atividade mapa

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MAPA – Material de Avaliação Prática da Aprendizagem 
 
Acadêmico: Ana Leticia Caetano R.A. 
Curso: Licenciatura em Matemática 
 Disciplina: Estruturas Algébricas 
Valor da atividade: 3,0 pontos Prazo: 
 
Instruções para Realização do MAPA 
1. Todos os campos acima deverão ser devidamente preenchidos; 
2. É obrigatória a utilização deste formulário para a realização do MAPA; 
3. Esta é uma atividade individual. Caso identificado cópia de colegas, o trabalho de 
ambos sofrerá decréscimo de nota; 
4. Utilizando este formulário, realize sua atividade, salve em seu computador, renomeie 
e envie em forma de anexo no campo de resposta da atividade MAPA; 
5. Formatação sugerida para esta atividade: documento Word, Fonte Arial ou Times 
New Roman tamanho 12, Espaçamento entre linhas 1,5, texto justificado; 
6. Ao utilizar quaisquer materiais de pesquisa referencie conforme as normas da 
ABNT; 
7. Procure argumentar de forma clara e objetiva, de acordo com o conteúdo da 
disciplina. 
8. Os cálculos e fórmulas devem ser realizados no próprio arquivo word. Para isso 
utilize o EQUATION, que é a ferramenta inserida no próprio word, ou outra 
ferramenta disponível. NÃO SERÃO ACEITOS TRABALHOS FEITOS À MÃO E 
INSERIDOS NO ARQUIVO. 
9. Após a leitura, você poderá apagar essas orientações. 
 
 
Em caso de dúvidas, entre em contato com seu Professor Mediador. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por muitos anos, a palavra Álgebra foi utilizada para denominar o segmento da 
matemática que examinava as operações entre números e a busca por soluções de 
equações. Conforme a matemática foi se desenvolvendo, a álgebra caminhou junto, 
se tornando um campo de pesquisa muito mais amplo a partir dos conceitos das 
Estruturas Algébricas. As operações antes realizadas com números puderam ser 
generalizadas, tornando assim essas definições e estudos muito mais abrangentes. 
 
Nessa atividade MAPA, trabalharemos com a estrutura algébrica Grupo, e iremos 
propor que você aplique os conceitos de Subgrupos e Isomorfismos de Grupos. 
Dessa forma, você deve responder às seguintes questões: 
 
a) Considere o conjunto 𝐺 = {2𝑚. 3𝑛; 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑍}. Mostre que 𝐺 é um subgrupo de 
(𝑅∗,∙) que é o grupo dos números reais excluindo o zero, munido da operação 
usual de multiplicação. 
 
Resposta: 
 
Para mostrar que o conjunto 𝐺 é um subgrupo de (𝑅∗,∙) que é o grupo dos 
números reais excluindo o zero, munido da operação usual de multiplicação, 
precisamos verificar que 𝐺 satisfaz às propriedades de um subgrupo: 
 
Primeira propriedade: O subconjunto não está vazio. 
Segunda propriedade: Para quaisquer dois elementos 𝑎 e 𝑏 em 𝐺, o produto 
 𝑎 ∙ 𝑏 também está em 𝐺. 
Terceira propriedade: Para cada elemento 𝑎 em 𝐺, o inverso de 𝑎, ou seja,
 𝑎−1 está em 𝐺. 
 
Podemos verificar essas três propriedades para o conjunto 𝐺: 
 
Primeira propriedade: O conjunto 𝐺 é formado por todos os números reais da 
forma 2𝑚. 3𝑛, onde 𝑚 e 𝑛 são números inteiros. 
 
Como 20 = 1 e 30 = 1, o elemento neutro da multiplicação, que é 1, está em 
𝐺. Portanto, 𝐺 não está vazio. 
 
Segunda propriedade: Considere 𝑎 = 2𝑚1 ∙ 3𝑛1 e 𝑏 = 2𝑚2 ∙ 3𝑛2, onde 
𝑚1, 𝑚2, 𝑛1, 𝑛2 são números inteiros, então 𝑎 ∙ 𝑏 = (2𝑚1 ∙ 3𝑛1) ∙ (2𝑚2 ∙ 3𝑛2). 
 
Aplicando as propriedades da potenciação, temos: 
 
 
 
 
𝑎 ∙ 𝑏 = (2𝑚1 ∙ 3𝑛1) ∙ (2𝑚2 ∙ 3𝑛2) 
 
𝑎 ∙ 𝑏 = 2𝑚1 ∙ 2𝑚2 ∙ 3𝑛1 ∙ 3𝑛2 
 
𝑎 ∙ 𝑏 = 2𝑚1+𝑚2 ∙ 3𝑛1+𝑛2 
 
Observamos que 𝑚1 + 𝑚2 e 𝑛1 + 𝑛2 também são números inteiros, pois a 
soma de números inteiros resulta em um número inteiro. 
 
Portanto, 𝑎 ∙ 𝑏 está em 𝐺, e o conjunto 𝐺 é fechado sob a operação de 
multiplicação. 
 
Terceira propriedade: Para verificar a existência do inverso, considere um 
elemento 𝑎 = 2𝑚 ∙ 3𝑛 em 𝐺. O inverso de 𝑎 em (𝑅∗,∙) é 
1
𝑎
= 𝑎−1, e neste caso, 
temos: 
 
𝑎−1 = 2−𝑚 ∙ 3−𝑛 
 
Como 𝑚 e 𝑛 são números inteiros, −𝑚 e – 𝑛 também são números inteiros, 
pois o simétrico de um número inteiro também é um número inteiro, e podemos 
concluir que, 2−𝑚 ∙ 3−𝑛 está em 𝐺. 
 
Então, o conjunto 𝐺 satisfaz todas as propriedades de um subgrupo, o que o 
credencia a ser um subgrupo do grupo (𝑅∗,∙) que é o grupo dos números reais 
excluindo o zero, munido da operação usual de multiplicação. 
 
 
b) Considere o conjunto 𝐽 = {𝑚 + 𝑖𝑛; 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑍}. Mostre que J é um subgrupo de 
(𝐶, +) que é o grupo dos números complexos, munido da operação usual de 
soma. 
 
Resposta: 
 
Para mostrar que o conjunto 𝐽 é um subgrupo de (𝐶, +) que é o grupo dos 
números complexos, munido da operação usual de soma, precisamos verificar 
que 𝐽 satisfaz às propriedades de um subgrupo: 
 
Primeira propriedade: O subconjunto não está vazio. 
Segunda propriedade: Para quaisquer dois elementos 𝑎 e 𝑏 em 𝐽, a soma 𝑎 +
𝑏 também está em 𝐽. 
 
 
 
Terceira propriedade: Para cada elemento 𝑎 em 𝐽, o inverso de 𝑎, ou seja, 
𝑎−1 está em 𝐽. 
 
Vamos verificar essas três propriedades para o conjunto 𝐽: 
 
Primeira propriedade: O conjunto 𝐽 é formado por todos os números reais da 
forma 𝑚 + 𝑖𝑛, onde 𝑚 e 𝑛 são números inteiros. 
 
Como 0 + 0𝑖 é a identidade do grupo (𝐶, +). Observe que 0 e 0 são números 
inteiros. Portanto, a identidade 0 + 0𝑖 está em 𝐽. 
 
Segunda propriedade: Considere 𝑎 = 𝑚1 + 𝑖𝑛1 e 𝑏 = 𝑚2 + 𝑖𝑛2, onde 
𝑚1, 𝑚2, 𝑛1, 𝑛2 são números inteiros, então 𝑎 + 𝑏 = (𝑚1 + 𝑖𝑛1) + (𝑚2 + 𝑖𝑛2). 
 
Aplicando as propriedades da adição, temos: 
 
𝑎 + 𝑏 = (𝑚1 + 𝑖𝑛1) + (𝑚2 + 𝑖𝑛2) 
 
𝑎 + 𝑏 = (𝑚1 + 𝑚2) + (𝑖𝑛1 + 𝑖𝑛2) 
 
𝑎 + 𝑏 = (𝑚1 + 𝑚2) + 𝑖(𝑛1 + 𝑛2) 
 
Observe que 𝑚1 + 𝑚2 e 𝑛1 + 𝑛2 também são números inteiros, pois a soma 
de números inteiros resulta em um número inteiro. 
 
Portanto, 𝑎 + 𝑏 está em 𝐽, e o conjunto 𝐽 é fechado sob a operação de adição. 
 
Terceira propriedade: Para verificar a existência do inverso aditivo, considere 
um elemento 𝑎 = 𝑚 + 𝑖𝑛 em 𝐽. O inverso aditivo de 𝑎 em (𝐶, +) é – 𝑎, e neste 
caso, temos: 
 
−𝑎 = −𝑚 − 𝑖𝑛 
 
−𝑎 = −𝑚 + 𝑖(−𝑛) 
 
Como 𝑚 e 𝑛 são números inteiros, −𝑚 e – 𝑛 também são números inteiros, 
pois o simétrico de um número inteiro também é um número inteiro, e podemos 
concluir que, −𝑚 − 𝑖𝑛 está em 𝐽. 
 
 
 
 
 
 
Portanto, o conjunto 𝐽 satisfaz todas as propriedades de um subgrupo, o que o 
credencia a ser um subgrupo do grupo (𝐶, +) que é o grupo dos números 
complexos, munido da operação usual de soma. 
 
 
c) Como G e J são subgrupos dos grupos citados, em particular dados, G e J 
também são grupos com as operações que herdam de 𝑅∗ 𝑒 𝐶, 
respectivamente. Sendo assim, mostre que (𝐺,∙) e (𝐽, +) são grupos isomorfos 
e para isso, considere a função 𝜑: (𝐽, +) → (𝐺,∙) dada por 𝜑(𝑚 + 𝑖𝑛) = 2𝑚 ∙ 3𝑛 
e siga os seguintes passos: 
1. Mostre que 𝜑 é um homomorfismo de grupos 
2. Mostre que 𝜑 é injetora 
3. Mostre que 𝜑 é sobrejetora 
4. Conclua que 𝜑 é um isomorfismo de grupos. 
 
Resposta: 
 
Para mostrar que os grupos (𝐺,∙) e (𝐽, +) são grupos isomorfos, vamos 
considerar a função 𝜑: (𝐽, +) → (𝐺,∙) dada por 𝜑(𝑚 + 𝑖𝑛) = 2𝑚 ∙ 3𝑛 e seguir os 
passos indicados. 
 
Primeiro passo: Mostre que 𝜑 é um homomorfismo de grupos. 
 
Para mostrar que 𝜑 é um homomorfismo de grupos, precisamos verificar se, 
para todos os elementos 𝑎 e 𝑏 em 𝐽, temos 𝜑(𝑎 + 𝑏) = 𝜑(𝑎) ∙ 𝜑(𝑏). 
 
Para isso, vamos considerar: 
 
𝑎 = 𝑚1 + 𝑖𝑛1 e 𝑏 = 𝑚2 + 𝑖𝑛2, onde 𝑚1, 𝑚2, 𝑛1, 𝑛2 são números inteiros. 
 
𝜑(𝑎 + 𝑏) = 𝜑((𝑚1 + 𝑖𝑛1) + (𝑚2 + 𝑖𝑛2)) 
 
𝜑(𝑎 + 𝑏) = (𝑚1 + 𝑚2) + (𝑖𝑛1 + 𝑖𝑛2) 
 
𝜑(𝑎 + 𝑏) = (𝑚1 + 𝑚2) + 𝑖(𝑛1 + 𝑛2) 
 
𝜑(𝑎 + 𝑏) = 2𝑚1+𝑚2 ∙ 3𝑛1+𝑛2 
 
 
 
 
 
 
Por outro lado: 
 
𝜑(𝑎) = 2𝑚1 ∙ 3𝑛1 e 𝜑(𝑏) = 2𝑚2 ∙ 3𝑛2 
 
Agora, vamos verificar o produto 𝜑(𝑎) ∙ 𝜑(𝑏): 
 
𝜑(𝑎) ∙ 𝜑(𝑏) = (2𝑚1 ∙ 3𝑛1) ∙ (2𝑚2 ∙ 3𝑛2) 
 
𝜑(𝑎) ∙ 𝜑(𝑏)= (2𝑚1 ∙ 2𝑚2) ∙ (3𝑛1 ∙ 3𝑛2) 
 
𝜑(𝑎) ∙ 𝜑(𝑏) = 2𝑚1+𝑚2 ∙ 3𝑛1+𝑛2 
 
Portanto, 𝜑(𝑎 + 𝑏) = 𝜑(𝑎) ∙ 𝜑(𝑏), o que mostra que 𝜑 é um homomorfismo de 
grupos. 
 
Segundo passo: Mostre que 𝜑 é injetora. 
 
Para mostrar que 𝜑 é injetora, precisamos verificar se, para todos os elementos 
𝑎 e 𝑏 em 𝐽, se 𝜑(𝑎) = 𝜑(𝑏), então 𝑎 = 𝑏. 
 
Seja 𝑎 = 𝑚1 + 𝑖𝑛1 e 𝑏 = 𝑚2 + 𝑖𝑛2, se temos 𝜑(𝑎) = 𝜑(𝑏), então 2𝑚1 ∙ 3𝑛1 =
2𝑚2 ∙ 3𝑛2. Como as bases 2 e 3 são diferentes e 𝑚1, 𝑚2, 𝑛1, 𝑛2 são números 
inteiros, isso implica que 𝑚1 = 𝑚2 e 𝑛1 = 𝑛2. 
 
Portanto, 𝑎 = 𝑏, o que mostra que 𝜑 é injetora. 
 
Terceiro passo: Mostre que 𝜑 é sobrejetora. 
 
Para mostrar que 𝜑 é sobrejetora, precisamos verificar se, para todo elemento 
𝑔 em 𝐺, existe um elemento 𝑗 em 𝐽 tal que 𝜑(𝑗) = 𝑔. 
 
Como 𝐺 é o conjunto de todos os números na forma 2𝑚 ∙ 3𝑛, com 𝑚 e 𝑛 
números inteiros, e 𝐽 é o conjunto de todos os números na forma 𝑚 + 𝑖𝑛, com 
𝑚 e 𝑛 inteiros, para qualquer 𝑔 em 𝐺, podemos escolher 𝑗 em 𝐽 tal que 𝑗 = 𝑚 +
𝑖𝑛, onde 𝑚 e 𝑛 são expoentes de 2 e 3 em 𝑔, respectivamente. 
 
Portanto, 𝜑(𝑗) = 𝑔. O que mostra que 𝜑 é sobrejetora. 
 
 
 
 
 
 
Quarto passo: Conclua que 𝜑 é um isomorfismo de grupos. 
 
Tendo demonstrado que 𝜑 é um homomorfismo de grupos, 𝜑 injetora e 𝜑 é 
sobrejetora, podemos concluir que 𝜑 é um isomorfismo de grupos entre (𝐽, +) 
e (𝐺,∙).