Apostila Cálculo de Funções de Várias Variáveis_2

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Cálculo de Funções de Várias Variáveis 
 
 
 
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2 
 
Representação Geométrica das Funções Reais de Duas Variáveis 
 
No caso das funções de uma variável, uma maneira de obter seu gráfico é elaborar uma 
tabela determinando os valores da função para uma série de pontos de seu domínio. Esse método 
rudimentar, embora não muito eficiente, constitui uma ferramenta importante. No entanto, para 
esboçar o gráfico de uma forma mais precisa vários outros recursos são utilizados, tais como 
determinação de raízes, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de máximo e pontos de 
mínimo, etc. 
Para uma função de duas variáveis, é praticamente impossível obter um esboço do gráfico 
apenas criando uma tabela com os valores da função em diversos pontos do seu domínio. Para 
contornar essa dificuldade, vários procedimentos são adotados. Os mais importantes são: 
 
a) Representação por meio de uma superfície no espaço. (Visto anteriormente); 
 
b) Por meio de Curvas de Nível. (Muito usado por cartógrafos na elaboração de mapas de 
relevo). 
 
Curvas de Nível 
 
Suponhamos que a superfície 
),( yxfz 
 seja interceptada pelo plano 
kz 
, e a curva de 
intersecção seja projetada no plano 
xy
. Esta curva projetada tem equação
kyxf ),(
, e é chamada 
Curva de Nível da função 
f
 em 
k
. Ao considerarmos diferentes valores para a constante 
k
, 
obtemos um conjunto de curvas de nível. Este conjunto de curvas é chamado um mapa de contorno. 
As curvas de nível são sempre subconjuntos do domínio da função 
),( yxfz 
 e, portanto são 
traçadas no plano 
xy
. Assim para obtermos uma visualização do gráfico de 
f
, podemos traçar 
diversas curvas de nível e imaginarmos cada uma dessas curvas deslocada para a altura 
kz 
 
correspondente. Ilustramos este procedimento para a função 
22 yxz 
 e para 
função
22 yxz 
 . Observe que as curvas de nível de ambas as funções são circunferências de 
centro na origem. Assim, utilizando somente as curvas de nível, podemos ter dificuldade em 
esboçar o gráfico corretamente. Um outro recurso muito útil consiste em determinar a intersecção 
deste com os planos 
yz
 e 
xz
. 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A intersecção do gráfico de 
22 yxz 
 com os planos 
yz
 e 
xz
 são as semi-retas 
yz 
 e 
xz 
, respectivamente. Por sua vez, a intersecção do gráfico de 
22 yxz 
 com os planos 
yz
 e 
xz
 são, respectivamente, as parábolas 
2yz 
 e 2xz  . Assim o gráfico de 22 yxz  é um 
cone e o gráfico de 
22 yxz 
 é um parabolóide. 
 
Segue abaixo algumas superfícies importantes, com suas respectivas equações: 
 
 
4 
 
Exercício: Esboçar o gráfico das curvas de nível, das seguintes funções: 
 
a) 
yxyxf 236),( 
 b) 
229),( yxyxf 
 
 
c) 
224),( yxyxf 
 d) 
229),( yxyxf 
 
 
e) 
224),( yxyxf 
 f) 
94
),(
22 yx
yxf 
 
 
g) 
24),( yyxf 
 
 
 
Derivadas Parciais de uma Função de Duas Variáveis 
Considere o seguinte enunciado: “Dado o parabolóide 
2216 yxz 
 e o plano 
2y
, 
vamos denotar por C a curva resultante da intersecção dessas superfícies, isto é, 
 






2
12
:
2
y
xz
C
 
 
Dado um ponto P dessa curva, por exemplo, P(1,2,11), como vamos calcular a inclinação da 
reta tangente à curva C em P? 
Observa-se que estamos diante de uma função de duas variáveis e de uma situação que nos 
faz lembrar a interpretação geométrica da derivada de função de uma variável. A idéia a ser usada 
para função de duas variáveis é fazer uma análise considerando que apenas uma variável se 
modifica, enquanto a outra é mantida fixa. Isso vai nos levar à definição de uma derivada para cada 
uma das variáveis independentes. 
 
Interpretação geométrica 
 
1. Derivada Parcial em Relação à x: Definimos a derivada de 
),( yxf
 em relação à x no 
ponto 
),( 00 yx
 como sendo 
 
 
 
5 
 
h
yxfyhxf
yx
dx
df
yx
x
f
h
),(),(
lim),(),( 0000
0
000





 
 
desde que o limite exista. 
 
 
 
O coeficiente angular da curva 
),( 0yxfz 
 no ponto 
)),(,,( 0000 yxfyxP 
 no plano 
0yy 
 é o valor da derivada parcial de 
f
 em relação à x em 
),( 00 yx
. A reta tangente à curva em P 
é a reta no plano 
0yy 
 que passa por P com esse coeficiente angular. 
 
2. Derivada Parcial em Relação à y: Definimos a derivada de 
),( yxf
 em relação à y no 
ponto 
),( 00 yx
 como sendo 
 
h
yxfhyxf
yx
dy
df
yx
y
f
h
),(),(
lim),(),( 0000
0
000





 
 
desde que o limite exista. 
 
 
 
6 
 
 
O coeficiente angular da curva 
),( 0 yxfz 
 no ponto 
)),(,,( 0000 yxfyxP 
 no plano 
0xx 
 é o valor da derivada parcial de 
f
 em relação à x em 
),( 00 yx
. A reta tangente à curva em P 
é a reta no plano 
0xx 
 que passa por P com esse coeficiente angular. 
 
Notação: 
 
A derivada 
),( yx
x
f


 também é representada por: 
x
f


, 
),( yxfDx
, 
),(1 yxfD
, 
),( yxfx
. 
A derivada 
),( yx
y
f


 também é representada por: 
y
f


, 
),( yxfDy
, 
),(2 yxfD
, 
),( yxf y
. 
 
Exemplo 1: Se 
2323 2),( yyxxyxf 
, determine 
)1,2(xf
 e 
)1,2(yf
. 
 
Exemplo 2: Se 
22 24),( yxyxf 
, determine 
)1,1(xf
 e 
)1,1(yf
 e interprete esses números 
como inclinações. 
 
 
 
7 
 
Exemplo 3: Calcular as derivadas de 1ª ordem das funções: 
 
 a) 
25 xxyz 
 b) 
13),( 2  yxyxyxf
 c) 
xxyyxyxf 432),( 22 
 
 
 d) 
)2(),( yxsenyxf 
 e) 
xyxf 3),( 
 f) 
yxeyxf 3),( 
 
 
 g) 
ysenxyxf cos),( 
 h) 
yx
yx
yxf


),(
 i) 
xyz 
 
 
Exemplo 4: Seja 
226 yxz 
. Encontrar a inclinação da reta tangente à curva C, resultante da 
intersecção de 
),( yxfz 
 com x = 2, no ponto P(2,1,1). 
 
Exemplo 5: Seja 
22 yxz 
. Determinar a reta tangente às curvas de intersecção da superfície 
no ponto 
)3,5,2(P
 com: 
a) O plano x = 2; 
b) O plano 
5y
 
 
Derivadas Parciais de Segunda Ordem 
 
Essas derivadas são em geral denotadas por: 
 













x
f
xx
f
2
2 =
xxf
 
yyf
y
f
yy
f













2
2 
yxf
y
f
xyx
f












2
 
xyf
x
f
yxy
f












2
 
 
Exemplo 1: Dada a função 
2323 2),( yyxxyxf 
, determinar suas derivadas parciais de 2ª 
ordem. 
 
Exemplo 2: Dada a função 
423),( yxyxyxf 
, determinar suas derivadas parciais de 2ª ordem. 
 
 
 
8 
 
Exemplo 3: Dada a função 
)2(),( yxsenyxf 
, determinar 
yx
f

2
 e 
xy
f

2
. 
 
Observe que em ambos os casos, as derivadas mistas 
yx
f

2
 e 
xy
f
2
 são iguais. Isso ocorre para a 
maioria das funções que aparecem na prática. 
 
 
Derivadas Parciais de Ordem Superior 
 
Essas derivadas são em geral denotadas por: 















2
2
3
3
x
f
xx
f
 =
xxxf
 
yyyf
y
f
yy
f
















2
2
3
3 
yyxf
y
f
xyx
f
















2
2
2
3 
xxyf
x
f
yxy
f
















2
2
2
2 















3
3
4
4
x
f
xx
f
 =
xxxxf
 
yyyyf
y
f
yy
f
















3
3
4
4 
yyyxf
y
f
xyx
f
















3
3
3
4 
xxxyf
x
f
yxy
f
















3
3
4
4 
 
Exercício: Dada a função 
yxeyxf 32),( 
: 
 
a) Calcular 
3
3
x
f

 e 
3
3
y
f


. b) Verificar que 
2
3
2
3
yx
f
xy
f





.