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20/05/2015
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Estatística
Cálculo das probabilidades
Livro base: 
Curso de Estatística – Capítulo 1
Fonseca e Martins (2009)
Cálculo das Probabilidades
1 Introdução
Suponha o experimento no qual um dado é abandonado de 
um ponto situado a 90 cm acima da superfície de uma 
mesa.
• é certo que ele se moverá verticalmente para baixo.
• é certo que sua velocidade ao tocar a mesa será 
aproximadamente 4,2m/s.
• mas não podemos prever qual das 6 faces ficará voltada 
para cima, depois de atingido o repouso.
Estatística - EN2015
Cálculo das Probabilidades
1 Introdução
Os experimentos:
i. Abandonar um dado e descrever o seu movimento;
ii. Abandonar um dado e determinar a sua velocidade 
aproximada com que ele toca a mesa.
São chamados de experimentos determinísticos, pois os seus 
resultados podem ser determinados antes de sua realização.
O experimento:
i. Abandonar um dado e anotar o número da face que ficará 
voltada para cima.
É chamado de experimento aleatório, pois não pode ser 
determinado antes de realizá-lo.
Estatística - EN2015
Cálculo das Probabilidades
1 Introdução
Os fenômenos estudados pela Estatística são fenômenos cujo 
resultado, mesmo em condições normais de 
experimentação, varia de uma observação para outra, 
dificultando, dessa maneira, a previsão de um resultado 
futuro.
Para a explicação desses fenômenos – fenômenos aleatórios –
adota-se um modelo matemático probabilístico.
Um modelo matemático probabilístico de fenômenos 
aleatórios é definido associando probabilidades a todos os 
possíveis resultados de um experimento.
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Cálculo das Probabilidades
2 Caracterização de um experimento aleatório
Exemplos de experimentos aleatórios:
a) Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar 
o seu naipe.
b) Jogar uma moeda 10 vezes e observar o número de coroas 
obtidas.
c) Retirar, com ou sem reposição, bolas de uma urna que 
contém 5 bolas brancas e 6 pretas.
d) Jogar um dado e observar o número mostrado na face de 
cima.
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Cálculo das Probabilidades
3 Espaço amostral 
Espaço amostral é o conjunto de todos os casos ou 
acontecimentos que podem ocorrer num dado experimento. 
Notação:
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E: experimento
S: espaço amostral
n(S): tamanho do espaço amostral 
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Cálculo das Probabilidades
3 Espaço amostral 
Exemplos:
a) E = jogar um dado e observar o nº da face de cima:
S = {1,2,3,4,5,6}; n(S) = 6
b) Seja o seguinte experimento: lançamento de 2 moedas. Qual 
seria o espaço amostral S?
Usando a representação: C = cara e K = coroa
S = {CC,CK,KC,KK}; n(S) = 4 = 22
No lançamento de k moedas: n(S) = 2k
Estatística - EN2015
Cálculo das Probabilidades
3 Espaço amostral 
c) Lançamento de dois dados: 
Espaço amostral S:
n(S) = 36
Estatística - EN2015
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Cálculo das Probabilidades
4 Evento 
• Evento: evento é um conjunto de resultados do 
experimento aleatório. Em termos de conjuntos, é um 
subconjunto do espaço amostral S.
• S (o espaço amostral) é chamado de evento certo e ∅
(conjunto vazio) é chamado de evento impossível.
• Notação: letras maiúsculas: A, B, C, ...
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Cálculo das Probabilidades
4 Evento 
Usando operações com conjuntos, é possível formar novos 
eventos:
i. A ∪ B é o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou 
ambos ocorrem.
ii. A ∩ B é o evento que ocorre se A e B ocorrem.
iii. Ā ( ou Ac)é o evento que ocorre se A não ocorre.
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Cálculo das Probabilidades
4 Evento: exemplos 
a) Seja o experimento E: jogar três moedas e observar os 
resultados.
S = {(c,c,c), (c,c,k), (k,c,c), (c,k,c), (k,k,k), (k,k,c), (k,c,k), (c,k,k)}
n(S) = 8
Seja o evento A: ocorrer pelo menos duas caras. 
Então:
A = {(c,c,c), (c,c,k), (k,c,c), (c,k,c)}
n(A) = 4
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Cálculo das Probabilidades
4 Evento: exemplos 
b) Seja o experimento E: lançar um dado e observar o número 
de cima.
S ={1,2,3,4,5,6}
n(S) = 6
Seja B o evento: ocorrer múltiplo de 2. 
Então:
B = {2,4,6}
n(B) = 3
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Cálculo das Probabilidades
4 Evento: exemplos 
c) No lançamento de 2 dados, obter os seguintes eventos:
i. Saírem números iguais;
ii. O valor do 1º é maior do que do 2º;
iii. Saírem faces com número primos.
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Cálculo das Probabilidades
4 Evento: exemplos 
Estatística - EN2015
i. Saírem números iguais: 
A = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) }
n(A) = 6
ii. O valor do 1º é maior do que do 2º;
B = { (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1),
(3,2), (4,2), (5,2), (6,2),
(4,3), (5,3), (6,3),
(5,4), (6,4) ,
(6,5)}
n(B) = 15
iii. Saírem faces com número primos.
C = {(2,2), (2,3), (2,5), (3,2), (3,3), (3,5), 
(5,2), (5,3), (5,5)}
n(C) = 9
Cálculo das Probabilidades
4 Evento: tipos de eventos
Evento impossível A: n(A) = 0 ou A = Ø, ou seja o evento 
impossível é o subconjunto vazio de S.
Evento certo A: n(A) = n(S), ou seja o evento A é o próprio 
espaço amostral.
Eventos elementares (ou simples): subconjuntos unitários de 
S. Exemplo: Se S = {C, K}, então os eventos elementares de S 
são: A = {C} e B = {K}.
Evento aleatório A: n(A) < n(S).
Estatística - EN2015
Cálculo das Probabilidades
5 Eventos mutuamente exclusivos 
Definição: dois eventos A e B são mutuamente exclusivos se 
eles não puderem ocorrer simultaneamente, isto é: 
A ∩∩∩∩ B = ∅∅∅∅
Exemplo: 
Experimento E = jogar um dado e observar o resultado.
Espaço amostral S = {1,2,3,4,5,6}
A e B são eventos mutuamente exclusivos.
Estatística - EN2015
Evento A = ocorrer nº par
A = {2,4,6}
Evento B = ocorrer nº ímpar
B = {1,3,5}
Cálculo das Probabilidades
6 Definição de probabilidade 
Definição: Dado um experimento E e S o respectivo espaço 
amostral. A probabilidade do evento A, chamado de P(A), é 
uma função definida em S que associa a cada evento um 
número real, satisfazendo os seguintes axiomas:
i. 0 ≤ P(A) ≤ 1
ii. P(S) = 1
iii. Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, ou seja, 
(A ∩ B) = ∅, então P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
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Cálculo das Probabilidades
7 Principais teoremas
(i) Se ∅ é o conjunto vazio, então P(∅) = 0
(ii) Se é o complemento do evento A, então 
(iii) Se A ⊂ B, então P(A) ≤ P(B)
(iv) Teorema da soma: Se A e B são dois eventos quaisquer, 
então: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
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A ( )AP1)AP( −=
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Cálculo das Probabilidades
7 Principais teoremas (complemento)
Equivalências importantes
Estatística - EN2015
)()
)()
BAP
BAP
∪=∩
∩=∪
BAP(
BAP(
Cálculo das Probabilidades
8 Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos
Seja S um espaço amostral finito S = {a1, a2, ..., an}. 
A cada evento simples, {ai}, associa-se um número pi
denominado probabilidade de {ai} satisfazendo as seguintes 
condições:
a) pi ≥ 0, i = 1,2,...,n
b) p1 + p2 + ... + pn = 1
A probabilidade P(A) de cada evento composto (mais de um 
elemento) é definida pela soma das probabilidades dos 
pontos de A.
Estatística - EN2015
Cálculo das Probabilidades
8 Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos
Exemplo: Três cavalos, A, B e C, estão em uma corrida. A tem 
duas vezes mais probabilidade de ganhar que B, e B tem 
duas vezes mais probabilidade de ganhar que C. 
Quais são as probabilidades de vitória de cada um, ou seja, 
quem são P(A), P(B) e P(C)?
Estatística - EN2015
P(A) = 2P(B)
P(B) = 2P(C)
P(A) + P(B) + P(C) = 1
P(A) = 2P(B)
P(B) = 2P(C)
P(A) + P(B) + P(C) = 1
2P(B) + 2P(C) + P(C) = 1
4P(C) + 2P(C) + P(C) = 1
7P(C) = 1
P(C) = 1/7
P(B) = 2/7
P(A) = 4/4
Cálculo das Probabilidades
9 Espaços amostrais finitos equiprováveis
Quando se associa a cada ponto amostral a mesma 
probabilidade, o espaço amostral chama-se equiprovável ou 
uniforme. 
• Se S contém n pontos, então a probabilidade de cadaponto será 1/n.
• Se um evento A contém r pontos, então:
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n
r
n
rAP =�
�
�
�
�
�
=
1
.)(
Cálculo das Probabilidades
9 Espaços amostrais finitos equiprováveis
Ou
Estatística - EN2015
n
r
AP =)(
ocorre S Amostral Espaço o que em vezes de nº
ocorrer pode A evento o que em vezes de nº
=)(AP
casos) de total(nº N.T.C.
)favoráveis casos de (nº N.C.F.
)( =AP
Cálculo das Probabilidades
9 Espaços amostrais finitos equiprováveis
Exemplo: Escolha aleatoriamente (a expressão “aleatória” nos 
indicará que o espaço é equiprovável) uma carta de um 
baralho com 52 cartas.
A = {a carta é de ouros}
B = {a carta de uma figura}
Calcular P(A) e P(B).
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4
1
52
13
cartas de nº
ouros de nº
)( ===AP
13
3
52
12
cartas de nº
figuras de nº
)( ===AP
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Cálculo das Probabilidades
Exercícios – 1ª parte
LIVRO: 
Estatística Fácil
Jairo Simon da Fonseca e Gilberto de Andrade Martins
6ª edição, Editora Atlas
EXERCÍCIOS – SÉRIE I – CAPÍTULO 1
Páginas: 23-24
Exercícios: 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12
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Cálculo das Probabilidades
10 Probabilidade Condicional
Sejam A e B dois eventos do espaço amostral S. 
A probabilidade de ocorrer o evento B dado que o evento A já 
tenha ocorrido é denominado Probabilidade Condicional 
de B dado A, isto é: P(B | A). Lê-se “P de B dado A”, e é 
definida por:
, onde P(A) ≠ 0 
Analogamente, a probabilidade condicional de A dado B é 
definida como:
, onde P(B) ≠ 0
Estatística - EN2015
)(
)(
)|(
AP
BAP
ABP
∩
=
)(
)(
)|(
BP
BAP
BAP
∩
=
Cálculo das Probabilidades
10 Probabilidade Condicional
Exemplo 1: Dois dados são lançados. Consideremos os eventos:
e 
onde x1 é o resultado do dado 1 e x2 é o resultado do dado 2.
Avaliar P(A), P(B), P(A|B) e P(B|A).
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( ){ }10|, 2121 =+= xxxxA ( ){ }2121 |, xxxxB >=
Cálculo das Probabilidades
10 Probabilidade Condicional
Resolução:
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Cálculo das Probabilidades
11 Teorema do Produto
A partir da definição de probabilidade condicional pode-se 
enunciar o Teorema do Produto:
“A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos A e 
B, do mesmo espaço-amostral, é igual ao produto da 
probabilidade de um deles pela probabilidade condicional 
do outro, dado o primeiro.”
Estatística - EN2015
Cálculo das Probabilidades
11 Teorema do Produto
Na Probabilidade Condicional de B dado A, tínhamos:
Isolando o termo P(A ∩ B)
ou
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0)(,
)(
)(
)|( ≠
∩
= AP
AP
BAP
ABP
)().|()(
)(
)(
)|( APABPBAP
AP
BAP
ABP =∩�
∩
=
)().|()(
)(
)(
)|( BPBAPBAP
BP
BAP
BAP =∩�
∩
=
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Cálculo das Probabilidades
11 Teorema do Produto
Exemplo 2: Em um lote de 12 peças, no qual 4 são 
defeituosas, 2 peças são retiradas uma após a outra sem 
reposição. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas?
A = {a primeira peça é boa}
B = {a segunda peça é boa} 
P(A) = ? P(B) = ? P(B|A) = ?
P(A ∩ B) = P(A) . P(B|A)
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Cálculo das Probabilidades
11 Teorema do Produto
Exercício 1: Numa urna existem 5 bolas brancas, 3 vermelhas 
e 2 azuis. Calcule a probabilidade de:
a) retirando-se 2 bolas sem reposição, saírem 2 bolas brancas. 
R=2/9
b) retirando-se 2 bolas sem reposição, saírem pelo menos 1 
bola vermelha. R=8/15
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Cálculo das Probabilidades
12 Independência Estatística
Um evento A é considerado independente de um outro 
evento B se a probabilidade de A é igual à probabilidade 
condicional de A dado B, isto é:
Se A é independente de B, então B é independente de A:
Dado o Teorema do produto, se A e B são dois independentes:
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)|()( BAPAP =
)|()( ABPBP =
)().()( BPAPBAP =∩
Cálculo das Probabilidades
12 Independência Estatística
Exemplo 3: Em uma caixa temos 10 peças, das quais 4 são 
defeituosas. São retiradas duas peças, uma após a outra, 
com reposição. Calcule a probabilidade de ambas serem 
boas.
A = {1ª peça boa}
B = {2ª peça boa}
P(A∩B) = P(A).P(B|A) = 9/25
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Cálculo das Probabilidades
12 Independência Estatística
Exemplo 4: Sendo S={1,2,3,4} um espaço-amostra 
equiprovável e A={1,2}; B={1,3}; C={1,4} três eventos de S. 
Verificar se os eventos A, B e C são independentes.
Estatística - EN2015
Cálculo das Probabilidades
12 Independência Estatística
Exercício 2: As probabilidades de 3 jogadores marcarem um 
penalty são, respectivamente, 2/3, 4/5, e 7/10. Se cada um 
cobrar uma única vez, qual a probabilidade de:
a) todos acertarem? R=28/75
b) apenas um acertar? R=1/6
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Cálculo das Probabilidades
Probabilidade Total
Sejam os eventos A1, A2, ..., An, formando uma partição do 
espaço amostral S, ou seja:
Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i ≠ j
Então 
Seja X um evento qualquer de S.
Estatística - EN2015
�
n
i
iAS
1=
=
( )
( ) ( )n
n
AXAXX
AAXX
SXX
∩∪∪∩=
∪∪∩=
∩=
�
�
1
1
Cálculo das Probabilidades
Probabilidade Total
E ainda e são eventos mutuamente 
excludentes.
Então, aplicando o Teorema da Soma:
Aplicando o Teorema do Produto:
Sabendo que :
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( )iAX ∩ ( )jAX ∩
( ) ( )( )
( ) ( )n
n
AXPAXPXP
AXAXPXP
∩++∩=
∩∪∪∩=
�
�
1
1
)(
)(
( ) )|().( iii AXPAPAXP =∩
( ) ( )
�
=
=
++=
n
i
ii
nn
AXPAPXP
AXPAPAXPAPXP
1
11
)|().()(
)|(.)|(.)( �
Cálculo das Probabilidades
Probabilidade Total
Chegamos ao Teorema da Probabilidade Total:
Este teorema é útil quando se deseja calcular a probabilidade 
de um determinado evento dado que ocorreram outros 
eventos Ai, que formam uma partição do espaço amostral, 
e cujas probabilidades são conhecidas.
Estatística - EN2015
�
=
=
n
i
ii AXPAPXP
1
)|().()(
Cálculo das Probabilidades
Probabilidade Total
Exemplo 5: Mensagens são processadas por três servidores. 
S1 é o dobro de rápido que S2 e S3, e a probabilidade de 
cada um deles perder uma mensagem é de 1/50, 1/50 e 
1/25, respectivamente. Qual é a probabilidade de uma 
mensagem se perder?
Sejam:
A = {mensagem se perdeu}
Bi = {mensagem foi processada pelo servidor Si}
P(S1)=1/2; P(S2)=1/4; P(S3)=1/4
P(A|S1) = 1/50; P(A|S2) = 1/50; P(A|S3) = 1/25
Estatística - EN2015
Cálculo das Probabilidades
Probabilidade Total
Exemplo 5 (continuação):
Estatística - EN2015
( )
40
1
)(
40
1
200
5
200
212
)(
100
1
200
1
100
1
)(
25
1
4
1
50
1
4
1
50
1
2
1
)(
)|()()|()()|()()(
)|()()(
332211
3
1
=
==
++
=
++=
�
�
�
�
�
�
⋅+�
�
�
�
�
�
⋅+�
�
�
�
�
�
⋅=
++=
==�
=
AP
AP
AP
AP
SAPSPSAPSPSAPSPAP
SAPSPAP
i
ii
Cálculo das Probabilidades
13 Teorema de Bayes
Sejam A1, A2, ..., An, n eventos mutuamente excludentes que 
compõem uma partição do espaço amostral S.
Sejam P(Ai), com i=1,.., n, as probabilidades conhecidas desses 
eventos e B um evento qualquer de S, tal que são conhecidas 
todas a probabilidades condicionais P( B | Ai ).
Então, para cada i tem-se:
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�
=
=
n
i
ii
ii
i
AXPAP
AXPAP
XAP
1
)|()(
)|()(
)|(
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Cálculo das Probabilidades
13 Teorema de Bayes
Exercício 3: A probabilidade de um indivíduo da classe A comprar 
um carro é de 3/4, de B é de 1/6 e de C é de 1/20. A 
probabilidade do indivíduo de classe A comprar um da marca D é 
de 1/10, de B comprar D é de 3/5 e de C é de 3/10. Em certa loja 
comprou-se um carro da marca D. Qual a probabilidade de que o 
indivíduo da classe B o tenha comprado?
Classe sociais: {A,B,C}
D = {carro da marca D}
Estatística - EN2015
P(A) = 3/4
P(B) = 1/6
P(C) = 1/20
P(D|A) = 1/10
P(D|B) = 3/5
P(D|C) = 3/10
P(B|D) = ?
Cálculo das Probabilidades
13 Teorema de Bayes
Exercício 4: Num Departamento de Matemática, 25% dos estudantes 
do sexo masculino e 10% do sexo feminino estão estudando 
Estatística. As alunas constituem 60% do corpo de estudantes desse 
Departamento. Se um estudante é selecionado aleatoriamente e 
está estudando Estatística, determine a probabilidade de esse 
estudante ser do sexo feminino. (Resposta= 3/8)
Exercício 5: Em um determinado colégio 60% dos estudantes são 
homens. Do total de estudantes, 5% dos homens e 2% das 
mulheres tem mais do que 1,80m de altura. Se um estudante é 
selecionado aleatoriamente e tem mais de 1,80m de altura, qual a 
probabilidade de que seja mulher? E qual a probabilidade de que 
seja homem? (Resposta: 4/19)
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Cálculo das Probabilidades
13 Teorema de Bayes
Exercício 6: Uma companhia multinacional tem três fábricas que produzem o 
mesmo tipo de produto. A fábrica 1 é responsável por 30% do total 
produzido, a fábrica 2 produz 45% do total, e o restante vem da fábrica 3. 
Cada uma das fábricas, no entanto, produz uma proporção de produtos 
que não atendem aos padrões estabelecidos pelas normas internacionais. 
Tais produtos são considerados “defeituosos” e correspondem a 1%, 2% e 
1,5%, respectivamente, dos totais produzidos por fábrica. No centro de 
distribuição, é feito o controle de qualidade da produção combinada das 
fábricas.
(a) Qual é a probabilidade de encontrar um produto defeituoso durante a 
inspeção de qualidade? (resultado: P(A)=1,575%)
(b) Se durante a inspeção, encontramos um produto defeituoso, qual é a 
probabilidade que ele tenha sido produzido na fábrica II? (resultado: 
P(f2|A)=0,5714%)
Estatística - EN2015
Cálculo das Probabilidades
Exercícios – 2ª parte
LIVRO: 
Estatística Fácil
Jairo Simon da Fonseca e Gilberto de Andrade Martins
6ª edição, Editora Atlas
EXERCÍCIOS – SÉRIE II – CAPÍTULO 1
Páginas: 30-34
Exercícios: 1, 2, 4, 6, 7, 8, 12, 13, 20, 21, 22, 23, 24, 25
EXERCÍCIOS – SÉRIE III – CAPÍTULO 1
Páginas: 34-35
Exercícios: 1, 2, 3, 4, 5, 7
Estatística - EN2015