Análise e Dimensionamento de Peças ubmetidas à Flexão Simples e Cisalhamento

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Estrutura de Madeira
Aula 7 - Análise e Dimensionamento de Peças
Submetidas à Flexão Simples e Cisalhamento
INTRODUÇÃO
Nas aulas anteriores, analisamos o comportamento e o dimensionamento de elementos estruturais, sujeitos a
carregamentos puramente axiais. Este é o caso em elementos de treliças ou pilares, por exemplo, mas não é o caso das
vigas.
Vigas são elementos lineares, usualmente dispostos na horizontal, e submetidos a carregamentos perpendiculares ao eixo
principal do elemento. As vigas estão sujeitas a efeitos de �exão e cisalhamento. Quando o efeito de �exão ocorre em
apenas um eixo da viga, chamamos de �exão simples.
Nesta aula, estudaremos como dimensionar estruturas submetidas a carregamentos de �exão simples, isto é, elementos
sujeitos à atuação de um momento �etor e um esforço cortante. Como nas aulas anteriores, os cálculos serão realizados
conforme as recomendações previstas na NBR 7190/97.
OBJETIVOS
Identi�car as principais disposições construtivas relacionadas às vigas de madeira.
Analisar os cálculos necessários para o dimensionamento de vigas segundo a NBR 7190/1997.
Identi�car os critérios de combate à �ambagem lateral em vigas.
DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS
Tipos construtivos
As vigas de madeira podem ser de diversos formatos, maciças ou laminadas, simples (única peça) ou composta
(combinação de várias peças por meio de colagem ou conectores).
No Brasil utilizamos como vigas, na maioria das vezes, as madeiras maciças simples. Dentre essas, é mais comum o uso de
madeiras serradas. Para vigas de seção mais esbelta, em que a relação altura/largura é elevada, podemos utilizar com mais
e�ciência uma viga de madeira laminada e colada.
Dimensões mínimas
As dimensões mínimas em vigas devem obedecer às recomendações da NBR 7190/97:
PEÇAS PRINCIPAIS ISOLADAS
Como, por exemplo, vigas principais; a área mínima das seções transversais deverá ser de
50cm², com espessura mínima de 5cm.
ELEMENTOS SECUNDÁRIOS ISOLADOS
Área transversal mínima de 18cm² e espessura de 2,5cm.
PEÇAS MÚLTIPLAS
Relações de 35cm² e 2,5cm, no caso de elementos principais, e 18cm² e 1,8cm para elementos
secundários.
Contra�echas
Sempre que possível, é importante que se projete as vigas com contra�echas, ou seja, com deformações naturais contrárias
à deformação devida ao carregamento da estrutura. Adotam-se contra�echas para evitar as deformações visíveis a olho nu
que não são aceitáveis.
Fonte: Shutterstock
Usualmente, não é possível executar uma peça de madeira maciça com contra�echa, mas podemos adotar contra�echas
em vigas laminadas coladas, onde basta colar as lâminas já com a curvatura necessária para apresentar a contra�echa.
DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS A FLEXÃO SIMPLES E CISALHAMENTO
Critérios de cálculo
No dimensionamento de vigas de madeira submetidas a �exão simples, devemos levar em consideração as limitações:
LIMITAÇÕES DE TENSÕES
Nesta análise, queremos comparar as tensões atuantes com as tensões limites para que a
estrutura ainda mantenha a sua estabilidade estrutural;
LIMITAÇÕES DE DEFORMAÇÕES
Mesmo quando a estrutura atender aos requisitos do estado limite último, deve-se garantir que
as deformações presentes na estrutura estejam de acordo com os requisitos de�nidos pela NBR
7190/97 que, em linhas gerais, estabelece um deslocamento limite de L/200, para um vão entre
apoios, ou L/100 para um vão em balanço, onde L é o comprimento do vão analisado.
Generalidades
As madeiras maciças serradas são usadas com mais frequência;
Os fabricantes fornecem as vigas com dimensões padronizadas por catálogo, com comprimentos de até 5m;
As vigas podem ser:
Clique nos botões acima.
Veri�cação das tensões a �exão simples
Conforme a NBR 7190/97, devemos veri�car as tensões devidas à �exão segundo dois critérios:
Fonte: Shutterstock
Um terceiro critério será estudado adiante, referente ao efeito de cisalhamento.
Tensões normais nos bordos da seção transversal
Sob um efeito de �exão simples, uma viga está sujeita a efeitos de tração em um bordo e a efeitos de compressão no outro
bordo. A madeira possui diferentes resistências à tração e à compressão.
Comparando as tensões de tração e de compressão com diferentes tensões resistentes:
Simples
Contínuas
Análise das tensões normais nos bordos da seção transversal
Análise das tensões de compressão normal à �bra, nos apoios das vigas
Onde:
M → momento �etor de projeto;
f e f → tensões resistentes de projeto à compressão e à tração paralelas às �bras (vimos esses conceitos nas aulas
5 e 6);
W e W → módulos de resistência à �exão nos bordos mais comprimidos e mais tracionados.
Onde I é o momento de inércia da seção e y é a distância do bordo de interesse até o centroide. Seções não simétricas
geram tensões diferentes nos bordos por conta do centroide não estar posicionado no centro da seção. Para seções
retangulares:
Figura 2: Tensões normais
Fonte: (Reprodução de PFEIL e PFEIL, 2003, p.98)
d
c0,d t0,d
c t
Fonte: Shutterstock
A NBR 7190/97 propõe para peças muito esbeltas, os efeitos da �ambagem lateral, que podem reduzir signi�cativamente a
resistência do elemento.
Tensão de compressão normal à �bra, nos apoios
Devemos utilizar as orientações que discutimos na aula 6 para o dimensionamento de peças curtas à compressão simples,
normal às �bras da madeira. A veri�cação é dada pela expressão:
Na expressão, b e c são as dimensões das superfícies dos apoios, e R é a própria reação de apoio. O parâmetro α foi
discutido nas aulas anteriores. Admite-se, para �ns de cálculo, que a distribuição da reação sobre o apoio é uniforme, apesar
de sabermos que há uma concentração maior das tensões na parte interna do apoio, devido à rotação presente na viga.
Veri�cação das tensões de cisalhamento
Pela Resistência dos Materiais, sabemos que a tensão de cisalhamento de uma viga é dada por:
Onde V é o esforço de cisalhamento, S é o momento estático referido ao centro de gravidade da seção, l é o momento de
inércia e b é a largura da viga. Em um per�l retangular, sabendo que h é a altura da seção, temos que a tensão de
cisalhamento é:
Segundo a NBR 7190/97, a veri�cação ao cisalhamento é dada pela inequação:
d n
Na expressão, f é a tensão resistente de cisalhamento paralelo às �bras.
Exemplo
Dada uma peça de madeira serrada Cupiúba de 2ª categoria (f = 54,4MPa, f = 62,1MPa e f = 10,4MPa), com vão
igual a 2m e dimensões 5cm x 10cm e classe 2 de umidade, determine o máximo carregamento uniforme admissível,
considerado permanente, sabendo que se trata de uma combinação normal de ações. Considere que o apoio é tal que a
tensão de compressão normal às �bras não é dimensionante.
PASSO 1
Calcular as tensões resistentes do material. Para isso, calculamos o k :
k = 0,60, para um carregamento permanente;
k = 1,00, para classe 2 de umidade;
k = 0,80, para madeira de 2ª categoria.
k = 0.60 . 1,00 . 0,80 = 0,48
f = 0,70 . f = 0,70 . 54,4 = 38,08MPa
f = 0,70 . f = 0,70 . 62,1 = 43,47MPa
f = 0,54 . f = 0,54 . 10,4 = 5,616MPa
PASSO 2
Veri�car as tensões solicitantes máximas. Temos dois casos de análise, já que a tensão de
compressão normal às �bras nos apoios não é dimensionante.
As propriedades geométricas da viga são:
v,d
cm tm vm
mod
mod,1
mod,2
mod,3
mod
c0,k cm
t0,k tm
v,k vm
2
A = b . h = 50cm
Igualando a ação máxima (tensão) à resistência da madeira pode-se estabelecer a expressão
para determinar o momento máximo de projeto resistido pela viga:
Devemos adotar um momento máximo de projeto igual a 0,97kN.m, que é o menor entre os dois
calculados. O carregamento uniformemente distribuído que gera um momento desse valor é
dado por:
Agora vamos realizar a veri�cação às tensões de cisalhamento:
Em um carregamento distribuído, o esforço cortante máximo é igual à reação de apoio. Portanto:
O carregamento máximo de projeto admissível é igual a 1,94kN/m.
FLAMBAGEM LATERAL DE VIGAS RETANGULARES
Generalidades
Vigas muito esbeltas submetidas a �exão simples, assim como as colunas muito esbeltas,podem estar submetidas a
efeitos de �ambagem. No caso das vigas, o efeito de �exão faz a seção transversal da viga �car parcialmente tracionada e
parcialmente comprimida.
2
Juntando os dois efeitos, o de estabilização na região tracionada e o de desestabilização na região comprimida, temos uma
movimentação lateral da viga, somada a um efeito de torção em torno do eixo principal da viga.
Figura 3: Flambagem lateral da viga biapoiada
Fonte: (Reprodução de PFEIL e PFEIL, 2003, p.101)
Combate à �ambagem lateral
Um bom engenheiro deve reconhecer a possibilidade da existência da �ambagem lateral nos seus projetos, o que pode
diminuir consideravelmente a resistência dos per�s utilizados.
A principal forma de eliminar a �ambagem lateral de uma peça é inserir contenções laterais, tanto nos apoios quanto ao
longo das vigas, para evitar o deslocamento lateral das regiões comprimidas.
Vigas de seção quadrada, de seção circular, ou de seção retangular que estejam apoiadas no seu maior lado (ou seja,
quando a largura da base for superior à altura da seção transversal) não estão sujeitas à �ambagem lateral e, portanto, não
necessitam de apoios de contenção lateral.
As vigas com relação h/b ≥ 2 precisam ser contidas lateralmente nos apoios, de forma a impedir a rotação da peça nesses
pontos. Essa contenção pode ocorrer com calços, ou ao conectar a viga a elementos verticais (como pilares).
Dependendo do comprimento da viga, será necessário, também, contê-la lateralmente ao longo do seu comprimento. Essa
contenção pode ocorrer de várias formas, como:
Inclusão de novos apoios com contenção lateral (Figura 4.a);
Conexão das vigas com um piso, como por exemplo um assoalho de madeira compensada (Figura 4.b);
Inclusão de vigas secundárias conectando várias vigas principais paralelas (Figura 4.c);
Amarração das vigas por meio de diafragmas (Figura 4.d).
Na região tracionada há a tendência de estabilizar os efeitos de �ambagem, reti�cando a peça
Na região comprimida pode ocorrer efetivamente a �ambagem
(a)
(b)
(c)
Figura 4: Formas de contenção lateral de vigas
Fonte: Adaptação de PFEIL e PFEIL, 2003, pp.102-103
A NBR 7190/97 especi�ca um comprimento máximo l , a partir do qual deve existir uma contenção lateral nas vigas. Não
será necessário analisar a viga à �ambagem lateral caso a seguinte expressão seja atendida:
Onde:
, sendo β = 4,0;
E = k . k . k . E é o módulo de elasticidade efeito na direção das �bras.
O valor de β é tabelado, e pode ser observado na Tabela 1.
Tabela 1: Valores de β .
h/b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
β 6,0 8,8 12,3 15,9 19,5 23,1 26,7 30,3 34,0 37,6
h/b 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
β 41,2 44,8 48,5 52,1 55,8 59,4 63,0 66,7 70,3 74,0
Fonte: Reprodução de PFEIL e PFEIL, 2003, p.104.
VEJA UM EXEMPLO
Para a mesma viga do primeiro exemplo, sabendo que E = 13627MPa, determine a necessidade
de contenção lateral.
1: Sabendo que a razão h/b = 2, determinamos que β = 8,8. Portanto, podemos calcular l a
partir dos cálculos a seguir (e sabendo que f = 13,1MPa, pelo exemplo 1):
E = k . k . k . E = 0,48 . 13627 = 6540,96MPa
(d)
1
E
c,ef mod,1 mod,2 mod,3 c
M
M
M
M
c
M 1
c0,d
c,ef mod,1 mod,2 mod,3 c
2: Como a viga tem 2m de comprimento, não há necessidade de contenção lateral.
EXERCÍCIOS
Questão 1: Para uma viga de 3m de comprimento, com contenções laterais nos apoios, feita de madeira dicotiledônea de
classe C40, de dimensões 5cm x 15cm, com um k = 0,60 e submetida a um carregamento uniforme de 2kN/m, assinale
a opção correta:
a) A resistência de cálculo do elemento ao cisalhamento é igual a 2MPa.
b) A peça não precisa de contenção lateral entre os apoios, já que l = 365cm.
c) O elemento não passa na veri�cação ao cisalhamento.
d) A resistência de cálculo do elemento à compressão paralela às �bras é igual a 16,14MPa.
e) Na veri�cação à �exão, a tensão solicitante é igual a 15MPa.
Justi�cativa
Questão 2: Para uma viga quadrada de 4,5m de comprimento, feita de madeira dicotiledônea de classe C30, com um k =
0,50 e submetida a um carregamento distribuído de 3kN/m, determine as suas dimensões mínimas admissíveis. Considere
que a viga está apoiada em suportes de 15cm de comprimento. Considere, também, que f ≅f (propriedade que pode
ser adotada para a maioria das madeiras).
Resposta Correta
Questão 3: Para uma peça feita de madeira conífera de classe C25, de dimensões 5cm x 30cm, com um k = 0,40,
comprimento 1,5m e submetida a um carregamento uniforme 14kN/m, apoiada sobre um suporte de 10cm, assinale a opção
correta:
a) A tensão resistente ao cisalhamento é igual a 1,5MPa.
b) O valor de β é 19,5.
c) Para evitar a �ambagem lateral da peça, seria necessário ter pelo menos uma contenção lateral ao longo da viga, além da
existente nos apoios.
d) Se não houver �ambagem lateral da peça, a veri�cação de tensões mais dimensionante, neste caso, é a de cisalhamento.
e) A tensão solicitante de �exão, tanto a compressão quanto a tração, é de 6MPa.
Justi�cativa
mod
1
mod
t0,d c0,d
mod
M
Glossário
VIGAS SIMPLES
Podemos calculá-las como biapoiadas, não levando em consideração a melhor distribuição entre momentos positivos e negativos, por
conta da continuidade. Consideramos, para vigas biapoiadas, um vão teórico l dado pelo menor valor entre as duas expressões:
l = l
l = l′ + h ≤ l′ + 10cm
VIGAS CONTÍNUAS
Para vigas contínuas, o valor de l é igual a l nos vãos intermediários, e nos vãos mais extremos l é igual ao vão livre mais a metade da
altura da viga e a metade da largura do apoio intermediário.
A Figura 1 indica as dimensões discutidas:
0
0
Figura 1: Vãos teóricos das vigas
Fonte: Reprodução de PFEIL e PFEIL, 2003, p.97.