AD2-GE-2013.2-Gabarito

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
Curso de Licenciatura em Matemática – UFF/CEDERJ/UAB 
 
Gabarito da AD2 de Geometria Espacial – 2012.2 
 
Questão 1 [1,0pts]: Um tanque em forma de paralelepípedo tem como base um 
retângulo horizontal de lados 0,8 metros e 1,2 metros. Um indivíduo ao mergulhar 
completamente no tanque, faz o nível de água subir 0,075 metros. Determine o volume do 
indivíduo, em litros. 
Solução: 
 
 
Questão 2 [1,5pts]: Qual é o número de diagonais de um icosaedro? Justifique sua 
resposta. 
Solução: 
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O icosaedro possui 36 diagonais. 
 
Questão 3 [1,5pts]: A embalagem de papelão de um determinado chocolate, 
representada na figura abaixo, tem a forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 
5 cm. 
 
 
Em relação ao prisma, considere: 
_ cada um dos ângulos da base superior medem 120◦. 
_ as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada. 
Considere, ainda, que o papelão do qual é feita à embalagem custa R$ 10,00 por m2 e que 
31/2=1,73. Determine aproximadamente o valor, em reais, do gasto somente com o 
papelão, na confecção de uma dessas embalagens. 
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Solução: 
 
 
Obs. Veja na figura que a área pentagonal é formada por sete triângulos equiláteros de 
lado igual a 10cm, ou seja, Ab = 7. 10
2.31/2/4 = 175.31/2cm2. 
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Questão 4 [1,5pts]: Um banheiro tem 3,0 metros de altura, 2,25 metros de largura e 3,75 
metros de comprimento. O piso do banheiro vai ser revestido com ladrilhos de 7,5 cm por 
15 cm e as paredes com ladrilhos quadrados de 15 cm de lado. Quantos ladrilhos 
retangulares serão usados? Quantos ladrilhos quadrados serão colocados? (Despreze os 
espaços de portas e janelas). 
Solução: 
 
Questão 5 [1,5pts]: Calcule a distância de uma seção plana de uma esfera ao centro da 
esfera, sabendo que o círculo máximo tem área igual ao quádruplo da área determinada 
pela seção plana e que o raio da esfera mede 17cm. 
Solução: 
 
Área do círculo máximo = πR2 = π172 = 289π 
Área da seção plana = 289π/4 = πr2 
Então, r2 = 289/4 
Utilizando o teorema de Pitágoras: 
R2 = d2 + r2 
d2 = R2 – r2 = 172 – 289/4 = 867/4 
d = 8671/2/2 = 17.31/2/2 cm. 
 
Questão 6 [1,5pts]: Calcule o volume de um prisma quadrangular regular cuja área total 
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tem 144m2, sabendo que sua área lateral é igual ao dobro da área da base. 
Solução: Atotal = 2Abase + Alateral 
2Abase + Alateral = 144 
Como Alateral = 2Abase, 
4Abase = 144 
Abase = 36 e Alateral = 72, como a base é um quadrado, sabemos que Abase = l
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Então, o lado do quadrado mede l = 6 
A área lateral do prisma reto, cuja base é um quadrado, é composta de quatro retângulos, 
cada um com Área = l . altura do prisma, chamando a altura do prisma de h, temos: 
Alateral = 4(6.h) 
72 = 24.h 
h = 3 
Vprisma = Abase.h = 36.3 = 108 m
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Questão 7 [1,5pts]: Um cilindro circular reto tem volume igual ao de um cubo de aresta a 
e área lateral igual à área da superfície do cubo de aresta a. Calcule o raio, a altura e a 
área total do cilindro circular reto, em função de a. 
Solução: 
Vcilindro = Vcubo 
πr2h = a3 (1) 
Alateral cilindro = Atotal cubo 
2πrh = 6a2, πrh = 3a2 (2) 
(1): (2) 
r = a/3 
substituindo em (2): πah/3 = 3a2 
h = 9a/π 
Atotal = 2.Abase cilindro+Alateral cilindro 
Atotal = 2πa
2/9 + 6a2 
Atotal = (54a
2 + 2πa2)/9 
Atotal = 2(27+π)a
2/9