Aula_5_Macroeconometria

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AULA 5 - VETOR AUTOREGRESSIVO (VAR)
Susan Schommer
Econometria III - IE/UFRJ
Motivação
I Os modelos econômicos em geral são expressos por meio de
diversas variáveis.
I Portanto, o uso de modelos univariados, como visto até o
momento, é limitado para expressar modelos econômicos.
I O vetor autorregressivo permite que se expressem modelos
econômicos completos e se estimem os parâmetros desse
modelo.
I Os modelos em VAR definem restrições entre as equações do
modelo. Estudar essas restrições e usá-las para identificar os
parâmetros estruturais do VAR constitui um objetivo
fundamental da metodologia.
I Desde o artigo seminal de Sims (1980), os modelos
autoregressivos vetoriais se tornaram um instrumento
fundamental na pesquisa macroeconômica.
VAR
I Pode-se expressar um modelo autorregressivo de ordem p por
um vetor com n variáveis endógenas, Xt, conectadas entre si
por meio de uma matriz A, conforme segue:
AXt = B0 +
p∑
i=1
BiXt−i +B�t
em que
A é uma matriz n×n que define as restrições contemporâneas
entre as variáveis que constituem o vetor n× 1, Xt;
B0 é um vetor de constantes n× 1;
Bi são matrizes n× n;
B é umana matriz diagonal n× n de desvios-padrão;
�t é um vetor n× 1 de perturbações aleatórias não
correlacionadas entre si contemporânea ou temporalmente
(�t ∼ iid(0, In))
VAR
I A equação acima expressa as relações entre as variáveis
endógenas, frequentemente decorrentes de um modelo
econômico teoricamente estruturado, e por isso chama-se
forma estrutural.
I Os choques �t são denominados choques estruturais porque
afetam individualmente cada uma das variáveis endógenas.
I Por causa da endogeneidade das variáveis, esse modelo é
normalmente estimado em sua forma reduzida, isto é,
estima-se o seguinte modelo:
Xt = A
−1B0+
p∑
i=1
A−1BiXt−i+A
−1B�t = Φ0+
p∑
i=1
ΦiXt−i+et
em que
Φi = A
−1Bi
B�t = Aet
Forma estrutural - exemplo
Fonte: Cavalcanti, M. Identificação de modelo VAR e causalidade de
Granger: uma nota de advertência. Economia Aplicada, v.14, 2010.
VAR forma reduzida
I Supõe-se que os choques estruturais não sejam correlacionados
contemporaneamente - ou seja, E(ε1,t, ε2,t) = 0.
I Supõe-se que um dos coeficientes b12 ou b21 seja zero, o que
equivale a impor uma ordenação causal contemporânea entre
X e Z:
sob b12 = 0, Z não é afetada contemporaneamente por X,
mas X é afetada por Z; e sob b21 = 0 ocorre o inverso.
I Com base nessas restrições, o modelo é exatamente
identificado.
VAR(p)
I A generalização do modelo para um VAR de ordem p com
variáveis exógenas é direta e feita por meio da seguinte
representação econométrica:
Xt = Φ0 +
p∑
t−i
ΦiXt−i +GZt + et
em que
Xt é um vetor n× 1 de variáveis endógenas, comoo
anteriormente;
G é uma matriz de coeficientes n× g
Zt é um vetor g × 1 de variáveis exógenas que pode incluir
variáveis determińısticas.
I VAR busca fundamentalmente a trajetória das variáveis
endógenas ante um choque estrutural, mas nada impede de
ser usado para previsão também.
Identificação do VAR(p)
I Como selecionar a ordem p de um modelo VAR? Que critérios
podem ser utilizados nessa tarefa?
I Trata-se de uma tarefa dif́ıcil, porque a defasagem necessária
para obter “reśıduos brancos” com relação à primeira variável
endógena não é a mesma para obtê-los na segunda.
I Usar um p muito alto, em um modelo complexo em que se
estimam muitos coeficientes cruzados, torna o poder do teste
estat́ıstico bastante deficiente.
I Bom-senso e parcimônia devem ser utilizados nesse processo.
I Como no caso univariado, pode-se usar o critério de
informação para definir a ordem de defasagem do modelo
VAR.
I Usamos uma versão multivariada dos critérios AIC,BIC e HQ
do modelo univariado.
Exemplo simulado - VAR(2)
I Antes de estimar o modelo, verifique sempre se as séries
temporais analisadas são estacionárias (AULA 4, teste de raiz
unitária - ADF, PP, KPSS e ZA).
I Um problema central ao estimar modelos com dados não
estacionários obteremos estat́ısticas de teste impróprias, o que
pode nos levar a escolher o modelo errado.
I Mesmo que duas séries temporais não sejam estacionárias,
uma combinação especial delas ainda pode ser estacionária.
Esse fenômeno é chamado de cointegração e os chamados
modelos de correção de erros (VECM) podem ser usados para
analisá-lo (veremos mais adiante no Tópico Cointegração).
Exemplo simulado - VAR(2)
I O exemplo simulado é um VAR(2) com duas variáveis
endógenas.(
y1,t
y2,t
)
=
[
−0.3 −0.4
0.6 0.5
](
y1,t−1
y2,t−1
)
+
[
−0.1 0.1
−0.2 0.05
](
y1,t−2
y2,t−2
)
+
(
�1t
�2t
)
com �1t ∼ N(0, 0.5) e �2t ∼ N(0, 0.5) e o erros não são
correlacionados.
I Os dados simulados são gerados no RStudio
set.seed(123) para redefinir gerador de números aleatórios.
Gerar a amostra
t = 200 número de observações
k = 2 número de variáveis endógenas
p =- 2 número de defasagens
Exemplo simulado - VAR(2)
I Os dados simulados são gerados no RStudio
Gerar os coeficientes das matrizes
A.1 = matrix(c(-.3, .6, -.4, .5), k) coeficiente da matriz com
defasagen 1
A.2 = matrix(c(-.1, -.2, .1, .05), k) coeficiente da matriz com
defasagen 2
A = cbind(A.1, A.2) combinando as matrizes
Gerar as séries
series = matrix(0, k, t + 2*p)
for (i in (p + 1):(t + 2*p)) Generate series with e N(0,0.5)
series[, i] ¡- A.1%*%series[, i-1] + A.2%*%series[, i-2] + rnorm(k,
0, .5)
series = ts(t(series[, -(1:p)])) converte para o formato de série de
tempo
names = c(“V1”, “V2”) renomeia as variáveis
Exemplo simulado - VAR(2)
plot.ts(series) plot das séries
−
1.
5
−
1.
0
−
0.
5
0.
0
0.
5
1.
0
S
er
ie
s 
1
−
1.
5
−
1.
0
−
0.
5
0.
0
0.
5
1.
0
1.
5
0 50 100 150 200
S
er
ie
s 
2
Time
series
Exemplo simulado - VAR(2)
Estimativa do VAR
install.packages(”vars”) baixando o pacote
library(vars) abrindo o pacote
var.1 = VAR(series, 2, type = ”none”) estimando o modelo
O tipo de opção determina se deve incluir um termo de intercepto,
uma tendência ou ambos no modelo. Como na amostra simulada
não contém nenhum termo determińıtico, definimos o tipo =
“none”.
Exemplo simulado - VAR(2)
Seleção do VAR
Uma questão central na análise VAR é encontrar o número de
defasagens, que produz os melhores resultados. Usamos critérios
de informação como AIC, BIC ou HQ.
Geralmente, a AIC é preferida a outros critérios, devido às suas
caracteŕısticas favoráveis de previsão de pequenas amostras.
var.aic = VAR(series, type = ”none”, lag.max = 5, ic = ”AIC”)
Observe que, em vez de especificar a ordem p, agora definimos o
comprimento máximo do atraso do modelo e o critério de
informação usado para selecionar o melhor modelo.
A função estima todos os cinco modelos, os compara de acordo
com seus valores de AIC e seleciona automaticamente os mais
favoráveis. Olhando para o resumo (var.aic), vemos que o AIC
sugere usar uma ordem de 2, que é a ordem verdadeira.
summary(var.aic)
Exemplo simulado - VAR(2)
summary(var.aic)
Exemplo simulado - VAR(2)
summary(var.aic) continuação
Exemplo simulado - VAR(2)
Podemos comparar os valores reais com as estimativas de
parâmetros do modelo:
A [, 1] [, 2] [, 3] [, 4]
[1, ] -0.3 -0.4 -0.1 0.10
[2, ] 0.6 0.5 -0.2 0.05
estcoefs = coef(var.aic) extrair coeficientes, erros padrão etc.
estcoefs = rbind(estcoefs[[1]][, 1], estcoefs[[2]][, 1]) extrair apenas
os coeficientes e combine-os em uma única matriz
round(estcoefs, 2) imprimir as estimativas arredondadas
Series.1.l1 Series.2.l1 Series.1.l2 Series.2.l2
[1, ] -0.20 -0.32 -0.23 0.05
[2, ] 0.67 0.34 -0.18 0.07
Todas as estimativas têm o sinal correto e são relativamente
próximas aos seus valores reais.
Exerćıcio: Examinar os desvios padrão do summary (var.aic) para
verificar se os valores verdadeiros se enquadram nas faixas de
confiança das estimativas.
Teste de hipótese
I A ideia é muito semelhante à do caso univariado.
I A diferença é que, em vez de calcular a somados quadrados
dos reśıduos, calcula-se o determinante da matriz de
covariância dos reśıduos do modelo restrito e do não restrito.
I Seja Xt = Φ0 +
∑p
t−i ΦiXt−i +GZt + et
I Estima-se o modelo sem restrição e calcula-se a matriz de
covariânncia dos reśıduos, Σ̂u com dimensão n× n;
I Em seguida, estima-se o modelo com restrição, excluindo
k ≤ g variáveis exógenas e/ou m defasagens, e calcula-se a
matriz de covariância dos reśıduos Σ̂r
I Calcula-se a razão de verossimilhança da seguinte forma:
LR = (T − c)(log |Σ̂r| − log |Σ̂u|)→ χ2r
em que T é o número de observações; c = 1 + g + np é o
número de parâmetros estimados em cada equação do sistema
não restrito, incluindo a constante e as variáveis exógenas;
r = mn2 + kn é o número de restrições no sistema.
Teste de hipótese - exemplo
I Suponha um sistema de n equações com número máximo de
defasagens p = 6.
I Deseja-se testar se p = 4.
I Imaginando um sistema com constante e sem variáveis
exógenas, c = 1 + pn = 1 + 6n.
I O número de restrições é dado pela quantidade de parâmetros
que se deixa de estimar no modelo restrito que é de
r = mn2 = 2n2.
I Convencionalmente, se o valor calculado da estat́ıstica LR for
menor que o valor tabelado, não se pode rejeitar a hipótese
nula.
Verificação
I Os testes de diagnóstico de reśıduos dos modelos univariados
podem ser generalizados para o caso multivariado.
I Fazemos um teste de autocorrelação, por exemplo de
Ljung-Box na mesma lógica do modelo univariado, porém
preocupa-se em determinar se as autocorrelação multivariadas
são nulas.
I Também podemos fazer o teste de normalidade dos reśıduos.
Exemplo simulado - VAR(2)
Fazendo os teste de verificação
O teste Ljung Box é uma aplicação do teste Portmanteau - algum
dos coeficientes é diferente de zero.
H0: não autocorrelação
serial.test(var.1,lags.pt=5,type = ”PT.adjusted”)
Portmanteau Test (adjusted)
data: Residuals of VAR object var.1 Chi-squared = 10.901, df =
12, p-value = 0.5375
Neste caso temos que não podemos rejeitar a hipótese nula.
df representa o número de graus de liberdade para a distribuição
chi-quadrada.
Previsão
I A previsão é análoga aos processos univariados, razão que nos
ajudará a evitar detalhes desnecessários sobre o procedimento.
I Há um aspecto importante, pois a complexidade dos modelos
multivariados é muito maior, por isso, certos cuidados devem
ser tomados e algumas matrizes utilizadas podem ser dif́ıceis
de visualizar.
I Na presença de variáveis exógenas, se forem determińısticas,
por definição conhecem-se suas trajetórias futuras.
I No caso de variáveis exógenas estocásticas, é preciso definir
um modelo para elas.
Exemplo simulado - VAR(2)
Fazendo previsão
var.1proj=predict(var.1,n.ahead=12,ci=0.95)
fanchart(var.1proj)
Fanchart for variable Series.1
0 50 100 150 200
−
1.
5
−
0.
5
0.
5
1.
0
Fanchart for variable Series.2
0 50 100 150 200
−
1.
5
−
0.
5
0.
5
1.
5