08-V2-MECSOL-BRAGANCA-Caracteristicas-Geometricas

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Mecânica dos Sólidos
Características Geométricas
de 
Superfícies Planas 
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Área de Superfícies Planas (A)
• Área – é uma grandeza física que representa a quantidade de 
superfície de uma região. 
A
X
Y
dA
dX
dY
Perímetro: Y = Y (X)
A
A dA= 
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(curva fechada)
Área de Figuras Primitivas(A)
h
b
A = b h
RETÂNGULO
h
b
TRIÂNGULO
A = b h/2
R CÍRCULO
A = π R2
D = 2 R
A = π D2/4
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Área de Perfis Metálicos Comerciais (A)
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AÇO
Perfil Canal Perfil Tê
Perfil Cantoneira
Perfil Cantoneira
Perfil Canal
Perfil Canal
Perfil I
Laminado Laminado
Laminado
Laminado
Laminado
Chapa dobrada
Chapa dobrada
Área de Perfis Metálicos Comerciais (A)
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ALUMÍNIO
Perfil Extrudado
Área de Perfis Plásticos Comerciais (A)
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PVC
Perfil Extrudado
Área de Perfis de Madeira Comerciais (A)
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Madeira
Perfil Laminado
Área de Perfis Compostos Comerciais (A)
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Madeira e PVC
Perfil Extrudado e Laminado
Área de Perfis Comerciais (A)
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TABELA DE CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS FORNECIDA POR FABRICANTE
Perfil Laminado de Aço
Cálculo de Área de Figuras Compostas (A)
• Algumas figuras podem ser segmentadas em figuras menores.
1
2
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ALMA
MESA
1
2 3
1
3
2
Cálculo de Área de Figuras Compostas (A)
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Exercício 1 – Calcular a Área da Figura 
Unidades em 
Centímetros
40
5
Z
Y
4010 
100
Seção Transversal
1
2
Figura Ai (cm
2)
1
2
Total
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança PinheiroPerfil Tê
Exercício 1 – Calcular a Área da Figura 
Unidades em 
Centímetros
40
5
Z
Y
4010 
100
Seção Transversal
1
2
Figura Ai (cm
2)
1 90 x 5 = 450
2 10 x 100 = 1.000
Total 1.450
A = 1.450 cm2
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SOLUÇÃO
Perfil Tê
Exercício 2 – Calcular a Área da Figura 
Figura Ai (mm
2)
1
2
3
Total
z
y
40
40
unidades em milímetros
Seção Transversal
10
20
30
10
1010
1
2
3
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Perfil Retangular Vazado
Exercício 2 – Calcular a Área da Figura 
Figura Ai (mm
2)
1 60 x 110 = 6.600
2 - (40 x 20) = - 800
3 - (40 x 30) = - 1.200
Total 4.600
z
y
40
40
unidades em milímetros
Seção Transversal
10
20
30
10
1010
1
2
3
A = 4.600 mm2
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SOLUÇÃO
Perfil Retangular Vazado
Exercício 3 – Calcular a Área da Figura 
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SOLUÇÃO
405 5
unidades em milímetros
Figura Ai (mm
2)
1
2
Total
Perfil Circular Vazado
1
2
Exercício 3 – Calcular a Área da Figura 
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SOLUÇÃO
405 5
unidades em milímetros
Figura Ai (mm
2)
1 π (50)2/4 = 1.963,50
2 - π (40)2/4 = - 1.256,64
Total 706,86
A = 706,86 mm2
Perfil Circular Vazado
1
2
Centro de Gravidade 
• Centro de Gravidade de Superfície Plana – é uma grandeza física definida pelo encontro de todos 
os eixos de gravidade da superfície plana. Esta posição em um plano parametrizado por dois eixos 
ortogonais é dada por um par ordenado. 
(X; Y)CG
A
X
Y
dA
X
Y
X
A
Ms YdA= 
X1
Y1
X Y
CG
Momento Estático da Superfície 
em Relação ao Eixo X →
Y
A
Ms XdA= 
Momento Estático da Superfície 
em Relação ao Eixo Y →
Teorema de Varignon
x
X
A
Ms
Ms YdA YA Y
A
= = → =
Y
Y
A
Ms
Ms XdA XA X
A
= = → =
ou CG (XCG; YCG)
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Centro de Gravidade (X; Y)CG ou CG (XCG; YCG)
X
Y
YCG > 0 → MsX > 0
X1CG
Y1
X
Y
YCG < 0 → MsX < 0
X1CG
Y1
Y
YCG = 0 → MsX = 0
X = X1
CG
Y1
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Exercício 1 – Calcular a posição do Centro de Gravidade da Figura 
Unidades em 
Centímetros
30
10
Z
Y
3010 
80
Seção Transversal
1
2
Figura Ai (cm
2) YCGi (cm) Mszi(cm
3)
1
2
Total
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança PinheiroPerfil Tê
Exercício 1 – Calcular a posição do Centro de Gravidade da Figura 
Unidades em 
Centímetros
30
10
Z
Y = Y1
3010 
80
Seção Transversal
1
2
Figura Ai (cm
2) YCGi (cm) Mszi(cm
3)
1 70 x 10 = 
700
10/2 + 80 
= 85
59.500
2 10 x 80 = 
800
80/2 = 40 32.000
Total 1.500 - 91.500
YCG= ΣMszi/ΣAi= 91.500/1.500 = 61 cm
YCG= 61 cm
Z1
CG
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SOLUÇÃO
Perfil Tê
Exercício 2 – Calcular a posição do Centro de Gravidade da Figura 
X
40
60
10
Y
1
2
10
Unidades em 
Centímetros
Figura Ai (cm
2) YCGi (cm) Msxi
(cm3)
XCGi (cm) Msyi
(cm3)
1
2
Total
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança PinheiroPerfil Cantoneira
Exercício 2 – Calcular a posição do Centro de Gravidade da Figura 
Figura Ai (cm
2) YCGi (cm) Msxi
(cm3)
XCGi (cm) Msyi
(cm3)
1 10 x 30 = 300 30/2 + 10 = 25 7.500 10/2 = 5 1.500
2 60 x 10 = 600 10/2 = 5 3.000 60/2 = 30 18.000
Total 900 - 10.500 - 19.500
YCG= ΣMsxi/ΣAi= 10.500/900 = 11,67 cm
X
Y1
40
60
10
X1
Y
YCG = 11,67 cm
XCG = 21,67 cm 
1
2
10
Unidades em 
Centímetros
XCG= ΣMsyi/ΣAi= 19.500/900 = 21,67 cm
CG
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SOLUÇÃO
Perfil Cantoneira
Momento de Inércia de Superfícies Planas (I) 
• Momento de Inércia de Superfícies Planas, ou Momento Segundo de Área – é uma grandeza 
física definida pelo produto da área pelo quadrado da distância até o eixo referencial. 
A
X
Y
dA
X
Yρ
Momento de Inércia em relação ao eixo referencial (X): 
Momento de Inércia em relação ao eixo referencial (Y): 
Momento de Inércia em relação ao polo (O): 
O
2
X
A
I Y dA= 
2
Y
A
I X dA= 
2
O
A
I dA= 
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Momento de Inércia de Superfícies Planas (I) 
A
X
Y
dA
X
Yρ
O
2
X
A
I Y dA= 
2
Y
A
I X dA= 
2 2 2 2 2( )O Y X
A A A A
I dA X Y dA X dA Y dA I I= = + = + = +   
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Momento de Inércia de Seção Retangular
2
x
A
I y dA= 
Momento de Inércia do Retângulo em relação ao eixo referencial (X): 
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Exemplo: Momento de Inércia de Seção Retangular
 3 3 3
2 2
0 3 3 3
y h
y h
x
y
A y o
y h b h
I y dA y b dy b b
=
=
=
=
   
= = = = =   
    
 
Momento de Inércia do Retângulo em relação ao eixo referencial (X): 
dy
dA = b dy
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SOLUÇÃO
Exemplo: Momento de Inércia de Seção Retangular
 3 3 3
2 2
0 3 3 3
y h
y h
x
y
A y o
y h b h
I y dA y b dy b b
=
=
=
=
   
= = = = =   
    
 
1
2
1x
A
I y dA= 
Momento de Inércia do Retângulo em relação ao eixo referencial (X): 
Momento de Inércia do Retângulo em relação ao eixo referencial (X1): 
dy
dA = b dy
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Exemplo: Momento de Inércia de Seção Retangular
 3 3 3
2 2
0 3 3 3
y h
y h
x
y
A y o
y h b h
I y dA y b dy b b
=
=
=
=
   
= = = = =   
    
 
 
1
1
1
1
1
3 33 3 3 32
2 2 12
1 1
2
2
3 3 2 2 3 8 8 12
h
yh
y
hx
y h
A y
y b h h b h h bh
I y dA y b dy b
=
=
=−
=−
 
       = = = = − − = + =                 
 
Momento de Inércia do Retângulo em relação ao eixo referencial (X): 
Momento de Inércia do Retângulo em relação ao eixo referencial (X1): 
dy
dA = b dy
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SOLUÇÃO
Teorema dos Eixos Paralelos ou Teorema de 
Steiner
Na superfície plana da figura foi traçado
um eixo (Z) paralelo ao eixo (Z1), que
passa pelo centro de gravidade da área (A).
A distância entre esses doiseixos paralelos
é (d).
Y1
Y1
Z1
Z
d
Y
dA
Y
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Teorema dos Eixos Paralelos ou Teorema de 
Steiner ( ) ( )22 2 2 2 21 1 1 1 12 2Z
A A A A A A
I y dA y d dA y d y d dA y dA d dA y d dA= = + = + + = + +     
 
1
2 2 2
1 1 12 2Z Z S Z
A A A
I y dA d dA d y dA I Ad dM= + + = + +  
Como o eixo Z1 passa pelo centro de gravidade da
superfície, o momento estático em relação a esse eixo
é nulo → MS Z1 = 0
IZ = IZ1 + A d
2
Y1
Y1
Z1
Z
d
Y
dA Y
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Exercício 1 – Calcular o momento de inércia da Figura em relação 
aos eixos que passam pelo seu centro de gravidade 
Unidades em 
Centímetros
40
10
Z
405
40
Seção Transversal
1
2
Figura Ai (cm
2) YCGi (cm) Mszi(cm
3)
1
2
Total
Figura dYi = YCG - Yi
(cm)
Ai dYi
2
(cm4)
Iz1i(cm
4) Iy1i(cm
4)
1
2
Total
YCG
Z1
CG
Y = Y1
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança PinheiroPerfil Tê
Exercício 1 – Calcular o momento de inércia da Figura em relação 
aos eixos que passam pelo seu centro de gravidade 
Unidades em 
Centímetros
40
10
Z
405
40
Seção Transversal
1
2
Figura Ai (cm
2) YCGi (cm) Mszi(cm
3)
1 85 x 10 = 
850
10/2 + 40 
= 45
38.250
2 5 x 40 = 
200
40/2 = 20 4.000
Total 1.050 - 42.250
Figura dYi = YCG - Yi
(cm)
Ai dYi
2
(cm4)
Iz1i(cm
4) Iy1i(cm
4)
1
2
Total
YCG = 40,24 cm
Z1
CG
Y = Y1
YCG= ΣMszi/ΣAi= 42.250/1.050 = 40,24 cm
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SOLUÇÃO
Perfil Tê
Exercício 1 – Calcular o momento de inércia da Figura em relação 
aos eixos que passam pelo seu centro de gravidade 
Unidades em 
Centímetros
40
10
Z
405
40
Seção Transversal
1
2
Figura Ai (cm
2) YCGi (cm) Mszi(cm
3)
1 85 x 10 = 
850
10/2 + 40 
= 45
38.250
2 5 x 40 = 
200
40/2 = 20 4.000
Total 1.050 - 42.250
Figura dYi = YCG - Yi
(cm)
Ai dYi
2
(cm4)
Iz1i(cm
4) Iy1i(cm
4)
1 40,24 – 45 = 
-4,76
19.258,96 85 x 103/12 
= 7.083,33
10 x 853/12 = 
511.770,83 
2 40,24 – 20 = 
20,24
81.931,52 5 x 403/12 = 
26.666,67
40 x 53/12 = 
416,67 
Total - 101.190,48 33.750 512.187,50
YCG = 40,24 cm
Z1
CG
Y = Y1
YCG= ΣMszi/ΣAi= 42.250/1.050 = 40,24 cm
Iz1= 101.190,48 + 33.750 = 134.940,48 cm
4
Iy1= 512.187,50 cm
4
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
SOLUÇÃO
Perfil Tê
Exercício 2 – Calcular o momento de inércia da Figura em relação 
aos eixos que passam pelo seu centro de gravidade 
40
40
unidades em milímetros
Seção Transversal
10
30
30
10
1010
Y = Y1
Z = Z1
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança PinheiroPerfil Retangular Vazado
Exercício 2 – Calcular o momento de inércia da Figura em relação 
aos eixos que passam pelo seu centro de gravidade 
40
40
unidades em milímetros
Seção Transversal
10
30
30
10
1010
Y = Y1
Z = Z1
1
2
3
IZ1= (60 x 120
3/ 12) – 2 [ (40 x 303/ 12) + (40 x 30) x (30/2 + 40/2)2 ] 
IZ1= 8.640.000 – 2 [ 90.000 + 1.470.000] 
IZ1= 8.640.000 – 3.120.000 = 5.520.000 mm
4
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SOLUÇÃO
dY
dY
A
Perfil Retangular Vazado
Exercício 2 – Calcular o momento de inércia da Figura em relação 
aos eixos que passam pelo seu centro de gravidade 
40
40
unidades em milímetros
Seção Transversal
10
30
30
10
1010
Y = Y1
Z = Z1
1
2
3
IY1= (120 x 60
3/ 12) – 2 (30 x 403/ 12) 
IY1= 2.160.000 – 2 (160.000) 
IY1= 2.160.000 – 320.000 = 1.840.000 mm
4
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SOLUÇÃO
dZ = 0
Exercício 3 – Calcular o momento de inércia da Figura em relação 
aos eixos que passam pelo seu centro de gravidade 
60
40
unidades em milímetros
Seção Transversal
10
20
20
10
1010
Y = Y1
Z = Z1
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança PinheiroPerfil Retangular Vazado
Exercício 3 – Calcular o momento de inércia da Figura em relação 
aos eixos que passam pelo seu centro de gravidade 
Y = Y1
Z = Z160
40
unidades em milímetros
Seção Transversal
10
20
20
10
1010
1
2
IZ1= (60 x 120
3/ 12) – (40 x 603/ 12) 
IZ1= 8.640.000 – 720.000 = 7.920.000 mm
4
IY1= (120 x 60
3/ 12) – (60 x 403/ 12) 
IY1= 2.160.000 – 320.000 = 1.840.000 mm
4
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SOLUÇÃO
Perfil Retangular Vazado
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Tabela de Características Geométricas de Superfícies Planas 
fornecida pelo Fabricante
PRODUTO INDUSTRIAL SIDERÚRGICO
Perfil Canal, U ou C
Módulo Resistente Elástico de Superfícies Planas (W) 
• Módulo Resistente Elástico de Superfícies Planas – é uma grandeza física definida pela razão
entre o momento de inércia e a distância até a fibra mais externa. Sua dimensão é a unidade de
comprimento elevada ao cubo.
Módulo Resistente Elástico 
Superior (Wx1sup): 
1
1sup
1 sup
X
X
máx
I
W
Y
=
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A
X
Y
dA
X
Y
X1
Y1
X Y
CG Módulo Resistente Elástico 
Inferior (Wx1inf): 
1
1inf
1 inf
X
X
máx
I
W
Y
=
Módulo Resistente Elástico 
Esquerdo (Wy1esq): 
1
1
1
Y
Y esq
máxesq
I
W
X
=
Módulo Resistente Elástico 
Direito (Wy1dir): 
1
1
1
Y
Y dir
máxdir
I
W
X
=
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AS BARRAS SUJEITAS A FLEXÃO TÊM TENSÃO NORMAL DADA PELAS EXPRESSÕES (1) E (2).
Módulo Resistente Elástico de Superfícies Planas (W) 
1 1
1 supsup
1 1sup
X X
máxMÁX
X X
M M
Y
I W

  
= =     
   
1 1
1 infinf
1 1inf
X X
máxMÁX
X X
M M
Y
I W

   
= =   
   
...(1)
...(2)
Raio de Giração de Superfícies Planas (r) 
• Raio de Giração de Superfícies Planas – é uma grandeza física definida pela definida pela raiz
quadrada da divisão do momento de inércia pela área da superfície plana. O raio de giração é
conceituado como sendo distância em relação a um eixo de referência, que seria colocada uma
área que fosse transformada em uma linha, de forma que essa linha tivesse o mesmo momento
de inércia que a área original em relação a esse eixo de referência. Sua dimensão é a unidade de
comprimento.
Raio de Giração em torno do Eixo X1 (rx1 ): 
1
1
X
X
I
r
A
=
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A
X
Y
dA
X
Y
X1
Y1
X Y
CG
Raio de Giração em torno do Eixo Y1 (ry1 ): 
1
1
Y
Y
I
r
A
=
Raio de Giração de Superfícies Planas (r) 
• O momento de inércia da figura original em relação ao eixo (X1) deve ser o
mesmo que o momento de inércia de uma linha com mesma área (A) que a da
figura original e afastada da distância (rX1) do eixo (X1).
1
1
X
X
I
r
A
=
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2 2
1 1 1X XI y dA r dA= = 
2 2
1 1 1X X XI r dA r A= =
2 1
1
X
X
I
r
A
=
Raio de Giração de Superfícies Planas (r) 
• O momento de inércia da figura original em relação ao eixo (Y1) deve ser o
mesmo que o momento de inércia de uma linha com mesma área (A) que a da
figura original e afastada da distância (rY1) do eixo (Y1).
1
1
Y
Y
I
r
A
=
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
2 2
1 1 1Y YI x dA r dA= = 
2 2
1 1 1Y Y YI r dA r A= =
2 1
1
Y
Y
I
r
A
=
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Raio de Giração de Superfícies Planas (r) 
BARRAS COMPRIMIDAS COM APOIOS IGUAIS NAS
EXTREMIDADES FLAMBAM (GIRAM) EM TORNO DO EIXO DE
MENOR RAIO DE GIRAÇÃO.
Exercício 1 – Calcular o módulo resistente elástico superior e inferior, bem como o raio
de giração da Figura em relação aos eixos que passam pelo seu centro de gravidade
Unidades em 
Centímetros
40
10
Z
405
40
Seção Transversal
1
2
YCG = 40,24 cm
Z1
CG
Y = Y1
Wz1sup = 13.825,87 cm
3
Iz1= 134.940,48 cm
4
Iy1= 512.187,50 cm
4
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
A = 1.050 cm2
SOLUÇÃO
Módulo Resistente Elástico Superior (Wz1sup): 
1
1sup
1 sup
134.940, 48
(50 40, 24)
Z
Z
máx
I
W
Y
= =
−
Módulo Resistente Elástico Inferior (Wz1inf): 
1
1inf
1 inf
134.940,48
40,24
Z
Z
máx
I
W
Y
= =
Wz1inf = 3.353,39 cm
3
Perfil Tê
Exercício 1 – Calcular o módulo resistente elástico superior e inferior,bem como o raio
de giração da Figura em relação aos eixos que passam pelo seu centro de gravidade
Unidades em 
Centímetros
40
10
Z
405
40
Seção Transversal
1
2
YCG = 40,24 cm
Z1
CG
Y = Y1
rZ1 = 11,34 cm
Iz1= 134.940,48 cm
4
Iy1= 512.187,50 cm
4
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
A = 1.050 cm2
SOLUÇÃO
Raio de Giração em torno do Eixo Z1 (rZ1 ): 
rY1 = 22,08 cm
Raio de Giração em torno do Eixo Y1 (rY1 ): 
1
1
134.940,48
1.050
Z
Z
I
r
A
= =
1
1
512.187,50
1.050
Y
Y
I
r
A
= =
Perfil Tê
Exercício 2 – Calcular o módulo resistente elástico superior e inferior, bem como o raio 
de giração da Figura em relação aos eixos que passam pelo seu centro de gravidade 
40
40
unidades em milímetros
Seção Transversal
10
30
30
10
1010
Y = Y1
Z = Z1
1
2
3
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Wz1sup = 92.000 cm
3
SOLUÇÃO
Módulo Resistente Elástico Superior (Wz1sup): 
1
1sup
1 sup
5.520.000
60
Z
Z
máx
I
W
Y
= =
Módulo Resistente Elástico Inferior (Wz1inf): 
1
1inf
1 inf
5.520.000
60
Z
Z
máx
I
W
Y
= =
Wz1inf = 92.000 cm
3
IY1= 1.840.000 mm
4
IZ1= 5.520.000 mm
4
A = 4.800 mm2
Perfil Retangular Vazado
Exercício 2 – Calcular o módulo resistente elástico superior e inferior, bem como o raio 
de giração da Figura em relação aos eixos que passam pelo seu centro de gravidade 
40
40
unidades em milímetros
Seção Transversal
10
30
30
10
1010
Y = Y1
Z = Z1
1
2
3
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
SOLUÇÃO
IY1= 1.840.000 mm
4
IZ1= 5.520.000 mm
4
A = 4.800 mm2
rZ1 = 33,91 cm
Raio de Giração em torno do Eixo Z1 (rZ1 ): 
rY1 = 19,58 cm
Raio de Giração em torno do Eixo Y1 (rY1 ): 
1
1
5.520.000
4.800
Z
Z
I
r
A
= =
1
1
1.840.000
4.800
Y
Y
I
r
A
= =
Perfil Retangular Vazado
	Slide 1
	Slide 2: Área de Superfícies Planas (A)
	Slide 3: Área de Figuras Primitivas(A)
	Slide 4: Área de Perfis Metálicos Comerciais (A)
	Slide 5: Área de Perfis Metálicos Comerciais (A)
	Slide 6: Área de Perfis Plásticos Comerciais (A)
	Slide 7: Área de Perfis de Madeira Comerciais (A)
	Slide 8: Área de Perfis Compostos Comerciais (A)
	Slide 9: Área de Perfis Comerciais (A)
	Slide 10: Cálculo de Área de Figuras Compostas (A)
	Slide 11
	Slide 12
	Slide 13
	Slide 14
	Slide 15
	Slide 16
	Slide 17
	Slide 18: Centro de Gravidade 
	Slide 19: Centro de Gravidade 
	Slide 20
	Slide 21
	Slide 22
	Slide 23
	Slide 24: Momento de Inércia de Superfícies Planas (I) 
	Slide 25: Momento de Inércia de Superfícies Planas (I) 
	Slide 26: Momento de Inércia de Seção Retangular
	Slide 27: Exemplo: Momento de Inércia de Seção Retangular
	Slide 28: Exemplo: Momento de Inércia de Seção Retangular
	Slide 29: Exemplo: Momento de Inércia de Seção Retangular
	Slide 30: Teorema dos Eixos Paralelos ou Teorema de Steiner 
	Slide 31: Teorema dos Eixos Paralelos ou Teorema de Steiner 
	Slide 32
	Slide 33
	Slide 34
	Slide 35
	Slide 36
	Slide 37
	Slide 38
	Slide 39
	Slide 40
	Slide 41: Módulo Resistente Elástico de Superfícies Planas (W) 
	Slide 42
	Slide 43: Raio de Giração de Superfícies Planas (r) 
	Slide 44: Raio de Giração de Superfícies Planas (r) 
	Slide 45: Raio de Giração de Superfícies Planas (r) 
	Slide 46
	Slide 47
	Slide 48
	Slide 49
	Slide 50