9 ANO MAT 2 BIMESTRE_PROFESSOR

Prévia do material em texto

2º BIMESTRE | 2025 
PROFESSOR
9º Ano
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
36
Revisa Goiás
COMPREENDENDO O MATERIAL PEDAGÓGICO – Ensino Fundamental
Caro(a) professor(a), o REVISA GOIÁS 2025 continua objetivando a recomposição e desenvolvimento das apren-
dizagens essenciais previstas nas habilidades do Documento Curricular para Goiás – Ampliado (DCGO-Ampliado). No 
que diz respeito ao componente Matemática no Ensino Fundamental Anos Finais, o material apresenta atividades or-
ganizadas obedecendo a progressão do conhecimento no sentido vertical (de um ano para outro) nas habilidades de 
recomposição e horizontal (dentro do mesmo ano que o estudante está cursando) nas habilidades previstas no DC-
GO-Ampliado ao mesmo tempo que conversam com os descritores das avaliações externas como o Sistema de 
Avaliação da Educação Básica (Saeb) garantindo o desenvolvimento integral dos processos cognitivos para o avanço 
nas próximas etapas.
O REVISA GOIÁS 2025 foi estruturado em três grupos de habilidades (atividades), dispostos em três cores, para 
indicar o nível de gradação entre as habilidades desenvolvidas em cada grupo. Nesse sentido, são considerados os co-
nhecimentos essenciais do(a) estudante (habilidades basilares de anos anteriores), bem como as diversas estratégias e 
ferramentas necessárias para o avanço do processo de aprendizagem de cada um. Desse modo:
• utilizou-se a cor amarela, para indicar os descritores e habilidades que opor-
tunizam o desenvolvimento das habilidades de nível “Abaixo do básico / Básico”.
• utilizou-se a cor azul para indicar as atividades que possibilitam que o(a) es-
tudante desenvolvam e aprimorem habilidades de nível “Básico / Proficiente”.
• utilizou-se a cor rosa para indicar as atividades que proporcionem o desen-
volvimento e potencialização de habilidades de nível “Proficiente / Avançado”.
GRUPO DE ATIVIDADES 1 1
GRUPO DE ATIVIDADES 2 2
GRUPO DE ATIVIDADES 3 3
Obs: Entendemos que, quando o(a) estudante desenvolve habilidades de nível avançado, ele(a) já está apto para desenvolver as habili-
dades presentes no corte temporal do ano que se encontra e que foram priorizadas na elaboração deste material.
Busca recapitular conhecimentos basilares referente as habilidades que 
estão em níveis abaixo do básico.
Busca avançar nos conhecimentos basilares que estão em nível abaixo do 
básico fazendo a transição para o nível básico.
Busca ampliar os conhecimentos que estão no nível básico fazendo a 
transição para o nível proficiente.
Busca estruturar, sistematicamente, as habilidades que foram ampliadas, 
de maneira a contemplar o nível de gradação dentro de cada grupo.
Vamos avançar?
Vamos Sistematizar?
o que precisamos 
saber?
Vamos ampliar?
Vale ressaltar que, o REVISA GOIÁS 2025, continua priorizando, em cada corte temporal, pelo menos uma unidade 
temática e, a partir dela, estruturando atividades que contribuirão para o desenvolvimento de habilidades essenciais, 
objetivando que os(as) estudantes alcancem o nível Proficiente / Avançado. 
Nesse sentido, dentro de cada tópico supracitado, temos o momento:
Com itens estruturados, de acordo com as habilidades, de cada corte 
temporal, prescritas no DCGO-Ampliado que se desmembram nos des-
critores da matriz SAEB a serem avaliados nesta etapa de ensino. 
Obs: Caso considere necessário, fique à vontade para inserir atividades que contribuam com a recomposição da aprendizagem do(a) 
estudante e que possibilitarão, também, seu avanço nesse processo. 
Nessa perspectiva, seguimos com esta importante ação na rede Estadual de Educação de Goiás, cientes da ne-
cessidade de um ensino Matemático que oportunize o desenvolvimento das habilidades curriculares para continuar 
avançando em proficiência, com foco no(a) estudante como sujeito desse processo. 
Desejamos a todos um excelente trabalho! 
Equipe de Matemática do Núcleo de Recursos Didáticos / NUREDI / Secretaria de Estado da Educação de Goiás (SEDUC-GO)
MATEMÁTICA
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
37
Objetos de conhecimento
Habilidades de recomposição
1° grupo
DCGO - 
Ampliado
• (EF06MA27-C) Identificar ângulos congruentes, complementares e suplementares. 
• (EF07MA23-A) Explorar as relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma trans-
versal, através de atividades experimentais com dobraduras e materiais manipuláveis.
• (EF07MA23-B) Identificar pares de ângulos consecutivos, adjacentes, caso particular dos ângulos conse-
cutivos, colaterais internos e externos, alternos internos e externos, correspondentes e opostos pelo vértice.
• (EF07MA23-C) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma trans-
versal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica, para a utilização em situações-problema diversas.
2º grupo
DCGO - 
Ampliado
• (EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como ve-
locidade e densidade demográfica. 
• (EF07MA17-A) Ler, interpretar, resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade 
direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, para calcular a quantidade de um produto ao valor a 
pagar, alterar as quantidades de ingredientes de receitas, ampliar ou reduzir escala em mapas, entre outros. 
• (EF07MA17-B) Ler, interpretar, resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade di-
reta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação 
entre elas.
3º grupo
DCGO-
Ampliado
• (EF09MA14-A) Estabelecer o Teorema de Tales, por meio das relações de proporcionalidade envolvendo retas 
paralelas cortadas por secantes, para calcular distâncias inacessíveis e nas relações envolvendo semelhança de 
triângulos em problemas diversos.
• (EF09MA14-B) Ler, interpretar, resolver e elaborar problemas de aplicação do Teorema de Pitágoras ou das 
relações de proporcionalidade, envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Habilidades DCGO Ampliado 
Geome-
tria
• (EF09MA12-A) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam seme-
lhantes.
• (EF09MA12-B) Reconhecer triângulos semelhantes em situações de ampliação, congruência e redução, e as 
relações que existem entre seus perímetros e suas áreas.
• (EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma 
transversal.
• (EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o Teorema de Pitágoras, utili-
zando, inclusive, a semelhança de triângulos.
• (EF09MA14-A) Estabelecer o Teorema de Tales, por meio das relações de proporcionalidade envolvendo 
retas paralelas cortadas por secantes, para calcular distâncias inacessíveis e nas relações envolvendo seme-
lhança de triângulos em problemas diversos.
• (EF09MA14-B) Ler, interpretar, resolver e elaborar problemas de aplicação do Teorema de Pitágoras ou das 
relações de proporcionalidade, envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Unidade 
Temática Matriz SAEB
9° ano
• D3 – Identificar propriedades de triângulos pela comparação de medidas de lados e ângulos.
• D10 – Utilizar relações métricas do triângulo retângulo para resolver problemas significativos.
• D23 – Identificar frações equivalentes.
• D29 – Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas.
• D33 – Identificar uma equação ou inequação do 1º grau que expressa um problema.
• Retas paralelas cortadas por uma transversal;
• Relações métricas do triângulo retângulo;
• Teorema de Pitágoras;
• Semelhança de triângulos;
• Proporcionalidade;
• Ampliação e redução de figuras planas.
GRUPO DE ATIVIDADES 1 1
Partindo do pressuposto que alguns(as) estudantes ain-
da não desenvolveram habilidades elementares, ou seja, 
aquelas do grupo “Abaixo do básico” presentes nos anos 
anteriores (progressão vertical),a con-
fecção de quatro novas hastes com comprimento equiva-
lente aos das hastes perdidas.
A medida aproximada, em dm, de cada uma das hastes 
que esse serralheiro deverá produzir é
(A) 7,0. (C) 15,4.
(B) 9,8. (D) 28,0.
Gabarito: B
Sugestão de solução:
Observe a vista frontal da barraca onde a = 14 e n = 7.
Usando as relações métricas no triângulo retângulo e 
substituindo as variáveis fornecidas no enunciado, temos
Dessa forma, a medida de cada uma das hastes que esse 
serralheiro deverá produzir será de 9,8 dm.
Item 2. (CAED – Adaptada) Com o objetivo de reforçar 
uma certa quantidade de mãos francesas, utilizadas na sus-
tentação de prateleiras de vidro, um serralheiro vai soldar 
uma trave na estrutura convencional triangular de cada 
uma delas. O modelo utilizado pelo serralheiro está ilustra-
do na figura, que contém algumas medidas indicadas.
Para fazer essas traves, o serralheiro dispõe de uma barra 
de ferro que tem medida igual a 2400 cm.
Quantas dessas traves, no máximo, o serralheiro vai con-
seguir fazer a partir dessa barra de ferro?
(A) 171 (C) 96
(B) 100 (D) 75
Gabarito: B 
Sugestão de solução: 
Dados, 
m = 18
n = 32
Usando as relações métricas no triângulo retângulo e 
substituindo as variáveis fornecidas no enunciado, temos
h2 = m ∙ n
h2 = 18 ∙ 32
h2 = 576
h = 24 (considerando apenas o valor positivo)
O serralheiro dispõe de 2400 centímetros de barra e cada 
barra mede 24 centímetros, assim,
n° de barras = 2400 ÷ 24 = 100
Portanto o número de traves que o serralheiro consegui-
rá fazer é 100 barras.
Vamos Sistematizar?
TEOREMA DE PITÁGORAS
A mais importante das relações métricas no triângulo 
retângulo é o Teorema de Pitágoras. Podemos demons-
trar esse teorema usando a soma de duas relações encon-
tradas anteriormente.
Vamos somar as relações:
Assim, temos
 
Usando a relação,
a = m + n
E substituindo-a na expressão anterior, temos:
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
65
Assim, no triângulo retângulo, a seguir, o Teorema de 
Pitágoras pode ser enunciado como:
Exemplo:
No triângulo a seguir, determine o valor de x.
Resolução:
Pelo Teorema de Pitágoras, temos: 
a2 = b2 + c2
x2 = 82 + 62
x2 = 64 + 36
x2 = 100
x = ±10
Desconsiderando o valor negativo, temos que x é igual a 
10 centímetros.
Não há uma ordem específica para a escolha dos valores 
de b e c (catetos).
ATIVIDADES
Professor(a), na atividade 10 o objetivo é que o(a) estu-
dante desenvolva a habilidade em reconhecer o Teorema 
de Pitágoras. A atividade foi construída de forma gradati-
va para que os(as) estudantes identifiquem as medidas de 
cada elemento (hipotenusa e catetos).
10. Considere o triângulo ABC representado, a seguir.
Em relação a esse triângulo, responda:
a) Qual lado é a hipotenusa? 
b) Qual é a medida da hipotenusa?
c) Em qual vértice está localizado o ângulo reto?
d) Quais lados são os catetos?
e) Quais as medidas dos catetos?
f) Qual é o quadrado da medida da hipotenusa?
g) Qual é a soma dos quadrados das medidas dos catetos?
h) Qual a relação entre o quadrado da medida da hipo-
tenusa e a soma dos quadrados dos catetos?
Sugestão de solução: 
a) A hipotenusa é o lado AC.
b) A hipotenusa mede 15 centímetros.
c) O ângulo reto está localizado no vértice B.
d) Os catetos são os lados AB e BC.
e) Os catetos medem 9 centímetros e 12 centímetros.
f) 152 = 225.
O quadrado da medida da hipotenusa é igual a 225 centí-
metros. 
g) 92 + 122 = 81 + 144 = 225.
A soma dos quadrados dos catetos é igual a 225 centíme-
tros.
h) O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma 
dos quadrados dos catetos:
152 = 92 + 122 → 225 = 81 + 144 → 225 = 225
Professor(a), as atividades 11 a 13 objetiva que os(as) es-
tudantes desenvolvam as habilidades de calcular medidas 
desconhecidas dos lados de um triângulo retângulo e, re-
solver problemas utilizando Teorema de Pitágoras. Um 
erro bastante frequente, é confundir as medidas dos cate-
tos com a medida da hipotenusa, no momento da substi-
tuição dos valores na fórmula. Isso ocorre, principalmen-
te, quando a incógnita é a medida de um dos catetos. Na 
atividade 11, os tópicos b) e c), a incógnita aparece como 
a medida de um dos catetos.
11. Calcule o valor de x em cada triângulo retângulo, a 
seguir.
a)
c)
b)
Sugestão de solução:
a) x2 = 62 + 62
x2 = 36 + 36
x2 = 72
Desconsiderando o valor negativo.
O valor de x é centímetros.
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
66
12. A distância entre os muros laterais de um lote retan-
gular é exatamente 12 metros. Considere que a diagonal 
desse lote mede 20 metros.
Qual é a medida do portão até o muro do fundo?
(A) 10 metros (C) 14 metros
(B) 12 metros (D) 16 metros
Gabarito: D
Sugestão de solução:
A diagonal de um retângulo sempre determina dois triân-
gulos retângulos. Portanto, os muros, frontal e lateral des-
se lote, podem ser considerados catetos e a diagonal é a 
hipotenusa. Sabendo que a medida do muro lateral de um 
lote é justamente a distância do portão até o muro do fun-
do, utilizaremos o Teorema de Pitágoras para calculá-la.
Seja o comprimento do muro lateral igual a x, pelo Teore-
ma de Pitágoras, temos
122 + x2 = 202
144 + x2 = 400 
x2 = 400 - 144 
x2 = 256
Desconsiderando o valor negativo.
x = 16
A medida do portão até o muro do fundo é 16 metros.
b)102 = x2 + 82
100 = x2 + 64
x2 + 64 = 100
x2 = 100 – 64
x2 = 36
Desconsiderando o valor negativo.
x = 6 
O valor de x é 6 centímetros.
c) 122 = x2 + 62
144 = x2 + 36
x2 + 36=144
x2 = 144 – 36
x2 = 108
Desconsiderando o valor negativo.
O valor de x é centímetros.
13. (IFG 2020) O desmatamento tem sido uma problemá-
tica crescente no Brasil. Supondo que, ao efetuar o des-
matamento de uma determinada área, um madeireiro se 
depara com uma árvore que já se encontra quebrada; par-
te do tronco da árvore que se manteve fixa ao solo mede 
3 m e forma com este um ângulo de 90⁰; a ponta da parte 
quebrada que toca o solo encontra-se a 4 m de distância 
da base da árvore. 
Qual era a altura da árvore antes de se quebrar:
(A) 5 m (C) 8 m
(B) 7 m (D) 9 m
Gabarito: C
Sugestão de solução:
Para encontrar o valor da parte da árvore que quebrou, 
aplica-se o teorema de Pitágoras.
x² = 3² + 4²
x² = 9 + 16
x² = 25
Desconsiderando o valor negativo.
x = 5
Como ainda há 3 metros que ficaram fixos no solo, temos
5 + 3 = 8
A altura da árvore antes de se quebrar é de 8 m.
Professor(a), na atividade 14, o objetivo é que os(as) es-
tudantes desenvolvam a habilidade de resolver proble-
ma envolvendo o Teorema de Pitágoras. Este momento é 
oportuno para generalizar as fórmulas que calculam a al-
tura e a área de um triângulo equilátero, bem como mos-
trar aos estudantes que outras fórmulas da geometria são 
obtidas por meio do Teorema de Pitágoras. Relembre com 
o(a) estudante que, em um triângulo equilátero, todos os 
lados de mesma medida e a altura é a mediana da base, ou 
seja, divide a base em dois segmentos de mesma medida.
14. Considere um triângulo equilátero cujo lado mede 20 
centímetros.
a) Calcule a medida da altura desse triângulo.
b) Calcule a medida da área da região delimitada por esse 
triângulo.
Sugestão de solução:
a) Traçando a altura, temos:
Denotando a altura por h, tem–se que:
h2 + 102 = 202
h2 + 100 = 400
h2 = 400 – 100
h2 = 300
Desconsiderando o valor negativo,
A altura desse triângulo é de centímetros.
b) Denotando a área por A
t
, temos
00
+_ 00
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
67
A medida da área da região delimitada por esse triângulo 
é centímetros ao quadrado.
Professor(a), as atividades 15 e 16, o objetivo é que o(a) 
estudante a desenvolva as habilidades de calcular e resol-
ver problema utilizando as relações métricas no triângulo 
retângulo.
15.O lampião representado na figura, a seguir, está suspen-
so por duas cordas perpendiculares entre si presas ao teto. 
A distância do lampião ao teto, em centímetros, é igual a
(A) 7,8. (C) 9,0.
(B) 8,4. (D) 9,6.
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Por se tratar de medidas, iremos desconsiderar os valores 
negativos.
Determinando a medida da hipotenusa (a), obtemos
Determinando a medida da altura (h), obtemos
A distância do lampião ao teto é de 9,6 centímetros.
16. Considere o triângulo retângulo, a seguir.
Calcule as medidas da altura relativa à hipotenusa (h), das 
projeções dos catetos (m e n) e da hipotenusa (a).
Sugestão de solução:
Por se tratar de medidas, iremos desconsiderar os valores 
negativos.
Para determinar a medida da hipotenusa (a):
REVISITANDO A MATRIZ
Professor(a), os itens, a seguir, avaliam se os(as) estu-
dantes desenvolveram as habilidades previstas no des-
critor D10 da matriz SAEB do 9º ano – Utilizar relações 
métricas do triângulo retângulo para resolver proble-
mas signifi cativos.
Caro(a) estudante, neste momento vamos exerci-
tar a habilidade de utilizar relações métricas do triân-
gulo retângulo para resolver problemas significativos. 
Fique atento a sua resolução e marque apenas uma 
alternativa.
Item 1. (CAED – Adaptada) Fernando é bombeiro e, para 
resgatar um animal silvestre, precisou colocar uma esca-
da, que tem 17 metros de extensão, fixada do chão até o 
topo de um prédio, como representa a imagem.
a2 = b2 + c2
a2 = 92 + 122
a2 = 81 + 144
a2 = 225
a = 15
Para determinar a medida da altura relativa à hipotenusa 
(h):
a ∙ h = b ∙ c
15 ∙ h = 9 ∙ 12
15h = 108
h = 7,2
Para determinar a medida da projeção do cateto menor 
(m):
b2 = a ∙ m
92 = 15 ∙ m
81 = 15m
15m = 81
m = 5,4 
Para determinar a medida da projeção do cateto maior (n):
a = m + n
15 = 5,4 + n
15 – 5,4 = n
n = 9,6 
a
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
68
Qual é a medida da altura h desse prédio?
(A) 9 m (C) 18,8 m
(B) 15 m (D) 25 m
Gabarito: B
Sugestão de solução:
Por se tratar de medidas, iremos descon-
siderar os valores negativos.
Para determinar a medida do cateto (h):
172 = h2 + 82
289 = h2 + 64
h2 = 289- 64
h2 = 225
h = 15 
Portanto, a altura do prédio é de 15 metros.
Item 2. (CAED – Adaptada) Em seu projeto de conclusão 
de curso, Nara pretende construir uma esteira transpor-
tadora de blocos de gelo. No primeiro esboço do projeto, 
ela ilustrou parte dessa esteira e indicou algumas medidas 
de suas dimensões. Observe esse esboço na figura.
Nesse projeto, a parte inclinada da esteira contará com 
uma correia de tamanho igual ao dobro do comprimento 
desse trecho.
Com base nesse esboço, qual deve ser a medida do com-
primento, em metros, da correia que será utilizada no pro-
jeto de Nara?
(A) 5,64 m. (C) 11,28 m.
(B) 8,00 m. (D) 17,00 m.
Gabarito: C
Sugestão de solução:
Por se tratar de medidas, iremos desconsiderar os valores 
negativos.
Determinando a medida da esteira (hipotenusa), obtemos
a² = 4² + 4²
a² = 16 + 16
a² = 32
a = 4 ∙ 1,41
a = 5,64
Sabendo que o comprimento da correia é igual ao dobro 
do comprimento do trecho, então temos que o compri-
mento da correia é de 
2 ∙ 5,64 = 11,28
REVISITANDO A MATRIZ
Caro(a) estudante(a), a seguir, estão alguns itens 
a serem resolvidos de modo que você possa revisitar 
conteúdos essenciais para a etapa do 9º ano do Ensino 
Fundamental. O objetivo é que você consiga verificar 
quais habilidades matemáticas você já desenvolveu e 
qual ainda precisa desenvolver. Vamos lá?
Item 1. Felipe e seu vizinho possuem, cada um, terrenos 
com as mesmas áreas, mas de medidas distintas. Observe 
a representação desses terrenos. 
Qual é a medida de área, em metros quadrados, do terre-
no de Felipe?
(A) 60 (C) 150
(B) 100 (D) 300
Gabarito: C
Sugestão de solução:
Como os terrenos possuem medidas de áreas congruen-
tes, temos a igualdade
Determinando o valor de x, obtemos
Desconsiderando o valor negativo, temos que x vale 10.
Substituindo esse valor, em qualquer uma das expressões 
que determinam as áreas, temos
Assim, a área do terreno de Felipe mede 150 m².
D3 – Identifi car propriedades de triângulos pela compa-
ração de medAidas de lados e ângulos.
Utilizar o conceito de mediatriz ou de bissetriz, como lu-
gar geométrico, na resolução de problema.
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
69
Item 2. Em um triângulo isósceles, de lado medindo 9 cm, 
foi traçado uma bissetriz, partindo do vértice oposto a 
base, formando um segmento de 7 cm no ponto Q. 
A distância entre o ponto Q até um dos vértices da base 
é de
(A) √2 cm. (C) 4 cm.
(B) 2 cm. (D) 4√2 cm.
Item 4. Um treinador registrou o número de gols feitos 
pelos jogadores do time durante o campeonato do ano de 
2024. Os dados coletados foram os seguintes:
• Jogador A: 3 gols
• Jogador B: 4 gols
• Jogador C: 2 gols
• Jogador D: 5 gols
• Jogador E: 4 gols
• Jogador F: 1 gol
• Jogador G: 5 gols
Ao analisar esses dados, o treinador informou que para 
um melhor desempenho no campeonato de 2025, cada 
um desses jogadores deveria atingir uma meta de gols 
dada pela mediana de gols feitos no campeonato de 2024.
Essa meta, será de
(A) 3 gols.
(B) 4 gols.
(C) 5 gols.
(D) 6 gols.
Qual é a média aritmética, em reais, do preço do carro que 
Fernando deseja comprar, entre as concessionárias pes-
quisadas?
(A) 75 360
(B) 84 000
(C) 92 400
(D) 94 200
Item 3. Fernando deseja comprar um carro e, para isso, 
pesquisou em 4 concessionárias diferentes o preço de um 
modelo de carro específico. Os preços pesquisados estão 
representados, em reais, no quadro a seguir.
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Ao traçar a bissetriz, neste triângulo isósceles, obtemos 
um ângulo de 90 graus com a base, pois a bissetriz de um 
triângulo isósceles também é altura.
Logo, a distância entre o ponto Q até um dos vértices da 
base é de cm.
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Calculando a média aritmética entre os valores informa-
dos, obtemos
Interpretar o significado das medidas de tendência cen-
tral (média aritmética simples, moda ou mediana) ou da 
amplitude de um conjunto de dados estatísticos. 
Gabarito: B
Sugestão de solução:
A meta de gols é a mediana de gols feitos no campeonato 
de 2024.
Logo, organizando a quantidade de gols, em ordem cres-
cente, obtemos
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5
Note que o valor “4”, representa a mediana desses dados.
Logo, essa meta, será de 4 gols por jogador.
Item 5. (ENEM 2024 – Reaplicação/PPL) Os integrantes 
de uma banda de rock realizaram um processo seletivo 
para contratar um novo vocalista. Foram pré-seleciona-
dos cinco cantores para a realização de três testes. As 
frequências, medidas em hertz, alcançadas nesses testes, 
por cada cantor foram: 
• I: 380; 410; 470.
• II: 330; 350; 490.
• III: 420; 420; 390.
• IV: 407; 410; 404.
• V: 310; 380; 480.
Os integrantes da banda decidiram selecionar o cantor 
que apresentou a maior frequência média nos três testes. 
O cantor selecionado foi o 
(A) I. 
(B) II. 
(C) III.
(D) IV.
(E) V.
Gabarito: A
Sugestão de solução:
Calculando a média aritmética da frequência obtida de 
cada cantor, temos
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
70
Item 6. Para a construção de um conjunto de prédios, uma 
empreiteira terá que retirar do terreno um volume de ter-
ra equivalente a 3 piscinas olímpicas. Observe a represen-
tação do formato da piscina e as medidas utilizadas para o 
cálculo.
Logo, o cantor I obteve a maior frequência média nos três 
testes.
Qual será o volume, em metro cúbico, de terra retirada 
nessa construção? 
(A) 1125,0 m³
(B) 3125,0 m³
(C) 4312,5 m³
(D) 9375,0 m³
D14/D15 – Resolver problema envolvendo noções de vo-
lume / Resolver problema utilizandorelações entre dife-
rentes unidades de medida.
(Utilizar conversão entre unidades de medida da grande-
za capacidade: litro e decímetro cúbico ou litro e metro 
cúbico, na resolução de problema.)
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Calculando o volume de uma das piscinas, obtemos
V = 50 ∙ 25 ∙ 2,5 = 3125
Multiplicando esse volume por 3, temos
3125 ∙ 3 = 9375
Item 7. (CAED – Adaptada) Para fazer a limpeza de um 
recipiente que possui formato de paralelepípedo reto, 
Luiz o encheu de água. Observe, na figura, uma represen-
tação desse recipiente.
 
Quantos litros de água, no mínimo, Luiz precisou para en-
cher esse recipiente? 
(A) 0,65 
(B) 2,7
(C) 7,5 
(D) 9 
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Calculando o volume do recipiente, obtemos
V = 20 ∙ 30 ∙ 15
V = 9000
Como o volume obtido é de 9000 cm³ e sabendo que a 
cada 1000 cm³ temos 1 litro, temos
9000 ÷ 1000 = 9
Dessa forma, Luiz precisou de 9 L, para encher esse reci-
piente.
Item 8. A equipe organizadora de uma maratona, de 42 
km, recomendou a seus competidores o consumo de 0,8 
litros de água, por hora, para cada um. Participaram 5000 
atletas e o tempo médio da maratona foi de 5 horas.
Ao todo, quantos metros cúbicos de água a equipe organi-
zadora encomendou para essa competição? 
(A) 20 000 
(B) 2000
(C) 200 
(D) 20
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Determinando a quantidade de litros de água utilizados 
nessa maratona, obtemos
Ao todo foram utilizados 20 000 litros na maratona.
Convertendo essa medida para cm³ (×1000), temos
20 000 L → 20 000 000 cm³
Reescrevendo essa medida para m³ (÷1 000 000), temos
20 000 000 cm3 → 20 m³
D26 – Resolver problema com números racionais envol-
vendo as operações (adição, subtração, multiplicação, di-
visão, potenciação).
Item 9. (SAEGO-2012) Uma empresa especializada em 
levantamento de preços de petróleo fez uma pesquisa so-
bre o valor do litro de combustível em uma determinada 
cidade em quatro postos, X, Y, Z e W, respectivamente.
Os valores registrados da pesquisa nos quatro postos foram:
X = R$ 2,100
Y = R$ 2,030
Z = R$ 2,029
W = R$ 2,003
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
71
Item 10. Uma livraria realizará o sorteio de um kit literário 
para seus clientes que compraram algum livro na última 
semana, e, para cada livro comprado, foi dado um cupom 
com um único número. Foram distribuídos 400 cupons no 
total e, para realizar esse sorteio, um aplicativo escolherá 
um desses números de forma aleatória. Eduarda comprou 
sete livros e ganhou cupons para participar do sorteio.
Qual é a probabilidade de Eduarda ganhar o kit literário 
nesse sorteio?
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
Item 11. Dois dados de seis lados, não viciados, são joga-
dos simultaneamente. A probabilidade de se obter soma 
igual a 10 nas faces voltada para cima é
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
Item 12. Daniela trabalha em uma fábrica de chocolates. 
Ela despejou 3 pacotes, com 2,8 kg de amêndoas cada, 
em um recipiente que estava vazio. Em seguida, Daniela 
retirou 1,6 kg de amêndoas desse recipiente para serem 
utilizadas na fabricação de um tipo de chocolate em barra.
Após essa retirada, qual foi a quantidade de amêndoas, 
em quilograma, que restou nesse recipiente?
(A) 3,6 
(B) 4,2 
(C) 5,8 
(D) 6,8 
O menor preço do combustível foi encontrado no posto
(A) X . 
(B) Y .
(C) X . 
(D) W.
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Reescrevendo os números decimais, em fração, temos
Como 2003 é o menor número que ocupa os numeradores 
das divisões por 1000, o menor preço foi o do posto W. 
Gabarito: A
Sugestão de solução:
A probabilidade é cAalculada como a razão entre as chan-
ces favoráveis pela quantidade total, assim
Gabarito: B
Sugestão de solução:
Observe que, ao contabilizar todas os resultados possí-
veis, temos
Logo, os resultados “10” são apenas 3 das 36 possibilidades.
Assim, nossa probabilidade é de
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Calculando a quantidade total de amêndoas despejadas 
no recipiente, temos
3 ∙ 2,8 = 8,4
Retirando a quantidade de 1,6 kg, obtemos
8,4 – 1,6 = 6,8
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa Goiás
Expediente
Governador do Estado de Goiás
Ronaldo Ramos Caiado
Vice–Governador do Estado de Goiás
Daniel Vilela
Secretária de Estado da Educação
Aparecida de Fátima Gavioli Soares Pereira
Secretária–Adjunta
Helena Da Costa Bezerra
Diretora Pedagógica
Alessandra Oliveira de Almeida
Superintendente de Educação Infantil e Ensino 
Fundamental
Fátima Garcia Santana Rossi
Superintendente de Ensino Médio
Osvany Da Costa Gundim Cardoso
Superintendente de Segurança Escolar e Colégio 
Militar
Cel Mauro Ferreira Vilela
Superintendente de Desporto Educacional, Arte 
e Educação
Elaine Machado Silveira 
Superintendente de Modalidades e Temáticas 
Especiais 
Rupert Nickerson Sobrinho
Diretor Administrativo e Financeiro
Andros Roberto Barbosa
Superintendente de Gestão Administrativa
Leonardo de Lima Santos
Superintendente de Gestão e Desenvolvimento 
de Pessoas
Hudson Amarau de Oliveira
Superintendente de Infraestrutura
Gustavo de Morais Veiga Jardim
Superintendente de Planejamento e Finanças
Taís Gomes Manvailer
Superintendente de Tecnologia
Bruno Marques Correia
Diretora de Política Educacional
Vanessa de Almeida Carvalho
Patrícia Morais Coutinho
Superintendente de Gestão Estratégica e 
Avaliação de Resultados
Márcia Maria de Carvalho Pereira
Superintendente do Programa Bolsa Educação
Márcio Roberto Ribeiro Capitelli
Superintendente de Apoio ao Desenvolvimento 
Curricular
Nayra Claudinne Guedes Menezes Colombo
Chefe do Núcleo de Recursos Didáticos
Evandro de Moura Rios
Coordenador de Recursos Didáticos para o Ensino 
Fundamental
Alexsander Costa Sampaio
Coordenadora de Recursos Didáticos para o 
Ensino Médio
Edinalva Soares de Carvalho Oliveira
Professores elaboradores de Língua Portuguesa
Edna Aparecida dos Santos
Edinalva Filha de Lima Ramos 
Katiuscia Neves Almeida
Maria Aparecida Oliveira Paula
Norma Célia Junqueira de Amorim
Professores elaboradores de Matemática
Amanda Martinhago Chavoni
Basilirio Alves da Costa Neto
Tayssa Tieni Vieira de Souza
Thiago Felipe de Rezende Moura
Tyago Cavalcante Bilio
Professores elaboradores de Ciências da Natureza
Leonora Aparecida dos Santos
Sandra Márcia de Oliveira Silva
Sílvio Coelho da Silva
Professor de Ciências Humanas e Sociais
Eila da Rocha dos Santos
Revisão
Cristiane Gonzaga Carneiro Silva
Diagramação
Adriani Grüno objetivo nesse grupo de 
habilidades é que eles(as) desenvolvam essas habilidades, 
de modo que avancem para o grupo “Básico” e sigam am-
pliando cada vez mais os seus conhecimentos.
Dessa maneira, estima-se que para este primeiro grupo, 
os(as) estudantes sejam capazes de desenvolver as seguin-
tes habilidades:
• (EF06MA27-C) Identificar ângulos congruentes, com-
plementares e suplementares. 
• (EF07MA23-B) Identificar pares de ângulos consecuti-
vos, adjacentes, caso particular dos ângulos consecutivos, 
colaterais internos e externos, alternos internos e exter-
nos, correspondentes e opostos pelo vértice.
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
38
o que precisamos 
saber?
Buscando o desenvolvimento pleno da habilidade no 1º 
corte temporal do 9° ano:
• (EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os 
ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma 
transversal.
9° ano D33 – Identifi car uma equação ou inequação 
do 1º grau que expressa um problema.
E dos descritores da Matriz Saeb: 
ÂNGULOS
Ângulo é uma medida expressa em graus atribuída à 
região ou conjunto de pontos situados entre duas semirre-
tas de mesma origem.
Para representar um ângulo podemos usar três letras 
maiúsculas, por exemplo:
Ângulo (ou ) formados pelas semirretas AB e 
AC. Neste caso, a letra do meio A representa o vértice, a 
primeira letra B representa um ponto da primeira semir-
reta e a terceira letra C representa um ponto da segunda 
semirreta.
Além disso, os ângulos também podem ser representa-
dos por letras minúsculas do nosso alfabeto ou do alfabeto 
grego. Observe: as representações dos ângulos: α, β, â e d̂ .
Existem alguns ângulos que aparecem com bastante 
frequência no estudo da geometria. Observe: 
• Ângulos adjacentes
Quando dois ângulos compartilham uma mesma se-
mirreta e não possuem mais pontos em comum, são deno-
minados adjacentes.
Exemplo:
Além disso, quando temos dois ângulos cuja soma é 
igual a 90°, eles são chamados de complementares e, 
quando temos dois ângulos cuja soma é igual a 180º, eles 
são chamados de suplementares.
Observe os exemplos a seguir de ângulos complemen-
tares. 
Ângulos complementares 
adjacentes
Ângulos complementares 
não adjacentes
Observe os exemplos a seguir de ângulos suplementares. 
Ângulos suplementares 
adjacentes
Ângulos suplementares 
não adjacentes
▸Operações com ângulos complementares
Sabendo que dois ângulos são complementares, é pos-
sível encontrar a medida de um deles a partir da medida 
do outro.
Observe cada exemplo. 
Exemplo 1: Observe os ângulos, a seguir.
Sabendo que α e β são complementares, e que α = 62°. 
Determine o valor de β.
Resolução:
α + β = 90° (são complementares)
Essa expressão pode ser tratada como uma equação em 
que β é a incógnita. Então,
62° + β = 90°
β = 90° – 62°
β = 28°
Portanto, o valor de β é 28°.
Exemplo 2: Qual é o valor de α?
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
39
Resolução:
β = 55°
Logo:
α + β = 90°
α = 90° – β 
α = 90° – 55° 
α = 35°
Então, o valor de α é 35°.
Exemplo 3: Sabendo que os ângulos a seguir são com-
plementares, calcule a medida de cada um desses ângulos.
Resolução:
A medida do ângulo AÔB é (2x + 5°).
A medida do ângulo BÔC é (4x + 25°).
Como são complementares a soma é 90°.
m(AÔB) + m(BÔC) = 90° 
(2x + 5°) + (4x + 25°) = 90° 
2x + 4x + 5° + 25° = 90°
6x + 30° = 90°
6x = 90° - 30°
6x = 60° 
x = 10°
Logo, como a medida do ângu-
lo AÔB é dada por: 
2x + 5°, substituindo x = 10°: 
E a medida do ângulo BÔC 
é dada por: 4x + 25, substi-
tuindo x = 10°:
▸ Operações com ângulos suplementares
Quando dois ângulos são suplementares, é possível en-
contrar a medida de um deles a partir da medida do outro.
Observe cada exemplo.
Exemplo 1: Qual o valor de α?
Resolução:
α + 135° = 180° (ângulos suplementares)
α = 180° – 135° 
α = 45°
Então, o valor de α é 45°.
Exemplo 2: Os ângulos a seguir são suplementares.
Qual é a medida dos ângulos AÔB e BÔC?
Resolução:
A medida do ângulo AÔB é (4x + 30°).
A medida do ângulo BÔC é (3x + 10°).
m(AÔB)+ m(BÔC)= 180° 
(4x + 30°) + (3x + 10°) = 180° 
4x + 3x + 30° + 10° = 180°
7x + 40° = 180°
7x = 180° – 40°
7x = 140°
Logo, como a medida do ân-
gulo AÔB é dada por: 4x + 30°, 
substituindo x = 20°:
4x + 30°
→ 4 ∙ 20° + 30°
= 80° + 30°
= 110°
E a medida do ângulo BÔC 
é dada por: 3x+10°, substi-
tuindo x = 20°:
3x + 10°
→ 3 ∙ 20° + 10°
= 60° + 10°
= 70°
ATIVIDADES
Professor(a), na atividade 1 o objetivo é que o(a) estudan-
te desenvolva a habilidade de reconhecer ângulos com-
plementares e suplementares.
1. Responda as seguintes perguntas.
a) Se α e β são ângulos complementares, então, quanto 
vale a medida α + β?
b) Se α e β são ângulos suplementares, então, quanto vale 
a medida α + �?
Sugestão de solução:
a) Se α e β são ângulos complementares, então, por defini-
ção, a medida de α + β vale 90°.
b) Se α e β são ângulos suplementares, então, por defini-
ção, a medida de α + β vale 180°.
Professor(a), na atividade 2 o objetivo é que o(a) estudan-
te desenvolva a habilidade de determinar a medida de um 
ângulo a partir de seu complemento ou suplemento.
2. Responda as seguintes perguntas.
a) Se α e β são ângulos complementares e, α = 35°. Qual é 
a medida β?
b) Se α e β são ângulos suplementares e, α = 35°. Qual é a 
medida β?
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
40
Sugestão de solução:
a) Como são complementares, a soma é 90°
α + β = 90°
α = 35°, então:
35° + β = 90°
β = 90 – 35 
β = 55°
b) Como são suplementares, a soma é 180°
α + β = 180°
α = 35°, então:
35° + β = 180°
β = 180 – 35 
β = 145°
Professor(a), na atividade 3 o objetivo é que o(a) estudan-
te desenvolva a habilidade de associar ângulos comple-
mentares e suplementares, utilizando cálculos mentais. 
3. Associe a coluna da direita com a da esquerda, conside-
rando como referência ângulos complementares e suple-
mentares.
Gabarito: 
Professor(a), nas atividades 4 e 5 o objetivo é que o(a) es-
tudante desenvolva a habilidade de determinar a medida 
de ângulos complementares e suplementares utilizando 
uma letra como incógnita. Relembre-os(as) que os ângu-
los podem ser apresentados em graus (inteiros ou deci-
mais) ou submúltiplos do grau (minutos e segundos). Des-
sa forma, é possível realizar as conversões:
1° = 60' (minutos) e 1' = 60'' (segundos)
Ou seja, 
• 22° é equivalente a 21°60’
• 22,5° é equivalente a 22°30’
• 50,33° é equivalente a 50°19’48”.
4. Determine o valor da medida de cada um dos ângulos, a 
seguir, sabendo que todos são complementares.
a)
c)
b)
d)
Sugestão de solução:
a) α = 90° – 45° = 45°
b) β = 90° – 57° = 33°
c) φ = 90° – 49,23° = 40,77°
d) θ = 90° – 29,3° = 60,7°
5. Determine o valor da medida de cada um dos ângulos, 
a seguir.
a)
c)
b)
d)
Sugestão de solução:
a) α = 180° – 125° = 55°
b) β = 180° – 137° = 43°
c) θ = 180° – 107°40'
θ = 179°60' – 107°40'
θ = 72°20'
d) σ = 180° – 82°30'25''
σ = 179°59' 60'' – 82°30' 25''
σ = 97°29'35''
Professor(a), nas atividades 6 a 7, o objetivo é que o(a) 
estudante desenvolva a habilidade de calcular ângulos 
complementares e suplementares utilizando equação po-
linomial do 1° grau. Caso haja necessidade, relembre com 
o(a) estudante os objetos de conhecimentos: expressões 
algébricas e equações, que estão presentes no REVISA 
GOIÁS do 1° bimestre.
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
41
6. Para cada caso, a seguir, calcule o valor da incógnita e 
determine a medida de cada ângulo, sabendo que esses 
ângulos são complementares.
a) b)
Sugestão de solução:
a) A medida do ângulo AÔB é (2x + 15°).
A medida do ângulo BÔC é (3x + 20°).
Como são complementares a soma é 90°.
m(AÔB) + m(BÔC) = 90°
(2x + 15°) + (3x + 20°) = 90°
2x + 3x+ 15° + 20° = 90°
5x + 35° = 90°
5x = 90° – 35°
5x = 55°
Portanto, as medidas dos ângulos são:
b) A medida do ângulo GÔH é (x + 12°).
A medida do ângulo HÔI é (2x + 28°).
Como são complementares a soma é 90°.
m(GÔH) + m(HÔI) = 90° 
(x + 12°) + (2x + 28°) = 90°
x + 2x + 12° + 28° = 90°
3x + 40° = 90°
3x = 90° - 40°
3x = 50°
Portanto, as medidas dos ângulos são:
7. Determine o valor de y no cada caso, a seguir.
Sugestão de solução:
y + 4y + 40° + 2y = 180°
y + 4y + 2y + 40° = 180°
7y + 40°=180°
7y = 180° - 40°
7y = 140°
REVISITANDO A MATRIZ
Professor(a), os itens, a seguir, avaliam se os(as) estudan-
tes desenvolveram as habilidades previstas no descritor 
D33 da matriz SAEB do 9º ano – Identifi car uma equa-
ção ou inequação do 1º grau que expressa um problema.
Caro(a) estudante, neste momento vamos exercitar 
a habilidade de identificar uma equação ou inequação 
do 1º grau que expressa um problema. Fique atento a 
sua resolução e marque apenas uma alternativa.
Item 1. Observe os ângulos suplementares, a seguir.
A equação que possibilita calcular o valor correto da in-
cógnita x é igual a
(A) 2x + x + 30° + 15° = 90°.
(B) x – 15° = 90°.
(C) x – 15° = 180°.
(D) 3x + 45° = 180°.
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Os ângulos GÔH e HÔI são suplementares, então
2x + 30° + x + 15° = 180°
2x + x + 30° + 15° = 180°
3x + 45° = 180°
Portanto, a equação que possibilita calcular o valor corre-
to da incógnita x é: 3x + 45° = 180°.
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
42
Item 2. Os ângulos, a seguir, são complementares.
A equação que possibilita calcular o valor correto da in-
cógnita x é igual a
(A) x + 25,2°– 2x – 15,6° = 90°.
(B) 3x + 40,8° = 90°.
(C) x + 25,2° – 2x – 15,6° = 180°.
(D) 3x + 40,8° = 180°.
Gabarito: B
Sugestão de solução:
Os ângulos GÔH e HÔI são complementares, então
x + 25,2° + 2x + 15,6° = 90°
x + 2x + 25,2° + 15,6° = 90°
3x + 40,8° = 90°
Portanto, a equação que possibilita calcular o valor corre-
to da incógnita x é: 3x + 40,8° = 90°.
Vamos avançar?
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
O que são ângulos opostos pelo vértice? 
Uma forma simples de responder esta pergunta é di-
zer que são dois ângulos, não adjacentes, formados pela 
intersecção de duas retas. 
A intersecção entre duas retas concorrentes forma 
quatro ângulos. Se analisarmos dois a dois, é possível no-
tar que esses ângulos ou estão lado a lado ou só possuem 
um único ponto em comum, que também é o ponto de en-
contro das duas retas. Nesse caso, quando dois ângulos 
possuem um único ponto em comum, eles são chamados 
de ângulos opostos pelo vértice (O.P.V.). Os outros dois 
ângulos, que estão lado a lado, são chamados de ângulos 
adjacentes. 
Então, na representação, a seguir, temos:
• Ângulos opostos pelo vértice: 
;
• Ângulos adjacentes: 
Propriedades:
1º. Ângulos adjacentes são suplementares;
2º. Ângulos opostos pelo vértice são congruentes, isto 
é, possuem medidas iguais.
Observe o exemplo, a seguir:
Se b, c e d são as medidas dos ângulos na figura, então, 
as somas b + d e b + c são iguais a 180° porque os res-
pectivos ângulos são suplementares adjacentes. Assim, 
podemos escrever:
b + d = 180° e b + c = 180°
A partir dessas duas igualdades, podemos escrever o 
seguinte:
b + d = b + c
Pois, b + d = 180° = b + c (propriedade reflexiva). Então,
b – b + d = b – b + c
 b – b + d = b – b + c
d = c
Logo, as medidas dos ângulos opostos pelo vértice são 
congruentes.
Para compreender melhor a aplicação de ângulos 
opostos pelo vértice, vamos analisar dois exemplos.
Exemplo 1: Qual é a medida de a na figura?
Resolução:
Observe que a é oposto pelo vértice 
ao ângulo 50°, logo:
a = 50°.
Exemplo 2: Calcule as medidas indicadas dos ângulos 
na figura.
Resolução:
Como os ângulos são opostos pelo vértice e são congruentes 
então, suas medidas são iguais:
15x + 30 = 7x + 94
15x – 7x + 30 – 30 = 7x – 7x + 94 – 30
8x = 64
x = 8°
Para descobrir a medida de cada ângulo, devemos substituir o 
valor encontrado em uma das expressões. Como x = 8°, então:
15x + 30 → 15 ∙ 8 + 30 = 120 + 30 = 150°
Como os ângulos são opostos pelo vértice, os dois ângulos são 
congruentes, ou seja, ambos medem 150°.
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
43
ATIVIDADES
Professor(a), nas atividades 8 e 9 o objetivo é que o(a) estu-
dante desenvolva as habilidades de nomear e reconhecer 
ângulos opostos pelo vértice, de acordo com a definição. 
8. Nomeie e indique todos os elementos que compõem os 
ângulos adjacentes e opostos pelo vértice na imagem.
Sugestão de solução:
• ângulos opostos pelo 
vértice:
a e b; c e d
• ângulos adjacentes:
a e c; b e c; a e d; b e d
9. Observe e analise os dois ângulos destacados entre as 
retas. 
Pode-se afirmar que os ângulos α e β são
(A) congruentes. (C) complementares.
(B) suplementares. (D) adjacentes.
Gabarito: A
Sugestão de solução:
Os ângulos α e β são opostos pelo vértice, então, eles pos-
suem a mesma medida, portanto são congruentes.
Professor(a), na atividade 10 o objetivo é que o(a) estu-
dante desenvolva a habilidade de calcular ângulos opos-
tos pelo vértice com a introdução de uma letra como in-
cógnita.
10. Determine o valor da medida de cada ângulo, a seguir.
a) b)
Sugestão de solução:
a) O ângulo φ é oposto ao ângulo de 38,9°, portanto, a 
medida de φ é igual a 38,9°.
 
b) O ângulo ω é oposto ao ângulo de 141°, portanto, a me-
dida de ω é igual a 141° e as duplas de ângulos: ω, γ e ω, ρ 
são suplementares, então:
γ = ρ = 180 – 141 = 39°
Professor(a), na atividade 11, o objetivo é que o(a) estu-
dante desenvolva a habilidade de calcular ângulos, utili-
zando como recurso, equação polinomial do 1° grau. Caso 
haja necessidade, relembre-o(a) as manipulações algébri-
cas presentes em expressões e equações.
11. Calcule a medida dos ângulos em destaque. Refazer 
as imagens.
a) 
c) 
b) 
d) 
Sugestão de solução:
a) 2x – 30° = x + 50°
2x – x = 50° + 30°
x = 80°
Substituindo x, em (x + 50°), temos
x + 50° → 80° + 50° = 130°
Portanto, como os ângulos são opostos pelo vértice 
(O.P.V.), cada ângulo mede 130°.
Assim, como as medidas são congruentes, temos:
x - 50° → 80° – 50° = 30°
Portanto, cada ângulo mede 30°.
b)
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
44
c) O círculo é dividido em 360 partes iguais, ou seja, ele 
possui 360°, então:
x + 7x + 5x + 4x + 8x + 11x = 360°
36x = 360°
x = 10°
Assim, a medida de cada ângulo é:
x = 10°;
7x = 70°;
5x = 50°;
4x = 40°;
8x = 80°;
11x = 110°.
d) c + 90° = 180°
c = 180° – 90°
c = 90°
Como, c e d são O.P.V., temos:
d = c = 90°
a é oposto ao ângulo 30°, portanto, a = 30°.
a e b são suplementares, então temos:
a + b = 180°
30° + b = 180°
b = 180° – 30°
b = 150°
REVISITANDO A MATRIZ
Professor(a), o item, a seguir, avaliam se os(as) estudan-
tes desenvolveram as habilidades previstas no descritor 
D33 da matriz SAEB do 9º ano – Identifi car uma equa-
ção ou inequação do 1º grau que expressa um problema.
Caro(a) estudante, neste momento vamos exercitar 
a habilidade de identificar uma equação ou inequação 
do 1º grau que expressa um problema. Fique atento a 
sua resolução e marque apenas uma alternativa.
Item 1. Observe os ângulos em destaque, a seguir. 
O valor de x que satisfaz a condição de existência desses 
ângulos é igual a
(A) 15° (C) 30°
(B) 20° (D) 50°
Gabarito: C
Sugestão de solução:
Os ângulos em destaque são opostos pelo vértice, então, 
temos
3x – 15° = x + 45°
3x – x = 45° + 15°
Professor(a), antes de iniciar o próximo tópico, sugerimos 
como instrumentalização, a seguinte ofi cina com o intuito 
de que o(a) estudante desenvolva o conhecimento sobre 
o objeto do conhecimento: ângulos formados por retas 
paralelas cortadas por uma transversal.
Materiais: papel (sugerimos o papel vegetal ou papel de 
seda branco/transparente), régua, lápise borracha.
1º Passo
No papel, cada estudante deve desenhar um par de retas 
paralelas cortadas por uma transversal distinguindo os 
oito ângulos e, colorir de cores diferentes, se possível, os 
ângulos formados. 
2º Passo
Peça ao estudante que recorte a folha de papel, entre 
o par de retas pararelas. Em seguida peça que ele(a) so-
breponha os recortes de modo que os ângulos fi quem 
sobrepostos (um em cima do outro). Depois, peça que 
ele(a) identifi que os ângulos que fi caram sobrepostos, 
ressaltando que, estes ângulos são chamados de corres-
pondentes e possuem a mesma medida. 
Logo, conclua com ele(a) que:
Os ângulos que ocupam a mesma posição em relação 
ao par de retas paralelas são denominados correspon-
dentes. Ângulos correspondentes são congruentes.
Vamos Sistematizar?
RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA 
TRANSVERSAL
Retas paralelas são aquelas que não se interceptam em 
nenhum ponto. Se uma reta intercepta outras duas ou mais 
retas paralelas, essa reta é transversal às retas paralelas.
Exemplo:
2x = 60°
x = 30°
As retas r e s são pa-
ralelas e a reta t é trans-
versal a elas, formando os 
oito ângulos:
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
45
Internos
Externos
Note que os ângulos e são suplementares, assim 
como os ângulos e . Logo:
Note que o ângulo e o ângulo são suplementares, 
assim como os ângulos e . Logo:
Podemos classificar os ângulos, formados por duas 
retas paralelas cortadas por uma transversal, de acordo 
com a posição desses ângulos em relação a posição das 
retas. Esses ângulos podem ser classificados como: cor-
respondentes, colaterais internos ou externos, alternos 
internos ou externos.
São ângulos formados por duas retas paralelas cor-
tadas por uma transversal que, ocupam a mesma posi-
ção, em relação ao par de retas paralelas.
Ângulos correspondentes são congruentes.
Por exemplo, são correspondentes os ângulos:
▸ Ângulos correspondentes
▸ Ângulos colaterais
Dois ângulos colaterais, formados por um par de retas 
paralelas e, uma transversal, são sempre suplementares, 
independentemente de serem internos ou externos.
Dois ângulos alternos, formados por um par de retas 
paralelas e, uma transversal, são sempre congruentes, 
independentemente de serem internos ou externos.
Exemplo 1: Sabendo que r//s, determine o valor de x e 
a medida de cada ângulo ilustrado na imagem.
Resolução:
Perceba que os ângulos (3x + 15°) e (x + 25°) são colate-
rais internos, ou seja, são suplementares. 
Logo,
Calculando as medidas dos ângulos, obtemos
Como os ângulos são suplementares e um deles mede 60° 
o outro medirá 120°.
Exemplo 2: Sabendo que r//s, determine o valor de x e 
a medida de cada ângulo ilustrado na imagem.
Internos
Externos
▸ Ângulos alternos
Note que, o ângulo é congruente ao ângulo e, o ângu-
lo é congruente ao ângulo , ou seja, ≡ e ≡ .
Note que, o ângulo é congruente ao ângulo e, o ân-
gulo é congruente ao ângulo , ou seja, 
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
46
Calculando as medidas dos ângulos, obtemos
3x + 15°→3 ∙ 30° + 15° = 90° + 15° = 105°
x + 75° → 30° + 75° = 105°
Como os ângulos são congruentes ambos medem 105°.
ATIVIDADES
Professor(a), nas atividades 12 a 14, o objetivo é que o(a) 
estudante desenvolva a habilidade de identifi car os ângu-
los formados pela intersecção de retas paralelas cortadas 
por transversais. Para isso, será necessário que ele(a) en-
contre o valor das incógnitas solicitadas de acordo com as 
relações identifi cadas.
12. Observe a figura, a seguir, e responda as perguntas. 
a) Qual a relação entre o ângulo de medida 58° e o ângulo α? 
b) Qual a relação entre o ângulo α e o ângulo β?
c) Calcule a medida dos ângulos α e β.
Sugestão de solução:
a) O ângulo de medida 58° e o ângulo α são ângulos opos-
tos pelo vértice. 
b) O ângulo α e o ângulo β são ângulos colaterais internos.
c) Como o ângulo α é oposto pelo vértice ao ângulo de 
medida 58°, Logo, 
m(α) = 58°
Como os ângulos α e β são ângulos colaterais internos, en-
tão eles são suplementares.
Logo,
m(α) + m(β) = 180°
58° + m(β) = 180°
m(β) = 180° – 58°
m(β) = 122°
13. Observe a figura
Sabendo que r//s, responda:
a) Qual a relação entre os dois ângulos ilustrados nessa 
figura?
b) Calcule o valor de x.
c) Calcule a medida de cada um dos ângulos representa-
dos na figura.
Sugestão de solução:
a) Os dois ângulos são colaterais externos, logo são suple-
mentares.
b) A soma desses ângulos resulta em 180°.
2x + x + 60°=180°
3x = 180° – 60°
3x = 120°
x = 40°
c) Substituindo o valor de x, obtemos
2x → 2 ∙ 40° = 80°
x + 60° → 40° + 60° = 100°
14. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal 
formam um par de ângulos alternos internos de medidas: 
x – 35° e – x + 40°. Calcule o valor de x e a medida desses 
ângulos.
Sugestão de solução:
Os dois ângulos citados são ângulos alternos internos, 
logo são congruentes.
Assim,
x – 35° = – x + 40°
x + x = 40° + 35°
2x = 75°
A medida de cada um dos ângulos é dada por:
x – 35° → 37,5° – 35° = 2,5°
– x + 40°→ – 37,5° + 40° = 2,5°
REVISITANDO A MATRIZ
Professor(a), os itens, a seguir, avaliam se os(as) estudan-
tes desenvolveram as habilidades previstas no descritor 
D33 da matriz SAEB do 9º ano – Identifi car uma equa-
ção ou inequação do 1º grau que expressa um problema.
Caro(a) estudante, neste momento vamos exercitar 
a habilidade de identificar uma equação ou inequação 
do 1º grau que expressa um problema. Fique atento a 
sua resolução e marque apenas uma alternativa.
Item 1. Duas retas paralelas cortadas por uma transver-
sal formam ângulos colaterais externos â e b̂ , cujas medi-
das, em graus, são dadas, respectivamente, por 3x + 25° e 
2x + 45°.
As medidas desses ângulos são iguais a
(A) 37° e 53°. (C) 85° e 85°.
(B) 70° e 110°. (D) 91° e 89°.
Resolução: 
Observe que os ângulos apresentados são alternos exter-
nos, ou seja, são congruentes. 
Logo,
3x + 15° = x + 75° 
3x - x = 75° - 15° 
2x = 60°
x = 30°
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
47
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Como esses ângulos são colaterais externos, eles são suple-
mentares.
Assim,
m(â ) + m(b̂ ) = 180°
(3x + 25°) + (2x + 45°) = 180°
3x + 2x + 25° + 45° = 180°
5x + 70° = 180°
5x = 180° – 70°
5x = 110°
Logo, 
m(â ) = 3x + 25° → 3 ∙ 22° + 25° = 66° + 25° = 91°
m(b̂ ) = 2x + 45° → 2 ∙ 22° + 45° = 44° + 45° = 89°
Item 2. Observe as retas paralelas f e g e a reta h, trans-
versal à elas. 
O valor de b é igual a
(A) 2,5°. (C) 13,75°.
(B) 8,75°. (D) 25°.
Gabarito: A
Sugestão de solução:
Os ângulos de medidas 6b + 140° e 2b + 150° são corres-
pondentes, logo eles são congruentes. Então, temos,
6b + 140° = 2b + 150°
Assim,
6b + 140° = 2b + 150°
6b – 2b = 150° – 140°
4b = 10°
b = 2,5°
o que precisamos 
saber?
GRUPO DE ATIVIDADES 2 2
O grupo de habilidades 2 objetiva que o estudante se 
desloque do nível “Básico” para o nível “Profi ciente”, as-
sim, além das habilidades anteriores citadas serão acres-
centadas outras habilidades, pois os estudantes que se 
encontram neste nível demonstram habilidades basilares 
para avançarem. Então, para este segundo grupo de habi-
lidades (atividades), os estudantes provavelmente ao fi nal 
serão capazes de:
Dessa maneira, estima-se que para este segundo grupo, 
os(as) estudantes sejam capazes de desenvolver as se-
guintes habilidades:
• (EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a ra-
zão entre duas grandezas de espécies diferentes, como 
velocidade e densidade demográfi ca. 
• (EF07MA17-A) Ler, interpretar, resolver e elaborar
problemas que envolvam variação de proporcionalidade 
direta e de proporcionalidade inversa entre duas grande-
zas, para calcular a quantidade de um produto ao valor a 
pagar, alterar as quantidades de ingredientes de receitas, 
ampliar ou reduzirescala em mapas, entre outros. 
• (EF07MA17-B) Ler, interpretar, resolver e elaborar
problemas que envolvam variação de proporcionalidade 
direta e de proporcionalidade inversa entre duas grande-
zas, utilizando sentença algébrica para expressar a rela-
ção entre elas.
Buscando o desenvolvimento pleno da habilidade no 2º 
corte temporal do 9° ano:
• (EF09MA12-A) Reconhecer as condições necessárias 
e sufi cientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
• (EF09MA12-B) Reconhecer triângulos semelhantes em 
situações de ampliação, congruência e redução, e as rela-
ções que existem entre seus perímetros e suas áreas.
E dos descritores da Matriz Saeb:
9° ano
D3 – Identifi car propriedades de triângulos pela 
comparação de medidas de lados e ângulos.
D23 – Identifi car frações equivalentes.
D29 – Resolver problema que envolva variação 
proporcional entre grandezas
RAZÃO
A razão é uma comparação entre duas quantidades ou 
grandezas. Geralmente, essa comparação, é feita através 
de uma divisão que pode ser expressa na forma de fração.
PROPORÇÃO
A proporção é dada pela igualdade entre duas razões. 
Observe:
Lemos essa proporção da seguinte forma, A está para 
B assim como C está para D.
Por exemplo, as razões e são proporcionais, pois
Observe que essas duas razões seguem a proporção 
de 1 para 2 (1 ∶ 2).
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
48
A proporção por representar a igualdade entre 
duas razões, está relacionada a frações equivalentes.
Contudo as razões ( 490 )/40 e ( 70 )/10 não são pro-
porcionais,
Pois, 
Sobre frações equivalentes?
Acesse o QR Code e assista o vídeo 
do Youtube: Matemática | FRAÇÕES 
EQUIVALENTES | Ensino fundamental 
| SEDUC em ação.
▸Propriedade fundamental da proporção
Toda proporção possui, no mínimo, quatro termos: os 
meios e os extremos.
Os números 4, 12, 5 e 15 são os termos dessa propor-
ção sendo que 4 e 15 são os termos dos extremos e 12 e 5 
são os termos dos meios.
A propriedade fundamental da proporção diz que “O 
produto dos meios é igual ao produto dos extremos”.
Portanto, se pegarmos essa proporção e aplicarmos 
essa propriedade iremos obter o seguinte resultado:
• Produto dos termos dos meios: 4 ∙ 15 = 60
• Produto dos termos dos extremos: 12 ∙ 5 = 60
ATIVIDADES
Professor(a), na atividade 1, o objetivo é que o(a) estu-
dante desenvolva a habilidade de identifi car a proporcio-
nalidade entre as razões, por meio da propriedade funda-
mental da proporção.
1. Identifique se as razões são proporcionais.
Sugestão de solução:
a) Aplicando a propriedade fundamental das proporções, 
temos
11 ∙ 49 = 539
7 ∙ 77 = 539
Logo, 
11 ∙ 49 = 7 ∙ 77
Portanto, as razões são proporcionais.
b) Aplicando a propriedade fundamental das proporções, 
temos
232 ∙ 41 = 9512
123 ∙ 58 = 7134
232 ∙ 41 ≠ 123 ∙ 58
Portanto, as razões não são proporcionais.
Professor(a), na atividade 2, o objetivo é que o(a) estu-
dante desenvolva a habilidade de calcular o valor de um 
dos termos da razão utilizando a propriedade fundamen-
tal da proporção.
2. Sabendo que as razões são proporcionais, calcule o va-
lor de x.
Sugestão de solução:
a) Como as razões são proporcionais, então podemos 
aplicar a propriedade fundamental das proporções, assim
87 ∙ x = 15 ∙ 29
87x = 435
b) Como as razões são proporcionais, então podemos 
aplicar a propriedade fundamental das proporções, assim
19 ∙ x = 6 ∙ (3x + 2)
19x = 18x + 12
19x – 18x=12
x = 12
REVISITANDO A MATRIZ
Professor(a), os itens, a seguir, avaliam se os(as) estu-
dantes desenvolveram parte das habilidades previstas 
no descritor D29* da matriz SAEB do 9º ano – Resol-
ver problema que envolva variação proporcional entre 
grandezas.
Caro(a) estudante, neste momento vamos exercitar 
a habilidade de resolver problema que envolva varia-
ção proporcional entre grandezas. Fique atento a sua 
resolução e marque apenas uma alternativa.
Item 1. (CAED 2024) Observe as frações apresentadas 
no quadro abaixo
Qual dessas frações é equivalente a ? 
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
49
Gabarito: B
Sugestão de solução:
Portanto, a fração que é equivalente a
Item 2. Observe, nos quadros, a seguir, as frações que 
representam as quantidades de roupas masculinas, por 
tipo, em relação à quantidade total de roupas masculi-
nas nessa loja.
Qual dessas frações corresponde ao tipo de roupa mas-
culina e é equivalente a ?
(A) Camisa (C) Bermuda
(B) Camiseta (D) Calça
Gabarito: C
Sugestão de solução:
Portanto, a fração que é equivalente a é .
Item 3. (CAED 2024) Observe abaixo as frações que ex-
pressam a razão da quantidade de cada tipo de carne prepa-
rada no restaurante de Rosana, em quilograma, em relação 
à quantidade total disponível em seu estoque de carnes.
Entre esses tipos, as mesmas quantidades de carne estão 
representadas pelas frações
Gabarito: A
Sugestão de solução:
Portanto, as mesmas quantidades de carne estão repre-
sentadas pelas frações e ∙
Item 4. Observe as frações
Qual o valor de x, para que as razões sejam proporcionais?
(A) 108 (C) 137
(B) 135 (D) 162
Gabarito: C
Sugestão de solução:
Aplicando o teorema fundamental da proporção, temos
Vamos avançar?
Ao se deslocar pela cidade, você já se deparou com 
dois objetos que possuem faces formadas pelas mesmas 
formas geométricas? Ao buscar alguma similaridade en-
tre esses objetos, suas faces podem ser: iguais, semelhan-
tes ou totalmente diferentes. 
Quando uma figura geométrica é modificada, ou mo-
vimentada, de modo a obter uma outra figura igual ou se-
melhante à original, dizemos que a figura passou por uma 
transformação geométrica, a qual pode ser dada de duas 
maneiras distintas: isometria ou homotetia.
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
50
I. A figura obtida é congruente à figura original;
 
Neste caso, denominados isometria, em que modifi-
camos a posição de uma figura no plano, produzindo sem-
pre figuras que têm a mesma forma e as mesmas medidas, 
ou seja, figuras congruentes à original.
II. A figura obtida mantém o formato da figura original, 
porém seu tamanho (proporção) é modificado.
 
Neste caso, denominados homotetia, em que a forma 
é mantida, mas as medidas são alteradas.
Quando se aplica a homotetia em alguma figura, as 
características principais, como a forma e os ângulos, são 
preservadas; mas o tamanho da figura sofre alterações, 
obtendo assim figuras semelhantes. Na matemática, a 
ideia de semelhança remete ao fato de duas figuras te-
rem o mesmo formato, mas sem necessariamente terem 
o mesmo tamanho.
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dizemos que dois triângulos são semelhantes quan-
do apresentam os ângulos correspondentes congruen-
tes e os lados correspondentes proporcionais.
Dois ângulos são considerados congruentes quan-
do possuem a mesma medida e, o símbolo de congru-
ência é dado por: ≡ .
Quando há uma relação de proporcionalidade entre 
as medidas dos lados correspondentes de dois triângu-
los, a razão entre essas medidas tem o mesmo valor, ou 
seja, é uma constante, a qual chamamos de razão de se-
melhança (k).
Considere os triângulos ABC e A’B’C’ na imagem, a seguir:
Esses triângulos são semelhantes?
Primeiramente, devemos verificar se os ângulos cor-
respondentes possuem as mesmas medidas, ou seja, se são 
congruentes. Analisando a imagem anterior, temos que
Logo, todos os ângulos correspondentes são con-
gruentes.
Ângulos de mesma medida são repre-
sentados pela mesma simbologia.
Vamos verificar se existe uma proporcionalidade en-
tre as medidas dos lados correspondentes, também cha-
mados de lados homólogos, que são os lados opostos aos 
ângulos correspondentes.
Desta forma, temos que os lados são proporcionais, 
pois as razões entre as medidas dos lados corresponden-
tes desses triângulos resultaramem um mesmo valor. 
Para indicar que os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhan-
tes usamos a seguinte notação: ∆ABC ~ ∆A’B’C’.
Exemplo 1: Verifique se os triângulos, a seguir, são se-
melhantes, utilizando a razão de semelhança.
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
51
Resolução:
Calculando as razões entre os lados correspondentes, temos:
Como as razões resultaram no mesmo valor (constante), a 
razão de semelhança k é igual a 4.
Exemplo 2: Observe os triângulos semelhantes e res-
ponda:
a) Calcule a razão de semelhança k.
b) O valor de k é menor ou maior que um, por quê?
Resolução:
a) Como foi informado que os triângulos são semelhantes, para 
encontrarmos o valor de k, basta calcularmos uma razão entre 
as medidas de dois lados correspondentes dos triângulos.
A razão de semelhança k é igual a 0,2.
b) O valor de k é menor que um, pois o ∆A’B’C’ é uma redução 
do ∆ABC.
Para verificarmos se dois triângulos 
são semelhantes não precisamos neces-
sariamente comparar as medidas dos três lados e dos 
três ângulos correspondentes.
Podemos verificar as semelhanças por meio dos se-
guintes casos:
▸ Casos de semelhança de Triângulos
1° Caso: Ângulo-Ângulo (AA)
Dois triângulos são semelhantes quando 2 pares de 
ângulos internos correspondentes são congruentes. 
Por exemplo:
Observe que m(BÂC)=58° e m(B' (A'C') = 58°.
E que, m(AB̂C) = 90° e m(A'B'C') = 90°.
Assim, pelo critério Ângulo-Ângulo (AA) os triângulos 
são semelhantes.
2° Caso: Lado-Lado-Lado (LLL)
Dois triângulos são semelhantes quando as medidas de 
seus 3 pares de lados correspondentes são proporcionais.
Por exemplo:
Neste critério de semelhança, para que os triângu-
los ∆ABC e ∆A'B'C' sejam semelhantes, os lados homó-
logos devem ser proporcionais. 
3° Caso: Lado-Ângulo-Lado (LAL)
Dois triângulos são semelhantes quando as medidas de 
2 pares de lados correspondentes são proporcionais e, 
os ângulos internos entre esses lados, são congruentes.
Por exemplo:
Para que os triângulos sejam semelhantes, a razão en-
tre as medidas dos lados A'C' e AC tem que ser igual à ra-
zão entre as medidas dos lados A'B' e AB, e os ângulos BÂC 
(compreendido entre os lados A'C' e AC e B'A'C' (compre-
endido entre os lados A'B' e AB) devem ser congruentes.
Verificando a proporcionalidade entre os lados cor-
respondentes do ∆ABC e do ∆A’B’C’, temos:
• lado A'B' correspondente ao lado AB;
• lado A'C' correspondente ao lado AC.
Verificando os ângulos, temos: 
Desta forma, pelo caso LAL os triângulos são seme-
lhantes.
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
52
Quando dois triângulos são semelhantes há uma relação 
entre a razão das medidas de seus perímetros e de suas 
áreas com a razão de semelhança.
ATIVIDADES
Professor(a), nas atividades 3 e 4, o objetivo é que o(a) estu-
dante desenvolva as habilidades de reconhecer e identificar 
os elementos necessários presentes nos casos de semelhan-
ça de triângulos (EF09MA12-A). Também é importante que 
o(a) estudante perceba que nos três casos de semelhança 
de triângulos apresentados, há sempre dois ou três elemen-
tos que devem ser observados e identificados em ambos os 
triângulos, envolvendo as medidas de seus lados e/ou ângu-
los. Como os lados correspondentes dos triângulos devem 
ser proporcionais é importante ressaltar a necessidade de 
calcular a razão de semelhança k, razão entre as medidas 
dos lados correspondentes e destacar que esse valor deve 
ser constante, caso ocorra semelhança. Ele(a) deve relacio-
nar o k com a quantidade de vezes que um triângulo é maior 
que outro (ampliação) ou com a quantidade de vezes que 
um triângulo é menor que outro (redução). 
3. Utilizando a razão de semelhança, verifique se há seme-
lhança entre os triângulos e, preencha a lacuna de acordo 
com as opções do quadro, a seguir.
a) ( )
b) ( )
c) ( )
d) ( )
e) ( )
Sugestão de solução:
a) (II)
O caso de semelhança a ser verificado é o Lado-Lado-La-
do. Então, temos:
Logo, os triângulos são semelhantes pelo caso LLL.
b) (IV)
O caso de semelhança a ser verificado é o Lado-Lado-La-
do. Então, temos:
Logo, os triângulos não são semelhantes.
c) (II ou III)
Há dois casos de semelhança que podemos verificar: La-
do-Lado-Lado e Lado-Ângulo-Lado.
Caso LLL:
Outra solução, caso LAL:
Os ângulos correspondentes são congruentes, medindo 
53°.
Verificando a proporção entre as medidas dos lados cor-
respondentes, temos
Logo, os triângulos são semelhantes.
d) (I)
O caso de semelhança a ser verificado é o Ângulo-Ângulo.
Como:
Logo, os triângulos são semelhantes.
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
53
e) (IV)
Não podemos afirmar, por meio dos casos de semelhança, 
que esses dois triângulos são semelhantes. Pois, eles não 
se enquadram em nenhum caso de semelhança, já que 
nem os ângulos e nem os lados são correspondentes.
4. Considere que os triângulos apresentados na figura 
são semelhantes e que as medidas dos lados estão em 
centímetros.
Responda:
a) Identifique o caso de semelhança. 
b) Calcule o valor da razão de semelhança k.
Sugestão de solução:
a) O caso de semelhança apresentado é o Lado-Ângulo-
-Lado.
b) Para calcularmos a razão de semelhança k, dividimos a 
medida de um lado do ∆A'B'C' pelo seu correspondente no 
∆ABC. Assim, 
A razão de semelhança k é igual a 2. 
REVISITANDO A MATRIZ
Professor(a), os itens, a seguir, avaliam se os(as) estu-
dantes desenvolveram as habilidades previstas no des-
critor D03 da matriz SAEB do 9º ano – Identifi car pro-
priedades de triângulos pela comparação de medidas 
de lados e ângulos.
Caro(a) estudante, neste momento vamos exercitar a 
habilidade de identificar propriedades de triângulos pela 
comparação de medidas de lados e ângulos. Fique atento 
a sua resolução e marque apenas uma alternativa.
• Observe os triângulos, a seguir, para responder aos 
itens 1 e 2.
Item 1. É correto afirmar que estes triângulos são seme-
lhantes pelo caso
(A) LLL. (C) AAL.
(B) LAL. (D) AAA.
Gabarito: D
Sugestão de solução
Caso Ângulo – Ângulo – Ângulo , ou seja, AAA.
Item 2. A medida dos lados AC e PQ, são, respectivamente
(A) 9 e 15. (C) 15 e 9.
(B) 9 e 18. (D) 18 e 9.
Gabarito: C
Sugestão de solução:
Como esses triângulos são semelhantes utilizamos a ra-
zão de semelhança, assim
Item 3. Observe os triângulos, a seguir.
É correto afirmar que estes triângulos são semelhantes 
pelo caso
(A) LLL. (C) AAL.
(B) LAL. (D) AAA.
Gabarito: B
Sugestão de solução:
Encontrando a razão de semelhança k, temos
Observando que o ângulo 110° é em comum, a ambos os 
triângulos, então o caso de semelhança é o Lado – Ângulo 
– Lado (LAL).
Vamos Sistematizar?
▸ Relação entre as medidas dos perímetros de triân-
gulos semelhantes
O perímetro (2p) de um polígono fornece a medida de 
seu contorno que é dada pela soma das medidas de todos 
os seus lados. 
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
54
Observe os triângulos retângulos semelhantes ABC e 
A’B’C’ representados na imagem, a seguir.
Observe que o ∆A'B'C' apresenta uma rotação em re-
lação ao ∆ABC, podemos sobrepô-los como ilustrado:
Esses triângulos são semelhantes?
Calculando os perímetros separadamente, temos
Para compararmos as medidas dos perímetros encon-
trados, a fim de identificarmos uma relação entre elas, 
calculamos a razão 2p por 2p'. Assim, 
Logo, o valor da medida do perímetro do ∆A'B'C' é o 
dobro do valor da medida do perímetro do ∆ABC já que as 
medidas de seus lados também valem o dobro das medi-
das dos lados do ∆ABC. Observe que o valor 2 encontrado 
é igual a razão de semelhança entre os lados correspon-
dentes dos ∆ABC e ∆A'B'C'. 
Sendo assim, temos aseguinte relação:
Sejam dois triângulos semelhantes de forma que a ra-
zão de semelhança entre eles seja igual a k, então a 
razão entre as medidas dos seus perímetros também 
será igual a k.
Logo, temos que:
Exemplo:
Sabendo que um triângulo tem lados de medidas 4 cm, 
2 cm e 3 cm, e um segundo triângulo, semelhante ao pri-
meiro, tem perímetro medindo 27 cm. Calcule as medidas 
dos lados do segundo triângulo.
Resolução:
Inicialmente devemos calcular a razão de semelhança k 
entre esses dois triângulos para sabermos a relação entre eles. 
Porém, não há como o k ser obtido pela razão entre as medi-
das dos lados correspondentes, pois não sabemos as medidas 
dos lados do segundo triângulo.
Analisando os dados fornecidos podemos associar a medi-
da do perímetro com o valor de k, assim
Adotando P1 e P2, respectivamente como, as medidas dos 
perímetros do primeiro e do segundo triângulo, temos:
 
Observe que o perímetro do segundo triângulo é três ve-
zes maior que o perímetro do primeiro triângulo (k=3).
Dessa forma, é possível verificar as proporções entre 
os lados.
Dessa forma, as medidas dos lados (d, e, f) são determina-
das como
d = k ∙ 3 = 3 ∙ 3 = 9
e = k ∙ 4 = 3 ∙ 4 = 12
f = k ∙ 2 = 3 ∙ 2 = 6
Portanto, o segundo triângulo possui lados de medidas 9, 
12 e 6 centímetros.
▸ Relação entre as medidas das áreas de triângulos 
semelhantes
Utilizando ainda os triângulos anteriores (∆ABC e 
∆A'B'C'), onde a razão de semelhança é igual a 2. Para en-
contrarmos a relação entre as medidas das áreas desses 
triângulos, devemos calcular a área (A) de cada um sepa-
radamente.
A área do triângulo é dada pelo produto da altura 
pela base, dividido por dois.
6
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
55
Calculando as medidas das áreas separadamente, te-
mos:
Logo, a razão entre as medidas das áreas destes triân-
gulos é igual a:
Assim, a medida da área do triângulo A'B'C' é quatro 
vezes maior que a medida da área do triângulo ABC. 
Dessa forma, existe a seguinte relação:
Sejam dois triângulos semelhantes, com razão de se-
melhança igual a k, então a razão entre as medidas de 
suas áreas será igual ao quadrado da razão de seme-
lhança (k2).
Assim, voltando a medidas dos triângulos, temos:
Logo,
ATIVIDADES
Professor(a), nas atividades 5 e 6, o objetivo é que o(a) 
estudante desenvolva a habilidade (EF09MA12-B) de re-
lacionar a razão de semelhança k com as razões entre as 
medidas dos perímetros e das áreas dos triângulos seme-
lhantes. Ele(a) deve perceber que nem sempre os triângu-
los semelhantes estarão posicionados da mesma forma, 
dê a ele(a) a possibilidade de pensar na sobreposição dos 
triângulos para melhor visualização dos lados e ângulos 
correspondentes.
5. Considere os triângulos semelhantes apresentados 
na figura, em que as medidas dos lados estão em centí-
metros.
Sabendo que o triângulo ∆ABC possui perímetro de 
medida 11,22 cm e área 5 cm2, calcule a medida do perí-
metro e da área do ∆A'B'C'.
Sugestão de solução:
Para calcularmos a razão de semelhança k, dividimos a 
medida de um lado do ∆A'B'C' pelo seu correspondente 
no ∆ABC. Assim, 
A razão de semelhança obtida é igual a 2. 
∆A'B'C': Perímetro → 2p' e área → A';
∆ABC: Perímetro → 2p e área → A.
Usando as relações apresentadas das medidas do períme-
tro e da área com o valor de k, temos:
O ∆A'B'C' apresenta perímetro medindo 22,44 cm e a 
área medindo 20 cm².
6. Considere os triângulos, a seguir.
Agora, responda:
a) É possível afirmar que estes triângulos são semelhan-
tes por algum caso de semelhança de triângulos? Qual?
b) Calcule o valor de x.
c) Calcule as razões entre as medidas dos perímetros e 
das áreas do triângulo menor pelo maior, usando as rela-
ções com a razão de semelhança k.
Sugestão de solução:
a) Sim, o caso que garante a semelhança é o Lado-Ângu-
lo-Lado (LAL). Pois, as medidas dos dois lados são propor-
cionais e os ângulos entre eles são congruentes. Observe:
Portanto, k é igual a 0,5.
b) Os triângulos são semelhantes, então temos 
Pela propriedade fundamental da proporção, temos
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
56
c) Como a razão entre os perímetros é igual a k, então bas-
ta calcularmos à razão entre as medidas dos lados corres-
pondentes. 
Já a razão entre as medidas das áreas é igual ao quadrado 
da razão de semelhança, logo:
Portanto, a razão entre as medidas dos perímetros é igual 
a 0,5 e a razão entre as medidas das áreas é igual a 0,25.
Na atividade 7, o objetivo é que o(a) estudante desenvol-
va a habilidade (EF09MA12-B) de relacionar as medidas 
das áreas de triângulos semelhantes, utilizando a razão de 
semelhança k.
7. Um triângulo X de área igual a 600 cm² foi reduzido origi-
nando assim um novo triângulo Y, semelhante ao triângulo 
inicial. A razão de semelhança utilizada para essa redução 
foi 2,5. Calcule a medida da área do triângulo reduzido. 
Sugestão de solução:
Para calcularmos a medida da área do triângulo após a re-
dução, devemos utilizar a relação entre a razão da medida 
das áreas com a razão de semelhança k. Denominando 
A(X) como a área do triângulo de 600 cm² e A(Y) como a 
área do triângulo reduzido, obtemos
A medida da área do triângulo reduzido é igual a 96 cm².
Nas atividades 8, 9 e 10, o objetivo é que o(a) estudante 
desenvolva a habilidade de resolver um problema envol-
vendo semelhança de triângulos de mais de uma forma. 
Comente com o(a) estudante que neste momento será 
utilizado equações polinomiais de 1º grau, com apenas 
uma incógnita.
Na atividade 8, em específico, destaque para ele(a) as 
duas formas de resolução: 
• Utilizando a propriedade fundamental da proporção;
• Utilizando o k para encontrar a relação de proporciona-
lidade entre as medidas dos lados.
8. Bruno deseja calcular a altura da caixa d’água de sua 
fazenda. Conversando com sua amiga Joaquina para en-
contrar uma forma de realizar os cálculos, eles se lembra-
ram das aulas de semelhança de triângulos. Para iniciar os 
cálculos, inicialmente, eles tiveram que coletar alguns da-
dos durante o dia. Eles observaram e mediram o compri-
mento da sombra de um pedaço de madeira, posicionada 
verticalmente, e da caixa d’água. Conforme ilustrado na 
imagem, a seguir:
Disponível em:www.google.com/amp/s/m.exercicios.mundoeducacao.uol.com.br/amp/exercicios-matematica/exercicios-sobre-semelhan-
ca-triangulos.htm. (Adaptado). Acesso em: 17 de mar. de 2022.
Qual foi o valor, aproximado, que Bruno e Joaquina obti-
veram da medida da altura da caixa d’água?
Sugestão de solução:
1ª solução: 
Calculando o valor da razão de semelhança k, temos
Então a razão de semelhança k é igual a aproximadamen-
te 5,667.
Para calcularmos a altura da caixa d’água, basta multipli-
carmos o lado correspondente à altura da caixa d’água 
por k:
1,4 ∙ k
1,4 ∙ 5,667 ≅ 7,93 
2ª solução: 
Podemos utilizar a proporção existente entre as medidas 
dos triângulos:
Onde h é a altura da caixa d’água.
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, 
temos:
Logo, a medida da altura da caixa d’água da fazenda de 
Bruno é, aproximadamente, 7,93 metros.
9. Fernanda desenhou dois triângulos semelhantes. O pri-
meiro tem o perímetro medindo 15 cm, e o segundo 90 
cm. Se as medidas dos lados do primeiro triângulo são 3 
cm, 5 cm e 7 cm, quais são as medidas dos lados do segun-
do triângulo?
Sugestão de solução:
Calculando a razão de semelhança k, utilizando os perí-
metros, obtemos
Ou seja, o segundo triângulo é seis vezes maior que o pri-
meiro triângulo.
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
57
Portanto, calculando as medidas dos lados do segundo 
triângulo, teremos:
3 ∙ k → 3 ∙ 6 = 18
5 ∙ k → 5 ∙ 6 = 30
7 ∙ k → 7 ∙ 6 = 42
O segundo triângulo tem medidas iguais a 18, 30 e 42 cm.
10. Na figura as medidas dos lados dos dois triânguloses-
tão em centímetros.
Os valores de x e y, em centímetros, são respectivamente 
iguais a 
(A) 3,5 e 5. (C) 5 e 7,5.
(B) 5 e 3,5. (D) 7,5 e 5.
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Encontrando os lados correspondentes entre os dois tri-
ângulos apresentados na figura, temos:
12,5 é correspondente a y;
x é correspondente a 3;
10 é correspondente a 4.
Para calcularmos os valores de x e y, 
podemos montar as seguintes pro-
porções.
Para x, obtemos Para y, obtemos
REVISITANDO A MATRIZ
Professor(a), os itens, a seguir, avaliam se os(as) estudan-
tes desenvolveram as habilidades previstas no descritor 
D03 da matriz SAEB do 9º ano – Identifi car proprieda-
des de triângulos pela comparação de medidas de lados 
e ângulos.
Caro(a) estudante, neste momento vamos exercitar a 
habilidade de identificar propriedades de triângulos pela 
comparação de medidas de lados e ângulos. Fique atento 
a sua resolução e marque apenas uma alternativa.
Item 1. Durante um momento do dia, a incidência do sol 
sobre um poste, projeta uma sombra com 2,4 m de com-
primento. Ao mesmo tempo, uma pessoa de 1,80 m de al-
tura, próxima ao poste, projeta uma sombra de 0,60 m de 
comprimento.
Qual é a altura, em metros, do poste?
(A) 4 (C) 6,9
(B) 6 (D) 7,2
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Representando a situação, é possível perceber o caso de 
semelhança entre os triângulos.
Os triângulos são semelhantes 
pelo caso AAA. Calculando a 
altura, utilizando os lados cor-
respondentes, temos
Portanto, a medida da altura do 
poste é 7,2 metros.
Item 2. (SAEPB) Para fazer as velas de sua miniatura de 
veleiro, um artesão contratou os serviços de uma costu-
reira. Ele solicitou que elas fossem produzidas em tecido 
de forma que os triângulos representados em cinza no 
desenho abaixo fossem semelhantes. O desenho abaixo 
representa o projeto do veleiro desse artesão com algu-
mas medidas indicadas.
Qual é a altura, em centímetros, da maior vela dessa mi-
niatura de veleiro? 
(A) 22,5 cm (C) 40 cm
(B) 37,5 cm (D) 45 cm
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Como 15 está para 10, assim como 
h está para 30, dessa forma
Portanto, a medida da altura da maior vela é de 45 cm.
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
58
Item 3. (CAED/Formativa – Adaptada) Observe a repre-
sentação de uma pista de Cooper, onde são indicadas al-
gumas medidas, em metros, e alguns ângulos.
Nessa ilustração, duas partes da pista são as únicas que 
não possuem suas medidas indicadas. Essas duas partes 
estão representadas pelos segmentos MO e NO.
Com base nessa figura, qual é a medida do comprimento 
total dessa pista, em metros?
(A) 540 (C) 810
(B) 660 (D) 960
Gabarito: C
Sugestão de solução
Os triângulos ∆MON e ∆ROS são semelhantes pelo caso 
ALA. Dessa forma,
Somando as medidas de todos os segmentos, obtemos
120 + 70 + 80 + 240 + 140 + 160 = 810
Portanto, a medida do comprimento total dessa pista é 
810 metros.
GRUPO DE ATIVIDADES 3 3
O grupo de habilidades 3 objetiva que o estudante se des-
loque do nível “Profi ciente” para o nível “Avançado”, as-
sim, além das habilidades anteriores citadas serão acres-
centadas outras habilidades, pois os estudantes que se 
encontram neste nível demonstram habilidades adequa-
das para avançarem. Então, para este terceiro grupo de 
habilidades (atividades), os estudantes provavelmente ao 
fi nal serão capazes de:
Dessa maneira, estima-se que para este terceiro grupo, 
os(as) estudantes sejam capazes de desenvolver as se-
guintes habilidades:
• (EF09MA14-A) Estabelecer o Teorema de Tales, por 
meio das relações de proporcionalidade envolvendo retas 
paralelas cortadas por secantes, para calcular distâncias 
inacessíveis e nas relações envolvendo semelhança de tri-
ângulos em problemas diversos.
Buscando o desenvolvimento pleno da habilidade no 2º 
corte temporal do 9° ano:
• (EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângu-
lo retângulo, entre elas o Teorema de Pitágoras, utilizan-
do, inclusive, a semelhança de triângulos. 
• (EF09MA14-B) Ler, interpretar, resolver e elaborar
problemas de aplicação do Teorema de Pitágoras ou das 
relações de proporcionalidade, envolvendo retas parale-
las cortadas por secantes.
E dos descritores da Matriz SAEB:
9° ano
D10 – Utilizar relações métricas do triângulo re-
tângulo para resolver problemas signifi cativos.
D29 – Resolver problema que envolva variação 
proporcional, direta ou inversa, entre grandezas.
o que precisamos 
saber?
TEOREMA DE TALES
Segundo o teorema de Tales, temos:
As intersecções de um feixe de retas paralelas (∥) por 
duas retas transversais formam segmentos proporcionais.
Observe a representação, a seguir.
Pelo Teorema de Tales, esses segmentos são propor-
cionais, ou seja, as razões entre eles são iguais.
Além disso, do Teorema de Tales decorrem as seguin-
tes proporções:
Professor(a) construa com o(a) estudante, no Geogebra, a 
seguinte demonstração do Teorema de Tales.
Observe o quadro, a seguir. 
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
59
Deslocamento da reta transversal q
Sobreposição de seu ponto D 
com o ponto A da reta trans-
versal p.
Sobreposição de seu ponto E 
com o ponto B da reta trans-
versal p.
Deslocamento da reta transversal p
Sobreposição de seu ponto A 
com o ponto D da reta trans-
versal q.
Sobreposição de seu ponto B 
com o ponto E da reta trans-
versal q.
Esses quatro triângulos formados são semelhantes pelo 
caso Ângulo-Ângulo, logo os ângulos correspondentes 
são congruentes e os lados homólogos são proporcionais. 
Em consequência disso, podemos escrever o resultado do 
teorema de Tales das seguintes maneiras:
▸ Teorema de Tales aplicado no triângulo
No triângulo ABC, traçamos uma reta r paralela ao 
lado BC. Assim, a reta r intercepta os lados AB e AC nos 
pontos M e P, respectivamente.
Se traçarmos pelo vértice A uma reta s, paralela à reta 
r, obteremos três retas paralelas (BC, r e s) e duas trans-
versais (AB e AC), conforme ilustrado na imagem, a seguir.
Pelo Teorema de Tales: 
Toda reta paralela a um lado de um triângulo que encon-
tra os outros dois lados em pontos distintos, determina 
sobre esses dois lados, segmentos proporcionais.
Logo, 
Exemplo:
Na figura RS ∥ BC. Vamos calcular o valor de x.
Pelo Teorema de Tales no triângulo, temos:
Resolvendo pela propriedade fundamental da pro-
porção:
4x ∙ (x + 1) = x ∙ (3x + 6)
4x2 + 4x = 3x2 + 6x
4x2 – 3x2 + 4x – 6x = 0
x2 – 2x = 0
x ∙ (x – 2) = 0 
Para o produto ser zero, um dos fatores da multiplica-
ção deve ser nulo. Logo,
x = 0 ou x – 2 = 0
 x = 2
Como x não pode ser nulo, por se tratar da medida de 
um dos segmentos (AR ou BR), então x é igual a 2.
ATIVIDADES
Nas atividades 1, 2 e 3, os objetivos são que o(a) estudante 
desenvolva a habilidade (EF09MA14-A) e calcule a medi-
da de um dos segmentos formados pelas intersecções de 
duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal.
1. Observe as retas paralelas r, s e t.
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
60
Podemos afirmar que x é, aproximadamente, igual a 
(A) 1,10. (C) 1,20.
(B) 1,18. (D) 1,25.
Gabarito: B
Sugestão de solução:
Para calcularmos o valor de x, utilizamos o Teorema de 
Tales relacionandos os lados correspondentes que nos 
fornece a proporção:
Resolvendo-a pela propriedade fundamental da propor-
ção, temos:
2. Observe o esboço dos terrenos, a seguir.
Sabendo que:
BC mede 34 metros;
EF mede 30 metros;
FG mede 20 metros;
GH mede 42 metros;
As respectivas medidas dos segmentos AB e CD, em me-
tros, são:
(A) 18 e 24,7. (C) 51 e 71,4.
(B) 44 e 56. (D) 56 e 82.
Gabarito: C
Sugestão de solução:
Os segmentos que ligam as ruas A e B são paralelos, logo, 
pelo Teorema de Tales, temos:
Portanto, as medidasdos segmentos AB e CD são, respec-
tivamente, 51 e 71,4 metros. 
3. Sobre o triângulo ABC foi traçado o segmento de reta 
DE, conforme a imagem, a seguir. 
Sabendo que o segmento DE é paralelo à base AC do triân-
gulo, então podemos afirmar que x é igual a
(A) 8,5. (C) 9,5.
(B) 9,0. (D) 10,0.
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Pelo Teorema de Tales aplicado no triângulo, temos a pro-
porção
REVISITANDO A MATRIZ
Professor(a), o item, a seguir, avalia se os(as) estudantes 
desenvolveram as habilidades previstas no descritor 
D29 da matriz SAEB do 9º ano – Resolver problema 
que envolva variação proporcional, direta ou inversa, 
entre grandezas.
Caro(a) estudante, neste momento vamos exercitar 
a habilidade de resolver problema que envolva variação 
proporcional, direta ou inversa, entre grandezas. Fique 
atento a sua resolução e marque apenas uma alternativa.
Item 1. (CAED – Adaptada) Naiara criou um projeto de 
canteiro para sua horta, utilizando três espaços distintos 
que serão separados por cercas paralelas. Observe um 
esboço desse canteiro apresentado na figura, onde estão 
indicadas algumas medidas desse projeto e, ainda, a aber-
tura em que será colocado um portão, indicada pela letra S.
Qual é a medida, em metros, do comprimento S que indica 
a abertura em que será colocado esse portão?
(A) 2,25 (C) 3,34
(B) 3 (D) 4
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
61
Gabarito: D
Sugestão de solução
Aplicando o Teorema de Tales, temos que: 3 está para S, 
assim como 7,5 está para 10.
Logo,
S = 4
Portanto, a medida do comprimento S que indica a aber-
tura em que será colocado esse portão é de 4 metros.
Vamos avançar?
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
As relações métricas relacionam as medidas dos ele-
mentos de um triângulo retângulo. O triângulo retângulo 
ABC, ilustrado na imagem a seguir, apresenta um lado de-
nominado hipotenusa (maior lado do triângulo e oposto 
ao ângulo reto) e, outros dois lados chamados de catetos. 
A soma dos ângulos internos de um triângulo qual-
quer resulta em 180°.
Ao traçarmos a altura (AH) do triângulo ABC relativa à hi-
potenusa, o lado a será segmentado em outros dois seg-
mentos, m e n. Observe:
A partir do ∆ABC podemos obter três triângulos re-
tângulos (ABC,HBA e HAC), como representado na ima-
gem, a seguir.
Note que os ∆ABC, ∆HBA e ∆HAC são semelhantes pelo 
caso de semelhança Ângulo-Ângulo. Assim, podemos ob-
ter as relações métricas no triângulo retângulo, utilizando 
semelhança de triângulos.
Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes 
(ΔABC ~ ΔHBA), temos as seguintes proporções:
Como (ΔABC ~ ΔHAC), encontramos as proporções:
Ainda da semelhança entre os triângulos HBA e HAC, 
obtemos as proporções:
Temos ainda que a soma das projeções m e n é igual à 
hipotenusa a, ou seja:
Por meio das proporções obtidas anteriormente, des-
tacamos as seguintes relações métricas no triângulo re-
tângulo:
 
Exemplo:
No triângulo retângulo, a seguir, calcule as medidas de 
seus lados representados por x e y.
 
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
62
Resolução:
Inicialmente, devemos encontrar as equações que relacio-
nam essas incógnitas aos valores numéricos das outras medi-
das fornecidas na imagem. Utilizando as relações métricas no 
triângulo retângulo, e relacionando-as ao triângulo fornecido, 
temos:
Primeiramente calculamos o valor da hipotenusa, que 
na figura está representado por y.
Usando a relação: 
a = m + n
Logo,
y = 9 + 3 
y = 12 
Para encontrar o valor de x, usaremos a relação:
b2 = a ∙ n
Substituindo, temos
Como o valor de x se refere a medida de um lado do 
triângulo, desconsideramos o valor negativo. Portanto, 
temos que x é igual a 6.
ATIVIDADES
Professor(a), na atividade 4, o objetivo é que o(a) estudan-
te desenvolva a habilidade de identificar os elementos do 
triângulo retângulo, associando cada um à sua medida.
4. Observe o triângulo ABC.
Indique as medidas de cada elemento, a seguir.
a) Hipotenusa:
b) Cateto menor:
c) Cateto maior:
d) Altura relativa à hipotenusa:
e) Projeção do menor cateto:
f) Projeção do maior cateto:
Sugestão de Solução:
a) Hipotenusa: 5 cm
b) Cateto menor: 3 cm
c) Cateto maior: 4 cm
d) Altura relativa à hipotenusa: 2,4 cm
e) Projeção do menor cateto: 1,8 cm
f) Projeção do maior cateto: 3,2 cm
Professor(a), na atividade 5, o objetivo é que o(a) estu-
dante desenvolva a habilidade de reconhecer as relações 
métricas envolvendo a hipotenusa, altura, os catetos e 
suas projeções em um triângulo retângulo. Assim como, 
calcular medidas desconhecidas a partir de medidas co-
nhecidas.
5. Verifique cada uma das relações métricas, apresenta-
das no quadro, no ∆ABC.
Sugestão de solução:
Identificando os elementos do triângulo retângulo, temos
Professor(a), nas atividades 6 a 9, o objetivo é que o(a) 
estudante desenvolva as habilidades de reconhecer e re-
solver problema envolvendo as relações métricas no tri-
ângulo retângulo.
6. A medida da altura relativa à hipotenusa de um triân-
gulo retângulo é 12 cm e uma das projeções mede 9 cm. 
Calcule a medida dos catetos desse triângulo retângulo.
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
63
Sugestão de solução:
Dados do enunciado
h = 12
n = 9
Inicialmente devemos calcular o valor da outra projeção 
usando a relação:
h2 = m ∙ n 
Assim, temos
Vamos encontrar o valor da hipotenusa, usando a relação:
a = m + n
a = 16 + 9 = 25
Agora é possível calcular o valor dos catetos usando as 
relações, ou seja,
7. Calcule as medidas das projeções de um triângulo re-
tângulo cuja hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos 
mede 5 cm.
Sugestão de solução:
Dados do enunciado
a = 13
b = 5
Usando as relações métricas que relacionam essas variá-
veis as projeções dos catetos, temos
Esse triângulo retângulo tem projeções de medidas 1,92 e 
11,08 centímetros, aproximadamente.
8. Utilizando as relações métricas, determine os valores 
de a, b, c e h no triângulo retângulo, a seguir.
Sugestão de solução:
Observe que as projeções dos catetos (m e n), são
m = 19 e n = 11
Usando as relações métricas no triângulo retângulo e 
substituindo as variáveis fornecidas no enunciado, temos
9. Qual é a medida da área de um triângulo retângulo 
cujas projeções ortogonais dos catetos, sobre a hipotenu-
sa, medem 3 e 12 centímetros? 
Sugestão de solução:
Inicialmente, calculamos a medida da altura (h) relativa à 
hipotenusa:
Em seguida, calculamos a medida da base (hipotenusa), 
que é a soma das projeções:
a = m + n
a = 12 + 3
a = 15
Calculamos a área do triângulo (A
t
) que é dada pelo pro-
duto da medida da base pela altura, dividido por 2. Assim,
A medida da área desse triângulo retângulo é 45 centíme-
tros quadrados.
REVISITANDO A MATRIZ
Professor(a), os itens, a seguir, avaliam se os(as) estu-
dantes desenvolveram as habilidades previstas no des-
critor D10 da matriz SAEB do 9º ano – Utilizar relações 
métricas do triângulo retângulo para resolver proble-
mas signifi cativos.
Caro(a) estudante, neste momento vamos exerci-
tar a habilidade de utilizar relações métricas do triân-
gulo retângulo para resolver problemas significativos. 
Fique atento a sua resolução e marque apenas uma 
alternativa.
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 9º Ano - Língua Portuguesa e Matemática - 2º Bimestre/2025
64
Item 1. (CAED – Adaptada) Ricardo, ao montar a estru-
tura metálica de uma barraca, verificou que, das nove has-
tes que a compõem, quatro hastes de mesmo comprimen-
to foram perdidas. Após algumas tentativas frustradas de 
localizá-las, ele decidiu fazer um esboço dessa barraca 
com algumas medidas dessas hastes. A figura representa 
o esboço dessa barraca, contendo algumas de suas medi-
das indicadas.
Ricardo, então, precisou solicitar a um serralheiro