HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 2

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Universidade do Sul de Santa Catarina 
Disciplina a distância 
 
 
Atividade de avaliação a distância 2 (AD2) 
 
Disciplina/Unidade de Aprendizagem: História da Matemática 
Professor(a): Rosana Camilo da Rosa 
Data: 20/04/2015 
Tópicos de Estudos: 1 e 2 
Unidades do Livro Didático: 1 até 5 
 
Questão 1: 
 
Cláudio Ptolomeu (85 d.C – 165 d.C) foi astrônomo, geógrafo e matemático. Escreveu um 
tratado astronômico e matemático sobre o movimento estelar e planetário que celebraria o 
modelo geocêntrico do universo e seria um dos textos científicos de maior influência de todos 
os tempos. Intitulado de Síntese Matemática e composto por 13 livros, seu tratado ficou 
conhecido por Almagesto — o maior. Em seu Almagesto, Ptolomeu deu a contribuição mais 
significativa para a Trigonometria na Antiguidade. Descreva, de forma sucinta, o 
desenvolvimento da Trigonometria apresentada no Almagesto. 
(1,0 ponto) 
 
No Almagesto temos uma tabela mais completa que a de Hiparco, com os ângulos de meio em 
meio grau, de 0º a 180º. Ptolomeu utilizava a base 60, com a circunferência dividida em 360 
graus e o raio em 60 partes e frações sexagesimais, não só para expressar ângulos e sim para 
qualquer tipo de cálculo, com exceção dos de medida de tempo. 
Ele desenvolveu o estudo da trigonometria nos capítulos dez e onze do primeiro livro do 
Almagesto. O capítulo 11 consiste numa tabela de cordas e o capítulo 10 explica como tal 
tabela pode ser calculada. 
Na verdade, não existe no Almagesto nenhuma tabela contendo as funções seno e cosseno, 
mas sim a função corda do arco x, ou crd x, embora naturalmente estes termos não apareçam. 
A “função” corda do arco x era definida como sendo o comprimento da corda que 
corresponde a um arco de x graus em um círculo cujo raio é 60. Assim, na tabela de cordas de 
Ptolomeu existiam três colunas: a primeira listando os arcos, a segunda, o comprimento da 
corda correspondente a cada arco e a terceira que dava o aumento médio de crd x 
correspondente a um acréscimo de um minuto em x. Esta coluna era usada para interpolações, 
isto é, para achar o valor de crd x se x estivesse entre duas entradas na coluna de arcos. 
Ptolomeu determinou as cordas correspondentes aos ângulos de 90º, 60º e 120º, que indicava 
por crd 90º, crd 60º e crd 120º, respectivamente. Ptolomeu utilizou o que pode ser 
considerado o prenúncio da conhecida relação fundamental. 
 
Questão 2: 
 
Cite duas vantagens e duas desvantagens do sistema de numeração babilônico em comparação 
com o sistema indo-arábico. 
(1,0 ponto) 
 
Vantagens 
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1 - Este sistema é de base sexagesimal ou de base sessenta, ou seja, todos os números 
superiores a 60 são escritos à custa deste número. Podemos ver as características deste sistema 
até hoje na divisão da circunferência em 360º, na relação entre grau, minuto e segundo. 
Vemos também essas características na contagem do tempo nos dias de hoje (horas, minutos e 
segundos). 
2 - Os Babilônicos usavam um sistema posicional, onde usavam o mesmo símbolo, mas 
indicavam o seu valor pela sua posição. Assim, 5 seguido por 6 e por 3 (5, 06, 03) significava 
5x3600+6x60+3=18363. Este sistema tinha vantagens enormes para a realização do cálculo. 
3 - Uma das vantagens notórias do sistema sexagesimal é a quantidade de divisores que a base 
tem. Veja a comparação: 
Base decimal - Divisores de 10: 10, 5, 2, 1; 
Base sexagesimal - Divisores de 60: 60, 30, 20, 15, 12, 10, 6, 5, 4, 3, 2, 1. 
 
Desvantagens 
1 - Apesar de ser um sistema bastante simples, pois utilizava apenas dois símbolos (um para a 
unidade e outro para a dezena), a ausência de um símbolo para o zero, que era representado 
inicialmente por um espaço em branco, dificultava a representação do número, existindo 
dificuldades que poderiam provocar erros ou até mesmo poderiam provocar um duplo sentido 
quando lido por alguém que não soubesse o contexto. 
2 - Como os babilônicos utilizavam apenas dois símbolos e possuíam um sistema aditivo 
antes da base, a escrita de números maiores se tornava muito extenso em relação ao sistema 
indo-arábico. 
 
Questão 3: 
 
Cite três características do sistema de numeração egípcio. Cite algumas de suas vantagens e 
desvantagens em comparação com o sistema indo-arábico. 
(1,0 ponto) 
1 - O sistema não é posicional; 
2 - Recorre a sete símbolos; 
3 - Não tem símbolo para o zero; 
4 - É um sistema aditivo; 
5 - É um sistema decimal. 
 
Vantagens 
1 - Os egípcios sabiam obter um rápido resultado da multiplicação ou da divisão de um 
número por 10. O processo consistia em substituir, na escrita do número em questão, cada 
símbolo pelo algarismo de seu décuplo para a multiplicação e na divisão pelo algarismo de 
seu décimo. 
2 – Como o sistema egípcio era não posicional, ao escrever os números os egípcios não se 
preocupavam com a ordem dos símbolos, deste modo um número poderia ser escrito de 
diversas maneiras, utilizando os mesmos símbolos e sem alterá-lo, diferente do sistema indo-
arábico, pois se na hora da escrita se descuidarmos e invertermos a posição alteramos o 
numero. 
3 – Como os egípcios utilizavam um sistema aditivo, para realizar as operações de adição e 
subtração era muito fácil, pois bastava justapor as representações dos números a somar ou 
subtrair, em seguida, reunir os números idênticos, substituindo a cada vez dez símbolos de 
uma categoria pelo algarismo da classe decimal imediatamente superior. 
 
Desvantagens 
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1 - A ausência do zero é uma desvantagem em relação ao sistema indo-arábico. 
2 - Como é um sistema não posicional, para escrevermos números maiores no sistema 
egípcio, como por exemplo: 1356498 se torna muito extenso, diferente do sistema indo-
arábico. 
 
Questão 4: 
 
Ao estudarmos os sistemas de numeração observa-se que cada sistema tem sua lógica de 
constituição, uns são posicional, outros não. Após finalizar o estudo da unidade 1, do seu livro 
didático, responda as seguintes questões que estão relacionadas às conversões de um sistema 
de numeração para outro. 
(2,0 pontos) 
 
I) Escreva o número 4765 em numerais: 
a) Binário 
A conversão de números decimais para números binários é feita dividindo-se o número 
decimal por 2 até que o resultado seja zero. O número binário correspondente é obtido 
agrupando-se os “restos” das divisões no sentido da última divisão para a primeira. 
4765/2 = 2382 Resto 1 
2382/2 = 1191 Resto 0 
1191/2 = 595 Resto 1 
595/2 = 297 Resto 1 
297/2 = 148 Resto 1 
148/2 = 74 Resto 0 
74/2 = 37 Resto 0 
37/2 = 18 Resto 1 
18/2 = 9 Resto 0 
9/2 = 4 Resto 1 
4/2 = 2 Resto 0 
2/2 = 1 Resto 0 
1/2 = 0 Resto 1 
Unindo-se os restos da divisão por 2 na ordem inversa obtemos: 1001010011101 
 
b) Egípcio 
 
c) Maia 
 
d) Chinês em barras 
 
II) Traduza da antiga escrita numérica mesopotâmica para a indo-arábica ou vice-versa: 
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a) 
1 x 3600 + 6 x 60 + 17 = 3977 
b) 126 
 
 
III) Represente em números indo-arábico . 
1/3 x 987 = 987/3 = 329 
 
Questão 5: 
 
Os hindus utilizavam um sistema de multiplicação conhecido como per gelosia que 
significava “por janela”. Este processo consiste na construção de um quadro que tem o 
numero de linhas igual ao numero de algarismos do multiplicando e número de colunas igual 
ao número de algarismos do multiplicador. Este sistema de multiplicação tem seu algoritmo 
próprio conforme você estudou em nosso material didático. Use um esquema de multiplicação 
em gelósia para efetuar o produto de 875 e 256. 
(1,5 ponto) 
 
 
Questão 6: 
 
Sabemos que o lema da escola pitagórica era a máxima "Tudo é numero". Porém a descoberta 
da existência de segmentos incomensuráveis causouum enorme abalo nos alicerces da 
filosofia pitagórica. A partir disso: 
a) Descreva o problema da incomensurabilidade. 
 
O problema da incomensurabilidade está relacionado à descoberta dos números irracionais. 
Com o objetivo de calcular a medida da diagonal de um quadrado de lado um, os pitagóricos 
inicialmente construíram na areia um triângulo retângulo com catetos de mesma medida e, 
utilizando cordas, aplicaram um quadrado sobre cada lado do triângulo. Cada cateto foi 
dividido em três partes iguais. Para isso, usaram quadradinhos. Utilizando como unidade de 
medida a letra “u”, dividiram a hipotenusa em partes iguais. Foi aí que surgiu a dificuldade, 
pois na hipotenusa não cabia um número inteiro de vezes do lado do quadrado de lado “u”. Os 
pitagóricos buscaram, então, uma nova alternativa, dividindo cada cateto em seis partes 
iguais, mais uma vez, encontraram o mesmo problema, isto é, na hipotenusa não cabia um 
número inteiro de vezes ao lado do quadrado de lado “u”. 
Assim, eles foram dividindo sucessivamente, até concluírem que, por mais que dividissem os 
catetos em partes cada vez menores, o lado do quadrado continuava não cabendo um número 
inteiro de vezes na hipotenusa. Constataram que, surpreendentemente, a razão entre 
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hipotenusa e um cateto desse triângulo não representa um número racional. Foi algo 
perturbador para os pitagóricos, pois, segundo sua filosofia, todas as situações dependiam dos 
números inteiros. A Matemática exigiu, então, que um novo número surgisse: os irracionais. 
 
b) Explique o motivo pelo qual esse problema abalou tão fortemente a base da escola 
pitagórica. 
(1,5 pontos) 
 
Essa descoberta abalou de tal forma as crenças dos pitagóricos que eles resolveram manter os 
números irracionais em segredo, de tal forma que era feito um juramento de nunca revelar a 
existência desses “seres informes”. Os pitagóricos acreditavam que tudo é número, mas ao 
dizerem isso se referiam aos números inteiros, e a descoberta dos irracionais representava 
para eles uma falha inexplicável na obra do criador, devendo ser mantida em segredo, senão, 
iriam sofrer a ira de Deus. 
 
Questão 7: 
 
Algumas civilizações utilizavam diferentes métodos para multiplicar dois números inteiros e 
positivos. Por volta de 1400 a.C, os egípcios utilizavam uma estratégia para multiplicar dois 
números que consistia em dobrar e somar. Efetue, utilizando o método dos egípcios 21x43 e 
justifique por meio de propriedades porque é possível multiplicar quaisquer dois números 
inteiros positivos utilizando o método dos egípcios. 
(2,0 pontos) 
 
NÚMERO DE PARCELAS RESULTADO 
1 21 
2 42 
4 84 
8 168 
16 336 
32 672 
 
1 + 2 + 8 + 32 = 43 parcelas. 
O resultado será 21 + 42 + 168 + 672 = 903 
 
A justificativa desse método está baseada em duas propriedades: na decomposição de um 
número natural em uma soma de potências de base dois (propriedades do sistema binário) e na 
propriedade distributiva da multiplicação em relação a adição. 
No exemplo da questão, 21 x 43, o que fizemos foi descobrir quais as potências de 2 que 
somadas geravam o número 43. No caso obtivemos os números 1, 2, 8 e 32. 
No passo seguinte, substituímos o número 43 por essa soma de potências de 2, ou seja, a 
multiplicação foi transformada em: 21 x (1+2+8+32) 
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, teremos: 
21 x 43 = 21 x 32 + 21 x 8 + 21 x 2 + 21 x 1 = 672 + 168 + 42 + 21 que são exatamente os 
números selecionados da segunda coluna.