Lista de Exercícios sobre Matrizes

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UNIVERSIDADE REGIONAL DE BLUMENAU 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
ALGA I 
ENGENHARIAS: CIVIL, ELÉTRICA, TELECOM, PRODUÇÃO E QUÍMICA 
. 
1ª Lista de Exercícios 
 
 
1. Determine os valores de m e n para que as matrizes A e B sejam iguais. 
 
a) A = 





 312
158
m
n
 e B = 





36
758
 b) A = 





24
87
m
 e B = 





 25104
87
m
. 
2. Dadas as matrizes: 








614
832
A , 




 

140
975
B e 






641
890
C .
a) Calcular A + B 
b) Calcular B + C 
c) Calcular A - B 
d) Calcular A - C 
 
3. Dadas as matrizes: 















95
47
13
21
A , 








3826
7531
B , 







53
42
C e 
















3235
0914
3113
8371
D . 
a) Calcular AB 
b) Calcular (AB)D 
c) Calcular A(BD) 
d) Calcular BA 
e) Calcular (BA)C 
f) Calcular B(AC) 
 
4. Dadas as matrizes: 







11
01
A , 






11
02
B e 






13
21
C , prove que: 
a) (B + C)A = BA + CA 
b) A(B + C)  (B + C)A 
5. Sejam 














012
123
111
A e 











321
642
321
B , prove que 0 BA (matriz nula) e que 
AB.













1611
21222
1611
. 
6. Sejam 














134
312
231
A , 












2121
1112
0141
B e 














0152
1123
2112
C . Prove que se 
CABA ..  , não necessariamente implica que CB  . 
7. Sejam 














431
541
532
A , 














531
531
531
B e 














321
431
422
C . Mostre que 
0..  ABBA , ACA . e CAC . . 
8. Se 






01
00
A . Prove que 02 A . 
9. Se 











010
001
000
A . Prove que 03 A . 
10. Dadas as matrizes: 











687
925
143
A , 













427
103
314
B e 












321
1293
862
C 
Calcular: 
a) det A 
b) det B 
c) det C 
d) det (A + B) 
e) det (BC) 
f) Verificar se det (A + B) = det A + det B 
g) Verificar se det (BC) = det B . det C 
 
11. Resolver as equações: 
a) 128
247
25
64

x
x
x
 b) 39
764
32
753
xxx c) 100
127
103
315

x
x 
d) 7
7109
354
413

 xxx
 
e) 0
1500
010
002
2 


x
x f) 0
1200
010
001
2
2 



xx
x
g) 0
123
312
132

 xxx
 
h) 8
12
21
23



x
x
x
 
12. Calcule o determinante das seguintes matrizes: 
















1121
1111
2111
1021
A e 

















1111
1111
1111
1111
B . 
 
13. Determine a matriz inversa das seguintes matrizes: 
a) 




 

11
31
A b) 







31
21
B
14. Resolver os seguintes sistemas lineares:
a)  1 3t z -2y x  b) 





3252
4
zyx
zyx
 c) 








577
3252
4
zyx
zyx
zyx
 d) 





0652
032
zyx
zyx
 
e) 











2
4
4
0
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
 f) 








023
032
032
zyx
zyx
zyx
 g) 





1463
552
zyx
zyx
 h) 





024
02
tzyx
tzyx
 
i) 








xzy
yzx
xyx
223
123
332
 j)








32
2
1
zyx
zyx
zyx
 l)








14
732
63
zyx
zyx
zyx
 m)








114
1932
113
zyx
yyx
zyx
 
15. Determine m de modo que o sistema abaixo seja de Cramer e, a seguir, resolvê-lo: 
a)








02
12
2
mzyx
zx
zyx
 
 
16. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e 
colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz: 
 Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo 










1358256
21912187
17716205
 
a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas do tipo moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, 
quantas unidades de material serão empregadas? 
b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, 
respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 u.c.p. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa? 
Moderno 
Mediterrâneo 
Colonial 
c) Qual o custo total do material empregado? 
 
17. Dadas as matrizes: 







43
31
A e 






11
11
B , Resolva a equação abaixo: 
X + A = B 
18. Dadas as matrizes: 




 

65
44
A e 







32
11
B , determine: 
X = 3A – 2B. 
 
19. Dado o seguinte sistema linear: 








072
0453
0232
zyx
yx
zyx
 
Qual o método de resolução mais fácil? Justifique. 
20. Resolva o seguinte sistema linear: 
a) 








0
03
043
tzyx
tzyx
tzyx
 
21. Para quais valores da constante k o sistema 





kyx
yx
22
3
 
Não tem solução? Tem exatamente uma solução? Tem infinitas soluções? Explique seu 
raciocínio. 
 
22. Para que valores de  o sistema de equações 





0)3(
0)3(
yx
yx


 
tem soluções não – triviais? 
23. Expresse a equação matricial como um sistema de equações lineares. 
a) 












512
734
213










3
2
1
x
x
x











4
1
2
 
24. Sem utilizar papel e lápis, determine 
quais dos seguintes sistemas homogêneos 
tem soluções não – triviais. 
 
a) 








04
08
03
3
32
321
x
xx
xxx
 b) 





046
023
21
21
xx
xx
 
 
 
 
 
 
25. Seja A a matriz 





12
13
. Em cada parte encontre p(A). 
a) p(x) = x – 2 
b) p(x) = 2x2 – x + 1 
c) p(x) = x3 – 2x + 4 
 
26. Seja A = 





10
01
 , calcular A2 , A3. 
27. Prove que a matriz A-1 = 



















3
1
3
1
3
1
3
1
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
 é inversa de A =










201
110
011
. 
 
28. Determine os valores de a, de modo que o seguinte sistema nas incógnitas x, y e z tenha (i) 
nenhuma solução, (ii) mais de uma solução, (iii) uma única solução. 








23
332
1
zayx
azyx
zyx
 
 
29. Que condições devem ser impostas a a, b e c para que o sistema seguinte nas incógnitas x, y e 
z tenha solução? 
 








czyx
bzyx
azyx
72
1162
32
 
 
30. Prove que 0)( Af , para o polinômio 103)( 2  xxxf e a matriz 







43
21
A . 
 
31. Determine o valor de t para que o determinante da matriz 








14
32
t
t
A seja igual a zero.