LISTA 13 - POLÍGONOS REGULARES

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TEOREMA MILITAR 
LISTA 13 – POLÍGONOS REGULARES 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
 
1. (EsPCEx 2021) Se a medida do raio da circunferência 
circunscrita a um octógono regular é R, então a medida 
do raio da circunferência inscrita a esse octógono é igual 
a 
 
a) 
R
1 2.
2
+ 
b) 
R
1 3.
2
+ 
c) 
R
2 2.
2
+ 
d) 
R
2 3.
2
+ 
e) 
R
2 3.
2
− 
 
2. (Uece 2020) Um quadrado cuja medida do lado é 
3 cm está inscrito em uma circunferência cuja medida 
do raio é R cm e circunscrito a uma circunferência cuja 
medida do raio é r cm. Nestas condições, a relação 
r
R
 
é igual a 
 
a) 
2
.
2
 
b) 
3
.
2
 
c) 
2
.
3
 
d) 
3
.
3
 
 
3. (Mackenzie 2019) Os raios das circunferências, 
inscrita e circunscrita, ao triângulo equilátero cujo lado 
mede a, são, respectivamente, 
 
a) 
a
3
 e 
2a
3
 
b) 
a
2
 e a 
c) 
a 2
2
 e a 2 
d) 
a 3
6
 e 
a 3
3
 
e) 
a 3
2
 e a 3 
 
 
 
 
 
 
4. (Ueg 2019) Observando-se o desenho a seguir, no 
qual o círculo tem raio r, e calculando-se o apótema 
4a , obtemos 
 
 
 
a) 2r 2 
b) 3r 2 
c) 
3r
2
2
 
d) 
r
2
2
 
e) r 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. (AFA 2018) A figura a seguir é um pentágono regular 
de lado 2 cm. 
 
 
 
Os triângulos DBC e BCP são semelhantes. 
 
A medida de AC, uma das diagonais do pentágono 
regular, em cm, é igual a 
 
a) 1 5+ 
b) 1 5− + 
c) 
5
2
2
+ 
d) 2 5 1− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. (Ufrgs 2017) Considere um pentágono regular 
ABCDE de lado 1. Tomando os pontos médios de 
seus lados, constrói-se um pentágono FGHIJ, como na 
figura abaixo. 
 
 
 
A medida do lado do pentágono FGHIJ é 
 
a) sen 36 . 
b) cos 36 . 
c) 
sen 36
.
2

 
d) 
cos 36
.
2

 
e) 2 cos 36 . 
 
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GABARITO 
 
Resposta da questão 1: 
 [C] 
 
Da figura abaixo, temos que: 
 
 
 
360
2 22,5
8
θ θ

=  =  
 
E: 
2
2
cos2x 2cos x 1
cos 1
cos 2cos 1 cos
2 2 2
2
1
cos45 1 2 22cos22,5
2 2 2
θ θ θ
θ
= −
+
= −  =
+
 + +
 = = =
 
 
Portanto: 
r 2 2
cos22,5
R 2
R
r 2 2
2
+
 = =
 = +
 
 
Resposta da questão 2: 
 [A] 
 
Desde que 2R 3 2= e 2r 3,= temos 
2r 3 r 2
.
2R R 23 2
=  = 
 
Resposta da questão 3: 
 [D] 
 
É imediato que a altura do triângulo considerado mede 
a 3
.
2
 
Sendo a medida do segmento que une o baricentro a um 
vértice do triângulo equilátero igual a 
2
3
 da altura, e a 
medida do segmento que une o baricentro ao ponto médio do 
lado oposto ao vértice considerado igual a 
1
3
 da altura, tem-
se que a resposta é 
a 3
6
 e 
a 3
.
3
 
 
Resposta da questão 4: 
 [D] 
Considerando que o diagonal do quadrado mede 2r e 
que o lado deste quadrado mede 42 a , podemos 
escrever que: 
4 4 4
r r 2
2 a 2 2 r a a
22

  =   =  = 
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
A medida de cada ângulo interno do pentágono regular 
ABCDE é dada por 
180 (5 2)
108 .
5
  −
=  
 
Logo, sendo os triângulos ABC e BCD isósceles 
congruentes, temos 
180 108
CAB ACB DBC BDC 36 .
2
 − 
   = =  
 
Em consequência, vem 
APB DPC DCP 72 .  =  
 
Portanto, como o triângulo APB é isósceles de base 
PB, segue que AP 2cm= e, assim, pela semelhança 
dos triângulos ABC e BPC, encontramos 
22 PC 2
PC 2PC 4 0
2 PC
PC ( 1 5)cm.
+
=  + − =
 = − +
 
 
A resposta é AC AP PC (1 5)cm.= + = + 
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
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Considerando a circunferência circunscrita no 
pentágono regular, concluímos que: 
72ˆGHC 36
2

= =  
 
Admitindo que x seja a medida do lado pedido e 
considerando o triângulo HMC, podemos escrever 
que: 
x
2cos36 x
1
2
 = = 
 
Portanto, 
x cos36= 