APX2_GA1_2022-1_Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
APX2 - Questões no formato questionário – Geometria Anaĺıtica I - 2022-1
Gabarito
Código da disciplina: Matemática (grade antiga), Engenharia de Produção e En-
genharia Metereológica EAD 01052
F́ısica EAD 01078
Dados para a questão 1 no modo questionário:
• a é o coringa e poderá variar da seguinte forma a ∈ [3, 12] ∩ Z.
• As opções de resposta são geradas automaticamente pelo coringa.
• A questão é de múltipla escolha convencional, onde apenas uma opção é a correta.
Questão 1 [2,0 pontos]: Considere o paralelogramo ABCD onde A = (1, 1), B = (−a, a + 3) e
C = (1 − 2a, 2 + 3a). Dentre as opções a seguir, qual delas possui apenas informações verdadeiras?
(a) Area(ABCD) = a2 + 1 e D = (2 − a, 2a)
(b) Area(ABCD) = a
2 + 1
2 e D = (2a, 2 − a)
(c) Os pontos A, B, C e D são colineares, e portanto o paralelogramo ABCD não existe.
(d) Area(ABC) = a2 − 1 e Area(ABCD) = 2a2 − 2
(e) Area(ABC) = 2a2 − 2 e Area(ABCD) = a2 − 1
Resolução:
Como
−→
AB = (−1 − a, 2 + a) e −→AC = (−2a, 1 + 3a), temos que
Area(ABCD) =
∣∣∣∣∣det
(
−1 − a 2 + a
−2a 1 + 3a
)∣∣∣∣∣ = a2 + 1.
Note que
D = A + −−→BC.
Como
−−→
BC = (1 − a, −1 + 2a), então
D = (1, 1) + (1 − a, −1 + 2a) = (2 − a, 2a).
RESPOSTA CORRETA: A
Dados para a questão 2 no modo questionário:
• k é o coringa e poderá variar da seguinte forma k ∈ [−4, 4] ∩ Z e k ̸= 0.
• As opções de resposta são geradas automaticamente pelo coringa.
• A questão é de múltipla escolha convencional, onde apenas uma opção é a correta.
Questão 2 [2,0 pontos]: Considere a cônica
C : 9x2 − 16y2 − 54kx + 32ky − 144 + 65k2 = 0.
Marque a opção cuja todas as informações sobre C estejam corretas.
Geometria Anaĺıtica I APX2 1/2022
(a) C é uma hipérbole, centrada em (3k, k), que possui o vértice focal (3k + 4, k) e asśıntota
3x − 4y = 5k.
(b) C é uma hipérbole, centrada em (k, 3k), que possui o vértice focal (k, 3k + 4) e asśıntota
4x − 3y = 5k.
(c) C é uma elipse, centrada em (−3k, k), que possui o vértice focal (3k −4, k) e reta focal y = k.
(d) C é uma elipse, centrada em (−3k, −k), que possui o vértice focal (−3k − 4, −k) e reta focal
y = −k.
(e) C é uma parábola com vértice em (3k, k), que possui diretriz x = 3k e concavidade voltada
para a direita.
(f) C é uma parábola com vértice em (k, −3k), que possui diretriz y = −3k e concavidade voltada
para a esquerda.
Resolução:
Completando os quadrados da equação dada, obtemos:
9(x2 − 6kx) − 16(y2 − 2ky) = 144 − 65k2
⇐⇒ 9(x2 − 6kx + 9k2) − 16(y2 − 2ky + k2) = 144 − 65k2 + 81k2 − 16k2
⇐⇒ 9(x − 3k)2 − 16(y − k)2 = 144
⇐⇒ (x − 3k)
2
16 −
(y − k)2
9 = 1
Logo, C representa uma hipérbole com:
• a = 4, b = 3 e c =
√
a2 + b2 =
√
42 + 32 =
√
25 = 5;
• centro: C = (3k, k);
• reta focal: y = k;
• vértices: (3k ± 4, k) ⇒ A1 = (3k + 4, k) e A2 = (3k − 4, k);
• focos: (3k ± 5, k) ⇒ F1 = (3k + 5, k) e F2 = (3k − 5, k);
• reta não-focal: x = 3k;
• vértices imaginários: (3k, k ± 3) ⇒ B1 = (3k, k − 3) e A2 = (3k, k + 3);
• asśıntotas: 3(x − 3k) ± 4(y − k) = 0, ou seja, 3x + 4y = 13k e 3x − 4y = 5k.
RESPOSTA CORRETA: A
Dados para a questão no modo questionário:
• a é o coringa da questão e poderá variar da seguinte forma a ∈ [1, 10] ∩ Z.
• As opções de respostas serão geradas automaticamente pelo sistema usando o coringa.
• A questão é de múltipla escolha convencional, onde apenas uma opção está correta.
Questão 3 [2,0 pontos]: Considere o ćırculo C cujas coordenadas cartesianas de seu centro são
C = (a, a) e raio r = 3a − 1. Dentre as opções a seguir, qual delas está correta à respeito de C?
Opções de resposta:
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Geometria Anaĺıtica I APX2 1/2022
(a) Em coordenadas polares, o centro de C é (a
√
2, π/4) e a equação de C é ρ2 − 2
√
2aρ cos(θ −
π
4 ) = 7a
2 − 6a + 1
(b) Em coordenadas polares, o centro de C é (a
√
2, π/4) e a equação de C é ρ2 − 2
√
2aρ cos(θ −
π
4 ) = 0
(c) Em coordenadas polares, o centro de C é (2a2, π/4) e a equação de C é ρ2 −4a2ρ cos(θ − π4 ) =
−4a4 + 9a2 − 6a + 1
(d) Em coordenadas polares, o centro de C é (a, a) e a equação de C é ρ2 − 2aρ cos(θ − a) =
8a2 − 6a + 1
(e) Em coordenadas polares, o centro de C é (0, 0) e a equação de C é x2 + y2 = 9a2 − 6a + 1
Resolução: Temos que o centro em coordenadas polares é dado por:
(ρ0, θ) =
(
a
√
2, π4
)
.
Substituindo na equação do ćırculo temos:
ρ2 + ρ20 − 2ρ0ρ cos(θ − θ0) = r2
ρ2 + (
√
2a)2 − 2(a
√
2)ρ cos
(
θ − π4
)
= (3a − 1)2
ρ2 − 2
√
2aρ cos
(
θ − π4
)
= 7a2 − 6a + 1.
RESPOSTA CORRETA: A
Dados para a questão 4 no modo questionário:
• a é o coringa e poderá variar da seguinte forma a ∈ [1, 10] ∩ Z.
• As opções de resposta são geradas automaticamente pelo coringa.
• A questão é de múltipla escolha convencional, onde apenas uma opção é a correta.
Questão 4 [2,0 pontos]: Considere a parábola P com reta focal paralela ao eixo OY e foco
abaixo da reta diretriz l : y = 4a + 4. Sabendo que l está a uma distância 4 do vértice de P e
que A = (4 + a, 4a − 1) ∈ P , marque dentre as opções abaixo qual(is) delas representa(m) a(s)
parametrização(ões) de P .
Opções de resposta:
(a) uma dentre as duas possibilidades seguintes é apresentada neste item no questionário:{
x = t
y = 4a − (t−a)
2
16
, t ∈ R
{
x = t
y = 4a − (t−a−8)
2
16
, t ∈ R
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Geometria Anaĺıtica I APX2 1/2022
(b)
{
x = t
y = 4a + (t−a)
2
16
, t ∈ R
(c)
{
x = t
y = 4a + (t−a−8)
2
16
, t ∈ R
(d)
{
x = t
y = −4a − (t−a)
2
16
, t ∈ R
(e)
{
x = −4a − (t−a−8)
2
16
y = t , t ∈ R
(f)
{
x = −4a + (t−a)
2
16
y = t , t ∈ R
(g)
{
x = −4a + (t−a−8)
2
16
y = t , t ∈ R
Resolução:
Seja V = (x0, y0) o vértice da parábola P . Como a parábola P possui reta focal paralela ao eixo
OY e foco abaixo da reta diretriz, então sua equação é da forma:
(x − x0)2 = −4p(y − y0). (1)
Se a distância da reta diretriz l até o vértice V é 4, então p = 4. Além disso, como a reta diretriz
possui equação y = 4a+4 e p = 4, então o vértice está sobre a reta y = 4a. Neste caso, V = (x0, 4a)
e a equação (1) pode ser reescrita da seguinte forma:
(x − x0)2 = −16(y − 4a). (2)
Além disso, temos que A ∈ P . Logo,
(4 + a − x0)2 = −16(4a − 1 − 4a) ⇔ x0 = a ou x0 = a + 8.
Neste caso, temos duas opções para a equação de P . São elas: (x − a)2 = −16(y − 4a) ou
(x − a − 8)2 = −16(y − 4a).
Sendo assim, posśıveis parametrizações para as duas equações encontradas são
{
x = t
y = 4a − (t−a)
2
16
, t ∈
R ou
{
x = t
y = 4a − (t−a−8)
2
16
, t ∈ R.
RESPOSTA CORRETA: A
Dados para a questão 5 no modo questionário:
• a é o coringa da questão e poderá variar da seguinte forma a ∈ [1, 10] ∩ Z.
• As opções de resposta são geradas automaticamente pelo coringa.
• A questão é de múltipla escolha convencional, onde apenas uma opção é a correta.
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Geometria Anaĺıtica I APX2 1/2022
Questão 5 [2,0 pontos]: Considere a seguinte faḿılia de cônicas:
Cλ : (λ2 − a2)x2 + (λ2 − (a + 1)2)y2 = λ.
Escolha abaixo o intervalo de variação para λ que faz com que Cλ represente apenas hipérboles.
Opções de resposta:
(a) λ ∈ (−(a + 1), −a) ∪ (a, a + 1)
(b) Não existe um intervalo que faça com que Cλ seja hipérbole.
(c) λ ∈ (−(a + 1), a + 1)
(d) λ ∈ (−(a + 1), a) ∪ (a, a + 1)
(e) λ ∈ (−(a + 1), −a) ∪ (a, ∞)
(f) λ ∈ (−a, 0) ∪ (a + 1, ∞)
Resolução:
Vamos nomear os coeficientes da equação de Cλ da seguinte forma: A = λ2 − a2, B = λ2 − (a + 1)2
e C = λ. Sendo assim,
Cλ : Ax2 + By2 = C.
Para estudar os sinais de A, B e C, note que:
• A = 0 ⇐⇒ λ2 − a2 = 0 ⇐⇒ λ = ±a;
• B = 0 ⇐⇒ λ2 − (a + 1)2 = 0 ⇐⇒ λ = ±(a + 1);
• C = 0 ⇐⇒ λ = 0;
• λ2 − a2 = λ2 − (a + 1)2 ⇐⇒ a2 = (a + 1)2 o qual não é posśıvel pois a ∈ [1, 10] ∩ Z.
Portanto,λ2 − a2 λ2 − (a + 1)2 λ
λ ∈ (−∞, −(a + 1)) + + −
λ = −(a + 1) + 0 −
λ ∈ (−(a + 1), −a) + − −
λ = −a 0 − −
λ ∈ (−a, 0) − − −
λ = 0 − − 0
λ ∈ (0, a) − − +
λ = a 0 − +
λ ∈ (a, a + 1) + − +
λ = (a + 1) + 0 +
λ ∈ (a + 1, +∞) + + +
Analisando a tabela acima, vemos que Cλ representa:
• o conjunto vazio, se λ ∈ (−∞, −(a + 1)]
• uma hiperbole de eixo focal paralelo ao eixo OY se λ ∈ (−(a + 1), −a)
• duas retas paralelas, se λ = −a
• uma elipse de eixo focal paralelo ao eixo OX, se λ ∈ (−a, 0)
• um ponto, se λ = 0
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Geometria Anaĺıtica I APX2 1/2022
• o conjunto vazio, se λ ∈ (0, a]
• uma hiperbole de eixo focal paralelo ao eixo OX, se λ ∈ (a, a + 1)
• duas retas, se λ = a + 1
• uma elipse de eixo focal paralelo ao eixo OY, se λ ∈ (a + 1, ∞).
E a resposta correta é λ ∈ (−(a + 1), −a) ∪ (a, a + 1).
RESPOSTA CORRETA: A
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