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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 1a Questão Seja a função \(h(x,\ y,\ z)\ = 2z^3 e^{-2x} sen(2y)\). Determine a soma de \(f_{xyz} + \frac{ {\partial}^a f }{ \partial z \partial y \partial z}\) no ponto (x,y,z) = ( 0,0,2). 144 -96 -144 -48 96 2a Questão Seja a função \(f(x,\ y,\ z)\ = x^3 y - z^4 y^2\), onde x = (u+1)\(e^{v-1}\), y = u+ 2v e z = v cos u. Determine o valor da derivada parcial de f em relação a v para u = 0 e v = 1. -12 -16 14 20 10 3a Questão Determine a abscissa do centro de massa de um sólido na forma de um cubo, definido por \(0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 1\ e\ 0 \le z \le 1\), com densidade volumétrica de massa \(\delta (x, y, z)\ = 6(x^2 + y^2 + z^2)\) \(\frac{13}{24}\) \(\frac{7}{24}\) \(\frac{11}{24}\) \(\frac{5}{24}\) \(\frac{9}{24}\) 4a Questão Determine a carga elétrica de uma bola de forma esférica de raio 2 m, com uma densidade volumétrica de carga de \(\lambda (r, \varphi, \theta) = \frac{4}{ \pi} C/m^3\), onde r é a distância ao centro da esfera. 64 16 256 128 32 5a Questão Considere a função \(\vec{G}\ (u)\ = \langle\ sen\ 3u,\ - cos\ 3u,\ 4u\ \rangle\) . Qual é o raio de curvatura da curva? \(\frac{9}{16}\) \(\frac{25}{9}\) \(\frac{9}{25}\) \(\frac{35}{12}\) \(\frac{16}{9}\) 6a Questão Qual é o vetor binormal à curva definida pela função \(\vec{F}\ (u)\ =\ \langle t,\ t^2,\ \frac{2}{3}t^3\ \rangle\) no ponto \(\left ( 1,1,\frac{2}{3} \right )\) ? \(\langle\ \frac{2}{3},\ -\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\ \rangle\) \(\langle\ -\frac{1}{3},\ -\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\ \rangle\) \(\langle\ \frac{2}{3},\ -\frac{2}{3},\ \frac{1}{3}\ \rangle\) \(\langle\ 2,\ -\frac{2}{3},1\ \rangle\) \(\langle\ -\frac{2}{3},\ \frac{1}{3},1\ \rangle\) 7a Questão Determine o momento de inércia em torno do eixo x do objeto planar que ocupa a região definida por S e tem uma densidade de massa superficial \(\delta (x, y)\ = 3y\) . Sabe-se que \(S\ = \left \{ (x, y)\ /\ 0 \le x \le 1\ e\ 0 \le y \le x^2 \right \}\). \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{3}\) \(\frac{1}{12}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{4}\) 8a Questão Determine a ordenada do centro de massa de uma lâmina que tem a forma definida por \(R\ = \left \{ (x, y) /\ 0 \le y \le 1\ e\ -1 \le x \le 1 \right \}\) e uma densidade de massa dada por \(\delta (x, y)\ = x^2 y\) . \(\frac{2}{3}\) \(\frac{1}{3}\) \(\frac{2}{5}\) \(\frac{3}{2}\) \(\frac{1}{5}\) 9a Questão Determine a integral de linha \(\oint_{C}e^{y}dx+4xe^{y}dy\), onde a curva C é um retângulo centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário, com lados (1,2), ( ¿ 1,2), (¿ 1, ¿ 2) e (1, ¿ 2). \(4(e^{-2}-2e^{2})\) \(3(2e^{-2}-e^{2})\) \(6(e^{-2}+e^{2})\) \(3(e^{2}-e^{-2})\) \(6(e^{-2}-e^{2})\) 10a Questão Seja a região B desenhada na figura abaixo. Sabe-se que: \(\oint_{C1}xdy=20,\oint _{C2}ydx=4,\oint_{C3}(ydx-xdy)=-8\). Determine a área de B 20 12 28 30 24
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