angulos

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06/09/2023, 12:41 UNIP/Objetivo - Conteúdo Online
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 Módulo 02 - Ângulos
Matemática - 1º Bimestre - 2ª Série - Ensino Médio
1. Ângulos agudo, obtuso e raso
Ângulo agudo
Um ângulo é agudo quando sua medida é menor do que a medida de um ângulo reto, ou seja, menor que 90º.
Ângulo obtuso
Um ângulo é obtuso quando sua medida é maior do que a medida de um ângulo reto, ou seja, maior que 90º.
Ângulo raso
Um ângulo é raso quando seus lados são semirretas opostas.
A medida de um ângulo raso corresponde a dois ângulos retos ou a 180º.
2. Soma de ângulos
A soma de dois ângulos e é um ângulo tal que:
 
Observação:

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Quando med ( ) = med ( ) – med ( ), o ângulo é a diferença entre os ângulos e .
3. Bissetriz de um ângulo
A bissetriz de um ângulo é a semirreta com origem no vértice do ângulo, e que o divide em dois ângulos
congruentes. Assim,
 
4. Ângulos complementares
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é um ângulo reto. Um dos ângulos é
chamado complemento do outro.
 
O complemento de um ângulo de medida x é:
90º - x
5. Ângulos suplementares
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas corresponde a dois ângulos retos. Um dos
ângulos é chamado suplemento do outro.
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O suplemento de um ângulo de medida x é
180º - x
6. Ângulos replementares
Dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas corresponde a quatro ângulos retos. Um dos
ângulos é chamado replemento do outro.
 
O replemento de um ângulo de medida x é
360° – x
7. Ângulos opostos pelo vértice
Ângulos opostos pelo vértice são aqueles em que os lados de um são semirretas opostas aos lados do outro.
Teorema
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Se dois ângulos são opostos pelo vértice,
então eles são congruentes.
Demonstração
Exercícios Propostos
1. (MACKENZIE) – O complemento e o suplemento de um ângulo de 37°20’07" medem, respectivamente,
a) 149°39’53" e 52°39’53".
b) 52°39’53" e 142°39’53".
c) 53°20’07" e 143°20’07".
d) 143°20’07" e 53°20’07".
e) 142°39’53" e 53°20’07".
2. (PUC-MG) – O dobro do complemento de um ângulo é igual à quinta parte do suplemento desse ângulo. A
medida do ângulo é igual a:
a) 80°
b) 60°
c) 40°
d) 30°
e) 20°
3. (CFT-CE) – O ângulo cujo suplemento excede de 6° o quádruplo do seu complemento é:
a) 58°
b) 60°
c) 62°
d) 64°
e) 68°
4. Na cidade jônia de Mileto (hoje em território pertencente à Turquia), viveu um homem admirável, mais tarde
considerado um dos Sete Sábios da Grécia Antiga, chamado Tales. Ele é considerado o primeiro filósofo e o
primeiro matemático grego e é provável, mas não aceito unanimemente, que tenha vivido entre 640 a.C. e 564
a.C.
Embora a Filosofia, a Astronomia e a Matemática fossem suas paixões, a atividade rotineira de Tales era o
comércio. Aristóteles conta, em seu livro Política, que muitos na cidade o criticavam por descuidar-se dos negócios
e desperdiçar seu tempo com aqueles interesses estranhos. Indiferente às críticas, um dia percebeu que se
avizinhava uma excepcional safra de azeitonas e alugou para si todas as prensas extratoras de azeite existentes na
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região. Quando a colheita chegou, ganhou muito dinheiro realugando-as e declarou ter demonstrado que os
filósofos, quando querem, também sabem como enriquecer. Se não o fazem é por que dão valor a outras coisas
que lhes parecem muito mais importantes.
Jamais saberemos como ocorreu a Tales a revolucionária ideia que deu rumos definitivos ao pensamento
matemático, ou seja, a de que suas verdades devem ser justificadas, demonstradas, provadas por meio
do raciocínio.
Gilberto Geraldo Garbi. A Rainha das Ciências.
2 . ed. Livraria da Física.
As fontes históricas da Geometria mencionam que Tales demonstrou o seguinte teorema: Se dois ângulos são
opostos pelo vértice, então, eles são congruentes.
Utilizando esse teorema, você descobrirá que o valor de x na figura seguinte é:
a) 16°
b) 18°
c) 20°
d) 22°
e) 24°
5. Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa a seguir mostra os
esta dos brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos números. Considere que a direção
seguida por um avião AI que partiu de Brasília – DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento dereta
com extremidades em DF e em 4.
Mapa do Brasil e Algumas Capitais
1. Manaus
2. Boa Vista
a
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3. Macapá
4. Belém
5. São Luís
6. Teresina
7. Fortaleza
8. Natal
9. Salvador
10. Rio de Janeiro
11. São Paulo
12. Curitiba
13. Belo Horizonte
14. Goiânia
15. Cuiabá
16. Campo Verde
17. Porto Velho
18. Rio Branco
Siqueira. S. Brasil Regiões. Disponível em
www.santiagosiqueira.pro.br
Acesso em 28 jul 2009 (adaptado).
 
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de
135 graus no sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em alguma das capitais brasileiras. Ao
desembarcar, Carlos fez uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção que forma um ângulo
reto, no sentido anti-horário, com a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. Considerando que a
direção seguida por um avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela
cidade destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos fez uma conexão em
a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba.
b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador.
c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho.
d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro.
e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.
Gabarito
1. RESOLUÇÃO:
I) Complemento: 90° – 37°20’07" = 89°59’60" – 37°20’07" = 52°39’53"
II) Suplemento: 90° + 52°39’53" = 142°39’53"
Resposta: B
2. RESOLUÇÃO:
2(90º – x) = 900° – 10x = 180º – x 
 9x = 720° x = 80°
Resposta: A
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3. RESOLUÇÃO:
Sendo x a medida, em graus, desse ângulo, tem-se:
180° – x = 6° + 4 (90° – x) 3x = 186° x = 62°
Resposta: C
4. RESOLUÇÃO:
3x – 30º = 60º – 2x 5x = 90º x = 18º
Resposta: B
5. RESOLUCÃO:
1. Manaus
2. Boa Vista
3. Macapá
4. Belém
5. São Luís
6. Teresina
7. Fortaleza
8. Natal
9. Salvador
10. Rio de Janeiro
11. São Paulo
12. Curitiba
13. Belo Horizonte
14. Goiânia
15. Cuiabá
16. Campo Verde
17. Porto Velho
18. Rio Branco
 
Conforme o trajeto apresentado no mapa acima, Carlos fez conexão em Belo Horizonte (13) e, em seguida,
embarcou para Salvador (9).
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Resposta: B
Professor: Antonio José Gonçalves
Aula: Ângulos
Professor: Antonio José Gonçalves
Aula: Ângulos - Exercícios
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