P3 (21-11)

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P3 - Cálculo II - T05/T06
(21/11/2017)
NOME: R.A:
(Questão 1)[1.0] Calcule
∫ ∫ ∫
B
√
x2 + y2 − z dxdydz onde B é dado por
0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x2 + y2.
(Questão 2)[1.5] Calcule
∫
γ
(sinxy+xy cosxy)dx+x2 cosxydy onde γ(t) = (t2− 1, t2+1),−1 ≤ t ≤ 1.
(Questão 3)[1.5] Calcule
∮
γ
−y
x2 + y2
dx+
x
xr + y2
dy onde γ é uma curva fechada, C1 por partes, simples,
fronteira de um conjunto B, cujo interior contém o círculo x2 + y2 ≤ 1. (Dica:Aplique o teorema de Green
à região K compreendida entre a curva γ e a circunferência.)
(Questão 4)[1.5] Calcule a área lateral de um cilindro cuja base é a elipse 4x2 + y2 = 1 e a altura é 2.
(Questão 5)[1.5] Considere um escoamento com velocidade −→v (x, y, z) e densidade ρ(x, y, z), tal que
−→u = ρ−→v seja dado por −→u = x−→i + y−→j − 2z
−→
k . Seja σ a superfície x2 + y2 + z2 = 4, z ≥
√
2, e seja −→n a
normal com componente z > 0. Calcule o �uxo de −→u através de σ.
(Questão 6)[1.5] Utilizando o teorema de Stokes, transforme a integral
∫ ∫
σ
rot
−→
f ·−→n dS numa integral
de linha, onde
−→
f (x, y, z) = y
−→
k , σ(u, v) = (u, v, u2 + v2), com u2 + v2 ≤ 1, sendo −→n a normal apontando
para cima.
(Questão 7)[1.5] Calcule o momento de inércia de uma esfera homogênea, de raio R, em relação a um
eixo passando pelo seu centro.
(Questão EXTRA)[1.0] A temperatura T em qualquer ponto (x, y, z) do espaço é dada por T =
100x2yz. Determine a temperatura máxima sobre a esfera x2 + y2 + z2 ≤ 4. Qual a temperatura mínima?
Ótima prova!!!