EXERCICIOS_FOURIER

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Exercícios
de Analise de 
Fourier
Professor
Jorge Leonid Aching Samatelo
jlasam001@gmail.com
Lista de Exercícios
 O sinal real x(t) tem o seguinte espectro bilateral
A. Escrever uma equação para x(t) como a soma de sinais cosseno.
B. Desenhar o espectro do sinal y(t)= 2x(t) – 3cos(500π(t  0,02)).
Representação Espectral
Exercício
15
0,5 PT
Lista de Exercícios
 Considere o sinal quadrado periódico x(t) mostrado na figura.
A. Determinar a forma exponencial complexa da série de Fourier de x(t).
B. A partir da CTFS determinada em (A) obter a forma trigonométrica da
serie de Fourier de x(t).
CTFS
Exercício
21
0,5 PT
( )x t
t
Lista de Exercícios
 Encontrar os coeficientes das séries de Fourier para cada um das seguintes
sinais:
A.
B.
C.
 Dica para o item (C): você pode primeiro multiplicar os termos e depois usar a
identidade de Euler.
CTFS
Exercício
24
0,5 PT
( ) sin 10
6
x t t
p
p
 
=  
 
( ) 1 cos(2 )x t tp= 
 ( ) 1 cos(2 ) sin 10
6
x t t t
p
p p
 
=   
 
Lista de Exercícios
 Determinar os coeficientes ao, ak e bk da séries de Fourier dos seguintes sinais.
A.
B.
CTFS
Exercício
26
0,5 PT
( )x t
t
( )x t
t
Lista de Exercícios
 Seja x(t) uma função periódica. Determinar:
1. O valor do período T.
2. Os coeficientes ao, ak e bk da CTFS.
3. A forma expandida da série de Fourier para x(t)
CTFS
Exercício
28
0,5 PT
( )x t
t
t
2 0,2
( )
0 
t t
x t
caso contrario
p  
= 

Lista de Exercícios
 Seja x(t) uma função periódica. Determinar:
1. O valor do período T.
2. Os coeficientes ao, ak e bk da CTFS.
3. A forma expandida da série de Fourier para x(t)
CTFS
Exercício
30
0,5 PT
( )x t
t
cos( ) 0,
( )
cos( ) ,0
t t
x t
t t
p
p
 
= 
   
Lista de Exercícios
 Seja x(t) uma função periódica. Determinar:
1. O valor do período T.
2. Os coeficientes ao, ak e bk da CTFS.
3. A forma expandida da série de Fourier para x(t)
CTFS
Exercício
32
0,5 PT
( )x t
0 0,
( ) 1 ,
0 ,2
t a
x t t a a
t a
p
p p
p p
  

=    
   
t
Lista de Exercícios
 Seja x(t) uma função periódica. Determinar:
1. O valor do período T.
2. Os coeficientes ao, ak e bk da CTFS.
3. A forma expandida da série de Fourier para x(t)
CTFS
Exercício
34
0,5 PT
( )x t
( ) | | , 1,1x t t t=   
t
Lista de Exercícios
 Seja x(t) uma função periódica no intervalo [-p,p].
1. Desenhar o sinal periódica x(t).
2. Determinar os coeficientes ao, ak e bk da CTFS.
3. Determinar a forma expandida da série de Fourier para x(t)
CTFS
Exercício
36
0,5 PT
1 [ ,0
( )
1 [0,
t
x t
t
p
p
  
= 
  
Lista de Exercícios
 Seja x(t) uma função periódica no intervalo [-p,p].
1. Desenhar o sinal periódica x(t).
2. Determinar os coeficientes ao, ak e bk da CTFS.
3. Determinar a forma expandida da série de Fourier para x(t)
CTFS
Exercício
38
0,5 PT
( ) ; [ ,x t t t p p=   
Lista de Exercícios
 Seja x(t) uma função periódica no intervalo [-p,p].
1. Desenhar o sinal periódica x(t).
2. Determinar os coeficientes ao, ak e bk da CTFS.
3. Determinar a forma expandida da série de Fourier para x(t)
CTFS
Exercício
40
0,5 PT
0 [ ,0
( )
cos( ) [0,
t
x t
t t
p
p
  
= 
 
Lista de Exercícios
 Seja x(t) uma função periódica.
1. Desenhar o sinal periódica x(t).
2. Determinar o valor do período T.
3. Determinar os coeficientes ao, ak e bk da CTFS.
4. Determinar a forma expandida da série de Fourier para x(t)
CTFS
Exercício
42
0,5 PT
1 | | 1
( )
0 1 | | 2
t
x t
t

= 
 
Lista de Exercícios
 Seja x(t) uma função periódica.
1. Desenhar o sinal periódica x(t).
2. Determinar o valor do período T.
3. Determinar os coeficientes ao, ak e bk da CTFS.
4. Determinar a forma expandida da série de Fourier para x(t)
CTFS
Exercício
44
0,5 PT
[ 4,0
( )
0 [0,4
t t
x t
t
   
= 
 
Lista de Exercícios
 Seja x(t) uma função periódica.
1. Desenhar o sinal periódica x(t).
2. Determinar o valor do período T.
3. Determinar os coeficientes ao, ak e bk da CTFS.
4. Determinar a forma expandida da série de Fourier para x(t)
CTFS
Exercício
46
0,5 PT
( ) sin(3 ) ; [ 1,1]x t t tp=  
Lista de Exercícios
 Seja x(t) uma função periódica.
1. Desenhar o sinal periódica x(t).
2. Determinar o valor do período T.
3. Determinar os coeficientes ao, ak e bk da CTFS.
4. Determinar a forma expandida da série de Fourier para x(t)
5. Usando a CTFS de x(t) mostre que:
CTFS
Exercício
48
0,5 PT
2 [ 1,1]
( )
0 
t t
x t
caso contrario
  
= 

2
2
1
1
6k k
p
=
=
Lista de Exercícios
 Para o circuito da Figura abaixo, determine a serie de Fourier da tensão de
saída v0(t) quando a entrada é a tensão vg(t).
CTFS
Exercício
50
0,5 PT
Lista de Exercícios
 Para o circuito da Figura abaixo, determine os termos da série de Fourier da
tensão vi(t) até o 5⁰(quinto) harmônico, e com isso, determine cada termo da
tensão v0(t). Assuma:
CTFS
Exercício
52
0,5 PT
3
1 2100 V 2 10 sg 1K 9K 1 FmV T R R Cp p 

= = = W = W =
Lista de Exercícios
 Considerar as sequências periódicas x[n] mostradas nas Figuras abaixo.
Determine os coeficientes da Serie de Fourier ck e desenhe a representação
espectral da magnitude |ck|.
A.
B.
C.
DTFS
Exercício
58
0,5 PT
[ ]x n
[ ]x n
[ ]x n
n
n
n
Lista de Exercícios
 Considere um sistema LTI com resposta ao impulso
 Encontre a representação da série de Fourier da saída y*[n] para cada uma das
seguintes entradas.
A.
B.
C.
D.
DTFS
Exercício
62
0,5 PT
1, 0 2
[ ] 1, 2 1
0
n
h n n
otherwise
 

=     


3
*[ ] sin
4
n
x n
p 
=  
 
 *[ ] 4
k
x n n k

=
= 
1, 0, 1
*[ ] *[ ] *[ 6]
0, 2, 3, 4
n
x n x n x n
n
= 
= = 
=   
*[ ] ( 1)
n n
x n j=  
Lista de Exercícios
 Considere um sistema LTI com resposta ao impulso
 Encontre a representação da série de Fourier da saída y*[n] para cada uma das
seguintes entradas.
A.
B.
C.
D.
DTFS
Exercício
64
0,5 PT
| |
1
[ ]
2
n
h n
 
=  
 
3
*[ ] sin
4
n
x n
p 
=  
 
 *[ ] 4
k
x n n k

=
= 
1, 0, 1
*[ ] *[ ] *[ 6]
0, 2, 3, 4
n
x n x n x n
n
= 
= = 
=   
*[ ] ( 1)
n n
x n j=  
Lista de Exercícios
 Nos itens (A), (B) , (C) e (D) especificamos os coeficientes das series de
Fourier de um sinal que é periódico com período igual a 8. Determine o sinal
x[n] para cada caso.
A.
B.
C. ak como na seguinte Figura.
D. ak como na seguinte Figura.
DTFS
Exercício
66
0,5 PT
cos sin 3
4 4
ka k k
p p   
=    
   
sin 0 6
3
0, 7
k
k
k
a
k
p  
   =   
 = 
Lista de Exercícios
 Considerar um sistema de tempo discreto com resposta ao impulso
 Determine a saída y[n] para cada uma das seguintes entradas periódicas:
A.
B.
C.
DTFS
Exercício
69
0,5 PT
1
[ ] [ ]
2
n
h n u n
 
=  
 
 [ ] 1 
n j nx n e para todo np=  =
 /4
[ ] 
j n
x n e para todo n
p
=
[ ] cos 
4 8
n
x n para todo n
p p 
=  
 
Lista de Exercícios
 Determinar a CTFT do sinal
CTFT
Exercício
71
0,5 PT
2
( )
at
x t e

=
Lista de Exercícios
 Considere o sinal x(t) com CTFT X(w), suponha que são conhecidos os
seguintes fatos:
 O sinal x(t) é real e não negativa.
 é valido o seguinte par da transformada de Fourier
Onde A é independente de t.
 X(w) tem energia finita:
 Então, determine a expressão fechada para x(t).
CTFT
Exercício
73
0,5 PT
2
( ) (1 ) ( )
t CTFTAe u t jw X w

 
2
( ) 2X w dw p


=
Lista de Exercícios
 Determine a CTFT do seguinte sinal
CTFT
Exercício
75
0,5 PT
( )x t
t
Lista de Exercícios
 Determine a CTFT de x(t).
A.
B.
CTFT
Exercício
77
0,5 PT
| |
( ) ; 0
a t
x t e a

= 
3
6
3
( ) 0 3
0 0
t
t
e t
x t e t
t


 

=  
 

Lista de Exercícios
 Considere o par da transformada de Fourier
A. Use as apropriadas propriedades da CTFT para determinar a CTFT do
sinal:
B. Use o resultadoitem (A), e a propriedade dual para determinar a CTFT do
sinal:
CTFT
Exercício
79
0,5 PT
| |
2
2
1
t CTFTe
w
 

2 2
4
( )
(1 )
t
x t
t
=

| |( ) tx t te=
Lista de Exercícios
 Dado , expresse o CTFT dos sinais listadas embaixo em
termos de X(w).
A.
B.
C.
CTFT
Exercício
81
0,5 PT
( ) ( )CTFTx t X w
2
3 2
( ) ( 1)
d
x t x t
dt
= 
2 ( ) (3 6)x t x t= 
1( ) (1 ) ( 1 )x t x t x t=    
Lista de Exercícios
 Determine a CTFT de cada um das seguintes sinais periódicas:
A.
B.
CTFT
Exercício
83
0,5 PT
( ) sin 2
4
x t t
p
p
 
=  
 
( ) 1 cos 6
8
x t t
p
p
 
=   
 
Lista de Exercícios
 O sinal x(t) = ebtu(t) é um exemplo de um sinal exponencial real de lado
esquerdo. Desenhar o sinal para b > 0 e mostrar que a CTFT de x(t) é:
 se b > 0, Também, mostre que a CTFT não existe se b ≤ 0.
CTFT
Exercício
86
0,5 PT
1
( )X w
b jw
=

Lista de Exercícios
 Para a função ímpar real
 Mostre que a CTFT é:
CTFT
Exercício
88
0,5 PT
( ) ( ) ( )
at at
x t e u t e u t

=  
2 2
2
( )
j w
X w
a w
=

Lista de Exercícios
 Considere que a resposta em frequência de um sistema LTI vem definida pela
expressão:
 Suponha que a entrada ao sistema é o sinal:
 Determiar o sinal de saída y(t)
CTFT
Exercício
90
0,5 PT
( ) ( )tx t e u t=
2
( )
( 1)( 3)
jw
H w
jw jw

=
 
Lista de Exercícios
 Considere a sequência x[n] cuja DTFT é mostrado abaixo para –p ≤ W ≤ p.
Desejamos determinar se no domínio do tempo x[n] é periódico, real, par e/ou
de energia finita.
DTFT
Exercício
92
0,5 PT
( )X W ( )X W
Lista de Exercícios
 Usando a definição da DTFT determine a DTFT dos seguintes sinais discretas:
 1.
 2.
 3.
 4.
 5.
 6.
 OBS. No caso que a DTFT não exista, indicar o motivo.
DTFT
Exercício
94
0,5 PT
[ ] (0,5) [ ]
n
x n u n=
| |
[ ] (0,5)
n
x n =
[ ] 2 [ ]
n
x n u n= 
| |
[ ] 3(0,8) cos(0,1 )
n
x n np=
[ ] (0,5) [ ]
n
x n u n= 
| |
[ ] 2
n
x n =
Lista de Exercícios
 Considerando que:
 Usando as propriedades da DTFT determinar a DTFT das seguintes sinais
discretos
 1.
 2.
 3.
 4.
 5.
DTFT
Exercício
96
0,5 PT
1
DTFT{(0,8) [ ]}
1 0,8
n
jw
u n
e
=

[ ] (0,8) [ 2]
n
x n u n= 
[ ] (0,8) cos(0,1 ) [ ]
n
x n n u np=
[ ] (0,8) [ ]
n
x n n u n=
[ ] (0,8) [ ]
n
x n u n

= 
(0,8) [0,5]
[ ]
0 
n
n
x n
caso contrario
 
= 

Lista de Exercícios
 Derivar o DTFT do degrau unitário
DTFT
Exercício
98
0,5 PT
[ ] [ ]x n u n=
Lista de Exercícios
 Considere o sistema causal LTI descrito pela equação de diferenças
 Usando a DTFT, determine:
A. A resposta de frequência H(W) do sistema.
B. A resposta ao impulso h[n] do sistema.
DTFT
Exercício
100
0,5 PT
1
[ ] [ 1] [ ]
2
y n y n x n  =
Lista de Exercícios
 Determine a DTFT dos seguintes sinais.
DTFT
Exercício
102
0,5 PT
[ ] [ ] [ 6]x n u n u n=  
1
[ ] [ 4]
4
n
x n u n
 
=  
 
[ ] 2 [ ]
n
x n u n= 
0[ ] | | sin( ),| | 1
n
x n n  = 
0[ ] sin( ) [ ]
 | | 1
n
x n n u n 

=

1
2 , | | 4
[ ] 2
0,
n
n
x n
elsewhere
  
   =   


[ ] { 2, 1,0,1,2}x n

=  
(2 1 | |) | |
[ ]
0 | |
A M n n M
x n
n M
  
= 

A. E.
B. F.
C. G.
D. H.
Lista de Exercícios
 Determine o sinal x[n] tendo as seguintes DTFT1.
A.
B.
C.
D. O sinal mostrado na seguinte Figura
DTFT
Exercício
106
0,5 PT
0
0
0 0 | |
X( )
1 | | p
 W  W
W = 
W  W 
2
X( ) cos ( )W = W
0 01 / 2 | | / 2X( )
0 elsewhere
W  W  W  W  W
W = 

X( )W
W
Lista de Exercícios
 Considere o sinal
 Cuja transformada de Fourier é X(W). Calcule as seguintes quantidades, sem
calcular explicitamente X(W):
A.
B.
C.
D.
E.
DTFT
Exercício
108
0,5 PT
[ ] { 1,2, 3,2, 1}x n

=   
(0)X
( )X W
( )X d
p
p
W W
2| ( ) |X d
p
p
W W
( )X p
Lista de Exercícios
 Seja a resposta impulsiva de um sistema LTI
 1. Usando a DTFT determinar a resposta em frequência do sistema H(W).
 2. Supondo que, x[n] = cos(pn/2), determine a saída do Sistema LTI usando
H(W).
DTFT
Exercício
111
0,5 PT
[ ] (0,5) cos( / 2) [ ]
n
h n n u np=
Lista de Exercícios
 Seja a equação em diferenças de um sistema LTI
 1. Usando a DTFT determinar a resposta em frequência do sistema H(W).
 2. Usando a IDTFT determinar a resposta impulsiva do sistema h[n].
 3. Determinar as expressões para magnitude e a fase de H(W).
 4. Avaliar a magnitude e a fase de H(W) quando W ={0, p/4,p/4,9p/4}.
DTFT
Exercício
113
0,5 PT
1 1
[ ] [ 1] [ 2] [ ] [ 1]
4 8
y n y n y n x n x n    =  
Lista de Exercícios
 Seja a equação em diferenças de um sistema LTI
 1. Usando a DTFT determinar a resposta em frequência do sistema H(W).
 2. Usando a IDTFT determinar a resposta impulsiva do sistema h[n].
 3. Determinar as expressões para magnitude e a fase de H(W).
DTFT
Exercício
115
0,5 PT
3 1
[ ] [ 1] [ 2] [ ]
4 8
y n y n y n x n    =
Lista de Exercícios
 Seja a equação em diferenças de um sistema LTI
 1. Usando a DTFT determinar a resposta em frequência do sistema H(W).
 2. Usando a IDTFT determinar a resposta impulsiva do sistema h[n].
 3. Determinar as expressões para magnitude e a fase de H(W).
 4. Determine a saída do sistema y[n] quando a entrada é:
DTFT
Exercício
117
0,5 PT
1 1
[ ] [ 1] [ ] [ 1]
2 2
y n y n x n x n  =  
[ ] cos
2
x n n
p 
=  
 
Lista de Exercícios
 Seja a resposta impulsiva de um sistema LTI
 Determinar a saída y[n] se a entrada é um sinal periódica discreta com
período fundamental N = 5, tal como é mostrado na seguinte figura.
DTFT
Exercício
119
0,5 PT
sin( / 4)
[ ]
n
h n
n
p
p
=
[ ]x n
n
Lista de Exercícios
 Seja a equação em diferenças de um sistema LTI
 1. Usando a DTFT determinar a resposta em frequência do sistema H(W).
 2. Usando a IDTFT determinar a resposta impulsiva do sistema h[n].
 3. Determinar as expressões para magnitude e a fase de H(W).
 4. Determine a largura da faixa de 3dB do sistema, ou seja, encontre o valor
de W3dB que cumpre com a relação:
DTFT
Exercício
121
0,5 PT
[ ] [ ] [ 1]y n x n x n=  
3dB
1
| ( ) | | ( ) |
2
MAXH HW = W
Lista de Exercícios
 Seja a equação em diferenças de um sistema LTI
 1. Usando a DTFT determinar a resposta em frequência do sistema H(W).
 2. Usando a IDTFT determinar a resposta impulsiva do sistema h[n].
 3. Determinar as expressões para magnitude e a fase de H(W).
 4. Determine a largura da faixa de 3dB do sistema, ou seja, encontre o valor
de W3dB que cumpre com a relação:
DTFT
Exercício
123
0,5 PT
[ ] [ 1] [ ] ; 0,1y n ay n x n a  =  
3dB
1
| ( ) | | ( ) |
2
MAXH HW = W
Lista de Exercícios
 Seja a equação em diferenças de um sistema LTI
 1. Determinar a resposta impulsiva do sistema h[n].
 2. Usando a DTFT determinar a resposta em frequência do sistema H(W).
 3. Determinar as expressões para magnitude e a fase de H(W).
DTFT
Exercício
125
0,5 PT
 
1
[ ] [ ] [ 1] [ 2]
3
y n x n x n x n=    
Lista de Exercícios
 Seja a resposta impulsiva de um sistema LTI
 1. Usando a DTFT determinar a resposta em frequência do sistema H(W).
 2. Determinar as expressões para magnitude e a fase de H(W).
DTFT
Exercício
127
0,5 PT
[ ] {2,2, 2, 2}h n

=  
Bom Trabalho!!!
129