APX3_GA1_gabarito_2020-2

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
APX3 - Questões no formato questionário - Gabarito - Geometria Anaĺıtica I - 2020-2
Código da disciplina: Matemática, Engenharia de Produção e Engenharia Mete-
reológica EAD 01052
F́ısica EAD 01078
Dados para a questão 1 no modo questionário:
• a é o coringa da questão e poderá variar da seguinte forma a∈ [−10, 10] ∩ Z∗.
• As opções de respostas serão geradas automaticamente pelo sistema usando o coringa.
• A questão pedirá para marcar uma opção.
Questão 1 [1,5 ponto]: Considere o ćırculo de equação x2 − 2ax+ y2 = 0 e o ponto P = (0, a).
Seja Q o ponto de interseção deste ćırculo com o eixo OX, de tal modo que Q seja diferente da
origem, e seja m a reta que passa por P e pelo centro do ćırculo.
Marque a opção que apresenta a equação cartesiana da reta s que passa pelo ponto Q e é paralela
à reta m.
(a) s : x+ y = 2a
(b) s : x− y = 2a
(c) s : x− y = −2a
(d) s : x+ y = −2a
(e) Nenhuma das outras respostas
Opção correta: (a)
Pontuação Parcial:
(b) 50%, pois usou o vetor direção da reta m como o vetor normal à reta s.
(c) 80%, pois considerou o centro como (−a, 0) em vez de C = (a, 0).
Resolução: Consideremos os pontos P = (0, a) e o ćırculo de equação x2 − 2ax+ y2 = 0.
Seja Q o ponto de interseção deste ćırculo com o eixo OX, de tal modo que Q seja diferente da
origem, e seja m a reta que passa por P e pelo centro do ćırculo.
A equação reduzida do ćırculo é obtida como a seguir:
x2 − 2ax+ y2 = 0
x2 − 2ax+ a2 − a2 + y2 = 0
(x− a)2 + y2 = a2
Logo, o ćırculo tem centro em C = (a, 0) e raio r = a.
Geometria Anaĺıtica I AP3 2/2020
Como o centro do ćırculo está sobre o eixo OX, então Q = (a + r, 0) = (2a, 0), dado que Q é
diferente da origem.
Além disto, o vetor
−→
PC = (a− 0, 0− a) = (a,−a) = a(1,−1) é um vetor direção da reta m.
Logo, o vetor −→v = (1, 1) é um vetor normal à reta m.
Como a reta s é paralela à reta m, então o vetor −→v = (1, 1) também é um vetor normal à reta s.
Logo, temos que s : x+ y = d, para algum número real d.
Como Q = (2a, 0) ∈ s, então d = 2a.
Portanto, obtemos a seguinte equação cartesiana para a reta s:
s : x+ y = 2a .
Dados para a questão 2 no modo questionário:
• a é o coringa da questão e poderá variar da seguinte forma a∈ [−10, 10] ∩ Z∗.
• As opções de respostas serão geradas automaticamente pelo sistema usando o coringa.
• A questão pedirá para marcar uma opção.
Questão 2 [1,5 ponto]: Considere o paralelogramo ABDC, sendo que A = (a, a), B = (5, 1) e
C = (1, 7).
Seja r a reta perpendicular à diagonal AD do paralelogramo e que passa pelo ponto de interseção
das diagonais AD e BC.
Marque a opção que contém equações paramétricas para a reta r.
(a) r :
{
x = 3 + (4− a)t
y = 4 + (a− 3)t , t ∈ R
(b) r :
{
x = 5 + (4− a)t
y = 1 + (a− 3)t , t ∈ R
(c) r :
{
x = 1 + (4− a)t
y = 7 + (a− 3)t , t ∈ R
(d) r :
{
x = 3 + (3− a)t
y = 4 + (4− a)t , t ∈ R
(e) r :
{
x = 5 + (3− a)t
y = 1 + (4− a)t , t ∈ R
(f) r :
{
x = 1 + (3− a)t
y = 7 + (4− a)t , t ∈ R
(g) r :
{
x = 3− 4t
y = 4 + 6t , t ∈ R
(h) r :
{
x = 5− 4t
y = 1 + 6t , t ∈ R
(i) r :
{
x = 1− 4t
y = 7 + 6t , t ∈ R
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Geometria Anaĺıtica I AP3 2/2020
(j) Nenhuma das outras respostas
Opção correta: (a)
Pontuação Parcial:
(b) 60%, pois considerou o ponto B para determinar as equações paramétricas em vez de M .
(c) 60%, pois considerou o ponto C para determinar as equações paramétricas em vez de M .
(d) 20%, pois considerou o vetor
−−→
AM como vetor direção de r em vez de um vetor ortogonal a ele,
mas considerou o ponto M .
Resolução: Consideremos os pontos A = (a, a), B = (5, 1) e C = (1, 7).
O ponto de interseção das diagonais AD e BC é o ponto médio do segmento BC
M =
(5 + 1
2 ,
1 + 7
2
)
= (3, 4) .
Assim, o vetor
−−→
AM = (3 − a, 4 − a) é um vetor direção da reta que contém a diagonal AD do
paralelogramo ABDC.
Como a reta r é perpendicular à diagonal AD, qualquer vetor −→v que seja ortogonal ao vetor
−−→
AM
será um vetor um direção da reta r.
Logo, façamos −→v = (4− a, a− 3), visto que 〈−→v ,−−→AM〉 = 12− 7a+ a2 − 12 + 7a− a2 = 0.
Deste modo, obtemos as seguintes equações paramétricas para a reta r:
r :
{
x = 3 + (4− a)t
y = 4 + (a− 3)t , t ∈ R
Dados para a questão 3 no modo questionário:
• a é o coringa da questão e poderá variar da seguinte forma a∈ [−5, 5] ∩ Z∗.
• As opções de respostas serão geradas automaticamente pelo sistema usando o coringa.
• A questão pedirá para marcar uma opção.
Questão 3 [2,0 pontos]: Considere os pontos A = (1, 2), B = (a, b), para algum número real b.
Marque a opção que contenha o valor de b para o qual o ângulo entre a reta r, que passa pelos ponto
A e B, e o eixo OY seja igual a 30o.
(a) b = 2± (a− 1)
√
3
(b) b = 2 + (a− 1)
√
3
(c) b = 2± (a− 1)
(√
3
3
)
(d) b = 2 + (a− 1)
(√
3
3
)
(e) b = 2± (a− 1)
(f) b = 2 + (a− 1)
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(g) Nenhuma das outras respostas
Opção correta: (a)
Pontuação Parcial:
(b) 75%, pois errou ao resolver a equação modular, desconsiderando um dos valores posśıveis.
(c) 75%, pois considerou que cos 30o = 12
(d) 40%, pois considerou que cos 30o = 12 e errou ao resolver a equação modular, desconsiderando
um dos valores posśıveis.
Resolução: Seja b um número real.
Temos que:
- −→v = −→AB = (a− 1, b− 2) é um vetor direção da reta r ,
- −→w = (0, 1) é um vetor direção do eixo OY , e
- cos 30o =
√
3
2 .
Logo,√
3
2 = cos 30
o = |〈
−→v ,−→w 〉|
||−→v ||||−→w ||
⇒
√
3
2 =
|〈(a− 1, b− 2), (0, 1)〉|√
(a− 1)2 + (b− 2)2 × 1
⇒
√
3
2 =
|b− 2|√
(a− 1)2 + (b− 2)2
⇒
√
3
√
(a− 1)2 + (b− 2)2 = 2 |b− 2|
⇒
√
3
√
(a− 1)2 + (b− 2)2 = 2
√
(b− 2)2
⇒ 3((a− 1)2 + (b− 2)2) = 4(b− 2)2
⇒ 3(a− 1)2 = (b− 2)2
⇒
√
(b− 2)2 =
√
3(a− 1)2
⇒ |b− 2| =
√
3 |a− 1|
⇒ b− 2 = ±
√
3(a− 1)
⇒ b = 2±
√
3(a− 1)
Dados para a questão 4 no modo questionário:
• a é o coringa da questão e poderá variar da seguinte forma a∈ [0, 10] ∩ Z.
• As opções de respostas serão geradas automaticamente pelo sistema usando o coringa.
• A questão pedirá para marcar a opção correta.
Questão 4 [2,0 pontos]: Seja r a reta perpendicular à reta s : 3x+ 2y = 5 que passa pelo ponto
A = (3, 1). Se P = (−1, a ), Q e R são vértices do triângulo PQR, sendo Q e R os pontos de
interseção de r com os eixos OX e OY , qual das informações abaixo é verdadeira?
(a) Os pontos P,Q e R são colineares e, portanto, o triângulo PQR possui área 0.
(b) A área de PQR é 14 | − 5− 3a|
(c) A área de PQR é 12 | − a|
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(d) Q = (0, 32)
(e) Nenhuma das demais respostas é verdadeira.
Opção correta: (b)
Resolução:
Como o vetor (3, 2) é perpendicular à reta s e s é perpendicular à reta r, então (3, 2) é paralelo a
reta r. Sendo assim,
r :
{
x = 3t+ 3
y = 2t+ 1 ; t ∈ R
são equações paramétricas da reta r.
Para que a reta r intercepte o eixo OX no ponto Q é necessário que a coordenada y do ponto Q
seja igual a 0. Fazendo y = 0 nas equações de r obtemos t = −1/2. Substituindo t = −1/2 na
equação x = 3t+ 3 obtemos x = 3/2. Logo, Q = (3/2, 0).
Analogamente, para que a reta r intercepte o eixo OY no ponto R é necessário que a coordenada x
do ponto R seja igual a 0. Fazendo x = 0 nas equações de r obtemos t = −1. Substituindo t = −1
na equação y = 2t+ 1 obtemos y = −1. Logo, R = (0,−1).
Como
−→
RP = (−1, a+ 1) e −→RQ =
(3
2 , 1
)
,
temos:
Area(PQR) = 12
∣∣∣∣∣det
(
−1 a+ 1
3
2 1
)∣∣∣∣∣
= 14 |−5− 3a| .
Dados para a questão 5 no modo questionário:
• n é o coringa da questão e poderá variar da seguinte forma n∈ [1, 20] ∩ Z.
• As opções de respostas serão geradas automaticamente pelo sistema usando o coringa.
• A questãopedirá para marcar uma opção.
Questão 5 [1,5 ponto]: Dada a cônica
C : 4x2 − y2 − 16nx− 6ny + 3n2 = 0.
Marque a opção que contém um dos focos e uma parametrização da cônica.
(a) F = (2n+ n
√
5,−3n) e C : {(2n+ n cosh t,−3n+ 2n sinh t) | ∀t ∈ R}
(b) F = (2n− n
√
5,−3n) e C : {(2n+ n cos t,−3n+ 2n sin t) | ∀t ∈ R}
(c) F = (2n,−3n+ n
√
5) e C : {(2n+ n cosh t,−3n+ 2n sinh t) | ∀t ∈ R}
(d) F = (2n, 3n− n
√
5) e C : {(2n+ n cos t,−3n+ 2n sin t) | ∀t ∈ R}
(e) F = (2n, 3n+ n
√
5) e C : {(2n+ n cosh t, 3n+ 2n sinh t) | ∀t ∈ R}
(f) F = (2n− n
√
5, 3n) e C : {(2n+ n cos t, 3n+ 2n sin t) | ∀t ∈ R}
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(g) Nenhuma das outras respostas
Opção correta: (a)
Pontuação Parcial:
(b) 50%, pois acertou um dos focos mas errou a parametrização.
(c) 50%, pois acertou a parametrização mas errou o foco.
Resolução:
Completando quadrados temos:
4x2 − y2 − 16nx− 6ny + 3n2 = 0
⇐⇒ 4(x2 − 4nx+ 4n2)− (y2 + 6ny + 9n2) = −3n2 + 16n2 − 9n2
⇐⇒ 4(x− 2n)2 − (y + 3n)2 = 4n2
⇐⇒ (x− 2n)
2
n2
− (y + 3n)
2
(2n)2 = 1
A cônica se trata de uma hipérbole de eixo focal paralelo ao eixo OX onde:
• O centro C = (2n,−3n)
• a2 = n2, b2 = 4n2 e c2 = a2 + b2 ⇐⇒ c = n
√
5
• Os focos da hipérbole são: F1 = (2n− n
√
5,−3n) e F2 = (2n+ n
√
5,−3n)
• C :
{
x = 2n+ n cosh t
y = −3n+ 2n sinh t ; ∀t ∈ R
Dados para a questão 6 no modo questionário:
• n é o coringa da questão e poderá variar da seguinte forma n∈ [1, 20] ∩ Z.
• As opções de respostas serão geradas automaticamente pelo sistema usando o coringa.
• A questão pedirá para marcar uma opção.
Questão 6 [1,5 ponto]: Dada a cônica C de equação polar
ρ = n√
2− cos θ
.
Identifique a cônica e determine a equação cartesiana de C.
(a) É uma Elipse e C : (x− n)
2
2n2 +
y2
n2
= 1
(b) É uma Elipse e C : x
2
2n2 +
(y − n)2
n2
= 1
(c) É uma hipérbole e C : (x− n)
2
n2
− y
2
2n2 = 1
(d) É uma hipérbole C : x
2
n2
− (y − n)
2
2n2 = 1
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Geometria Anaĺıtica I AP3 2/2020
(e) É uma parabola e C : (x− n)2 = 12y
(f) É uma parabola e C : (y − n)2 = 12x
(g) Nenhuma das outras respostas
Opção correta: (a)
Pontuação Parcial:
(b) 30%, pois identificou a cônica mas errou a equação canônica.
Resolução
Observe que ρ > 0 para todo θ ∈ [0, 2π].
Substituindo ρ =
√
x2 + y2 e cos θ = x√
x2 + y2
na equação polar de C, obtemos
√
x2 + y2 = n√
2− x√
x2+y2
⇐⇒
√
2
√
x2 + y2 − x = n
⇐⇒
√
2(x2 + y2) = n+ x
⇐⇒ 2(x2 + y2) = (n+ x)2
⇐⇒ 2x2 + 2y2 = n2 + 2nx+ x2
⇐⇒ x2 − 2nx+ n2 + 2y2 = 2n2
⇐⇒ (x− n)2 + 2y2 = 2n2
⇐⇒ (x− n)
2
2n2 +
y2
n2
= 1
Assim a equação canônica da cônica:
C : (x− n)
2
2n2 +
y2
n2
= 1
A cônica é elipse.
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