Tensão e deformação

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DESCRIÇÃO
Entendimento dos conceitos de tensão e deformação, dimensionamento de pequenos projetos de
acoplamento simples.
PROPÓSITO
Compreender a importância do cálculo das tensões/deformações como princípio norteador do
dimensionamento da Engenharia e iniciar os primeiros passos para projetar pequenas estruturas, o que
ocorrerá durante a formação de um engenheiro.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou
use a calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Calcular as tensões médias normal e de cisalhamento
MÓDULO 2
Empregar as tensões admissíveis nos projetos de acoplamento simples
MÓDULO 3
Calcular as deformações normal e de cisalhamento
MÓDULO 1
 Calcular as tensões médias normal e de cisalhamento
INTRODUÇÃO
Inicialmente, é preciso fazer uma diferenciação qualitativa entre uma grandeza pontual e sua forma
média. Quando se fala em tensão normal média, trata-se de um valor que representa a média dos
valores pontuais da grandeza.
Um exemplo, que é bastante conveniente para que essas ideias fiquem claras, está na média de uma
disciplina em que foram realizadas quatro provas. O fato de a média ser 8,0 não significa que
obrigatoriamente as quatro notas foram iguais a 8,0 (pode até acontecer).
Estatisticamente, é provável que algumas notas tenham sido superiores à média e outras inferiores. Da
mesma forma, ocorre para as grandezas que serão estudadas neste módulo. Todas referem-se a
valores médios. No decorrer do seu curso de Engenharia, cada caso será estudado de forma mais
pontual. Por exemplo, será calculado o valor máximo dessas grandezas e o ponto, ou linha, de atuação
delas.
Observe o desenho esquemático da figura 1, em que os valores de uma dada grandeza, por exemplo,
tensão normal, são representados. No primeiro desenho da figura, os valores são pontuais ao longo de
uma linha da seção, e no segundo desenho da figura, é apresentado o valor médio da mesma grandeza,
nessa mesma linha.
Note que na figura 1, a tensão normal determinada pontualmente apresenta valores maiores e menores
que o valor médio, que é constante ao longo da região de estudo.
 Figura 1: Tensão normal ao longo de um comprimento e tensão média normal.
TENSÕES NORMAL E DE CISALHAMENTO
Como foi visto, a resistência de uma peça não é uma função exclusiva do seu carregamento.
Duas barras do mesmo material (suponha o alumínio 7075 — T6) podem suportar cargas distintas antes
do rompimento. Dessa forma, é preciso associar a resistência do elemento à geometria deste. A partir
dessa ideia, surge o conceito de tensão.
 EXEMPLO
O alumínio 7075 – T6 apresenta limite de resistência em torno de 500 MPa, o que não significa que qualquer
peça desse material resistirá a um mesmo carregamento (força ou momento).
É importante que você perceba que a geometria da peça é fundamental. Daí surge o primeiro passo
para o dimensionamento de uma peça, ou seja, dizer qual dimensões mínimas ela deve possuir para
resistir ao carregamento que está submetida. Ratificando, duas peças do mesmo material podem
suportar, por exemplo, valores máximos de uma carga concentrada de 100 kN e 120 kN, dependendo de
suas geometrias.
 RESUMINDO
Os esforços internos normal e cisalhante serão normalizados pela área em que atuam. São as tensões
normal e de cisalhamento.
Para iniciar o entendimento do conceito de tensão de maneira quantitativa, será suposto um elemento
infinitesimal volumétrico (dV) de uma peça submetida a um dado carregamento. Suponha, também, um
elemento infinitesimal de força (dF) atuando sobre uma face infinitesimal de área (dA), conforme a figura
2.
 Figura 2: Elemento infinitesimal de um volume.
A partir de conhecimentos matemáticos, é possível escrever dF como suas projeções sobre os eixos
cartesianos x, y e z. Por exemplo, dFx, dFy e dFz. Assim, dF pode ser apresentada decomposta nas
direções x, y e z, conforme a figura 3.
 Figura 3: Decomposição de dF em suas componentes retangulares.
Note que na figura 3, duas das projeções de dF (dFx e dFz) são tangentes (cisalhantes) ao elemento
infinitesimal de área dA e a outra projeção, dFy, é perpendicular à dA. A partir das grandezas dF e dA,
define-se a grandeza tensão como sendo a relação entre as duas, isto é, a divisão entre os valores de
dF e dA.
Tensão normal
Quando a força é perpendicular à área, a grandeza é denominada de tensão normal.
A letra associada a essa tensão é: σ (sigma).

Tensão cisalhante
Quando a força é tangente à seção reta, a tensão associada é denominada de cisalhamento (ou
cisalhante).
A letra associada a essa tensão é: τ (tau).
A partir da descrição anterior, vemos que a tensão é dada pela equação 1:
 (Equação 1)
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Existe uma convenção para a nomenclatura das tensões. Para o caso das tensões normais, utiliza-se
um único índice à letra sigma que coincide com o eixo de aplicação da força. Na figura 3, a tensão
normal atua na direção do eixo y. Assim, a equação 2 determina o seu valor:
Tensão = Força
Área
 (Equação 2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Caso a tensão normal atuasse nas direções x ou z, escreveríamos, respectivamente, σx e σz para
denominá-las.
No caso da tensão cisalhante, dois índices são utilizados. O primeiro relaciona-se com a direção
perpendicular à área de atuação da tensão cisalhante e, o segundo, com a direção da tensão. Perceba
que na figura 3, tanto dFx como dFz atuam numa seção que é perpendicular a y. Uma das tensões atua
na direção x e a outra na direção z, mas ambas estão numa área cujo eixo y é perpendicular. Assim,
seus valores serão determinados pelas equações 3 e 4.
 (Equação 3)
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 (Equação 4)
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A figura 4 mostra a atuação da tensão normal e das tensões cisalhantes em uma das faces do elemento
infinitesimal de estudo.
 Figura 4: Tensão normal e tensões cisalhantes atuantes numa dada seção.
Perceba que as tensões determinadas foram calculadas a partir de um limite em que dA tende a zero.
Assim, são tensões pontuais e em uma área extremamente pequena. O que nos interessa, nesse
momento, é a tensão atuante numa dada área, ou seja, os valores médios para as tensões normal e
cisalhante.
σy = lim
dA→0
dFy
dA
τyx = lim
dA→0
dFx
dA
τyz = lim
dA→0
dFz
dA
TENSÕES MÉDIAS NORMAL E DE
CISALHAMENTO
O objetivo inicial da disciplina é apresentar situações em que os valores das tensões médias são
adequados para a resolução de problemas, inclusive para situações reais da Engenharia. O item anterior
apresentou as definições da tensão normal (σ) e tensão cisalhante (τ) pontualmente. Estendendo-se o
conceito, as tensões médias são apresentadas por relações matemáticas semelhantes. Observe as
equações 5 e 6.
 (Equação 5)
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 (Equação 6)
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Cabe ressaltar que a convenção dos índices apresentada no item anterior continua a ser utilizada no
caso das tensões médias. As equações 5 e 6 foram escritas sem os índices, apenas por simplicidade.
 RELEMBRANDO
Ratificando o que foi descrito na figura 1, o valor da tensão média é considerado constante ao longo da
seção analisada. É uma simplificação, mas com ampla utilização no dimensionamento de pequenas
estruturas na Engenharia.
A tensão normal pode atuar no sentido de alongar o corpo, ou seja, tracioná-lo. Nesse caso, diz-se que a
tensão normal é trativa. No sentido oposto, a tensão normal é denominada como compressiva. Como
convenção, adota-se o valor positivo para tensõesnormais trativas e o valor negativo para tensões
compressivas. Observe na figura 5, as duas situações possíveis para a tensão normal.
σmédia =
Fnormal
Área
τmédia =
Ftangente
Área
 Figura 5: Tensões normais médias trativa e compressiva.
Em termos de unidades, a tensão é dada pela razão entre uma unidade de força e uma unidade de área.
Por exemplo, N/m2, kgf/mm2, N/mm2 etc. A razão N/m2 recebe o nome de pascal (Pa) e existem os
múltiplos kPa (103 vezes Pa), MPa (106 vezes Pa) e GPa (109 vezes Pa).
 DICA
Na Engenharia, normalmente, os valores para as tensões apresentam ordem de grandeza de 106. Por isso, é
comum a utilização de MPa para as tensões.
É bastante útil conhecer a relação abaixo:
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MÃO NA MASSA
= 1MPa1N
mm2
TEORIA NA PRÁTICA
Um aluno, estagiário de uma empresa de Engenharia, foi designado para fazer o dimensionamento de
uma barra que fará parte de uma estrutura maior. A situação problema é a apresentada na questão do
concurso FGV ‒ 2014 ‒ Câmara Municipal do Recife ‒ PE ‒ Engenheiro Civil: Uma barra de aço com
seção retangular, em equilíbrio, está sujeita a um esforço axial de tração de 40 kN. A resistência ao
escoamento e o coeficiente de segurança do aço são, respectivamente, 250 MPa e 1,25. Sabendo que a
relação entre as dimensões da seção transversal da barra é igual a 2, o objetivo do aluno é determinar
as dimensões da seção reta em milímetros.
Inicialmente, ele fez um croqui da situação, gerando um modelo físico. Observe a figura a seguir.
 Croqui da barra sob tração.
Feito isso, o aluno seccionou a peça e fez o diagrama do corpo livre (DCL) mostrando os esforços
internos. Observe a figura do DCL na forma bidimensional.
 DCL de parte da barra sob tração.
A partir do equilíbrio translacional em x: F – N1 = 0, logo N1 = 40 kN = 40.000 N.
A seção reta tem a forma de um retângulo, com altura h e base b. Supondo que a base tenha um valor
desconhecido x, isto é, b = x e que a altura tenha valor h = 2x (o enunciado afirma que a relação entre
as dimensões é 2). Assim, a área da seção reta em que atua o esforço normal N1 é dada pelo produto
base pela altura, ou seja, x.2x = 2x2.
A tensão admissível do material é de 250 MPa. O fator de segurança (FS), a ser estudado
detalhadamente no módulo seguinte, é a relação entre as tensões admissível e de trabalho, ou seja:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a tensão máxima que pode atuar durante o “trabalho” da peça é de 200 MPa. O aluno ainda
utilizou o fato de que 1 MPa = 1 N/mm2.
A tensão normal média atuante pode ser calculada pela seguinte relação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores, tem-se:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, as dimensões mínimas são: altura 20 mm e base 10 mm.
Assista ao vídeo para entender melhor.
DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO RETA DE UMA
BARRA SOB CARREGAMENTO AXIAL
VERIFICANDO O APRENDIZADO
FS = → σtrabalho = 200 MPa
σlimite
σtrabalho
σmédia =
Fnormal
Área
200 = → 400.x2 = 40.000 → x2 = → x2 = 100 → x = 10 mm40.000N
2x2
40.000
400
MÓDULO 2
 Empregar as tensões admissíveis nos projetos de acoplamento simples
INTRODUÇÃO
A partir das premissas adotadas aqui, é possível estudar projetos de acoplamentos simples, ou seja,
dimensionar pequenas peças que se acoplem a estruturas maiores. Neste módulo, essas peças estarão
sujeitas ao esforço normal ou ao esforço cortante, o que remete imediatamente às tensões normal e as
de cisalhamento. No caso do cisalhamento, duas possibilidades serão abordadas: o cisalhamento
simples e o cisalhamento duplo. Ademais, será introduzido um conceito, o de fator (ou coeficiente) de
segurança (FS ou CS).
CISALHAMENTOS SIMPLES E DUPLO
Relembrando o conceito de cisalhar, esse fenômeno decorre de o ato de uma seção tender a escorregar
sobre outra adjacente. A força cortante associada dividida pela área em questão calcula a tensão média
de cisalhamento (τmédia). Em termos didáticos, serão apresentadas duas possibilidades de
cisalhamento.
CISALHAMENTO SIMPLES
Uma maneira bastante didática para que o aluno consiga perceber, na prática, o cisalhamento simples, é
imaginar uma junta entre duas chapas que pode ocorrer por qualquer meio que una “firmemente” as
chapas (cola, solda, parafusos, rebites etc.). Na figura 6, há duas chapas retangulares planas unidas por
meio de uma cola. Atente que existe uma seção comum a essas chapas, uma área sobreposta A.
 Figura 6 - Junta formada por duas placas sobrepostas.
Considerando que o equilíbrio estático, F1 e F2 são iguais em módulo. Separando uma das placas e
desenhando seu diagrama do corpo livre (DCL), a força agindo na união (Ftangencial) será, em módulo,
igual a F1 e F2. Observe o DCL de uma das placas da junta, na figura.
 Figura 7 - DCL de parte da junta.
Do exposto, anteriormente, as forças F1 e F2 apresentam mesmo módulo. Supondo que as intensidades
das forças sigam a seguinte relação F1 = F2 = F, a tensão de cisalhamento (simples) será calculada pela
equação 7.
 (Equação 7)
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CISALHAMENTO DUPLO
Utilizando a mesma ideia, ou seja, juntas entre placas planas utilizada no entendimento do cisalhamento
simples, é possível entender o cisalhamento duplo. O que muda é o fato de no último caso haver três
placas unidas por meio de parafusos, cola, solda etc. Observe, na figura 8, uma junta com as três placas
unidas e uma área comum (sobreposta).
τmédia = =
Ftangente
Área
F
A
 Figura 8 - Junta formada por três placas sobrepostas.
A fim de se garantir o equilíbrio estático na direção horizontal, é necessário que F1 e 2.F2 tenham o
mesmo módulo. Suponha que a força F1 tenha intensidade F, ou seja, F1 = F. Como
, logo F2 = F/2. Separando a placa em destaque e desenhando seu DCL, a
força agindo na união (Ftangencial) será, em módulo, igual a F/2. Observe o DCL, na figura 9.
 Figura 9 - DCL de parte da junta.
No caso do cisalhamento duplo, a tensão será determinada pela expressão da equação 8.
 (Equação 8)
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FATOR DE SEGURANÇA (FS) OU COEFICIENTE
DE SEGURANÇA (CS)
Muitos alunos já têm a oportunidade de trabalhar nas diversas áreas da Engenharia ou suas afetas; em
indústrias, na construção civil, em escritórios de projetos de Engenharia ou Arquitetura etc. Certamente,
esses alunos já ouviram a respeito do fator de segurança (ou coeficiente de segurança). Em nosso
estudo, muitas vezes foi apresentado um modelo físico simplificado da situação real, a qual não levará,
portanto, em consideração, no dimensionamento de uma estrutura, todos os aspectos físicos envolvidos;
muitos são desprezados. Outra questão bastante presente é tratar os materiais envolvidos como
homogêneos, sem defeitos etc. E neste tema, em particular, as tensões calculadas foram tomadas como
F1 = 2.F2 → F = 2.F2
τmédia = = =
Ftangente
Área
F/2
A
F
2.A
um valor médio. Sendo assim, em algumas regiões da peça/estrutura existirão valores maiores e em
outras valores menores que o valor médio.
 RESUMINDO
Dessa forma, o fator de segurança é utilizado para garantir que essas premissas não tornem o
dimensionamento de uma peça, por exemplo, incorreto.
O fator de segurança (FS) é uma grandeza adimensional, ou seja, sem unidade associada, sendo
determinado pela razão entre o limite de resistência do material e a resistência adotada para o trabalho.
Observe na equação 9, a expressão do FS para as duas situações de tensão (normal e de
cisalhamento).
 (Equação 9)
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Uma vez que o fator de segurança é para que o projeto seja conservador, a tensão de trabalho é sempremenor que a tensão admissível para o material. Sendo assim, a razão determinada pela equação 9 será
um número sempre maior que 1. Confirmando, esse número encontrado é adimensional.
 ATENÇÃO
Em muitos problemas o FS não é citado. Nesse caso, será tratado como 1. Portanto, a partir da equação 9,
conclui-se que a tensão de trabalho será a tensão admissível (de escoamento) do material.
PROJETOS DE ACOPLAMENTO SIMPLES
Muitas situações em Engenharia apresentam pequenas estruturas que podem ser dimensionadas a
partir de modelos simplificados, dentre os quais o objeto de estudo desse tema: tensões médias. Alguns
exemplos simples, mas pertinentes e que ocorrem na Engenharia podem ser elencados.
Suponha uma barra que está vinculada a um apoio que possui um pino e deseja-se saber a dimensão
(diâmetro mínimo desse pino) para suportar determinada carga. Calcular o diâmetro mínimo de um cabo
F .S. = =
σadmissível
σtrabalho
τadmissível
τtrabalho
de aço que será utilizado em um pequeno guincho para suspender peças com determinado peso e
muitos outros. A ideia geral é que se conheça o material e o carregamento da peça que se deseja
dimensionar. Utilizando as expressões para a determinação das tensões médias normal ( ) e
cisalhante ( ) mostradas nas equações 5 e 6, determina-se a área da seção. Conhecendo-se a
forma da área e relações geométricas, as dimensões são determinadas. As equações 10 e 11 mostram
o descrito anteriormente.
 (Equação 10)
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 (Equação 11)
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MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
Um estagiário de uma empresa de projetos mecânicos irá ajudar a equipe de um novo projeto. O
sistema possui uma série de acoplamentos com cisalhamentos duplos que são presos por rebites e que
estão carregados de formas distintas. Sua função é dimensionar os diâmetros mínimos para os rebites.
O engenheiro, sabendo que é o primeiro dia do aluno estagiário, pede que ele faça uma questão teórica
para avaliar seus conhecimentos a respeito do assunto que necessitará dominar para dimensionar os
rebites. A questão escolhida é a seguinte:
(FGV ‒ 2016 ‒ SEE-PE ‒ Professor de Mecatrônica – adaptada): a figura a seguir apresenta um
conjunto de placas unidas por um rebite, sujeitas a uma força F de 22,5 kN.
Considerando que o rebite a ser empregado deva ser capaz de suportar uma tensão de cisalhamento de
100 MPa, e adotando um fator de segurança igual a 2, determine o menor diâmetro possível do rebite,
σmédia
τmédia
σmédia = → Área =    
Fnormal
Área
Fnormal
σmédia
τmédia = → Área =  
Ftangente
Área
Ftangente
τmédia
em mm.
O aluno leu a questão e percebeu vários aspectos que já havia aprendido em sua faculdade: fator de
segurança, cisalhamento duplo, acoplamentos simples etc. Inicialmente, ele percebendo ser um
cisalhamento duplo, lembrou que o esforço cortante nas seções internas do rebite será dado por F/2, ou
seja, 22,5/2 = 11,25 kN (11.250 N). Depois, pensou em como utilizar o fator de segurança FS (ou
coeficiente de segurança). A partir da definição de F.S., dada pela expressão ,
determinou a tensão de trabalho, ou seja, 50 MPa.
Como os rebites são comprados a partir dos seus diâmetros, em milímetros, resolveu utilizar uma
expressão matemática que apresentasse o valor desses em milímetros, sem necessidade de conversão.
Dessa forma, relembrou de suas aulas de Mecânica dos Sólidos, que é verdadeira a relação de que 1
MPa = 1 N/mm2. Por fim, escreveu a expressão que determina a área de um círculo em função de seu
diâmetro D, isto é, . Com todas as informações que necessitava e nas unidades adequadas,
substituiu os valores na expressão a seguir e determinou a área mínima de cada rebite:
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Igualando-se o valor encontrado para a área dos rebites à expressão da área do círculo em função do
diâmetro D, tem-se:
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VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
 Calcular as deformações normal e de cisalhamento
INTRODUÇÃO
F .S. =
τadmissível
τtrabalho
A = π.D
2
4
τmédia = → Área = = 225 mm2
Ftangente
Área
11.250
50
225 = → 4 .  225 = π .  D2 → = D2 → D =  √ = 17 mmπ . D
2
4
4 . 225
π
900
π
Neste momento, refletiremos sobre a deformação de um corpo sob ação de carregamentos particulares.
A primeira diferença que surge é que os corpos não são mais considerados sem deformação (rígidos).
Ainda que pequenas, as deformações na engenharia ocorrem.
Inicialmente, é importante fazer uma introdução aos tipos de deformações a que um corpo pode ficar
sujeito.
 EXEMPLO
Considere uma mola (corpo elástico). Suponhamos que a mola tenha comprimento normal (sem ação de
carga) dado por L0. Ao se aplicar uma força F, a mola tem seu comprimento aumentado em ΔL. Cessada a
causa da deformação (a força), a mola retorna ao seu comprimento original.
Essa deformação temporária é denominada de elástica. Caso tivesse sido cessada a ação da força e a
mola não retornasse ao seu comprimento inicial L0, haveria ocorrido uma deformação permanente,
também denominada plástica.
Dependendo do campo da Engenharia, o interesse é que a estrutura se mantenha apenas na região
elástica.
Laje
Quando várias pessoas ocupam uma laje, há uma deformação, mas que deixa de existir na ausência
delas.

Porta de automóvel
A estampagem de uma porta de um automóvel é feita a partir de uma fina chapa plana de aço. Após a
prensa atuar, a porta toma a forma desejada pelas deformações impostas.
Não é desejável que essas deformações sejam temporárias, e sim permanentes. Portanto, nesse caso,
a Engenharia atua no campo plástico.
Macroscopicamente, o efeito da deformação é, por exemplo, um aumento no comprimento em dada
direção. Microscopicamente, o arranjo cristalino é formado por átomos que estão separados a uma
distância natural (menor nível de energia do sistema).
Quando externamente ocorre um carregamento, cada par de átomos tem essa distância natural
alterada. A soma desses deslocamentos microscópicos leva ao resultado macroscópico, à variação nas
dimensões do corpo.
DEFORMAÇÃO MÉDIA NORMAL
Suponha uma barra homogênea de aço com seção reta A0 constante e comprimento L0. Um par de
forças axiais (F) perpendiculares à seção reta A0 é aplicado à barra, mantendo-a em equilíbrio. Como foi
visto nos módulos anteriores, associa-se uma tensão média normal. Em termos microscópicos, os
átomos são retirados de suas posições de equilíbrio no arranjo cristalino, afastando-se ou aproximando-
se, dependendo de a tensão ser trativa ou compressiva. Macroscopicamente, percebe-se uma variação
no comprimento da barra (ΔL). A figura 10 apresenta o que foi descrito para a situação de um aumento
no comprimento.
 Figura 10 - Alongamento de uma barra carregada com uma força uniaxial.
A razão entre a variação do comprimento (ΔL) e o comprimento inicial da barra (L0), é definido como a
deformação normal média (εm). A equação 12 mostra a expressão matemática da deformação normal
média descrita anteriormente.
 (Equação 12)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da equação 12, é possível inferir que a deformação normal é um número adimensional (sem
unidade), uma vez que é a razão entre duas grandezas com a mesma unidade. Em termos de
apresentação, a deformação normal média também pode ser apresentada percentualmente.
 EXEMPLO
εmédia =
ΔL
L0
εm = 0,001 ou, multiplicando por 100%, εm = 0,1%. Outra possibilidade é utilizar as unidades da variação de
comprimento e do comprimento inicial. No exemplo anterior, εm = 0,001 m/m.
Tão importante quanto saber determinar a deformação normal média, é saber interpretar o seu
resultado. Utilizando o último exemplo, isto é, εm = 0,001 m/m, qual o significado práticodesse número?
O que essa medida representa?
A partir da figura 10 e do valor de εm pode-se concluir que, em média, nas condições de carregamento
apresentadas, cada um metro da barra tem uma variação em seu comprimento de 0,001 m, ou ainda 1
mm. A interpretação quando a deformação normal média é apresentada percentualmente é análoga.
Para εm = 0,1%, significa que a variação no comprimento é, em média, 0,1% do valor inicial. Supondo
um metro o valor inicial, 0,1% de 1 m equivale a 0,001 m. Neste ponto do estudo, cabe ressaltar que,
geralmente, os valores de deformação normal na Engenharia são pequenos. Dessa forma, é comum
utilizar o submúltiplo do m, o μm, que equivale a
10-6 m. Por exemplo, εm = 0,00002 m/m equivale a εm = 20 μm/m.
 ATENÇÃO
Deformações normais positivas indicam que houve um aumento nas dimensões do corpo na direção de
estudo. Para valores negativos da deformação normal, a interpretação é uma contração na direção de
estudo.
DEFORMAÇÃO MÉDIA CISALHANTE
De maneira análoga à deformação normal, existe a deformação cisalhante. No primeiro caso, como foi
visto no item anterior, a deformação normal acarreta numa variação na dimensão de um corpo. Na
deformação cisalhante, a variação é angular, portanto, na forma dos corpos. Para o perfeito
entendimento dessa deformação, suponha um volume infinitesimal de estudo do corpo (um
paralelepípedo, por exemplo, de dimensões infinitesimais dx, dy e dz). Sejam duas dessas arestas
perpendiculares quaisquer do paralelepípedo infinitesimal de estudo, conforme a figura 11 e os eixos x, y
e z.
 Figura 11 - Elemento infinitesimal de estudo da deformação angular.
Sob a ação de um par de tensões cisalhantes nas faces superior e inferior do elemento de estudo, a
tendência é que as arestas, inicialmente perpendiculares ( ) passarão a formar um ângulo,
em radianos, θ. A figura 12 mostra a descrição apresentada. Perceba a mudança na forma do volume
infinitesimal de estudo.
 Figura 12 - Volume infinitesimal deformado pela ação de tensões cisalhantes.
Observe que as arestas que eram perpendiculares, sob a ação da tensão de cisalhamento, passam a
fazer um ângulo . Também é possível observar na figura 12 o ângulo γyx. A deformação média de
cisalhamento é dada pela equação 13.
 (Equação 13)
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Observe que os índices utilizados para a deformação média dependem da orientação das retas iniciais,
antes da deformação. A partir da equação 13 é possível inferir que: para valores de θ maiores que 
rad, a deformação cisalhante γij será negativa. Ao contrário, para valores de θ menores que rad, a
deformação cisalhante γij será positiva.
900 =  radπ
2
θ ≠ π
2
γyx =   −  θ
π
2
π
2
π
2
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
Suponha que um estagiário tenha ficado incumbido de determinada atividade no projeto de uma
estrutura metálica. A situação que foi apresentada para ele é a seguinte: uma barra de aço AB de
comprimento 5 m e seção em forma de I tem peso desprezível. Ela apresenta-se vinculada em um apoio
de segundo gênero A e a um cabo de aço de comprimento 2 m preso de maneira que ele fique na
vertical. Na situação sem carregamento, a viga permanece em equilíbrio na horizontal. Contudo, uma
carga concentrada de
20 kN será aplicada na extremidade livre B da viga, o que fará com que ela se desloque verticalmente.
Deve-se evitar que tal deslocamento seja superior a 5 mm para que a viga AB não apoie em outra viga
da estrutura e transfira parte da carga que suporta. O desenho abaixo apresenta um croqui da descrição
quando a viga está descarregada. O objetivo é que o aluno determine a deformação normal média do
cabo de aço.
Quando a força F de 20 kN é aplicada na extremidade da viga I, B sofre um deslocamento ΔB = 5 mm,
sem tocar a viga que se encontra abaixo. A figura a seguir mostra esta situação.
Para que o aluno determine a deformação média normal do cabo de aço, ele utilizou como premissa o
fato de os deslocamentos da extremidade B e do cabo de aço serem pequenos e, portanto, poderem ser
aproximados a segmentos de retas. Ademais, utilizará a expressão para a determinação da deformação
normal média, isto é, . Ele percebeu que Lo é conhecido, pois se trata do comprimento
inicial do cabo de aço (2 m). No entanto, não conhece ainda ΔL. Relembrando suas aulas de Geometria
(semelhança de triângulos), propôs o seguinte modelo matemático:
Os triângulos ACC’ e ABB’ são semelhantes. Assim, foi possível que o aluno escrevesse:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores, o aluno determinou o deslocamento do ponto C (ΔC).
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
εmédia =
ΔL
L0
=CC'
BB'
AC
AB
= → ΔC = 3 mmΔC
5 mm
3 m
5 m
Nesse ponto da solução, o aluno pode determinar a deformação normal média sofrida pelo cabo de aço
quando a carga concentrada está atuando.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assista ao vídeo para entender melhor.
APLICAÇÃO DE UM CASO CONCRETO DE CÁLCULO
DA DEFORMAÇÃO NORMAL MÁXIMA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste tema, foram abordados os conceitos de tensão e de deformação. Em ambos, houve a divisão em
normal e cisalhante. Inicialmente, foi apresentada a definição de tensão normal média, valor associado a
uma carga concentrada atuando perpendicularmente à seção.
De maneira análoga, analisamos o conceito de tensão de cisalhamento, que é a razão entre a força
tangencial à área (esforço cortante) e esta. Dois cisalhamentos foram apresentados: o simples e o
εmédia = = = 1, 5.10
−3 = 0, 15%Δ LL0
3 mm
2.000 mm
duplo. Pequenas estruturas foram dimensionadas, a partir dos conceitos anteriores e da introdução do
conceito de fator de segurança (FS).
No último módulo, apresentamos as deformações ocorridas em estruturas devido às tensões. Dessa
forma, Foram apresentadas a diferença conceitual entre as deformações normais e cisalhantes e,
também, as expressões matemáticas para determiná-las.
 PODCAST
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. J. Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo, SP: Pearson, 1995.
CALLISTER, W. D.; RETHWISCH, D. G. Ciência e Engenharia de Materiais ‒ Uma Introdução. 8. ed.
Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2016.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo, SP: Pearson, 2010.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia:
Sobre tensões e projetos de acoplamento simples (capítulo 1), Resistência dos Materiais, de R. C.
Hibbeler;
Sobre deformações (capítulo 2), Resistência dos Materiais, de R. C. Hibbeler.
CONTEUDISTA
Julio Cesar José Rodrigues Junior
 CURRÍCULO LATTES
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