Aula 3 - Treliça

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PEF2602 
Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
EP-USP FAU-USP
Sistemas Reticulados
PEF2602 
Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
2º semestre 2018
Treliças– I
(Aula 3 – 10/09/2018)
Professores 
Ruy Marcelo Pauletti, Leila Meneghetti Valverdes, Luís Antônio Bitencourt Jr.
2PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
Pontes em arcos treliçados sobre o rio Karun, Irã (2012)
Vão principal (300m)
3PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
Teliças Planas:
Módulo Básico - Triângulo 
Módulo básico de uma treliça plana (Triângulo)
Nó ideal: articulação Nó usual: rígido, mas com os eixos 
das barras convergindo para os nós 
4PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
5PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
6PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
7PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
8PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
(T) (T)
(T)
(T)
(T)
(C)
(C)
(C)
(C)
(C)
9PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
10PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
11PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
12PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
13PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
Treliça Pettit.
Treliça com banzo superior em partes inclinadas.
“Duas águas”
Treliça K
Treliça Baltimore.
Treliça “Duas águas”, 
sem montantes
14PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
 xM
P
a b
A B
Recordando das VIGAS:
Equilíbrio:
AV BV
AH
x
N
V
 xM
Os esforços solicitantes são 
determinados imaginando-se 
seções de corte genéricas!
TRELIÇAS – Método de Ritter
15PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
a
a 3a
4a
A B
Banzo Superior
Banzo Inferior
Diagonal
Montante
TRELIÇAS – Método de Ritter
16PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
a
a 3a
4a
TRELIÇAS – Método de Ritter
Corte de Ritter
1
P
3
4
P
4
P
2
3
A B
17PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
a
a
TRELIÇAS – Método de Ritter
1
P
3
4
P
2
3
A
Corte de Ritter
N2
N3
N1
1 2 3cos 0
i
Hi
F N N N   
 1 2 3
2
0
2
N N N  
2
3
sin 0
4
i
Vi
F P P N    
2
2
4
P
N  
1
4
P
N   3
3
4
P
N 
( ) 3
3
a a 0
4
i
Di
P
M N  
Compressão!
Compressão!
Tração!
Forças incógnitas 
saindo do corte!
D
18PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
a
a
TRELIÇAS – Método de Ritter
1
P
3
4
P
2
3
A
Corte de Ritter
N2
N3
N1

Forças incógnitas 
saindo do corte!
D
Notas:
• Até 3 barras podem 
ser determinadas por 
cada corte de Ritter!
• Podem ser cortadas 
quantas barras forem 
necessárias!
19PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
TRELIÇAS – Método dos Nós
1 2
3
4 5
3m
4m 4m
100kN
50kN
68,75kN31,25kN
50kN A BC
D
Cortes de Ritter em torno dos nós!
20PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
Corte de Ritter em torno do nó B:
2 5 cos 0
i
Hi
F N N    
2
5
68,75kN
B

N5
N2
3
sin
5
 
4
cos
5
 
2 5
4
5
N N 
5 sin 68,75 0
i
Vi
F N   
5
5
68,75 114,5833
3
N kN   
 2
4
114,5833 91,667
5
N kN     
Tração!
Compressão!
( ) 0
i
Bi
M  Trivial!  O Método dos nós gera apenas duas 
equações de equilíbrio de forças para cada nó!
21PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
Corte de Ritter em torno do nó C:
3 0
i
Vi
F N 
2
C
N3
N1
2 1 0
i
Hi
F N N  
Pode-se concluir por 
simples inspeção!
N2
1 2 91,667N N kN  
1
3
22PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
Nó A:
31,25kN
A

N4
N1
4 sin 31,25 0
i
Vi
F N   
Sobram 3 equações de equilíbrio 
nodal: que servem de verificação:
50kN
4
5
31,25 52,083
3
N kN   
• Equilíbrio horizontal do nó A
• Equilíbrio horizontal e vertical do nó D
23PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
1 2
3
4 5
3m
4m 4m
100kN
50kN
68,75kN31,25kN
50kN A C
D
[kN]
N1 +91,667
N2 +91,667
N3 0
N4 -52,3083
N5 -114,583
24PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
Dimensionamento:
e


1
E
210E GPa
lim 250e MPa  
2s  (coeficiente de segurança)
Tensão admissível:
lim 250 125
2
MPa
s

   
25PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
1. Barras Tracionadas:
N
A
  
1.1. Adotando barra circular, de diâmetro ‘d’:
3
6
4 4 91,667 10
0,0306 3,06
125 10
N
d m cm
 
 
   
 
2
4
d N
A


 
d
26PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
1.2. Escolha de um perfil comercial: d
t
3
4 2 2
6
91,667 10
7,33 10 7,33
125 10
N
A m cm

    

Catálogo Vallourec & Mannesmann:
27PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
2. Barras Comprimidas:
2.1. Adotando seção quadrada maciça, de lado ‘a’:
2A a
1º Critério: Tensão Normal:
a
a4
12
a
I 
max
max
cN
A
  
(Nota: não é uma escolha prática, é apenas para exercitar as fórmulas!)
max 114,4583
cN kN 
3
6
2
114,4583 10
125 10
a

 
  
3
6
114,4583 10
0,0303 3,03
125 10
a m cm

  

28PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
2º Critério: Estabilidade
critPN
s

critP
critP
2 2
2 2crit
fl
EI EI
P
 
 
2. Barras Comprimidas:
2
max 2
1c EIN
s


24
max
212
cs Na
I
E
 
2 2 3
max4 4
2 2 9
12 12 2 5 114,4583 10
0,076
210 10
cs N
a m
E 
   
  
 
7,6a cm a
a
29PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
2. Barras Comprimidas:
2.1. Escolha de um perfil comercial: d
t
1º Critério: Tensão Normal: max
cN
A
 max
cN
A


3
4 2 2
6
114,4583 10
9,157 10 9,157
125 10
A m cm
 
   

2º Critério: Estabilidade
2
max 2
1c EIN
s


2
max
2
cs N
I
E

2 3
6 4 4
2 9
2 5 114,4583 10
2,76 10 276
210 10
I m cm

     
 
30PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
2.1. Escolha de um perfil comercial:
29,157A cm
4276I cm
2. Barras Comprimidas:
d
t
31PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
Regra de Maxwell para Treliças Planas
* Cada nó de uma treliça plana fornece 2 equações de equilíbrio
- Logo, sendo n o número de nós, tem-se um total de 2n equações de equilíbrio;
* Cada barra treliça fornece 1 esforço solicitante, inicialmente incógnito
- Logo, sendo b o número de barras tem-se um total de b esforços incógnitos;
* Cada vínculo externo também fornece uma incógnita!
- Logo, sendo r o número de vínculos, tem-se um total de incógnitas igual (r+b)
32PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
Regra de Maxwell para Treliças Planas
* Uma condição necessária (mas não suficiente) para que uma treliça seja 
isostática, isto é, possa ser resolvida exclusivamente por equações de equilíbrio é 
que 2n b r 
* Se , existe um excesso de incógnitas, e novas equações devem ser 
acrescentadas para a resolução do problema – a treliça é hiperestática! 
2b r n 
* Se , existe uma carência de vínculos (internos e externos), e a treliça é 
hipostática (apresenta movimentos de corpo rígido ou mecanismos!)
2b r n 
Regra de Maxwell
(para treliças planas):
• Rearranjando e resumindo: 
 treliça hiperestática
 treli
 
2 
 
ça isostática
 treliça hipostática
r
n b r
r


 



 
• Observa-se que a regra de Maxwell apresenta condições necessárias, mas não 
suficientes, para os casos de treliças isostáticas ou hiperestáticas, pois o arranjo das 
barras e vínculos pode ser deficiente!
33PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
Regra de Maxwell para Treliças Planas
Exercício. Determineo grau de estaticidade das treliças esquematizadas a seguir. 
(Adaptado de Leet et al., Fundamentos da análise Estrutural, 3ª Edição, McGraw-Hill, 2009).
2 2 4 5 3
3
n b
r
    

 treliça 2 vezes hiperestática
( 1 grau de hiperestaticidade interna 
 + 1 grau de hiperestaticidade exter 
 
na)

 treliça isostática
2 2 8 14 2
4
n b
r
    

 treliça isost ática 
2 2 9 14 4
4
n b
r
    

34PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
Regra de Maxwell para Treliças Planas
Exercício. Determine o grau de estaticidade das treliças esquematizadas a seguir. 
(Adaptado de Leet et al., Fundamentos da análise Estrutural, 3ª Edição, McGraw-Hill, 2009).
Consulte respostas comentadas nessa referencia!
2 2 6 6 6
3 2 6
n b
r
    
   treliça isostática
2 2 9 14 4
1 2 1 4
n b
r
    
   
 treliça isostática
35PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
Regra de Maxwell para Treliças Planas
Exercício. Determine o grau de estaticidade das treliças esquematizadas a seguir. 
(Adaptado de Leet et al., Fundamentos da análise Estrutural, 3ª Edição, McGraw-Hill, 2009).
Consulte respostas comentadas nessa referencia!
2 2 6 8 4
4 2 4
n b
r
    
  
 a treliça atende a Regra de Maxwell, e parece isostática, mas 
 apresenta um mecanismo infinitesimal, que a torma indeterminada 
 para pequenos deslocamentos...

2 2 10 16 4
2 1 1 4
n b
r
    
   
 a treliça atende a Regra de Maxwell, mas apresenta um 
 mecanismo, que a torma 1 vez internamente hipostática.

2 2 9 14 4
2 2 4
n b
r
    
  
 a treliça atende a Regra de Maxwell, e parece isostática, mas 
 apresenta um mecanismo infinitesimal, que a torma indeterminada 
 para pequenos deslocamentos...

36PEF2602 : Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
Regra de Maxwell para Treliças Planas
Exercício. Determine o grau de estaticidade das treliças esquematizadas a seguir. 
(Adaptado de Leet et al., Fundamentos da análise Estrutural, 3ª Edição, McGraw-Hill, 2009).
Consulte respostas comentadas nessa referência!
2 2 10 21 1
2 1 3
n b
r
     
  
 treliça quatro vezes internamente hiperestática,
 mas externamente isostática.

2 2 5 6 4
2 1 3
n b
r
    
  
 treliça uma vez hipostática
2 2 6 9 3
2 1 3
n b
r
    
  
 a treliça atende a Regra de Maxwell, e parece isostática, mas 
 apresenta um mecanismo infinitesimal, que a torma indeterminada 
 para pequenos deslocamentos...
