Slides Geometria Analítica

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Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini
Geometria Analítica
Aula 5
Conversa Inicial
Organização da disciplina
1. Distâncias
Organização da disciplina
1. Distâncias
2. Cônicas
Organização da disciplina
1. Distâncias
2. Cônicas
3. Elipse e circunferência
Organização da disciplina
2
1. Distâncias
2. Cônicas
3. Elipse e circunferência
4. Hipérbole
Organização da disciplina
1. Distâncias
2. Cônicas
3. Elipse e circunferência
4. Hipérbole
5. Parábola
Organização da disciplina
Distâncias
Distância entre pontos
Distância entre pontos
No R²: No R²:
Distância entre pontos
3
Distância entre pontos
No R²:
Distância entre pontos
Distância entre pontos
No R3: No R3:
Distância entre pontos
Distância entre pontos
No R3:
Exemplo
4
Em um ambiente 3D, foram criados dois 
blocos referentes à representação 
simplificada de dois prédios. Podemos 
observar dois pontos A e B associados a cada 
um dos prédios
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Calcule a distância, em metros, do ponto 
A(20, -10, 30) ao ponto B(18, -2, 25)
Exemplo Exemplo
5
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
6
Exemplo Exemplo
Considerando os 
pontos A e B 
representados a 
seguir, determine 
a distância d(A, B)
Exemplo
Considerando os 
pontos A e B 
representados a 
seguir, determine 
a distância d(A, B)
Exemplo
Exemplo Exemplo
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Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo
Sejam A(2, 5, -4) e B(3, 3, 2). Calcule d(A, B)
Exemplo
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Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
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Exemplo Exemplo
Um cabo deverá conectar o ponto A de uma 
torre de transmissão ao ponto B de outra 
torre. As coordenadas cartesianas dos pontos 
a serem conectados são A(10, 12, 20) e B(32, 
10, 25)
Exemplo
Essas coordenadas, em metros, foram 
estabelecidas com base em um mapeamento 
da região onde as torres estão instaladas. 
Calcule a distância entre os pontos A e B
Exemplo
Exemplo Exemplo
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Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Distância entre ponto e reta
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Distância entre ponto e reta Distância entre ponto e reta
Exemplo
Em dado sistema de eixos, o ponto P(2, 1, 4) 
está associado ao centro de um alvo e a reta 
r:(4t+3, t-1, 2t+2) indica a trajetória da 
flecha
Exemplo
Exemplo Exemplo
irinakeinanen/Pixabay
r
P
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Exemplo
Sabendo que as unidades estão em metros, 
encontre a distância entre o ponto P e a 
reta r
Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
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Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
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Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
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Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
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Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
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Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Sabendo que P(1, 0, 3) e r:(3t+1, 2t, 5t-2), 
encontre a distância entre o ponto P e a 
reta r
Exemplo Exemplo
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Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
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Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
20
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
21
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
22
Exemplo Exemplo
Distância entre ponto e reta Distância entre ponto e reta
Distância entre ponto e reta Distância entre ponto e reta
23
Exemplo
Em um mapa, temos a reta r, que indica a 
trajetória de um veículo, e o ponto P, que 
indica a localização de um acampamento
Exemplo
Exemplo Exemplo
7
6
5
4
3
2
1
-1
r
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
𝑷
Exemplo
Qual é a distância d entre o acampamento e a 
trajetória do veículo? Considere r:y=x+1 e 
P(5, 2), com as unidades em quilômetros
Exemplo
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Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
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Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
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Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo
7
6
5
4
3
2
1
-1
r
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
𝑷𝒅
Exemplo
7
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4
3
2
1
-1
r
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
𝑷𝒅
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Distância entre ponto e plano Distância entre ponto e plano
Distância entre ponto e plano Distância entre ponto e plano
Exemplo
Encontre a distância entre o ponto D(4, 1, 6) 
e o plano 𝜶:2x+3y+z-2=0
Exemplo
28
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
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Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
30
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Cônicas
Cônicas
31
Cônicas Parábola
Parábola Parábola
Parábola Elipse
32
Elipse Elipse
Elipse Hipérbole
Hipérbole Hipérbole
33
Hipérbole Cônicas degeneradas
Cônicas degeneradas
Elipse e circunferência
Circunferência Circunferência
34
Circunferência Exemplo
Qual é a equação reduzida de uma 
circunferência com centro em C(2, 2) e com 
raio r = 4?
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
35
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Qual é a equação geral de uma circunferência 
com centro em C(3, -1) e raio r = 6?
Exemplo Exemplo
36
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
37
Exemplo Exemplo
Qual é a equação reduzida e qual é a equação 
geral da circunferência de centro no ponto 
C(450, 300) e de raio r igual a 140?
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
38
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
39
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo
Qual é a cônica cuja equação corresponde a 
x² + y² + 2x + 6y = 8?
Exemplo
40
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
41
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
42
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
43
Exemplo Elipse
Elipse Elipse
Elipse Exemplo
44
A figura a seguir apresenta uma elipse com 
centro na origem, semieixo vertical igual a 3 
e semieixo horizontal igual a 4
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Com base nessas informações, determine a 
equação canônica da elipse
Exemplo Exemplo
45
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
46
Exemplo Exemplo
Determine qual é a cônica de equação a 
seguir: 25x² + 9y² + 100x + 18y – 116 = 0
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
47
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
48
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
49
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
50
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
51
Hipérbole
Hipérbole
Hipérbole Hipérbole
Hipérbole Hipérbole
52
Hipérbole Hipérbole
Hipérbole Exemplo
Determine a equação reduzida da hipérbole 
apresentada na figura a seguir
Exemplo Exemplo
53
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
54
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
55
Escreva a equação geral da hipérbole 
apresentada a seguir
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
56
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
57
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
58
Exemplo
Obtenha a equação reduzida da hipérbole 
apresentada a seguir
Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
59
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
60
Exemplo Exemplo
Parábola
Parábola
Parábola Parábola
61
Parábola Parábola
Parábola Parábola
Parábola Parábola
62
Parábola Parábola
Parábola Parábola
Parábola Parábola
63
Parábola Parábola
Parábola Parábola
Parábola Parábola
64
Exemplo
A imagem a seguir está associada a uma 
parte da fachada de uma igreja
Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo
Para que a construção dessa parte possa ser 
feita com precisão, é necessária a equação da 
parábola
Exemplo
65
Com base nas medidas informadas, obtenha a 
respectiva equação reduzida
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
66
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
67
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
68
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
69
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
70
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
71
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
72
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
73
Exemplo
Qual é a cônica cuja equação corresponde a 
x² + y – 10 = 0?
Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
Parábola verticalcom a
concavidade voltada para baixo
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Exemplo
Determine qual é a cônica de equação igual a 
y² + 2x + 3y + 5 = 0
Exemplo
Exemplo Exemplo
Exemplo Exemplo
75
Exemplo
Parábola horizontal com a
concavidade voltada para a esquerda