Modulo 3 - TENSÃO E DEFORMAÇÃO - LEI DE HOOKE

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Belo Horizonte
2014
EDITORA
1ª Edição
Thiago Bomjardim Porto
MÓDULO 3
Mecânica dos Sólidos
Tensão e Deformação em 
elemenTos lineares; 
lei De Hooke
 Porto, Thiago Bomjardim
P853m Mecânica dos sólidos: módulo 3: Tensão e deformação em elementos
 lineares; Lei de Hooke / Thiago Bomjardim Porto. Belo Horizonte: FUMARC, 
 2014.
 150p. : il.
 ISBN: 978-85-8124-056-5
 1. Sólidos elásticos. 2. Análise estrutural (Engenharia). 3. Deformações e
 tensões. 4. Resistência de materiais. I. Título.
CDU: 620.17
Copyright © 2014 by Thiago Bomjardim Porto
É proibida, de qualquer forma ou por qualquer meio eletrônico e mecânico, a reprodução 
total ou parcial deste livro sem a permissão expressa do autor. Os direitos de propriedade 
desta edição estão reservados ao autor.
Revisão Técnica: 
Prof. Antônio Pires Azevedo Júnior 
Departamento de Engenharia Civil 
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais - PUC MINAS
Notas explicativas:
1. Foram feitos esforços para identificar os detentores dos direitos das obras. Caso ocor-
ra alguma omissão involuntária de dados, a editora buscará a correção na primeira 
oportunidade.
2. Apesar dos melhores esforços do autor, do editor e dos revisores, é possível que surjam 
inexatidões ao longo do texto. Assim, são bem-vindas as comunicações de usuários sobre 
correções ou sugestões referentes ao conteúdo ou ao nível pedagógico que auxiliem o 
aprimoramento de edições futuras. Os comentários dos leitores podem ser encaminha-
dos ao professor Thiago Bomjardim Porto pelo email porto@pucminas.br
FICHA CATALOGRÁFICA 
Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
3
DeDicaTóRia 
aos mestres e amigos antônio carlos Nogueira Rabelo, 
armando cesar campos Lavall, estevão Bicalho Pinto 
Rodrigues, José Márcio Fonseca calixto e 
Pedro Vianna Pessoa de Mendonça, 
eméritos conhecedores da engenharia de estruturas, 
aos quais devo parte de meu saber;
aos meus Pais, alberto Bomjardim Porto e 
Maria Margarida Bomjardim Porto, 
pelo legado e carinhoso afeto;
aos meus irmãos, Luiz alberto Bomjardim Porto 
e Paulo Roberto Bomjardim Porto, pela amizade 
verdadeira de tantos anos.
À minha noiva, amália Tanos Jorge Maldonado, 
presente em momentos difíceis de minha vida;
enfim, dedico esta obra a todos os colegas 
que se iniciam nesta desafiadora e cativante 
especialidade e que tem o forte desejo de vencer.
5
agRaDeciMeNTos 
À Deus, presente em todos os momentos de minha vida.
agradeço aos colegas do departamento de engenharia civil da 
PUc MiNas pela confiança e pelo apoio mantidos durante todo o 
desenvolvimento do projeto “Livro Texto Mecânica dos sólidos”.
gostaria de agradecer à Diretoria do instituto Politécnico da 
Pontifícia Universidade católica de Minas gerais, 
iPUc-PUc MiNas, em particular, ao professor Jánes Landre 
Júnior pelo apoio irrestrito a este trabalho.
agradeço também, a todos os alunos do curso de engenharia civil da 
PUc MiNas e UFMg que ajudaram, diretamente e indiretamente, 
na produção deste livro, em particular: alice Laura de oliveira 
alves, andré Luis de castro silva, Felipe Dutra galuppo, Felipe Magleau,
igor Prado da silveira, Jonas Paulo costa silveira, Juliana Rodrigues 
alves, Mila carvalho de almeida e Weberson gonçalves alves.
gostaria de agradecer, também à coNsMaRa eNgeNHaRia LTDa 
pelo apoio integral para viabilização deste livro texto.
este projeto está concluído, mas o livro didático de 
Mecânica dos sólidos não se encerra nesta primeira edição. 
espero que o mesmo possa ser aperfeiçoado em edições futuras, 
por meio do envio de críticas e sugestões por parte dos leitores 
(professores, estudantes e engenheiros). aqueles que assim as fizerem 
recebam, também, desde já, os meus sinceros agradecimentos.
o autor, 
Thiago B. Porto
7
 PREFÁCIO
Trabalhar com engenharia é uma tarefa complexa, porém prazerosa, que ao ser com-
plementado com o ensinar fecha um ciclo de realização para o profissional que nela 
atua. 
Esta publicação que hora se apresenta, é fruto de uma grande dedicação do engenheiro 
e professor Thiago, que com uma linguagem clara e objetiva passa aos seus leitores os 
conceitos básicos e necessários aos que se iniciam na área do cálculo estrutural, ser-
vindo também como um rico material de consulta no dia a dia do cálculo e no uso de 
ferramentas que atualmente fazem parte do dia a dia de um engenheiro.
Aproveito, então, para parabenizar o engenheiro e professor Thiago pelo trabalho de-
senvolvido e desejo sucesso para esta e para as próximas que virão.
Jánes Landre Júnior 
Professor da Pontifícia Universidade católica de Minas gerais 
Diretor do instituto Politécnico da PUc MiNas - iPUc
9
 aPREsEnTaçãO
Este livro procura fornecer explicações claras, com profundidade adequada, dos prin-
cípios fundamentais da Mecânica dos Sólidos. O entendimento destes princípios é 
considerado uma base sobre a qual se deve construir a experiência prática futura na 
Engenharia de Estruturas.
Admite-se que o leitor não possui conhecimento prévio sobre o assunto, mas possui 
bom entendimento da Mecânica Newtoniana.
Não se pretendeu elaborar um manual, nem um trabalho puramente científico, mas 
um livro texto, um guia de aula, rico em exemplos brasileiros. Outra preocupação foi 
que aspectos polêmicos não fossem considerados, mas que, ao contrário, fossem abor-
dadas as técnicas e os métodos reconhecidos e aceitos em nosso meio técnico.
O livro tornará a “temida” Mecânica dos Sólidos mais acessível a todos, permitindo 
que o leitor envolva-se com a fantástica e singular capacidade da Engenharia de Es-
truturas de transferir conhecimentos e informações sobre materiais, concepção es-
trutural, dimensionamento e detalhamento de peças, antecipando comportamentos e 
proporcionando economia e segurança às estruturas civis.
 O livro foi feito para estudantes e profissionais juniores e, tanto quanto possível, em-
basado numa linguagem simples e direta, evitando o jargão científico. Permitirá, entre-
tanto, que profissionais experientes, porém não familiarizados com determinada área 
de atuação da Engenharia de Estruturas, nele, encontrem os conhecimentos essenciais 
e, por meio da bibliografia recomendada de cada módulo, elementos suficientes para 
se aprofundarem no assunto.
Este livro não tem a pretensão de esgotar o vasto e complexo campo da Mecânica dos 
Sólidos, nem constituir um estado da arte sobre assunto tão amplo. Ao escrevê-lo, fui 
movido por duas metas básicas: propiciar uma objetiva literatura técnica brasileira so-
bre a mecânica dos sólidos aos alunos e colegas de trabalho Engenheiros e Arquitetos 
e orientar os profissionais de cálculo estrutural na melhor forma de aplicar os conheci-
mentos de Engenharia de Estruturas em prol de projetos de Engenharia mais seguros 
e econômicos.
Dessa forma, o livro representa uma modesta contribuição brasileira no sentido de 
aprimorar cada vez mais os conceitos relacionados à Mecânica dos Sólidos e suas apli-
cações em análise e concepção estrutural.
10
Desejo bom proveito a todos os leitores, professores, estudantes e profissionais, pois 
são vocês, em última análise, aqueles que farão, com certeza, a melhor avaliação do 
resultado alcançado.
Por se tratar de uma livro texto introdutório à Mecânica dos Sólidos, utilizei a seguin-
te sistemática: cada módulo inicia-se com um resumo dos conceitos teóricos básicos 
fundamentais para o entendimento do assunto e, na sequência, um conjunto de exer-
cícios resolvidos com a aplicação da teoria apresentada. Em seguida, são apresentados 
vários exercícios propostos com o objetivo do leitor consolidar os conhecimentos 
aprendidos.
Enfim, a melhor satisfação para quem traça plano, é ver seus projetos realizados. Este 
livro é a realizaçãode um antigo projeto que se concretiza.
O autor coloca-se à total disposição para a solução de problemas particulares de Mecâ-
nica dos Sólidos, disponibilizando sua experiência como Engenheiro Calculista, adqui-
rida em mais de uma centena de projetos de Engenharia em todo o Brasil e América 
Latina.
 
o autor, 
Thiago B. Porto
11
Mód. 1 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DA SEÇÃO 
TRANSVERSAL DE FIGURAS PLANAS
Mód. 2 INTRODUÇÃO À ANÁLISE ESTRUTURAL
Mód. 3 TENSÃO E DEFORMAÇÃO EM ELEMENTOS LINEARES; 
LEI DE HOOKE
Mód. 4 TORÇÃO 
Mód. 5 FLEXÃO E PROJETO DE VIGAS
Mód. 6 CISALHAMENTO EM ELEMENTOS LINEARES
Mód. 7 TRANSFORMAÇÕES DE TENSÃO E SUAS APLICAÇÕES
Mód. 8 DEFLEXÃO EM VIGAS
Mód. 9 FLAMBAGEM EM ELEMENTOS LINEARES E PROJETO 
DE PILARES
Mód. 10 MÉTODOS DE ENERGIA
Mód. 11 PROVAS DE CONCURSO PÚBLICO E ENADE (MEC) 
RESOLVIDAS E COMENTADAS
ColeçãoColeção
NAPRÁTICA
Mecânica dos Sólidos
12
ÍNDICE
 PREFÁCIO ....................................................................................................................................... 7
APREsEntAçãO ........................................................................................................................... 9
1. tEnsãO ..................................................................................................................................... 15
1.1. Introdução ........................................................................................................ 15
1.2. Tensões em Elementos de uma Estrutura .......................................................... 15
1.3. Análise e Projeto de Engenharia ........................................................................ 17
1.4. Tensões Normais ............................................................................................... 17
1.5. Tensões de Cisalhamento .................................................................................. 19
1.6. Tensões em Soldas ............................................................................................ 20
1.7. Tensões de Esmagamento .................................................................................. 22
1.8. Tensões em um Plano Oblíquo .......................................................................... 49
1.9. Estado de Tensão ............................................................................................... 59
1.10. Considerações de Projeto ................................................................................ 60
 1.10.1. Limite de Resistência de um material ..................................................................60
 1.10.2. Tensão admissível e coeficiente de segurança .......................................................62
13
2. tEnsãO E DEFORMAçãO - CARREGAMEntO AXIAL ..........................................73
2.1. Introdução ........................................................................................................ 73
2.2. Deformação específica normal .......................................................................... 74
2.3. Diagrama tensão-deformação ............................................................................ 75
2.4. Lei de Hooke .................................................................................................... 76
2.5. Carregamentos repetidos - Fadiga ..................................................................... 77
2.6. Deformações sob carregamento axial ................................................................ 78
2.7. Indeterminação estática .................................................................................. 109
2.8. Tensão térmica ................................................................................................ 111
2.9. Coeficiente de Poisson .................................................................................... 119
2.10. Lei de Hooke generalizada ............................................................................ 120
2.11. Dilatação: Módulo de compressibilidade Volumétrica ................................... 121
2.12. Deformação de cisalhamento ........................................................................ 122
2.13. Relação entre E, ν e G .................................................................................. 131
2.14. Princípio de Saint-Venant .............................................................................. 134
REFERÊnCIAs ...........................................................................................................................143
AnEXOs ....................................................................................................................................... 145
Anexo A.1 - Centróides de Áreas Usuais na Engenharia ..........................................................145
Anexo A.2 - Momentos de Inércia de Seções Usuais na Engenharia ......................................146
Anexo A.3 - Prefixos do Sistema Internacional.........................................................................147
Anexo A.4 - Propriedade dos Materiais .....................................................................................148
Anexo A.5 - Conversão de Unidades Usuais em Escritórios de Cálculo.................................149
Anexo A.6 - Alfabeto Grego ......................................................................................................150
14
Biografia 
ADHÉMAR JEAN-CLAUDE BARRÉ DE 
SAINT-VENANT
engenheiro e professor Francês, nasceu em 1797 e faleceu 
em 1886; atuava principalmente na hidráulica, no entanto, 
fez diversas contribuições para a Resistência dos Materiais. 
Uma de suas principais contribuições para a disciplina foi o 
princípio de saint-Venant, que afirma que os esforços internos 
normais em um elemento estrutural resultante de um esforço 
externo concentrado pode ser considerado uniformemente dis-
tribuído, desde que, seja considerado em regiões distantes do 
ponto de aplicação da carga. Maiores detalhes do princípio de 
saint Venant será visto ao longo deste módulo.
15
1. TEnsãO
1.1. InTRODUçãO
Este capítulo aborda o conceito de tensão, que é simplificadamente a distribuição da 
força por unidade de área. Tal conhecimento será de fundamental importância ao logo 
da disciplina, do curso e da carreira profissional de um engenheiro.
A seções 1.2 e 1.3 explicam o que é tensão e qual a utilidade desse tipo de conheci-
mento para a Engenharia.
As seções 1.4, 1.5, 1.6 e 1.7 demonstram os tipos de tensões que serão estudadas ao 
longo da disciplina. As tensões que serão analisadas no decorrer do capítulo são: tensão 
normal, tensão de cisalhamento, tensões em solda e tensão de esmagamento.
A seção 1.8 aborda os casos onde considera-se um plano inclinado para a análise de 
tensões.
A seção 1.9 define estado de tensão e demonstra qual a aplicação do mesmo no estudo 
de tensões. Esta seção demostra, também, quais os tipos de estado de tensão e qual 
será a convenção de sinais adota ao longo do livro.
E por último, a seção 1.10 informa quais as considerações devem ser observadas em 
um projeto para a análise de tensões.
1.2. TEnsÕEs EM ELEMEnTOs DE UMa EsTRUTURa
Segundo Porto (2011), ao analisar uma estrutura, três parâmetros devem ser observa-
dos: A força aplicada, a área onde a força está sendo aplicada e o material que a estru-
tura é confeccionada. Isso se deve ao fato de que a força encontrada é uma resultante 
de forças aplicadas sobre elementos infinitesimais de área. A intensidade média dessas 
forças distribuídas é conhecida como tensão, representada pela letra grega σ (sigma) 
e é dada pela expressão:
16
A
P
=σ
 
(1.1)
Em que:
P → Força aplicada;
A → Área de aplicação da força.
FIgURA 1 - Tensão
Fonte: elaborada pelo autor
Utilizado as unidades do Sistema Internacional, SI, tem-se P emNewtons (N) e A em 
metros quadrados (m²), logo a unidade de σ é 
²m
N
. Esta unidade é conhecida como
Pascal, porém, utiliza-se mais os múltiplos quilopascal (kPa), Megapascal (MPa) e Gi-
gapascal (GPa).
17
1.3. anÁLIsE E PROJETO DE EnGEnHaRIa
Outro parâmetro a ser observado é o material do qual a estrutura é confeccionada, 
pois cada material comporta-se de maneira diferente quando solicitado. Alguns mate-
riais como o aço, possuem as mesmas propriedades na direção x, y e z, portanto, são 
isotrópicos. Outros no entanto, como a madeira, possuem comportamento mecânico 
na direção longitudinal das fibras, diferente na direção perpendicular as fibras. Este 
tipo de material é chamado de anisotrópico. Para encontrar a tensão admissível de 
um material torna-se necessário se utilizar um coeficiente de segurança (CS) sobre a 
tensão de ruptura de um dado material. Esse coeficiente de segurança leva em conta 
as incertezas do carregamento, as propriedades mecânicas e a qualidade do material. 
Maiores detalhes sobre esse tema serão abordados no item 1.10 deste capítulo.
1.4. TEnsÕEs nORMaIs
A tensão normal é definida como a intensidade da força que é aplicada, perpendicular-
mente, à uma unidade de área.
A equação (1.1) representa a tensão normal média e não uma tensão em um ponto 
específico da seção transversal.
FIgURA 2 - Tensão Normal
Fonte: elaborada pelo autor
18
Para calcular a tensão em um ponto específico Q da seção transversal (fig. 2), dividiu-
se F∆ por A∆ fazendo com que A∆ tenda a zero.
A
F
A ∆
∆
=
→∆ 0
limσ
 
(1.2)
Em termos gerais, o valor de tensão encontrado em um ponto específico é diferente 
da tensão média. A figura 3 mostra como se dá a distribuição de tensões ao longo de 
uma barra.
FIgURA 3 - Distribuição de Tensão
Fonte: elaborada pelo autor
Como pode-se notar, a variação de tensão em um plano distante da aplicação da car-
ga é pequena, porém, em planos próximos ao da aplicação da carga essa variação é 
significativa.
Em geral, para dimensionamento de peças, utiliza-se a tensão média, exceto nos pon-
tos próximos da aplicação da carga.
Utiliza-se como convenção a tensão normal de compressão tendo o sinal negativo en-
quanto a tensão normal de tração terá o sinal positivo.
19
1.5. TEnsÕEs DE CIsaLHaMEnTO
A tensão de cisalhamento é definida como a intensidade da força que é aplicada, tan-
gencialmente à uma unidade de área.
A figura abaixo mostra uma barra submetida a cisalhamento e seu respectivo diagrama 
de corpo livre. 
FIgURA 4 - Cisalhamento
Fonte: elaborada pelo autor
Como a barra está em equilíbrio existe uma força resultante P de mesma intensidade 
que P’ e sentido oposto a este, que é a força cortante da seção. Ao dividir a cortante 
P pela área da seção transversal A, obtém-se a tensão de cisalhamento média, que é 
representada pela letra grega τ (tau).
A
P
med =τ 
(1.3)
Assim como no cálculo da tensão normal, o valor obtido na equação (1.3) é um valor 
médio. Diferentemente da tensão normal, a tensão de cisalhamento não pode ser con-
siderada uniforme ao longo da seção uma vez que ela varia de zero, na superfície da 
seção, até um valor máximo que pode ser muito maior que o valor médio.
No caso da figura 4, a barra encontra-se em cisalhamento simples. Porém, no caso da 
figura abaixo, o parafuso está em cisalhamento duplo, uma vez que o mesmo está sub-
metido a dois planos de corte (KK’ e LL’).
20
FIgURA 5 - Cisalhamento Duplo
Fonte: elaborada pelo autor
Ao traçar o diagrama de corpo livre do parafuso e analisar o equilíbrio, encontra-se a 
cortante P = F/2. Com isso, a tensão de cisalhamento média é definida por:
A
P
A
P
med 2
2 ==τ
 (1.4)
1.6. TEnsÕEs EM sOLDas
Considerando uma seção qualquer da solda em duas barras, submetidas às forças F e 
F’, conforme a figura 6 e 7, conclui-se que para manter o equilíbrio, têm-se uma força 
interna P de sentido oposto a F.
21
FIgURA 6 - Chapas Soldadas
Fonte: elaborada pelo autor
FIgURA 7 - Diagrama de Forças
Fonte: elaborada pelo autor
Essa força P irá atuar, tangencialmente, sobre qualquer plano longitudinal da solda, 
caracterizando que a o carregamento aplicado sobre a barra provoca uma tensão de 
cisalhamento ao longo da solda.
Como a força P será constante ao longo da solda, a tensão de cisalhamento terá seu 
valor máximo no plano de menor área. A área considerada será o produto entre o pe-
rímetro da solda e uma distância d (ilustrada na figura a seguir).
22
FIgURA 8 - Corte A-A
Fonte: elaborada pelo autor
Uma vez que a tensão alcançará seu valor máximo no plano de menor área e o períme-
tro da solda permanecerá constante, conclui-se que a tensão alcançará o valor crítico 
no plano cujo a distância d tenha o menor valor, ou seja, em um plano inclinado 45º. 
Com isso:
d = t . sen 45º (1.5)
O perímetro (p) da solda será dado, neste caso, por:
p = 2 . a + b (1.6)
E a tensão de cisalhamento máxima será:
pd
P
⋅
=maxτ
 (1.7)
1.7. TEnsÕEs DE EsMaGaMEnTO
A tensão de esmagamento é definida como a tensão criada por parafusos, pino e rebi-
tes sobre os componentes aos quais estão conectados.
Considera-se, por exemplo, a figura 9.
23
FIgURA 9 - Tensão de Esmagamento
Fonte: elaborada pelo autor
O parafuso exerce uma força P de mesmo módulo e sentido oposto a F. A tensão de 
esmagamento ( eσ ) é dada por meio da força P dividida pelo retângulo da projeção do 
parafuso sobre a placa. Como a área é igual a dt ⋅ , em que t é a espessura da barra e d 
o diâmetro do parafuso, a tensão de esmagamento é dada por:
dt
P
e ⋅
=σ (1.8)
24
Ex
Er
cí
ci
os
 r
Es
ol
vi
do
s EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1.1. Duas barras cilíndricas AB e BC são soldadas uma à outra em B e submetidas a 
um carregamento conforme a figura. Sabendo que d1 = 100 mm, d2 = 50 mm, 
F1 = 80 kN e F2 = 50 kN, calcule as tensões normais médias nas barras AB e BC.
FIgURA 10 - Exercício Resolvido 1.1
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
Na barra AB, atuam os esforços F1 e F2, por isso, para o cálculo da tensão em AB 
deve-se considerar:
A área da seção transversal da barra AB é dada por:
25
Ex
Er
cí
ci
os
 r
Es
ol
vi
do
sPosteriormente deve-se aplicar os dados obtidos na equação (1.1), lembrando que se-
rão utilizadas as unidades N e mm.
Na barra BC, o cálculo será de forma análoga ao da barra AB, porém, somente o esfor-
ço F2 atua na mesma. Desta forma:
F = F2 = 50kN
A área da seção transversal da barra BC é dado por:
Logo, a tensão média atuante na barra BC será:
26
Ex
Er
cí
ci
os
 r
Es
ol
vi
do
s 1.2. Duas barras cilíndricas AB e BC são soldadas uma à outra em B e submetidas a 
um carregamento conforme a figura. Sabendo que, F1 = 80 kN, F2 = 50 kN e 
que a tensão normal média não pode exceder 140 MPa, determine os menores 
valores admissíveis para 1d e 2d .
FIgURA 11 - Exercício Resolvido 1.2
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
Como a tensão admissível foi dada, assim como os esforços atuantes, é possível deter-
minar, por meio da equação (1.1), a área da seção transversal:
A
F
=σ
Logo:
σ
FA =
Desta forma a área da seção transversal da barra AB é dada por:
27
Ex
Er
cí
ci
os
 r
Es
ol
vi
do
s
Como , a unidade encontrada para a área será mm2.
a = 928,57 mm2
Com o valor da área, é possível determinar o diâmetro da barra AB através da equação:
4
2dA π=
Logo o diâmetro é dado por:
π
Ad ⋅= 4
Desta forma, o diâmetro mínimo da barra AB será:
O cálculo para o diâmetro da barra BC é de forma semelhante ao anterior, sendo:
28
Ex
Er
cí
ci
os
 r
Es
ol
vi
do
s 1.3. Duas barras cilíndricas AB e BC são soldadas uma à outra em B e submetidas a 
um carregamentoconforme a figura. Sabendo que d1 = 50 mm, d2 = 30 mm, 
F1 = 100 kN e F2 = 75 kN, calcule as tensões normais médias nas barras AB e 
BC.
FIgURA 12 - Exercício Resolvido 1.3
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
Na barra AB: 
F = –F1 = –100 kN
A área da seção transversal da barra AB é dado por:
Posteriormente deve-se aplicar os dados obtidos na equação (1.1), lembrando que se-
rão utilizadas as unidades N e mm.
A tensão negativa indica que a barra está submetida a uma tensão de compressão.
Na barra BC:
A área da seção transversal da barra BC é dado por:
Logo, a tensão média atuante na barra BC será:
29
Ex
Er
cí
ci
os
 r
Es
ol
vi
do
s
1.4. Considerando a figura da questão 1.3, determine o valor de 1F , para que a tensão 
de compressão na barra AB tenha a mesma intensidade da tensão de tração da 
barra BC. O valor de 2F , 1d e 2d continuam os mesmos da questão anterior.
Resolução:
Uma vez que a intensidade da tensão normal média na barra AB é igual a da tensão 
normal média em BC temos:
Como foi visto no problema anterior, a intensidade da tensão na barra AB é dada por:
E a intensidade da tensão na barra BC é:
Igualando as equações, obtêm-se:
30
Ex
Er
cí
ci
os
 r
Es
ol
vi
do
s 1.5. Quando a força F alcançou 5 kN, a peça de madeira mostrada na figura falhou sob 
cisalhamento ao longo da superfície C indicada pela linha tracejada. Determine a 
tensão média ao longo da seção C no momento da ruptura.
FIgURA 13 - Exercício Resolvido 1.5
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
 
Para o cálculo da tensão de cisalhamento média na seção utiliza-se a equação (1.3):
 Sendo:
Logo:
31
Ex
Er
cí
ci
os
 r
Es
ol
vi
do
s1.6. Uma carga axial de 50 kN é aplicada a uma coluna curta de madeira, de dimensões 
100 mm x 100 mm, suportada por uma base quadrada de concreto sobre um solo 
estável. Determine a tensão normal média na coluna de madeira e as dimensões 
da base de concreto para que a tensão de contato média entre o concreto não 
ultrapasse 200 kPa. Despreze os pesos da coluna de madeira e da base de concreto. 
FIgURA 14 - Exercício Resolvido 1.6
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
A tensão normal média na coluna de madeira é encontrada através da equação (1.1), 
em que:
O cálculo das dimensões da base de concreto é realizado por meio da mesma equação 
acima, porém a área é que será determinada, pois a tensão admissível é conhecida.
Como a base de concreto é quadrada, as dimensões da mesma são dadas por:
32
Ex
Er
cí
ci
os
 r
Es
ol
vi
do
s 1.7. Uma carga axial P é suportada por uma coluna curta W200 x 15,0 com seção 
transversal de área A = 1940 mm² e distribuída a uma fundação de concreto por 
uma placa quadrada. Sabendo que a tensão normal média na coluna não pode 
exceder 200 MPa e que a tensão de esmagamento na fundação de concreto não 
pode exceder 20 MPa, determine as dimensões da chapa que proporcionará o 
projeto mais seguro e econômico.
FIgURA 15 - Exercício Resolvido 1.7
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
Para este problema calcula-se a maior força que pode ser aplicada e que atenda a 
tensão admissível da coluna e posteriormente calculam-se as dimensões da placa por 
meio da força P encontrada.
O cálculo da força P será por meio da equação (1.1).
Utilizando, novamente a equação (1.1), encontra-se a área mínima da placa respeitan-
do a tensão de esmagamento admissível.
Logo, as dimensões da placa quadrada são dadas por:
33
Ex
Er
cí
ci
os
 r
Es
ol
vi
do
s1.8. Duas peças de aço são soldadas e submetidas a um carregamento F = 250 kN 
como mostra a figura abaixo. Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível 
da solda é 100 MPa, determine o menor valor possível de a. Desconsidere o atrito 
entre as peças.
FIgURA 16 - Exercício Resolvido 1.8
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
Para o cálculo das dimensões de (a), calcula-se primeiro a área do plano longitudinal 
da solda onde ocorre o maior valor para a tensão de cisalhamento máxima.
Utilizando as equações (1.5) e (1.6) encontra-se:
Utilizando a equação (1.7) é possível determinar o valor de (a).
34
Ex
Er
cí
ci
os
 r
Es
ol
vi
do
s 1.9. Para o carregamento mostrado, em que P é igual a 10 kN, determine a tensão 
normal média na barra AB. A área da seção transversal AB é igual a 200 mm².
FIgURA 17 (a) - Exercício Resolvido 1.9
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
Para este exercício, o primeiro passo é determinar a força atuante na barra AB.
Para isso, é necessário analisar o nó B.
FIgURA 17 (b) - Equilíbrio nó B
Fonte: elaborada pelo autor
Por meio do somatório de forças, sabe-se que a componente vertical de FAB deve 
anular a força P.
Com isso, é possível determinar a intensidade de FAB:
35
Ex
Er
cí
ci
os
 r
Es
ol
vi
do
s
Uma vez calculada a intensidade de FAB, é possível encontrar a tensão normal média 
atuante na barra:
1.10. Para a figura abaixo, determine a tensão de cisalhamento média no pino. 
Considere P=14,14 kN e diâmetro do pino igual a 8 mm.
FIgURA 18 - Exercício Resolvido 1.10
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
A tensão de cisalhamento média é dada por meio da equação (1.4):
 
36
Ex
Er
cí
ci
os
 r
Es
ol
vi
do
s 1.11. Os diâmetros das hastes AB e BC são 8 mm e 6mm, respectivamente. Se a 
carga vertical de 10 kN for aplicada ao anel em B, determine a tensão normal 
média em cada haste.
FIgURA 19 (a) - Exercício Resolvido 1.11
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
 
Para a resolução deste exercício, é preciso fazer o somatório de forças em B.
FIgURA 19 (b) - Equilíbrio B
Fonte: elaborada pelo autor
Como o sistema está equilíbrio, pode-se dizer que a componente y da haste FAB so-
mada com a componente y da haste FBC é igual a P.
38
Ex
Er
cí
ci
os
 P
ro
Po
st
os EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.1. A força axial na coluna mostrada na figura é P = 75 kN. Determine o menor 
comprimento L admissível para a chapa, quadrada, para que a tensão de contato 
na madeira não exceda 5 MPa.
FIgURA 20 - Exercício Proposto 1.1
Fonte: elaborada pelo autor
espaço Reservado para a Resolução do exercício
39
Ex
Er
cí
ci
os
 P
ro
Po
st
os1.2. Cada uma das barras da treliça tem área de seção transversal de 800 mm2. Deter-
mine a tensão normal média em cada elemento resultante da aplicação da carga 
P = 50 kN. Indique se a tensão é de tração ou de compressão.
FIgURA 21 - Exercício Proposto 1.2
Fonte: elaborada pelo autor
espaço Reservado para a Resolução do exercício
40
Ex
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ci
os
 P
ro
Po
st
os 1.3. Considere a figura do exercício anterior. Se a tensão normal média máxima em 
qualquer barra não pode ultrapassar 160 MPa, determine o valor máximo de P 
que pode ser aplicado.
espaço Reservado para a Resolução do exercício
41
Ex
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ci
os
 P
ro
Po
st
os1.4. O conjunto de pendural a seguir é usado para suportar um carregamento distribu-
ído igual a 15 kN/m. Determine a tensão normal média na haste AC, de diâmetro 
igual a 30 mm, e a tensão de cisalhamento média nos parafusos em A e C. O diâ-
metro dos parafusos é igual a 12 mm.
FIgURA 22 - Exercício Proposto 1.4
Fonte: elaborada pelo autor
espaço Reservado para a Resolução do exercício
42
Ex
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os
 P
ro
Po
st
os 1.5. Se a tensão normal admissível para o material da base sob os apoios em A e B for 
igual a 3 MPa, determine a carga máxima P que pode ser aplicada à viga. As seções 
transversais quadradas das chapas de apoio A’ e B’ são 50 mm x 50 mm e 75 mm 
x 75 mm, respectivamente.
FIgURA 23 - Exercício Proposto 1.5
Fonte: elaborada pelo autor
espaço Reservadopara a Resolução do exercício
43
Ex
Er
cí
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os
 P
ro
Po
st
os1.6. Considere a figura do exercício anterior. Se a tensão normal admissível para o ma-
terial da base sob os apoios em A e B for igual a 3 MPa, determine as dimensões 
das chapas, de seções quadradas, sob os apoios. Considere P = 8 kN.
espaço Reservado para a Resolução do exercício
44
Ex
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os
 P
ro
Po
st
os 1.7. O bloco de concreto de 40 kN está suspenso por quatro cabos, de 40 mm de 
diâmetro, conforme a figura abaixo. Se o diâmetro dos cabo forem 12 mm, deter-
mine a tensão normal média em cada cabo.
FIgURA 24 - Exercício Proposto 1.7
Fonte: elaborada pelo autor
espaço Reservado para a Resolução do exercício
45
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 P
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Po
st
os1.8. O acoplamento de gancho e haste a seguir está sujeito a uma força de 8 kN. Sa-
bendo que os diâmetros das hastes são de 40 mm e o diâmetro do pino é 20 mm, 
determine a tensão normal média das hastes e a tensão de cisalhamento média do 
pino.
FIgURA 25 - Exercício Proposto 1.8
Fonte: elaborada pelo autor
espaço Reservado para a Resolução do exercício
46
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 P
ro
Po
st
os 1.9. Duas peças de aço são soldadas e submetidas a um carregamento F, como mostra 
a figura abaixo. Sabendo que a tensão de cisalhamento admissível da solda é 150 
MPa e que a é igual 4 mm, determine o maior valor possível de F. Desconsidere o 
atrito entre as peças.
FIgURA 26 - Exercício Proposto 1.9
Fonte: elaborada pelo autor
espaço Reservado para a Resolução do exercício
47
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 P
ro
Po
st
os1.10. A carga P de 5 kN é suportada por dois elementos de madeira (A e B) de seção 
transversal uniforme, unidos pela emenda colada mostrada na figura. Determine 
a tensão de cisalhamento na emenda.
FIgURA 27 - Exercício Proposto 1.10
Fonte: elaborada pelo autor
espaço Reservado para a Resolução do exercício
48
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 P
ro
Po
st
os 1.11. Resolva o problema anterior considerando que os elementos de madeira A e B 
estão separados 4mm.
espaço Reservado para a Resolução do exercício
49
1.8. TEnsÕEs EM UM PLanO OBLÍQUO
A seção 1.4 demonstra que uma carga axial aplicada em um elemento provoca uma 
tensão normal no mesmo, enquanto que na seção 1.5 é demonstrado que uma carga 
tangencial provoca uma tensão de cisalhamento.
Isto se deve ao fato de que, até o presente momento, foram considerados os planos 
perpendiculares ao eixo da barra ou parafuso. Ao utilizar um plano oblíquo, observa-se 
que uma carga axial provoca tensões normais e de cisalhamento no elemento, assim 
como uma carga tangencial.
Considere uma barra submetida a um carregamento P (fig. 28) e um plano inclinado 
θ graus.
FIgURA 28 - Tensão em plano inclinado
Fonte: elaborada pelo autor
Ao decompor a força P nas suas componentes F (normal) e V (tangencial), tem-se:
θcos⋅= PF θsenPV ⋅= (1.9)
Para o cálculo das tensões é preciso utilizar a área inclinada (Aθ) que é dada por
θθ cos
AA = (1.10)
Em que A é a área de um plano perpendicular ao eixo da barra.
50
Ao substituir as equações 1.9 e 1.10 nas equações 1.3 e 1.1 tem-se:
θ
θσ
cos
cos
A
P ⋅
=
 
θ
θτ
cos
A
senP
med
⋅
=
 (1.11)
ou
A
P θσ
2cos⋅
= A
senP
med
θθτ ⋅⋅= cos (1.12)
Verifica-se que o maior valor para σ é encontrado quando 0=θ enquanto que o 
maior valor para medτ é dado quando 0=θ 45º.
51
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Es
ol
vi
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sEXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1.12. Considere dois elementos de madeira de seção transversal retangular uniforme 
unidos por uma emenda colada, como mostra a figura. Sabendo que P = 8 kN e 
que os elementos tem seções transversais com área igual a 625mm², determine 
as tensões de cisalhamento e normal na emenda colada.
FIgURA 29 - Exercício Resolvido 1.12
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
Para o cálculo das tensões utiliza-se as equações 1.12:
Com isso ao substituir os valores encontra-se:
Observe que o ângulo utilizado foi 30° e não 60°. Isso se deve ao fato de que o ângulo 
considerado para a definição da formula é o formado entre o plano da seção transversal 
e o plano inclinado.
52
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s 1.13. Considere dois elementos de madeira de seção transversal retangular uniforme 
unidos por uma emenda colada, como mostra a figura 29. Sabendo que a tensão 
de cisalhamento admissível é 600 kPa, determine a maior força P que pode ser 
aplicada.
Resolução:
Este cálculo será análogo ao anterior, porém a força P que será a incógnita. Ao substi-
tuir os valores na equação 1.12:
53
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Es
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s1.14. Uma carga P de 1x106 N é aplicada ao bloco quadrado, de lado igual a 150 mm, 
de granito mostrado na figura. Determine a tensão normal média no bloco e a 
tensão de cisalhamento média resultante de maior valor.
FIgURA 30 - Exercício Resolvido 1.14
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
Para o cálculo da normal média utiliza-se a equação 1.1
A
P
=σ
Substituindo os valores encontra-se:
Para o cálculo da tensão de cisalhamento média, utiliza-se a equação 1.12, com θ igual 
a 45°, encontrando-se o maior valor para a tensão de cisalhamento média.
A
senP
med
θθτ cos⋅⋅=
Logo
54
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s 1.15. O elemento na figura abaixo está submetido a um carregamento P = 4 kN. 
Determine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média ao longo 
do plano inclinado. Considere o elemento com seção transversal quadrada com 
lado igual a 30 mm.
FIgURA 31 - Exercício Resolvido 1.15
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
Para o cálculo das tensões utiliza-se as equações 1.12:
A
P θσ
2cos⋅
=
 A
senP
med
θθτ ⋅⋅= cos
Com isso ao substituir os valores encontra-se:
Observe que o ângulo utilizado foi 30° e não 60°. Isso se deve ao fato de que o ângulo 
considerado para a definição da formula é o formado entre o plano da seção transversal 
e o plano inclinado.
55
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s1.16. Um corpo de prova sob tração com seção transversal de medidas 100 mm x 20 
mm é submetido a uma força axial P igual a 200 kN. Determine a tensão de 
cisalhamento média máxima no corpo de prova.
FIgURA 32 - Exercício Resolvido 1.16
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
Para o cálculo da tensão de cisalhamento média utiliza-se a equação 1.12, com θ igual 
a 45°, onde encontra-se o maior valor para a tensão de cisalhamento média.
A
senP
med
θθ
τ
cos⋅⋅
=
Logo
56
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 P
ro
Po
st
os EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.12. A carga P de 5 kN é suportada por dois elementos de madeira de seção trans-
versal uniforme unidos pela emenda colada. Determine as tensões normal e de 
cisalhamento na emenda colada sabendo que os elementos tem seção transver-
sal igual a 100 mm x 75 mm.
FIgURA 33 - Exercício Proposto 1.12
Fonte: elaborada pelo autor
espaço Reservado para a Resolução do exercício
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Po
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os1.13. A estrutura de dois elementos está sujeita a um carregamento mostrado. De-
termine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que age na 
seção a-a. A seção transversal quadrada do elemento AB tem 35 mm de lado. 
Considere P = 10 kN.
FIgURA 34 - Exercício Proposto 1.13
Fonte: elaborada pelo autor
espaço Reservado para a Resolução do exercício
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os 1.14. Resolva o exercício anterior considerando a seção b-b, sendo que a seção trans-
versal quadrada do elemento CB tem 35 mm de lado.
espaço Reservado para a Resolução do exercício1.15. Considere a figura do exercício 1.13. Determine a maior intensidade P da carga 
que pode ser aplicada à estrutura sem que a tensão normal média na seção b-b 
ultrapasse 15 MPa. O elemento tem seção transversal de área igual a 900 mm2.
espaço Reservado para a Resolução do exercício
59
1.9. EsTaDO DE TEnsãO
Todo material pode estar submetido a esforços aplicados em um ou mais planos. No 
caso de aplicação de esforços em um único plano, afirma-se que o material está subme-
tido a um estado plano de tensões ou também, estado duplo de tensões. Neste caso, o 
material será submetido apenas a tensões no plano x-y por exemplo.
FIgURA 35 - Estado plano de tensão
Fonte: elaborada pelo autor
Neste caso, são consideradas somente as tensões σx , σy e τxz e a convenção de sinais 
utilizadas para tensões positivas será conforme a figura 35.
Além do estado plano de tensões, um material pode ser analisado no estado triplo de 
tensões, ou estado triaxial. Neste estado, serão considerados os esforços aplicados nos 
planos x-y, x-z e y-z, tornando este método mais complexo.
No estado triaxial as tensões consideradas serão σx , σx , σz , τxy , τxz e τyz . E a 
convenção de sinais para tensões positivas será conforme a figura a seguir.
60
FIgURA 36 - Tensão em plano inclinado
Fonte: elaborada pelo autor
1.10. COnsIDERaçÕEs DE PROJETO
1.10.1. Limite de Resistência de um material
Este parâmetro informa à carga última, ou de ruptura do material. É obtido por meio 
de ensaios de laboratório, em que uma amostra submetida a esforços de tração ou 
compressão recebe acréscimos de carga até que a peça rompa ou que comece a su-
portar menos carga (Perda de resistência). Essa força máxima é conhecida como carga 
limite, Pu, e, ao dividi-la pela área de aplicação da carga, obtém-se a tensão normal 
limite do material.
A
Pu
u =σ
 (1.13)
Para o cálculo da tensão de cisalhamento limite, existem vários métodos existentes. No 
entanto, o mais comum é por meio do ensaio de torção. Outro método é a aplicação de 
uma força cisalhante na amostra até o rompimento, porém, este método não é usual.
61
1.10.2. Tensão admissível e coeficiente de segurança
Por questões de segurança, não são utilizadas as tensões limites, também conhecidas 
como tensões de ruptura, no projeto. Utiliza-se uma fração da tensão limite conhecida 
como tensão admissível ( admσ ). A relação entre as tensões limite e admissível é co-
nhecido como coeficiente de segurança (fator de segurança), expressão pela equação.
AdmissívelTensão
LimiteTensãoSC =.. (1.14)
Obviamente, a tensão admissível deverá sempre ser menor que a tensão limite. Para 
a definição de um correto C.S. diversos fatores devem ser observados, uma vez que a 
escolha de um valor muito pequeno aumenta o risco de falha do material, enquanto 
um muito elevado torna o projeto, economicamente inviável.
Para a escolha do C.S. ,o engenheiro deve considerar:
•	 Incerteza nas propriedades do material
•	 Incerteza de cargas
•	 Incerteza das análises
•	 Número de ciclos de carga
•	 Tipos de falha
•	 Requisitos de manutenção e os efeitos de deterioração
•	 Importância da barra para a integridade de toda estrutura
•	 Risco à vida e à propriedade
•	 Influência sobre a função da máquina
Geralmente os coeficientes de segurança são definidos por normas técnicas ou por 
especificações de projeto.
No Brasil, as principais normas regulamentadoras são:
•	Estruturas	de	Concreto	Armado	–	NBR	6118/2014
•	Estruturas	de	Aço	–	NBR	8800/2008
•	Estruturas	de	Madeira	–	NBR	7190/1997
62
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s EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1.17. Os componentes AB e BC da treliça mostrada abaixo, são feitos do mesmo 
material. Sabe-se que a tensão de ruptura para esse material é 300 MPa, que o 
diâmetro dos componentes da treliça são iguais a 50 mm e que o coeficiente de 
segurança adotado é 2,8. Determine a tensão normal média para os componen-
tes AB e BC quando submetidos a um carregamento P igual a 100 kN e informe 
se para esse carregamento o projeto é aprovado, ou seja, a tensão atuante é me-
nor ou igual a tensão admissível.
FIgURA 37 (a) - Exercício Resolvido 1.17
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
Para a resolução deste exercício deve-se primeiro calcular os esforços atuantes em cada 
componente da treliça. Neste caso isso é possível analisando apenas o nó B, ao fazer o 
somatório de forças em y, é possível perceber que a componente de força vertical da 
barra AB deve anular a força P.
Desta forma:
O valor do ângulo θ pode ser encontrado 
por meio da seguinte equação:
FIgURA 37 (b) - Equilíbrio nó B
Fonte: elaborada pelo autor
63
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sSubstituindo os valores na equação acima, encontra-se:
FaB . sen 26,565º = 100 kN
FaB = 223,61 kN
Logo:
Ao fazer o somatório de forças em x percebe-se que a componente horizontal de AB 
deve anular a força atuante em BC.
Substituindo os valores encontrados anteriormente, encontra-se o valor de BC.
FBc = 223,61 . cos 26,565 = 200 kN
Posteriormente deve-se calcular a tensão normal média atuante em cada barra da tre-
liça, utilizando a equação (1.1).
A
P
=σ
Substituindo os valores encontrados:
Após o cálculo das tensões deve-se calcular a tensão admissível e verificar se as tensões 
são menores ou igual a tensão admissível. O cálculo da tensão admissível é dado pela 
equação 1.14.
..SC
rup
adm
σ
σ =
Substituindo os valores encontra-se:
Com isso, o projeto não é aprovado pois 
64
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s 1.18. Considerando a treliça e o carregamento do exercício anterior e sabendo que 
a tensão de cisalhamento admissível dos pinos é 80 MPa, determine o menor 
diâmetro para o pino em A.
FIgURA 38 - Exercício Resolvido 1.18
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
Como calculado no exercício resolvido 1.17, a força atuante na barra AB é igual a 
223,6 kN. Com isso, deve-se substituir os valores na equação (1.3).
A
F
med =τ
Substituindo os valores, é possível encontrar a área admissível à aplicação da força.
Uma vez encontrada a área, é possível determinar o diâmetro.
65
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s1.19. Quatro parafusos de aço devem ser usados para fixar a chapa de aço em uma viga 
de madeira, conforme mostrado na figura 39. Sabendo que a chapa suportará uma 
carga P de 180 kN, que o limite da tensão de cisalhamento do aço utilizado é 360 
MPa e que é desejado um coeficiente de segurança de 3,3, determine os diâmetro 
dos parafusos.
FIgURA 39 - Exercício Resolvido 1.19
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
Primeiramente deve-se calcular a força em cada parafuso:
Utilizando-se da equação 1.4 para acharmos a força de ruptura temos:
Com o valor da força de ruptura, podemos calcular o diâmetro:
66
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s 1.20. Quatro parafusos de aço com 25 mm de diâmetro devem ser usados para fixar a 
chapa como mostra a figura do exercício anterior. Sabendo que a chapa suporta-
rá uma carga de 100 kN e que a tensão de cisalhamento limite do aço utilizado 
é 360 MPa, determine o coeficiente de segurança para o projeto.
Resolução:
Primeiramente, deve ser calculado a tensão de cisalhamento média atuante nos pinos, 
por meio da equação 1.3.
Uma vez determinada a tensão atuante determina-se o coeficiente de segurança atra-
vés da equação 3.14
..SC
rup
adm
σ
σ =
Logo
67
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osEXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.16. A junta está presa por dois parafusos. Determine o diâmetro exigido para 
os parafusos se a tensão de ruptura por cisalhamento para os parafusos for 
τrup = 300 MPa e P = 50 kN. Use um coeficiente de segurança igual 3,2.
FIgURA 40 - Exercício Proposto1.16
Fonte: elaborada pelo autor
espaço Reservado para a Resolução do exercício
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os 1.17. Considerando a figura do exercício anterior, pede-se:
 Determine o C.S. do sistema sabendo que, τrup = 300 MPa, τatuante = 40 kN 
e o diâmetro do parafuso é 10 mm.
espaço Reservado para a Resolução do exercício
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os1.18. As hastes AB e CD são feitas de aço cuja tensão de ruptura à tração é
τrup = 450 MPa. Usando um coeficiente de segurança igual a 2, determine o 
menor diâmetro das hastes de modo que elas possam suportar a carga mostrada.
FIgURA 41 - Exercício Proposto 1.18
Fonte: elaborada pelo autor
espaço Reservado para a Resolução do exercício
70
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os 1.19. Na estrutura de aço é usado um pino de 8 mm de diâmetro em A e um de 10 
mm de diâmetro em B e C. O limite da tensão de cisalhamento é 140 MPa em 
todas as conexões e o limite da tensão normal é 400 MPa na barra BC. Sabendo 
que se deseja um coeficiente de segurança igual a 3,2, determine o maior valor 
da carga P que pode ser aplicada em B.
FIgURA 42 - Exercício Proposto 1.19
Fonte: elaborada pelo autor
espaço Reservado para a Resolução do exercício
71
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os1.20. Resolva o problema anterior considerando que foram utilizados pinos de 12 mm 
em toda as conexões.
espaço Reservado para a Resolução do exercício
Biografia 
ROBERT HOOkE
cientista experimental que nasceu na inglaterra em 
1635 e faleceu em 1703. Hooke, assim como Newton, foi um 
dos cientistas mais renomados do século XVii. Foi membro da 
sociedade Real de Londres (The Royal society of London for 
the improvement of Natural Knowledge), instituição esta des-
tinada ao desenvolvimento do conhecimento científico. sua 
principal contribuição para a Resistência dos Materiais foi a 
descoberta da Lei de Hooke, que relaciona a tensão e defor-
mação em um corpo no regime elástico linear.
73
2. TEnsãO E DEFORMaçãO - 
 CaRREGaMEnTO aXIaL
2.1. InTRODUçãO
O capítulo 2 aborda as tensões e deformações causadas por um carregamento axial. O 
capítulo conceitua deformação e analisa o conhecimento básico sobre o tema que é de 
elevada importância para a Engenharia.
A seção 2.2 define deformação específica normal, que é a base para o entendimento 
do capítulo. 
As seções 2.3 e 2.4 relacionam a deformação específica normal com a tensão aplicada 
sobre o material. Na seção 2.4, será apresentada a Lei de Hooke de fundamental im-
portância para a análise de tensão e deformação.
A seção 2.5 verifica o comportamento dos materiais submetidos a carregamentos re-
petidos. Este fenômeno é conhecido como fadiga.
A seção 2.6 relaciona a lei de Hooke com a variação do comprimento inicial de um 
material submetido a carregamento axial.
A seção 2.7 demonstra como resolver problemas estaticamente indeterminados utili-
zando o método aprendido na seção anterior.
A seção 2.8 aborda as tensões e deformações causadas pela variação de temperatura 
analisando o comportamento do material quando submetido a esta situação.
Nas seções 2.9 e 2.10, serão consideradas as deformações sofridas nos eixos x, y e z 
adaptando a Lei de Hooke para o estado geral.
A seção 2.11 analisa as alterações no volume de um corpo após sofrer deformações. 
Essa alteração é conhecida como dilatação. Esta seção define também o módulo de 
compressibilidade volumétrica.
A seção 2.12 define a deformação causada por uma tensão cisalhante e demonstra o 
procedimento para o cálculo da mesma.
74
A seção 2.13 relaciona o módulo de elasticidade, o coeficiente de Poisson e o módulo 
de rigidez. Esta relação será importante no caso de se conhecer somente duas das três 
constantes.
Por último, a seção 2.14 apresenta o Princípio de Saint-Venant que será utilizado para a 
análise de tensões cujo carregamento não seja aplicado de forma distribuída no material.
2.2. DEFORMaçãO EsPECÍFICa nORMaL
Ao aplicar uma carga axial P, de compressão ou tração, em uma barra a mesma tende a 
mudar de tamanho e forma, conforme mostra na figura 43.
FIgURA 43 - Deformação específica normal
Fonte: elaborada pelo autor
Define-se deformação normal média (ε ) como a relação entre a variação de compri-
mento (δ ) e o comprimento inicial de uma barra (Li) submetida a um carregamento 
axial (P), ou seja:
iL
δε = (2.1)
O valor de δ é obtido pela diferença:
if LL −=δ (2.1)
75
Em que fL é o comprimento final da barra e iL o comprimento inicial.
Como δ e L possuem unidades de comprimento, percebe-se que a deformação (ε ) 
é adimensional.
Para um valor de ε positivo, tem-se um aumento no comprimento da barra. Se o valor 
for negativo, o comprimento foi diminuído.
2.3. DIaGRaMa TEnsãO-DEFORMaçãO
Com dados obtidos em ensaios de tração ou compressão, obtém-se os valores de ten-
sões e suas respectivas deformações no corpo de prova. O gráfico construído com esses 
valores é conhecido como diagrama de tensão-deformação, conforme figura 44, em 
que ε é a abscissa e σ é a ordenada.
FIgURA 44 - Diagrama Tensão-Deformação Genérico
Legenda:
1 - Comportamento elástico
2 - Comportamento plástico ou 
 parcialmente plástico
A - Região elástica
B - Escoamento do material para 
 uma tensão constante
C - Endurecimento por deformação
D - Estricção
σlp - Limite de proporcionalidade
σE - Limite de elasticidade/Limite 
 de escoamento
σrup - Tensão de ruptura
σr - Limite de resistência
σ’rup - Tensão de ruptura real
Fonte: elaborada pelo autor
76
Por meio do diagrama, é possível concluir algumas informações importantes sobre o 
material, por exemplo: tensão de escoamento e ruptura; região elástica; definir se o 
material é dúctil (suporta grandes deformações antes de romper) ou frágil (possuem 
pouco ou nenhum escoamento), etc.
Caso a tensão aplicada seja menor ou igual à tensão limite de proporcionalidade, ao 
retirar a tensão aplicada, a deformação irá retroceder a zero. Caso a tensão seja maior, 
haverá uma deformação permanente, sendo encontrada ao traçar uma reta paralela á 
reta do regime elástico, do ponto com as coordenadas encontradas no momento da 
aplicação da carga até o eixo das deformações.
Caso o material não possua um limite de proporcionalidade bem definido, pode-se 
usar a tensão de escoamento como a tensão limite de proporcionalidade, pois acarre-
tará em um erro muito pequeno, uma vez que são valores, extremamente próximos. 
É importante ressaltar que na prática é muito difícil diferenciar a Tensão de 
Escoamento Limite e o limite de proporcionalidade. Assim, é muito comum consi-
derar esses dois pontos sendo apenas um, ou seja, o limite elástico, σE.
Vale lembrar que existem dois diagramas de tensão-deformação, o teórico e o real. 
O primeiro, utiliza a seção transversal do corpo de prova constante ao longo de todo 
ensaio, ou seja, não considera o decréscimo de área das seções do material, causado 
pela estricção. No diagrama genérico apresentado, a área para o cálculo das tensões é 
constante.
O segundo diagrama utiliza as tensões reais, considerando o decréscimo da área. Mes-
mo que o primeiro diagrama seja menos preciso que o segundo, ele é utilizado na 
Engenharia pois apresenta resultados aceitáveis.
2.4. LEI DE HOOkE
A maioria dos materiais de Engenharia possui uma proporcionalidade entre tensão e 
deformação no regime elástico. Este fato foi descoberto por Robert Hooke, em 1676 
e, por isso, é conhecido como Lei de Hooke.
εσ ⋅= E (2.3)
Em que E é o módulo de elasticidade (também conhecido como Módulo de Young), 
obtido pela inclinação da reta na fase elástica do diagrama de tensão-deformação. O 
módulo de elasticidade é dado pela divisão da tensão do limite de proporcionalidadepela respectiva deformação.
77
 
(2.4)
Vale lembrar que a lei de Hooke só é valida para materiais com comportamento linear 
elástico e com tensões menores ou iguais à tensão limite de proporcionalidade.
2.5. CaRREGaMEnTOs REPETIDOs - FaDIGa
Quando uma tensão é aplicada milhares ou até milhões de vezes ao material, este ten-
de a romper mesmo que a tensão aplicada seja muito menor que a tensão de ruptura. 
Este fenômeno é conhecido como fadiga.
Quando um material rompe por fadiga, a falha será de natureza frágil, não apresentan-
do grandes deformações, mesmo em materiais dúcteis.
Para definir o número de ciclos de carregamentos que levam à ruptura do material, 
realizam-se ensaios em que uma tensão é aplicada repetidamente. O mesmo ensaio é 
repetido para vários valores de σ e, posteriormente constrói-se a curva n−σ , em 
que n é o número de ciclos necessários para a ruptura do material.
FIgURA 45 - Fadiga
Fonte: elaborada pelo autor
O conceito de fadiga é muito utilizado na Engenharia Mecânica, principalmente na 
indústria Automobilística e Aeroespacial.
78
2.6. DEFORMaçÕEs sOB CaRREGaMEnTO aXIaL
Considerando uma barra homogênea de comprimento L e seção transversal uniforme 
de área A, submetida a uma carga axial P, cujo a tensão P/A não ultrapasse o limite de 
proporcionalidade, pode-se escrever a lei de Hooke como:
ε⋅= E
A
P
 (2.5)
Ou, ainda:
EA
P
⋅
=ε (2.6)
Ao igualar a equação (2.6) com a equação (2.1), tem-se:
EA
P
L ⋅
=
δ
 (2.7)
Logo:
EA
LP
⋅
⋅
=δ (2.8)
Essa equação só pode ser usada se o módulo de elasticidade E, for constante, se a 
seção transversal for uniforme e se a força for aplicada em suas extremidades. Caso 
contrário, a barra deve ser dividida de forma que satisfaça estas condições. Com isso, 
a variação de comprimento será dada por meio do somatório das variações das partes 
da barra.
∑ ⋅
⋅
=
n nn
nn
EA
LP
δ (2.9)
Aplicando-se a soma de Riemann para todas as barras, pode-se integrar a equação an-
terior para obtermos a variação total.
 
(2.10)
79
Ex
Er
cí
ci
os
 r
Es
ol
vi
do
sEXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2.1. Uma barra de aço com comprimento igual a 2 m aumenta 1 mm no comprimento 
quando lhe é aplicada uma força de tração igual a 15 kN. Sabendo que E=200 
GPa, determine o diâmetro da barra na situação deformada e a tensão normal 
média correspondente. Desconsiderar a estricção da peça (regime elástico linear).
FIgURA 46 - Exercício Resolvido 2.1
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
Como foi fornecido o comprimento inicial e a variação desse comprimento, é possível 
determinar a deformação da barra:
Uma vez conhecida a deformação na barra, calcula-se a tensão atuante na mesma.
Com o valor da tensão e da força atuantes, encontra-se a área:
Por meio do valor da área encontra-se o valor do diâmetro da barra
80
Ex
Er
cí
ci
os
 r
Es
ol
vi
do
s 2.2. Deseja-se usar um fio de aço de 10 m de comprimento e 8 mm de diâmetro 
para sustentar uma força P de tração. Sabe-se que o fio se alonga 10 mm quando 
é aplicada esta força. Sabendo que E = 200 GPa, determine a intensidade da 
força P.
FIgURA 47 - Exercício Resolvido 2.2
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
O primeiro passo é calcular a deformação resultante do alongamento do fio
Após o cálculo da deformação, calcula-se a tensão atuante no fio:
Com a tensão atuante e o diâmetro do fio, é possível determinar a intensidade da força 
P:
81
Ex
Er
cí
ci
os
 r
Es
ol
vi
do
s2.3. A barra de alumínio ABC (E = 70 GPa), que consiste de duas partes cilíndricas 
AB e BC, deve ser substituída por uma barra de aço cilíndrica DE (E = 200 GPa) 
do mesmo comprimento total. Determine o diâmetro mínimo necessário para a 
barra de aço para que sua variação de comprimento vertical não exceda à da barra 
de alumínio sob a mesma força de 150kN.
FIgURA 48 - Exercício Resolvido 2.3
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
Primeiro, deve-se calcular a deformação da barra de alumínio.
Analisando a parte BC:
A tensão atuante é:
Com o valor da tensão atuante, encontra-se a deformação no trecho BC
Com o valor da deformação no trecho, calcula-se a variação de comprimento
82
Ex
Er
cí
ci
os
 r
Es
ol
vi
do
s O mesmo procedimento deve ser feito para o trecho AB:
A tensão atuante é:
Com o valor da tensão atuante encontra-se a deformação no trecho AB
Com o valor da deformação no trecho, calcula-se a variação de comprimento
Posteriormente somam-se as variações dos comprimentos AB e BC, pois esse será o 
valor da variação de comprimento da barra de aço.
Uma vez encontrada a variação do comprimento da barra de aço determina-se a 
deformação da mesma:
Com os valores da deformação e do módulo de elasticidade, encontra-se o valor da 
tensão atuante na barra:
Como foi definida a intensidade da força aplicada, é possível calcular a área da barra 
e posteriormente, o diâmetro da mesma.
Logo
83
Ex
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ci
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 r
Es
ol
vi
do
s2.4. Duas barras cilíndricas sólidas são unidas em B e carregadas conforme a figura. 
A barra BC é feita de aço ( E = 200 GPa) e a barra AB de latão (E = 100 GPa). 
Determine o deslocamento do ponto A.
FIgURA 49 - Exercício Resolvido 2.4
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
Para o cálculo do deslocamento do ponto A, é necessário o cálculo da variação do 
comprimento dos dois trechos, pois o deslocamento do ponto A será a soma das duas 
variações.
Analisando o trecho AB:
A tensão atuante, neste trecho é dada por:
Uma vez calculada a tensão atuante, encontra-se a deformação na barra AB.
Logo, a variação do comprimento do trecho AB é dado por:
84
Ex
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cí
ci
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 r
Es
ol
vi
do
s Analisando o trecho BC:
Neste trecho, pelo método das seções, a resultante de forças que atua na barra é igual 
a 150 kN, sendo um esforço de compressão.
Uma vez calculada a tensão atuante, encontra-se a deformação na barra AB.
Logo a variação do comprimento do trecho AB é dada por:
Portanto, o deslocamento do ponto A é dado por:
85
Ex
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 r
Es
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vi
do
s2.5. Um cilindro vazado de poliestireno ( E = 3,1 GPa), com parede igual a 1 mm de 
espessura, diâmetro igual a 10 mm e 30 mm de comprimento, e uma placa rígida 
circular são usados para suportar uma barra de aço AB (E = 200 GPa) de 250 mm 
de comprimento e 5 mm de diâmetro. Se uma carga P de 4,5 kN for aplicada em 
B, determine a deformação da barra AB e o deslocamento do ponto B.
FIgURA 50 - Exercício Resolvido 2.5
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
Deformação da barra AB:
Para o cálculo da deformação da barra AB, é necessário o cálculo da tensão atuante na 
barra, que é dado por:
86
Ex
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 r
Es
ol
vi
do
s Uma vez calculada a tensão atuante, encontra-se a deformação resultante na barra por 
meio do seguinte cálculo:
Deslocamento ponto B:
Para a determinação do deslocamento do ponto B, é preciso considerar a deformação 
sofrida pela barra e, também a deformação sofrida pelo cilindro de poliestireno. O 
deslocamento do ponto B será a soma da variação dos comprimentos da barra e do 
cilindro.
Para o cálculo da deformação do cilindro, é necessário o cálculo da tensão atuante 
nele, que é dado por:
Uma vez calculada a tensão atuante, encontra-se a deformação resultante na barra por 
meio do seguinte cálculo:
Após o cálculo da deformação encontra-se a variação no comprimento do cilindro
Logo o deslocamento do ponto B é dado por:
87
Ex
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 r
Es
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do
s2.6. Para a treliça de aço (E = 200 GPa) e o carregamento P igual a 100 KN, determine 
as deformações dos componentes AB e AD, sabendo que suas áreas de seção 
transversal são, respectivamente2500mm² e 2000mm².
FIgURA 51 (a) - Exercício Resolvido 2.6
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
Para o cálculo da deformação das barras, é necessário a determinação das tensões 
atuantes e, para isso é necessário descobrir os esforços que atuam em cada barra.
FIgURA 51 (b) - Diagrama de corpo livre
Fonte: elaborada pelo autor
Como a treliça é simétrica, sabe-se que as reações verticais de apoio serão:
88
Ex
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cí
ci
os
 r
Es
ol
vi
do
s Com isso, fazendo o equilíbrio do nó A utilizando do somatório de forças em y 
encontra-se que a componente vertical de FAB deve ser igual a reação de apoio em A:
FIgURA 51 (c) - Equilíbrio do nó A
Fonte: elaborada pelo autor
O ângulo θ é formado pela barra FAB e FAD e é dado por:
Dessa forma, encontra-se que FAB é:
Ao fazer o somatório de forças em x encontra-se que FAD é:
Uma vez determinada as forças atuantes em cada barra calculam-se as respectivas 
tensões:
Após o cálculo das tensões determinam-se as deformações resultantes.
89
Ex
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do
s2.7. O quadro de aço (E = 200 GPa) mostrado na figura tem uma travessa diagonal 
BD com uma área de 2000 mm². Determine a maior força P admissível para que 
a variação no comprimento do elemento BD não exceda 2 mm.
FIgURA 52 (a) - Exercício Resolvido 2.7
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
Para a resolução deste problema deve-se, primeiramente, calcular a deformação da 
barra BD:
Uma vez calculada a deformação, calcula-se a máxima tensão que pode atuar na barra.
Com o valor da tensão, é possível determinar a força resultante na barra BD:
Com o equilíbrio no nó C pode-se analisar que a intensidade de FBC é igual a P.
90
Ex
Er
cí
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 r
Es
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vi
do
s FIgURA 52 (b) - Equilíbrio nó C
Fonte: elaborada pelo autor
Assim ao analisar o nó B, conclui-se que a componente horizontal de BD deve ser igual 
a intensidade de BC que é igual a P.
FIgURA 52 (c) - Equilíbrio nó B
Fonte: elaborada pelo autor
Logo:
 kNP 20045cos84,282 =⋅= o
91
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s2.8. Uma força axial de intensidade P = 500 kN é aplicada ao bloco composto, 
mostrado na figura, por meio de uma placa rígida na extremidade. Sabendo que 
h = 15 mm, determine a tensão normal no núcleo de latão e nas placas de 
alumínio. ealumínio = 70 gPa e elatão = 100 gPa.
FIgURA 53 (a) - Exercício Resolvido 2.8
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
Para esta questão, sabe-se que a força atuante no núcleo de latão somada à força 
atuante nas placas de alumínio é igual a força P de 500 kN.
Como as variações de comprimento do alumínio e do latão têm que ser iguais, pode-se 
chegar à seguinte relação:
ALUMINIOLATAO δδ =
(Equação de compatibilidade dos deslocamentos)
EA
LP
⋅
⋅
=δ
92
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 r
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do
s
ALUMÍNIOALUMÍNIO
ALUNÍNIO
LATÁOLATÁO
LATÁO
EA
LP
EA
LP
⋅
⋅
=
⋅
⋅
ALUMÍNIOALUMÍNIO
LATÁOLATÁOALUNÍNIO
LATÁO
ALUMÍNIOALUMÍNIO
LATÁOLATÁOALUNÍNIO
LATÁO EA
EAP
P
LEA
EALP
P
⋅
⋅
==>
⋅
⋅⋅
=
 
⇒
 ALUMÍNIOALUMÍNIO
LATÁOLATÁOALUNÍNIO
LATÁO
ALUMÍNIOALUMÍNIO
LATÁOLATÁOALUNÍNIO
LATÁO EA
EAP
P
LEA
EALP
P
⋅
⋅
==>
⋅
⋅⋅
=
FIgURA 53 (b) - Diagrama de corpo livre
Fonte: elaborada pelo autor 
Como,
LATÃOALUMÍNIO PPP +=
Logo,
ALUMÍNIOALUMÍNIO
LATÁOLATÁOALUNÍNIO
ALUNÍNIO EA
EAP
PP
⋅
⋅
+=
ALUMÍNIOALUMÍNIO
LATÁOLATÁOALUNÍNIOALUMÍNIOALUMÍNIOALUNÍNIO
EA
EAPEAP
P
⋅
⋅+⋅
=
( )
ALUMÍNIOALUMÍNIO
LATÁOLATÁOALUMÍNIOALUMÍNIOALUNÍNIO
EA
EAEAP
P
⋅
⋅+⋅
=
93
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 r
Es
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vi
do
s
Pode-se utilizar do mesmo roteiro de cálculo para encontrar o PLATÃO, obtendo a 
seguinte equação:
ALUMÍNIOALUMÍNIOLATÃOLATÃO
LATÃOLATÃO
LATÃO EAEA
EAP
P
⋅+⋅
⋅⋅
=
Substituindo os valores, encontra-se:
Como já foi dito a força atuante no latão somada a força atuante no alumínio deve ser 
igual a força P de 500 kN. Logo:
Posteriormente basta dividir os valores encontrados por suas respectivas áreas para 
encontrar as tensões:
94
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do
s 2.9. Para o bloco composto mostrado no problema anterior e sabendo que o valor de h 
é 20 mm determine a força total se a parte sustentada pelo núcleo de latão for de 
80 MPa.
 
Resolução:
Com a tensão de 80 MPa, que foi dada, é possível calcular a deformação no núcleo 
do latão. Com esse valor de deformação será possível determinar a força atuante no 
núcleo do latão, como também, a variação do comprimento nas placas de alumínio.
Esse valor de deformação será o mesmo para as placas de alumínio, porém a tensão 
será:
Posteriormente, encontra-se a força atuante no núcleo de latão:
A força atuante nas placas de alumínio será:
Com isso, o valor da força P será a soma das forças atuantes no núcleo de latão e nas 
placas de alumínio.
95
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s2.10. Um pilar de concreto de 2 m de altura é reforçado com 4 barras de aço, 
cada uma com 28 mm de diâmetro. Sabendo que eaÇo = 200 gPa 
e ecoNc = 25 gPa, determine as tensões normais no aço e no concreto 
quando uma força P, centrada axial de 1500 kN, é aplicada ao pilar.
FIgURA 54 - Exercício Resolvido 2.10
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
Para a resolução deste problema, deve-se primeiramente, calcular a área de concreto 
e a área de aço.
Após o cálculo das áreas, pode-se utilizar a equação de compatibilidade dos 
deslocamentos para calcular a força atuante no concreto:
δCONCRETO = δAÇO
Com isso, a força atuante nas barras de aço é dado por:
As tensões atuantes serão, então:
96
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s 2.11. Três barras de aço (E = 200 GPa) suportam uma carga P de 50 kN. Cada uma 
das barras AB e CD tem uma área de seção transversal de 200mm² e a barra 
EF tem um área de seção transversal de 625mm². Determine a deformação da 
barra EF. Considere a barra BD rígida.
FIgURA 55 (a) - Exercício Resolvido 2.11
Fonte: elaborada pelo autor 
Resolução:
O primeiro passo para a resolução deste problema é fazer o somatório de forças em y.
FIgURA 55 (b) - Diagrama de Corpo Livre
Fonte: elaborada pelo autor
97
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s
Por simetria, pode-se afirmar que a força atuante em AB é igual à atuante em CD. 
Com isso a equação acima passa a ser:
Neste caso sabe-se que a variação de comprimento entre os cabos será igual para 
todos. Com isso é possível fazer a seguinte relação:
Simplificando a equação, obtém-se:
Dessa forma, ao substituir a equação acima na equação encontrada no somatório de 
forças encontra-se o valor de EF.
Logo:
Após o cálculo da força atuante em EF deve-se encontrar a tensão no cabo:
Posteriormente calcula-se a deformação da barra EF:
98
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s 2.12. Ambas as partes da barra ABC são feitas de um aço para o qual E = 200 GPa. 
Sabendo que a intensidade de P é 5 kN, determine o valor de Q de modo que o 
deslocamento em A seja zero.
FIgURA 56 - Exercício Resolvido 2.12
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
Para que o deslocamento de A seja zero, é necessário que a variação do comprimento 
do trecho AB seja igual ao do trecho BC. Por isso, primeiramente, calcula-se a variação 
do comprimento de AB.
Para isso, é necessário calcular a tensão atuante no trecho:
Uma vez calculada a tensão atuante, encontra-se a deformação na barra AB.
Logo, a variação do comprimento do trecho AB é dado por:
99
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Es
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do
sComo essa variação é a mesma para ambos os trechos, calcula-se a deformação de BC:
Posteriormente,encontra-se a tensão atuante no trecho BC:
Com o valor da tensão atuante, encontra-se o valor da força aplicada. Vale lembrar que 
a força encontrada será uma resultante e não o valor de Q, pois no trecho BC atuam as 
cargas P e Q. A força resultante é:
Como já foi dito o valor de F é uma resultante de forças. O valor de Q é dado por:
100
Ex
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cí
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os
 P
ro
Po
st
os EXERCÍCIOS PROPOSTOS
2.1. Determine a intensidade w da carga distribuída máxima que pode ser suportada 
pelo conjunto de pendural de modo a não ultrapassar uma tensão de cisalhamento 
admissível τadm= 95 MPa nos parafusos de 11 mm de diâmetro em A e B e uma 
tensão admissível de σadm=102 MPa na haste AB de 14 mm de diâmetro.
FIgURA 57 - Exercício Proposto 2.1
Fonte: elaborada pelo autor
espaço Reservado para a Resolução do exercício
101
Ex
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os
 P
ro
Po
st
os2.2. Os dados obtidos em um ensaio de tensão-deformação para um material cerâmico 
são dados na tabela. A curva é linear entre a origem e o primeiro ponto. Repre-
sente o diagrama de tensão-deformação e determine o módulo de elasticidade do 
material.
QUADRO 1 - Exercício Proposto 2.2
σ (MPa) ε (mm/mm)
0 0,0000
232,1 0,0006
318,3 0,0010
346,2 0,0014
360,5 0,0018
373,0 0,0022
Fonte: elaborada pelo autor
espaço Reservado para a Resolução do exercício
102
Ex
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cí
ci
os
 P
ro
Po
st
os 2.3. A barra rígida, mostrada na figura 55, é sustentada por um pino em A e pelos 
cabos BD e CE. Se a carga P aplicada à viga provocar um deslocamento de 8 mm 
para baixo na extremidade C, determine a deformação normal desenvolvida nos 
cabos CE e BD.
FIgURA 58 - Exercício Proposto 2.3
Fonte: elaborada pelo autor
espaço Reservado para a Resolução do exercício
103
Ex
Er
cí
ci
os
 P
ro
Po
st
os2.4. Considerando os dados do problema anterior e sabendo que o diâmetro dos cabos 
CE e BD são 12mm e 10 mm, respectivamente, determine a intensidade da força P. 
Considere E = 150 GPa.
espaço Reservado para a Resolução do exercício
104
Ex
Er
cí
ci
os
 P
ro
Po
st
os 2.5. A viga rígida é sustentada por um pino em A e pelos cabos BD e CE (figura do 
exercício anterior). Se a deformação normal admissível máxima em cada cabo 
for 0,002 mm/mm, determine o deslocamento vertical máximo do ponto onde é 
aplicado a carga P.
espaço Reservado para a Resolução do exercício
105
Ex
Er
cí
ci
os
 P
ro
Po
st
os2.6. Os cabos de aço AB e AC, mostrados na figura 59, sustentam a massa de 250 kg. 
Se a tensão axial admissível para os cabos for 150 MPa, determine o diâmetro 
exigido para cada cabo e o comprimento final do cabo AB. Considere que o com-
primento inicial do cabo AB seja 800 mm. Sendo E = 200 GPa.
FIgURA 59 - Exercício Proposto 2.6
Fonte: elaborada pelo autor
espaço Reservado para a Resolução do exercício
106
Ex
Er
cí
ci
os
 P
ro
Po
st
os 2.7. Uma única força axial de intensidade P = 58 kN é aplicada à extremidade C da 
barra de latão ABC. Sabendo que E = 105 GPa, determine o diâmetro d da parte 
BC para o qual o deslocamento do ponto C será 2,5 mm.
FIgURA 60 - Exercício Proposto 2.7
Fonte: elaborada pelo autor
espaço Reservado para a Resolução do exercício
107
Ex
Er
cí
ci
os
 P
ro
Po
st
os2.8. O comprimento do conjunto, mostrado na figura 61, diminui em 0,2 mm quando 
uma força axial P é aplicada por meio de placas rígidas nas extremidades do mes-
mo. Determine a intensidade da força aplicada P e a tensão correspondente no 
núcleo de aço.
FIgURA 61 - Exercício Proposto 2.8
Fonte: elaborada pelo autor
espaço Reservado para a Resolução do exercício
108
Ex
Er
cí
ci
os
 P
ro
Po
st
os 2.9. A barra ABC é feita de alumínio para o qual E = 70 GPa. Sabendo que P = 5 kN 
e Q = 10 kN, determine o deslocamento do ponto A e do ponto B. Considere o 
diâmetro de AB e BC igual a 30 e 60 mm, respectivamente.
FIgURA 62 - Exercício Proposto 2.9
Fonte: elaborada pelo autor
espaço Reservado para a Resolução do exercício
109
2.7. InDETERMInaçãO EsTÁTICa
Até o momento, conseguia-se determinar as forças internas por meio dos diagramas de 
corpo livre e das equações de equilíbrio. Porém, existem situações em que não é possível 
determinar as forças internas, apenas com a estática elementar, aplicada para estruturas 
isostáticas. Estas situações são chamadas de estaticamente indeterminadas.
Considere, por exemplo, a barra AB (fig. 63), ligada a dois suportes fixos com uma 
força P aplicada no ponto C. Deve-se calcular as reações de apoio e as tensões normais 
médias nas seções AC e BC.
FIgURA 63 - Indeterminação estática
Fonte: elaborada pelo autor
Após fazer o somatório de forças no eixo y, chega-se a seguinte equação de equilibrio
PRR BA =+ (2.11)
Como essa é a única equação de equilibrio não é possível determinar estaticamente as 
reações de apoio.
Como a barra esta apoiada em A e B, não haverá variação no comprimento da barra. 
Utilizando-se a equação de compatibilização dos deslocamentos, tem-se:
021 =+= δδδ (2.12)
Em que:
δ1 = δac 
δ2 = δcB
110
Ou, também:
02211 =
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
EA
LP
EA
LP
δ 
(2.13)
Em que:
L1 = Lac 
L2 = LcB
Por meio do diagrama de corpo livre, encontra-se ARP =1 e BRP −=2 . Com isso, a 
equação (2.13) fica:
021 =⋅−⋅= LRLR BAδ (2.14)
Resolvendo as equações (2.14) e (2.11) :
Após o cálculo das reações de apoio, divide-se os valores encotrados pela área de seção 
transversal, encontrando assim, as tensões correspondentes a cada trecho.
 
(2.15)
 
(2.16)
111
2.8. TEnsãO TéRMICa
Esta seção analisa como um componente estrutural se comporta sob uma variação de 
temperatura (∆T).
Considere uma barra homogênea AB, mostrada na figura 64, que se apoia, livremente 
sobre a superfície horizontal lisa e sem atrito. Ao haver uma variação de temperatura, 
o comprimento da barra irá variar, proporcionalmente à ∆T e ao comprimento inicial 
da barra (L).
FIgURA 64 - Tensão Térmica I
Fonte: elaborada pelo autor
A variação no comprimento inicial da barra é dado pela expressão:
LTT .∆⋅= αδ (2.17)
Sendo α uma constante característica do material chamada de coeficiente de dilata-
ção térmica cuja unidade é 1−Co .
Ao comparar as equações (2.1) e (2.17) obtêm-se:
LT ⋅= αε (2.18)
Em que Tε é a deformação específica térmica.
Considere agora uma barra AB, apoiada em suportes fixos, conforme é mostrado na 
figura 65(a). Ao haver uma variação de temperatura, não existirá variação de compri-
mento, porém os apoios irão exercer forçar iguais e opostas P e P’ para impedir a barra 
de deformar. Com isso, haverá um estado de tensão imposto na barra.
112
FIgURA 65 (a) - Tensão Térmica II FIgURA 65 (b) - Deformação
 
 Fonte: elaborada pelo autor 
 Fonte: elaborada pelo autor
Seguindo esse raciocinio, pode-se afirmar que a deformação causada pela variação de 
temperatura ( Tδ ) será anulada pela deformação causada pelos esforços nos apoios 
( Pδ ).
0=+= PT δδδ (2.19)
Ao substituir as equações (2.8) e (2.17) em (2.19) tem-se:
0=
⋅
⋅
+⋅∆⋅=
EA
LPLTαδ
 
 (2.20)
Logo
TEAP ∆⋅⋅⋅−= α (2.21)
TE
A
P
∆⋅⋅−== ασ 
(2.22)
 
Essa é a tensão interna gerada pela variação de temperatura.
113
Ex
Er
cí
ci
os
 r
Es
ol
vi
do
sEXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2.13. Os trilhos de uma ferrovia ( ) foram 
instalados a uma temperatura de –2º c. Determine a tensão normal nos trilhos 
quando a temperatura atinge 50º c, suponha que os trilhos são fixados nos 
dormentes a cada 10 m.
FIgURA 66 - Exercício Resolvido 2.13
Fonte: elaborada pelo autor
Resolução:
Como os trilhos estão soldados, a variação do comprimento será zero. Com isso