LISTA 51 - POLINÔMIOS

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TEOREMA MILITAR 
LISTA 51 – POLINÔMIOS 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
 
NÍVEL 1 – ESA/EEAR 
 
 
1. (EEAR 2018) Sejam os polinômios 
( ) ³ 2 ² 4A x x x x= + − − , ( ) ³ ² 4 1B x ax bx x= − − + e 
( ) ( ) ( )P x A x B x= − . Para que ( )P x seja de grau 2, é 
necessário que: 
 
) 1 2
) 1 2
) 1 2
) 1 2
a a e b
b a e b
c a e b
d a e b
 − = −
= = −
=  −
 
 
 
2. (EEAR 2016) Dado o polinômio 
³ (2 ) ² 4 0ax a b x cx d+ + + + − = , os valores de a e b 
para que ele seja um polinômio de 2º grau são: 
 
) 0 0
) 1 2
) 0 0
) 1 0
a a e b
b a e b
c a e b
d a e b
= =
= 
= 
= − =
 
 
3. (ESA 2016) O grau do polinômio 
(4 1) ( ² 3) ( 1)x x x x−  − −  + é: 
 
a) 6 
b) 5 
c) 3 
d) 4 
e) 2 
 
4. (EEAR 2017) Considere ( ) 2 ³ ²P x x bx cx= + + tal 
que P(1)=-2 e P(2)=6. Assim, os valores de b e c são, 
respectivamente: 
 
a) 1 e 2 
b) 1 e -2 
c) -1 e 3 
d) -1 e -3 
 
5. (EEAR 2006) Sejam os polinômios 
( ) ( ² 1) ( ) ( 1)A x a x x bx c x= + + + +  + e 
( ) ² 2 1B x x x= − + . Se ( ) ( )A x B x , então a+b-c é 
igual a: 
 
a) 4 
b) 3 
c) 2 
d) 1 
 
 
 
 
 
 
6. (ESA 2013) Para que o polinômio do segundo grau 
( ) 3 ²A x x bx c= − + , com c>0 seja o quadrado do 
polinômio ( )B x mx n= + , é necessário que: 
 
) ² 4
) ² 12
) ² 12
) ² 36
) ² 36
a b c
b b c
c b
d b c
e b
=
=
=
=
=
 
 
7. (ESA 2014) Sendo o polinômio 
( ) ³ 3 ²P x x x ax b= + + + um cubo perfeito, a diferença 
a-b vale: 
 
a) 3 
b) 2 
c) 1 
d) 0 
e) -1 
 
8. (ESA 2008) Se o resto da divisão do polinômio 
( ) 2 5 30nP x x x= + − por ( ) 2Q x x= − é igual 44, 
então n é igual a : 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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NÍVEL 2 – OFICIALATO 
 
1. (Unicamp 2021) Sabendo que a é um número real, 
considere os polinômios 3 2p(x) x x a= − + e 
2q(x) x x 2.= + + Se p(x) é divisível por q(x), então 
a) a 3.= 
b) a 2.= 
c) a 1.= − 
d) a 4.= − 
 
2. (Acafe 2021) Se 
3 2p(x) (a b)x (5a b 4)x (3c d)x d 2= + + − + + + + + é 
polinômio nulo, então o valor de | a c |+ é: 
a) 
1
3
 
b) 
2
3
 
c) 2 
d) 0 
 
3. (EsPCEx 2020) Dividindo-se o polinômio 
4 3P(x) 2x 5x kx 1= − + − por (x 3)− e (x 2),+ os 
restos são iguais. Neste caso, o valor de k é igual a 
 
a) 10. 
b) 9. 
c) 8. 
d) 7. 
e) 6. 
 
4. (Unesp 2020) Considere os polinômios 
x 1 0
p(x) 2 x 1
m x x
= − e 
1 3
q(x) .
1 x
= 
 
Para que p(x) seja divisível por q(x), é necessário que 
m seja igual a 
 
a) 30. 
b) 12. 
c) 12.− 
d) 3.− 
e) 30.− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. (Ime 2020) Um polinômio P(x) de grau maior que 
3 quando dividido por x 2, x 3− − e x 5− deixa restos 
2, 3 e 5, respectivamente. O resto da divisão de P(x) 
por (x 2)(x 3)(x 5)− − − é: 
 
a) 1 
b) x 
c) 30 
d) x 1− 
e) x 30− 
 
6. (Fuvest 2020) Se 2 3 33x 9x 7 (x a) (x b) ,− + = − − − 
para todo número real x, o valor de a b+ é 
 
a) 3. 
b) 5. 
c) 6. 
d) 9. 
e) 12. 
 
7. (Ufjf-pism 3 2020) A divisão de um polinômio p(x) 
pelo polinômio 2x x− resulta como quociente 
22x x 1+ + e, por resto, o polinômio 3x. O resto da 
divisão do polinômio p(x) por 2x 1+ é igual a 
 
a) 
1
2
− 
b) 
3
4
− 
c) 
1
2
 
d) 
3
4
 
e) 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8. (EPCAr 2017) Sejam Q(x) e R(x) o quociente e o 
resto, respectivamente, da divisão do polinômio 
3 2x 6x 9x 3− + − pelo polinômio 2x 5x 6,− + em que 
x . 
 
O gráfico que melhor representa a função real definida 
por P(x) Q(x) R(x)= + é 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
9. (EsPCEx 2015) O polinômio 5 3 2f(x) x x x 1,= − + + 
quando dividido por 3q(x) x 3x 2= − + deixa resto r(x). 
Sabendo disso, o valor numérico de r( 1)− é 
 
a) 10.− 
b) 4.− 
c) 0. 
d) 4. 
e) 10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. (EsPCEx 2013) Um polinômio q(x), do 2º grau, é 
definido por ( ) 2q x ax bx c,= + + com a, b e c reais, 
a 0. Dentre os polinômios a seguir, aquele que 
verifica a igualdade ( ) ( )q x q 1 x ,= − para todo x real, é 
a) ( ) ( )2q x a x x c= + + 
b) ( ) ( )2q x a x – x c= + 
c) ( ) ( )2 2q x a x – x c= + 
d) ( ) ( )2 2q x a x x c= + + 
e) ( ) 2q x a x c= + 
 
 
GABARITO NÍVEL 1 
 
1. C 
2. C 
3. D 
4. D 
5. A 
6. B 
7. B 
8. D 
 
GABARITO NÍVEL 2 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
Se p(x) é divisível por q(x), então existe s(x) x b= + 
tal que p(x) q(x)s(x),= ou seja, 
3 2 2
3 2
x x a (x x 2)(x b)
x (b 1)x (b 2)x 2b.
− + = + + +
= + + + + +
 
 
Em consequência, da identidade polinomial, vem 
b 2= − e, portanto, a 4.= − 
 
Resposta da questão 2: 
 [D] 
 
Como se trata de um polinômio nulo, os seus 
coeficientes devem ser nulos. Dessa forma: 
a b 0 (I)
5a b 4 0 (II)
3c d 0 (III)
d 2 0 (IV)
(IV) : d 2
2
(IV) (III) : 3c 2 0 c
3
2
(I) (II) : 6a 4 0 a
3
a c 0
+ =

− + =

+ =
 + =
= −
→ − =  =
+ + =  = −
 + =
 
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Resposta da questão 3: 
 [B] 
 
Sabendo que os restos são iguais, pelo Teorema do 
Resto, vem 
4 3 4 3P(3) P( 2) 2 3 5 3 k 3 1 2 ( 2) 5 ( 2) k ( 2) 1
27 3k 72 2k
k 9.
= −   −  +  − =  − −  − +  − −
 + = −
 =
 
 
Resposta da questão 4: 
 [A] 
 
Desde que 
3 2
x 1 0
p(x) 2 x 1 x x 2x m
m x x
= − = + − − 
e 
 
1 3
q(x) x 3,
1 x
= = − 
 
pelo Teorema do Resto, deve-se ter 
3 2p(3) 0 3 3 2 3 m 0
m 30.
=  + −  − =
 =
 
 
Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
Do enunciado, 
( ) ( )P 2 2, P 3 3= = e ( )P 5 5.= 
 
O resto da divisão de ( )P x por ( ) ( ) ( )x 2 x 3 x 5−  −  − 
é um polinômio de grau menor ou igual a 2, logo, tal 
resto é ( ) 2R x ax bx c.= + + 
 
Daí, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2P x Q x x 2 x 3 x 5 ax bx c,  −  −  − + + + de 
modo que ( )Q x é o quociente da divisão de ( )P x por 
( ) ( ) ( )x 2 x 3 x 5 .−  −  − 
 
Então, 
( )
( )
( )
2 4a 2b c i
3 9a 3b c ii
5 25a 5b c iii
 = + +

= + +

= + +
 
 
Das equações (i) e (ii), 
( )1 5a b iv= + 
 
Das equações (ii) e (iii), 
( )
2 16a 2b
1 8a b v
= +
= +
 
 
Das equações (iv) e (v), 
5a b 8a b
3a 0
a 0
+ = +
=
=
 
 
Substituindo a 0= na equação (iv), 
b 1= 
 
Substituindo a 0= e b 1= na equação (i), 
2 2 1 c
c 0
=  +
=
 
 
Portanto, 
R(x) x= 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
Tem-se que 
2 3 3
3 2 2 3 3 2 2 3
2 2 2 3 3
3x 9x 7 (x a) (x b)
x 3ax 3a x a x 3bx 3b x b
(3b 3a)x (3a 3b ) b a .
− + = − − −
= − + − − + − +
= − + − + −
 
 
Em consequência, como os polinômios são idênticos, 
vem 
2 2
3b 3a 3 b a 1
(b a)(b a) 33a 3b 9
b a 1
.
a b 3
− = − =

− + =− = −
− =

+ =
 
 
Resposta da questão 7: 
 [B] 
 
Do enunciado, obtemos: 
( ) ( )( )
( )
( )
2 2
4 3 2 3 2
4 3
p x x x 2x x 1 3x
p x 2x x x 2x x x 3x
p x 2x x 2x
= − + + +
= + + − − − +
= − +
 
 
Pelo teorema do resto, o resto da divisão pedida vale: 
4 3
1 1 1 1
p 2 2
2 2 2 2
1 1 1
p 2 1
2 16 8
1 3
p
2 4
       
− =  − − − +  −       
       
 
− =  + − 
 
 
 − = − 
 
 
 
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Resposta da questão 8: 
 [A] 
 
Efetuando a divisão dos polinômios, temos: 
 
3 2 2
3 2
x 6x 9x 3 x 5x 6
x 5x 6x x 1
− + − − +
− + − −
2
2
x 3x 3
x 5x 6
− + −
− +
2x 3− +
 
 
Portanto, 
P(x) x 1 2x 3
P(x) x 2
= − − +
= − +
 
 
Construindo o gráfico de P(x), temos: 
 
 
 
Portanto, a melhor opção é a letra [A]. 
 
Resposta da questão 9: 
 [A] 
 
5 4 3 2 3 2
5 4 3 2 2
x 0x x x 0x 1 x 0x 3x 2
x 0x 3x 2x x 2
+ − + + + + − +
− + + − +
3 2
3 2
2x x 0x 1
2x0x 6x 4
+ − + +
− + + −
2x 6x 3− + −
 
 
Portanto, 2r(x) x 6x 3=− + − e 
2r( 1) ( 1) 6( 1) 3 10.− =− − + − − = − 
 
 
 
Resposta da questão 10: 
 Questão anulada no gabarito oficial. 
 
Se q(x) q(1 x),= − então 
 
2 2
2 2
ax bx c a(1 x) b(1 x) c
ax (2a b)x a b c.
+ + = − + − +
= − + + + +
 
 
Assim, obtemos o sistema 
 
2 2
2
b 2a b a b
a b c c a b
a a 0
a 0 e b 0
 ou
a 1 e b 1
= − − = −  
 
+ + = = −  
 − =
= =

 
 = = −
 
 
Dado que a 0, segue que a 1= e b 1.= − Portanto, 
2 2q(x) x x c a(x x) c.= − + = − + Por outro lado, como 
2a a 1,= = vem que as alternativas [B] e [C] estão 
corretas.