CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS 4

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CÁLCULO APLICADO - VÁRIASCÁLCULO APLICADO - VÁRIAS
VARIÁVEISVARIÁVEIS
EQUAÇÕES DIFERENCIAISEQUAÇÕES DIFERENCIAIS
ORDINÁRIASORDINÁRIAS
Autor: Me. Talita Druziani Marchiori
Revisor : Ra imundo A lmeida
IN IC IAR
introdução
Introdução
Nesta unidade iremos trabalhar com equações diferenciais ordinárias, ou seja,
com equações que envolvem derivadas simples de uma única variável
independente.
Começaremos nos familiarizando com os conceitos de uma equação
diferencial. Depois, vamos de�nir quais equações representam a classe das
equações separáveis, equações lineares de 1ª ordem e equações homogêneas
com coe�cientes constantes de 2ª ordem.
Como veremos, equações homogêneas de 2ª ordem são um caso particular de
equações lineares de 2ª ordem, logo sua resolução pode ser realizado por um
método similar a resolução de equações lineares de 1ª ordem.
Esperamos que você aproveite ao máximo este conteúdo. Resolva os exemplos
e exercícios e não esqueça de perguntar suas dúvidas. Bons estudos!
Até o momento, dada uma função sabemos determinar sua derivada
em relação a , que é também uma função, e denotamos por . Por
exemplo, se a regra da cadeia nos diz que . Nesta
unidade, vamos ter uma equação da forma e vamos desejar
encontrar qual função a satisfaça.
Toda equação que possui derivadas de uma ou mais variáveis dependentes, em
relação a uma ou mais variáveis independentes é denominada equação
diferencial. Quando a equação diferencial envolve somente derivadas com
relação a uma única variável independente, ela é classi�cada como uma
equação diferencial ordinária. Muitas vezes, para simpli�car notação,
denotamos as equações diferenciais ordinárias por EDO.
As equações,
1. ;
2. 
3. ;
Introdução às EquaçõesIntrodução às Equações
Diferenciais Ordinárias.Diferenciais Ordinárias.
y = f (x)
x = (x)
dy
dx
f ′
y = ex
2
= 2x  = 2xy
dy
dx
ex
2
= 2xy 
dy
dx
f (x)
− 5y = 1
dy
dt
(y − x)  dx  +  4x dy  =  0;
− = xdu
dx
dv
dx
4. 
são exemplos de equações diferenciais ordinárias.
A ordem de uma EDO é de�nida como a ordem da derivada de maior ordem.
Logo, é de primeira ordem e é de segunda
ordem.
Uma EDO é chamada de linear se pode escrevê-la da forma:
onde os coe�cientes   e são funções que dependem somente
da variável independente . Quando a EDO não é linear, chamamo-a de não-
linear.
Por exemplo, é uma equação diferencial
ordinária linear de segunda ordem linear onde ,
 e . Já a equação diferencial ordinária de
terceira ordem é não-linear pois o coe�ciente
 é uma função da variável dependente .
Qualquer função   de�nida em um intervalo , que quando substituída na
EDO, reduz a equação a uma identidade é uma solução para EDO no intervalo
. Então, pelo que vimos acima, e são
 soluções para a equação no intervalo .  
Observe que , onde é uma constante qualquer também é
uma solução para no intervalo . As soluções e ,
mencionadas no parágrafo acima, são ditas soluções particulares. Já é
conhecida como solução geral, pois abrange todas as soluções da equação
diferencial. Com isso, vemos que uma equação diferencial pode possuir mais
que uma solução e que estas soluções se diferem apenas por uma constante.
− 2 + 6y = 0
d y2
dx2
dy
dx
− 5y = 1
dy
dt
− 2 + 6y = 0
d y2
dx2
dy
dx
(x)   + (x)   +. . . + (x)  y  =  g (x)an
dny 
dxn
a(n−1)
yd(n−1)
dx(n−1)
a0
,   , . . . ,  a0  a1 an g
x
x   −  3x  + 4y  =  02
d y2
dx2
dy
dx
(x) = xa2 2
(x) = −3x ,   (x) = 4a1 a0 g (x) = 0
+ 2 + y = 0
d y3
dx3
ex
d y2
dx2
dy
dx
= ya1 y
f I
I f (x) = + 2ex
2
g (x) = − 10ex
2
= 2xy dy
dx
(−∞, ∞)
y (x) = + Cex
2
C 
= 2xy 
dy
dx
(−∞, ∞) f g
y
Chamamos de problema de valor inicial todo problema composto por uma
equação diferencial e o valor da função procurada em um determinado ponto.
Este ponto é denominado valor inicial. Por exemplo,
é um problema de valor inicial com valor inicial igual a 1. Como acabamos de
ver, é uma solução da equação , onde é uma
constante qualquer. Porém, como neste caso, temos a condição de   ,
isso implica que, Então, a solução deste problema é dada pela função
.
Como temos um valor determinado no enunciado do problema, temos que a
solução de um problema de valor inicial é única, caso exista.
= 2xy ;  y (1) = e 
dy
dx
y (x) = + Cex
2
= 2xy
dy
dx
C
y (1) = e
C = 0.
y (x) = ex
2
Nos demais tópicos desta unidade, vamos aprender técnicas para resolver
alguns tipos de EDO.
ti
eflita
Re�ita
equentemente, desejamos descrever situações através de
rmos matemáticos, que chamamos de modelos matemáticos.
uitos desses modelos são equações diferenciais.   Por
emplo, na engenharia, podemos determinar a de�exão
tática de uma viga elástica causada por seu peso ou por uma
rga externa, através de uma equação diferencial. Em
asticidade, é visto que o momento de�etor em um
nto ao longo da viga está relacionado com a carga por
idade de comprimento através da equação
. Utilizando esta equação e a proporcionalidade
istente entre o de�etor e à curvatura da viga, a de�exão 
 uma viga �xa em sua extremidade esquerda e solta em sua
tremidade direita, como uma haste de bandeira, por
emplo, é dada pela equação , onde é uma
nstante conhecida por rigidez de�etora da viga. Outras
uações presentes na engenharia são descritos através de
uações diferenciais, pesquise e re�ita sobre!
nte: Elaborado pelo autor.
M (x)
x
w (x)
= w (x)M
x2
y (x)
C = w (x)
yd4
dx4
C
praticar
Vamos Praticar
O estudo de equações diferenciais ordinárias é similar ao cálculo integral. As integrais
são resolvidas a partir das antiderivadas de uma função. A diferença é que agora
temos que determinar que função satisfaz uma equação, com mais termos que uma
integral. Com base na teoria vista neste primeiro tópico, assinale a alternativa correta.
a) A equação é uma EDO.
b) b)A equação é uma EDO não-linear.
c) c) A EDO é linear.
d) A EDO linear possui como solução no intervalo
 a função .
e) A função é uma solução para EDO não linear no
intervalo .
= −du
dy
dv
dx
− 2 + y = 0y ′′ y ′
y    −  2  = xy ′′ y ′
− 2 + y = 0y ′′ y ′
(−∞, ∞) y = xex
f (x) = x4 = x
dy
dx
y1/2
(−∞, ∞)
Neste tópico, vamos de�nir o que é uma equação diferencial separável e
mostrar uma metodologia para resolver esta classe de equações.
Primeiro, observe que, se for uma função contínua, a equação
pode ser solucionada através da integração, então uma solução desta equação
é dada por
,
onde é uma constante. Por exemplo,
 é solução de .
Equações DiferenciaisEquações Diferenciais
SeparáveisSeparáveis
g (x)
= g (x)
dy
dx
y = g (x)  dx  + C∫
C
y = sen x dx  + C =   −  cos x  + C∫ = sen xdy
dx
Chamamos de separável toda equação diferencial que pode ser escrita da
forma
Esta classe de equações pode ser resolvida integrando as funções e . Para
esclarecer este método de resolução, vamos resolver um exemplo.
Considere a equação . Temos que
.
Então, esta equação é separável com e . Integrando
ambos os lados da igualdade, vamos obter
 ou, equivalentemente, 
Mas,
e
com isso,
.
Aplicando o exponencial na igualdade acima, temos
h (y)  dy  =  g (x)  dx.
h g
(1 + x)  dy  −  y dx = 0
(1 + x)  dy  −  y dx = 0 ⇔ (1 + x)  dy  =  y dx ⇔ =
dy
y
dx
(1 + x)
h (y) = 1
y
g (x) = 11+x
=∫ dy
y
∫ dx
(1+x)
dy =  dx.∫ 1
y
∫ 1
(1+x)
 dy = ln |y| + C∫ 1
y
 dx = ln  |1 + x| + C∫ 1
(1 + x)
ln |y|   =  ln  |1 + x| + C
= =eln|y| eln |1+x|+C eln |1+x|eC
donde
Como é uma constante, e (
constante) são soluções da equação   . Logo, a
solução geral é dada por .
y =   |1 + x| =   ± (1 + x) .eC eC
eC y =   (1 + x)  k y =   − (1 + x)  k k
(1 + x)  dy  −  y dx = 0
y =   (1 + x)  k
CONSTANTE
1. Observe que para cada constante k considerada na solução y=(1+x)k que
acabamos de determinar, obtemos uma solução diferente para equação
(1=x)\ dy\ -ydx=0.
< >
Neste exemplo que acabamos de resolver, deixamos como função de ,
porém não há necessidade de sempre tentar fazer isso. Por exemplo, seja a
equação .Reescrevendo esta equação, temos
 donde .
Isto é, é uma equação exata onde
 e . Integrando, obtemos
.
Logo, é a solução geral de
.
Observe que em ambos os exemplos, quando realizamos a integração,
deixamos sinalizado o uso de apenas uma constante . Isso vem do fato que a
soma e subtração de constantes resulta numa constante, então não
precisamos carregar duas constantes na equação.
praticar
Vamos Praticar
Muitos modelos matemáticos são descritos através das equações diferenciais por
exemplo, podemos descrever a propagação de praga com as equações separáveis.
y x
x senx dx  −  y dy  =  0e−y
x senx dx  =  y dye−y xsenx dx  =    dy
y
e−y
x senx dx  −  y dy  =  0e−y
g (x) =  xsenx h (y) =
y
e−y
xsenx dx  =    dy∫ ∫ y
e−y
−x cox x  +  sen x  =  y  − + Cey  ey
−x cox x  +  sen x  =  y  − + Cey  ey
x senx dx  −  y dy  =  0e−y
C
Considerando a equação diferencial ordinária de primeira ordem dada por
 assinale a alternativa correta em relação a solução geral desta equação:
a) .
b) 
c) 
d) 
e) 
= ,
dy
dx
x2
1−y2
−x + 3y − y = c3 3
x + 3y + y = c3 3
y = x + y + C3 3
−x − y + 1 = 03 3
y + x − y = c2 2
No primeiro tópico desta unidade de�nimos que uma equação diferencial
linear é uma equação que pode ser escrita da forma
onde os coe�cientes   e são funções que dependem somente
da variável independente . Considerando , temos uma equação linear
de 1ª ordem. Ou seja,
é denominada de equação linear de 1ª ordem. Sendo , dividindo
esta igualdade por , podemos reescrever a equação linear como
Para determinar soluções de uma equação linear, utilizamos o método do fator
integrante. Este método consiste em multiplicarmos a equação por uma função
 apropriada, denominada fator de integração, para conseguirmos realizar
EDOs Lineares de 1ª OrdemEDOs Lineares de 1ª Ordem
e Homogêneas de 2ªe Homogêneas de 2ª
OrdemOrdem
(x)   + (x)   +. . . + (x)  y  =  g (x)an
dny 
dxn
a(n−1)
yd(n−1)
dx(n−1)
a0
,   , . . . ,  a0  a1 an g
x n = 1
(x) + (x) y = g (x)a1
dy
dx
a0
(x) ≠ 0a1
(x)a1
+ P (x) y = f (x) .
dy
dx
μ (x)
uma integração. Como veremos no exemplo abaixo , onde
 é identi�cado escrevendo a equação linear na forma
Por exemplo, considere a equação linear . Dividindo todos
os termos por , obtemos
.
Este é o primeiro passo para resolver uma equação linear. Identi�cando ,
com o passo anterior, o segundo passo, consiste em determinar o fator de
integração .  Neste exemplo, e
No próximo passo, multiplicamos o fator de integração na equação, logo
.
Observe que
Isso sempre ocorre quando determinamos e multiplicamos corretamente o
fator de integração na equação. Com isso, reescrevemos
 como
O último passo, consiste em integrar ambos os lado da igualdade obtida, isto é,
μ (x) = e P(x) dx∫
P (x)
+ P (x) y = f (x) .
dy
dx
x − 4y =
dy
dx
x6ex
(x) = xa1
− y =
dy
dx
4
x
x5ex
P (x)
e P(x) dx∫ P (x) dx = −  dx = −4ln |x|∫ ∫ 4x
= = =e P(x) dx∫ e−4ln|x| eln x
−4
x−4
  − y =x−4
dy
dx
4
x5
xex
[ y] =   − y.
d
dx
x−4 x−4
dy
dx
4
x5
  − y =x−4
dy
dx
4
x5
xex
[ y] = x .
d
dx
x−4 ex
.
Como o cálculo integral e o cálculo diferencial são processos inversos,
. Donde, concluímos
ou, equivalentemente
é a solução geral de .
[ y] dx = x dx∫ d
dx
x−4 ∫ ex
[ y] dx = y∫ d
dx
x−4 x−4
y = x   −   + Cx−4 ex ex
y = − + C ,x5ex x4ex x4
x − 4y =
dy
dx
x6ex
Agora, considere a equação diferencial de segunda ordem da forma
,
onde a, b e c são constantes. Esta equação é chamada de equação homogênea
de 2ª ordem com coe�cientes constantes. Note, que uma equação homogênea
saiba mais
Saiba mais
Como mencionamos no primeiro tópico desta
unidade, uma equação diferencial ordinária
que não é linear, é denominada não-linear.
Resolver esta classe se equações se torna uma
tarefa difícil. Porém, existem equações não-
lineares que podem ser reescritas como uma
equação linear, logo, seu método de
resolução, consiste no método apresentado
acima para equações lineares.
Por exemplo,  equações da forma
 são equações
diferenciais ordinárias não-lineares
conhecidas com a nomenclatura Equação de
Bernoulli. Realizando a substituição ,
transformamos uma Equação de Bernoulli em
uma equação linear. Para ver outros exemplos
de equações não lineares que podem ser
transformadas em equações lineares, acesse
o artigo completo.
Fonte: Elaborado pelo autor.
ACESSAR
+ M (x)  y = N (x)    
dy
dx
yn
z = y1−n
a  + b + c y  =  0
d y2
dx2
dy
dx
http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/pdfs/edo.pdf
de 2ª ordem é uma equação linear de 2ª ordem com coe�cientes
 e e , para todo .
Prosseguindo com o método de resolução que acabamos de estudar para as
equações lineares de 1ª ordem, se é constante, concluímos que a
equação possui a solução exponencial em .
Logo, é intuitivo imaginar que a equação homogênea de 2ª ordem possui uma
solução similar.
Considerando uma solução da forma para a equação
, temos que e :
 ou
Mas, , para todo . Então, para ser solução da equação
homogênea de 2ª ordem com coe�cientes constantes, é necessário que seja
raiz de .   Esta equação quadrática é conhecida como
equação auxiliar.
Sabemos que em uma equação do 2º grau, temos três situações possíveis para
suas raízes. Então, ou a equação auxiliar possui raízes reais e distintas ou
possui raízes iguais ou possui raízes complexas conjugadas.
Se possuir raízes reais e distintas, digamos e ,
temos duas soluções para   em , dadas por
 e . Então, neste caso, a solução geral é dada por
.
Se possuir raízes reais iguais, ou seja, , teremos
somente uma solução para   em 
e, a solução geral será dada por .
Por �m, se possuir raízes complexas conjugadas, temos
que e , sendo e números reais. As soluções
gerais neste caso são análogas as soluções gerais de quando a equação
(x) = a,   (x) = ba2 a1 (x) = ca0 g (x) = 0 x
(x) = aa0
+ ay = 0
dy
dx
y = ce−ax (−∞, ∞)
y = emx
a  + b + c y  =  0
d y2
dx2
dy
dx
= m  y′ emx = my′′ 2emx
a  + b + c y  = (am + bm + c) = 0 ⇒ = 0d y
2
dx2
dy
dx
emx 2 emx
am + bm + c = 0.2
≠ 0emx x y = emx
m
am + bm + c = 02
am + bm + c = 02 m1 m2
a  + b + c y  =  0
d y2
dx2
dy
dx
(−∞, ∞)
=y1 e
xm1 =y2 e
xm2
y = +C1e xm1 C2e xm2
am + bm + c = 02 =m1 m2
y = e xm1 a  + b + c y  =  0
d y2
dx2
dy
dx
(−∞, ∞)
y = +C1e xm1 C2e xm1
am + bm + c = 02
= α + iβm1 = α − iβm2 α β
quadrática possui duas raízes reais, ou seja, .
Utilizando a igualdade reescrevemos a solução geral da
equação em como
.
Considere a equação homogênea de 2ª ordem dada por .
  Neste caso, e . Então, para obter a solução geral desta
equação, precisamos determinar as raízes da equação quadrática
, isto é, 
Resolvendo esta equação quadrática, obtemos que suas raízes são números
complexos conjugados dados por
 e 
Então, pelo que acabamos de ver, a solução geral de no
intervalo é dada por
praticar
Vamos Praticar
Para resolvermos situações problema envolvendo as equações diferenciais, devemos
saber classi�cá-la, identi�cando sua ordem e classe. Desta forma, saberemos o
melhor caminho que devemos seguir para determinar a solução do problema.
Considere as equações
y = +C1e(α+iβ)x C2e(α−iβ)x
= cos θ + isenθ.eiθ
a  + b + c y  =  0
d y2
dx2
dy
dx
(−∞, ∞)
y = ( cos β x + sen β x)eαx C1 C2
+ + y = 0
d y2
dx2
dy
dx
a = 1,  b = 1 c = 1
am + bm + c = 02 m + m + 1 = 0.2
=   − + im1
1
2
3√
2 =   − + i.m2
1
2
3√
2
+ + y = 0
d y2
dx2
dy
dx
(−∞, ∞)
y = ( cos   x  +   sen   x) .e−x/2 C1
3
–√
2
C2
3
–√
2
Com base no que aprendemos neste tópico, assinale a alternativa correta.
a) A equação é uma equação homogênea de 2ª ordem.
b) A equação auxiliar de O possui raízes iguais a 3.
c) A solução geral de é dada por 
d) Temos que é a solução geral  
e) As equações e não possuem nenhuma
solução em comum.
2   − 5   − 3y  = 0 e  − 3y = 0.y′′ y′ y′
− 3y = 0 y ′
2   − 5   − 3y  = 0y ′′ y ′
− 3y = 0 y ′ y = 3x  + C.
y = +C1 e
−x/2 C2e
3x 2 − 5 − 3y = 0.y ′′ y ′
2   − 5   − 3y  = 0y ′′ y ′ − 3y = 0y ′
Como emdiversas situações os modelos matemáticos são descritos por
equações diferenciais,, podemos utilizar os métodos de resolução aprendidos
nesta unidade para resolvê-los.
Poderíamos citar aplicações das mais diversas áreas como o decrescimento
radioativo, crescimento populacional, a de�exão de uma viga, corrente em um
circuito em série etc. No que segue, iremos resolver dois exemplos de
aplicação.
Aplicação das Equações Separáveis
Imagine a seguinte situação:
Um objeto de massa m é projetado sobre a terra em uma direção
perpendicular. Considerando sua velocidade inicial igual a e que não há
resistência do ar, qual a menor velocidade inicial para a qual o corpo não
retornará à superfície?
A velocidade procurada é conhecida como velocidade de escape.
Aplicações das EquaçõesAplicações das Equações
Diferenciais OrdináriasDiferenciais Ordinárias
v0
Vamos considerar o semi eixo positivo dos apontando para fora do centro da
Terra no decorrer da linha de movimento. Então, corresponde a
superfície da Terra.   Denotando por o raio da Terra, temos que a força
gravitacional agindo no objeto é dada por onde é uma
constante. Mas, sabemos que devido a gravidade no nível do mar, para 
temos que , onde é a aceleração. Logo , isto é,
.
Desconsiderando outras forças agindo sobre o objeto, a equação de
movimento é dada por
com condição inicial 
Considerando como variável independente, podemos reescrever a equação
do movimento como
ou ainda,
que é uma equação separável.
Como vimos no segundo tópico desta unidade, a solução geral de uma equação
separável é determinada integrando ambos os lados da igualdade. Fazendo
isso, obtemos
x
x = 0
R 
w (x) =   −  ,  k
(x+R)2
k
x = 0
w (0) =   − mg  g k = mgR2
w (x) =   −
mgR2
(x + R) 2
m =   −
dv
dt
mgR2
(x + R) 2
v (0) = .v0
x
v =   −
dv
dx
gR2
(x + R) 2
v dv =   −  dx
gR2
(x + R) 2
De , temos
Substituindo este valor de na equação acima, temos que a solução da
equação do movimento com condição inicial é dada por
.
Fazendo e obtemos
 e ,
que são, respectivamente, a altitude máxima que o objeto alcança e a
velocidade inicial necessária para levantar o objeto até a altitude .
A velocidade de escape é determinada calculando , ou seja,
O valor numérico de é aproximadamente km/s.
Aplicação das Equações Lineares
Em engenharia, a equação
com condição inicial em que é uma constante de
proporcionalidade, pode descrever a temperatura de um corpo em
resfriamento. Já em física, o mesmo problema de valor inicial, ou seja, a
equação com a condição inicial, pode proporcionar o cálculo aproximado da
= + C ⇒ v = 2 + C.v
2
2
gR2
R+x
2 gR
2
R+x
= v (0)v0
= 2 + C ⇒ = 2gR  +  C ⇒ C = − 2gR.v02
gR2
R
v0
2 v0
2
C
= v (0)v0
v = ± − 2gR +v02
2gR2
R+x
− −−−−−−−−−−−−−
√
v = 0 x = ε
ε = Rv0
2
2gR−v02
=v0 2gR
ε
R+ε
− −−−−−−
√
ε
ve lim
ε→∞
2gR ε
R+ε
− −−−−−−
√
= .ve lim
ε→∞
2gR =ε
R+ε
− −−−−−−−−
√ 2gR− −−−√
ve 11, 1
= kx
dx
dt
x ( ) =t0 x0 k
quantidade remanescente de uma substância que está sendo desintegrada
através de radioatividade.
Por exemplo, considere que um corpo está inicialmente com a temperatura .
Uma hora depois, para , a temperatura passa a ser . Se a taxa de
decrescimento é proporcional a temperatura, desprezando a temperatura do
meio ambiente, qual o tempo necessário para que essa temperatura decresça a
terça parte?
Queremos resolver a equação diferencial com condição inicial
.  Como
é uma equação linear de 1ª ordem, seu fator de integração é dado por .
Então,
Mas, para donde . Com isso, .
Por outro lado, para , , isto é,
Portanto, a solução é dada pela expressão e, como
desejamos a terça parte da temperatura, o que implica
que isto ocorre em horas.
praticar
V P ti
T0
t = 1 34 T0
= kTdT
dt
T (0) = T0
− kT = 0
dT
dt
e (−k)dt∫
− kT = 0 ⇒ − kT = 0 ⇒ [ T ] = 0 ⇒ T (t) = C .
dT
dt
e−kt
dT
dt
e−kt
d
dt
e−kt ekt
t = 0 T (0) = T0 = CT0 T (t) = T0ekt
t = 1 =34 N0 N0e
k
= ⇒ k = ln ( ) ≃   − 0, 2877.3
4 e
k 3
4
T (t) = T0e−0,2877t
=1
3 T0 T0e
−0,2877 t
t ≃ 3, 82
Vamos Praticar
Considerando a temperatura do meio ambiente, a lei de resfriamento, que foi
enunciada por Newton, diz que a taxa de variação de temperatura   de um corpo
em resfriamento é proporcional à  diferença entre a temperatura do corpo e a
temperatura constante do meio ambiente, ou seja, onde é
a constante de proporcionalidade. Sabendo disso, se uma barra da estrutura de um
prédio é retirada do molde a uma temperatura de 300ºF e três minutos depois sua
temperatura passa para 200ºF, quanto tempo irá demorar para a temperatura da
barra atingir 75ºF, uma vez que a temperatura do meio ambiente é 70ºF?
a) 10 minutos
b) 20,1 minutos
c) 37,5 minutos
d) 59,6 minutos
e) 1 hora
T (t)
Tm = k (T − ) ,
dT
dt
Tm k
indicações
Material
Complementar
LIVRO
Equações Diferenciais, Volume 1
Dennis G. Zill e Michael R. Cullen
Editora: Pearson Education do Brasil
ISBN: 9788534612913
Comentário: Neste livro o aluno terá acesso a diversos
exemplos resolvidos da teoria das equações diferenciais
ordinárias e poderá praticar o conhecimento adquirido
nos exercícios propostos. Além disso, o livro apresenta
aplicações reais da teoria.
FILME
O homem que viu o in�inito
Ano: 2015
Comentário: Este �lme é baseado na história real do
matemático indiano Srinivasa Ramanujan. Srinivasa,
apesar de humilde e morar em um país que não havia
muita pesquisa na época, desenvolveu grandes
habilidades matemáticas que o �zeram realizar grandes
contribuições no mundo da matemática como a teoria
dos números e séries, por exemplo.
TRA ILER
conclusão
Conclusão
Chegamos ao �m desta unidade. No decorrer dela pudemos nos familiarizar
com as equações diferenciais ordinárias. Aprendemos métodos de resolução de
três classes especiais destas equações: as equações separáveis, equações
lineares de 1ª ordem e equações homogêneas de 2ª ordem com coe�cientes
constantes.
Como devem ter percebido, não existe uma única forma de solucionar uma
equação diferencial. Por exemplo, muitas equações são separáveis e lineares
de 1ª ordem. Cabe a nós identi�car o melhor método de resolução para
prosseguir. E, só alcançamos esta habilidade nos dedicando e praticando o
conteúdo, para sanar nossas dúvidas. Esperamos que você tenha feito isso no
decorrer da unidade. Sempre acredite em seu potencial, você é capaz. Até a
próxima!
referências
Referências
Bibliográ�cas
ZILL, D. G., CULLEN, M. R., Equações Diferenciais, volume 1, 3ª ed. São Paulo:
Pearson Education do Brasil, 2001.
BOYCE, W. E., DIPRIMA, R. C., Equações Diferenciais Elementares, 9ª ed. Rio
de Janeiro: Grupo GEN, 2010.