Cálculo-Numérico-1

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CÁLCULO NUMÉRICO 
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NOSSA HISTÓRIA 
 
 
A nossa história inicia com a realização do sonho de um grupo de empresários, em 
atender à crescente demanda de alunos para cursos de Graduação e Pós-Graduação. Com 
isso foi criado a nossa instituição, como entidade oferecendo serviços educacionais em nível 
superior. 
A instituição tem por objetivo formar diplomados nas diferentes áreas de 
conhecimento, aptos para a inserção em setores profissionais e para a participação no 
desenvolvimento da sociedade brasileira, e colaborar na sua formação contínua. Além de 
promover a divulgação de conhecimentos culturais, científicos e técnicos que constituem 
patrimônio da humanidade e comunicar o saber através do ensino, de publicação ou outras 
normas de comunicação. 
A nossa missão é oferecer qualidade em conhecimento e cultura de forma confiável e 
eficiente para que o aluno tenha oportunidade de construir uma base profissional e ética. 
Dessa forma, conquistando o espaço de uma das instituições modelo no país na oferta de 
cursos, primando sempre pela inovação tecnológica, excelência no atendimento e valor do 
serviço oferecido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SUMÁRIO 
 
NOSSA HISTÓRIA.......................................................................................................1 
UNIDADE I...................................................................................................................4 
UNIDADE II................................................................................................................14 
UNIDADE III................................................................................................................29 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...........................................................................38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Quadro-síntese do conteúdo Programático 
 
 
Contextualização da Disciplina 
Para esta disciplina você vai precisar de uma boa máquina de calcular. O 
cálculo numérico vai colocar você diante de contas bastante trabalhosas para fazer 
sem máquina de calcular. Enquanto estiver estudando em casa você pode utilizar a 
máquina disponível no computador, mas, para a qualquer avaliação presencial, traga 
sua máquina de mão. 
Nos dois primeiros capítulos estudaremos como conduzir os cálculos com 
números decimais, com a limitação das máquinas de calcular e com os erros advindos 
de operações. Desenvolveremos processos para determinação de raízes de 
equações para as quais não dispomos de “fórmulas”, como dispomos da fórmula de 
Báskara para resolver uma equação de 2º grau. 
No último capítulos estudaremos a interpolação numérica. O assunto versa 
sobre a determinação da equação de uma curva que passe por pontos que são 
conhecidos. Esse estudo será importante. 
Esperamos que essa disciplina contribua para a sua formação trazendo a 
possibilidade de um novo olhar sobre assuntos que você estuda em outras disciplinas 
do curso. 
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Bom estudo para você! 
UNIDADE I 
NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS 
Introdução 
A maioria dos problemas na matemática surge da necessidade de resolver 
problemas da vida real, isto porque tais problemas podem ser descritos através do 
uso de modelos matemáticos. Assim: 
PROBLEMA ⇒ MODELO MATEMÁTICO ⇒ SOLUÇÃO 
Não é raro acontecer que os resultados fi nais estejam distantes do que se 
esperaria obter, ainda que todas as fases de resolução tenham sido realizadas 
corretamente. 
Os resultados obtidos dependem também: 
• da precisão dos dados de entrada; 
• da forma como estes dados são representados no computador; 
• das operações numéricas efetuadas. 
1.2 – Representação de Números 
Exemplo 1. 
Calcule a área de uma circunferência de raio 100m. Para π igual a: 
a) 3,14 área = 31400m2 
b) 3,1416 área = 31416m2 
c) 3,141592654 área = 31415,92654m2 
Como justifi car as diferenças entre os resultados? 
É possível obter “exatamente” esta área? 
Exemplo 2. 
Efetuar os somatórios seguintes em uma calculadora e em um computador, 
para xi = 0,5 e para xi = 0,11. 
Resultados obtidos: 
i) para xi = 0,5: 
na calculadora: S = 15000 
no computador: S = 15000 
i) para xi = 0,11: 
na calculadora: S = 3300 
no computador: S = 3299,99691 (operando em base 2) 
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Como justificar a diferença entre os resultados obtidos pela calculadora e pelo 
computador para xi = 0,11? 
Os erros ocorridos nos dois problemas dependem da representação dos 
números na máquina utilizada. A representação de um número depende da base 
escolhida ou disponível na máquina em uso e do número máximo de dígitos usados 
na sua representação. 
O número π, por exemplo, não pode ser representado através de um número fi 
nito de dígitos decimais. No exemplo 1, foi escrito como 3,14; 3,1416 e 3,141592654, 
respectivamente nos casos (a), (b) e (c). Em cada um deles foi obtido um resultado 
diferente, e o erro neste caso depende exclusivamente da aproximação escolhida para 
π. Qualquer que seja a circunferência, a sua área nunca será obtida exatamente, uma 
vez que π é um número irracional. 
 
Conversão de Números nos Sistemas Decimal e Binário 
1) Represente os números que estão na base 2 na base 10: 
a) (11101)2 = 1x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 = 16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 29 
b) (10111)2 = 1x24 + 0x23 + 1x22 + 1x21 + 1x20 = 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 23 
c) (10001)2 = 1x24 + 0x23 + 0x22 + 0x21 + 1x20 = 16 + 0 + 0 + 0 + 1 = 17 
d) (0,1101)2 = 1x2-1 + 1x2-2 + 0x2-3+ 1x2-4 = 1/2 + 1/4 + 0 + 1/16 = 0,5 + 0,25 + 
0,0625 = 0,8125 
e) (10,001)2 = 1x21 + 0x20 + 0x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 = 2 + 0 + 0 + 0 + 1/8 = 2 + 0,125 
= 2,125 
2) Represente os números que estão na base 10 na base 2. 
 
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Escrevendo as duas partes juntas, temos: 
 
 
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Podemos ver que o número (0,11)10 não tem representação binária finita. Um 
computador que operar no sistema binário irá armazenar uma aproximação para 
(0,11)10, uma vez que possui uma quantidade fixa de posições para guardar os dígitos 
da mantissa de um número, e esta aproximação será usada para realizar os cálculos. 
Não se pode, portanto, esperar um resultado exato. 
Podemos agora entender melhor por que o resultado da operação: 
 
Aritmética de Ponto Flutuante 
Um computador ou calculadora representa um número real no sistema 
denominado aritmética de ponto flutuante. 
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Neste sistema, o número x será representado na forma: 
 
 
 
EXEMPLOS: 
Considerando a máquina com sistema acima: 
1) Qual o menor número representado nesta máquina? 
menor número = 0,100 x 10-5 
2) Qual o maior número representado nesta máquina? 
maior número = 0,999 x 105 
3) Caso tenha um número x = 0,245 x 10-7, como posso representá-lo nesta máquina? 
Neste caso teremos x < menor número do sistema, logo este número x não poderá 
se representado no sistema 
F(10, 3, -5, 5). Esta é uma situação em que a máquina acusa a ocorrência de 
underflow. 
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4) Caso tenha um número x = 0,875 x 109, como posso representá-lo nesta máquina? 
Neste caso teremos x > maior número do sistema, logo este número x não poderá se 
representado no sistema 
F(10, 3, -5, 5). Esta é uma situação em que a máquina acusa a ocorrência de 
overflow. 
Arredondamento 
Essa “aproximação” de um número real para um número de ponto flutuante 
pode ser feita de diversas maneiras. 
 
Tipos de arredondamentos 
Os mais conhecidos são: 
• arredondamento para cima ou por excesso; 
• arredondamento para baixo ou por falta; 
• arredondamento para o número de máquina mais próximo ou simétrico. 
Exemplo 1: Seja a representação numa máquina com 4 dígitos na mantissa. 
x = 0,333 333 
y = 0,348 436 
z = 0,666 666 
 
 
Durante nossos trabalhos utilizaremos o arredondamento simétrico (ou para o 
número de máquina mais próximo). 
Assim, em linhas gerais, para arredondar um número para o número de 
máquina mais próximo, na base10, devemos apenas observar o primeiro dígito a ser 
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descartado. Se este dígito é menor que 5, deixamos os dígitos inalterados; e se é 
maior ou igual a 5, devemos somar 1 ao último dígito que restou. 
 
Truncamento 
Simplesmente é desprezada uma parte escolhida da mantissa e o cálculo é feito com 
o número que ficou. 
Exemplo: π = 3,14159265... truncamento de π com 4 casas decimais: π = 3,1415. 
 
Tipos de Erros 
• Erros inerentes – ocorrem geralmente na fase de criação ou simplificação de um 
modelo matemático, ou ainda em medidas em geral. 
• Erros de discretização, ou de aproximação, ou de truncamento – são os erros 
cometidos quando se substitui qualquer processo infinito por um processo finito ou 
discreto. 
• Erros de arredondamento – surgem quando trabalhamos com máquinas digitais para 
representar os números 
reais. 
A diferença entre o valor aproximado e o valor exato de um número pode ser 
medida pelo erro absoluto ou pelo erro relativo. 
 
 
EXEMPLOS: 
 
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Erros nas Operações Aritméticas de Ponto Flutuante 
Exemplo 1) Dados x = 0,937 x 104 e y = 0,1272 x 102, obtenha x + y. 
A adição aritmética de ponto flutuante requer o alinhamento dos pontos decimais dos 
dois números. Para isto, a mantissa do número de menor expoente deve ser 
deslocada para direita. Este deslocamento deve ser um número de casas decimais 
igual à diferença entre os dois expoentes. 
Alinhando os pontos decimais dos valores acima, temos: 
x = 0,937 x 104 e y = 0,001272 x 104 
Então: 
x + y = (0,937 +0,001272) x 104 = 0,938272 x 104 
Este é o resultado exato desta operação. Suponhamos que esta operação seja 
efetuada num sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos na mantissa e na 
base 10. 
 
Teríamos: 
i) no arredondamento: x + y = 0,9383 x 104 
ii) no truncamento: x + y = 0,9382 x 104 
 
Exemplo 2) No mesmo sistema anterior, obtenha xy.xy = (0,937 x 104) x 
(0,1272 x 102) = (0,937 x 0,1272) x 106 = 0,1191864 x 106 
Então, xy = 0,1192 x 106 no arredondamento e xy = 0,1191 x 106 no truncamento. 
Exercícios 
1. Converta os seguintes números decimais x = 48, y = 1001 e z = 3,125 para sua 
forma binária. 
 
2. Converta os seguintes números binários para sua forma decimal. 
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a = (101010)2 
b = (111000)2 c = (0,001)2 d = (10,0101)2 
 
3. Qual o antecessor e o sucessor dos seguintes números binários? 
a = (100)2 
b = (101001000)2 c = (11111)2 d = (100001)2 
 
4. Considere o sistema F(10; 4; 4; 4). 
a) Qual o intervalo para s nesse caso? 
b) Represente nesse sistema os seguintes números: x1 = – 234,123; x2 = 0,0064395; 
x3 = 9,998; x4 = 765432,1 
e x5 = – 0,00000034 
 
5. Considerando o mesmo sistema do exercício 04, represente os números: x1 = 
0,785, x2 = 5,5 e x3 = 0,025,dados na base 10. 
 
6. Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de quatro dígitos e base decimal. 
Dados os números 
x = 0,7237 x104, y = 0,2145 x 10-3 e z = 0,2585 x 101, efetue as seguintes operações, 
supondo que x, y e z estão 
exatamente representados utilizando o arredondamento simétrico. 
a) x + y + z 
b) x – y – z 
c) (xy)/z 
d)x(y/z) 
 
7. Considere uma máquina cujo sistema de representação de números é defi nido por: 
base decimal, o número 
de dígitos da mantissa é 4, o menor expoente é –5 e o maior, 5. 
a) Qual o menor e o maior número em módulo (valor absoluto) representados nesta 
máquina? 
b) Como serão representados os números 73758 e 0,000034343, se for usado o 
arredondamento simétrico? E 
se for usado o truncamento? 
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8. Faça as operações abaixo, supondo que as mesmas sejam processadas em uma 
máquina com 4 dígitos 
signifi cativos e considerando que x1 = 0,3491 . 104 e x2 = 0,2345 . 10-1, estabeleça 
o resultado em cada um dos 
cálculos a seguir e indique qual é o resultado correto. 
a) (x2 + x1) – x1 
b) x2 + (x1 – x1) 
 
9. Escreva os números que se seguem em linguagem científica, no padrão 
internacional. 
a) 51.321 
b) 128.217,33 
c) 0 0.00123 
d) 0.07 
e) 5.945 
 
10. Arredonde simetricamente, com precisão de 2 algarismos decimais exatos, dando 
sua resposta em linguagem científica, no padrão internacional. 
a) 11,5749 
b) 2.220,0732 
c) 0,0845 
d) 0,0245 + 1,888 
e) 0,654 x 0,018 
 
11. Dois resultados, x = 3,248 e y = 4,151, foram arredondados simetricamente de 
modo a ostentarem apenas 
três dígitos significativos. Calcule, com precisão de 6 dígitos decimais, o valor de: 
 
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UNIDADE II 
ZERO REAIS DE FUNÇÕES REAIS 
 Introdução 
Um problema particularmente importante na Matemática é o de se encontrar 
um valor para a variável livre x, dado um valor de y, tal que f(x) = y. 
Classificação das Funções Reais 
 
Seja f(x) = y. Aos valores reais que tornam y = 0 denominaremos de zero da 
função f(x) ou raízes da equação f(x) = 0. Isto é, um número real ξ (ksi) é um zero da 
função f(x) ou uma raiz da equação f(x) = 0 se, e somente se, f(ξ) = 0. 
Estudaremos nesta unidade métodos numéricos para a resolução de equações não-
lineares e, embora os valores de x que anulem f(x) possam ser reais ou complexos, 
estaremos interessados somente nos zeros reais de f(x). 
Graficamente, os zeros reais são representados pelas abscissas dos pontos 
onde a curva intercepta o eixo . 
 
O procedimento básico dos métodos numéricos para resolver equações 
polinomiais consiste essencialmente em obter uma aproximação inicial para a raiz e 
em seguida refinar essa aproximação através de um processo iterativo (ou seja 
repetitivo). Por isso, os métodos constam de duas fases: 
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FASE I: LOCALIZAÇÃO ou ISOLAMENTO das raízes, que consiste em obter um 
intervalo que contém a raiz. 
 
FASE II: REFINAMENTO, que consiste, escolhidas aproximações iniciais no intervalo 
encontrado na fase I, em melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproximação 
para a raiz dentro de uma precisão prefixada. 
 
Fase I: Isolamento das Raízes 
Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função f(x). É importante 
ressaltar que o sucesso da fase II depende fortemente da precisão desta análise. 
A técnica de localização a ser usada baseia-se, em primeiro lugar, no seguinte 
fato a respeito de funções polinomiais: 
Se uma função polinomial real f(x) é contínua num intervalo [a, b] e assume um 
valor positivo quando x = a, e um valor negativo quando x = b, o produto de f(a).f(b) 
será um valor negativo (f(a).f(b) < 0) e isso nos leva a concluir que a curva intercepta 
o eixo das abscissas neste intervalo. Então existirá pelo menos um número ξ entre a 
e b tal que f(ξ) = 0. 
Sob essas hipóteses, se sua derivada f’(x) existir e preservar sinal em (a, b), 
então este intervalo contém um único zero de f(x). 
 
Uma forma de se isolar as raízes de f(x) usando os resultados anteriores é 
tabelar f(x) para vários valores de x e analisar as mudanças de sinal de f(x) e o sinal 
da derivada no intervalo em que f(x) mudou de sinal. 
Exemplo 1. 
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Como f(x) é um polinômio de grau 3, podemos afirmar que cada intervalo 
contém um único zero de f(x); assim, localizamos todas as raízes de f(x) = 0. 
Exemplo 2. 
 
Analisando a tabela, vemos que f(x) admite pelo menos um zero no intervalo [1, 2]. 
Analisando o sinal de f’(x): 
 
Assim podemos concluir que f(x) admite um único zero em todo seu domínio 
de definição e este zero está no 
intervalo [1, 2]. 
A análise gráfica da função f(x) ou da equação f(x) = 0 é fundamental para se 
obter boas aproximações para a raiz. 
Apresentaremos um processo para se localizar a raiz de uma equação, 
chamado de APROXIMAÇÃO GRÁFICA. 
Aproximação Gráfica: a partir da equação f(x) = 0, obter a equação equivalente 
g(x) = h(x), esboçar os gráficos das funções g(x) e h(x) no mesmo plano cartesiano e 
localizar os pontos x onde as duas curvas se interceptam. 
Neste caso teremos f(ξ) = 0 ⇔ g(ξ) = h(ξ). 
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Fase II: Refinamento 
Estudaremos métodosnuméricos de refinamento de raiz. Para isso usaremos 
métodos iterativos. 
Critério de Parada 
Admitindo que nossa busca é por uma raiz aproximada com precisão ε 
(epsilon), adotaremos critério de parada para nossos cálculos: 
 
Como efetuarmos o teste (i) se não conhecemos ξ? 
Uma forma de verificarmos isso é reduzir o intervalo que contém a raiz a cada 
iteração. Ao se conseguir um 
intervalo [a, b] tal que: 
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Métodos Iterativos 
1 – MÉTODO DA BISSECÇÃO 
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b] e f(a).f(b)<0. É certo que existe 
pelo menos uma raiz ξ ∈ [a,b] que satisfaz a equação f(x) = 0. 
Dividindo o intervalo [a,b] ao meio, obtém-se seu ponto médio x1, de modo que 
se tem: [a,b] = [a,x1] U [x1,b]. 
Se f(x1) = 0, então ξ = x1. Caso contrário, a raiz estará num dos subintervalos 
onde a função tem sinais opostos nos extremos. 
Isto é, ξ ∈ [a,x1], se f(a).f(x1) < 0 ou ξ ∈ [x1,b], se f(x1).f(b) < 0. 
O novo intervalo que contém ξ é dividido ao meio e obtém-se x2. O processo 
iterativo se repete até que se tenha obtido um valor aproximado para ξ, que nos 
satisfaça (critério de parada). 
EXEMPLOS: 
 
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Obs.: Na segunda iteração o sinal de f(x1) muda de sinal em relação a f(x2), 
isto nos mostra que f(x1).f(x2)<0, 
logo a raiz está contida no intervalo [0,625;0,75] e não no intervalo [0,5; 0,625]. 
Com esse tipo de análise, decidimos a partir de qual intervalo continuaremos a 
fazer nossos cálculos. 
 
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Apresentamos abaixo a aproximação gráfica, caso precisássemos localizar a 
raiz. 
 
 
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Exercícios 
1. Localize as raízes reais das equações pelo processo da aproximação gráfi ca. 
 
2. Encontre os intervalos de confinamentos, com amplitude igual a 0,5 para as 
funções: 
a) para os zeros da função f(x) = ex + x2 – 2 
b) para as raízes da equação x3 – 9x + 3 = 0 
3. Explique porque nós podemos afirmar, analisando somente o intervalo [-3, 1], que 
existe raiz real da equação 
X² –3 = 0, neste intervalo. Podemos afirmar também que existe apenas uma raiz neste 
intervalo? Justifique 
sua resposta. 
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4. Dada a função f(x) = 3x log x – 2 , analise esta função, sua derivada e o gráfico 
abaixo. Fundamentado neste estudo, responda: 
a) Pode existir mais de uma raiz real para a equação 3xlog (x) – 2? Justifique. 
b) Podemos afirmar que no intervalo [2,3] existe somente uma raiz real, vemos isso 
bem analisando o gráfico. 
Qual teoria discutida em sala nos sustenta esta afirmação quando não temos 
um gráfi o pra analisar? 
 
5. Obtenha a estimativa de raiz da equação x + ex − 2 = 0 a partir de 5 iterações do 
Método da Bissecção. 
 
6. Determine a partir de quatro iterações do Método da Bissecção a raiz da equação 
cos x − xex = 0 , situada 
no intervalo [0,1]. 
 
2 – MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR (M.I.L.) 
Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde existe uma raiz única, 
f(x) = 0, é possível transformar tal equação em uma equação equivalente x = F(x) e, a 
partir de uma aproximação inicial x0, gerar uma sequência {xi} de aproximações para 
ξ (zero de f(x)) pela relação xi+1 = F(xi), uma vez que F(x) é tal que F(ξ) = ξ se, e 
somente se, f(ξ) = 0. 
Iniciamos o Método de Iteração Linear reescrevendo a função f(x) como, f(x) = 
F(x) – x. Essa forma de escrever f(x) é bastante útil, pois no ponto x que corresponde 
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à raiz de f(x), isto é, onde f(x) = 0 teremos que: f(x) = F(x) – x = 0, o que equivale a 
determinar x tal que F(x) = x. 
Portanto procuraremos o valor de x que ao ser substituído em F(x) retorna o 
próprio valor de x. Dizemos que este valor é o ponto fi xo de F(x). 
Para encontrarmos esse valor de ξ, vamos utilizar um processo iterativo, onde 
começamos a calcular o valor de F(x) com um valor inicial de x0, e recalculamos 
repetidamente o valor de F(x) sempre usando o resultado de uma dada iteração. 
Ou seja: xi+1 = F(xi), onde i é a ordem da iteração (i = 0, 1, 2, 3, 4, ...). A função 
F(x) é chamada de função de iteração. A seguir ilustramos o processo. 
 
Obs.: Dada uma equação do tipo f(x) = 0, há para tal equação mais de uma 
função de iteração F(x), no entanto, nem todas convergem para ξ. Omitiremos aqui o 
estudo dessa convergência, mas aconselhamos que você pesquise sobre o assunto. 
Exemplo: 
Seja f(x) = x2 – x – 2. 
Então: f(x) = 0 ⇒ x2 – x – 2 = 0 ⇒ x2 – 2 = x 
Fazendo F(x) = x2 – 2, temos uma função tal que F(x) = x. 
Então, podemos admitir F(x) = x2 – 2 como uma função de iteração. 
Portanto: xi+1 = F(xi) = xi 
2 – 2 
X0= 0 ⇒ x1 = 02 – 2 = -2 
x1 = -2 ⇒ x2 = (-2)2 – 2 = 2 
x2 = 2 ⇒ x3 = (2)2 – 2 = 2. ⇒ Encontramos x = 2 tal que F(2) = 2 
Naturalmente, para essa função não é necessário lançar mão de qualquer 
método do calculo numérico. Bastaria resolver a equação x² – x – 2 = 0 usando 
Báskara. 
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Convergência 
Observe o comportamento das iterações representadas a seguir quando 
usamos o método de Iteração Linear 
 
Repita o que fizemos no exemplo inicial e você vai perceber que nem todas 
permitem construir uma sequência que convirja para a raiz. Não discutiremos aqui 
sobre convergência, no entanto, listamos a seguir, o teorema 
que trata do assunto: 
Sendo ξ uma raiz de f(x) = 0, isolada em um intervalo I centrado em ξ e f(x) uma 
função de iteração para f(x) = 0. Se 
 
Então a sequência {xk}gerada pelo processo iterativo xi+1 = F(xi) convergirá 
para ξ. 
 
3 – MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (M.N.R.) 
Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde existe uma raiz única, é 
possível determinar uma aproximação de tal raiz a partir da interseção da tangente a 
uma curva em um ponto x0 com o eixo das abscissas. 
Admitamos um xi próximo de ξ e tracemos uma reta tangente à curva pelo ponto 
(xi, f(xi)). Consideremos xi+1 o ponto onde essa tangente corta o eixo Ox e seja α o 
ângulo de inclinação dessa tangente. 
Então teremos 
26 
 
 
 
Mas tg α é a derivada de f no ponto xi. Ou seja, tg α = f´(xi). 
Então 
 
Portanto, 
 
Fazendo , temos xi+1 = F(xi), como a função de iteração 
 
que gera uma sequência {xi} que converge para ξ rapidamente. 
Obs.: O método de Newton Raphson apresenta, em relação ao Método de 
Iteração Linear, a vantagem de gerar um sequência com maior possibilidade 
de convergência e mais rapidamente. 
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28 
 
 
 
UNIDADE III 
INTERPOLAÇÃO 
O problema da interpolação consiste basicamente em encontrar uma função 
que seja a expressão lógica de determinados pontos. Conhecendo-se alguns pontos 
(x1, y1), (x2, y2).....(xn, yn) e desconhecendo a função analítica 
a qual pertençam, a Interpolação possibilita que calculemos o valor numérico 
intermediário da função num ponto não tabelado, com certo grau de erro. 
 
Embora não conheçamos a função que contém esses pontos, podemos 
substituí-la por outra função que é uma aproximação deduzida a partir dos dados 
tabelados. 
Diante da possibilidade de termos uma função cuja forma analítica é muito 
complicada, os métodos de interpolação ainda permitem que procuremos uma outra 
função que seja uma aproximação da função dada, cujo manuseio seja bem mais 
simples. A função mais usual é a função polinomial por ser de mais fácil operação com 
derivação e integração. 
Observe pelo gráfico que para àqueles pontos da tabela que pertencem à 
função f, teremos f(x) = g(x), onde g(x) é a função substituta. Esses pontos são 
conhecidos como pontos de amarração. 
Para (n+1) pontos, existe um e somente um polinômio de grau não superior a 
n. 
29 
 
 
 
Teorema Fundamental da Interpolação Polinomial 
Se uma função f(x) é contínua num determinado intervalo, então esta função 
poderá ser substituída no interior deste intervalo por um polinômio de grau não 
superior a “n”, conforme a seguinte expressão: 
 
Dados n+1 pontos, se desejamos determinar a função polinomial de grau n, 
podemos construir um sistema de n equações, substituindo cada umdos pontos em 
 
Isso significa que: dados dois pontos (x0, y0) e (x1, y1), podemos obter a função 
polinomial de 1º grau, definida por 𝑃(𝑥) = 𝑎1𝑥 + 𝑎0 através de um sistema de duas 
equações a duas incógnitas; que dados três pontos (x0, y0), (x1, y1) e (x2, y2), o 
polinômio interpolador será a função quadrática (função polinomial do 2º grau) 𝑓(𝑥) =
𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0. 
Nesses dois casos específicos, tanto na interpolação linear, quanto na 
quadrática, estas funções podem ser obtidas ao resolvermos, respectivamente, os 
sistemas de equações: 
a) Na interpolação linear 
 
b) Na quadrática 
30 
 
 
 
Embora possamos resolver um sistema por escalonamento, sobretudo os de 1º e 
2º graus, que não apresentam dificuldades, no cálculo numérico encontramos 
métodos, como o de Newton e o de Lagrange, que nos permitem 
encontrar um polinômio interpolador de grau n de maneira menos trabalhosa que 
resolver o sistema pelos processos que aprendemos no Ensino Médio. 
 
Método de Lagrange 
O método de Lagrange admite para os n+1 pontos, n polinômios pi(x) que passem, 
cada um deles, pelo ponto de abscissa xi e possuam para “zeros” os n -1 outros xj 
onde j ≠ i 
 
Admitir-se-á que o polinômio interpolador Pn(x) seja a combinação linear destes 
polinômios. Observemos que para cada ponto Pi de coordenadas (xi,yi) tem-se yi = 
Pn(xi) = pi(xi) já que pj(xi) = 0 para j ≠ i. Ou seja, a imagem de xi para o polinômio 
Pn(x) é a imagem de xi obtida pela função pi(x) já que para todas as outras a imagem 
é zero. 
Assim, seja a função polinomial Pn(x) a função substituta de f(x): 
 
31 
 
 
 
 
 
32 
 
 
 
 
 
A 
Tabela de Diferenças Divididas: Método de Newton 
Seja f(x) em sua forma tabelada, os valores x0, x1, x2, ..., xn da variável 
independente {f(x0), f(x1), f(x2), ...,f(xn)}, chamar-se-ão Diferença Dividida as 
expressões: 
33 
 
 
 
 
 
 
Portanto, chamando o polinômio que interpola f(x) em x0, x1, ..., xn de Pn(x), 
este será obtido por: 
34 
 
 
 
Nos dois métodos apresentados, que usam para aproximação uma função 
polinomial, o erro associado será 
igual a 
Exemplo: 
Determine o polinômio interpolador que passe nos pontos (0,2), (1,11), (3,71) e 
(5,227). 
 
 
Aplicação/Exemplo: 
Utilizando os valores de seno, dados pela tabela abaixo é possível determinar a 
função quadrática que se aproxima de 𝑓(𝑥) =
2.𝑠𝑒𝑛² 𝑥
𝑥+1
 , trabalhando com três casas 
decimais. 
35 
 
 
 Podemos usar qualquer um dos métodos para construir a função polinomial 
𝑃2(𝑥) = 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 : escalonamento, Lagrange ou Newton. Experimente fazer 
por cada um deles como exercício. 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
Exercicios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
Referências Bibliográficas 
BARROSO, L.C.; Araújo, M.M. Araújo; CAMPOS, F. Ferreira; CARVALHO, M.L. 
Bunte de; Maia, M.L. 
Cálculo Numérico. São Paulo: McGraw Hill, 1993. 
CLÁUDIO, D. M. & MARINS, J.M. Cálculo Numérico Computacional. 2 ed. São 
Paulo: Atlas, 1994. 
HUMES; MELO; YOSHIDA; MARTINS. Noções de Cálculo Numérico. São Paulo: 
McGraw Hill, 1984. 
LINHARES, O.D. Cálculo Numérico B. Apostila publicada pelo Departamento de 
Ciências de Computação e 
Estatística do ICMSC, 1969. 
RUGGIERO, M. A. Gomes & LÓPES, V.L. Rocha. Cálculo Numérico. Aspectos 
Teóricos e computacionais. 
2 ed. São Paulo: Makron Books, 1996. 
ZAMBONI, L. & outros. Cálculo Numérico para Universitários. São Paulo: Páginas e 
Letras, 2002.