LISTA 5 - DETERMINANTES

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LISTA 5- DETERMINANTES 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
 
 
1. (EEAR 2013) O número real x, tal que 
 
1 2
3
x x
x
− +
−
=5, é: 
 
A) -2 
B) -1 
C) 0 
D) 1 
 
2. (EEAR 2007) Se as matrizes 
a b
c d
 
 
 
 e 
2 2
3 3
a c
b d
− 
 
− 
 
têm determinantes, respectivamente, iguais a x e y, e 
a d b c   , então o valor de 
y
x
é: 
 
A) 2 
B) 3 
C) -6 
D) -4 
 
3. (EEAR 2018) Considere a matriz 
1 1
2 4 1
x
A
x x
− 
=  
− 
. 
Os termos x-1, 2x, 4x-1, são, nessa ordem, termos 
consecutivos de uma progressão aritmética. Dessa 
forma, det(A) é igual a: 
 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
 
4. (ESA – 2014) Sabendo-se que uma matriz quadrada 
é invertível se, e somente se, seu determinante é não-
nulo e que, se A e B são duas matrizes quadradas de 
mesma ordem, então det(A.B)=det(A).det(B), pode-se 
concluir que, sob essas condições: 
 
A) se A é invertível, então A.B é invertível. 
B) se B não é invertível, então A é invertível. 
C) se A.B é invertível, então A é invertível e B não é 
invertível. 
D) se A.B não é invertível, então A ou B não é invertível. 
E) se A.B é invertível, então B é invertível e A não é 
invertível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. (EEAR 2015) O valor do determinante 
 
 
É igual a: 
 
A) -2 
B) 0 
C) 1 
D) 2 
 
6. (EEAR 2015) Sejam as matrizes 
2 1 3
0 5 1
3 2 1
A
 
 
=
 
  
 e
2 3
0 9
B
 
=  
 
. O valor de (det ) : (detB)A é: 
 
A) 4 
B) 3 
C) -1 
D) -2 
 
7. (ESA – 2009) Uma matriz B de ordem 3, é tal que, 
em cada linha, os elementos são termos consecutivos 
de uma progressão aritmética de razão 2. Se as somas 
dos elementos da primeira, segunda e terceira linhas 
valem 6, 3 e 0, respectivamente, o determinante de B é 
igual a: 
 
A) 1 
B) 0 
C) -1 
D) 3 
E) 2 
 
8. (EEAR 2016) Para que o determinante da matriz
1 1 1
1 0
1 2 1
b
− 
 
 
  
, seja 3 o valor de b deve ser igual a: 
 
A) 2 
B) 0 
C) -1 
D) -2 
 
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9. (EEAR 2015) Se 
2 0
0 2 16 3
0 2 0
x y
z y
z
= , então
( )
2
xyz é igual a: 
 
A) 8 
B) 12 
C) 24 
D) 36 
 
10. (EEAR 2018) Se 
0
0 2
2 0
x y
A x
y
 
 
=
 
  
 e 
detA 4 3= então 2 2x y é igual a: 
 
A) 24 
B) 12 
C) 6 
D) 3 
 
11. (EEAR 2009) Seja a matriz 
2
1 1 1
2 3
4 9
M x
x
 
 
= − 
 
 
. Se 
2det M ax bx c= + + , então o valor de a é: 
 
A) 12 
B) 10 
C) -5 
D) -7 
 
NÍVEL 2 - OFICIAIS 
 
 
1. (Efomm 2020) Seja a matriz A 
 
1 1 1 1 1
1 2 3 4 5
1 4 9 16 25
1 8 27 64 125
1 16 81 256 625
 
 
Qual é o valor do determinante da matriz A? 
 
 
a) 96 
b) 98 
c) 100 
d) 144 
e) 288 
 
2. (Espcex (Aman) 2018) Uma matriz quadrada A, de 
ordem 3, é definida por ij i j
i j, se i j
a .
( 1) , se i j+
− 
= 
− 
 
Então 1det(A )− é igual a 
a) 4. 
b) 1. 
c) 0. 
d) 
1
.
4
 
e) 
1
.
2
 
 
3. (Esc. Naval 2018) Dadas as matrizes: 
 
 
1 2 1
A 1 0 1 , x 2 13 65
1 1 1
− 
 
= =
 
 − 
 e TB x x.=  
 
Qual é o valor do determinante de 1 22 A B ?−  
a) 0 
b) 4 
c) 8 
d) 3.380 
e) 13.520 
 
4. (Epcar (Afa) 2018) Sejam a e b números positivos 
tais que o determinante da matriz 
1 0 0 1
2 a 0 1
1 1 b 1
0 0 0 1
− 
 
 
 −
 
 
 vale 
24. 
 
Dessa forma o determinante da matriz 
b 2
3 a
 
 
  
 é 
igual a 
a) 0 
b) 6 
c) 6− 
d) 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. (Epcar (Afa) 2015) Considere as seguintes 
simbologias em relação à matriz M: 
 
tM é a matriz transposta de M 
1M− é a matriz inversa de M 
det M é o determinante da matriz M 
 
Da equação t 1(X ) A (B C),− =  + em que A e (B C)+ 
são matrizes quadradas de ordem n e inversíveis, 
afirma-se que 
 
I. ( ) ( )
tt 11X A B C
−−  =  +
  
 
II. 
1
det X
det A det (B C)
=
 +
 
III. ( )1 t t tX B C A− = +  
 
São corretas 
a) apenas I e II 
b) apenas II e III 
c) apenas I e III 
d) I, II e III 
 
6. (Esc. Naval 2015) Uma função y f(x)= é definida 
pelo determinante da matriz 
2
3
x x 1 x 2
x x x 1 xA
1 0 0 0
x 1 0 1
 − −
 
 −=  
 
 − 
 
em cada x tal que A é invertível. É correto afirmar 
que o conjunto imagem de f é igual a 
a) ( , 4]− 
b) {0, 4}− 
c) ( , 4] {0}− − 
d) ( , 4)− 
e) [4, )+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. (Fgv 2010) Uma matriz 4 x 4 que admite inversa é 
 
a) 
 
 
 
 
1 2 3 4
4 3 2 1
2 4 6 8
5 6 7 8
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
1 2 3 4
1 4 5 16
2 6 8 20
5 6 11 8
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
4 4 4 4
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
-1 2 3 4
1 - 6 7 8
9 10 -11 12
13 14 15 -16
 
 
 
 
 
 
 
 
8. (Unicamp 2019) Sabendo que a e b são números 
reais, considere a matriz quadrada de ordem 3, 
 
1 a 1
A b 1 a .
2 b 2
 
 
=  
 
 
 
 
Se a soma dos elementos em cada linha da matriz A 
tem sempre o mesmo valor, então o determinante de 
A é igual a 
a) 0. 
b) 2. 
c) 5. 
d) 10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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9. (Udesc 2019) Dadas as matrizes 
2 1 1 3
1 4 2 0
A ,
3 2 0 1
1 0 2 1
− 
 
−
 =
 −
 
− 
 
1 3 2
B 4 1 1 ,
2 3 2
− 
 
= −
 
 − 
 
1 2
C
1 4
 
=  
− 
 
e D [2]= o valor de 
det(A) det(B)
det(C) det(D)


 é igual a: 
a) 0 
b) 15 
c) 20 
d) 10 
e) 25 
 
10. (Uece 2019) Considere as matrizes 
1 2
M
3 1
 
=  
 
 e 
p q
N .
u v
 
=  
 
 Se M N N M, =  é correto afirmar que o 
determinante da matriz N é igual a 
a) 
2 22p 3q
.
3
−
 
b) 
2 23p 2q
.
3
−
 
c) 
2 23p 2q
.
2
−
 
d) 
2 22p 3q
.
2
−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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GABARITO NÍVEL 1: 
 
1. B 
2. C 
3. C 
4. D 
5. B 
6. D 
7. B 
8. B 
9. B 
10. D 
11. C 
 
 
 
 
GABARITO NÍVEL 2 
 
Resposta da questão 1: 
 [E] 
 
A matriz A é uma matriz de Vandermonde, e seu determinante é dado por: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )det A 2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3 5 1 5 2 5 3 5 4
det A 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1
det A 288
= −  −  −  −  −  −  −  −  −  −
=         
=
 
 
Resposta da questão 2: 
 [D] 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 1
11
1 2
12
1 3
13
21
2 2
22
2 3
23
31
32
3 3
33
a a a
A a a a
a a a
a 1 1
a 1 1
a 1 1
a 2 1 1
a 1 1
a 1 1
a 3 1 2
a 3 2 1
a 1 1
+
+
+
+
+
+
 
 
=
 
  
= − =
= − = −
= − =
= − =
= − =
= − = −
= − =
= − =
= − =
 
 
Então, 
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( )1
1 1 1
A 1 1 1
2 1 1
1 1 1
det A 1 1 1 4
2 1 1
1 1
det A
det A 4
−
− 
 
= −
 
  
−
= − =
= =
 
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
Do enunciado, segue que: 
 
2
B 13 2 13 65
65
2 2 2 13 2 65
B 13 2 13 13 13 65
65 2 65 13 65 65
 
 
= 
 
  
   
 
=   
 
    
 
 
Daí, 
( )
( ) ( )
1 2 3 1 2
21 2
det 2 A B 2 det A detB
1
det 2 A B 8 detB
det A
− −
−
  =  
  =  
 
 
Note que: 
2 2 2 13 2 65
detB 13 2 13 13 13 65
65 2 65 13 65 65
2 13 65
detB 2 13 65 2 13 65
2 13 65
detB 2 13 65 0
detB 0
  
=   
  
=   
=   
=
 
 
Então, 
( )
( )
1 2 2
1 2
1
det 2 A B 8 0
det A
det 2 A B 0
−
−
  =  
  =
 
 
Resposta da questão4: 
 [D] 
 
Tem-se que 
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1 0 0 1
a 0 3
2 a 0 1
24 1 b 2 24
1 1 b 1
0 0 1
0 0 0 1
ab 24.
−
=  − =
−
 =
 
 
Portanto, a resposta é 
b 2
a b 3 2
3 a
ab 6
24 6
2 6 6
6.
=  − 
= −
= −
= −
=
 
 
Resposta da questão 5: 
 [D] 
 
[I] Verdadeira. Com efeito, temos 
 
t 1 t 1 1 1
t 1 1
t t 1 1 t
1 t 1 t
(X ) A (B C) [(X ) ] [A (B C)]
X (B C) A
(X ) [(B C) A ]
X (A ) [(B C) ] .
− − − −
− −
− −
− −
=  +  =  +
 = + 
 = + 
 =  +
 
 
[II] Verdadeira. De fato, segue que 
 
t 1
t
1
det(X ) det A (B C) det A (B C)
det(X )
1
det A (B C)
det X
1
det X .
det A (B C)
− =  +  =  +
 =  +
 =
 +
 
 
[III] Verdadeira. Com efeito, pois 
 
t 1 1 t
1 t t t
1 t t
1 t t t
(X ) A (B C) (X ) A (B C)
[(X ) ] [A (B C)]
X (B C) A
X (B C ) A .
− −
−
−
−
=  +  =  +
 =  +
 = + 
 = + 
 
 
Resposta da questão 6: 
 [C] 
 
Sendo f : D , → temos 
 
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2
3
3
2
Chió
Chió
2
x x 1 x 2
x x x 1 xf(x)
1 0 0 0
x 1 0 1
1 0 0 0
x x x 1 x
x x 1 x 2
x 1 0 1
x x 1 x
x 1 x 2
1 0 1
1 0 1
x 1 x 2
x x 1 x
x x 3
x 1
1 x 3
x
1 1
4 (x 2) .
− −
−=
−
−
= −
− −
−
−
= − − −
−
−
= − −
−
−
=
−
=
= − −
 
 
Como A é invertível, segue que D {4}.= − Logo, o conjunto imagem de f é ( , 4] {0}.− − 
 
Resposta da questão 7: 
 [E] 
 
a) Não admite inversa, pois a linhas 1 e 3 são proporcionais e seu determinante vale zero. 
b) Não admite inversa, pois a terceira linha é uma combinação linear das duas primeiras. Seu determinante também 
é zero 
c) Não admite inversa, pois as linhas da matriz são proporcionais, seu determinante vale zero. 
d) Não admite inversa, pois a terceira linha é igual ao dobro da segunda menos a primeira, seu determinante vale 
zero. 
e) Seu determinante é – 36416 (diferente de zero). Logo, admite inversa. 
 
Resposta da questão 8: 
 [D] 
 
Desde que 2 a a b 1 b 4,+ = + + = + temos a 3= e b 1.= Logo, vem 
Chió
1 3 1
det A 1 1 3
2 1 2
2 2
5 0
10.
=
−
=
−
=
 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Calculando o Determinante da matriz A. 
A quarta linha foi multiplicada por 1− e somada com a terceira. 
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A quarta linha foi multiplicada por 3− e somada com a primeira. 
Foi utilizado o Teorema de Laplace a partir da quarta colunada nova matriz obtida com as transformações acima. 
( )
4 4
2 1 1 3 5 1 7 0
5 1 7
1 4 2 0 1 4 2 0
det A 1 ( 1) 1 4 2
3 2 0 1 4 2 2 0
4 2 2
1 0 2 1 1 0 2 1
1 40 14 8 112 20 2 60
+
− −
−
− −
= = =  −  − =
− − −
− −
− −
 − + − + − + =
 
 
Calculando, agora, o determinante da matriz B. 
1 3 2
detB 4 1 1 2 24 6 4 3 24 3
2 3 2
−
= − = − + + − + − =
−
 
 
Determinante de C 
1 2
detC 4 ( 2) 6
1 4
= = − − =
−
 
 
Determinande de D. 
det D 2= 
 
Portanto: 
det(A) det(B) 60 3
15
det(C) det(D) 6 2
 
= =
 
 
 
Resposta da questão 10: 
 [D] 
 
Tem-se que 
1 2 p q p q 1 2
M N N M
3 1 u v u v 3 1
p 2u q 2v p 3q 2p q
.
3p u 3q v u 3v 2u v
       
 =    =        
       
+ + + +   
 =   
+ + + +   
 
 
Logo, vem 
3q
p 2u p 3q u
2
+ = +  = 
 
e 
q 2v 2p q v p.+ = +  = 
 
Desse modo, encontramos 
p q
N .3q
p
2
 
 =
 
  
 
 
A resposta é 
2 2 2
2
p q
3q 2p 3q
p .3q
2 2p
2
−
= − =