Lista de exercícios 14 - Determinantes (3)

Prévia do material em texto

EsPCEx 2023 
 
Lista de exercícios 14 – Determinantes 
Prof. Daniel 
 
1 
 
Questões: 
 
1) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, 
com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse 
grupo, em função da idade 𝑥 de cada criança, conclui-se que o peso 
médio 𝑃(𝑥), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz 
abaixo: 
 
𝐴 = (
1 −1 1
3 0 −𝑥
0 2
2
3
) 
 
Com base na fórmula 𝑃(𝑥) = det⁡(𝐴), determine: 
 
a) o peso médio de uma criança de 5 anos; 
b) a idade mais provável de uma criança cujo peso é 30 kg. 
 
2) Seja 𝑆 = (𝑠𝑖𝑗) uma matriz de ordem 3, em que 
 
𝑠𝑖𝑗 = {
0, 𝑠𝑒⁡𝑖 < 𝑗
𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒⁡𝑖 = 𝑗
𝑖 − 𝑗, 𝑠𝑒⁡𝑖 > 𝑗
 
 
 
Determine: 
 
a) a matriz S; b) o determinante de S. 
 
3) Determine o valor de 𝑥 para que o determinante da matriz 
𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵𝑡 seja igual a 602, onde 
 
𝐴 = (
1 2 −3
4 1 2
), 𝐵 = (
𝑥 − 1 8 −5
−2 7 4
) 
 
e 𝐵𝑡 é a matriz transposta de 𝐵. 
 
4) Resolva a equação: 
 
|
1 3 5
−2 1 𝑥 − 2
1 2 𝑥
| = |
2 −1
5 4
| 
 
5) Considere o determinante a seguir: 
 
|
𝑙𝑜𝑔8 𝑥 𝑙𝑜𝑔4 𝑥 𝑙𝑜𝑔16 𝑥
1 1 1
1 2 2
| = −
3
2
 
 
Determine o valor de 𝑥. 
 
6) Considere as matrizes 𝐴 e 𝐵 a seguir e 𝑛 = det⁡(𝐴 ∙ 𝐵) 
 
𝐴 = (
1 0
−1 −1
1 1
) e 𝐵 = (
0 1 2
3 4 5
) 
 
qual é o valor de 7𝑛? 
7) Calcular os determinantes das matrizes: 
 
a) 𝐴 = (
1 2 −1 0
2 3 4 3
0
−2
0
2
1 5
4 1
) b) 𝐵 = (
2 3 −1 0
4 −2 1 3
1
0
−5
3
2 1
−2 6
) 
 
8) Dados: 
 
|
2 3 0
0 2 1
1 1 2
| = 9 ,|
2 1 0
0 1 1
1 0 2
| = 5 e det 𝐴 = −4 
 
Determine o valor de 𝑥 em 𝐴 = |
0 1 𝑥 0
2 1 3 0
0
1
1
0
2 1
1 2
|. 
 
9) A tela de um computador apresenta uma configuração de 16 pon-
tos (distribuídos em 4 linhas e 4 colunas) que podem ser acesos ou 
não, apertando-se as teclas. Cada um desses pontos é indicado por 
um par (𝑖, 𝑗), sendo i e j números naturais, 1 ≤ 𝑖 ≤ 4 e 1 ≤ 𝑗 ≤
4. Seja M a matriz correspondente a uma configuração qualquer do 
monitor, assim definida: 
 
{
𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒⁡𝑜⁡𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜⁡(𝑖, 𝑗)⁡𝑒𝑠𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟⁡𝑎𝑐𝑒𝑠𝑜
𝑎𝑖𝑗 = 0, 𝑠𝑒⁡𝑜⁡𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜⁡(𝑖, 𝑗)⁡𝑛ã𝑜⁡𝑒𝑠𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟⁡𝑎𝑐𝑒𝑠𝑜
 
 
Numa configuração do monitor há exatamente 4 pontos acesos que 
estão alinhados. Calcular, neste caso, a soma dos possíveis valores 
do determinante da matriz M. 
 
10) No estudo da dinâmica de populações é comum ser necessário 
determinar o número real ʎ na equação 𝑑𝑒𝑡⁡(𝑀 − ʎ𝐼) = 0 em que 
𝑀 é uma matriz quadrada, 𝐼 é a matriz identidade, da mesma ordem 
de 𝑀, e 𝑑𝑒𝑡 representa o determinante da matriz (𝑀 − ʎ𝐼).Se, em 
um desses estudos, tem-se: 
 
𝑀 = (
0 17 2
2 0 0
1 0 0
) 
 
Determine o valor positivo de ʎ. 
 
11) Caso exista, determine a inversa de cada uma das matrizes a 
seguir: 
 
a) 𝐴 = (
2 −3 3
2 2 3
3 −2 2
) b) 𝐵 = (
1 0 0
1 3 1
1 2 0
) 
 
12) Uma matriz quadrada 𝐴, de ordem 3, é definida por: 
 
𝑎𝑖𝑗 = {
𝑖 − 𝑗, 𝑠𝑒⁡𝑖 > 𝑗
(−1)𝑖+𝑗 , 𝑠𝑒⁡𝑖 ≤ 𝑗
 
 
Então 𝑑𝑒𝑡(𝐴−1) é igual a: 
 
a) 4 b) 1 c) 0 d) 0,25 e) 0,5 
 
 
2 
 
13) Considere a matriz (
3 + 𝑡 −4
3 𝑡 − 4
). Para que o determinante 
dessa matriz seja nulo, o maior valor real de 𝑡 deve ser igual a: 
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
14) Considere as matrizes 𝐴 = (
2 1
−3 4
) e 𝐵 = (
3 −1
−2 2
). 
 
É correto afirmar que o valor do determinante da matriz 𝐴𝐵 é: 
 
a) 32 b) 44 c) 51 d) 63 e) 72 
 
15) Sejam 𝐴 e 𝐵 matrizes de ordem 3 tais que 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 3 e 
𝑑𝑒𝑡𝐵 = 4. Então det⁡(𝐴 ∙ 2𝐵) é igual a: 
 
a) 32 b) 48 c) 64 d) 80 e) 96 
 
16) Seja 𝐴 uma matriz quadrada de ordem 3 invertível, tal que 
𝐴2 = −2𝐴𝑡, em que 𝐴𝑡 representa a transposta de 𝐴. Nessas con-
dições o determinante de 𝐴 é igual a: 
 
a) 2 b) −8 c) 0 d) −2 e) 1 
 
17) Se 
𝑑𝑒𝑡 (
𝑎 𝑏 𝑐
𝑝 𝑞 𝑟
𝑥 𝑦 𝑧
) = −1 
então o valor do 
𝑑𝑒𝑡 (
−2𝑎 −2𝑏 −2𝑐
2𝑝 + 𝑥 2𝑞 + 𝑦 2𝑟 + 𝑧
3𝑥 3𝑦 3𝑧
) 
é igual a: 
 
a) 0 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16 
 
18) Sejam as matrizes 𝐷 = (
1 0 0
0 2 0
0 0 3
) e 𝑃 = (
7 0 2
0 1 0
2 0 5
). 
 
Considere 𝐴 = 𝑃−1𝐷𝑃. O valor de 𝑑𝑒𝑡⁡(𝐴2 + 𝐴) é: 
 
a) 144 b) 180 c) 240 d) 324 e) 360 
 
19) Considere as matrizes 𝐴 = (
𝑘 0 𝑘
3 −2 𝑘
), sendo 𝑘 um número 
real, com 𝑘 < 2, 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)3×2, com 𝑏𝑖𝑗 = (𝑖 − 𝑗)2 e 𝐶 = 𝐴𝐵. 
 
Sabendo que 𝑑𝑒𝑡 𝐶 = 12, o valor de 𝑘2 é: 
 
a) 0 b) 9 c) 4 d) 16 e) 1 
 
20) Considerando que 𝐴 é uma matriz quadrada de ordem 3 e inver-
sível, se 𝑑𝑒𝑡(3𝐴) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴2), então det(𝐴) é igual a: 
 
a) 9 b) 0 c) 3 d) 6 e) 27 
 
21) Se 𝑥 é um ângulo agudo, tal que cos(𝑥) = 0,25, então o valor 
do determinante |
𝑠𝑒𝑛⁡(2𝑥) 2𝑐𝑜𝑠2⁡(𝑥)
− 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑠𝑒𝑛⁡(𝑥)
| é: 
 
a) 1 b) 2 c) 0,5 d) −0,25 e) 𝑥,5 
 
22) O elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz inversa 
da matriz (
1 0 1
2 1 0
0 1 1
) é: 
 
a) 
2
3
 b) 
3
2
 c) 0 d) −2 e) −
1
3
 
 
23) Seja 𝑀(𝑥) a matriz quadrada de ordem três em função de 𝑥. 
 
𝑀(𝑥) = (
𝑐𝑜𝑠(𝑥2022 + 2022) 𝑠𝑒𝑛(𝑥2022 + 2022) 2022𝑥
0 0 2022𝑥
−𝑠𝑒𝑛(𝑥2022 + 2022)⁡ 𝑐𝑜𝑠(𝑥2022 + 2022) 2022𝑥
) 
 
Considere 𝑓 a função definida pela expressão 𝑓(𝑥) = 𝑑𝑒𝑡(𝑀), em 
que 𝑑𝑒𝑡𝑀(𝑥) e o determinante da matriz 𝑀(𝑥). É correto afirmar 
que a equação 𝑓(𝑥) = −1, é: 
 
a) não possui solução real. 
b) possui uma única solução real. 
c) possui apenas duas soluções reais distintas. 
d) possui exatamente 2022 soluções reais distintas. 
e) possui infinitas soluções reais distintas. 
 
24) Seja 𝑀 uma matriz quadrada de ordem 3, inversível, que satisfaz 
a igualdade 
𝑑𝑒𝑡(2𝑀2) − 𝑑𝑒𝑡(√2
3
𝑀3) =
2
9
𝑑𝑒𝑡(3𝑀) 
 
Então, um valor possível para o determinante da inversa de 𝑀 é: 
 
a) 
1
3
 b) 
1
2
 c) 
2
3
 d) 
4
5
 e) 
5
4
 
 
25) Se os números reais 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑢, 𝑣, 𝑤, formam nessa 
ordem, uma progressão geométrica de razão 𝑞, então o valor do de-
terminante da matriz (
𝑥 𝑦 𝑧
𝑚 𝑛 𝑝
𝑢 𝑣 𝑤
) é: 
 
a) −1 b) 0 c) 1 d) 𝑥𝑛𝑚 e) 𝑞3 
 
Gabarito: 
 
1) a) 18 kg; b) 11 anos 2) a) (
2 0 0
1 4 0
2 1 6
); b) 48 3) 56 
4) 5 5) 64 6) 1 7) a) 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 171; b) 𝑑𝑒𝑡 𝐵 = 13 
8) 1 9) 1009 10) 6 
11) a) 𝐴−1 =
1
5
(
−2 0 3
−1 1 0
2 1 −2
); b) 𝐵−1 =
1
2
(
2 0 0
−1 0 1
1 2 −3
) 
12) d 13) a 14) b 15) e 16) b 17) d 18) a 
19) e 20) e 21) c 22) a 23) b 24) a 25) b