinal analógico.
Desse modo, o PDS é iniciado com a transformação dos sinais analógicos presentes no nosso dia a
dia por meio de ondas sonoras, imagens ou sinais emitidos; por exemplo, por órgãos humanos,
sistemas de monitoramento de trânsito etc.; em amostras para que seja efetuada a transformação
dos sinais analógicos em sinais digitais. Assim, esses sinais podem ser processados através do
teorema de amostragem que estabelece o número de amostras mínimo para que o sinal analógico
não sofra distorção ou �que, até mesmo, prejudicado, havendo partes faltantes.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Leia o excerto a seguir:
“[...] um sinal discreto é representado por uma sequência numérica, que pode ser vista como uma
função contínua de uma variável discreta. Convencionalmente, o domínio desta sequência é
representado por n, sendo que n ∈ ℤ, ou seja, é um número inteiro.”
NALON, J. A. Introdução ao processamento digital de sinais . Rio de Janeiro: LTC, 2013. p. 5.
c
S A I B A M A I S
O artigo intitulado “Introdução a processadores de sinais digitais - DSP”, dos autores  Nunes, Albuquerque
e Albuquerque (2006), explica a diferença entre os sinais analógicos - a maioria dos sinais que temos no
nosso mundo - e os sinais digitais - os sinais produzidos pelos aparelhos eletroeletrônicos.
Para ler o artigo na íntegra e saber mais sobre o assunto, acesse:
http://www.cbpf.br/~rastuto/pdf/NT-CBPF001-2006.pdf
http://www.cbpf.br/~rastuto/pdf/NT-CBPF001-2006.pdf
A partir da leitura sobre a de�nição de um sinal discreto e dos seus conhecimentos, analise as
asserções a seguir sobre a �gura apresentada e assinale a única alternativa verdadeira.
a) Os sinais analógicos podem ser amostrados apesar do fato de que eles variam no
tempo.
b) O sinal sonoro da nossa voz é um sinal digital feito com variações de 0 e 1 que pode ser
representado pela senoide acima.
c) Os sinais da imagem de aparelhos de televisão são sinais que ocorrem nas três
coordenadas x, y e z.
d) O número de amostras colhido do sinal mostrado na �gura é igual a 15 e o pico
negativo do sinal ocorre no instante 10.
e) A amplitude do sinal amostrado varia entre +1 e -1, sendo que o pico positivo do sinal
ocorre no instante 5.
Figura - Sinal analógico tracejado amostrado através dos sinais contínuos.
Fonte: Nalon (2013, p. 6).
#PraCegoVer : o sinal analógico é uma senoide variando de + 1,0 a - 1,0. O sinal digital é
formado por 16 (de 0 a 15) amostras variando o seu tamanho entre 1,0 e - 1,0, com destaques
para os tamanhos intermediários de 0,5 e - 0,5. O pico positivo ocorre no instante 0 e o pico
negativo no instante 10.
Digitalização de Sinais
Analógicos
Prezado(a) estudante, você sabia que a digitalização de sinais analógicos é a primeira fase do
processamento de sinais?
Então, o primeiro passo do PDS é captar esses sinais por meio de amostras e transformá-los em
sinais digitais . Para que essa captação ocorra sem que o sinal seja distorcido , temos que amostrar
o sinal analógico segundo o Teorema de Nyquist , ou seja, em um número de amostras que deve ser
o dobro do número da frequência que limita o sinal.
Teorema de Nyquist e Amostragem
O Teorema da Amostragem ou Teorema de Nyquist garante que a amostra coletada do sinal
analógico é capaz de reproduzir o sinal que varia de - a + de forma satisfatória. Mesmo que o
sinal não varie de todo esse tempo, consideramos um sinal analógico - como uma mensagem de
voz no celular - como uma amostra de sinal analógico, ou seja, esse sinal irá variar no tempo. Nalon
(2013, p. 93) a�rma que “funções discretas podem ser obtidas por meio da operação de
amostragem de um sinal contínuo”. Além disso, também de�ne o intervalo ou período de
amostragem, chamado de T , pela “informação da amplitude do sinal, e cada uma dessas
informações é uma amostra da sequência discreta resultante” (NALON, 2013, p. 93). Podemos,
então, de�nir T por:
                                                                                (Equação 1.1)
sendo que:
 é a frequência de amostragem.
Para termos a certeza de que a amostra do sinal será su�ciente para representar o sinal em sua
totalidade, Nalon (2013) também de�ne de forma matemática a amostragem de um sinal por meio
da fórmula:
Fonte: aleksanderdn / 123RF
Os sinais são, em sua grande maioria, analógicos , ou seja, eles
são contínuos (ocorrem, como costumamos dizer, de todo o
sempre e para todo o sempre, ou de - a + ) .∞ ∞
∞ ∞
a
a
=fa 1Ta
fa
                                                                                          (Equação 1.2)
onde:
 é o sinal analógico que será amostrado;
 é o número de amostras feitas do sinal analógico;
 é o intervalo de amostragem.
A Figura 1.3, apresentada a seguir, mostra um sinal analógico, representado pela linha tracejada
com as amostras coletadas representadas pelas setas. A taxa de amostragem - T desse sinal é de
0,5 s e a frequência de amostragem - é igual a 2. Vamos analisar a �gura e agregar mais
conhecimento e informação ao nosso estudo.
Figura 1.3 - Amostragem de um sinal contínuo com intervalo de amostragem Ta = 0,5 s.
Fonte: Nalon (2013, p. 93).
#PraCegoVer : o sinal analógico, que começa em 0,8, atinge o pico em 1 e decai até 0,4, foi amostrado em
intervalos de 0,5 segundos, totalizando 12 amostras feitas com n variando de -2 até +4. Esse sinal tem
formato parabólico, de uma equação de 2º grau. A linha tracejada mostra o sinal original e as setas
mostram as amostras coletadas.
O Teorema da Amostragem de Nyquist-Shannon reduz os erros de aliasing , que, por de�nição, são
dados pela “distorção resultante por causa da superposição existente entre os espectros
replicados” (NALON, 2013, p. 95). Essas distorções são de�nidas por “mudanças desconfortáveis
no timbre do som em sinais de áudio, serrilhado aparente nas bordas dos objetos em imagens ou
pulos na animação de sinais de vídeo, podendo ser também chamadas de sinais espúrios em outros
tipos de sinais” (NALON, 2013, p. 95).
Esses erros podem ser mitigados pela limitação em frequência da amostragem, de acordo com o
Teorema da Amostragem de Nyquist (também conhecido como Teorema da Amostragem). O
referido teorema, de acordo com Nalon (2013),nos diz que:
[...] se x (t) é um sinal limitado em frequência, então ele é unicamente determinado por
suas amostras, podendo ser reconstruído sem distorção se a frequência de amostragem
x[n] = (n )xc Ta
(t)xc
n
Ta
a
fa
c
for o dobro da frequência limitante do sinal. Se esta condição não for satisfeita, então os
espectros replicados se sobreporão, e haverá distorção de aliasing (NALON, 2013, p. 97).
Matematicamente, o Teorema da Amostragem de Nyquist é de�nido por Oppenheim et al . (2012, p.
94) como:
“Seja x (t) um sinal de banda limitada com
X (jΩ) = 0 para Ω                                                            (Equação 1.3)
Então x (t) é determinado unicamente por suas amostras x[n] = x (n T), com n variando de n = 0,
, …, se:
Ω = 2 Ω ”                                                                             (Equação 1.4)
A frequência Ω é conhecida por frequência de Nyquist e a frequência 2 Ω é denominada de taxa
de Nyquist.
O sinal amostrado de acordo com a taxa de Nyquist é chamado de sinal criticamente amostrado.
Atendendo ao teorema de Nyquist, podemos garantir que o sinal analógico original foi
convenientemente amostrado para que possa, agora, ser processado . Geralmente, o sinal
analógico é amostrado utilizando algumas funções, como a função impulso ou a função degrau .
Quantização, Codificação e Reconstrução de Sinal
Analógico
c
c |Ω| ≥ N
c c
±1, ±2
s ≥2ΠT N
N N
SAIBA MAIS
No vídeo a seguir, o professor Aldebaro Klautau mostra diferentes
sinais amostrados e o Teorema da Amostragem. Esse material
ajudará você, caro(a) estudante, a entender melhor como os sinais
podem ser corretamente amostrados e o erro de distorção (
Aliasing ), que ocorre quando um sinal não é amostrado em sua
totalidade.
Para assistir ao vídeo e saber mais, acesse:
A S S I S T I R
Fonte: Klautau (2014).
Depois que o sinal analógico foi convertido em sinal digital e processado para, por exemplo,
melhoramento do sinal com a retirada dos ruídos , ele pode ser reconvertido em um sinal analógico
. Esta operação é conhecida como a operação inversa da amostragem ou de reconstrução do sinal
original .
Por de�nição, de acordo com Nalon (2013), a operação de reconstrução de um sinal amostrado
[...] consiste em obter, a partir das amostras de um sinal discreto, o sinal analógico
correspondente. De certo modo, pode ser vista como a operação inversa da amostragem,
desde que o sinal a ser reconstruído tenha sido amostrado de maneira adequada e não
tenha sofrido distorções devido ao aliasing ou à �ltragem antialiasing (NALON, 2013, p.
100).
Para o processo de reconversão do sinal amostrado, devemos, primeiramente, converter a
sequência x [n] em uma sequência chamada de trem de impulsos modulados , demonstrada por x
(t). A função de impulso é dada por um pico instantâneo no valor de 1 (lógica digital) vez a
amplitude do sinal original. Depois, cada impulso deve ser deslocado do período de amostragem,
expresso por T , do impulso anterior, de modo que:
x (t) = 𝜹 (t - n T )                                                   (Equação 1.5)
Podemos obter a transformada de Fourier do sinal x (t) através da sequência x [n], porque ꞷ é igual
a Ω T . Portanto, o sinal reconstruído terá um período igual a
                                                                                                (Equação 1.6)
O sinal resultante também é chamado de “lóbulo central do espectro devido ao fato de que ele será
a representação em frequência do sinal reconstruído”, de acordo com Nalon (2013, p. 100).
s
a
s x  [n]∑
∞
n = −∞ a
s
a
T = 2 π
Ta
Figura 1.4 - Espectro do sinal a ser reconstruído, com destaque para a componente central.
Fonte: Nalon (2013, p. 100).
#PraCegoVer : o sinal triangular é feito com o pico máximo do triângulo no instante igual a 0 e decaimento
para zero nos instantes - e (menos ômega índice a e mais ômega índice a). Essa é a mesma
frequência de repetição do sinal triangular - ômega índice a.
Ωa Ωa
Ωa
Esse processo é muito utilizado para a reconstrução de sinais digitais que não precisam de
�ltragem . Se o teorema de Nyquist foi respeitado na aquisição do sinal analógico original, dizemos
que esse sinal reconstruído foi limitado em banda.
Assim, pudemos observar que todos os sinais analógicos podem ser amostrados e transformados
em sinais digitais. Agora, para que ocorra o processamento do sinal em si, precisamos conhecer as
principais funções utilizadas em PDS, como as funções senoidais, impulso e degrau unitário, assim
como as principais operações matemáticas que podem ser feitas nos sinais digitais.
praticar
Vamos Praticar
De posse de todo o processo de conversão, processamento e reconversão de um sinal, procure na
Internet exemplos de sinais que satisfaçam o nosso �uxograma passo a passo.
SAIBA MAIS
O vídeo do professor Luis Aguirre demonstra o Teorema da
Amostragem por meio de um exemplo bastante didático, inclusive,
com a ilustração do trem de impulsos. Ele também apresenta as
condições de contorno, ou seja, a de�nição de taxa e período de
amostragem didaticamente, facilitando nossa compreensão.
Para assistir ao vídeo, acesse:
A S S I S T I R
Fonte: Aguirre (2016).
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Leia o excerto a seguir:
“[...] o erro causado pela quantização das amostras pode ser tratado como uma espécie de ruído.
Assim, é possível analisar sinais discretos apenas no tempo e considerar posteriormente os efeitos
causados pela quantização das amostras.”
NALON, J. A. Introdução ao processamento digital de sinais . Rio de Janeiro: LTC, 2013. p. 2.
Para suprimir os ruídos indesejados, é muito importante conhecermos e aplicarmos o Teorema da
Amostragem em Processamento Digital de Sinais. Considerando o texto analisado e seus
conhecimentos sobre o assunto, analise as asserções a seguir e assinale a única verdadeira.
a) Obedecendo ao Teorema da Amostragem garantimos que o sinal analógico foi
corretamente convertido em um sinal digital.
b) Obedecendo ao Teorema da Amostragem, garantimos que o sinal digital foi
corretamente convertido em um sinal analógico.
c) Devemos amostrar um valor superior ao triplo da frequência limitante do sinal para
obedecermos ao Teorema da Amostragem.
d) Devemos amostrar um valor superior ao da frequência limitante do sinal para
obedecermos ao Teorema da Amostragem.
Figura - Processador de sinal.
Fonte: Nalon (2013, p. 2).
#PraCegoVer : o sinal analógico xc (t) é amostrado para o sinal x [n], através de n amostras
coletadas por um conversor A/D (Analógico/Digital), e processado no sinal y [n], por meio de
um processador de sinal. Depois, ele é reconvertido no sinal analógico yc (t) pelo conversor
D/A (Digital/Analógico).
e) Os erros de Aliasing são mitigados se o Teorema da Amostragem for atendido mesmo
para valores superiores ao limite da banda.
Prezado(a) estudante, você sabia que os sinais são de�nidos como sistemas que transmitem
informações? Segundo Oppenheim (2010, p. 7), esses sinais podem “transmitir informações sobre o
estado ou o comportamento de um sistema físico”.
Os sinais podem ser discretos (digitais) ou contínuos (analógicos, já estudados nos tópicos
anteriores). Os sinais discretos podem ser contínuos quando são transmitidos de - a + , com a
diferença de que os sinais digitais seguem a lógica de 0 ou 1, ou seja, são transmitidos no seu valor
máximo ou mínimo a cada instante, e esse instante é representado por uma sequência de números.
Sinais e Sequências
Discretas
Geralmente, utilizamos sinais paraGeralmente, utilizamos sinais para
transmitir som transmitir som , , imagens imagens e e informações informações ,,
os quais permitem que ocorra aos quais permitem que ocorra a
comunicação comunicação entre entre homem homem e e máquina máquina . . 
∞ ∞
Geralmente, em PDS, analisamos sinais digitais discretos, tanto no tempo como na amplitude , por
serem mais facilmente processados pelos softwares disponíveis, mas nada nos impede de trabalharcom sinais mais so�sticados . Vamos começar de�nindo os sinais de tempo discretos.
Seja a sequência de números x, em que o n-ésimo número na sequência é representado por x [n],
podemos escrever este sinal de tempo discreto como:
                                                       (Equação 1.7)
onde:
n é um número inteiro.
Mas, se o sinal analógico que foi amostrado for um sinal denominado xc (t), temos que:
                                                       (Equação 1.8)
onde T é o período de amostragem.
Alguns sinais são particularmente importantes e devem ser melhor estudados, como os sinais
senoidais descritos a seguir.
Sinais Senoidais Discretos e Contínuos
Os sinais periódicos tipo x [n] podem ser transformados em um somatório de senoides , através de
uma série de Fourier (representada pela sigla FS, proveniente do termo em inglês Fourier Series).
Esta transformada é de�nida por Nalon (2013, p. 30) como “uma sequência discreta que é uma
função da variável contínua ꞷ que representa a frequência angular de cada componente”.
S A I B A M A I S
Você também pode veri�car na prática como é possível a produção de sons através de um programa com
o Arduino, que irá usar também a transformada de Fourier, funções senoidais e programação em Python. O
código utilizado no programa para tocar as músicas e o passo a passo para a montagem do circuito no
protoboard estão disponíveis em:
https://medium.com/@cafelouco/usando-a-transformada-de-fourier-para-construir-um-visualizador-de-
m%C3%BAsica-com-python-e-ardu%C3%ADno-57c98e723cdc
Fonte: Santos (2021).
x = x[n], −∞ < n < ∞
x[n] = (nT ), −∞ < n < ∞xc
https://medium.com/@cafelouco/usando-a-transformada-de-fourier-para-construir-um-visualizador-de-m%C3%BAsica-com-python-e-ardu%C3%ADno-57c98e723cdc
A transformada de Fourier (FT, proveniente do inglês Fourier Transform ) é dada por:
                  (Equação 1.9)
sendo que j é o número complexo de�nido pela (não utilizamos o símbolo i para não nos
confundirmos com a corrente elétrica, que é simbolizada pela letra i na Engenharia).
X (ꞷ) é chamada de representação em frequência do sinal ou espectro do sinal, nome dado por
analogia à decomposição da luz branca em ondas de diferentes frequências por um prisma, de
acordo com Nalon (2013, p. 30). Desse modo, podemos escrever a exponencial complexa por
um conjunto de funções seno e cosseno dadas por:
                                                       (Equação 1.10)
onde ꞷ representa a frequência analisada (em radianos).
Como todo número complexo, também podemos representar o conjunto X (ꞷ) por:
                                                       (Equação 1.11)
sendo que:
θ (ꞷ) é a fase de X (ꞷ) e o período da função exponencial é igual a 2 𝜋.
Assim, temos que a transformada de Fourier é uma transformação biunívoca , ou seja, inversível , o
que torna este equacionamento matemático válido, pois queremos converter e reconverter um sinal
analógico em digital e vice-versa.
SAIBA MAIS
Para saber mais sobre como os sons podem ser digitalizados e
produzidos pelos equipamentos eletrônicos, como o Arduino,
assista ao vídeo SMA803 - Fourier com Arduino e Python,
produzido por Camila Stenico. Acesse em:
A S S I S T I R
X(ꞷ) = 𝓕x[n] = x  [n]  ∑∞n=−∞ e
−jn
−1−−−√
e−jꞷn
= cos(ꞷn) − jsen(ꞷn)e−jꞷn
X(ꞷ) = |X(ꞷ)|ejθ(ꞷ)
REFLITA
Segundo Nalon (2013, p. 30), conhecendo a transformada de uma sequência discreta qualquer, é
possível obter a função original por meio da transformada inversa de Fourier dada por:
                                          (Equação 1.12)
A equação 1.12 é conhecida por síntese do sinal x [n]. Nalon (2013) a�rma que:
A periodicidade da exponencial complexa implica que a transformada de Fourier de um
sinal qualquer também repita seus valores em magnitude e fase no mesmo período. A
representação de apenas um período, portanto, é su�ciente para determinar
completamente o sinal no domínio da frequência, e estender a síntese além destes
limites não apenas é desnecessário como incorreto (NALON, 2013, p. 30-31).
Portanto, podemos representar muitos dos sinais digitais como funções de seno , cosseno ou
exponenciais , o que permite que o processamento desses sinais seja feito por meio da matemática
válida para a transformada e transformada inversa de Fourier.
Normalização de Frequências
A frequência normalizada é dada por:
                                                                                   (Equação 1.13)
sendo:
k - número do período;
N - o período do sinal em tempo discreto.
Para uma melhor compreensão, é como se nosso conversor analógico/digital (A/D) fosse
transformado em um conversor de tempo contínuo para tempo discreto, representado pela sigla
C/D. O conversor C/D seria um conversor A/C ideal, dessa forma, garantiríamos a digitalização das
amostras do sinal, a linearidade do processo de amostragem e que as amostras seriam feitas por
modelos os quais retiram a essência do sinal analógico.
Com o aumento da capacidade de processamento digital de sinais
e o rápido acesso que esse processamento está tendo em nossos
lares, nós, consumidores, podemos �car mais exigentes em
relação a serviços os quais antes não podíamos medir os
parâmetros de qualidade. Um exemplo é a energia elétrica, a qual,
agora, pode ser amostrada e processada facilmente nas
residências, permitindo aos consumidores saberem a qualidade da
energia que recebem. Como o acesso a essas tecnologias poderá
mudar a relação de consumo entre clientes e fornecedores no
futuro?
Fonte: Deckmann e Pomilio (2015).
x[n] = X  (ω) e dω12 π ∫
π
−π  
jωn
f = k
N
Matematicamente, esse processo é representado, de acordo com Oppenheim et al . (2012, p. 92),
por:
                      (Equação 1.14)
sendo 𝜹 (t) a função impulso unitário, conhecida também por função delta de Dirac.
Portanto, a sequência x [n], agora, é dada por uma sequência composta de trem de impulsos e
introduz uma normalização no tempo.
Logo:
                                                                           (Equação 1.15)
é uma versão de Xs (j Ω) com mudança de escala na frequência, sendo que este fator de
escala é dado por:
                                                                           (Equação 1.16)
Podemos interpretar também esta mudança na escala como a normalização do eixo da frequência
que será normalizada em:
                                                                           (Equação 1.17)
A normalização da escala da frequência em Xs (j Ω) para é um resultado direto da
normalização do tempo na transformação de xs (t) para x [n].
Como é possível utilizarmos a frequência normalizada de um sinal discreto, juntamente à
transformada de Fourier, para processar os sinais analógicos com o objetivo de retirada de ruídos,
tratamento de imagens, compressão ou redução do espaço ocupado pelos sinais amostrados,
vamos, agora, estudar as diferentes operações que podemos realizar para processar os sinais
digitais.
δ(t) = δ  (t  −  n T )∑∞n= −∞
X( )  =  Xs(jΩ)ej ω
X( )  ej ω
ω = ΩT
ω = 2π
X( ) ej ω
Operações com
Sequências Discretas
É possível realizar todas as operações algébricas para as sequências discretas, como adição,
subtração, multiplicação, divisão etc. E, para realizarmos essas operações, devemos tomar amostra
por amostra . As mais importantes operações que devem ser realizadas no processamento digital
de sinais são:
a operação de adição, que é de�nida por:
                                                        (Equação 1.18)
a operação de subtração, que será de�nida por:
                                                        (Equação 1.19)
a operação de multiplicação, que é de�nida por:
                                                        (Equação 1.20)
a operação de divisão de�nida por:
, se  x2 [n] 0 (Equação 1.21)
Outra operação muito comum em PDS é a multiplicação da sequência por um número escalar ,
dada por:
                                                        (Equação 1.22)
ondec é um número constante. Para c < 1, o valor de y [n] será maior do que x [n] e para c > 1, a
amplitude de y [n] será menor do que a da sequência original x [n]. Assim, modi�camos a amplitude
da sequência original.
A operação diferença ou diferenciação também é muito utilizada em PDS e é dada por:
                                                        (Equação 1.23)
Observação: podemos encontrar diferenças maiores aplicando sucessivamente a operação
diferença .
Outra fórmula muito utilizada em PDS é a do somatório , também conhecida como acumulação . Se
y [n] for o acúmulo de amostras ao longo do tempo discreto até um instante especí�co n, x [n] será
dado por:
                                                        (Equação 1.24)
Além da função senoidal, duas outras funções se destacam no processamento digital de sinais:
a função impulso unitário;
a função degrau unitário.
Essas funções são muito utilizadas na reconstrução dos sinais digitais para o analógico e devem
ser estudadas com maior profundidade.
y[n] = x1[n] + x2[n]
y[n] = x1[n] − x2[n]
y[n] = x1[n]x2[n]
y[n] =
 [n]x1
 [n]x2
≠
y[n] = cx[n]
Δx[n] = x[n] − x[n − 1]
y[n] = x  [k]∑nk = −∞
Impulso Unitário
A função impulso unitário discreta é a mais elementar utilizada em PDS e pode ser representada
por:
                                                         (Equação 1.25)
Ela também é conhecida por delta de Kronecker e está representada na �gura 1.5 abaixo.
Essa função representa um único sinal no instante t = 0 ou na primeira amostra, sendo que todo o
tempo anterior e posterior não possui nenhum sinal para ser representado.
Degrau Unitário
Já a função degrau unitário pode ser representada por:
                                                         (Equação 1.26)
Essa função está representada na Figura 1.6, a seguir. Vamos analisá-la.
δ  [n] =  { 1,   se n = 0
0,   se n  ≠ 0
Figura 1.5 - Função impulso unitário.
Fonte: Nalon (2013, p. 12).
#PraCegoVer : a função impulso é representada por um pico – o sistema altera de 0 para 1
instantaneamente no momento de acionamento da função, ou seja, no instante t = 0. Antes desse instante
e depois dele, a função impulso é dada por zero.
u  [n] =  { 1,   se n  ≥ 0
0,   se n < 0
Figura 1.6 - Função degrau.
Fonte: Nalon (2013, p. 13).
#PraCegoVer : a função degrau é dada por impulsos repetidos para instantes maiores ou iguais a zero, ou
seja, a função se eleva de zero para um instantaneamente. Para instantes inferiores a t = 0 a função
degrau é representada por zero.
Essa função representa sinais a partir do instante t = 0 ou na parte positiva das amostras, sendo
que todo o tempo anterior não possui sinais para serem representados.
Nalon (2013, p. 13) a�rma que “a função degrau unitário é a acumulação da função impulso,
enquanto que a função impulso é a primeira diferença do degrau”.
Áreas de atuação do processamento digital de sinais
Reconhecimento facial
Sistema de telefonia 5G
Área médica
Automação industrial
Fonte: Binksternet /Wikimedia Commons
#PraCegoVer : o infográ�co tem um título, em linha horizontal, que é “Áreas de atuação do processamento
digital de sinais”, e é composto por quatro tópicos. Ao clicar no primeiro tópico, é apresentado o título
“Reconhecimento facial” e, na sequência, há o texto: “cada vez mais, os sinais de imagem e de som
estarão associados ao uso de programas de reconhecimento facial. No futuro, pagaremos as nossas
contas usando apenas o nosso rosto”. Ao clicar no segundo tópico, é apresentado o título “Sistema de
telefonia 5G” e, na sequência, há o texto: “os sistemas de voz e de dados �carão cada vez mais
so�sticados, permitindo utilizar a internet do nosso celular como se fosse a internet de �bra óptica da
nossa casa”. Ao clicar no terceiro tópico, é apresentado o título “Área médica” e, na sequência, há o texto:
“o processamento digital de sinais permitirá que médicos realizem cirurgias de outros continentes ou por
meio de várias juntas médicas localizadas em diferentes locais”. Ao clicar no quarto tópico, é apresentado
o título “Automação industrial” e, na sequência, há o texto: “o processamento digital de sinais permitirá o
controle da indústria de casa (com o home o�ce ) e a garantia de que os serviços braçais serão feitos por
robôs, com ajustes na produção solicitados em tempo real, devido à velocidade de conexão e à
capacidade de processamento de informações de robôs”. Ao fundo dos quatro tópicos, é apresentada
uma imagem de cor preta, que possui várias linhas de cor branca na horizontal e na vertical. Na sequência,
a imagem tem sinais como se fossem ondas de elevação na cor roxa, que começam com baixa
intensidade e vão aumentando. Na vertical do quadro, há as seguintes informações: dB, 0, -12, -24, -36, -48,
-60, -72, -84, -96 e, na horizontal, Hz, 40, 80, 160, 640, 2560, 10240.
Agora que estudamos todo o processo de conversão de sinais analógicos em digitais, seu
processamento e reconversão, vamos praticar com um sinal amostrado.
É claro que o desenvolvimento dessa tecnologia foi difícil e havia todo um mercado para ser
desbravado, os sinais digitais eram vistos no início como a energia elétrica, quando esta foi
descoberta.
praticar
Vamos Praticar
Etapas do processamento digital de sinais
O processamento digital de sinais ocorre da representação em tempo discreto de um sinal
contínuo, obtido por meio de amostras do sinal periódico objeto de análise. Com o estudo feito
até aqui somado aos seus conhecimentos, vamos reproduzir um sinal para que seja possível a
identi�cação das diferentes etapas de processamento desse sinal.
O processamento digital de sinais ocorre em diversas etapas, dentre elas, podemos destacar as
quatro etapas a seguir.
1. Espectro do sinal amostrado.
2. Transformada de Fourier do sinal amostrado.
3. Trem de impulsos.
4. Caso em que o Teorema da Amostragem não tenha sido satisfeito.
De posse das �guras de sinais a seguir, classi�que os itens de a) a d) de acordo com cada etapa
denominada nos itens 1 a 4.
Figura - Etapas do processo de amostragem de um sinal.
Fonte: Oppenheim et al. (2012, p. 94).
#PraCegoVer : a primeira função representa um único sinal amostrado, que é formado por um
triângulo com o vértice no ponto zero e as laterais em - (ômega índice N negativo) e +
(ômega índice N positivo). A segunda função representa diferentes sinais de impulso
amostrados, começando em - 2 (ômega índice s negativo), - (ômega índice s negativo),
zero e + 2 (ômega índice s positivo), + (ômega índice s positivo). Na terceira etapa, os
sinais impulsos são convertidos em sinais triangulares com vértice na função impulso e largura
de - (ômega índice N negativo) até   (ômega índice N positivo). Na quarta etapa, são
somados sinais de diferentes frequências aos sinais triangulares anteriores, formando uma
sobreposição de triângulo com largura de - (ômega índice s menos ômega índice N).
Agora, ordene a ordem em que foram realizadas as etapas de processamento do sinal baseado
nas quatro etapas mencionadas.
 ΩN ΩN
Ωs  Ωs
Ωs Ωs
ΩN ΩN
Ωs ΩN
Material
Complementar
F I L M E
A guerra das correntes
Ano: 2019
Comentário: Este �lme mostra a batalha entre as correntes contínuas (que
podem ser comparadas aos sinais digitais) e as correntes alternadas (que
podem ser comparadas aos sinais analógicos), promovidas por Thomas
Edison, interpretado por Benedict Cumberbatch, e George Westinghouse.
Além de desenvolver o mercado de energia elétrica, eles deveriam vencer o
mercado de gás e dos lampiões que faziam o serviço de iluminação urbana.
O �lme indicado mostra os desa�os de estabelecer um mercado de um
serviço novo, como foi o desa�o de fornecer energia elétrica para os
consumidores no início do século. São estabelecidas semelhanças com o
desa�o que será a implantação do sistema 5G no Brasil, em que o objetivo é
utilizar o celular com a Internet de mesma qualidade que a Internet fornecida
por operadoras de banda larga, as quais utilizam �bras ópticas.
Para conhecer mais sobre o �lme, assistaao trailer disponível em:
TRA I LER
L I V R O
Introdução ao processamento digital de sinais
Editora: LTC
Autor: José Alexandre Nalon
ISBN: 978-85-216-1646-7
Comentário: Este livro explica os conceitos introdutórios de Processamento
Digital de Sinais de uma forma muito didática, com vários exemplos
resolvidos. Ele também aborda as principais áreas de atuação do
processamento digital de sinais e faz uma ampla revisão transformada de
Fourier. A obra detalha e revisa as principais etapas de amostragem,
processamento e reprocessamento de sinais, possibilitando ao aluno
ampliar o conhecimento e o domínio da matéria estudada.
Conclusão
Prezado(a) estudante, �nalizamos nosso estudo e a leitura deste material nos introduziu ao conceito de
processamento digital de sinais por meio das técnicas utilizadas para a coleta dos sinais digitais ,
presentes em nosso dia a dia. Utilizando conversores A/D (Analógico/Digitais), podemos amostrar uma
parte de sinais contínuos e transformá-los em sinais discretos , para que possam ser processados.
Também estudamos a transformada de Fourier e as principais relações matemáticas e sinais utilizados
neste processamento, para que seja possível retirar ruídos , comprimir ou expandir os sinais de nosso
interesse. Foram apresentados os principais sinais utilizados em PDS, como a função senoidal , degrau e
impulso , e as técnicas de reconstrução dos sinais para que eles possam ser recompostos e
reprocessados para serem transmitidos aos usuários em sua forma analógica . Adicionalmente, foram
apresentadas as técnicas para evitar erros de Aliasing por meio da obediência ao Teorema de
Amostragem, que garante que a amostra do sinal analógico foi su�ciente para que não sejam perdidas
partes do sinal que queremos processar.
Referências
A BATALHA DAS CORRENTES | Trailer O�cial (2019)
Legendado HD. [ S. l.: s. n. ], 2019. 1 vídeo (2 min 48 s).
Publicado pelo canal Mundo dos Trailers. Disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=LKH9wJTH5yc . Acesso
em: 15 maio 2021.
AMOSTRAGEM - parte 1. [ S. l.: s. n. ], 2014. 1 vídeo (19 min 3
s). Publicado pelo canal Aldebaro Klautau. Disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=5VYN91rAres&t=27s .
Acesso em: 15 mai. 2021.
CURIOSIDADES 08 Digitalização do sinal de áudio. [ S. l.: s. n. ], 2016. 1 vídeo (10 min 23 s). Publicado pelo
canal Burgoseletronica. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=FnrquGZukjU . Acesso em: 15
mai. 2021.
DECKMANN, S. M.; POMILIO, J. A. Medição de Flicker : processamento Direto e Análise RMS. Campinas,
[2015]. Disponível em: MEDIÇÃO DE FLICKER: PROCESSAMENTO DIRETO E ANÁLISE RMS. Acesso em: 28
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SANTOS, C. S. dos. Usando a Transformada de Fourier para construir um visualizador de música com
Python e Arduino. Medium , jun. 2019. Disponível em: https://medium.com/@cafelouco/usando-a-
transformada-de-fourier-para-construir-um-visualizador-de-m%C3%BAsica-com-python-e-ardu%C3%ADno-
57c98e723cdc . Acesso em: 8 maio 2021.
https://www.youtube.com/watch?v=LKH9wJTH5yc
https://www.youtube.com/watch?v=5VYN91rAres&t=27s
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https://medium.com/@cafelouco/usando-a-transformada-de-fourier-para-construir-um-visualizador-de-m%C3%BAsica-com-python-e-ardu%C3%ADno-57c98e723cdc
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OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, S.; NAWAB S. H. Sinais e sistemas . Tradução de Daniel Vieira e Rogério
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SMA803 - Fourier com Arduino e Python. [ S. l.: s. n. ], 2019. 1 vídeo (6 min 32 s). Publicado pelo canal
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TEOREMA da amostragem (ELT013, ELT007). [ S. l.: s. n. ], 2016. 1 vídeo (11 min 57 s). Publicado pelo
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http://www.cbpf.br/~rastuto/pdf/NT-CBPF001-2006.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=0g8tRicxkH0&t=12s
https://www.youtube.com/watch?v=5nqz8lxR2Tk&t=17s