AP3-GE-2019.1-Aluno

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Geometria Espacial AP3 Página 1 de 3
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Terceira avaliação presencial de Geometria Espacial - 2019.1
Código da disciplina EAD 1063
Nome: Matŕıcula:
Polo:
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pin-
tando os respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina
(indicado acima em negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a prova, colocando nome, matŕıcula e
polo.
• É expressamente proibido o uso de aparelho celular
e qualquer material que sirva de consulta.
• Devolva esta prova e as folhas de respostas ao apli-
cador.
• Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul
ou preta, para registro das resoluções das questões
na(s) folha(s) de respostas.
• As Folhas de Respostas serão o único material
considerado para correção. Portanto, quaisquer
anotações feitas fora deste espaço, mesmo que em
folha de rascunho, serão ignoradas.
• NÃO AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas
de Respostas, pois isto pode inviabilizar a digita-
lização e a correção.
Questão 1. (2,5 pts) Qual é o poĺıgono com o maior número de lados que se pode obter como interseção de
um cubo e um plano? Faça uma figura que represente a sua resposta.
Definição. Dados dois pontos A e B no espaço, o plano mediador do segmento AB é o plano perpendicular ao
segmento AB que passa pelo ponto médio de AB.
Questão 2. O plano mediador µAB de um segmento AB cumpre, no espaço, o papel que a mediatriz cumpre
no plano no sentido de que ele é o conjunto dos pontos do espaço que estão a uma mesma distância dos extremos
do segmento. Nesta questão você deverá justificar este fato.
a) (1,3 pt) Considere um ponto P do plano mediador do segmento AB. Mostre que PA = PB.
b) (1,2 pt) Seja Q um ponto do espaço tal que QA = QB. Mostre que Q pertence ao plano mediador do
segmento AB.
Questão 3. (2,5 pts) O poliedro que inspirou a bola da Copa de 70 é formado por faces pentagonais e hexagonais,
e é constrúıdo a partir do icosaedro da seguinte forma:
• Considere um icosaedro regular de aresta a (Fig. 1).
• A partir de um vértice e sobre cada uma das 5 arestas que concorrem nesse vértice, assinale os pontos que
estão a uma distância de a3 desse vértice. Esses 5 pontos formam um pentágono regular (Fig. 2).
Fundação CECIERJ Realização acadêmica: UFF e UNIRIO Consórcio CEDERJ
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• Retirando a pirâmide de base pentagonal que ficou formada obtemos a Fig. 3.
• Repetindo a mesma operação para todos os vértices do icosaedro obtém-se o poliedro P .
Determine quantas são as faces pentagonais e quantas são as faces hexagonais de P . (Dica: Lembre-se que o
icosaedro é um poliedro com 20 faces, todas triangulares)
Questão 4. (2,5 pts) Um recipiente, em forma de um tetraedro regular invertido de aresta medindo 1 m, está
com água até a metade de sua altura, como mostra a figura da esquerda. Invertendo o recipiente, como na
figura da direita, qual deverá ser a altura do ńıvel da água?
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