Módulo de Matemática Aplicada

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<p>i</p><p>Matemática Aplicada</p><p>Manual do Curso de Licenciatura em Gestão Ambiental</p><p>ENSINO ONLINE. ENSINO COM FUTURO</p><p>ii</p><p>Direitos de autor (copyright)</p><p>Este manual de Matemática Aplicada é propriedade do Instituto Superior de Ciências e</p><p>Educação a Distância (ISCED), e contêm reservados todos os direitos. É proibida a duplicação</p><p>ou reprodução parcial ou total deste manual, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios</p><p>(electrónicos, mecânico, gravação, fotocópia ou outros), sem permissão expressa de</p><p>entidade editora (Instituto Superior de Ciências e Educação a Distância (ISCED).</p><p>A não observância do acima estipulado o infractor é passível a aplicação de processos</p><p>judiciais em vigor no País.</p><p>Instituto Superior de Ciências e Educação a Distância (ISCED)</p><p>Coordenação do Programa de Licenciaturas</p><p>Rua Dr.Lacerda de Almeida No 211, 1º andar, Beira Ponta - Gea</p><p>Beira - Moçambique</p><p>iii</p><p>Telefone: +25823323501</p><p>Cel: +258823055839;</p><p>+258820481230.</p><p>Fax: +25823324215</p><p>E-mail: isced@isced.ac.mz www.isced.ac.mz</p><p>Agradecimentos</p><p>Instituto Superior de Ciências e Educação a Distância Coordenação do Programa das</p><p>licenciaturas e o autor que elaborarou o presente manual, (Dr. Horácio Manuel Vunga)</p><p>agradecem a colaboração dos seguintes indivíduos e instituições na elaboração deste</p><p>manual:</p><p>Coordenação Direcção Académica do ISCED</p><p>Pelo Design Direcção de Qualidade e Avaliação do ISCED.</p><p>Financiamento e Logística</p><p>IAPED – Instituto Africano para a Promoção</p><p>da Educação a Distância.</p><p>Pela Revisão final Msc. Zacarias Mendes Magibire</p><p>Elaborado Por:</p><p>Dr. Horácio Manuel Vunga – Doutorando em Ciências de Educação com Especialização em</p><p>Inovação Currículo, pela Universidade Jean Piaget de Moçambique.l</p><p>iv</p><p>Visão geral 1</p><p>Benvindo à Disciplina/Módulo de MATEMÁTICA APLICADA ...........................................</p><p>1</p><p>Objectivos do Módulo ................................................................................................... 1</p><p>Quem deveria estudar este módulo .............................................................................. 3</p><p>Como está estruturado este módulo ............................................................................. 3</p><p>Ícones de actividade ...................................................................................................... 5</p><p>Habilidades de estudo ................................................................................................... 5</p><p>Precisa de apoio? .......................................................................................................... 7</p><p>Tarefas (avaliação e auto-avaliação) .............................................................................. 7</p><p>Avaliação ....................................................................................................................... 8</p><p>TEMA – I: NÚMEROS REA RAIS. 11</p><p>UNIDADE Temática 1.1. CONJUNTOS (Noções). ........................................................... 11</p><p>Introdução ................................................................................................................... 11</p><p>CONJUNTOS (Noções).................................................................................................. 13</p><p>Sumário ....................................................................................................................... 21</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO .................................................................................. 21</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO .................................................................................. 22</p><p>Operações com conjuntos ........................................................................................... 24</p><p>UNIDADE Temática 1.2. Conjuntos Numéricos ............................................................. 30</p><p>Introução ..................................................................................................................... 30</p><p>Conjuntos dos números ............................................................................................... 31</p><p>Conjunto dos Números Naturais .................................................................................. 33</p><p>Conjunto dos Números Inteiros ................................................................................... 33</p><p>Conjunto dos Números Racionais ................................................................................ 35</p><p>Conjunto dos Números Irracionais ............................................................................... 36</p><p>Conjunto dos Números Reais ....................................................................................... 37</p><p>Conjuntos Numéricos Fundamentais em Diagrama ..................................................... 38</p><p>SUMÁRIO .................................................................................................................... 39</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO .................................................................................. 39</p><p>Unidade Temática 1.3. Representação Geométrica dos Números Reais. .....................</p><p>42 ntroução......................................................................................................................</p><p>42 Sumário .......................................................................................................................</p><p>44 Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ..................................................................................</p><p>45</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO .................................................................................. 45</p><p>Unidade 1.3. Desigualdades......................................................................................... 45</p><p>v</p><p>Introução ..................................................................................................................... 45</p><p>Desigualdade das médias 46</p><p>Demonstração do caso n=2 ......................................................................................... 47</p><p>Demonstração no caso ................................................................................. 48</p><p>Demonstração do caso geral ....................................................................................... 49</p><p>A desigualdade triangular nos números reais (ou em IR). ............................................ 51</p><p>A desigualdade triangular em ............................................................................... 52</p><p>Teorema ............................................................................................................. 52</p><p>Demonstração .................................................................................................... 52</p><p>Sumário ....................................................................................................................... 52</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO .................................................................................. 53</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO .................................................................................. 53</p><p>TEMA II: REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 54</p><p>Unidade Temática 2.1: Sistema de Coordenadas Cartesiano .......................................</p><p>54</p><p>Introução ..................................................................................................................... 54</p><p>Sistema de coordenadas cartesiano ............................................................................ 58</p><p>Propriedades ............................................................................................................... 59</p><p>Localização de pontos ........................................................................................ 59</p><p>Planos primários .................................................................................................</p><p>um subconjunto dele. A</p><p>seguir temos um subconjunto do conjunto dos números naturais</p><p>formado pelos quatro primeiro múltiplos de sete:</p><p>Para representarmos o conjunto dos números naturais, ou qualquer</p><p>um dos outros quatro conjuntos fundamentais, utilizamos o caractere</p><p>asterisco após a letra, como em . Temos então que:</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>37</p><p>Conjunto dos Números Inteiros</p><p>Mais adiante na sua vida em uma noite muito fria você tomou</p><p>conhecimento da existência de números negativos, ao lhe falarem</p><p>que naquele dia a temperatura estava em dois graus abaixo de zero.</p><p>Curioso você quis saber o que</p><p>significava isto, então alguém notando o seu interesse, resolveu lhe</p><p>explicar:</p><p>Hoje no final da tarde já estava bastante frio, a temperatura girava em</p><p>torno dos 3° C, aí ela desceu para 2° C, continuou esfriando e ela</p><p>abaixou para 1° C e uma hora atrás chegou a 0° C. Se a temperatura</p><p>continuava a abaixar e já havia atingido o menor dos números</p><p>naturais, como então representar uma temperatura ainda mais baixa?</p><p>Com exceção do zero, cada um dos números naturais possui um</p><p>simétrico ou oposto. O oposto do 1 é o -1, do 2 o -2 e assim por diante.</p><p>O Sinal "-" indica que se trata de um número negativo, portanto menor</p><p>que zero. Os números naturais a partir do 1 são por natureza positivos</p><p>e o zero é nulo.</p><p>O zero e os demais números naturais, juntamente com os seus</p><p>opostos formam um outro conjunto, o conjunto dos números inteiros</p><p>e é representando pela letra Z ( ).</p><p>A seguir temos uma representação do conjunto dos números inteiros:</p><p>Note que diferentemente dos números naturais, que embora infinitos</p><p>possuem um número inicial, o zero, os números inteiros assim como</p><p>os demais conjuntos numéricos fundamentais não têm, por assim</p><p>dizer, um ponto de início. Neste conjunto o zero é um elemento</p><p>central, pois para cada número à sua direita, há um respectivo oposto</p><p>à sua esquerda.</p><p>Utilizamos o símbolo para indicar que um conjunto está contido</p><p>em outro, ou que é um subconjunto seu, como o conjunto dos</p><p>números naturais é um subconjunto do conjunto dos números</p><p>inteiros, temos que .</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>38</p><p>Podemos também dizer que o conjunto dos</p><p>números inteiros contém ( ) o conjunto dos</p><p>números naturais ( ).</p><p>Como supracitado podemos escrever para representarmos o</p><p>conjunto dos números inteiros, mas sem considerarmos o zero:</p><p>Com exceção do conjunto dos números naturais, com os demais</p><p>conjuntos numéricos fundamentais podemos utilizar os caracteres "+"</p><p>e "-" como abaixo:</p><p>Conjunto dos Números Racionais</p><p>Esperto por natureza você percebeu que havia mais alguma coisa além</p><p>disto. No termômetro você viu que entre um número e outro existiam</p><p>várias marcações. Qual a razão disto?</p><p>Foi-lhe explicado então que a temperatura não muda abruptamente</p><p>de 20° C para 21° C ou de -3° C para -4° C, ao invés disto, neste</p><p>termômetro as marcações são de décimos em décimos. Para passar</p><p>de 20° C para 21° C, por exemplo, primeiro a temperatura sobe para</p><p>20,1° C, depois para 20,2° C e continua assim passando por 20,9° C e</p><p>finalmente chegando em 21° C. Estes são números pertencentes ao</p><p>conjunto dos números racionais.</p><p>Números racionais são todos aqueles que podem ser expressos na</p><p>forma de fração. O numerador e o denominador desta fração devem</p><p>pertencer ao conjunto dos números inteiros e obviamente o</p><p>denominador não poderá ser igual a zero, pois não há divisão por zero.</p><p>Note também que e que .</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>39</p><p>O número 20,1 por exemplo, pode ser expresso como , assim</p><p>como 0,375 pode ser expresso como e 0,2 por ser representado por</p><p>.</p><p>Note que se dividirmos quatro por nove, iremos obter 0,44444... que</p><p>é um número com infinitas casas decimais, todas elas iguais a quatro.</p><p>Trata-se de uma dízima periódica simples que também pode ser</p><p>representada como , mas que apesar disto também é um número</p><p>racional, pois pode ser expresso como .</p><p>O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q ( ).</p><p>O conjunto dos números inteiros é um subconjunto do conjunto dos</p><p>números racionais, temos então que .</p><p>Facilmente podemos intuir que representa o conjunto dos números</p><p>racionais negativos e que representa o conjunto dos números</p><p>racionais positivos ou nulo.</p><p>Abaixo temos um conjunto com quatro elementos que é subconjunto</p><p>do conjunto dos números racionais:</p><p>A realização de qualquer uma das quatro operações aritméticas entre</p><p>dois números racionais quaisquer terá como resultado também um</p><p>número racional, obviamente no caso da divisão, o divisor deve ser</p><p>diferente de zero. Sejam a e b números racionais, temos:</p><p>Conjunto dos Números Irracionais</p><p>Então mais curioso ainda você perguntou: "Se os números racionais</p><p>são todos aqueles que podem ser expressos na forma de fração, então</p><p>existem aqueles que não podem ser expressos desta forma?"</p><p>Exatamente, estes números pertencem ao conjunto dos números</p><p>irracionais. Provavelmente os mais conhecidos deles sejam o número</p><p>PI ( ), o número de Euler ( ) e a raiz quadrada de dois ( ). Se você</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>40</p><p>se dispuser a calcular tal raiz, passará o restante da sua existência e</p><p>jamais conseguirá fazê-lo, isto porque tal número possui infinitas</p><p>casas decimais e diferentemente das dízimas, elas não são periódicas,</p><p>não podendo ser expressas na forma de uma fração. Esta é uma</p><p>característica dos números irracionais.</p><p>A raiz quadrada dos números naturais é uma ótima fonte de números</p><p>irracionais, de fato a raiz quadrada de qualquer número natural que</p><p>não seja um quadrado perfeito é um número irracional. é um</p><p>número irracional, pois 120 não é um quadrado perfeito, ou seja, não</p><p>há um número natural que multiplicado por ele mesmo resulte em</p><p>cento e vinte, já é um número natural, pois .</p><p>A letra I ( ) representa o conjunto dos número irracionais.</p><p>Utilizando o caractere especial "*", por exemplo, podemos</p><p>representar o conjunto dos números irracionais desconsiderando-se o</p><p>zero por .</p><p>O conjunto abaixo é um subconjunto do conjunto dos números</p><p>irracionais:</p><p>Diferentemente do que acontece com os números racionais, a</p><p>realização de qualquer uma das quatro operações aritméticas entre</p><p>dois números irracionais quaisquer não terá obrigatoriamente como</p><p>resultado também um número irracional. O resultado poderá tanto</p><p>pertencer a , quanto pertencer a .</p><p>Conjunto dos Números Reais</p><p>Acima vimos que um número natural também é um número inteiro (</p><p>), assim como um número inteiro também é um número</p><p>racional ( ), portanto .</p><p>Vimos também que os números racionais não estão contidos no</p><p>conjunto dos números irracionais e vice-versa. A intersecção destes</p><p>conjuntos resulta no conjunto vazio:</p><p>A intersecção é uma operação por meio da qual obtemos um conjunto</p><p>de todos os elementos que pertencem simultaneamente a todos os</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>41</p><p>conjuntos envolvidos. Sejam dois conjuntos e , a</p><p>intersecção entre estes dois conjuntos será</p><p>.</p><p>O conjunto dos números reais é representado</p><p>pela letra R ( ) e é formado pela união do conjunto dos números</p><p>racionais com o conjunto dos irracionais, que simbólicamente</p><p>representamos por:</p><p>.</p><p>A união é uma operação por meio da qual obtemos um conjunto de</p><p>todos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos</p><p>envolvidos. Sejam dois conjuntos e</p><p>entre estes dois conjuntos</p><p>será</p><p>.</p><p>O conjunto dos números racionais está contido no conjunto dos</p><p>números reais ( ), assim como o conjunto dos números</p><p>irracionais também é subconjunto do conjunto dos números reais (</p><p>).</p><p>Através dos caracteres especiais "+" e "*", por exemplo, podemos</p><p>representar o conjunto dos números reais positivos por .</p><p>Abaixo temos um exemplo</p><p>de conjunto contendo número reais:</p><p>, a união</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>42</p><p>Conjuntos Numéricos Fundamentais em Diagrama</p><p>Abaixo temos a representação dos conjuntos numéricos fundamentais em</p><p>um diagrama de Venn.</p><p>Através deste diagrama podemos facilmente observar que o conjunto</p><p>dos números reais ( ) é resultado da união do conjunto dos números</p><p>racionais como o conjunto dos números irracionais ( ). Observamos</p><p>também que o conjunto dos números inteiros está contido no conjunto</p><p>dos números racionais ( ) e que os números naturais são um</p><p>subconjunto do números inteiros</p><p>( ).</p><p>Como podemos ver, os diagramas nos ajudam a trabalhar mais</p><p>facilmente com conjuntos. Ainda neste diagrama rapidamente</p><p>identificamos que os números naturais são também números reais</p><p>( ), mas não são números irracionais ( ), isto porque o</p><p>conjunto dos números irracionais não contém o conjunto dos</p><p>números naturais ( ), mas sim o conjunto números dos racionais que</p><p>os contém ( ), assim como o conjuntos dos números reais ( ) e dos</p><p>inteiros ( ).</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>43</p><p>SUMÁRIO</p><p>Nesta Unidade temática 1.2. analisamos e discutimos dentre outros</p><p>assuntos, os seguintes:</p><p>1.Breve historial dos conjuntos numéricos;</p><p>2.Os cinco conjunto numéricos fundamentais;</p><p>3. Fizemos a sistematização dos cinco conjuntos numéricos num único</p><p>diagrama.</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO</p><p>GRUPO-1 (Com respostas detalhadas)</p><p>1) A quais conjuntos numéricos fundamentais não pertence o</p><p>número ?</p><p>2) A quais conjuntos numéricos fundamentais não pertence o</p><p>número ?</p><p>3) Existe raiz quadrada de número primo que não seja irracional?</p><p>4) Se a e b são números pertencentes a , a quais</p><p>conjuntos numéricos fundamentais podemos afirmar com certeza que x</p><p>pertence, quaisquer que sejam os valores de a e b?</p><p>5) Se A é um subconjunto de e B está contido em , a intersecção destes</p><p>conjuntos possui infinitos elementos?</p><p>, tem-se que ?</p><p>RESPOSTAS</p><p>1. Sabemos que é igual a 8.</p><p>A trabalharmos com conjuntos utilizamos o símbolo para indicar que</p><p>um elemento pertence a um conjunto, assim como utilizamos o</p><p>e</p><p>6) Se e</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>44</p><p>símbolo para indicar que um elemento não pertence a um</p><p>determinado conjunto. Assim sendo temos:</p><p>(oito pertence ao conjunto dos números naturais), pois como</p><p>sabemos 8 é um número natural;</p><p>(oito pertence ao conjunto dos números inteiros), pois é sabido</p><p>que os números naturais são um subconjunto dos números inteiros,</p><p>sabemos que ;</p><p>(oito pertence ao conjunto dos números racionais), pois</p><p>podemos representar 8 como que é uma fração com numerador e</p><p>denominador pertencentes ao conjunto dos números naturais,</p><p>condição necessária para que um número pertença ao conjunto dos</p><p>números racionais.</p><p>(oito não pertence ao conjunto dos números irracionais), pois</p><p>como 64 é um número natural que é também um quadrado perfeito,</p><p>não é um número irracional, pois . De fato 8 ou</p><p>jamais poderiam ser irracionais, pois como visto acima, eles são</p><p>racionais ( ) e nenhum número racional é também irracional e vice-</p><p>versa.</p><p>(oito pertence ao conjunto dos números reais), pois o conjunto dos</p><p>números racionais é um subconjunto dos números reais (</p><p>).</p><p>Através do diagrama visto na parte teórica, facilmente podemos</p><p>resolver este problema de forma visual ao identificarmos que (ou</p><p>8) é um número natural.</p><p>Portanto: não pertence ao conjunto dos números irracionais</p><p>( ).</p><p>2. Sabemos que 63 embora seja um número natural, não é um</p><p>quadrado perfeito, nestas condições a sua raiz quadrada será um</p><p>número irracional.</p><p>Também sabemos que , que e que</p><p>( veja na parte teórica ), ou em outras palavras que,</p><p>embora também sejam números reais, os números irracionais não são</p><p>racionais, nem inteiros e nem naturais.</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>45</p><p>Logo:</p><p>não pertence ao conjunto dos números racionais ( ),</p><p>inteiros ( ) e naturais ( ).</p><p>3.Vimos que a raiz quadrada de um número natural pode ser tanto</p><p>natural, quanto irracional, mas para que a raiz seja natural, o número</p><p>deve ser um quadrado perfeito.</p><p>Para que um número seja primo é preciso que além de natural ele</p><p>possua exatamente apenas dois divisores distintos, o número um e ele</p><p>próprio.</p><p>Falando em termos de conjuntos, a intersecção do conjunto dos</p><p>números primos com o conjunto natural dos quadrados perfeitos é</p><p>igual ao conjunto vazio ( ), ou seja, um número primo não pode ser</p><p>um quadrado perfeito e vice-versa.</p><p>Assim sendo:</p><p>Não existe raiz quadrada de número primo que não seja irracional.</p><p>4.A partir do enunciado, podemos chamar de A o conjunto ao qual x</p><p>pertence e representá-lo por</p><p>Sabemos que, dentre</p><p>outras formas, podemos</p><p>representar o conjunto dos</p><p>números racionais por</p><p>Como podemos observar, A é um subconjunto de</p><p>Sabemos também que</p><p>Assim sendo:</p><p>Podemos afirmar com certeza que . e</p><p>, isto é,</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>46</p><p>5.Do enunciado temos que:</p><p>É sabido que tal como óleo e água, os elementos dos conjuntos dos</p><p>números racionais e irracionais não se misturam, ou seja, a intersecção</p><p>entre ele é o conjunto vazio, pois não há um único número sequer que</p><p>sendo racional seja também irracional e vice-versa, os elementos</p><p>destes conjuntos são mutuamente exclusivos:</p><p>Portanto:</p><p>A intersecção entre os conjuntos A e B não possui infinitos elementos.</p><p>6.A intersecção entre dois conjuntos onde um conjunto está contido no</p><p>outro é o próprio conjunto que está contido, como , temos</p><p>que</p><p>A diferença entre conjuntos difere da operação de intersecção. A</p><p>diferença entre os conjuntos e é o conjunto de todos os elementos que</p><p>pertencem ao conjunto e que não pertencem ao</p><p>conjunto , que obviamente é o próprio , pois em</p><p>qualquer número irracional, logo</p><p>Então e como já aprendemos que , temos que:</p><p>Sim, tem-se que .</p><p>Unidade Temática 1.3. Representação Geométrica</p><p>dos Números Reais.</p><p>ntroução</p><p>, logo</p><p>não há</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>47</p><p>Nesta unidade temática o estudante vai ter a oportunidade de entender e</p><p>compreender que é possível escrever números utilizando grupos de sinais iguais</p><p>entre si, tantas quantas são as unidades do número. Por exemplo, nos dados os</p><p>números são representados por pontos ou circulos.</p><p>A representação dos números com pontos foi antigamente uma ciência: a ciência</p><p>dos números figurados dos pitagóricos. Os pitagóricos chamavam aos números:</p><p>triângulares, quadrados, cubos, etc., consoante os pontos que os representavam,</p><p>regularmente distribuídos, se podiam compôr um triângulo «isósceles», um</p><p>quadrado ou um cubo.</p><p>Alguns raciocínios relacionados com números pitagóricos aparecem ligados ao</p><p>conceito de séries numéricas, cujos exemplos merecerão analise e discussão no</p><p>desenvolvimento desta unidade 1.3.</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>▪ Entender: a exisência de números triangulares;</p><p>▪ Entender: a exisência de números quadrados;</p><p>Objectivos</p><p>específicos</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>48</p><p>NÚMEROS TRIÂNGULARES</p><p>Em ligação com a geometria, Pitágoras conheceu os números triângulares, que são</p><p>números que se podem expressar em forma de triângulos.</p><p>Quais seriam os três números seguintes?</p><p>Se olharmos para o quarto triângulo verifica-se que cada "linha" contém um ponto a mais</p><p>que a anterior.</p><p>Suponhamos então que a última "linha" do triângulo não continho quatro pontos mas</p><p>n. A penúltima "linha" continha (n-1), a seguinte (n-2), e assim por diante até chegar</p><p>ao vértice, com 1 ponto. Este problema é o mesmo que somar os primeiros n números</p><p>inteiros,</p><p>ou seja, obter a soma 1 + 2 + 3 + 4 + ... +(n-2) + (n-1) + n</p><p>Trata-se portanto de calcular esta soma.</p><p>Sumário</p><p>Nesta Unidade Temática 1.3. mereceu atenção o estudo dos seguintes</p><p>tópicos:</p><p>Números Triangulares;</p><p>Números quadrados.</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>49</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO</p><p>GRUPO-1 (Com respostas detalhadas)</p><p>Respostas:</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO</p><p>1.</p><p>GRUPO 1(Com respostas detalhadas).</p><p>GRUPO-2 (Com respostas sem detalhes)</p><p>.</p><p>Unidade 1.3. Desigualdades.</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>50</p><p>Introução</p><p>Em matemática, desigualdade é uma expressão que estabelece uma</p><p>relação de ordem entre dois elementos. Nos números reais, esta</p><p>relação é representada pelos símbolos , significando,</p><p>menor, menor ou igual, maior, maior ou igual, respectivamente. De</p><p>forma mais geral, também podem ser incluídas nas desigualdades</p><p>expressões contendo a relação de diferença .</p><p>São exemplos de desigualdades os seguintes:</p><p>• Desigualdade das médias, que afirma que a média aritmética é</p><p>maior ou igual a média geométrica e esta, maior ou igual a</p><p>média harmônica para números reais positivos.</p><p>• Desigualdade triangular, que afirma que ao medida de um lado</p><p>de um triângulo é sempre menor que a soma das medidas dos</p><p>outros dois lados do mesmo triângulo.</p><p>Com esta Unidade Temática 1.3. pretendemos apresentar com</p><p>demonstrações algumas desigualdades que tornem o estudante apto a</p><p>resolver um conjunto amplo de problemas de matemáticos.</p><p>Contudo em certas passagens, algum conhecimento de cálculo</p><p>infinitesimal será útil, ainda que não imprescindível. Por outro lado</p><p>privilegiamos, mais o recurso aos argumentos geométricos euclidianos</p><p>em detrimento do formalismo matemático, onde muitas das vezes não</p><p>se tem em conta o quotidiano do aluno.</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>▪ Estudar: Analisar e discutir sobre a Desigualdades das médias;</p><p>▪ Estudar: Analisar e discutir sobre a Desigualdades</p><p>triangulares; Objectivos</p><p>específicos</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>51</p><p>Desigualdade das médias</p><p>A desigualdade das médias afirma que a média aritmética é maior ou igual</p><p>à média geométrica e esta maior ou igual à média harmônica.</p><p>Mais precisamente falando, seja um conjunto não vazio</p><p>de números reais positivos então:</p><p>Onde</p><p>e</p><p>Demonstração do caso n=2</p><p>Queremos mostrar que:</p><p>Expandindo, temos:</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>52</p><p>Reagrupando:</p><p>Como são números positivos, podemos tomar a raiz quadrada e dividir por</p><p>2:</p><p>A primeira desigualdade segue. Para mostrar a segunda, escreva esta</p><p>última como:</p><p>Multiplique ambos os lados por : :</p><p>E observe que esta é justamente a desigualdade que procuramos, pois:</p><p>E o resultado segue.</p><p>Queremos a igualdade para , com k inteiro positivo.</p><p>Procederemos por indução em k: O caso k=1, já foi demonstrado. Suponha</p><p>então que a desigualdade é valida para um certo k positivo,</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>53</p><p>Aplique a desigualdade da média com dois elementos:</p><p>Agora, aplique a desigualdade para n elementos em cada um dos termos:</p><p>E assim, conclua:</p><p>E a primeira desigualdade segue pois</p><p>Usemos o mesmo procedimento para demonstrar a segunda</p><p>desigualdade:</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>54</p><p>E a segunda desigualdade segue.</p><p>Demonstração do caso geral</p><p>Completaremos a demonstração, mostrando que se a desigualdade for válida</p><p>para n termos, então também é válida para n-1 termos.</p><p>Suponha, então, que a desigualdade é válida para um número inteiro n maior</p><p>que 1, ou seja:</p><p>Escreva:</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>55</p><p>Observe que:</p><p>Assim temos, da primeira desigualdade:</p><p>Rearranjando, temos:</p><p>A segunda desigualdade diz:</p><p>O que equivale a:</p><p>ou:</p><p>Equivalente a:</p><p>Queremos mostrar que</p><p>Substitua</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>56</p><p>O que completa a demonstração.</p><p>A desigualdade triangular nos números reais (ou em IR).</p><p>A desigualdade triangular tem origem na geometria euclidiana e</p><p>refere-se ao teorema que afirma que, num triângulo, a medida do</p><p>comprimento de um dos lados é sempre inferior à soma das medidas</p><p>dos comprimentos dos outros dois lados. No texto clássico Os</p><p>Elementos, de Euclides, este teorema é a Proposição 20 do Livro I Não</p><p>é mais que uma reformulação do conceito intuitivo de que é mais curto</p><p>o caminho ou segmento entre A e B (veja a fig a baixo) que o caminho</p><p>de A até C somado ao de C até B.</p><p>Em matemática, desigualdade é uma expressão que estabelece uma</p><p>relação de ordem entre dois elementos. Nos números reais, esta</p><p>relação é representada pelos símbolos, significando, menor, menor ou</p><p>igual, maior ou igual, maior, respectivamente.</p><p>No conjunto dos números reais, chamamos de desigualdade triangular,</p><p>em analogia ao caso da geometria plana a seguinte expressão</p><p>envolvendo módulos:</p><p>.</p><p>Que dá origem a outras desigualdades:</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>57</p><p>A terceira é consequência da segunda, trocando os papéis de u e v.</p><p>A desigualdade triangular em</p><p>Teorema</p><p>Demonstração</p><p>Utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, prova-se o teorema</p><p>facilmente[2] .</p><p>Tem-se (utilizando propriedades do produto interno):</p><p>(I)</p><p>Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz aplicada em (I):</p><p>Tendo em conta que a norma é um valor não-negativo, segue que:</p><p>Q.E.D.</p><p>A segunda parte do teorema decorre directamente da aplicação da</p><p>desigualdade de Cauchy-Schwarz (atentar no segundo termo do lado</p><p>direito da equação).</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>58</p><p>Sumário</p><p>Nesta Unidade Temática analisamos e discutimos os seguintes</p><p>assuntos:</p><p>Desigualdades da médias e</p><p>Desigualdades Triangulares.</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO</p><p>GRUPO-1 (Com respostas detalhadas)</p><p>Respostas:</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO</p><p>2.</p><p>GRUPO 1 (Com respostas detalhadas).</p><p>GRUPO-2 (Com respostas sem detalhes)</p><p>GRUPO-3 (Exercícios de GABARITO)</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>59</p><p>TEMA II: REPRESENTAÇÃO GRÁFICA</p><p>Unidade 2.1. Sistema de Coordenadas Cartesiano.</p><p>Unidade 2.2. Distância entre Dois Pontos.</p><p>Unidade 2.3. A recta.</p><p>Unidade 2.4 Posições Relativas de Duas Rectas</p><p>Unidade 2.5. Perpendicularidades. .</p><p>Unidade Temática 2.1: Sistema de</p><p>Coordenadas Cartesiano</p><p>Introução</p><p>O "Sistema de Coordenadas Cartesianas" é um esquema reticulado</p><p>necessário para especificar pontos num determinado "espaço", com n</p><p>dimensões.</p><p>É chamado de cartesiano em homenagem a seu criador, o matemático</p><p>e filósofo francês René Descartes (1596-1650), cujos trabalhos</p><p>permitiram o desenvolvimento de áreas científicas como a geometria</p><p>analítica, a euclidiana, o cálculo e a cartografia.</p><p>Sua contribuição mais duradoura é a geometria analítica, isto é, a união</p><p>da geometria com a álgebra, que permite construir gráficos a partir de</p><p>equações.</p><p>Em 1619, ele percebeu que a idéia de determinar posições utilizando</p><p>rectas, escolhidas como referência, poderia ser aplicada à matemática.</p><p>Para isso usou rectas numeradas, ou seja rectas em que cada ponto</p><p>corresponde a um número e cada número corresponde a um ponto,</p><p>definindo desta maneira, um sistema de coordenadas na recta.</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>60</p><p>Postulado da Régua</p><p>Esse postulado nos fornece uma régua infinita que pode ser</p><p>colocada</p><p>em qualquer reta e que pode ser utilizada para medir a distância entre</p><p>dois pontos quaisquer.</p><p>Os pontos de uma reta podem ser postos em correspondência biunívoca com</p><p>os números reais, ou seja:</p><p>a cada ponto da reta corresponde</p><p>exatamente um número real,</p><p>a cada número real corresponde exatamente um ponto da reta.</p><p>A distância entre dois pontos quaisquer será definida como o valor absoluto</p><p>da diferença dos números reais a eles associados.</p><p>Uma correspondência desse tipo é chamada de sistema de</p><p>coordenadas. Assim, o número correspondente a um dado ponto é</p><p>chamado de coordenada desse ponto.</p><p>Para definir um sistema de coordenadas na reta, escolhe-se um dos</p><p>seus pontos como a origem do sistema. A esse ponto, geralmente</p><p>denominado pela letra o , é associado o número zero, que será a sua</p><p>coordenada. Então, fixa-se uma unidade de medida, por exemplo,</p><p>centímetros, e a coordenada de cada ponto (p) da reta, é determinada</p><p>pela medida do segmento op, ou seja, desde a origem até o ponto: x1</p><p>= op centímetros.</p><p>Se, conforme a figura abaixo, o ponto d está à direita da origem, sua</p><p>coordenada será od e, portanto, positiva. Por outro lado, se o ponto e</p><p>está à esquerda de o, sua coordenada será dada por -oe, sendo</p><p>negativa.</p><p>Mas, como o plano tem duas dimensões, para localizar os pontos é</p><p>necessário dois números. Descartes resolveu este problema usando</p><p>duas retas numeradas, perpendiculares, cuja intersecção chamou de</p><p>origem.</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>61</p><p>Comumente, usa-se uma dessas retas, horizontal, com a direção</p><p>positiva para a direita que é denominada eixo x ou eixo das abscissas.</p><p>A outra reta é vertical com a direção positiva para cima, e é chamada</p><p>eixo y, ou eixo das ordenadas, dividindo o plano em quatro regiões,</p><p>denominadas quadrantes, indicados no seguinte esquema pelos</p><p>números 1, 2, 3 e 4:</p><p>Assim, o primeiro quadrante (1) é o conjunto de todos os pontos (x, y)</p><p>do plano para os quais x > 0 e y > 0; o segundo quadrante é o conjunto</p><p>de todos os pontos (x, y) do plano para os quais X < 0 e y> 0 e assim por</p><p>diante.</p><p>Portanto, cada ponto P do plano fica associado um par de números (x,</p><p>y), que são as coordenadas deste ponto. O número x mede a distância</p><p>orientada do ponto P ao eixo y e é chamado abscissa desse ponto, e o</p><p>número y mede a distância orientada do ponto P ao eixo x e é a sua</p><p>ordenada. Se P tem coordenadas x e y é identificado por P(x, y). Diz-se</p><p>que as coordenadas de um ponto formam um par ordenado de</p><p>números reais.</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>62</p><p>É importante lembrar que a ordem na qual as coordenadas são escritas</p><p>é importante. Por exemplo, o ponto de coordenadas (1, 2) é diferente</p><p>do ponto de coordenadas (2, 1).</p><p>Observando o esquema, todo ponto P determina um par ordenado de</p><p>números reais e, reciprocamente, todo par ordenado de números reais</p><p>(x, y) determina um único ponto do plano. Então, há uma</p><p>correspondência biunívoca os pares ordenados de números reais e</p><p>entre os pontos do plano. Uma correspondência desse tipo é</p><p>denominada um sistema de coordenadas no plano.</p><p>O plano, munido deste sistema de coordenadas, geralmente é</p><p>chamado plano coordenado ou plano cartesiano e é denotado pelo</p><p>símbolo R2.</p><p>Deve-se ressaltar que, para estabelecer um sistema de coordenadas no</p><p>plano é necessário:</p><p>escolher duas retas de referência que não precisam ser, necessariamente,</p><p>ortogonais.</p><p>estabelecer o ponto de interseção destas retas será a origem do sistema</p><p>de coordenadas.</p><p>estabelecer a unidade de medida a fim de que se possa graduar as duas</p><p>retas e indicar claramente esta escala.</p><p>Assim, a posição de qualquer ponto do plano será determinada por um</p><p>par de números (x, y) os quais indicam as distâncias deste ponto às</p><p>retas de referência. Estas distâncias são medidas, usando-se a escala</p><p>estabelecida, a partir de retas paralelas às duas retas de referência que</p><p>determinam a malha coordenada.</p><p>Na mesma época de Descartes, um outro francês, Pierre Fermat</p><p>(1601-1665)) também chegou aos mesmos princípios, isoladamente.</p><p>Portanto, na realidade, o estabelecimento das bases da Geometria</p><p>Analítica deve-se a ambos (René Descarte e Pierre Fermat)..</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>63</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>▪ Entender e esclarecerr: a origem e necessidade</p><p>Objectivos</p><p>específicos</p><p>do Sistema de Coordenadas Cartesiano;</p><p>▪ Cinstruir: o Sistema de Coordenadas Cartesiano;</p><p>▪ Representar e localisar: pontos no plano;</p><p>▪ Conhecer e identificar: as propriedades do</p><p>Sistema de Coordenadas Cartesiano;</p><p>▪ Ter domínio: sobre Planos +rimários, cálculo de</p><p>normas (distâncias antre pontos quer em 2D, quer em</p><p>3D;</p><p>Sistema de coordenadas cartesiano</p><p>Coordenadas cartesianas de alguns pontos do plano.</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>64</p><p>Chama-se Sistema de Coordenadas no plano cartesiano ou espaço</p><p>cartesiano ou plano cartesiano um esquema reticulado necessário</p><p>para especificar pontos num determinado "espaço" com dimensões.</p><p>Cartesiano é um adjetivo que se refere ao matemático francês e</p><p>filósofo Descartes que, entre outras coisas, desenvolveu uma síntese</p><p>da álgebra com a geometria euclidiana. Os seus trabalhos permitiram</p><p>o desenvolvimento de áreas científicas como a geometria analítica, o</p><p>cálculo e a cartografia.</p><p>A ideia para este sistema foi desenvolvida em 1637 em duas obras de</p><p>Descartes:</p><p>• Discurso sobre o método o Na segunda parte, Descartes</p><p>apresenta a ideia de especificar a posição de um ponto ou</p><p>objecto numa superfície, usando dois eixos que se</p><p>intersectam.</p><p>• La Géométrie o onde desenvolve o conceito que apenas tinha</p><p>sido referido na obra anterior.</p><p>Um sistema de referência consiste em um ponto de orígem, direção e</p><p>sentido, isto pode ser obtido de diversas formas, como já tivemos</p><p>oportunidade de estudar anteriormente, porém, o sistema de</p><p>coordenadas cartesianas é o mais próximo do mundo real, ele nos</p><p>permite observar as formas da maneira mais aproximada possível do nosso</p><p>modo de ver o universo.</p><p>Propriedades</p><p>Com base nestes princípios, imaginemos que o nosso universo é uma</p><p>linha, ou seja, imagine se não pudéssemos enxergar mais que uma</p><p>direção e dois sentidos, então nessa linha teríamos um ponto de</p><p>partida, ao qual chamamos de orígem, ao passo que temos dois lados</p><p>para ir, adotamos a convenção em que o sinal nos informa o sentido</p><p>em que caminhamos, para a direita -> +, para a esquerda -> -, cada</p><p>ponto sobre a reta tem uma distância da orígem, à qual chamamos</p><p>amplitude, ou módulo... desta forma, temos o nosso sistema bem</p><p>caracterizado. Um sistema de referência como tal é chamado de</p><p>sistema em uma dimensão, porém não é algo muito útil, no entanto se</p><p>adicionarmos mais uma reta na orígem, formando um ângulo reto com</p><p>a reta anterior, poderemos referenciar uma segunda direção, agora</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>65</p><p>temos um sistema em duas dimensões, que nos permite localizar um</p><p>ponto acima e abaixo, além da direita ou esquerda... Se fizermos a</p><p>mesma analogia e colocarmos uma terceira reta sobre a orígem do</p><p>sistema anterior, fazendo um ângulo reto com ambas as retas</p><p>anteriores, poderemos localizar um objeto para frente ou para trás,</p><p>além de acima ou abaixo e além da direita e esquerda, então teremos</p><p>um sistema em três dimensões.</p><p>A convenção mais usada nos sistemas de referência, estabelece que</p><p>os sentidos: Para frente, para a direita e para cima são positivos e os seus</p><p>opostos são negativos.</p><p>Um sistema de coordenadas tridimensionais pode ser obtido através</p><p>desta estrutura de três eixos que se interceptam em um único ponto,</p><p>ao qual chamamos</p><p>de origem e que também marca uma distinção</p><p>angular entre os eixos, fazendo com que cada um seja reto em relação</p><p>aos vizinhos. Nos sentidos positivos coloca-se uma seta para indicar a</p><p>progressão crescente dos valores. Num sistema como este cada eixo</p><p>recebe o nome associado a variável que é expressa, ou seja, ,</p><p>que representam as três direções do sistema.</p><p>Localização de pontos</p><p>Agora observe o sistema acima, nele podemos observar a distribuição</p><p>das variáveis em seus eixos, note que o eixo vertical correspondente à</p><p>altura é convencionado como eixo , o horizontal, correspondente à</p><p>largura é convencionalmente chamado de eixo , enquanto que o</p><p>Coordenadas cartesianas</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>66</p><p>último, na diagonal, correspondente à profundidade, é chamado de</p><p>eixo , cada segmento de eixo partindo da orígem gera um octante,</p><p>visto que o sistema tem oito subplanos partindo da origem.</p><p>A tripla ordenada no formato , corresponde a um único ponto</p><p>no sistema, o qual é encontrado através do reflexo dos valores nos</p><p>eixos, da seguinte forma:</p><p>Se desejarmos encontrar o ponto localizamos o valor 3 no eixo ,</p><p>depois o zero no eixo , estes dois valores determinam uma linha sobre</p><p>o eixo , depois localizamos o valor 5 no eixo e traçamos uma subreta</p><p>paralela à linha que encontramos anteriormente, nesta altura, no lado</p><p>oposto ao eixo na direção da subreta está o ponto.</p><p>Por outro lado se desejarmos encontrar o ponto</p><p>localizamos o valor -5 no eixo , depois o -5 no eixo</p><p>valores determinam um plano sobre os eixos e , depois localizamos o</p><p>valor 7 no eixo e traçamos um subplano paralelo ao plano</p><p>anteriormente encontrado, nesta altura, no lado oposto ao eixo , na</p><p>direção do encontro das duas subretas que definem o plano, está o</p><p>ponto.</p><p>Planos primários</p><p>Definimos planos primários como o conjunto de pontos sobre o gráfico</p><p>que estão equidistantes dos planos formados por</p><p>qualquer</p><p>combinação de dois eixos.[2]</p><p>Suponha que definimos um dos valores da tripla ordenada, por exemplo:</p><p>• ou,</p><p>• ou, .</p><p>Onde é uma constante.</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>67</p><p>Temos, em cada caso, um plano definido como paralelo ao plano dos</p><p>dois eixos restantes, pois qualquer valor que seja dado às demais</p><p>variáveis da tripla ordenada será projetado sobre o plano que foi</p><p>definido.</p><p>Distância entre pontos</p><p>Em um sistema bidimensional temos a distância entre dois pontos definida</p><p>como:</p><p>Para um sistema tridimensional a analogia segue o mesmo raciocínio, o</p><p>que nos revela a seguinte fórmula:</p><p>Comprovação:</p><p>No plano a distância entre os dois pontos do subplano é , para</p><p>obter a distância no espaço, precisamos encontrar a distância ., mais</p><p>precisamente a distância do ponto extremo, resultante do encontro</p><p>dos valores de e , com o valor em . Esta distância corresponde a , logo:</p><p>O que define o seu valor após a substituição de , resultando na fórmula</p><p>definida anteriormente.[2]</p><p>A esfera</p><p>Por definição, a esfera é o conjunto de todos os pontos no espaço que</p><p>estão equidistantes de um ponto específico, ao qual denominamos</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>68</p><p>Quaisquer conjuntos de pontos que constituem uma esfera também</p><p>são delimitadores de um espaço no interior da mesma que gera um</p><p>volume, o qual pode ser calculado pelo cálculo de volumes com a</p><p>técnica de secionamento por Lâminas paralelas;</p><p>Sumário</p><p>Nesta Unidae Temática 2.1. aprendemos estudar:</p><p>1 Propriedades o 1.1 Localização de</p><p>pontos o 1.2 Planos primários</p><p>o 1.3 Distância entre pontos o</p><p>1.4 A esfera</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO</p><p>GRUPO-2 (Sem respostas detalhadas)</p><p>Pontos:</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>69</p><p>P(-6, 5)</p><p>Origem do sistema</p><p>P(3, 3/5)</p><p>P(41/2, -7)</p><p>P(-5,5, -3,3)</p><p>Em Quais Quadrantes se Encontram os Pontos?</p><p>P(3, 3)</p><p>P(-3, -3)</p><p>P(-3, 3)</p><p>P(3, -3)</p><p>P(0, 0)</p><p>P(-1, 0)</p><p>P(0, -2)</p><p>Note que os três últimos pontos não se encontram em nenhum quadrante, pois</p><p>eles estão localizados sobre o eixo x, o eixo y, ou sobre a origem do sistema</p><p>.</p><p>Unidade 2.2. Distância entre Dois Pontos</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>70</p><p>Introução</p><p>A distância permeia todos os conceitos da geometria analítica, pois</p><p>nesta área da matemática temos a relação de elementos geométricos com</p><p>os algébricos, e o elemento básico da geometria é o ponto.</p><p>Um dos conceitos básicos que vimos na geometria é que a menor</p><p>distância entre dois pontos é dada por uma reta, contudo, na</p><p>geometria analítica esses pontos recebem coordenadas no plano</p><p>cartesiano e por meio dessas coordenadas podemos encontrar o valor</p><p>da distância entre dois pontos.</p><p>Nesta Umnidade Temática 2.2 com dissemos, nos debruçaremos mais sobre</p><p>disância entre dois pontos.</p><p>Portanto, teremos que a distância entre os pontos A e B será a</p><p>medida do segmento que tem os dois pontos como extremidade. Por</p><p>se tratar de dois pontos quaisquer, representaremos as coordenadas</p><p>desses pontos de maneira genérica.</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>Rever e Consolidar: Conceitos de menor distância entre pontos, entre um</p><p>Objectivos ponto e um Plano e entre um ponto e uma recta; específicos</p><p>Organizar: um sistema de controle adequado à empresa;</p><p>Demonstrar: com base nos registros realizados, expor periodicamente por meio de</p><p>demonstrativos, a situação econômica, patrimonial e financeira da empresa;</p><p>Analisar: os demonstrativos financeiros com a finalidade de apuração dos</p><p>resultados obtidos pela empresa;</p><p>Acompanhar: a execução dos planos econômicos da empresa, prevendo os</p><p>pagamentos a serem realizados, as quantias a serem recebidas de terceiros e</p><p>alertando para eventuais problemas;</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>71</p><p>Entender e aplicar na prática os princípios e natureza da contabilidade Geral;</p><p>Distância entre Dois Pontos</p><p>Dado o plano cartesiano, vamos estabelecer a distância entre os pontos</p><p>A e B.</p><p>Podemos observar que os pontos possuem coordenadas, sendo o</p><p>ponto A (xa,ya) e B (xb,yb), note a formação do triângulo retângulo ABC,</p><p>onde os lados BC: cateto, AC: cateto e AB: hipotenusa.</p><p>Verificamos que a distância entre os pontos A e B é a hipotenusa do</p><p>triângulo retângulo, que pode ser calculada aplicando o Teorema de</p><p>Pitágoras. Com o auxílio da Álgebra e de conhecimentos geométricos</p><p>podemos generalizar e construir uma fórmula que determine a</p><p>distância entre dois pontos no plano, conhecendo suas coordenadas.</p><p>Cateto BC: yb – ya</p><p>Cateto AC: xb – xa</p><p>Hipotenusa AB: distância (D)</p><p>Pelo Teorema de Pitágoras temos: “o quadrado da hipotenusa é igual</p><p>à soma dos quadrados dos catetos”</p><p>Exemplo 1</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>72</p><p>Dados os pontos A (2,-3) e B (4,5), determine a distância entre eles.</p><p>xa: 2 xb:</p><p>4 ya: -3</p><p>yb: 5</p><p>Exemplo 2</p><p>Calcule a distância entre os pontos P(-2,3) e Q(-5,-9).</p><p>xa: -2</p><p>xb: -5</p><p>ya: 3</p><p>yb: -9</p><p>Sumário</p><p>Nesta Unidade Temática 2.2 estudamos:</p><p>ISCED –</p><p>MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>73</p><p>Distância entre dois pontos</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO</p><p>GRUPO-1 (Com respostas detalhadas)</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>74</p><p>Represente no plano cartesiano, os seguintes pontos:</p><p>a) A(1,3) c) C(0,4)</p><p>b) B(-1,-2) d) D(2,0)</p><p>RESPOSTAS</p><p>Distância entre dois pontos</p><p>2) Calcule a distância entre os seguintes pares de pontos:</p><p>a) (2,3) e (2,5) c) (0,6) e (1,5)</p><p>b) (2,1) e (-2,4) d) (6,3) e (2,7)</p><p>RESPOSTAS</p><p>a)</p><p>b) c) d)</p><p>c) d)</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>75</p><p>Ponto Médio</p><p>3) Calcule o ponto médio do segmento AB nos seguintes casos:</p><p>a) A(2,6) B(4,10) c) A(3,1) B(4,3)</p><p>b) A(2,6) B(4,2) d) A(2,3) B(4,-2)</p><p>RESPOSTAS</p><p>a) b)</p><p>c) d)</p><p>Baricentro de um Triângulo</p><p>a) b)</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>76</p><p>4) Determine as coordenadas do baricentro</p><p>do triângulo de vértices: a) A(3,1); B(2,6); C(4,2)</p><p>b) A(1,0); B(-2,4); C(3,-5)</p><p>RESPOSTAS</p><p>Área de um Triângulo</p><p>5) Determine a área do triângulo ABC nos</p><p>casos: a) A(1,-1) B(2,1) C(2,2)</p><p>b) A(3,4) B(-2,3) C(1,1)</p><p>(Sem respostas). Tente encontrar resposta sem ajuda explícita.</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO</p><p>GRUPO-2 (Respostas detalhes)</p><p>1. Calcule a distância entre os pontos A(-2,3) e B(1,5).</p><p>2. Se um ponto P do eixo das abscissas é equidistante dos pontos A(1,4) e</p><p>B( 6,3), a abscissa de P vale:</p><p>a) -2</p><p>b) -1</p><p>a) b)</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>77</p><p>c) 0</p><p>d) 1</p><p>e) 3</p><p>3. A distancia entre os pontos A( -2,y) e B(6,7) é 10. O valor de y é a) -1</p><p>b) 0</p><p>c) 1 ou 13</p><p>d) -1 ou 10</p><p>e) 2 ou 12</p><p>4. Um ponto material móvel desloca-se no plano</p><p>cartesiano e suas coordenadas variam em função do tempo t (t ≥0). A distância</p><p>percorrida pelo ponto material móvel entre o ponto A para t = 0 e o ponto B</p><p>para t = 6, é:</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>78</p><p>Unidade 2.3. A Recta</p><p>Introução</p><p>Entre os pontos de uma recta e os números reais existe uma</p><p>correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de recta corresponde</p><p>um único número real e vice-versa.</p><p>Considerando uma recta horizontal x, orientada da esquerda para</p><p>direita (eixo), e determinando um ponto O dessa recta ( origem) e um</p><p>segmento u, unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e</p><p>consecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de recta de</p><p>comprimento u:</p><p>Medida algébrica de um segmento</p><p>Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números</p><p>corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem desse</p><p>segmento.</p><p>Plano cartesiano</p><p>A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo</p><p>francês René Descartes ( 1596-1650). Com o auxílio de um sistema de</p><p>eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do</p><p>plano um par ordenado e vice-versa.</p><p>Quando os eixos desse sistemas são perpendiculares na origem, essa</p><p>correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou</p><p>reais x A e x B , temos:</p><p>A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>79</p><p>plano cartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da</p><p>geometria ( ponto, reta, circunferência) e da Álgebra ( relações,</p><p>equações etc.), podendo-se representar graficamente relações</p><p>algébricas e expressar algebricamente representações gráficas.</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>▪ Definir: e representar geométrica e</p><p>Objectivos</p><p>específicos</p><p>A recta</p><p>analiticamente uma recta;</p><p>▪ Identificar: os deferentes tipos de</p><p>rectas;</p><p>▪ Identificar: recta(s) na vida real;</p><p>A recta, como o meu professor dizia, é um ponto em movimento.</p><p>O que são os traços da recta?</p><p>O traço frontal de uma recta (ponto F) é o ponto onde a recta intersecta</p><p>o Plano Frontal de Projecção, e o traço horizontal (ponto H) é o ponto</p><p>onde a recta intersecta o Plano Horizontal de Projecção.</p><p>O que são os pontos notáveis de uma recta?</p><p>O ponto Q é o ponto onde a recta intersecta com o β1/3, o ponto I é o ponto</p><p>onde a recta intersecta o β2/4.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>80</p><p>Alfabeto da Recta</p><p>A recta de nível ou horizontal é paralela ao Plano Horizontal de</p><p>Projecção,o que significa que não tem traço horizontal, e obliqua ao</p><p>Plano Frontal de Projecção. A sua projecção frontal (n2) fica paralela a</p><p>x.</p><p>Todos os pontos dessa recta estão na mesma projectante frontal, isto</p><p>é, todos os pontos têm a mesma cota.</p><p>A recta frontal ou de frente é paralela ao Plano Frontal de Projecção,</p><p>o que significa que não tem traço frontal, e obliqua ao Plano</p><p>Horizontal de Projecção. A sua projecção horizontal (f1) fica paralela</p><p>a x. Todos os pontos pertencentes à recta estão na mesma</p><p>projectante horizontal, isto é, têm o mesmo afastamento</p><p>A recta fronto-horizontal é duplamente paralela, ou seja, é paralela</p><p>ao Plano Horizontal e Frontal de Projecção, o que significa que esta</p><p>recta não tem traço horizontal nem traço frontal. As duas projecções</p><p>são paralelas a x. Os pontos pertencentes à recta estão na mesma</p><p>projectante frontal e horizontal, pois, têm todos o mesmo</p><p>afastamento e a mesma cota, o que muda é a abcissa.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>81</p><p>A recta de topo é paralela ao Plano Horizontal de Projecção, o que</p><p>significa que não tem traço horizontal, e perpendicular ao Plano</p><p>Frontal de Projecção. A projecção horizontal da recta é perpendicular</p><p>a x e a projecção frontal é um ponto. Todos os ponto pertencente a</p><p>recta estão na mesma projectante frontal, ou seja, têm todos a</p><p>mesma cota.</p><p>A recta vertical é paralela ao Plano Frontal de Projecção, o que</p><p>significa que não tem traço frontal, e perpendicular ao Plano</p><p>Horizontal de Projecção. A sua projecção frontal fica perpendicular a</p><p>x e a projecção horizontal é um ponto. Todos os pontos nesta recta</p><p>têm o mesmo afastamento porque estão na mesma projectante</p><p>horizontal.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>82</p><p>A recta obliqua é obliqua aos Planos de Projecção,o que significa que</p><p>tem os dois traços, tanto o frontal como o horizontal. Ambas as</p><p>projecções da são obliquas a x.</p><p>A recta de perfil é obliqua aos Planos de Projecção e paralela ao Plano</p><p>de Perfil, tem o traço horizontal como o traço frontal da recta. Tem as</p><p>suas projecções são coincidentes e perpendiculares ao eixo x. Não fica</p><p>definida somente pelas suas projecções, precisamos das projecções de</p><p>dois pontos.</p><p>A recta passante obliqua é obliqua ao Plano de Perfil. A recta passa</p><p>pelo eixo x, o que significa que os traços e os pontos notáveis da recta</p><p>estão todos em x, e ambas as projecções da recta intersectam em x.</p><p>Igual à recta passante obliqua, só que esta é paralela ao Plano de Perfil.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>83</p><p>A Recta na vida real</p><p>Se considerarmos a parede da frente o nosso Plano Frontal de</p><p>Projecção, então a recta a (verde) é uma recta frontal, a recta b</p><p>(vermelha) é uma recta vertical e a recta c (azul) é uma recta</p><p>frontohorizontal.</p><p>Se a parede da frente for considerada o nosso Plano Frontal de</p><p>ISCED</p><p>– MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>84</p><p>Projecção e a parede lateral for o nosso Plano de Perfil de Projecção,</p><p>então a recta a (azul) é uma recta fronto-horizontal, a recta b (verde) é</p><p>vertical e a recta p (vermelha) é de perfil.</p><p>A recta azul é uma recta obliqua e a laranja é uma recta de perfil.</p><p>Como saber se um ponto pertence á recta?</p><p>Para um ponto pertencer a uma recta tem obrigatoriamente de a</p><p>projecção 1 do ponto estar sob a projecção 1 da recta e a projecção 2</p><p>do ponto estar sob a projecção 2 da recta.</p><p>O Ponto H, F e B são os únicos pontos pertencentes à recta, porque o</p><p>ponto A, tem as projecções contrárias as projecções da recta, o ponto</p><p>C só a projecção frontal é coincidente com a projecção frontal da</p><p>recta e o ponto D, só a projecção horizontal é coincidente com a</p><p>projecção horizontal da recta.</p><p>Regra:</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>85</p><p>As projecções do mesmo nome do Ponto têm de pertencer às projecções</p><p>do mesmo nome da Recta.</p><p>Como achar os traços e os pontos notáveis da recta?</p><p>Se seguirmos a projecção 1(horizontal) da recta quando ela intersecta</p><p>x encontramos aí o F1, fazemos linha de chamada prependicular a x e</p><p>quando intersectar a projecção 2 (frontal) temos F2. Se fizermos o</p><p>mesmo com a projecção frontal, quando intersectar x, temos H2.</p><p>Quando as duas projecções da recta se intersectam, temos aí o ponto</p><p>I. Se unirmos de H1 a F2 teremos uma linha que quando intersectar x</p><p>temos o Q0, desse modo, fazemos uma linha de chamada</p><p>prependicular a x, onde a linha de chamada intersectar a2, termos,</p><p>então, Q2, e quando intersectar a1, temos Q1.</p><p>Outra maneira de determinar o Q</p><p>Normalmente, para acharmos o ponto Q, unimos H1 a F2, e quando</p><p>a recta não tem um dos traços? Por exemplo, nas rectas de nível,</p><p>calculamos o ângulo que a projecção horizontal faz com o eixo x,e</p><p>traçamos uma linha auxiliar com o mesmo ângulo para cima, onde a</p><p>linha auxiliar intersectar a projecção frontal, temos Q2.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>86</p><p>O que acontece quando uma recta não tem Q?</p><p>Por exemplo, uma recta passante, que tenha as projecções a fazerem</p><p>o mesmo ângulo com x, significa que não tem Q, ou melhor, esta recta</p><p>pertence ao β1/3.</p><p>Quando não tem Q, significa que a recta ou pertence ao β1/3, ou é paralela</p><p>a ele.</p><p>Que acontece quando a recta não tem I?</p><p>Uma recta tem as projecções paralelas entre si, significa que só se irão</p><p>cruzar no infinito (nunca), ou seja, a recta não tem ponto I, significa</p><p>que ou a recta pertence ao β2/4 ou é paralela a ele,como no exemplo</p><p>acima.</p><p>Rectas Paralelas</p><p>Duas rectas para serem paralelas têm de obrigatoriamente ter as</p><p>projecções do mesmo nome paralelas entre si.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>87</p><p>Rectas concorrentes</p><p>Duas rectas para serem concorrentes têm de ter um ponto em comum.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>88</p><p>Rectas Ortogonais</p><p>Por exemplo, numa recta de nível, olhamos para a projecção</p><p>horizontal e parecem concorrentes, mas depois olhando para a</p><p>projecção frontal vemos que elas não se cruzam realmente, pois</p><p>possuem cota diferente.</p><p>Isto é, duas rectas ortogonais, são aquelas que vistas numa projecção</p><p>parece que fazem um ângulo de 90º(somente são ortogonais se</p><p>fizerem 90º) e na realidade não se tocam.</p><p>E nas rectas frontais:</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>89</p><p>Como definir o percurso da recta?</p><p>Fazendo duas rectas paralelas a x, puxasse as linhas auxiliares dos</p><p>traços e dos pontos notáveis da recta. Na linha de cima insere-se os</p><p>diedro, na linha de baixo os octantes. No final carregasse a recta que</p><p>está no I diedro.</p><p>Sumário</p><p>Nesta Unidade Temática 2.3. estudamos:</p><p>A Recta;</p><p>Alfabeto da Recta:</p><p>A Recta Frontal;</p><p>A Recta Fronto-Horizontal;</p><p>A Recta do topo</p><p>Recta na vida Real</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>90</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO</p><p>GRUPO 2 (Respostas sem detalhes)</p><p>01. (FEI) As retas 2x - y = 3 e 2x + ay = 5 são perpendiculares. Então:</p><p>a) a = -1</p><p>b) a = 1</p><p>c) a = -4</p><p>d) a = 4</p><p>e) n.d.a.</p><p>02. Determinar a reta perpendicular a 2x - 5y = 3 pelo ponto P(-2; 3).</p><p>03. (USP) A equação da reta que passa pelo ponto (3; 4) e é paralela à bissetriz</p><p>do 2° quadrante é:</p><p>a) y = z - 1</p><p>b) x + y - 7 = 0</p><p>c) y = x + 7</p><p>d) 3x + 6y = 3</p><p>e) n.d.a.</p><p>04. Determinar o ponto B simétrico de A(-4; 3) em relação à reta x + y + 3 = 0.</p><p>05. Determinar a reta perpendicular à reta de equação x + 2y - 3 = 0 no seu ponto de abscissa</p><p>igual a 5.</p><p>06. Determinar a equação da mediatriz do segmento de extremos A(-3; 1) e B(5;</p><p>7).</p><p>07. As retas (r) 2x + 7y = 3 e (s) 3x - 2y = -8 se cortam num ponto P. Achar a equação da reta</p><p>perpendicular a r pelo ponto P.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>91</p><p>08. As retas 3x + 2y - 1 = 0 e -4x + 6y - 10 = 0 são:</p><p>a) paralelas</p><p>b) coincidentes</p><p>c) perpendiculares</p><p>d) concorrentes e não perpendiculares</p><p>e) n.d.a.</p><p>09. (USP) A equação da reta passando pela origem e paralela à reta determinada pelos</p><p>pontos A(2; 3) e B(1; -4) é:</p><p>a) y = x</p><p>b) y = 3x - 4</p><p>c) x = 7y</p><p>d) y = 7x</p><p>e) n.d.a</p><p>10. Os pontos P(x, y) tais que | x | + | y | = 4 constituem:</p><p>a) um par de retas</p><p>b) um par de semi-retas</p><p>c) o contorno de um quadrado</p><p>d) quatro retas paralelas</p><p>e) o contorno de um triângulo</p><p>Respostas/Resolução:</p><p>01. D</p><p>02. D</p><p>03. B</p><p>04. B = (-6; 1)</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>92</p><p>05. 2x - y - 11 = 0</p><p>06. 4x + 3y - 16 = 0</p><p>07. 7x - 2y + 16 = 0</p><p>08. C</p><p>09. D 10. C</p><p>Unidade Temática 2.4. Posição Relativa de duas Rectas.</p><p>Introução</p><p>As figuras planas e espaciais são formadas pela intersecção de retcas e</p><p>planos pertencentes ao espaço. Dentre as posições relativas, podemos</p><p>destacar:</p><p>Posição relativa entre duas rectas</p><p>Nesta Unidade Temática iremos analizar e discutir casos de duas rectas</p><p>distintas a assumirem as seguintes posições relativas no espaço:</p><p>Rectas paralelas: duas rectas são paralelas se pertencerem ao mesmo</p><p>plano (coplanares) e não possuírem ponto de intersecção ou ponto em</p><p>comum.</p><p>Rectas coincidentes: pertencem ao mesmo plano e possuem todos os pontos</p><p>em comum.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>93</p><p>Rectas concorrentes: duas retas concorrentes possuem apenas um</p><p>ponto comum. Não é necessário que pertençam ao mesmo plano.</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>▪ Identificar elemento visual: linha e formas geométricas;</p><p>▪ Explorar: os termos rectas paralelas e rectas perpendiculares; Objectivos</p><p>específicos</p><p>▪ Identificar: rectas na victa real, profissional, nas obras de engenharia</p><p>(estrada, pontes, edifícios, etc);</p><p>▪ Construir: desenhos utilizando as formas geométricas;</p><p>▪ Identificar: a localização em mapas;</p><p>Posições relativas de duas Rectas</p><p>Considere duas rectas distintas do plano cartesiano:</p><p>Podemos classificá-las como paralelas ou concorrentes.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>94</p><p>Rectas Paralelas</p><p>As retas r e s têm o mesmo coeficiente angular.</p><p>Assim para r//s, temos:</p><p>Rectas Concorrentes</p><p>As retas r e s têm coeficientes angulares diferentes.</p><p>Assim para r e s concorrentes, temos:</p><p>É um caso particular de reta concorrente. Duas retas são ditas</p><p>perpendiculares quando os seus coeficientes angulares são tais que:</p><p>Re c tas Perpendiculares /Ortogonais</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>95</p><p>Sumário</p><p>Nesta Unidade Temática 2.4. estudamos:</p><p>1. Rectas Paralelas e;</p><p>2. Rectas Concorrentes</p><p>Exercícios (Com Respstas)</p><p>1. Verifique o posicionamento da reta r, dada pela equação 2x + y – 1 = 0 em</p><p>relação à circunferência de equação x² + y² + 6x – 8y = 0.</p><p>2. Dada a reta s representada pela equação 2x – y + 1 = 0 e a circunferência</p><p>de equação x² + y² – 2x = 0, determine a posição relativa entre elas.</p><p>3. Determine o valor de w sabendo que a reta de equação x – y + w = 0 é</p><p>tangente à circunferência de equação x² + y² = 9.</p><p>4. Determine o comprimento da corda determinada pela intersecção da reta</p><p>r, de equação x + y – 1 = 0, com a circunferência de equação x² + y² + 2x +</p><p>2y – 3 = 0.</p><p>5. A distância entre os pontos de intersecção da reta com a circunferência</p><p>x² + y² = 400 é:</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>96</p><p>Determinar as coordenadas do centro da circunferência é a medida do raio:</p><p>x² + y² + 6x – 8y = 0</p><p>x² + 6x + y² – 8y = 0</p><p>x² + 6x → completando o trinômio x²</p><p>+ 6x + 9 = (x + 3)²</p><p>y² – 8y → completando o trinômio y²</p><p>– 8y + 16 = (y – 4)²</p><p>x² + 6x + y² – 8y = 0 x² + 6x + 9 +</p><p>y² – 8y + 16 = 9 + 16 (x + 3)² + (y</p><p>– 4)² = 25</p><p>A fórmula geral de uma equação da circunferência é dada por (x – a)² + (y –</p><p>b)² = r², dessa forma:</p><p>Coordenadas do centro: (–3; 4)</p><p>a) 16 √5</p><p>b) 4 √5</p><p>c) 3 √3</p><p>d) 4 √3</p><p>e) 5 √7</p><p>6 . O valor de k que transforma a equação x² + y² – x + 10y + k = 0 na 8</p><p>equação de uma circunfer ência de raio 7 é:</p><p>a) – 4</p><p>b) – 8</p><p>c) 5</p><p>d 7</p><p>e) – 5</p><p>Resposta Questão 1</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>97</p><p>Medida do raio: 5</p><p>Determinando a distância entre o centro e a reta</p><p>Reta r: 2x + y – 1 = 0</p><p>Temos que a distância é menor que o raio, pois 1,3 < 5. Dessa forma, a recta</p><p>é secante à circunferência.</p><p>Resposta Questão 2</p><p>Vamos estabelecer um sistema entre as duas equações:</p><p>Reta: 2x – y + 1 = 0</p><p>Circunferência: x² + y² – 2x = 0</p><p>Resolvendo o sistema pelo método da substituição:</p><p>Isolando y na 1ª equação:</p><p>2x – y + 1 = 0</p><p>– y = –1 – 2x</p><p>y = 1 + 2x</p><p>Substituindo y na 2ª equação:</p><p>x² + (1 + 2x)² – 2x = 0 x²</p><p>+ 1 + 4x + 4x² – 2x = 0</p><p>5x² + 2x + 1 = 0</p><p>∆ = b² – 4ac</p><p>∆ = 2² – 4 * 5 * 1</p><p>∆ = 4 – 20</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>98</p><p>∆ = –16</p><p>Quando ∆ < 0, a equação não possui raízes. Dessa forma o sistema não possuirá</p><p>soluções. Portanto, a reta é externa à circunferência.</p><p>• Resposta Questão 3</p><p>Se a reta é tangente à circunferência, temos que a distância do centro até</p><p>a reta possui a mesma medida do raio.</p><p>Em razão da equação x² + y² = 9, podemos dizer que o centro corresponde</p><p>a (0; 0) e o raio igual a 3, pois x² + y² = 9 → (x + 0)² + (y + 0)² = 3².</p><p>Distância do centro (0; 0) à reta x – y + w = 0, onde a = 1, b = –1 e c = w:</p><p>Calculando w de acordo com d = r:</p><p>O valor de w é igual a + 3√2 ou –3√2.</p><p>• Resposta Questão 4</p><p>AB = medida da corda</p><p>CM = distância entre centro e reta</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>99</p><p>AM = metade da medida da corda → AB/2.</p><p>No triângulo AMC aplicaremos o teorema de Pitágoras, mas para isso</p><p>precisaremos determinar a distância CM e o raio da circunferência, dado</p><p>por CA.</p><p>Centro da circunferência</p><p>x² + y² + 2x + 2y – 3 = 0 x² + 2x +</p><p>y² + 2y = 3 x² + 2x + 1 + y² + 2y +</p><p>1 = 3 + 1 + 1 (x + 1)² + (y + 1)² = 5</p><p>Centro (–1, –1) e raio = √5.</p><p>Reta: x + y – 1 = 0</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>100</p><p>A medida da corda AB de acordo com a situação proposta é AB = √2.</p><p>Resposta Questão 5</p><p>Resolver o sistema de equações:</p><p>Simplificando a 1ª equação:</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>101</p><p>Substituindo x na 2ª equação:</p><p>x² + y² = 400 x² + (20 – 2x)² =</p><p>400 x² + 400 – 80x + 4x² ¬– 400</p><p>= 0</p><p>5x² – 80x = 0</p><p>5x * (x – 16) = 0</p><p>5x = 0 x’</p><p>= 0</p><p>x – 16 = 0</p><p>x’’ = 16 Para</p><p>x = 0,</p><p>temos:</p><p>y = 20 – 2x</p><p>y = 20 – 2*0</p><p>y = 20</p><p>(0; 20) Para x = 16,</p><p>temos:</p><p>y = 20 – 2x y =</p><p>20 – 2 * 16 y =</p><p>20 – 32 y = –</p><p>12</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>102</p><p>(16; –12)</p><p>Os pontos de intersecção são (0; 20) e (16; –12).</p><p>Determinando a distância entre os pontos:</p><p>Resposta item a.</p><p>Resposta Questão 6</p><p>x² + y² – 8x + 10y + k = 0</p><p>Encontrar a equação reduzida (completar os trinômios)</p><p>x² – 8x + y² + 10y = –k x² – 8x + 4 + y² +</p><p>10y + 25 = – k + 4 + 25 (x – 4)² + (x +</p><p>5)² = –k + 41</p><p>Temos que o raio será dado por:</p><p>–k + 41 = 7²</p><p>–k = 49 – 41</p><p>–k = 8 k = 8</p><p>Resposta: alternativa b.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>103</p><p>.</p><p>Unidade 2.5. Perpendicularidades.</p><p>Introução</p><p>Publicado por: Danielle de Miranda em Geometria de posição e</p><p>poliedros 0 comentário.</p><p>Dentre as posições relativas entre planos e retas, destaca-se a</p><p>perpendicularidade que assume algumas características que a difere</p><p>das outras posições.</p><p>Cada uma dessas relações de perpendicularidade está ilustrada</p><p>abaixo:</p><p>Perpendicularidade entre rectas</p><p>Duas retas distintas pertencentes ao mesmo plano ou não serão</p><p>perpendiculares se formarem um ângulo reto no seu ponto de</p><p>encontro.</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>Definir: rectas perpendiculares;</p><p>Objectivos</p><p>Reconhcer: e criar gráficos e equações de rectas perpendiculares específicos</p><p>Entender, Identificar e aplicar na prática: a perpendicularidade entre rectas e planos e</p><p>entre Planos;</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>104</p><p>Perpendicularidade</p><p>Perpendicularidade.</p><p>Em geometria, perpendicularidade é uma noção que indica se dois</p><p>objectos (rectas, Planos, etc) fazem entre si um ângulo de 90º</p><p>(Observe a figura a baixo).</p><p>• Perpendicularidade entre plano e reta</p><p>Um plano α será perpendicular a uma reta t se todas as retas</p><p>pertencentes a esse plano α e concorrentes a essa reta t (tiver um</p><p>ponto comum) forem perpendiculares à reta t.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>105</p><p>• Perpendicularidade entre planos</p><p>Dois planos serão perpendiculares se um deles contiver uma reta que seja</p><p>perpendicular ao outro plano.</p><p>Sumário</p><p>Nesta Unidade Temática 2.5. estudamos</p><p>1. Perpendicularidade;</p><p>2. Perpendicularidade entre Plano e Recta e;</p><p>3. Peprpendicularidade entre Planos</p><p>EXERCÍCOS GRUPO 2 (Com respostas).</p><p>• Questão 1</p><p>• Encontre a equação da recta s, perpendicular à reta t: 2x + 3y</p><p>– 4 =0, sabendo que ela passa pelo ponto P(3,4).</p><p>• Questão 2</p><p>Considere no plano cartesiano uma recta r de equação 3x + 5y +1 =0 e</p><p>um ponto Q de coordenadas (5,5). Determine a equação da recta s</p><p>perpendicular a r passando por Q.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>106</p><p>• Questão 3</p><p>Prove que as retas s: x + 2y – 1 = 0 e r: 4x – 2y +12 = 0 são perpendiculares.</p><p>• Questão 4</p><p>Encontre a equação da reta t que passa pelo ponto X(-1,8) e é perpendicular</p><p>à bissetriz dos quadrantes ímpares.</p><p>• Questão 5</p><p>Prove que a bissetriz dos quadrantes ímpares é perpendicular à bissetriz dos</p><p>quadrantes pares.</p><p>Respostas</p><p>• Resposta Questão 1</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>107</p><p>Resposta Questão 2</p><p>• Resposta Questão 3</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>108</p><p>• Resposta Questão 4</p><p>• Resposta Questão 5</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>109</p><p>TEMA III: FUNÇÕES</p><p>Unidade 3.1. Funções</p><p>Unidade 3.2 Gráficos de Funções</p><p>Unidade 3.3. Propriedades de Funções.</p><p>Unidade Temática 3.1. Funções.</p><p>Introução</p><p>Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. Existem</p><p>várias definições, dependendo da forma como são escolhidos os</p><p>axiomas. Uma relação entre dois conjuntos, onde há uma relação entre</p><p>cada um de seus elementos.</p><p>Uma função é uma aplicação entre conjuntos, de partida e de</p><p>chegada. As funções descrevem fenómenos numéricos e podem</p><p>representar-se através de gráficos sobre eixos cartesianos. O gráfico de</p><p>uma função permite ver, muito facilmente, toda a sua evolução.</p><p>Porém, por vezes, pode ser mais cómodo trabalhar com a equação</p><p>(expressão analítica) ou fórmula da função, já que com ela temos à</p><p>nossa disposição o conjunto de operações que devemos aplicar à</p><p>variável independente, normalmente representada por x, para obter a</p><p>variável dependente, normalmente representada por y.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>110</p><p>Podemos, então, imaginar que uma função é uma máquina em que</p><p>introduzimos um número x do conjunto de partida, dela saindo o</p><p>número f(x) o mesmo que y.</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>Definir: entender e interpretar funções de reais de variável real;</p><p>Objectivos</p><p>Representar : graficamente funções; específico</p><p>Fazer operações: com funções;</p><p>Fazer: Composição de funções;</p><p>Fazer: inversão de funções;</p><p>Entender e aplicar na prática: o conceito de função pá e ímpar;</p><p>Funções</p><p>Uma função é uma aplicação entre conjuntos numéricos. Para indicar</p><p>que entre dois conjuntos A e B há uma função utilizaremos a notação:</p><p>f : A B</p><p>Existem várias formas de expressar uma função:</p><p>y = ax + b f</p><p>(x) = ax + b</p><p>entre outras.</p><p>Se f for uma função e f(x) = y, diremos que y é a imagem de x pela função</p><p>e que x é o original, anti-imagem ou objecto de y pela função.</p><p>Em toda a função entre dois conjuntos A B os elementos do</p><p>conjunto A recebem o nome de variável da função.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>111</p><p>Exemplificando, tomemos a função:</p><p>f : IN</p><p>f(x) = 5x + 2 f (2) = 5.2 + 2</p><p>= 12; 12 IN diremos que</p><p>12 é a imagem de 2, e que</p><p>2 é o objecto ou anti-</p><p>imagem de 12.</p><p>Funções Reais de Variável Real</p><p>Uma função real de variável real é uma função em que tanto os</p><p>elementos do conjunto de partida ou conjunto dos objectos como os</p><p>do conjunto de chegada ou conjunto imagem são números reais, isto</p><p>é, pertencem ao conjunto IR, e representa-se por:</p><p>f : IR IR</p><p>As funções f(x) = x + 3, f(x) = x2 + 2x + 1, f(x) = 3x + 1/2, são</p><p>exemplos de funções reais de variável real. Se dermos a x um valor</p><p>real, ao realizar as operações obteremos sempre um número real f(x).</p><p>Pode acontecer que nem todos os números reais tenham imagem</p><p>pela função. O conjunto formado pelos números reais que têm</p><p>imagem chama-se domínio. Em geral, uma função real de variável</p><p>real tem a seguinte expressão:</p><p>f : A R</p><p>sendo A um subconjunto de R, que irá corresponder ao domínio da função.</p><p>Z</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>112</p><p>Representação Gráfica de uma Função</p><p>Dado que o conjunto dos números reais se pode representar sobre</p><p>uma recta, o método de coordenadas cartesianas serve para</p><p>representar funções.</p><p>Observemos os gráficos das figuras. Como podemos observar, a</p><p>variável independente x é representada sobre o eixo das abcissas e</p><p>a variável dependente y sobre o eixo das ordenadas.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>113</p><p>Operações com Funções</p><p>1. Produto de uma função por um número real</p><p>(kf )(x) = k * f(x)</p><p>O produto é uma nova função, de forma que a cada valor de x</p><p>corresponde k vezes o valor de f.</p><p>Exemplo:</p><p>f : R R</p><p>f(x) = 3x + 2</p><p>5f : R R</p><p>(5f)(x) = 5 * f(x) =</p><p>= 5 * (3x + 2) = 15x + 10</p><p>Soma de funções</p><p>Temos f(x) = 2x + 2 e g(x) = - x - 1. Se somarmos membro a membro obtemos:</p><p>f(x) + g(x) = (2x + 2) + (-x - 1) = 2x - x +2 -1 = x + 1</p><p>(f + g) (x) = x + 1</p><p>Vamos verificar o que obtivemos:</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>114</p><p>f(1) = 2 * 1 + 2 = 4 g(1) = - (1)</p><p>- 1 = -1 - 1 = -2 f(1) + g(1) = 4</p><p>+ (-2) = 4 - 2 = 2</p><p>(f + g) (1) = (1) + 1 = 2</p><p>Vemos que, para cada objecto x, somando as respectivas imagens de</p><p>f(x) e de g(x) obtemos exactamente o mesmo valor que obtemos ao</p><p>calcular</p><p>(f + g) (x).</p><p>Então, em geral, podemos escrever:</p><p>(f + g) (x) = f(x) + g(x)</p><p>Produto de funções</p><p>Seguindo o mesmo procedimento que para a soma de funções,</p><p>considerando f(x) = x e g(x) = -x + 2, o produto das funções será:</p><p>(f * g) (x) = f(x) * g(x) = x*(-x + 2) = -x2 + 2x</p><p>(f * g) (x) = -x2 + 2x</p><p>Verificamos que:</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>115</p><p>f(1) = 1</p><p>g(1) = - (1) + 2 = -1 + 2 = 1 f(1)</p><p>* g(1) = 1 * 1 = 1</p><p>(f * g) (1) = -(1)2 + 2 * 1 = -1 + 2 = 1</p><p>Vemos que, de forma análoga ao que</p><p>ocorre com a soma de duas funções, para</p><p>cada objecto x, multiplicando as respectivas</p><p>imagens de f(x) e de g(x) obtemos</p><p>exactamente o mesmo valor que obtemos ao</p><p>calcular (f * g) (x).</p><p>Em geral, escrevemos:</p><p>(f * g) (x) = f(x) * g(x)</p><p>Composição de funções</p><p>A composição de uma função f com outra função g é uma nova função,</p><p>representada por g º f, definida por:</p><p>(g ° f) (x) = g [f(x)]</p><p>Primeiro determinamos f(x) e o resultado obtido é o objecto para a</p><p>função g. Exemplificando, seja f(x) = x + 1 e g(x) = x2 , temos (g ° f) (x) =</p><p>g [f(x)] =g [x + 1] = (x + 1)².</p><p>Mas atenção, é diferente se tivermos: (f ° g) (x) = f [g(x)] = f [x²] = x²</p><p>+ 1.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>116</p><p>Inverso da função e função inversa</p><p>Quando temos uma função f, tal que para qualquer x do domínio</p><p>verificamos que f(x) 0, podemos dizer que existe o inverso da</p><p>função de f, e representamo-la por 1/f. Podemos ver um exemplo</p><p>representado na figura seguinte:</p><p>Seja f a função definida por y = 3x - 5, a expressão que define determina-</p><p>se resolvendo a equação y = 3x - 5 em ordem a x:</p><p>y = 3x - 5 <=> 3x = y + 5< => x = (y + 5)/3</p><p>logo vem:</p><p>O domínio da função inversa é o contradomínio ou conjunto das</p><p>imagens da função f. O gráfico da função inversa é simétrico do gráfico</p><p>de f em relação à bissectriz y = x.</p><p>Se f for uma função injectiva, a função inversa de f é uma nova</p><p>função, que se representa por , em que os objectos são as</p><p>imagens dadas por f .</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>117</p><p>Função par e função ímpar</p><p>Damos o nome de função par à que é simétrica em relação ao eixo</p><p>das ordenadas, ou seja, que verifica:</p><p>f(-x) = f(x)</p><p>O gráfico de uma função par fica determinado se conhecermos</p><p>a forma que assume para os números positivos. Para visualizar este</p><p>facto vejamos as seguintes figuras:</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>118</p><p>Damos o nome de função ímpar à função que é simétrica em relação à origem</p><p>das coordenadas, ou seja, quando se verifica que:</p><p>f(-x) = - f(x)</p><p>O gráfico de uma função ímpar fica determinado se conhecermos a</p><p>forma que assume para valores positivos. Vejamos as figuras:</p><p>As funções da forma f(x) = kx são chamadas funções lineares ou</p><p>função de proporcionalidade, onde k é uma constante numérica e nos</p><p>dá o declive da recta. O gráfico deste tipo de funções é uma recta que</p><p>passa pelo centro de coordenadas (0,0).</p><p>As funções da forma f(x) = kx + p recebem o nome de funções afins.</p><p>Função linear e função afim</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>119</p><p>O seu gráfico é uma recta que não passa pelo centro de coordenadas</p><p>(0,0) e é paralela à correspondente função linear g(x) = kx. p é a</p><p>ordenada na origem ou ponto de intersecção</p><p>da recta com o eixo das</p><p>ordenadas.</p><p>As funções lineares e afins são chamadas funções polinomiais do</p><p>primeiro grau.</p><p>Sumário</p><p>Nesta Unidade Temática 3.1. estudamos:</p><p>1. Conceito de função;</p><p>2. Representação gráfica de função;</p><p>3. Operações com funções;</p><p>4. Função inversa;</p><p>5. Função par e ímpar;</p><p>6. Função linear e função a fim</p><p>Exercícios de AUTOAVALIÇÃO</p><p>GRUPO-2 (Com respostas)</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>120</p><p>1) Dada a função , definida pela fórmula f(x)=2x²+1. Determine a sua imagem:</p><p>Resolução:</p><p>Neste exercício, o domínio é dado, e é D={-3, 2, 0, } e o contradomínio são</p><p>todos números reais. Como já estudamos, a imagem de um número é o</p><p>elemento pertencente ao contradomínio que se encontra no conjunto de</p><p>chegada, está relacionado à este número, e para achar estes número devemos</p><p>aplicar sua lei de formação (a expressão analítica):</p><p>- a imagem do -3 é também representada por f(-3), e f(-3)=2.(-3)² +1, então f(-3)=19</p><p>- f(2)=2.(2)²+1, então f(2)=9</p><p>- f(0)=2.(0)²+1, então f(0)=1</p><p>- f( )²+1, então f( )=11</p><p>Agora que já achamos as imagens de todos pontos do domínio, podemos dizer</p><p>que o conjunto imagem desta função é Im={19, 9, 1, 11}</p><p>2) Dado o esquema abaixo, representando uma função de "A" em "B",</p><p>determine:</p><p>a) O Domínio:</p><p>b) A imagem</p><p>c) f(5)</p><p>d) f(12)</p><p>Resolução:</p><p>a) Como vimos nas lições, o conjunto em que as flechas saem, é o</p><p>conjunto Domínio, esta é barbada D={5, 12, 23}.</p><p>b) Conjunto Imagem é todos os elementos do contradomínio (conjunto</p><p>"B") em que há relacionamento com o Domínio, então:</p><p>Im={7, 14, 25}</p><p>)=2.(</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>121</p><p>c) Nunca esquecendo que, perguntar qual a f(5) é a mesma coisa que</p><p>perguntar qual a imagem do ponto 5. f(5)=7</p><p>d) Como no exercício anterior: f(12)=14.</p><p>03 -Um táxi começa uma jornada, partindo da baixa da Cidade da Beira para o</p><p>Aeroporto, com o taxímetro a marcar 40,00MT. Cada quilômetro andado custa</p><p>30,00MT. Se ao final da jornada (chegado no Aeroporto Internacional da Beira),</p><p>o passageiro pagou 720,00MT, a quantidade de quilômetros percorridos foi de:</p><p>a)26</p><p>b) 11</p><p>c) 33</p><p>d) 22</p><p>e) 32</p><p>Resolução: A função será y = f(x) = 30x + 40, onde y (preço a ser pago) está em função</p><p>de x (número de quilômetros anddados)</p><p>y = 30x + 40</p><p>Se o passagéiro pagou 720,MT esse é o y, assim encontramos o número de quilômetros</p><p>rodados x:</p><p>720 = 30x + 40</p><p>30x + 40 = 720</p><p>30x = 720 – 40 = 730</p><p>x = 22 x = 22</p><p>Agora é só completar: a resposta correcta está na alínea ----------- Isso. Vê que não</p><p>custa para quem estuda?</p><p>04 - As figuras abaixo representam gráficos de funções do tipo y = ax + b</p><p>Considere as afirmações:</p><p>I. na figura 1 , temos b = 0;</p><p>II. na figura 2 , temos a < 0 e b≠0;</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>122</p><p>III. na figura 3, temos a > 0 e b < 0;</p><p>IV. na figura 4, temos a = 0;</p><p>V. as figuras 2 e 3 representam gráficos de funções decrescentes; As afirmações</p><p>verdadeiras são:</p><p>a) I, II e IV</p><p>b) II e III</p><p>c)II, IV V</p><p>d)I e II</p><p>e)II, III, IV e V</p><p>Resolução:</p><p>Item I</p><p>Verdadeiro. O b é ponto onde a reta corta o eixo y.</p><p>Item II</p><p>Verdadeiro. A função é decrescente, então a<0, e a reta não passa na origem, então</p><p>b é diferente de 0.</p><p>Item III</p><p>Falso. A função é crescente mais corta o eixo y acima do eixo x, então temos b>0.</p><p>Item IV</p><p>Verdadeiro. Neste caso a função é constante, qualquer valor pra x resulta o</p><p>mesmo y, que é o valor do coeficiente linear b.</p><p>Item V</p><p>Falso, na figura II o gráfico é decrescente e na figura III é crescente.</p><p>Gabarito Letra: A</p><p>04 - (UFSM 2011) Em relaç5 5. Observe o gráfico abaixo, considerando 2007 como x = 1, 2008 como x = 2 e ssim, sucessivame</p><p>afim y = ax + b que me assim sucessivamente, a função afim y = ax + b que melhor expressa a</p><p>evolução das notas em Matemática do grupo II é</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>123</p><p>Resolução:</p><p>Temos dois pontos na recta II, é o que precisamos para determinar a função. Um dos</p><p>pontos é (1, 70) e o outro é (3, 65).</p><p>y = ax + b</p><p>70 = a + b 70</p><p>- a = b</p><p>y = ax + b</p><p>65 = 3a + b</p><p>65 = 3a + 70 - a</p><p>65 - 70 = 2a</p><p>-5 = 2a</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>124</p><p>a =</p><p>b =</p><p>7</p><p>0</p><p>-</p><p>a</p><p>b</p><p>=</p><p>7</p><p>0</p><p>-</p><p>(</p><p>-</p><p>5</p><p>)</p><p>/</p><p>2</p><p>Resposta: alínea B</p><p>b = 140 / 2 + 5 / 2</p><p>b = 145 / 2 y = -5</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>125</p><p>Unidade Temática 3.2. Gráficos de Funções.</p><p>Introução</p><p>Sob um ponto de vista operacional, como dissemos na Unidade</p><p>Temática 3.1. anterior, uma função pode ser considerada com um</p><p>conjunto de pares ordenados (x.y), criados de acordo com</p><p>determinado critério; plotados em um sistema de coordenadas</p><p>cartesianas.</p><p>Os pares ordenados assim criados produzem o que se chama de gráfico</p><p>da função. O conjunto dos valores x é chamado domínio da função, e</p><p>o conjunto dos y é chamado Contradomínio/imagem da função.</p><p>Nos pares ordenados, cada valor x é utilizado apenas uma vez.</p><p>Nesta Unidade dedicar-nos-emos a construção, anaáçise e interpretação de gráfico</p><p>de diferentes tipos de funções.</p><p>A análise de gráficos é importante para responder questões de</p><p>diferentes disciplinas. Para facilitar a anaálise e interpretação de</p><p>gráficos de diferentes funções, estudaremos as diferentes</p><p>possibilidades de formato.</p><p>Porque este conteúdo é muito intuitivo, daremos maior ênfase aos</p><p>exercícios, buscando apresentar a melhor forma de solucionar as</p><p>questões.</p><p>Apenas um LEMBRETE: Quanto mais exercita, mais aprende.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>126</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>Construir: gráfico de qualquer função estudada;</p><p>Objectivos</p><p>Fazer Análise e Interpretação: de gráficos de funções estudadas; específicos</p><p>Aplicar: os conhecimentos adquiridos na vida prática e profissional;</p><p>Construção de Gráfico de uma Função</p><p>Gráficos</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>127</p><p>A construção de um gráfico no plano cartesiano, que introduzimos na</p><p>Unidade Temática 2.1., representado pela lei (expressão analítica) de</p><p>formação geral das funções, dada por y = f(x), com x pertencente ao</p><p>domínio e y constituindo ao Contradomínio/imagem, será dada por</p><p>algumas condições práticas, como as seguintes:</p><p>* Construir um eixo de coordenadas cartesianas em papel</p><p>centimetrado ou milimetrado.</p><p>* Determinar uma tabela com os possíveis valores do domínio</p><p>dado por x.</p><p>* Calcular o par ordenado (x, y) de acordo com a lei de formação</p><p>da função em questão.</p><p>* Marcar no plano cartesiano os pares ordenados calculados,</p><p>obedecendo à ordem x (eixo horizontal) e y (eixo vertical). * Ligar os</p><p>pontos, constituindo o gráfico da função.</p><p>Exemplo 1</p><p>Vamos determinar o gráfico da função dada pela seguinte lei de formação:</p><p>y = f(x) = 2x – 1.</p><p>X Y = 2x -</p><p>1</p><p>Pár ordenado</p><p>(x,y)</p><p>- 2 - 5 (-2-5)</p><p>- 1 - 3 (-1,-3)</p><p>0 - 1 (0,-1)</p><p>1 1 (1,1)</p><p>2 3 (2,3)</p><p>Mostrando respectivos Cálculos</p><p>f(-2) = 2.(–2) – 1 = –4 –1 = -5 y = –5 f(-</p><p>1) = 2.(–1) –1 = –2 – 1 =-3 y = –3 f(0)</p><p>= 2 . 0 – 1= -1 y = –1 f(1) = 2 . 1 – 1 =</p><p>2 – 1= 1 y = 1 f(2) = 2 . 2 – 1 = 4 – 1 =</p><p>60</p><p>Distância entre pontos ....................................................................................... 61</p><p>A esfera .............................................................................................................. 61</p><p>Sumário ....................................................................................................................... 62</p><p>Nesta Unidae Temática 2.1. aprendemos estudar: ...................................................... 62</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO .................................................................................. 62</p><p>Lo Localize os Pontos: ...................................................................... 63</p><p>Em Quais Quadrantes se Encontram os Pontos?........................................ 63</p><p>Unidade 2.2. Distância entre Dois Pontos .................................................................... 63</p><p>Introução ..................................................................................................................... 63</p><p>Distância entre Dois Pontos ......................................................................................... 64</p><p>Sumário ....................................................................................................................... 66</p><p>Nesta Unidade Temática 2.2 estudamos: ..................................................................... 66</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO .................................................................................. 67</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO .................................................................................. 70</p><p>Unidade 2.3. A Recta ................................................................................................... 71</p><p>vi</p><p>Introução ..................................................................................................................... 71</p><p>A recta ................................................................................................................ 72</p><p>Sumário ....................................................................................................................... 82</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO .................................................................................. 82</p><p>Ques ............................................................................................................................ 83</p><p>Unidade Temática 2.4. Posição Relativa de duas Rectas. ............................................. 85</p><p>Introução ..................................................................................................................... 85</p><p>Posições relativas de duas Rectas 86</p><p>Rectas Paralelas ........................................................................................................... 86</p><p>Rectas Concorrentes.................................................................................................... 87</p><p>Rectas Perpendiculares/Ortogonais ............................................................................. 87</p><p>Sumário ....................................................................................................................... 87</p><p>Unidade 2.5. Perpendicularidades. .............................................................................. 94</p><p>Introução ..................................................................................................................... 94</p><p>Perpendicularidade ..................................................................................................... 95</p><p>Sumário ....................................................................................................................... 97</p><p>TEMA III: FUNÇÕES 101</p><p>Unidade Temática 3.1. Funções. ................................................................................ 101</p><p>Introução ................................................................................................................... 101</p><p>Funções ..................................................................................................................... 102</p><p>Funções Reais de Variável Real .................................................................................. 103</p><p>Representação Gráfica de uma Função ...................................................................... 103</p><p>Operações com Funções ............................................................................................ 104</p><p>Soma de funções ....................................................................................................... 105</p><p>Produto de funções ................................................................................................... 106</p><p>Composição de funções ............................................................................................. 107</p><p>Inverso da função e função inversa ........................................................................... 107</p><p>Função par e função ímpar ........................................................................................ 109</p><p>Função linear e função afim....................................................................................... 110</p><p>Sumário ..................................................................................................................... 111</p><p>Exercícios de AUTOAVALIÇÃO .................................................................................... 111</p><p>Unidade Temática 3.2. Gráficos de Funções. ............................................................. 117</p><p>Introução ................................................................................................................... 117</p><p>Construção de Gráfico de uma Função 118</p><p>vii</p><p>Análise e Interpretação de Gráficos de Funções ........................................................ 122</p><p>Crescente, Decrescente, Constante e</p><p>Raízes....................................................................... 123</p><p>Sumário ..................................................................................................................... 124</p><p>Nesta Unida Temática 3.2. estudamos ....................................................................... 124</p><p>Exrcícios de AUTO-AVALIAÇÃO .................................................................................. 124</p><p>Unidade Temática 3.3. Propriedades de Funções. ..................................................... 125</p><p>Introução ................................................................................................................... 125</p><p>Propriedades de uma Função 126</p><p>Continuidade ....................................................................................................126</p><p>Funções Injectora, Sobrejectora e Bijectora ...............................................................</p><p>127</p><p>Sumário ..................................................................................................................... 128</p><p>Nesta Unidade Temática 3.3. estudamos ................................................................... 128</p><p>Exrecícios de AUTO-AVALIAÇÃO ................................................................................ 128</p><p>GRUPO 2 (com respostas) .......................................................................................... 128</p><p>Unidade Temática 4.1. Funções Polinomiais. .............................................................</p><p>130</p><p>Introução ................................................................................................................... 130</p><p>Funções Polinomiais 131</p><p>Sumário ..................................................................................................................... 133</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ................................................................................ 134</p><p>Unidade Temática 4.2. Funções Trigonométricas. ................................. 136</p><p>Introução</p><p>3 y = 3</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>128</p><p>Exemplo 2</p><p>Determinar o gráfico da função dada por y = f(x) = x².</p><p>X Y = x2 Pár ordenado</p><p>(x,y)</p><p>- 2 4 (-2,4)</p><p>- 1 1 (-1,1)</p><p>0 0 (0,0)</p><p>1 1 (1,1)</p><p>2 4 (2,4)</p><p>Mostrando respectivos Cálculos</p><p>f(-2) = (–2)² = 4</p><p>f(-1) = (–1)² = 1</p><p>f(0) = (0)² = 0</p><p>f(1) = (1)² = 1</p><p>f(2) = (2)² = 4</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>129</p><p>Exemplo 3</p><p>Determinar o gráfico da função dada por y = f(x) = x³.</p><p>X Y = x3 Pár ordenado</p><p>(x,y)</p><p>- 2 - 8 (-2,-8)</p><p>- 1 - 1 (-1,-1)</p><p>0 0 (0,0)</p><p>1 1 (1,1)</p><p>2 8 (2,8)</p><p>Mostrando respectivos Cálculos</p><p>f(-2) = (–2)³ = –8</p><p>f(-1) = (-1)³ = -1</p><p>f(0)=(0)=03 f(1) = 1³ = 1 f(2) = 2³ = 8</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>130</p><p>Exemplo 4</p><p>Construir o gráfico da função y = f(x) = 4x4 – 5x3 – x2 + x – 1.</p><p>y = 4 . (0,5)4 – 5 . (0,5)3 – 0,52 + 0,5 – 1 = 0,25 – 0,625 – 0,25 + 0,5 – 1</p><p>= – 1,155</p><p>y = 4 . 04 – 5 . 03 – 02 + 0 – 1 = –1</p><p>y = 4 . 14 – 5 . 13 – 12 + 1 – 1 = –2</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>131</p><p>Análise e Interpretação de Gráficos de</p><p>Funções</p><p>O gráfico abaixo mostra o lucro de três empresas: A, B e C. Vamos pensar</p><p>e entender um pouco mais sobre o que ele está a nos dizer.</p><p>Exemplo de uso de um gráfico</p><p>Primeiro, temos que nos orientar. Então, chamaremos a recta</p><p>representada pelo lucro de cada empresa de "eixo vertical". O eixo</p><p>vertical mede a altura dos pontos. Portanto, quanto mais alto o</p><p>ponto, maior será o lucro. E, por sua vez, a reta que representa os</p><p>meses de eixo horizontal. O eixo horizontal mede a largura do ponto.</p><p>Assim, quanto mais largo – ou quanto mais à direita do eixo vertical –</p><p>o tempo será maior.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>132</p><p>Repare, agora, somente nos pontos A e B. Esses estão na mesma reta</p><p>vertical. Qquer dizer que eles têm a mesma largura. Portanto,</p><p>correspondem ao mesmo mês. E, ainda, o ponto A está um pouco mais</p><p>acima que o B. O que isso significa? A</p><p>Empresa Álgebra possui mais lucro que a Empresa Aritmética, visto que</p><p>a altura do ponto A é maior.</p><p>Olhemos para os pontos B e C. Nesse caso, ambos possuem a mesma</p><p>altura, mas larguras diferentes. Então, no mês de Abril a Empresa</p><p>Aritmética possui um lucro de aproximadamente R$2.500, o mesmo</p><p>lucro da empresa Álgebra, porém no mês de maio.</p><p>Por fim, o ponto D: ele representa o lucro da empresa Aritmética no</p><p>mês de junho. O menor lucro entre as três aqui mostradas. Basta ver</p><p>que o ponto D está mais abaixo que os outros.</p><p>Em resumo: é muito importante saber o que cada eixo representa. Se</p><p>o eixo vertical representasse o índice de chuva em uma determinada</p><p>região, então quanto mais alto o gráfico, mais chuva. Ou, em um</p><p>outro exemplo: se o eixo horizontal tivesse determinado pela pressão</p><p>de um gás, então quanto menor a largura, menor seria sua pressão.</p><p>Por ai em diante. Está a entender? Em seguida vmos fazer análise da</p><p>monotonia (Crescimento, Decrescimento, Constância e raízes).</p><p>Crescente, Decrescente, Constante e Raízes</p><p>Primeiro, temos que nos orientar. Então, chamaremos a reta</p><p>representada pelo lucro de cada empresa de "eixo vertical". O eixo</p><p>vertical mede a altura dos pontos. Portanto, quanto mais alto o</p><p>ponto, maior será o lucro. E, por sua vez, a reta que representa os</p><p>meses de eixo horizontal. O eixo horizontal mede a largura do ponto.</p><p>Assim, quanto mais largo – ou quanto mais à direita do eixo vertical –</p><p>o tempo será maior.</p><p>A ideia aqui é localizar se o gráfico cresce, diminui ou até mesmo onde</p><p>ele permanece constante. Um importante lembrete: o eixo horizontal</p><p>cresce no mesmo sentido em que lemos um texto, da esquerda para</p><p>direita. Por sua vez, o eixo vertical cresce de baixo para cima.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>133</p><p>Análise gráfica</p><p>Olhando para o gráfico acima, conseguimos reparar que ele possui as</p><p>três caraterísticas. Lendo da esquerda para direita no eixo horizontal:</p><p>Crescente: o gráfico cresce no intervalo antes do -1 ou do 2 até o 5. Ou</p><p>seja, (∞ ; -1) ou (2; 5)</p><p>Decrescente: o gráfico diminui no intervalo depois do -1 até o 2. Ou seja,</p><p>(-1; 2)</p><p>Constante: o gráfico permanece com seu valor no intervalo depois do</p><p>5. (5; ∞)</p><p>E, por fim, as raízes são onde o gráfico passa pelo eixo horizontal. Com isso,</p><p>no exemplo acima, as raízes são -2, 0 e 4</p><p>Sumário</p><p>Nesta Unida Temática 3.2. estudamos</p><p>1. Construção de gráfico de uma função;</p><p>2. Análise e interpretação de gráficos;</p><p>3. Função crescente, Constante e Decrescente.</p><p>Exrcícios de AUTO-AVALIAÇÃO</p><p>GRUPO-2 (Com respostas)</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>134</p><p>1. Enumere, pelo menos, 4 condições para construção de gráfico de</p><p>qualquer função.</p><p>2. Reconstrua os gráficos do exemplos de 1 a 4 desta Unidade</p><p>Temática 3.2. desta vez com novos dados, de sua criação.</p><p>Unidade Temática 3.3. Propriedades de Funções.</p><p>Introução</p><p>As funções, independentes do grau que ela seja, são caracterizadas</p><p>conforme a ligação entre os elementos dos conjuntos onde é feita</p><p>a relação.</p><p>Uma função A →B pode ser: sobrejetora, injetora, e bijetora. Para</p><p>identificarmos essas características em uma função é preciso que</p><p>tenhamos o conhecimento da definição de função, do que é um domínio,</p><p>imagem e contradomínio.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>135</p><p>Observe o diagrama abaixo que representa uma função f: A→B e veja</p><p>quem é o domínio, a imagem e o contradomínio dela.</p><p>Domínio serão todos os elementos do conjunto A: D(f) = {-3,1,2,3} a</p><p>imagem será os elementos do conjunto B que receberem a seta: Im(f) =</p><p>{1,4,9} e o contradomínio será todos os elementos do conjunto B: CD(f) =</p><p>{1,4,5,9}.</p><p>Identificar as características de uma função é o principal objectivos desta</p><p>Unidade Temática, como veremos no desenvolvimento seguinte.</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>Definir Continuidade:</p><p>Objectivos</p><p>Definir e identificar: função Sobrejectora; específicos</p><p>Definir e identificar: função bijectora; ▪ Definir e identificar:</p><p>funções injectora;</p><p>Propriedades de uma Função</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>136</p><p>Continuidade</p><p>Uma das Prorpriedades de uma função é a Continuidade.</p><p>Uma função é dita contínua sobre um intervalo dado, , se possui</p><p>um valor definido para todos os números contidos nesse intervalo. Por</p><p>exemplo, a função:</p><p>, definida para o contradomínio , não é contínua</p><p>no intervalo , uma vez que não está definida para x < 0.</p><p>Função sobrejectora</p><p>Uma função será considerada sobrejectora se o conjunto imagem for igual</p><p>ao conjunto do contra domínio.</p><p>Função injectora</p><p>Uma função será considerada injectora se os diferentes elementos do conjunto</p><p>do domínio possuirem imagens diferentes.</p><p>Função bijectora</p><p>Uma função será bijectora se ela assumir as características de uma função</p><p>sobrejectora e injetora ao mesmo tempo.</p><p>EXEMPLOS</p><p>Funções Injectora, Sobrejectora e Bijectora</p><p>Exemplo1: A função y = 5x-2 é injetora pois dados x1 ≠ x2podemos</p><p>escrever f(x1) - f(x2) ≠ 0. Portanto, (5x1 - 2) - (5x2 -2) = 5 (x1 - x2) ≠ 0, pois</p><p>x1 ≠ x2.</p><p>Exemplo2: A função f:R->R definida por f(x)=x²+3 não é injectora, pois para</p><p>x = 1 temos f(1) = 4 e para x = -1 temos f(-1) = 4.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>137</p><p>Observando o diagrama, abaixo, vemos que os elementos do domínio</p><p>estão ligados</p><p>a um e somente um elemento do contradomínio, isto é,</p><p>não existem elementos em A com imagens iguais. Portanto, se uma</p><p>função f: A -> B é injetora, então n(A) ≤ n(B)</p><p>Exemplo3: A função dada por y = 3x + 2 de R em R é sobrejetora pois</p><p>para cada valor de x do domínio, existe pelo menos um correspondente</p><p>(imagem) no contradomínio.</p><p>Exemplo4: A função f:R->R definida por f(x)=2x não é sobrejectora, pois</p><p>o número -1 é elemento do contradomínio R e não é imagem de</p><p>qualquer elemento do domínio.</p><p>Observando no diagrama, abaixo, vemos que todos os elementos do</p><p>contradomínio estão ligados a algum elemento do domínio, isto é, não</p><p>sobram elementos no contradomínio. Portanto, se uma função f: A -></p><p>B é sobrejectora, então n(A) ≥ n(B).</p><p>Exemplo5: A função f:R->R dada por f(x)=2x é bijectora, pois é ao mesmo</p><p>tempo injetora e sobrejetora</p><p>Exemplo6: A função f : R→ R definida por y = 4x - 1 é uma função</p><p>bijectora, pois é ao mesmo tempo injectora e sobrejectora.</p><p>Observando no diagrama, abaixo, vemos que todos os elementos do</p><p>domínio estão ligados a algum elemento do contradomínio e não</p><p>existem elementos em A com imagens iguais. Portanto, se uma função</p><p>f: A -> B é bijectora então n(A) = n(B)</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>138</p><p>Sumário</p><p>Nesta Unidade Temática 3.3. estudamos</p><p>1. Continuidade de</p><p>Funções;</p><p>2. Função</p><p>Sobrejectora; 3. Função</p><p>Injectora e; 4. Função</p><p>Bijectora.</p><p>Exrecícios de AUTO-AVALIAÇÃO</p><p>GRUPO 2 (com respostas)</p><p>1) Verifique se a função f : Q→Q definida por f(x) = x2 + 1 é injectora,</p><p>sobrejectora, bijectora ou não injectora e nem sobrejectora. Solução:</p><p>Se f é injectora, f(x1) = f(x2) x1 = x2. Daí, x1</p><p>2 + 1 =x2</p><p>2 + 1 x12 =x22</p><p>Se f não é sobrejectora pois, para f(x) = 0 não existe x tal que x2 + 1= 0. Como</p><p>f não é sobrejectora ela também não pode ser bijectora.</p><p>Portanto ela é apenas injectora (reveja Propriedades de Funções).</p><p>2)Determine se a função f : Z→Z definida por f(x)=x2, é injectora.</p><p>Solução: A função f(x)=x2 não é injectora pois, por exemplo 1 ≠-1 mas</p><p>f(1) = f(-1) = 1.</p><p>3)Determine se a função f : Z→Z definida por f(x) = x + 1, é injectora. Solução:</p><p>A função f(x)=x+1 é injetora pois sempre x1≠x2, x1+1 ≠ x2+1.</p><p>4) Determine se a função f : Z→Z definida por f(x)=x2, é sobrejetora.</p><p>Solução: A função f(x) = x2 não é sobrejetora pois, por exemplo para</p><p>f(x) = -1 não existe x tal que x2 = -1.</p><p>5) Determine se a função f : Z→Z definida por f(x) = x+1, é sobrejetora.</p><p>Solução: A função f(x) = x + 1 é sobrejetora pois para todo inteiro y existe um</p><p>inteiro x tal que x + 1 = y.</p><p>6) Determine se a função f : Z→Z definida por f(x)=x+1, é bijetora.</p><p>Solução: A função f(x) = x+1 é bijetora pois, como vimos acima é</p><p>injetora e sobrejetora.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>139</p><p>7) Considere três funções f, g e h, tais que:</p><p>1. A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade;</p><p>2. A função g atribui a cada país, a sua capital;</p><p>3. A função h atribui a cada número natural, o seu dobro.</p><p>Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras: a)</p><p>f, g e h b) f e h c)g e hd) apenas h e) n.d.a.</p><p>Solução: Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do</p><p>domínio, possuem imagens distintas, ou seja: x1 ≠ x2 f(x1) ≠ f(x2) .</p><p>Logo, podemos concluir que: f não é injetora, pois duas pessoas</p><p>distintas podem ter a mesma idade. g é injetora, pois não existem dois</p><p>países distintos com a mesma capital. h é injetora, pois dois números</p><p>naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos. Assim é</p><p>que concluímos que a alternativa é a de letra C.</p><p>Exrecícios Com GABARITO</p><p>1) Verifique em cada caso se a função é injectora, sobrejectora, bijectora ou</p><p>não injectora e nem sobrejectora.</p><p>a) f(x) = -2x + 1 b) f(x) = x2 + 3 c) f(x) = -2 d) f(x) = -2x3</p><p>e) f(x) = x9 f) f(x) = x4 + 2</p><p>2)Considere três funções f, g e h, tais que:</p><p>I - A função f atribui a cada pessoa do mundo, o seu nome;</p><p>II - A função g atribui a cada país, o seu idioma;</p><p>III - A função h atribui a cada número real, o seu triplo.</p><p>Podemos afirmar que, das funções dadas, são bijetoras:</p><p>a) f, g e h b) f e h c) g e h d) f e g e) n.d.a.</p><p>TEMA IV: TIPOS ESPECIAIS DE</p><p>FUNÇÕES. Error! Bookmark n</p><p>Unidade 4.1 Funções Polinomiais.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>140</p><p>Unidade 4.2 Funções Exponenciais e Logarítmicas.</p><p>Unidade 4.3. Funções Trigonométricas.</p><p>Unidade 4.4. Regiões no Plano Cartesiano.</p><p>Unidade 4.5. Funções como Modelos Matemáticos.</p><p>Unidade Temática 4.1. Funções Polinomiais.</p><p>Introução</p><p>Objectivo dessa Unidade Temática 4.1. é reconhecer o grau de um</p><p>polinômio P(x), a partir da observação e análise do seu gráfico. Esta</p><p>pode ser uma tarefa nada simples. Para termos sucesso, precisamos</p><p>ter muita atenção e prestar atenção às características locais e globais</p><p>do seu gráfico. Para ajudar nesta tarefa, vamos fazer um resumo do</p><p>que sabemos a cerca de polinômios e seus gráficos.</p><p>Uma das principais razões pelas quais estamos interessados em</p><p>estudar o gráfico de uma função é determinar o número e a localização</p><p>(pelo menos aproximada) de seus zeros. (Recorde que zero de uma</p><p>função f é uma solução da equação quando f(x) = 0.</p><p>O problema de calcular as raízes de uma equação sempre foi objecto</p><p>de estudo da matemática ao longo dos séculos. Já era conhecida, na</p><p>antiga Babilônia, a fórmula para o cálculo das raízes exactas de uma</p><p>equação geral do segundo grau. No século XVI, matemáticos italianos</p><p>descobriram fórmulas para o cálculo de soluções exactas de equações</p><p>polinomiais do terceiro e do quarto grau. Essas fórmulas são muito</p><p>complicadas e por isso são raramente usadas nos dias de hoje.</p><p>Perguntas do tipo:</p><p>o Qual é o maior número de zeros que uma função</p><p>polinomial pode ter? o Qual é o menor número de zeros</p><p>que uma função polinomial pode ter?</p><p>o Como podemos encontrar todos os zeros de um</p><p>polinômio, isto é, como podemos encontrar todas as</p><p>raízes de uma equação polinomial?</p><p>ocuparam as mentes dos matemáticos até o início do século XIX, quando este</p><p>problema foi completamente resolvido.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>141</p><p>Nesta Unidade Temática vamos tentar responder a estas perguntas</p><p>refazendo o caminho percorrido por famosos matemáticos desde o</p><p>século XVI.</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>Definir e Construir: gráfico de qualquer função Polinomial;</p><p>Objectivos</p><p>Determinar zeros: de funções Polinomiais; específicos</p><p>Aplicar: os conhecimentos adquiridos na vida prática e profissional;</p><p>Funções Polinomiais</p><p>Pela experiência adquirida no estudo das equações de primeiro e</p><p>segundo grau é razoável supor que o número de raízes de um</p><p>polinômio está relacionado ao seu grau. Sabemos, por exemplo, que a</p><p>equação x2 = 0 tem uma única raiz igual a zero. Na verdade, esta</p><p>equação tem duas raizes idênticas, ambas iguais a zero. Esta equação</p><p>pode ser escrita como (x – 0).(x – 0) = 0.</p><p>Esta forma (factorada) de escrever a equação permite perceber,</p><p>claramente, que a mesma possui duas raízes iguais. O mesmo acontece</p><p>com a equação (x – 1)2 = 0 que apresenta duas raizes idênticas e iguais</p><p>a 1.</p><p>Podemos encontrar facilmente, muitos exemplos de equações de</p><p>segundo grau que não têm nenhuma raiz real. Considere, por exemplo,</p><p>a equação x2 + 1 = 1 . Ao tentarmos encontrar as raizes desta equação,</p><p>chegaremos a x2 = -1, que não tem solução real. No entanto, como já</p><p>vimos, se admitirmos que as raízes podem pertencer ao conjunto dos</p><p>números complexos, esta equação tem duas raízes complexas</p><p>conjugas, a saber,x1 = 1 = i e x2 = 1 = i. Da mesma maneira que no</p><p>exemplo anterior, esta equação pode ser escrita na forma fatorada</p><p>como (x – i).(x + i) = 0 .</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA</p><p>APLICADA</p><p>142</p><p>No caso mais geral de uma equação de segundo grau, temos que a</p><p>equação ax2 + bx + c = 0 pode sempre ser escrita na forma y = a (x -</p><p>x1).(x - x2) , onde x1 e x2 são as duas raízes da equação, que como já</p><p>vimos pelos exemplos acima, podem ser distintas, repetidas, isto é,</p><p>iguais, ou mesmo complexas.</p><p>Este facto pode ser generalizado para equações polinomiais de</p><p>qualquer grau. De um modo geral, sempre que x1 for um zero complexo</p><p>de um polinômio P(x), isto é sempre que x1 for uma raiz</p><p>complexa da equação P(x)= = 0, temos que (x – x1) é um fator de P(x).</p><p>Este fato foi estabelecido por René Descartes na sua obra "Discours de</p><p>la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la verité dans les</p><p>sciences" (Discurso do método para bem conduzir a razão e procurar a</p><p>verdade nas ciências), publicada em 1637. Suas conclusões podem ser</p><p>resumidas no teorema do fator, enunciado a seguir:</p><p>TEOREMA DE FACTORES</p><p>Um número X1 é um zero de um polinômio P se e somente se P(x) tem um</p><p>factor da forma (x – x1).</p><p>O exemplo a seguir mostra como o teorema do factor pode ser usado</p><p>para nos ajudar na tarefa de encontrar as raízes de um polinômio de</p><p>grau maior do que dois.</p><p>Exemplo</p><p>Ache os zeros da função polinomial P(x) = x3 – 4x2 + 2x + 3 e representa-a</p><p>graficamente, num sisema cartesiano ortogonal (sco).</p><p>Solução</p><p>Assim, dividindo P(x) por (x - 3), (tente fazer essa divisão).</p><p>Obtemos (x2 – x – 1). O que implica que (x – 3).(x2 – x – 1) deve</p><p>ser igual a x3 – 4x2 + 2x + 3, ou P(x) = (x – 3).(x2 – x – 1).</p><p>Esta forma factorizada permite concluir que os zeros, (reveja</p><p>à lei de nulidade), de p(x) devem ser soluções da equação x2 –</p><p>x – 1 = 0 . Onde com recurso a fórmula de Bhaskara</p><p>(fórmula resolvente) para resolver esta última equação,</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>143</p><p>b 2 obtemos x2,3 , com b</p><p>4ac e que são os</p><p>2a</p><p>outros dois zeros de P(x), tendo em conta que x1 foi atribuída</p><p>b b2 4ac</p><p>ao binómio (x – 3). Concretamente x2 = e 2</p><p>b b2 4ac</p><p>x3 , com a = 1 (lembre-se que a forma</p><p>2</p><p>canônica de equação quadrática é ax2 + bx + c = 0). Pelo que</p><p>de x2 – x – 1 = 0, vê-se que o valor dos coeficientes é: a = 1; b</p><p>= -1 e c = -1.</p><p>Tente, sem ajuda, calcular os zeros/raízes x1, x2 e x3.</p><p>O Teorema do factor responde a primeira das perguntas formuladas</p><p>no início desta Ubidade Temática. Como um polinômio de grau n tem,</p><p>no máximo, n fatores do primeiro grau, decorre imediatamente, deste</p><p>teorema que uma função polinomial de grau n tem no máximo n zeros.</p><p>Este facto foi primeiro estabelecido no início do século XVII pelo</p><p>matemático alemão Peter Rothe e, mais tarde, por Descartes e Albert</p><p>Girard (1593-1632), ambos matemáticos franceses. Girard e Descartes</p><p>reconheceram a natureza dos zeros de um polinômio porque eles</p><p>estavam entre os primeiros matemáticos a admitir a possibilidade de</p><p>trabalhar com números complexos.</p><p>Sumário</p><p>Nesta Unidade Temática 4.1. estudamos:</p><p>1. Funções Polinomiais e</p><p>2. Determinação de raízes de um Função Polinomial.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>144</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO</p><p>GRUPO-1 (Com respostas detalhadas)</p><p>1. O gráfico da função f, que aplica IR em IR, definida por</p><p>f(x) = x2 + 3x - 10, intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A</p><p>distância AB é igual a (Só um resposta é correcta):</p><p>a) 3</p><p>b) 5</p><p>c) 7</p><p>d) 8</p><p>e) 9</p><p>2. O gráfico da função y = ax2 + bx + c tem uma só intersecção com o</p><p>eixo Ox e corta o eixo Oy em (0, 1). Então, os valores de a e b</p><p>obedecem à relação, (Só um resposta é correcta),:</p><p>a) b2 = 4a</p><p>b) -b2 = 4a</p><p>c) b = 2a</p><p>d) a2 = -4a</p><p>e) a2 = 4b</p><p>3. Assinale a equação que representa uma parábola voltada para baixo</p><p>e tangente ao eixo das abscissas, (Só um resposta é correcta):</p><p>a) y = x2</p><p>b) y = x2 - 4x + 4</p><p>c) y = -x2 + 4x - 4</p><p>d) y = -x2 + 5x - 6</p><p>e) y = x - 3</p><p>4. A solução da inequação (x - 3) (-x2 + 3x + 10) < 0 é, (Só um resposta é correcta):</p><p>a) -2 < x < 3 ou x > 5</p><p>b) 3 < x < 5 ou x < -2</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>145</p><p>c) -2 < x < 5</p><p>d) x > 6</p><p>e) x < 3</p><p>05. Os valores de x que satisfazem à inequação (x2 - 2x + 8) (x2 - 5x + 6)</p><p>(x2 - 16) < 0 são, (Só um resposta é</p><p>correcta):</p><p>a) x < -2 ou x > 4</p><p>b) x < -2 ou 4 < x < 5</p><p>c) -4 < x < 2 ou x > 4</p><p>d) -4 < x < 2 ou 3 < x < 4</p><p>e) x < -4 ou 2 < x < 3 ou x > 4</p><p>06. Resolvendo a inequação (x2 + 3x - 7) (3x - 5) (x2 - 2x + 3) < 0, um</p><p>aluno cancela o factor (x2 - 2x + 3), transformando-a em (x2 + 3x - 7)</p><p>(3x - 5) < 0. Pode-se concluir que tal cancelamento é(Só um resposta</p><p>é correcta):</p><p>a) incorreto porque não houve inversão do sentido da desigualdade;</p><p>b) incorreto porque nunca podemos cancelar um termo que contenha a incógnita;</p><p>c) incorreta porque foi cancelado um trinômio do segundo grau;</p><p>d) correto porque o termo independente do trinômio cancelado é 3;</p><p>e) correto, pois (x2 - 2x + 3) > 0 , " x Î .</p><p>7. A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x2 + 12x + 20, tem</p><p>um valor (Só um resposta é correcta), :</p><p>a) mínimo, igual a -16, para x = 6;</p><p>b) mínimo, igual a 16, para x = -12;</p><p>c) máximo, igual a 56, para x = 6;</p><p>d) máximo, igual a 72, para x = 12;</p><p>e) máximo, igual a 240, para x = 20.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>146</p><p>08. (PUC - MG) O lucro de uma loja, pela venda diária de x peças, é</p><p>dado por L(x) = 100 (10 - x) (x - 4). O lucro máximo, por dia, é obtido</p><p>com a venda de:</p><p>a) 7 peças</p><p>b) 10 peças</p><p>c) 14 peças</p><p>d) 50 peças</p><p>e) 100 peças</p><p>09. (UE - FEIRA DE SANTANA) Considerando-se a função real f(x) = -2x2 +</p><p>4x + 12, o valor máximo desta função é:</p><p>a) 1</p><p>b) 3</p><p>c) 4</p><p>d) 12</p><p>e) 14</p><p>10. (ACAFE) Seja a função f(x) = -x2 - 2x + 3 de domínio [-2, 2]. O conjunto</p><p>imagem é:</p><p>a) [0, 3]</p><p>b) [-5, 4]</p><p>c) ]-¥, 4]</p><p>d) [-3, 1]</p><p>e) [-5, 3]</p><p>Resolução:</p><p>01. C 02. A 03. C 04. A</p><p>05. D 06. E 07. C 08. A</p><p>09. E 10. B</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>147</p><p>Unidade Temática 4.2. Funções Trigonométricas.</p><p>Introução</p><p>Em matemática, as funções trigonométricas são funções angulares,</p><p>importantes no estudo dos triângulos e na modelação de fenómenos</p><p>periódicos. Podem ser definidas como razões entre dois lados de um</p><p>triângulo rectângulo em função de um ângulo, ou, de forma mais geral,</p><p>como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário.</p><p>Na análise matemática, estas funções recebem definições ainda mais</p><p>gerais, na forma de séries infinitas ou como soluções para certas</p><p>equações diferenciais. Neste último caso, as funções trigonométricas</p><p>estão definidas não só para ângulos reais como também para ângulos</p><p>complexos.</p><p>Actualmente, existem seis funções trigonométricas básicas em uso,</p><p>cada uma com a sua abreviatura notacional padrão.</p><p>As inversas destas funções são chamadas de função de arco ou</p><p>funções trigonométricas inversas. A nomenclatura é feita através do</p><p>prefixo "arco-", ou seja, arco seno, arco co-</p><p>seno, etc. Matematicamente, são designadas por "arcfunção", i.e.,</p><p>arcsen, arccos, etc.; a notação usando-se −1 como na notação da</p><p>função inversa não é recomendada, pois causa confusão com o inverso</p><p>multiplicativo, como em sen-1 e cos-1. O resultado da função inversa é</p><p>o ângulo (argumento) que corresponde ao parâmetro da função, como</p><p>veremos alguns exemplos no desenvolvimento desta Unidade</p><p>Temática 4.3..</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>148</p><p>Definir: e identificar função trigonométrica;</p><p>Objectivos</p><p>Construir:</p><p>gráfico de uma função estudada; específicos</p><p>Fazer Análise e Interpretação: de gráficos de funções trigonométricas estudadas;</p><p>Aplicar: os os conhecimentos adquiridos na vida prática e profissional;</p><p>Funções Trigonométricas</p><p>Breve resenha histórica</p><p>A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri(três),</p><p>gono(ângulos)e metron(medida); significando assim "medida dos</p><p>triângulos". Inicialmente considerada como uma extensão da</p><p>geometria, a trigonometria já era estudada pelos babilônios, que a</p><p>utilizavam para resolver problemas práticos de Astronomia, de</p><p>Navegação e de Agrimensura. Aliás, foram os astronomos como o</p><p>grego Hiparco (190 aC – 125 aC), considerado o pai da Astronomia e da</p><p>Trigonometria, que estabeleceu as primeiras relações entre os lados e</p><p>os ângulos de um triângulo retângulo.</p><p>No século VIII com o apoio de trabalhos hindus, matemáticos árabes</p><p>contribuíram notavelmente para o avanço da trigonometria. Este</p><p>avanço continuou após a construção da primeira tábua trigonométrica,</p><p>por um matemático alemão, nascido em Baviera, chamado Purback.</p><p>Porém o primeiro trabalho matemático sobre trigonometria foi o</p><p>"tratado dos triângulos", escrito pelo matemático alemão Johann</p><p>Müller, também chamado Regiomontanus. Sabe-se ue</p><p>Regiomaontanus foi discipulo de Purback.</p><p>Actualmente a trigonometria não se limita apenas a estudo de</p><p>triângulos. Sua aplicação se estende a outros campos da matemática,</p><p>como a Análise, e a outros campos da actividade humana como a</p><p>Eletricidade, a Mecânica, a Acústica, a Música, a Topologia, às</p><p>Engenharias, etc.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>149</p><p>Nesta Unidade Temática vamos estudar , como foi dito na introdução</p><p>desta desta Unidade, seis funções trigonométricas, três funções</p><p>directas mais três respectivoas inversas, como se segue:</p><p>Funções trigonométricas directas.</p><p>y = sen x</p><p>y = cos x</p><p>y = tg x</p><p>Respectivas funções inversas:</p><p>y = 1/sen x = cosec x</p><p>y =1/ cos x = sec x</p><p>y = 1/tg x = cotg x</p><p>O ângulo x é o argumento (variável independente) e o valor da</p><p>função é a variável dependente y ou f(x). É importante recordar que</p><p>a medida dos ângulos pode expressar-se em graus ou em radianos.</p><p>Assim, vemos que:</p><p>0°</p><p>360° rad</p><p>Observemos agora as principais características das funções já</p><p>mencionadas:</p><p>1. Função y = sen x:</p><p>a) A função seno é periódica, já que:</p><p>sen (x + 2 ) = sen x</p><p>em que o período da função é t = 2;</p><p>b) O domínio da função é todo o conjunto R, e o contradomínio da função é</p><p>[-1,1];</p><p>0 rad</p><p>2</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>150</p><p>c) O valor máximo da função é 1 em x = /2 e o valor mínimo da função é -1</p><p>em x = 3 /2;</p><p>d) A função é contínua em todo o seu domínio;</p><p>e) É uma função crescente no intervalo [0, /2] e [3 /2,2 ], e decrescente no</p><p>intervalo [ /2,3 /2];</p><p>f) A função é ímpar, já que:</p><p>sen (-x) = - sen x</p><p>e o gráfico é simétrico em relação à origem (0,0).</p><p>2. Função y = cos x:</p><p>a) A função co-seno é periódica, pois:</p><p>cos (x + 2 ) = cos x</p><p>e o período da função é T = 2 ;</p><p>b) O domínio é todo o conjunto dos números reais R, e o contradomínio da</p><p>função é [-1,1];</p><p>c) O valor máximo da função é 1 em x = 0 ou x = 2 e o valor mínimo da</p><p>função é -1 em x = ;</p><p>d) A função é contínua em todo o seu domínio;</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>151</p><p>e) É uma função crescente no intervalo [ ] e decrescente no intervalo</p><p>[0, ];</p><p>f) A função é par, já que:</p><p>cos x = cos (-x) e o gráfico é simétrico em relação ao eixo</p><p>das ordenadas.</p><p>3. Função y = tg x:</p><p>a) A função tangente é periódica, já que:</p><p>tg (x +</p><p>em que o período da função é t</p><p>=</p><p>b) O domínio da função é R/ {Z }, e o contradomínio da função é todo o conjunto R;</p><p>c) Esta função não tem extremos locais;</p><p>d) A função é contínua em todo o seu domínio;</p><p>e) É uma função crescente em todos os pontos do domínio;</p><p>f) A função é ímpar, pois:</p><p>,2</p><p>) = tg x</p><p>;</p><p>/2 - k , k</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>152</p><p>tg (-x) = - tg x e o gráfico é simétrico em relação</p><p>à origem (0,0).</p><p>4. Função y = cosec x:</p><p>a) A função co-secante é periódica, já que:</p><p>cosec (x + 2 ) = cosec x em que o período da</p><p>função é t = 2</p><p>b) O domínio da função é R/ {0 + k Z }, e o contradomínio da</p><p>função é o conjunto R/ [-1,1];</p><p>c) Esta função tem um máximo local em 3 /2 e um mínimo local</p><p>em /2;</p><p>d) A função é contínua em todo o seu domínio;</p><p>e) É uma função crescente onde a função sen x é decrescente e é decrescente onde</p><p>a função sen x é crescente;</p><p>f) A função é ímpar, pois:</p><p>;</p><p>, k</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>153</p><p>cosec (-x) = - cosec x</p><p>e o gráfico é simétrico em relação à origem (0,0).</p><p>5. Função y = sec x:</p><p>a) A função secante é periódica, já que:</p><p>sec (x + 2 ) = sec x em que o período</p><p>da função é t = 2 ;</p><p>b) O domínio da função é o conjunto R/{ /2 - k , k Z } , e o contradomínio da</p><p>função é R/ [-1,1];</p><p>c) A função tem um máximo local em x = e um mínimo local em</p><p>x = 0;</p><p>d) A função é contínua em todo o seu domínio;</p><p>e) É uma função crescente onde a função cos x é decrescente e é decrescente onde</p><p>a função cos x é crescente;</p><p>f) A função é par, pois:</p><p>sec x = sec (-x) e o gráfico é simétrico em relação</p><p>à origem (0,0).</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>154</p><p>6. Função y = cotg x:</p><p>a) A função co-tangente é periódica, já que:</p><p>cotg (x + ) = cotg x em que o período da</p><p>função é t =</p><p>b) O domínio da função é R/ {k Z}, e o contradomínio da função é</p><p>todo o conjunto R;</p><p>c) Esta função não tem quaisquer extremos;</p><p>d) A função é contínua em todo o seu domínio;</p><p>e) É uma função decrescente em todos os pontos do domínio;</p><p>f) A função é ímpar, pois:</p><p>cotg (-x) = - cotg x e o gráfico é simétrico em</p><p>relação à origem (0,0).</p><p>;</p><p>, k</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>155</p><p>Sumário</p><p>Nesta Unidade Temática 4.2. estudamos funções trigonmétricas:</p><p>Senx, cosx, tagx, coscx, secx e cotgx,</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO</p><p>GRUPO-2 (Com respostas detalhadas).</p><p>Determine o período e esboce o gráfico das seguintes funções:</p><p>1. f(x) = 4 cosx.</p><p>2. f(x) = 2 - senx.</p><p>x</p><p>3. f(x) = 3 cos</p><p>2</p><p>4. f(x) = 5 + cosx.</p><p>5. f(x) = 2 tgx.</p><p>6. f(x) = 3 cos x</p><p>3</p><p>7. f(x) = cosx + senx</p><p>.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>156</p><p>Unidade Temática 4.4. Regiões no Plano Cartesiano.</p><p>Introução</p><p>A geometria analítica em duas dimensões usa a álgebra para</p><p>descrever figuras planas e suas propriedades. O principal recurso</p><p>dessa geometria é o plano cartesiano, determinado por duas retas</p><p>reais perpendiculares, horizontal e vertical.</p><p>No plano cartesiano, cada ponto está</p><p>univocamente associado a um par ordenado, onde o primeiro e</p><p>segundo elemento denotam respectivamente a abscissa (ou projeção</p><p>do ponto no eixo horizontal) e a ordenada (ou projeção do ponto no</p><p>eixo vertical).</p><p>Nesta Unidade Temática 4.4. vamos estudar as regões do Plano</p><p>Cartesiano em duas (2D) e em três (3D) Dimensões</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>Identificar: regiões do Sistema Cartesiano Ortogonal em 2D;</p><p>Objectivos</p><p>Identificar: regiões do Sistema Cartesiano ortogonal em 3D; específicos</p><p>Aplicar: os os conhecimentos adquiridos na vida prática e profissional;</p><p>Regiões no Plano Cartesiano</p><p>As coordenadas cartesianas são representadas pelos pares ordenados</p><p>(x ; y). Em razão dessa ordem, devemos localizar o ponto observando</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>157</p><p>primeiramente o eixo x e posteriormente o eixo y. Qualquer</p><p>ponto que</p><p>não se encontrar sobre os eixos, estará localizado em cada uma das</p><p>quatro regiões ou quadrantes, veja:</p><p>Cada região tem suas próprias características, como as ilustradas a</p><p>abaixo:</p><p>1º quadrante = x > 0 e y > 0</p><p>2º quadrante = x < 0 e y > 0</p><p>3º quadrante = x < 0 e y < 0</p><p>4º quadrante = x > 0 e y < 0</p><p>Localizando</p><p>pontos no Plano Cartesiano:</p><p>A(4 ;</p><p>3) → x = 4 e y = 3</p><p>B(1 ;</p><p>2) → x = 1 e y = 2</p><p>C( –2</p><p>; 4) → x = –2 e y =</p><p>4</p><p>D(–3 ; –4) → x = –3 e y = –4</p><p>E(3 ; –3) → x = 3 e y = –3</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>158</p><p>O Plano Cartesiano é muito utilizado na construção de gráficos de</p><p>funções, onde os valores relacionados à x constituem o domínio e os</p><p>valores de y, a imagem da função. A criação do Sistema de Coordenadas</p><p>Cartesianas é considerada uma ferramenta muito importante na</p><p>Matemática, facilitando a observação do comportamento de funções</p><p>em alguns pontos considerados críticos.</p><p>Podemos associar o Plano Cartesiano com a latitude e a longitude,</p><p>temas relacionados aos estudos geográficos e à criação do atual</p><p>sistema de posicionamento, o GPS. O Sistema de Posicionamento</p><p>Global permite que saibamos nossa localização exacta na terra, desde</p><p>que tenhamos em mão um receptor de sinais GPS, informando a</p><p>latitude, a longitude e a altitude com o auxilio de satélites em órbita da</p><p>Terra.</p><p>Um exemplo de utilização do GPS são os aviões, que para não se colidirem são</p><p>monitorados e informados em qual rota devem seguir.</p><p>Sistema Cartesiano 3D</p><p>O que é o espaço ou 3D? Em quantas regiões se subdivide o espaço?</p><p>Reconhecemos e usamos o espaço, mas se alguém nos pergunta sobre</p><p>o que é o espaço, muitos iremos ter dificuldades em responder e/ou</p><p>explicar. Mesma surpresa com que se deparou Sócrates (469 a.C.- 399</p><p>a.C), filósofo Ateniense da Grécia antiga, quando perguntou ao Sr,</p><p>ministro de Justiça: … O que é justiça? O Sr. Ministro não soube</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>159</p><p>responder como devia…! Foi quando Sócrates percebeu que há tanto</p><p>conceito com que lidamos e falamos no nosso dia a dia, mas que na</p><p>verdade não nos apercebemos que o não conhecemos com</p><p>profundidade e clareza!</p><p>Na verdade, é mais fácil explicar o que se pode fazer com este termo primitivo</p><p>que não tem definição para nós.</p><p>Uma primeira tentativa para explicar a noção do que possa ser espaço,</p><p>é dizer que é tudo o que nos envolve e é o local onde podemos nos</p><p>mover para a frente, para o lado e para cima.</p><p>Pelo conceito expresso, observamos que vivemos em um ambiente</p><p>tridimensional. Basta então conhecer as três direções para identificar</p><p>a posição relativa que ocupamos.</p><p>Quando afirmamos que vamos andar para a frente, para o lado e para</p><p>cima, devemos quantificar e identificar o quanto iremos nos deslocar</p><p>nestas direções, logo necessitamos conhecer uma origem para o</p><p>sistema e identificar este ponto como (0,0,0) pois esperamos que ele</p><p>esteja localizado a uma distância num ponto de referência para todos</p><p>os outros pontos.</p><p>O Sistema Cartesiano tridimensional</p><p>Um procedimento matemático simples é tomar um ponto genérico como:</p><p>P=(x,y,z)</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>160</p><p>onde x indicará a quantidade deslocada na direção positiva do eixo que</p><p>contem os deslocamentos para</p><p>frente, y indicará a quantidade</p><p>deslocada na direção positiva do eixo</p><p>que contem os deslocamentos para o</p><p>lado e z indicará a quantidade</p><p>deslocada na direção positiva do</p><p>eixo que contem os deslocamentos</p><p>para cima.</p><p>Para facilitar as coisas do ponto de</p><p>vista matemático, iremos denominar</p><p>tais direções por: Eixo OX, Eixo OY e Eixo OZ.</p><p>O sistema tridimensional é o conjunto de todos os ternos ordenados</p><p>(x,y,z), sendo que ordem não pode ser mudada sob pena de nos</p><p>deslocarmos para outro lugar. A palavra cartesiano</p><p>se deve a René Descartes, conhecido como cartesius. x recebe o nome</p><p>de abscissa, y o nome de afastamento e z o nome de altura/cota.</p><p>Exemplo: Se um indivíduo está no</p><p>centro da cidade em uma posição</p><p>O=(0,0,0) e quer andar para a frente 3</p><p>quarterões, depois andar para o lado 2</p><p>quarteões e depois subir até o 10o andar</p><p>de um prédio a posição final do mesmo</p><p>após o percurso será o ponto P=(3,2,10)</p><p>e</p><p>podemos observar que as unidades não são necessariamente as</p><p>mesmas. Se este mesmo indivíduo se deslocasse para a posição final</p><p>P=(3,10,5), certamente chegaria a um lugar diferente.</p><p>OCTANTES</p><p>Observe atentamente a figura a baixo. Note que o plano xy separa todo</p><p>espaço em duas regiões, uma no sentido positivo do eixo 0z, a outra</p><p>no sentido negativo do eixo 0z. Cada região contém quatro</p><p>subdivisões, totalizando oito. Por serem oito, diz-se que o espaço</p><p>tridimensional é subdividido em octantes (cada uma das oito partes)</p><p>como ilustrado na figura a baixo.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>161</p><p>Vista de um octante</p><p>Um octante é a intersecção de três Planos perpendiculares (xy, xz e yz).</p><p>Sumário</p><p>Nesta Unidade Temática 4.4. estudamos.</p><p>1. Regiões do Sistema Cartesiano em duas Dimensões (2D);</p><p>2. Regiões (octantes) do Sistema Cartesiano em três Dimensões (3D).</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>162</p><p>Exrecícios de AUTO-AVALIAÇÃO</p><p>GRUPO 2 (Exercícios com respostas)</p><p>Localize os seguintes pontos no SCO (em 2D):</p><p>1. P(-6, 5)</p><p>2. Origem do sistema</p><p>3. P(3, 3/5)</p><p>4. P(41/2, -7)</p><p>5. P(-5,5, -3,3)</p><p>Em Quais Quadrantes se Encontram os Pontos (em 2D)?</p><p>6. P(3, 3)</p><p>7. P(-3, -3)</p><p>8. P(-3, 3)</p><p>9. P(3, -3)</p><p>10. P(0, 0)</p><p>11. P(-1, 0)</p><p>12. P(0, -2)</p><p>NB; que os três últimos pontos não se encontram em nenhum</p><p>quadrante, pois eles estão localizados sobre o eixo x, o eixo y, ou</p><p>sobre a origem do sistema!</p><p>Em 3D</p><p>Construa um SCO (Sistena Cartesiano Ortogonal) em 3D</p><p>(tridimensional), indicando a localização e respectivo octante, de cada</p><p>um dos seguintes pontos no espaço:</p><p>A ( 0; 4; 0); B ( 2; 5; 1); C ( -4; -2; 4); D ( 5; -5; 5)</p><p>E (-2; 4; 4); F (0; 0; 0); G ( -2; 0; 6); H ( 6; -4: -2)</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>163</p><p>Unidade Temática 4.5. Funções como Modelos Matemáticos</p><p>Introução</p><p>Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do</p><p>valor de uma segunda quantidade.</p><p>Problemas do mundo real dão origem a modelos matemáticos</p><p>envolvendo funções. Neste artigo, apresentamos exemplos que</p><p>envolvem a construção e análise de modelos funcionais dada uma</p><p>situação particular.</p><p>Veremos que uma forma de funções construção é a realização de um processo</p><p>chamado de ajuste de curvas, que encontra a função que melhor se</p><p>adapta a determinado conjunto de observações. A partir da função</p><p>obtida, várias previsões pode ser feita em relação à situação modelada</p><p>pela função. Ajuste de curva é um aspecto da modelagem</p><p>matemática. Ajuste de curva é realizada com</p><p>o auxílio de uma ferramenta gráfica, como uma calculadora e de reconhecida</p><p>importância</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>Construir: gráfico de qualquer função estudada;</p><p>Objectivos</p><p>Fazer Análise e Interpretação: de gráficos de funções estudadas; específicos</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>164</p><p>Função Demanda;</p><p>Função Oferta;</p><p>Ponto de Equilíbrio;</p><p>Funções Marginais;</p><p>Função Custo Marginal</p><p>Aplicar: os os conhecimentos adquiridos na vida prática e profissional;</p><p>Funções como modelos Matemáticos</p><p>Um modelo matemático é a descrição matemática de um fenómeno</p><p>do mundo real, como por exemplo:</p><p>o tamanho de uma população, a demanda de um produto,</p><p>a concentração de um produto em uma reação química ou</p><p>o custo da</p><p>redução de poluentes.</p><p>Uma importante aplicação da Matemática, em termos de</p><p>modelagem, está presente na Economia através das Funções Custo,</p><p>Receita e Lucro.</p><p>Função Custo</p><p>A função custo está relacionada aos gastos efetuados por uma</p><p>empresa, indústria, loja, na produção ou aquisição de algum produto.</p><p>O custo pode possuir duas partes: uma fixa e outra variável. Podemos</p><p>representar uma função custo usando a seguinte expressão: C(x) = Cf</p><p>+ Cv, onde Cf: custo fixo e Cv:custo variável</p><p>Função Receita</p><p>A função receita está ligada ao faturamento bruto de uma entidade,</p><p>dependendo do número de vendas de determinado produto.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>165</p><p>R(x) = px , onde p: preço de mercado e x: nº de mercadorias vendidas.</p><p>Função Lucro</p><p>A função lucro diz respeito ao lucro líquido das empresas, lucro oriundo</p><p>da subtração entre a função receita e a função custo.</p><p>L(x) = R(x) – C(x)</p><p>Exemplo 1</p><p>Uma industria siderúrgica fabrica pistões para fábrica de montagem</p><p>de motores de automóveis. O custo fixo mensal (em unidade de 1000</p><p>MT) é de 950,00 inclui conta de energia elétrica, de água, impostos,</p><p>salários e etc. Existe também um custo variável que depende da</p><p>quantidade de pistões produzidos, sendo que o fabrico de cada pistão</p><p>custa (em unidade de 100MT) 41,00. Considerando que o valor de</p><p>cada pistão no mercado (em unidades de 100 MT) seja equivalente a</p><p>120,00. Monte as Funções Custo, Receita e Lucro. Calcule o valor do</p><p>lucro líquido na venda de 1000 pistões e quantas peças, no mínimo,</p><p>precisam ser vendidas para que se tenha lucro.</p><p>Função Custo total mensal:</p><p>C(x) = 950 + 41x</p><p>Função Receita</p><p>R(x) = 120x</p><p>Função Lucro</p><p>L(x) = R(x) – C(x) = 120x – (950 + 41x)</p><p>Lucro líquido na produção de 1000 pistões</p><p>L(1000) = 120*1000 – (950 + 41 * 1000)</p><p>L(1000) = 120.000 – (950 + 41000)</p><p>L(1000) = 120.000 – 950 - 41000</p><p>L(1000) = 120.000 – 41950</p><p>L(1000) = 78.050</p><p>O lucro líquido na produção de 1000 pistões (em unidades de 100 MT) será</p><p>de 78.050,00.</p><p>Para que se tenha lucro é preciso que a receita seja maior que o custo.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>166</p><p>R(x) > C(x)</p><p>120x > 950 + 41x</p><p>120x – 41x > 950 79x</p><p>> 950</p><p>x > 950 / 79</p><p>x > 12</p><p>Para ter lucro é preciso vender acima de 12 peças (pistões).</p><p>Conclusão</p><p>Neste exmplo 1, aproximamos todas as expressões a uma função do 10 grau</p><p>ou linear, que é o significado da modelagem (aproximar à…).</p><p>Função Demanda</p><p>A função que associa um preço "p" à procura de mercado ou demanda</p><p>em um período determinado é chamada de função demanda e, está</p><p>relacionada ao ponto de vista do consumidor.</p><p>Pode ser representada por D(p).</p><p>Sabe-se que quando o preço aumenta, a procura diminui, e vice-versa.</p><p>A função demanda é uma função decrescente.</p><p>Função Oferta</p><p>A função oferta relaciona o preço "p" e a quantidade ofertada,</p><p>do ponto de vista do produtor. Pode ser representada por O(p).</p><p>A função oferta, ao contrário da função demanada, é uma função crescente.</p><p>Ponto de equilíbrio</p><p>O ponto de equilíbrio é o preço "p" que torna iguais a quantidade demadada</p><p>e ofertada de um bem.</p><p>Funções Marginais</p><p>A função marginal de uma função f(x) é a derivada da função f(x), ou seja,</p><p>f '(x).</p><p>Assim, tem-se que:</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>167</p><p>a função custo marginal é a derivada da função custo, a</p><p>função receita marginal é a derivada da função receita,</p><p>a função lucro marginal é a derivada da função lucro.</p><p>Utiliza-se o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado</p><p>em f(x) por uma pequena variação de x.</p><p>Função custo marginal</p><p>A função custo marginal é a variação do custo total decorrente da variação de uma</p><p>unidade na quantidade produzida.</p><p>Cmg(x) = C(x + 1) – C(x) C'(x).</p><p>SUMÁRIO</p><p>Nesta Unidade Temática 4.5 analisamos e discutimos como exemplo</p><p>de modelagem matemática, em termos de Funções:</p><p>1.Função Custo;</p><p>2. Função Receita;</p><p>3. Função Lucro;</p><p>4. Função Demanda;</p><p>5. Função Oferta;</p><p>6. Ponto de Equilíbrio;</p><p>7. Funções Marginais e;</p><p>8. Função Custo Marginal.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>168</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO</p><p>GRUPO 2 (Exercícios com respostas).</p><p>1. O custo para produção de uma determinada mercadoria tem</p><p>custo fixo mensal (em unidades de 100,00MT) é de 1440,00 e inclui</p><p>despesas com energia elétrica, água, impostos, salários e impostos e</p><p>um custo (em unidades de 100,00MT) de 50,00 por peça produzida.</p><p>Considerando que o preço de venda da unidade de cada produto</p><p>seja (em unidades de 100,00MT) de 140,00, monte as Funções a)</p><p>Custo, b) Receita e c) Lucro.</p><p>Respostas</p><p>a) Função Custo total mensal:</p><p>C(x) = 1440 + 50x</p><p>b) Função Receita total mensal e:</p><p>R(x) = 140x</p><p>c) Função Lucro total mensal: L(x) = 140x – (1440 + 50x) L(x) = 140x – 1440 – 50x</p><p>L(x) = 90x – 1440.</p><p>2. Função Custo Marginal</p><p>O custo, de fabricação de "x" unidades de um produto obedece lei</p><p>C(x) = x2 + 5x + 10. Actualmente o nível de produção é de 20</p><p>unidades.</p><p>Calcule, aproximadamente, de quanto varia o custo (função custo</p><p>marginal) se forem produzidas 21 unidades.</p><p>C(20) = 202 + 5 . 20 + 10 = 400 + 100 + 10 = 510.</p><p>C(21) = 212 + 5 . 21 + 10 = 441 + 105 + 10 = 556. Cmg(x)</p><p>= 556 – 510 = 46.</p><p>É mais prático calcular a derivada, do qual se obtem um valor aproximado:</p><p>de C(x) = x2 + 5x + 10</p><p>C'(x) = 2x + 5</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>169</p><p>C'(20) = 2 . 20 + 5 = 40 + 5 = 45.</p><p>Portanto, o custo marginal (em unidades de 100,00MT) para a produção</p><p>de 20 unidades é de aproximadamente 45,00.</p><p>3. Receita Marginal</p><p>Seja R(x) = x2 + 200x + 20 a receita total da venda de "x" unidades</p><p>de um produto. Calcule a receita marginal para x = 20.</p><p>R'(x) = 2x + 200</p><p>R'(20) = 2 . 20 + 200 = 240</p><p>Portanto, a receita marginal para a produção de 20 unidades é</p><p>de aproximadamente 240,00MT. TEMA V:</p><p>LIMITES E CONTINUIDADE.</p><p>Unidade 5.1. Limite</p><p>Unidade 5.2 Limites Laterais</p><p>Unidade 5.3. Limites Infinitos e no Infinito.</p><p>Unidade 5.4. Continuidade.</p><p>Unidade Temática 5.1. Limites</p><p>Introução</p><p>Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o</p><p>comportamento de uma função à medida que o seu argumento se</p><p>aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de</p><p>uma dada sequência ou série de números reais, à medida que o índice</p><p>(da sequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito. Os limites são</p><p>usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática</p><p>para definir derivadas e a continuidade de funções. .</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>170</p><p>Por exemplo, o limite de um polígono regular quando o número de</p><p>ângulos internos ou de lados ou de gonos (cantos) tende para o</p><p>infinitos (cresce infinitamente!), dá origem a uma circunferência.</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>Definir: o que é Limite, de uma maneira intuitiva;</p><p>Objectivos</p><p>Definir Limite: de uma função de forma formal e; específicos</p><p>Aplicar: os conhecimentos adquiridos na vida prática e profissional;</p><p>Limites</p><p>uma sequência de números reais. A expressão:</p><p>significa que, quanto maior o valor i, mais próximo de L serão os termos da</p><p>sequência. Neste caso, dizemos que o limite da sequência é</p><p>L.</p><p>A forma usual de escrever isso, em termos matemáticos, deve ser</p><p>interpretada como um desafio. O desafiante, no caso vertente o ISCED,</p><p>propõe quão perto de L os termos da sequência devem chegar, e o</p><p>desafiado, no caso vertente o Estudante, deve mostrar que, a partir de</p><p>um certo valor de i, os termos realmente estão perto do Limite L.</p><p>Ou seja, qualquer</p><p>que seja o intervalo em torno de L (dado pelo desafiante), por</p><p>exemplo, o intervalo aberto</p><p>.</p><p>Formalmente, o que foi dito acima se expressa assim :</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>171</p><p>.</p><p>Limite de uma função</p><p>Suponhamos que f(x) é uma função real e que c é um número real. A expressão:</p><p>significa que f(x) se aproxima tanto de L quanto quisermos, quando se</p><p>toma x suficientemente próximo de c . Quando tal acontece dizemos</p><p>que "o limite de f(x), à medida que x se aproxima de c, é</p><p>L". Note-se que esta afirmação pode ser verdadeira</p><p>mesmo quando , ou quando a função nem sequer</p><p>está definida em dois exemplos que ajudam a ilustrar estes dois pontos</p><p>importantíssimos.</p><p>Consideremos à medida que x se aproxima de 2.</p><p>Neste caso, f(x) está definido em 2 e é igual ao seu limite: 0.4, vejamos:</p><p>f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2) f(2.001) f(2.01) f(2.1) 0.4121 0.4012</p><p>0.4001 0.4 0.3998 0.3988 0.3882</p><p>À medida que x aproxima-se de 2, f(x) aproxima-se de 0.4 e</p><p>consequentemente temos a igualdade .</p><p>Sempre que se verifique a igualdade</p><p>, diz-se que f é contínua em x = c. A igualdade não é válida para</p><p>todas as funções.</p><p>Vejamos uma função onde tal não acontece</p><p>O limite de g(x) à medida que x se aproxima de 2 é</p><p>0.4 (tal como em</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>172</p><p>e consequentemente g não é contínua</p><p>Consideremos agora o caso onde f(x) não está definida em x = c.</p><p>Apesar de f(x) não estar definida em x = 1, o limite de f(x), quando x se aproxima</p><p>de 1, existe e é igual a 2.</p><p>f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)</p><p>1.95 1.99 1.999 não está definido 2.001 2.010 2.10</p><p>Ora x pode ser tomado tão próximo de 1 quanto quisermos, sem no entanto</p><p>ser 1, pelo que o limite de é 2.</p><p>Definição formal</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>173</p><p>Aproximação intuitiva</p><p>A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo</p><p>diferencial. O conceito de limite pode ser aprendido de forma intuitiva,</p><p>pelo menos parcialmente.</p><p>Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que</p><p>"tende" a ser um determinado número, ou seja, no limite, esta</p><p>incógnita nunca vai ser o número, mas vai se aproximar muito, de tal</p><p>maneira que não se consiga estabelecer uma distância que vai separar</p><p>o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite é um número</p><p>para o qual y = f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o valor</p><p>de x difere de x0 arbitrariamente muito pouco também.</p><p>Por exemplo, imaginemos a função: f(x) = 2x + 1 e imaginando f: IR</p><p>IR (Definida nos reais). Sabemos, lógico, que esta função nos dá o</p><p>gráfico de uma reta, que não passa pela origem, pois se substituirmos:</p><p>que nos dá:</p><p>, ou seja, no ponto onde x=0 (origem), o y (f(x)) é</p><p>diferente de zero. Mas usando valores que</p><p>se aproximem de 1, por exemplo:</p><p>Se x=0,98 então: y=f(x)=2,96</p><p>Se x=0,998 então: y=f(x)=2,996</p><p>Se x=0,9998 então: y=f(x)=2,9996</p><p>Se x=0,99999 então: y=f(x)=2,99998</p><p>Ou seja, à medida que x "tende" a ser 1, o y "tende" a ser 3. Então no</p><p>processo limite, quando tende a ser um número, esta variável</p><p>aproxima-se tanto do número, de tal forma que podemos escrever</p><p>como no seguinte exemplo:</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>174</p><p>Exemplo 1.1: Sendo f uma função real de números reais definida por:</p><p>f(x) = 2x + 1, calcular o limite da função f quando . Temos então, neste</p><p>caso, a função descrita no enunciado e queremos saber o limite desta</p><p>função quando o "x" tende a ser 1: Ou seja, para a resolução fazemos:</p><p>Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para</p><p>resolvermos o problema. Na verdade, não estamos substituindo o</p><p>valor, porque para o cálculo não importa o que acontece no ponto x,</p><p>mas sim o que acontece em torno deste ponto. Por isso, quando</p><p>falamos que um número "tende" a ser n, por exemplo, o número nunca</p><p>vai ser n, mas se aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito</p><p>anteriormente, a definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de</p><p>analisar a função que está ocorrendo apenas. Agora, o exercício do</p><p>Exemplo 1.1 mostra que x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja:</p><p>Porém, temos também uma outra forma de se aproximar do número</p><p>3, na função descrita nos exemplo acima, por exemplo: Se x=2,</p><p>y=f(x)=5 ; Se x=1,8 então: y=f(x)=4,6 ; Se x=1,2 temos que: y=f(x)=3,4 ;</p><p>Se x=1,111 então: y=f(x)=3,222 Podemos perceber então, que x está</p><p>tendendo a 1 pela direita agora, e não mais pela esquerda como foi</p><p>mostrado no exemplo anterior. Então para resolvermos problemas que</p><p>envolvem cálculo, devemos saber como a função que está em jogo se</p><p>comporta.</p><p>.</p><p>Sumário</p><p>Nesta Unidade Temática 5.1. analisamos e discutimos sobre:</p><p>1. Limite de uma função;</p><p>2. Definição formal do limite de ums função e;</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>175</p><p>3. Noção intuitiva do limite.</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO</p><p>GRUPO-2 (Com respostas sem detalhes)</p><p>Calcule os seguintes limites:</p><p>x2 6x 9</p><p>1. lim (x²-6x+9)/(x-3) quando x tende a 3 ou Lim x 3 x 3</p><p>3 2</p><p>x x 2x</p><p>2. lim (x³+x²+2x)/(x³+3x) quando x tende a 0 ou</p><p>Lim</p><p>x 0 x3 3x</p><p>3. lim (z²+9z+20)/(z²+6z+8) quando x tende a- 4 ou z2 9z 20</p><p>xLim 4 z2 6z 8</p><p>4. lim (x³+4x²+5x+2)/(x²+2x+1) quando x tende a – 1 ou x3 4x2 5x 2</p><p>Lim</p><p>x 1 x2 2x 1 NB. Faça o mesmo para os restantes números deste</p><p>exercício (5, 6, 7 e 8).</p><p>5. lim (x²-2²)/(x-2) quando x tende a 26 ou….</p><p>6. lim (x²-b²)/(x-b) quando x tende a b ou …</p><p>7. lim [x^(1/2)-2^(1/2)]/[x-2] quando x tende a 2 ou…</p><p>8. lim [(x-2)^(1/2)-2]/[x-6] quando x tende a 2 ou….</p><p>RESPOSTAS</p><p>1. 0; 2. 2/3; 3. -1/2; 4. 1; 5. 4; 6. 2b; 7. ; 8. 1/4</p><p>4</p><p>2</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>176</p><p>Unidade Temática 5.2. Limites Laterais</p><p>Introução</p><p>Consideremos a função: f(x) = x 2 . Podemos notar que nenhum valor</p><p>de x menor que 2 está no domínio de existência da função, ou seja, ela</p><p>não está definida (não existe) no intervalo ; 2 . Esta indefinição</p><p>também se reflectirá nos limites dos valores da função neste intervalo,</p><p>pois não faz sentido falar de "limites" em valores nos quais a função</p><p>não esteja definida (neste exemplo, uma certa faixa de números reais).</p><p>O que poderíamos fazer para analisar os valores válidos da função?</p><p>Como o seu domínio é apenas 2; , devemos restringir o cálculo</p><p>de limites a este intervalo; quando um conjunto (no caso, um intervalo)</p><p>de números precisa ser excluído do domínio da função, ou quando já</p><p>se sabe que a função não está definida em tal conjuto, podemos</p><p>também, excluir certa faixa de valores durante o cálculo de limites; Por</p><p>exemplo, ao analisar o comportamento de f(x) nas proximidades do</p><p>ponto , esta análise deve centrar-se no valor da função quando x se</p><p>aproxima tanto do valor do ponto a quer venha do quer venha do</p><p>.</p><p>Uma melhor compreensão do que acontece com a função f(x) nas</p><p>proximidades do ponto a, é dada pelo conhecimento de Limites</p><p>Laterais, que é o objecto de estudo desta Unidade Temática, como</p><p>veremos no desenvolvimento já a seguir.</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>177</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>Definir: Limites laterais;</p><p>Objectivos</p><p>Entender e Esclarecer: a noção de Continuidade de uma função; específicos</p><p>Compreender: as propriedades de funções contínuas e;</p><p>Aplicar: os os conhecimentos adquiridos na vida prática e profissional;</p><p>Limites Laterais</p><p>Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita,</p><p>escrevemos:</p><p>Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a.</p><p>Se x se aproxima de a através de valores menores</p><p>que a ou pela sua</p><p>Continuidade</p><p>Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio</p><p>se as seguintes condições são satisfeitas:</p><p>esquerda, escrevemos:</p><p>Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a .</p><p>O limite de f( x ) para x a existe se, e somente se, os limites laterais</p><p>à direita a esquerda são iguais, ou seja :</p><p>Se</p><p>Se</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>178</p><p>Propriedade das Funções contínuas</p><p>Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então:</p><p>• f(x) g(x) é contínua em a;</p><p>f(x) . g(x) é contínua em a;</p><p>• é contínua em a .</p><p>Sumário</p><p>Nesta Unidade Temática 5.2. estudamos:</p><p>1. Noção de limites laterais;</p><p>2. Continuidade de Fnções e;</p><p>3. Propriedades das funções contínuas.</p><p>Exercícios</p><p>GRUPO 2 (Com respostas)</p><p>1) Calcule os eguintes limites Laterais(Confirme o oposto do limite dado)</p><p>: 3</p><p>ISCED – MANUAL DE</p><p>MATEMÁTICA APLICADA</p><p>179</p><p>23 2</p><p>a)lim (4x2</p><p>7x 4)</p><p>x 1</p><p>x 2x 3</p><p>b)lim</p><p>x 3 5 3x</p><p>3x 2x 5</p><p>c)limx 2</p><p>x2</p><p>3x 4</p><p>x5 1 4 x2</p><p>a) lim b) lim</p><p>x</p><p>1 x 1 x</p><p>2 2 x</p><p>3 3</p><p>x 1 8 x</p><p>d) limx 1 x2 1 e) xlim 2</p><p>4 x2</p><p>2x2 5x 3</p><p>c) lim1</p><p>2 2x2 5x 2</p><p>x</p><p>3 2</p><p>x 3x 6x 4</p><p>f) limx 1 x3 4x2 8x</p><p>5</p><p>Resp.: a) 2 b) 4 c) 7/3 d) 3/2 e) 3 f) 1</p><p>3) Calcule:</p><p>2 x2 3x 3 3x3 5x2 x 3 2x2 3x 2</p><p>d)lim e) lim 3 f)lim</p><p>x</p><p>1 5x 4 x</p><p>2 4x 3 x</p><p>2 6 4x</p><p>3 Resp.: a) 2 b) 0 c) 1/8</p><p>d) 2/3 e) 3 f) 2</p><p>4</p><p>5 ) Calcule os limites abaixo (Confirme o oposto do limite dado):</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>180</p><p>3x</p><p>a) lim 4</p><p>x 2 (x 2)2</p><p>2</p><p>3x 5x 2</p><p>d ) lim x 2</p><p>x 0</p><p>1</p><p>g) lim x 1 1 x</p><p>2x 3</p><p>b) lim</p><p>x 1 (x 1)2</p><p>x 4</p><p>e) lim x 2 x</p><p>2</p><p>1</p><p>h) lim</p><p>x 1 x 1</p><p>1 3x</p><p>c)lim</p><p>x 1 (x 1)2</p><p>1 2x</p><p>f ) lim</p><p>x 3 x 3</p><p>Resp .: a) b) c) d ) e) f ) g) h)</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>181</p><p>Unidade Temática 5.3. Limites Infinitos e no Infinito</p><p>Introução</p><p>Lembre-se que está estudar uma Disciplina cujos conteúdos são de</p><p>Matemática Superior, na modalidade de Ensino a Distância, parte do</p><p>Sistema Nacional de Educação (SNE), que exge um pouco mais de si.</p><p>Par melhor entender esta Unidade Temática, comecemos pela</p><p>seguinte definição: A função f tem limite L quando x cresce além de</p><p>qualquer limite (dizemos quando x tende a infinito ou x ).</p><p>Se pudermos fazer com que f(x) se aproxime arbitrariamente de L</p><p>tomando x suficientemente grande. Analogamente, a função f tem</p><p>limite M quando x decresce além de qualquer limite (ou quando xtende</p><p>a menos infinito), o que se denota porSe pudermos fazer com que f(x)</p><p>se aproxime arbitrariamente de Mtomando x negativo e</p><p>suficientemente grande em valor absoluto.Todas as propriedades de</p><p>limites são válidas quando Faculdade.</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>Entender o conceito: limites infinitos e no infinito;</p><p>Objectivos</p><p>Aplicar: os os conhecimentos adquiridos na vida prática e profissional;</p><p>específicos</p><p>Limites Infinitos e no Infinito</p><p>Dizemos que uma variável x tende ao infinito , se</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>182</p><p>x se torna um número positivo cada vez maior, crescendo sem limite</p><p>e, que x tende a menos infinito( ), se x é negativo e decresce</p><p>sem limite.</p><p>Se o limite de f(x), quando x tende a x0 pela direita ou pela esquerda, é +∞</p><p>ou –∞, escrevemos:</p><p>Já lhe perguntaram o que é o infinito? Certamente alguém lhe deu uma</p><p>resposta poética a respeito e de facto no sentido poético, o infinito é</p><p>algo fascinante...!</p><p>Agora imagine um número absolutamente tão alto quanto é possível</p><p>você conceber... Conseguiu? Pois bem, por maior que seja o número</p><p>escolhido, ele não é infinito. Aqui, falaremos do infinito como sendo</p><p>algo tão inatingível que nenhuma mente humana poderia imaginar.</p><p>Infinito é uma tendência, uma forma de representar algo que é tão alto</p><p>que jamais poderíamos atingir. É como se fosse um caminho sem fim,</p><p>como o destino de um corpo sem obstáculos e atrito no espaço sem</p><p>fim.</p><p>No início desta Unidade Temática, discutimos como analisar o</p><p>comportamento de uma função (sua tendência) quando a variável se</p><p>aproxima de um determinado número. Nesta seção, discutiremos duas</p><p>situações novas:</p><p>• O que acontece com os valores de , quando é muito</p><p>grande?</p><p>• O que fazer quando, ao aproximar de um ponto , os</p><p>valores</p><p>de ficam cada vez maiores?</p><p>Usaremos o termo "infinito" sempre que for preciso lidar com</p><p>"números gigantescos". Deste modo, também poderemos representar</p><p>as duas situações acima usando conceitos de limite. Para isso, quando</p><p>realizarmos um cálculo, podemos tratar o infinito como se fosse um</p><p>número, embora ele seja um ente matemático que nunca poderemos</p><p>alcançar. Por exemplo, caso a variável esteja tendendo ao infinito, e</p><p>apareça em uma expressão, podemos imaginar o que aconteceria com</p><p>a expressão caso fosse um número suficientemente grande. Então</p><p>façamos um estudo de como podemos avaliar o comportamento das</p><p>funções quando a variável tende a infinito.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>183</p><p>1</p><p>Considerando uma função definida como: f(x) =</p><p>x</p><p>De fato temos uma tendência do valor da função se igualar a 1 quando</p><p>levamos para números muito altos, embora ela nunca alcance o valor</p><p>1. Chamamos isso de limite no infinito, ou tendência infinita, e</p><p>dizemos que tende a 1 quando tende ao infinito.</p><p>Podemos simbolizar a tendência de , quando fica cada vez maior,</p><p>usando uma destas formas:</p><p>O mesmo pode acontecer quando o valor da variável independente</p><p>tende ao infinito negativo ( ), então podemos representá-la</p><p>assim:</p><p>A partir das noções apresentadas anteriormente, podemos definir de</p><p>forma rigorosa as têndências infinitas e os limites infinitos.</p><p>Definição</p><p>quando a variável independente ultrapassa o número positivo N.</p><p>Do mesmo modo, chamamos o número de limite lateral no infinito</p><p>negativo se:</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>184</p><p>Os números são escolhidos de forma a fornecerem o maior valor</p><p>possível dentro do domínio da função, que portanto deve</p><p>necessáriamente ser ilimitado.</p><p>Limites infinitos</p><p>Se nos depararmos com uma função onde o denominador decresce</p><p>vertiginosamente até zero, o que podemos fazer?</p><p>Esta é a típica forma de funções que crescem até o infinito, neste caso</p><p>adotamos o valor da definição de infinito, visto que não é possível</p><p>colocar qualquer valor. Adotamos , pois</p><p>, como já definimos anteriormente.</p><p>Sumário</p><p>Nesta Unidade Temática 5.3. analisamos e discutimos sobre:</p><p>Limites infinitos e no infinito</p><p>Exercícios</p><p>GRUPO 2 (Com respostas)</p><p>Escreva estes limites sob notação de limites, à semelhança com o que</p><p>fizemos na Unidade Temática 5.1. Limites de uma função. Limra?</p><p>1. lim x³+7 quando x tende ao infinito positivo</p><p>2. lim x²-x quando x tende ao infinito positivo</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>185</p><p>3 lim (7*a^9 + 2)/(a^8+1) quando x tende ao infinito negativo</p><p>4.lim 5x/(7x³+3)^(1/3) quando x tende ao infinito negativo</p><p>5. lim [3x + x² - 9*x^(-2)] / (7*x^5 + 2) quando x tende ao infinito</p><p>positivo</p><p>6. lim (x^1000 – x^17) / [-(x)^100 + x^58] quando x tende ao</p><p>infinito positivo</p><p>7 lim [(8x²+3)^(1/2)]/[(9x²-7x)^(1/2)] quando x tende ao infinito</p><p>positivo</p><p>8. lim (x^5 +1) / (3x³ – 9x) quando x tende ao infinito negativo</p><p>Unidade Temática 5.4. Continuidade</p><p>Introução</p><p>Ao trabalhar com uma função, nossa primeira preocupação deve ser o</p><p>seu domínio (condição de existência), afinal, só faz sentido utilizá-la</p><p>nos pontos onde esteja definida e sua expressão</p><p>matemática, portanto, tenha significado. Todavia, em muitos casos, é</p><p>importante saber como a função se comporta quando a variável está</p><p>muito próxima de um ponto que não pertence ao seu domínio.</p><p>E para este estudo, nos valemos da teoria de limites e Continuidade de</p><p>funções, a qual permite a análise de uma função em uma vizinhança</p><p>muito próxima de um ponto, sem se preocupar com o valor da função</p><p>neste ponto po intervalo.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>186</p><p>Um conceito fundamental no Cálculo, no que diz respeito ao estudo de</p><p>funções, é o de continuidade de uma função num ponto de seu domínio.</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>Entender: e explicar o conceito de continuidade de funções;</p><p>Objectivos</p><p>Aplicar: os os conhecimentos adquiridos na vida prática e profissional;</p><p>específicos</p><p>Continuidade</p><p>CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE UMA VARÁVEL</p><p>Os seguintes problemas envolvem a continuidade de funções de uma</p><p>variável. Uma função y = f(x) é contínua em um ponto x=a se as</p><p>seguintes três condições são verificadas:</p><p>a) f(a) está definida,</p><p>b) exéte (i.e., é finito) e,</p><p>c) .</p><p>Critérios de Continuidade de uma Função</p><p>Uma função f é dita ser contínua no intervalo I se f é contínua em cada</p><p>ponto x em I. Aqui está uma lista de alguns factos bem conhecidos que</p><p>nos ajudam a identificar se dada função f é contínua num determinado</p><p>interval I:</p><p>1. A SOMA de funções contínuas é contínua.</p><p>2. A DIFERENÇA de funções contínuas é contínua.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>187</p><p>3. O PRODUTO de funções contínuas é contínua.</p><p>4. O QUOCIENTE de funções contínuas é contínua em todos os</p><p>pontos x aonde o DENOMINADOR NÃO é ZERO.</p><p>5. A COMPOSIÇÃO de funções contínuas é contínua em todos</p><p>os pontos x onde a composição está propriamente definida.</p><p>6. Qualquer polinômio é contínuo para todos os valores de x.</p><p>7. A função ex e as funções trigonométricas são</p><p>contínua para todos os valores de x.</p><p>Sumário</p><p>Netsa Unidade Temática 5.4. estudamos:</p><p>1. Conceito de Continuidade de uma função;</p><p>2. Critérios de continuidade de uma função.</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO</p><p>GRUPO-1 (Com respostas detalhadas)</p><p>PROBLEMA 1 : Determine se a seguinte função é contínua em x=1 .</p><p>Clique AQUI to para ver uma solução detalhada do problema 1.</p><p>PROBLEMA 2 : Determine se a seguinte função é contínua em x=-2 .</p><p>e</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>188</p><p>Clique AQUI to para ver uma solução detalhada do problema 2.</p><p>PROBLEMA 3 : Determine se a seguinte função é contínua em x=0 .</p><p>Clique AQUI to para ver uma solução detalhada do problema 3.</p><p>PROBLEMA 4 : Determine se a função é contínua at x=-</p><p>1 .</p><p>Clique AQUI para ver uma solução detalhada do problema 4.</p><p>PROBLEMA 5 : Verifique se a seguinte função é contínua para x=3 e x=-</p><p>3 .</p><p>Clique AQUI para ver uma solução detalhada do problema 5.</p><p>PROBLEMA 6 : Para que valores de x a função é</p><p>contínua ?</p><p>Clique AQUI para ver uma solução detalhada do problema 6.</p><p>PROBLEMA 7 : Para que valores de x a função é</p><p>contínua ?</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>189</p><p>Clique AQUI para ver uma solução detalhada do problema 7.</p><p>PROBLEMA 8 : Para que valores de x a função é contínua</p><p>?</p><p>Clique AQUI para ver uma solução detalhada do problema 8.</p><p>PROBLEMA 9 : Para que valores de x a função é contínua</p><p>?</p><p>Clique AQUI para ver uma solução detalhada do problema 9. PROBLEMA</p><p>10 : Para que valores de x a função é</p><p>contínua ?</p><p>Clique AQUI para ver uma solução detalhada do problema 10.</p><p>PROBLEMA 11 : Para que valores de x é aseguinte função contínua ?</p><p>Clique AQUI para ver uma solução detalhada do problema 11.</p><p>PROBLEMA 12 : Determine todos os valores da constante A para que a</p><p>seguinte função seja contínua para todos os valores de x .</p><p>Clique AQUI para ver uma solução detalhada do problema 12.</p><p>PROBLEMA 13 : Determine todos os va;ores das constantes A e B para que</p><p>a função seja contínua para todos os valores de x .</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>190</p><p>Clique AQUI para ver uma solução detalhada do problema 13.</p><p>PROBLEMA 14 : Mostre que a seguinte função é contínua para todos</p><p>os valores de x .</p><p>Clique AQUI para ver uma solução detalhada do problema 14.</p><p>PROBLEMA 15 : Seja</p><p>Mostre que f é contínua para todos os valores de x .</p><p>Mostre que f é diferenciável para todos os valores de x,</p><p>mas que a derivada , f' , NÃO é contínua em x=0 .</p><p>Clique AQUI para ver uma solução detalhada do problema 15.</p><p>TEMA VI: CÁLCULO</p><p>DIFERENCIAL</p><p>Unidade 6.1 Derivada.</p><p>Unidade 6.2.Técnicas de Derivação.</p><p>Unidade 6.3 Regra da Cadeia…</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>191</p><p>Unidade Temática 6.1. Derivada</p><p>Introução</p><p>È necessário, em todo o cálculo matemático ter a noção teórica de cada</p><p>tema no qual trabalhamos; isso porque; imaginemos que, para os</p><p>estudantes até ao 12º ano a relevância destes conceitos acaba por ser</p><p>desprezada visto que a prática, em termos reais é mais conclusiva que</p><p>a própria teória.</p><p>Mas, isso só funciona desde que tenhamos sempre presente um professor que</p><p>auxilie o raciocínio.</p><p>A questão é: quando necessitar implementar ou criar alguma aplicação</p><p>matématica o conhecimento teórico traduz a opção ou o método a</p><p>adoptar. Por ex: se devemos usar derivadas, limites, integrais, sistemas</p><p>de equações para satisfação dos critérios físico/matemáticos do cálculo em</p><p>causa. Questões como estas merecem atenção.</p><p>No cálculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de</p><p>uma função. Um exemplo típico é a função velocidade que representa</p><p>a taxa de variação (derivada) da função espaço ou da distância s</p><p>percorrida. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da</p><p>função velocidade.</p><p>Diz-se que uma função f é derivável (ou diferenciável) se, próximo de</p><p>cada ponto a do seu domínio, a função f(x) − f(a) se comportar</p><p>aproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu gráfico</p><p>for aproximadamente uma recta. O declive de uma tal recta é a df (x)</p><p>derivada da função f no ponto a e representa-se por f´(x) , dx</p><p>mas quando x assumir, por exemplo um valor a, escrevemos f´(a)=</p><p>df (a) f´(a)</p><p>.</p><p>dx</p><p>A Derivada nos dias que correm encontra muita aplicação em diversas</p><p>áreas de conhecimento, entre outras, a de ciências económicas, como</p><p>é o caso de cálculo de receita marginal.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>192</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>▪ Definir: a Derivada de Uma Função;</p><p>▪ Estabelecer: a definição formal da derivada;</p><p>Objectivos específicos</p><p>▪ Aplicar: na vida prática e profissional o conceito de deferenciação;</p><p>Derivada</p><p>No cálculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de</p><p>uma função[1] . Um exemplo típico é a função velocidade que</p><p>representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo</p><p>modo a função aceleração é a derivada da função velocidade.</p><p>Diz-se que uma função f é derivável (ou diferenciável) se, próximo de</p><p>cada ponto a do seu domínio, a função f(x) − f(a) se comportar</p><p>aproximadamente como uma função</p><p>linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma reta. O</p><p>declive de uma tal recta é a derivada da função f(x) no ponto a e</p><p>representa-se por</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>193</p><p>é a tangente do ângulo</p><p>que a recta tangente à curva faz em relaçao ao eixo das abscissas. A</p><p>reta</p><p>é sempre tangente à curva azul; a tangente do ângulo que ela faz</p><p>com o eixo das abscissas é a derivada. Note-se que a derivada é positiva</p><p>quando verde, negativa quando vermelha, e zero quando preta.</p><p>Definição formal da Derivada</p><p>Seja I um intervalo com mais do que um ponto do conjunto dos</p><p>números reais e seja f uma função de I em (função esta que é</p><p>formalmente denotada por ) . Se o ponto (lê-se: o ponto a</p><p>pertence, faz parte do intervalo I), diz-se que f é derivável em a se</p><p>existir o limite [2] e o mesmo for finito</p><p>,</p><p>Se for esse o caso, aquele limite designa-se por derivada da função f no</p><p>ponto a e representa-se por f′(a). Note-se que a derivada de f em a, se</p><p>existir, é única. Isto continuaria a ser verdade se I fosse um conjunto</p><p>qualquer de números reais e se a fosse um ponto não isolado de I.</p><p>Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>194</p><p>definida como um processo de limite Considera-se a inclinação da</p><p>secante quando os dois pontos de intersecção com o gráfico de f</p><p>convergem para um mesmo ponto. No limite, a inclinação da secante é</p><p>igual à da tangenteInclinação da secante ao gráfico de f</p><p>O declive da secante ao gráfico de f que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x +</p><p>h,f(x + h)) é dado pelo quociente de Newton:</p><p>.</p><p>Uma definição alternativa é: a função f é derivável em a se existir uma função</p><p>φa de I em R contínua em a tal que</p><p>.</p><p>Então define-se a derivada de f em a como sendo φa(a).</p><p>Derivada num ponto</p><p>• Seja um intervalo de R com mais do que um ponto, seja</p><p>e seja uma função de em R derivável em . Então contínua</p><p>em . O recíproco não é verdadeiro, como se pode ver pela função</p><p>módulo.</p><p>• Seja um intervalo de R com mais do que um ponto, seja e</p><p>sejam e funções de em R deriváveis em . Então as funções ± , e</p><p>(caso ≠ ) também são deriváveis em e:</p><p>∈</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>195</p><p>o</p><p>Esta propriedade é conhecida por regra da cadeia.</p><p>Outra maneira de formular este resultado é: se está na imagem de</p><p>e se com derivada não nula, então</p><p>Assim, por exemplo, se considerarmos a função f de R em R definida</p><p>por f(x) = x² + x − 1, esta é diferenciável em 0. Podem ver-se na imagem</p><p>abaixo os gráficos das restrições daquela função aos intervalos [−1,1] e</p><p>[−1/10,1/10] e é claro que, enquanto que o primeiro é bastante curvo</p><p>(e, portanto, f(x) − f(0) está aí longe de ser linear), o segundo é</p><p>praticamente indistinguível de um segmento de reta (de declive 1). De</p><p>facto, quanto mais se for ampliando o gráfico próximo de (0,f(0)) mais</p><p>perto estará este de ser linear.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>196</p><p>Gráfico de uma função derivável.</p><p>Em contrapartida, a função módulo de R em R não é derivável em 0,</p><p>pois, por mais que se amplie o gráfico perto de (0,0), este tem sempre</p><p>o aspecto da figura abaixo.</p><p>Gráfico da função módulo, que não é derivável em .</p><p>Derivabilidade em todo o domínio</p><p>Diz-se que f é derivável ou diferenciável se o for em todos os pontos do</p><p>domínio.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>197</p><p>em R é constante se e</p><p>só se a em todos os pontos.</p><p>Isto é uma</p><p>em R é crescente se e só</p><p>se a derivada for maior ou igual</p><p>a em todos os pontos. Isto</p><p>também é uma consequência do</p><p>teorema da média.</p><p>Uma função cuja</p><p>derivada seja sempre</p><p>maior que é</p><p>estritamente crescente.</p><p>Uma observação</p><p>importante é que</p><p>existem funções</p><p>estritamente crescentes em que a derivada assume o valor em alguns</p><p>pontos. É o que acontece, por exemplo com a função de R em R</p><p>definida por . Naturalmente, existem enunciados análogos</p><p>para funções decrescentes.</p><p>Se for uma função derivável de em R, sendo um intervalo de R</p><p>com mais do que um ponto, então também é um intervalo de</p><p>R. Outra maneira de formular este resultado é: se for uma</p><p>função derivável de em R e se</p><p>número real situado entre e (isto é,</p><p>≤ ou ≥ ≥ ), então existe algum tal que . Este</p><p>resultado é conhecido por teorema de Darboux.</p><p>Funções continuamente deriváveis</p><p>Seja um intervalo de R com mais do que um ponto e seja uma função</p><p>de em R. Diz-se que é continuamente derivável ou de classe se for</p><p>derivável e, além disso, a sua derivada for contínua. Todas as funções</p><p>deriváveis que foram vistas acima são continuamente deriváveis. Um</p><p>exemplo de uma função derivável que não é continuamente derivável</p><p>é</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>198</p><p>em .</p><p>Derivadas de ordem superior (facultativo)</p><p>Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma</p><p>função de x e como tal também pode ser diferenciada. Calculando-se a</p><p>derivada novamente obtemos então a segunda derivada da função f.</p><p>De forma semelhante, a derivada da segunda derivada é chamada de</p><p>terceira</p><p>derivada e assim por diante. Podemos nos referir às derivadas subsequentes</p><p>de f por:</p><p>e assim sucessivamente. No entanto, a notação mais empregada é:</p><p>ou alternativamente,</p><p>ou ainda</p><p>Se, para algum k N, f for k vezes derivável e, além disso, f(k) for uma função</p><p>contínua, diz-se que f é de classe Ck.</p><p>Se a função f tiver derivadas de todas as ordens, diz-se que f é</p><p>infinitamente derivável ou indefinidamente derivável ou ainda de classe</p><p>C∞.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>199</p><p>Pontos críticos, estacionários ou singulares</p><p>Pontos onde a derivada da função é igual a chamam-se normalmente</p><p>de pontos críticos. Existem cinco tipos de pontos onde isto pode</p><p>acontecer em uma função. Como a derivada é igual ao declive da</p><p>tangente em um dado ponto, estes pontos acontecem onde a reta</p><p>tangente é paralela ao eixo dos . Estes pontos podem acontecer:</p><p>1. onde a função atinge um valor máximo e depois começa a</p><p>diminuir, chamados máximos locais da função</p><p>2. onde ela atinge um valor mínimo e começa a aumentar,</p><p>chamados de mínimos locais da função</p><p>3. em pontos de inflexão (horizontais) da função, que ocorrem</p><p>onde a concavidade da função muda. Um exemplo típico é a</p><p>função : no ponto a função tem um ponto</p><p>de inflexão (horizontal).</p><p>4. em pontos onde a função oscila indefinidamente entre valores</p><p>acima ou abaixo, um exemplo típico</p><p>é a função</p><p>5. em pontos onde a função é localmente constante, ou seja,</p><p>existe um intervalo contendo o ponto para o qual a restrição da</p><p>função ao intervalo é a função constante. Um exemplo típico é</p><p>a função f(x) = |x + 1| + |x - 1| no ponto x=0.</p><p>Os pontos críticos são ferramentas úteis para examinar e desenhar gráficos de</p><p>funções.</p><p>Sumário</p><p>Nesta Unidade Temática 6.1. estudamos:</p><p>1. Derivada (conceito);</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>200</p><p>2. Definição formal;</p><p>3. Derivada de uma função num ponto; 4. Derivabilidade em todo domínio.</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO</p><p>GRUPO-1 (Com respostas detalhadas)</p><p>Se R, a função de R em R definida por é derivável em todos os</p><p>pontos de R e a sua derivada é igual a em todos os pontos, pois, para</p><p>cada :</p><p>.</p><p>Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir de R em</p><p>R por , então é contínua e, para cada e cada reais,</p><p>tem-se</p><p>;</p><p>A função é derivável em todos os em</p><p>todos os pontos, pois,</p><p>Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir de R em</p><p>R por , então é contínua e, para cada e cada reais,</p><p>tem-se</p><p>∈</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>201</p><p>Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir de R em</p><p>R por , então é contínua e, para cada e cada</p><p>reais, tem-se</p><p>;</p><p>além disso,</p><p>No entanto, é derivável em todos os outros pontos de R: a derivada em</p><p>é igual a quando e é igual a quando .</p><p>Unidade Temática 6.2. Técnicas de Derivação</p><p>Introução</p><p>ISCED</p><p>................................................................................................................... 136</p><p>Funções Trigonométricas 137</p><p>Sumário ..................................................................................................................... 144</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ................................................................................ 144</p><p>Unidade Temática 4.4. Regiões no Plano Cartesiano..................................................</p><p>144</p><p>Introução ................................................................................................................... 144</p><p>Regiões no Plano Cartesiano 145</p><p>viii</p><p>Sistema Cartesiano 3D ............................................................................................... 147</p><p>OCTANTES ................................................................................................................. 149</p><p>Sumário ..................................................................................................................... 150</p><p>Exrecícios de AUTO-AVALIAÇÃO ................................................................................ 150</p><p>Em Quais Quadrantes se Encontram os Pontos (em 2D)? ........................ 150 Unidade</p><p>Temática 4.5. Funções como Modelos Matemáticos ................................... 151</p><p>Introução ................................................................................................................... 151</p><p>Funções como modelos Matemáticos 152</p><p>Função Demanda .................................................................................... 154</p><p>Função Oferta ......................................................................................... 154</p><p>Ponto de equilíbrio .................................................................................. 154</p><p>Funções Marginais .................................................................................. 154</p><p>SUMÁRIO .................................................................................................................. 155</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ................................................................................ 155</p><p>Unidade Temática 5.1. Limites ................................................................................... 157</p><p>Introução ................................................................................................................... 157</p><p>Limites 158</p><p>Limite de uma função ................................................................................................ 158</p><p>Definição formal ............................................................................................... 160</p><p>Aproximação intuitiva ...............................................................................................160</p><p>Sumário ..................................................................................................................... 162</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ................................................................................ 162</p><p>Unidade Temática 5.2. Limites Laterais...................................................................... 163</p><p>Introução ................................................................................................................... 163</p><p>Limites Laterais 164</p><p>Sumário ..................................................................................................................... 165</p><p>Exercícios .................................................................................................................. 165</p><p>Unidade Temática 5.3. Limites Infinitos e no Infinito ................................................. 166</p><p>Introução ................................................................................................................... 166</p><p>Limites Infinitos e no Infinito 167</p><p>ix</p><p>Limites infinitos ....................................................................................... 169</p><p>Sumário ..................................................................................................................... 169</p><p>Exercícios .................................................................................................................. 169</p><p>Unidade Temática 5.4. Continuidade ......................................................................... 170</p><p>Introução ................................................................................................................... 170</p><p>Continuidade 171</p><p>CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE UMA VARÁVEL .............................................. 171</p><p>Sumário ..................................................................................................................... 172</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ................................................................................ 172</p><p>Unidade Temática 6.1. Derivada ................................................................................ 175</p><p>Introução ................................................................................................................... 175</p><p>Derivada 176</p><p>Definição formal da Derivada .................................................................................... 177</p><p>Derivada num ponto .................................................................................................. 178</p><p>Derivabilidade em todo o domínio ................................................................... 180</p><p>Funções continuamente deriváveis .................................................................. 181</p><p>Derivadas de ordem superior (facultativo) ....................................................... 181</p><p>Pontos críticos, estacionários ou singulares ...............................................................182</p><p>Sumário ..................................................................................................................... 183</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ................................................................................ 183</p><p>Unidade Temática 6.2. Técnicas de Derivação ........................................................... 185</p><p>Introução ................................................................................................................... 185</p><p>Técnicas de Derivação 186</p><p>DERIVADA DE UMA CONSTANTE ............................................................................... 186</p><p>DERIVADA DE UMA POTÊNCIA COM EXPOENTE INTEIRO ........................................... 186</p><p>DERIVADA DE UMA CONSTANTE VEZES UMA FUNÇÃO .............................................. 186</p><p>DERIVADAS DE SOMAS E DIFERENÇAS ....................................................................... 186</p><p>DERIVADA DE UM PRODUTO ..................................................................................... 187</p><p>DERIVADA DE UM QUOCIENTE .................................................................................. 187</p><p>DERIVADA DE UM RECÍPROCO ................................................................................... 187</p><p>DERIVADAS MAIS ALTAS ou de n-ésimo grau ............................................................. 187</p><p>DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ......................................................... 188</p><p>x</p><p>Sumário ..................................................................................................................... 189</p><p>Nesta Unidade Temática 6.2. estudamos os seguinte tópicos. ................................... 189</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ................................................................................ 189</p><p>Unidade Temática 6.3. Regra de Cadeia ..................................................................... 193</p><p>Introução ................................................................................................................... 193</p><p>Regra de Cadeia 194</p><p>Enunciado</p><p>– MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>202</p><p>A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao</p><p>valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela</p><p>tangente geométrica à curva representativa de y=f(x), no ponto x</p><p>= x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente</p><p>ao gráfico da função no ponto x0.</p><p>A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também</p><p>pelos símbolos: y' = dy/dx ou f ' (x).</p><p>A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é dada por:</p><p>Mas, em termos práticos, torna-se enfadonho trabalhar com fórmula</p><p>acima, pelo que se adoptou uma maneira mais facile prática de</p><p>trabalhar com a derivada, a que no conjunto se designou por técnicas</p><p>de derivação, que veremos com mais detalhes, no desenvolvimento</p><p>desta Unidade Temática.</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>Entender e aplicar o Conceito: de técnicas de derivação;</p><p>Objectivos</p><p>Saber como: interpretar a derivada de uma constante; específicos</p><p>Aplicar correctamente: todas a técnicas de derivação na resolução de problemas reais;</p><p>Técnicas de Derivação</p><p>DERIVADA DE UMA CONSTANTE</p><p>Se c for um número real qualquer, então:</p><p>DERIVADA DE UMA POTÊNCIA COM EXPOENTE INTEIRO</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>203</p><p>Se n for um número inteiro qualquer, então:</p><p>DERIVADA DE UMA CONSTANTE VEZES UMA FUNÇÃO</p><p>Se f for diferenciável em x e c for um número real qualquer, então:</p><p>DERIVADAS DE SOMAS E DIFERENÇAS</p><p>Se f e g forem diferenciáveis em x, então:</p><p>DERIVADA DE UM PRODUTO</p><p>Se f e g forem diferenciáveis em x, então:</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>204</p><p>DERIVADA DE UM QUOCIENTE</p><p>DERIVADA DE UM RECÍPROCO</p><p>DERIVADAS MAIS ALTAS ou de n-ésimo grau</p><p>Se a derivada f' de uma função f for ela mesma diferenciável, então a</p><p>derivada de f' será denotada por f'', chamada de derivada segunda de</p><p>f:</p><p>Se f e g forem diferenciáveis em x ,</p><p>e , então:</p><p>Se g for diferenciável em x ,</p><p>e , então:</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>205</p><p>Se pudermos repetir este processo, obteremos a derivada terceira de</p><p>f:</p><p>E assim por diante, na forma geral:</p><p>Sumário</p><p>Nesta Unidade Temática 6.2. estudamos os seguinte</p><p>tópicos.</p><p>Constante</p><p>Potência com expoente inteiro</p><p>Constante vezes uma função</p><p>Somas e diferenças</p><p>Produto</p><p>Quociente</p><p>DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>206</p><p>Recíproco</p><p>Derivadas mais altas</p><p>Trigonométricas</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO</p><p>GRUPO-2 (Com respostas NÃO DETALHADAS) Tente</p><p>resolver os exercícios antes de olhar as respostas!</p><p>1.Calcule a derivada da função e determine o coeficiente angular da reta</p><p>tangente ao gráfico da função no valor de x dado.</p><p>b)</p><p>a)</p><p>2.Determine uma equação para a reta tangente ao gráfico da</p><p>função no ponto (x,y) = (3,2).</p><p>3. A posição de uma partícula que se desloca ao longo de uma recta</p><p>coordenada é dada por , com s em metros e t em</p><p>segundos. Determine a velocidade e a aceleração da partícula para t =</p><p>6s.</p><p>4. Analisando o gráfico da figura abaixo, verifique em quais pontos do</p><p>intervalo [-4,6] a derivada não existe. Justifique sua resposta.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>207</p><p>5. Cada uma das figuras mostra o gráfico de uma função num intervalo</p><p>fechado D.</p><p>• Em que pontos do domínio a função é contínua, mas não</p><p>existe a derivada?</p><p>• Em que pontos do domínio a função não é contínua e nem</p><p>diferenciável (ou seja, não existe a derivada)? Justifique cada</p><p>uma de suas respostas</p><p>6. Determine a derivada das funções dadas.</p><p>a) b)</p><p>c)d)</p><p>7. Determine a derivada das funções:</p><p>a)</p><p>i)</p><p>b) j)</p><p>a) b)</p><p>Em que pontos do domínio existe a derivada da função?</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>208</p><p>c)</p><p>k)</p><p>d) l)</p><p>e) m)</p><p>f)</p><p>n)</p><p>g)</p><p>o)</p><p>h)</p><p>p)</p><p>8. A relação entre o número de decibéis</p><p>em watts por centímetro quadrado é dada por</p><p>Encontre a taxa de variação no número de decibéis quando a</p><p>intensidade for 10 - 4 watt por centímetro quadrado.</p><p>9. Na escala Richter, a magnitude R de um terremoto de intensidade I</p><p>é dada por em que I 0 é a intensidade mínima usada para</p><p>comparação. Supondo que I 0 = 1.</p><p>a) Determine a intensidade do terremoto de 1906 em São Francisco</p><p>para o qual R = 8,3.</p><p>b) Determine a intensidade do terremoto de 26 de maio de 2006 em</p><p>Java, Indonésia, para o qual R = 6,3.</p><p>c) Determine o fator pelo qual a intensidade aumenta quando o valor</p><p>de R é duplicado.</p><p>d) Determine .</p><p>10. Encontre uma equação da reta tangente no ponto indicado.</p><p>a) d)</p><p>b) e)</p><p>c) f)</p><p>e a intensidade de um som I</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>209</p><p>11. Quem é b se a inclinação da reta tangente à curva y = bx em x</p><p>= 0 for 4?</p><p>12. A energia E (em joules) irradiada como onda sísmica a partir</p><p>de um terremoto de magnitude M na escala Richter é dada pela</p><p>fórmula log10E = 4,8+1,5M.</p><p>a) Expresse E como função de M</p><p>b) Mostre que quando M cresce 1 unidade, a energia aumenta por um fator</p><p>de aproximadamente 31.</p><p>dE</p><p>c) Calcule dM</p><p>RESPOSTAS</p><p>1.</p><p>a)</p><p>2.</p><p>4. x = 0 ; x = 1 e x = 4</p><p>5. a)</p><p>b) , nenhum , x = 0</p><p>6.</p><p>c)</p><p>3 .</p><p>, nenhum , nenhum</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>210</p><p>7.</p><p>a) i)</p><p>b) j)</p><p>c) k)</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>211</p><p>Unidade Temática 6.3. Regra de Cadeia</p><p>d)</p><p>l)</p><p>e)</p><p>m)</p><p>f)</p><p>n)</p><p>g)</p><p>o)</p><p>h)</p><p>p)</p><p>8 .</p><p>, então, para I = 10 - 4 , a taxa de variação é</p><p>aproximadamente 43 429,4 db/w/cm 2 .</p><p>9 .</p><p>a)</p><p>c) 10 R</p><p>b)</p><p>d)</p><p>10.</p><p>a) d)</p><p>b)</p><p>e)</p><p>c)</p><p>f)</p><p>11. b = e 4</p><p>12.</p><p>a) E = 10 ,8+1,5M 4</p><p>c)</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>212</p><p>Introução</p><p>Em cálculo, a regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função</p><p>composta de duas funções ou mais.</p><p>Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande</p><p>importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento</p><p>foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação</p><p>de Newton, Leibniz adotou uma notação referente à tangente, onde a</p><p>derivada é dada pela diferença dos valores na ordenada dividida pela</p><p>diferença dos valores na abcissa e onde essa diferença é infinitamente</p><p>pequena (dy/dx).</p><p>A partir desta observação, a regra da cadeia passou a permitir a diferenciação</p><p>de funções diversas cujo argumento é outra função.</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>Entender como se aplicar: a regra de cadeia nas derivadas;</p><p>Objectivos</p><p>Fazer Análise e Interpretação: de gráficos de funções estudadas; específicos</p><p>Aplicar: os os conhecimentos adquiridos na vida prática e profissional;</p><p>Regra de Cadeia</p><p>Enunciado</p><p>A regra da cadeia afirma que</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>213</p><p>Alternativamente, na notação de Leibniz, a regra da cadeia é</p><p>Na integração, a recíproca da regra da cadeia é a regra da substituição.</p><p>Exemplo 2: De forma análoga, para funções trigonométricas, por</p><p>exemplo:</p><p>e</p><p>Regra da cadeia para várias variáveis (Carácter</p><p>informativo, pelo que facultativo).</p><p>A regra da cadeia aplica-se também para funções de mais uma</p><p>variável. Considere a função e</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>214</p><p>funções sejam diferenciáveis. Então a regra da cadeia é equivalente a:</p><p>então utilizar a notação vetorial para escrever a equivalência acima como</p><p>o produto escalar do gradiente/Tangente de e a derivada de</p><p>:</p><p>Em geral, para funções de vectores a vetores, a regra da cadeia afirma</p><p>que a Matriz Jacobiana da função composta é o produto de matrizes</p><p>Jacobianas de duas funções:</p><p>Sumário</p><p>Nesta Unidade Temática 6.2. estudamos:</p><p>Regra de cadeia para derivadas e algumas de suas aplicações.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>215</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO</p><p>GRUPO 2 (com respostas).</p><p>Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:</p><p>RESPOSTAS (Vamos mostrar apenas as resoluções das alíneas a) e b)).</p><p>a)</p><p>Mas, pela Regra da Cadeia, como h e g são deriváveis,</p><p>temos f1'(x)=h'(g(x)).g'(x), ou seja,</p><p>.</p><p>b)</p><p>Dica: se f(x) = ax, sua derivada é f´(x) = a x .lna</p><p>Mas quando a = e, teremos f´(x) = ex .lne . Mas lne = loge</p><p>e = 1, logo f´(x)</p><p>= ex .lne = f´(x) = ex .l = ex (ex)´ ex.</p><p>Temos f 1 ( x)=h(g(x)), sendo e .</p><p>Se , então .</p><p>Por outro lado, se , então .</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>216</p><p>Para derivar as funções trigonométricas, o estudantes, deve revisitar</p><p>a Unidade Temática 6.2. (Derivadas de Funções Trigométricas página</p><p>77 e 78).</p><p>Mas, pela Regra da Cadeia, como h e g são deriváveis, temos</p><p>f2'(x)=h'(g(x)).g'(x),</p><p>ou seja,</p><p>.</p><p>Tente encontrar a expressão mais simplificada possível do que estas</p><p>últimas duas alíneas a) e b) e continue, com analogia a esta resolução,</p><p>a resolver os demais exercícios de c) a f).</p><p>TEMA VII:</p><p>COMPORTAMENTO DE</p><p>FUNÇÕES</p><p>Unidade 7.1. Máximos e Mínimos.</p><p>Unidade 7.2. Regiões de Crescimento e Decrescimento.</p><p>Unidade 7.3. Regra de L’Hôpital.</p><p>Unidade 7.4. Taxas Relacionadas</p><p>Temos f 2 ( x)=h(g(x)), sendo e .</p><p>Se , então .</p><p>Por outro lado, se , então .</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>217</p><p>Unidade Temática 7.1. Máximo e Mínimo</p><p>Introução</p><p>Em matemática, em especial na análise real, os pontos de máximo e</p><p>mínimo, também chamados de pontos extremos de uma função são</p><p>pontos do</p><p>domínio onde a</p><p>função atinge</p><p>seu valor máximo</p><p>e mínimo. (de</p><p>mínimo) se existem</p><p>, para todo no</p><p>domínio.</p><p>A partir do sinal da primeira ou da derivada de uma função f, além da</p><p>concavidade, podem-se obter pontos de máximo ou mínimos,</p><p>relativos a um certo intervalo desta função.</p><p>Em geral, não se pode garantir a</p><p>existência de tais valores máximos nem mínimos, mesmo para funções</p><p>reais contínuas limitadas. No entanto é possível mostrar que toda</p><p>função real definida num compacto assume tanto um máximo como</p><p>um mínimo.</p><p>Define-se também ponto de máximo local e ponto de mínimo local que</p><p>são pontos de máximo (ou de mínimo) de uma função em alguma</p><p>vizinhança do ponto contida no domínio.</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>218</p><p>Entender: e aplicar o conceito de máximo e mínimo;</p><p>Objectivos</p><p>Saber interpretar o significado: de anulamento das 1ª e 2ª derivavadas; específicos</p><p>Aplicar: os os conhecimentos adquiridos na vida prática e profissional;</p><p>Máximo e mMínimo</p><p>Aplicações da 1ª Derivada</p><p>Considere o gráfico a seguir de uma função qualquer. Tem-se:</p><p>x1= abscissa de um ponto de máximo local. x2=</p><p>abscissa de um ponto de mínimo local. x3= abscissa</p><p>de um ponto de máximo local.</p><p>As rectas tangentes r1, r2 e r3 nos pontos de abscissas x1, x2 e x3,</p><p>respectivamente, são paralelas ao eixo x, logo, a derivada (que é o declive</p><p>da recta tangente ao gráfico) de f anula-se para x1, x2 e x3, ou seja, f’(x1) =</p><p>f’(x2) = f’(x3) = 0. Porque o ângulo (declive) mede-se entre a recta e o eixo das</p><p>abcissas x. Quando a recta é paralela ao eixo x, o ângulo entre si resulta de</p><p>zero graus, que é ovalor do declive.</p><p>Observação:</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>219</p><p>Por força do exposto no parágrafo imediatamente anterior, os pontos</p><p>de mínimo ou de máximo ocorrem quando a 1ª derivada é nula (igual</p><p>a zero) nesses pontos.</p><p>Aplicações da 2ª Derivada ou (pontos</p><p>de Inflexão).</p><p>A fim de verificar se um ponto, que anula a primeira derivada de uma</p><p>função, representa um ponto de máximo ou mínimo local, faz-se o teste</p><p>da segunda derivada, ou seja:</p><p>a) deriva-se a função;</p><p>b) iguala-se a primeira derivada a zero;</p><p>c) Seja a função duas vezes diferenciável no intervalo aberto I. (i) se</p><p>f(x) (segunda derivada) >0 para todo x em I (intervalo), então o gráfico de f</p><p>possui concavidade virada para cima em I. (ii) se f(x) (segunda derivada) <0</p><p>para todo x em I, então o gráfico de f possui concavidade virada para baixo em</p><p>I.</p><p>Teste da segunda derivada para extremos relativos</p><p>Seja a função f diferenciável no intervalo aberto I e suponha que c seja</p><p>um ponto em I, tal que f (x) (primeira derivada) = 0 e f (x) (segunda</p><p>derivada) exista.</p><p>(i) se f (c) >0, então f possui um mínimo relativo em c.</p><p>(ii) se f (c) < 0, então f possui um máximo relativo em c.</p><p>Pode ser escrito de outra forma:</p><p>Teste da Derivada segunda</p><p>Suponha que f (2 derivada) seja contínua na proximidade de c.</p><p>(i) se f (c) =0 e f (c) >0, então f tem um mínimo local em</p><p>c.</p><p>(ii) se f (c) = 0 e f (c) <0, então f tem um máximo local em</p><p>c</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>220</p><p>Sumário</p><p>Nesta Unidade Temática 7.1. estudamos os seguinte</p><p>tópicos.</p><p>Aplicações da 1ª Derivada e</p><p>Aplicações da 2ª DerivadaExercícios de AUTO-</p><p>AVALIAÇÃO</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>221</p><p>EXERCÍCIOS de AUTO-AVALIAÇÃO</p><p>GRUPO 2 (Com respostas)</p><p>1. Dentre todos os rectângulos de perímetro 64cm, encontre as medidas</p><p>de um em que sua áreas seja máxima.</p><p>Temos o rectângulo:</p><p>[Figura 1-1]</p><p>O perímetro é dado por:</p><p>De (5.1) obtermos:</p><p>A área do retângulo é dada por:</p><p>Substituindo (5.2) na (5.3), obtemos:</p><p>Calculamos agora a derivada da (5.4):</p><p>Igualando a zero obtendo a seguinte equação:</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>222</p><p>Agora que já encontramos o valor de um dos lados do rectângulo, substituímos</p><p>o valor encontrado na (5.2):</p><p>Com este resultado, concluímos que, para que a área seja máxima, o quadrilátero</p><p>pedido é um quadrado de lado 16cm.</p><p>2. Encontre o máximo e o mínimo absolutos das funções:</p><p>______________________________________________________________</p><p>Resolução:</p><p>a)</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>223</p><p>Segue que o máximo absoluto é f(4)=17 e o mínimo absoluto é f(2)=-3.</p><p>_______________________________________________________________</p><p>b)</p><p>f'(x)=6x(x-2)2+6x2(x-2)=12x((x-2)(x-1)=0</p><p>Os pontos críticos são: x=0, x=2 e x=1. e os valores de f nestes pontos são:</p><p>Máximo absoluto : M=27, Mínimo absoluto: m=0.</p><p>Unidade Temática 7.2. Regiões de Crescimento e</p><p>Decrescimento</p><p>Introução</p><p>A noção intuitiva de crescimento/decrescimento de uma função num</p><p>intervalo aberto, contido em seu domínio, nos faz pensar num</p><p>determinado tipo de gráfico. Entretanto, é preciso tomar muito</p><p>cuidado com as definições.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>224</p><p>Todas são definições simples. O cuidado a ser tomado é com o</p><p>quantificador: "qualquer que seja" cujo símbolo é</p><p>. Assim, para</p><p>provar que determinada função é crescente num intervalo não basta</p><p>provar que:</p><p>se</p><p>é preciso se certificar de que ficou estabelecido que a e b são quaisquer no</p><p>intervalo considerado.</p><p>Através da noção de crescimento/decrescimento de uma função num</p><p>intervalo/Região aberto,</p><p>podemos</p><p>definir o ponto de extremo da função nesse intervalo, como veremos no</p><p>desenvolvimento desta Unidade Temática.</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>Entebder: e aplicar o conceito de crescimento e decrescimento;</p><p>Objectivos</p><p>Perceber: quando se diz que uma função é estritamente Crescente; específicos</p><p>Perceber: quando se diz que uma função é estritamente decrescente;</p><p>Regiões de Crescimento e</p><p>Decrescimento</p><p>Definição 1: (Função Crescente)</p><p>então</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>225</p><p>Seja f uma função definida em um intervalo I . A função f é</p><p>crescente em I se f ( x1 ) < f ( x2 ) sempre que x1 < x2 , x1 , x2 I .</p><p>Definição 2: (Função Decrescente)</p><p>Seja f uma função definida em um intervalo I . A função f é</p><p>decrescente em I se f ( x1 ) > f ( x2 ) sempre que x1 < x2 , x1 ,</p><p>x2 I .</p><p>Definição 3: Função estritamente</p><p>Crescente</p><p>Uma função f é dita estritamente crescente num intervalo I quando para</p><p>qualquer par de pontos x1 e x2, com x1< x2, tem-se .</p><p>Definição 4: Função estritamente Decrescente</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>226</p><p>Uma função f é dita estritamente decrescente num intervalo I quando para</p><p>qualquer par de pontos x1 e x2, com x1< x2, tem-se .</p><p>Teorema: Sinal da Derivada</p><p>Seja f uma função contínua em [ a , b ] e derivável em ( a , b ) .</p><p>Então:</p><p>a ) f ’( x ) > 0 , e x ( a , b ); f é CRESCENTE em [ a , b ] . f é</p><p>CRESCENTE em [ a , b ] então f ’( x ) > 0 , se x ( a , b )</p><p>f é DECRESCENTE em [ a , b ] então f ’( x ) < 0 , se x ( a , b )</p><p>Teste da Primeira Derivada para Extremos</p><p>Teorema: (Teste da 1a Derivada para Extremos Relativos) Seja f</p><p>uma função contínua em um intervalo aberto ( a , b ) contendo xo .</p><p>Se f é derivável em todo os pontos do intervalo</p><p>(a , b) , excepto possivelmente em xo , então</p><p>b ) f ’ ( x ) < 0 , e x ( a , b ) ; f é DECRESCENTE em [ a , b ] .</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>227</p><p>a) f ’( x ) > 0 , e x ( a , xo) e f ’( x ) < 0 , e x ( xo , b ), f tem um</p><p>valor MÁXIMO RELATIVO em xo .</p><p>b) f ’( x ) < 0 , e x ( a , xo ) e f ’( x ) > 0 , e x ( xo , b )</p><p>f tem um valor MÍNIMO RELATIVO em xo .</p><p>Observação: (Não é Ponto de Extremo Relativo)</p><p>f ’( x ) < 0 , e x ( a , xo ) e f ’( x ) < 0 , e x ( xo , b ) ou f ’( x ) > 0 ,</p><p>e x ( a , xo ) e f ’( x ) > 0 , e x ( xo , b ) em xo f NÃO tem um</p><p>extremo relativo .</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>228</p><p>Sumário</p><p>Nesta Unidade Temática 7.2. estudamos:</p><p>1. Definição 1: da Função Crescente e respectivas</p><p>Regiões/Intervalos de crescimento;</p><p>2. Definição 2: da Função Derescente e respectivas</p><p>Regiões/Intervalos de decrescimento;</p><p>3. Definição 3: da Função estritamente crescente e respectivas</p><p>4.Regiões/Intervalos de crescimento;</p><p>5. Definição 4: da Função estritamente decrescente e respectivas 6.</p><p>Regiões/Intervalos de decrescimento;</p><p>Exercícios</p><p>GRUPO 2 (Exercícios com respostas)</p><p>Exrcício 1 :</p><p>Seja: f(x) = x3 – 6x2 + 9x - 3</p><p>(a) Encontre os intervalos (Regiões) onde f é crescente e onde é</p><p>decrescente.</p><p>(b) Encontre e classifique os extremos relativos.</p><p>(c) Encontre o valor máximo absoluto da f no intervalo [ –1 , 2 ) .</p><p>Solução :</p><p>(a) Encontre os intervalos onde f é crescente e onde é</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>229</p><p>f é uma função polinomial , portanto contínua em IR . Em</p><p>particular , f contínua em [ –1 , 2 ) . f ( 1 ) = 1 é o único extremo</p><p>relativo no intervalo [ –1 , 2 ) e é um valor máximo relativo f ( 1</p><p>) = 1 é o valor máximo absoluto da função neste intervalo .</p><p>Exercício 2:</p><p>Seja .</p><p>(a) Encontre os intervalos onde g é crescente e onde é decrescente.</p><p>(b) Encontre e classifique os extremos relativos.</p><p>(c) Encontre o valor máximo absoluto da g no intervalo ( 3 , 5 ] .</p><p>Solução :</p><p>(a) Encontre os intervalos onde g é crescente e onde é</p><p>decrescente .</p><p>Temos que</p><p>( b ) Encontre e classifique os respectivos extremos.</p><p>) ( c Encontre o valor máximo absoluto da f no intervalo [ – 1 , 2 ) .</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>230</p><p>é definida por uma função polinomial no intervalo ( 3 , 5 ] ,</p><p>portanto contínua neste intervalo . g ( 4 ) = –11 é o único extremo</p><p>relativo no intervalo ( 3 , 5 ] e é um valor mínimo relativo g ( 4 )</p><p>= –11 é o valor mínimo absoluto da função neste intervalo .</p><p>decrescente .</p><p>( b ) Encontre e classifique os extremos relativos .</p><p>( c ) Encontre o valor máximo absoluto da g no intervalo 3 , 5 ] . g (</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>231</p><p>Unidade Temática 7.3. Regra de L´Hôpital</p><p>Introução</p><p>A regra de L'Hôpital, por vezes, também, designada por regra de</p><p>Cauchy, foi incorporada no primeiro livro de texto sobre cálculo</p><p>diferencial, publicado peli francês Guillaume François Antoine,</p><p>Marquês de l'Hôpital, em 1696. Seu objectivo é calcular o limite de</p><p>0 frações nos</p><p>casos em que há indeterminações do tipo ou .</p><p>0</p><p>Actualmente sabe-se que a regra, com a designação de L´Hôpital, não</p><p>se deve ao francês Guillaume François Antoine, Marquês de l'Hôpital,</p><p>ou simplesmente Marquês, seu primeiro nome, mas sim a Johann</p><p>Bernoulli, um dos membros da célebre Família Bernoulli. A regra</p><p>integrou a obra do marquês, sendo também atribuída ao mesmo,</p><p>mediante um acordo entre ele e Bernoulli. Este facto foi descoberto muito</p><p>posteriormente.</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>232</p><p>Estabelecer: o encunciado da Regra de L´Hôpital;</p><p>Objectivos</p><p>Fazer: Algumas das aplicações da Regra de L´Hôpital; específicos</p><p>Aplicar: os os conhecimentos adquiridos na vida prática e profissional;</p><p>Regra de L´Hôpital</p><p>Enunciado</p><p>Com .</p><p>É importante notar-se que esta é uma relação de sentido único (não é</p><p>uma equivalência) e que tem de existir (i.e: se o limite do quociente</p><p>das derivadas não existir, nada se pode concluir).</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>233</p><p>Algumas Aplicações</p><p>A regra pode, ainda, ser estendida para calcularem-se limites tais como</p><p>aplicando a regra de L'Hôpital:</p><p>Ou, ainda, o limite fundamental onde se segue:</p><p>derivando...</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>234</p><p>Demonstração</p><p>A prova da regra de l'Hôpital é simples no caso em que f e g são</p><p>continuamente diferenciáveis no ponto c e onde é encontrado um</p><p>limite finito após a primeira tentativa de diferenciação. Esta não é uma</p><p>prova geral para a regra l'Hôpital, pois é mais estrita, necessitando</p><p>tanto de</p><p>diferenciabilidade das duas funções f e g, e que c seja um</p><p>número real. Uma vez que diversas funções comuns têm derivadas</p><p>contínuas (por exemplo, polinómios, seno e cosseno, função</p><p>exponencial), é um caso especial que merece atenção.</p><p>Sumário</p><p>Nesta Unidade Temática 7.3.</p><p>Estudamos:</p><p>1. Enunciado do Regra/Teorema de L´Hôpital;</p><p>2. Demonstração da Regra de L´Hôpital e;</p><p>3. Algumas Aplicações</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>235</p><p>Exercícios</p><p>GRUPO 2 (com respostas)</p><p>Exercício 1</p><p>Alguns exemplos podem ser fornecidos</p><p>Aplicando a regra de l'Hôpital</p><p>Exercício 2</p><p>A regra pode ainda ser usada para calcular alguns limites notáveis tais como:</p><p>Aplicando a regra</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>236</p><p>Unidade Temática 7.4. Taxas Relacionadas</p><p>Introução</p><p>Quando pensamos em executar uma actividade, geralmente</p><p>trabalhamos nela e pronto. Pelo menos é assim que pensamos que</p><p>está sendo feito. Porém, muitas vezes, para realizar uma tarefa é</p><p>necessário, antes, realizar uma primeira actividade a fim de preparar o</p><p>caminho para a tarefa verdadeira que pretendemos.</p><p>Por exemplo, se queremos cozinhar um ovo, colocamos a água para ferver, e</p><p>dentro da água o ovo. Na verdade estamos fervendo água e a água é quem</p><p>cozinha o ovo, não o fogo. Se pensarmos mais ainda, não é a água que está no</p><p>fogo, mas a panela. Então, a panela é que está sendo aquecida pelo fogo,</p><p>como consequência ferve a água e por último o ovo é cozido.</p><p>Perceba que o resultado é exactamente o que queremos, mas a acção</p><p>não é directa. Este é um exemplo de presso em cadeia, tal como</p><p>acontecerá com as taxas relacionadas, que é o principal objectivo desta</p><p>Unidade Temática.</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>Entender: o conceito de taxas relacionadas;</p><p>Objectivos</p><p>Fazer Análise e Interpretação: das taxas relacionadas;</p><p>específicos</p><p>▪ Aplicar: os os conhecimentos adquiridos na vida prática e profissional;</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>237</p><p>Taxas Relacionadas</p><p>Suponhamos que x e y estão relacionadas pela equação x2 + y2 = 1 e</p><p>que x = f (t) e y = g(t), onde t é um parâmetro (tempo). Então</p><p>derivando esta igualdade teremos (x2 + y2)´ = 1´ o mesmo que</p><p>dx dy dx dy</p><p>2x + 2y = 0; onde neste caso e dizemos que são</p><p>taxas dt dt dt dt relacionadas, porque conhecendo uma</p><p>podemos determinar a outra.</p><p>Outro exemplo: Quando queremos calcular uma área, precisamos</p><p>antes saber a geometria da superfície em questão. Da geometria</p><p>definimos a relação com as medidas necessárias.</p><p>Agora, imagine uma situação de calcular a área de um quadrado. De imediato</p><p>pensamos na figura e lembramos da fórmula necessária:</p><p>A = l²</p><p>Mas como fica o problema se o lado mudar de tamanho ao longo do</p><p>tempo? A variação da área com relação ao tempo não é percebida</p><p>diretamente, somente se passarmos pelo cálculo do lado</p><p>entenderemos o problema.</p><p>Como assim?</p><p>Imagine uma chapa de metal, quadrada. Para piorar, imagine uma</p><p>chama constante em baixo da chapa aquecendo-a. Pense que o metal</p><p>tende a variar suas medidas sob a ação de calor. Assim, quanto mais</p><p>tempo passa, mais o calor influencia as medidas da chapa de maneira</p><p>que poderíamos expressar o problema da seguinte maneira:</p><p>A área depende do lado ao quadrado e o lado depende do tempo segundo</p><p>alguma regra.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>238</p><p>Seja então o problema de calcular tal área para o caso do lado estar variando</p><p>segunda a regra</p><p>l = 4 – t²</p><p>Então para cada área que quisermos calcular, primeiro calcularemos o</p><p>lado e depois, tendo o valor do lado, calcularemos a área. Ocorre que</p><p>frequentemente estamos interessados em saber a taxa de variação de</p><p>uma grandeza com relação à outra. Por exemplo, taxa de variação do</p><p>espaço com relação ao tempo, usualmente</p><p>chamada de velocidade. Também, taxa de variação da</p><p>velocidade com relação ao</p><p>tempo, conhecida por aceleração. Mas não é somente variação com</p><p>relação ao tempo, a taxa de variação pode ser medida com relação a</p><p>outras grandezas.</p><p>A taxa de variação é a derivada da função com relação a grandeza</p><p>pretendida. Como precisamos relacionar informações intermediárias</p><p>usa-se a regra da Cadeia (aos poucos vai entendendo o porquê de</p><p>aprender tais regras?) Vamos calcular, então?</p><p>Dados:</p><p>▪ A = l²</p><p>▪ l = 4 – t²</p><p>Queremos a variação da área com relação ao lado, mas o lado varia</p><p>com relação ao tempo, então calcularemos a variação da área com</p><p>relação ao tempo.</p><p>dA/dt = dA/dl x dl/dt Ora, dA/dl = 2 l, que é a derivada da função área com</p><p>relação ao lado.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>239</p><p>E, dl/dt = -2 t, que é a derivada da função lado com relação ao tempo.</p><p>Pela regra da cadeia, faremos o produto das duas derivadas e</p><p>voltaremos a variável básica, no caso, o tempo t. dA/dt = -4 l t,</p><p>substituindo l teremos dA/dt = -4 (4 – t²) t, ou dA/dt = -16 t + 4 t³</p><p>Repare agora que temos como conhecer a situação de variação da área com</p><p>relação a qualquer tempo desejado…</p><p>Por exemplo, poderíamos dizer que a velocidade de variação da área na</p><p>unidade de tempo t = 1 u.t. é de dA/dt = -16 x 1 + 4 x 1³ = -12 u.v., lembre-</p><p>se u.v. É unidade de velocidade.</p><p>Porém, para t = 3 u.t. é de dA/dt = -16 x 3 + 4 x 3³ = 60 u.v..</p><p>Agora, é amadurecer o conceito e trabalhar os exercícios…</p><p>Sumário</p><p>Nesta Unidade Temática 7.3. estudamos:</p><p>Taxas Relacionadas e algumas de suas Aplicações.</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO</p><p>GRUPO 2 (Com respostas)</p><p>1. Duas variáveis x e y são funções de uma variável t e estão relacionadas pela</p><p>equação: y2 − 3xy + x2 = 25.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>240</p><p>Se a taxa de variação de x em relação a t é igual a 1 quando x = 0 então</p><p>determine a taxa de variação de y em relação a t neste mesmo instante.</p><p>RESPOSTA: Y(0) = 3</p><p>2.Um farol giratório completa uma volta em cada 15 segundos, visto desde</p><p>um ponto P a 60m em linha recta do farol.</p><p>Determine a vvelocidade com que um raio de luz do farol está se movendo ao</p><p>longo da praia num um ponto, Q, a 150m de P.</p><p>RESPOSTA:3480 m/min.</p><p>3. Um meliante evade-se de uma penitenciária sobre uma muralha</p><p>recta a uma velocidade de 4 m/s. Um holofote localizado a 20 metros</p><p>de distância da muralha, e a mesma altura que esta, focaliza o</p><p>homem em fuga. A que taxa o holofote girava quando o malfeitor se</p><p>encontrava a 15 metros do ponto da muralha que está mais próximo</p><p>do holofote?</p><p>RESPOSTA: rad/s.</p><p>4. Uma cidade x é atingida por uma certa epidemia do tipo êbola. Os</p><p>sectores de saúde calculam que o</p><p>número de pessoas atingidas pela pandemia, depois de um certo</p><p>tempo t, medidos em dias, a partir do primeiro dia, seja,</p><p>aproximadamente, dada pela fórmula</p><p>t 3</p><p>f (t) = 64t − 3</p><p>(a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4?</p><p>(b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8?</p><p>(c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia a partir do quinto</p><p>dia?</p><p>5. Num aviário experimental , constatou-se que uma ave em desenvolvimento</p><p>pesa, em gramas, segundo a lei</p><p>1 2</p><p>20 t 4 se 0 t 60</p><p>f (t) = 2</p><p>8t2 604 se 60 t 90</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>241</p><p>onde t é medido em dias. Pergunta-se:</p><p>a) Qual a razão de aumento do peso da ave passados 50 dias?</p><p>b) Em quanto o peso de uma ave aumentará no quinto dia?</p><p>c) Qual a razão de aumento do peso quando t = 80?</p><p>6. Uma peça de carne foi congelada numa na câmara de um geleira no instante</p><p>t = 0. Após o tempo t (medido em horas), notou-se que a sua</p><p>temperatura T (em graus Celcius ou oC) diminuía, segundo a lei</p><p>1</p><p>T (t) = 30 − 5t + , 0 t 5. Urgiu razoável</p><p>fazer-se a Pergunta:</p><p>t 1</p><p>Qual a velocidade de redução de sua temperatura a)</p><p>Volvidas duas horas?;</p><p>b) Depois de uma semana?</p><p>c) Depois de um dia?</p><p>BIBLIOGRAFIA</p><p>• SANTOS, José Carlos. Introdução à Topologia. Departamento de Matemática - Faculdade de</p><p>Ciências da Universidade do Porto. Junho de 2010, 171 páginas. Disponível</p><p>em: <http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/Topologia.pdf>. Acesso em: 12 de</p><p>Setembro de 2014.</p><p>• Andraus, S. e Santos, U. P., Matemática no Ensino do Segundo Grau, Volumes. 1, 2 e 3,</p><p>Companhia Ed. Nacional, 1973.</p><p>• Ávila, G. S. S., Cálculo 1: Funções de uma Variável, ed. LTC, 1983.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>242</p><p>• Flemming, D. M. e Gonçalves, M. B., Cálculo A: Funções, Limite, Derivação e Integração,</p><p>Makron Books, 1992.</p><p>• Hoffmann, L. D., Cálculo: Um Curso Moderno e suas Aplicações, ed. LTC, 1985.</p><p>• Iezzi, G. et al. Matemática, Volumes. 1, 2 e 3, Atual Editora Ltda - São Paulo.</p><p>• Leithold, L. Matemática Aplicada à Economia e Adimistração, Ed. Harbra Ltda, 1984.</p><p>• Weber, J. E., Matemática para Economia e Administração, LTC, 1977.</p><p>• DOLCE, O. et al. Matemática elementar. São Paulo: Atual Editora, 2008</p><p>• Euclides, Os Elementos, Livro I, Proposição 20 [em linha] ;</p><p>• QUEIRÓ, J. F.; SANTANA, A. P. (2010). Introdução à Álgebra Linear (1.ª edição). Gradiva ISBN</p><p>978-989-636-372-3. Páginas 149 e 150.</p><p>• João Jeronimo & Marcos Antônio Nunes de Moura. Introdução ao Cálculo vol II. 20 de março</p><p>de 2013. 158 págs. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0). Acesso em 13 jul.</p><p>2013.</p><p>• Sean Raleigh, Notation Guide for Precalculus and Calculus Students [em linha] ;</p><p>• J J O'Connor and E F Robertson. Madhava of Sangamagrama School of Mathematics and</p><p>Statistics University of St Andrews, Scotland. Página visitada em 2014-09-08.</p><p>• MEDEIROS, V.Z. Pré-cálculo. Rio de Janeiro: Thomson, 2005.</p><p>• MARRA,Fernando Cesar e ABRÃO, Mariangela. Matematica Basica para Decisões</p><p>Administrativas. 2 edição Editora Atlas 2008;</p><p>• LEITHOLDE, Louis. O cálculo com geometria analítica. Volume 1 e 2. 3ª edição São Paulo:</p><p>Ed. Harbra, 1994.</p><p>• LIMA, Elon Lages. Curso de Análise Vol.1. 14 ed. [S.l.]: IMPA, 2013. ISBN 9788524401183</p><p>• ANTON, Howard. Cálculo - Volume 1. 8 ed. [S.l.]: Bookman, 2007. ISBN 9788560031634</p><p>• Stewart, James. Cálculo vol. I. ISBN 978-85-221-0660-8. Ed. Cengage, 2009, pg. 98.</p><p>• SILVA, Elio Medeiro da; SILVA,Ermes Medeiros da e SILVA,Sebastião Medeiros da.</p><p>Matermatica Basica para Cursos Superiores. 1 edição Editora Atlas 2002</p><p>• STEWART, James. Cálculo, volume 2. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2007. 5ª</p><p>edição. ISBN 85-211-0484-0. Página 900.</p><p>• STEWART, James. Curso de cálculo volume 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.</p><p>4ªa edição. ISBN 85-2210236-8. Página 159.</p><p>• STEWART, James. Curso de cálculo volume 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.</p><p>4ªa edição. ISBN 85-2210236-8. Página 156.</p><p>• Agudo, F. R. Dias, Análise Real (3 volumes), Lisboa: Escolar Editora, 1994</p><p>• Ostrowski, A., Lições MEDEIROS, V.Z. Pré-cálculo. Rio de Janeiro: Thomson, 2005.</p><p>• MARRA,Fernando Cesar e ABRÃO, Mariangela. Matematica Basica para Decisões</p><p>Administrativas. 2 edição Editora Atlas 2008</p><p>• FLEMMING, Diva Marília e GONÇALVES, M. B. Cálculo A. 6 ª edição São Paulo: Pearson-Prentice-</p><p>Hall, 2007.</p><p>• Ricieri, A. P., Derivada Fracionária, Transformada de Laplace e outros bichos, Prandiano,</p><p>1993, S. José dos Campos - SP - Brasil.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>243</p><p>................................................................................................................. 194</p><p>Exemplos ................................................................................................................... 195</p><p>Regra da cadeia para várias variáveis (Carácter informativo, pelo que facultativo). ...</p><p>195</p><p>Sumário ..................................................................................................................... 196</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ................................................................................ 196</p><p>GRUPO 2 (com respostas). ........................................................................................ 196</p><p>Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo: ................................................. 196</p><p>TEMA VII: .................................................................................................................. 198</p><p>COMPORTAMENTO DE FUNÇÕES .............................................................................. 198</p><p>Unidade Temática 7.1. Máximo e Mínimo ................................................................. 198</p><p>Introução ................................................................................................................... 198</p><p>Máximo e mMínimo 199</p><p>Aplicações da 1ª Derivada ......................................................................................... 199</p><p>Aplicações da 2ª Derivada ou (pontos de Inflexão). ................................................... 200</p><p>Sumário ..................................................................................................................... 201</p><p>Nesta Unidade Temática 7.1. estudamos os seguinte tópicos. ...................................</p><p>201 Unidade Temática 7.2. Regiões de Crescimento e Decrescimento .............................</p><p>204</p><p>Introução ................................................................................................................... 204</p><p>Regiões de Crescimento e Decrescimento 205</p><p>Definição 1: (Função Crescente) ................................................................................205</p><p>Definição 2: (Função Decrescente)............................................................................ 205</p><p>Definição 3: Função estritamente Crescente ............................................................. 206</p><p>Definição 4: Função estritamente Decrescente .......................................................... 206</p><p>Teorema: Sinal da Derivada ....................................................................................... 206</p><p>Teste da Primeira Derivada para Extremos ................................................................ 207</p><p>xi</p><p>Sumário ..................................................................................................................... 208</p><p>Exercícios .................................................................................................................. 209</p><p>GRUPO 2 (Exercícios com respostas) ......................................................................... 209</p><p>Unidade Temática 7.3. Regra de L´Hôpital ................................................................. 211</p><p>Introução ................................................................................................................... 211</p><p>Regra de L´Hôpital 212</p><p>Enunciado ................................................................................................................. 212</p><p>Algumas Aplicações ................................................................................................... 213</p><p>Demonstração ........................................................................................................... 214</p><p>Sumário ..................................................................................................................... 214</p><p>Nesta Unidade Temática 7.3. Estudamos: .................................................................. 214</p><p>Exercícios .................................................................................................................. 215</p><p>GRUPO 2 (com respostas) .......................................................................................... 215</p><p>Exercício 1 ................................................................................................................. 215</p><p>Exercício 2 ................................................................................................................. 215</p><p>Unidade Temática 7.4. Taxas Relacionadas ................................................................ 216</p><p>Introução ................................................................................................................... 216</p><p>Taxas Relacionadas 216</p><p>Sumário ..................................................................................................................... 219</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO ................................................................................ 219</p><p>BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................ 221</p><p>Referências................................................................................................................ 221</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>1</p><p>Visão geral</p><p>Benvindo à Disciplina/Módulo</p><p>de MATEMÁTICA APLICADA</p><p>A matemática aplicada é um ramo da matemática que trata da</p><p>aplicação do conhecimento matemático a outros domínios de</p><p>conhecimento. Tais aplicações incluem cálculo numérico,</p><p>matemática voltada a engenharias, programação linear,</p><p>optimização, modelagem contínua, biomatemática e</p><p>bioinformática, teoria da informação, teoria dos jogos,</p><p>probabilidade e estatística, matemática financeira, criptografia,</p><p>combinatória e até mesmo geometria finita até certo ponto, teoria</p><p>de grafos como aplicada em análise de redes, e grande parte do</p><p>que se chama ciência da computação.</p><p>No ISCED a Matemática Aplicada está virada para cursos de</p><p>Licenciatura que pertencem a área grade das Ciências Sociais que</p><p>contém, nomeadamente, Administração Pública, Contabilidade e</p><p>Auditoria e outros.</p><p>Objectivos do Módulo</p><p>O principal objetivo destas disciplina/Módulo de MATEMÁTICA</p><p>APLICADA é o de fazer com que os alunos compreendam, com</p><p>clareza, os conceitos introdutórios de matemática do ponto vista</p><p>geométrico, numérico, algébrico e linguístico.</p><p>Desenvolver, também a capacidade de modelagem de problemas</p><p>matemáticos e provas envolvendo conjuntos, conjuntos</p><p>numéricos, distância entre dois pontos, equação geral da recta,</p><p>funções lineares, polinomiais, exponenciais, logarítmica e</p><p>trigonométrica, bem como as noções intuitivas de limites,</p><p>continuidade, diferenciabilidade e o comportamento de funções,</p><p>que possam, sem dúvidas, auxiliar na vida profissional do futuro</p><p>Contabilista e Auditor.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>2</p><p>JUSTIFICATIVA</p><p>É nossa expectativa que este texto assuma o carácter de espinha</p><p>dorsal de uma experiência permanentemente renovável, sendo,</p><p>portanto, bem - vindas às críticas e/ou sugestões apresentadas por</p><p>todos - professores ou alunos quantos dele fizerem uso.</p><p>Para desenvolvermos a sua capacidade como estudante, de pensar</p><p>por si mesmo em termos das novas definições, incluímos no final</p><p>de cada TEMA uma extensa lista de exercícios, regra geral,</p><p>integrados.</p><p>No TEMA I apresentaremos algumas definições e resultados sobre</p><p>conjuntos, conjuntos numéricos, intervalos e equações e</p><p>inequações que serão necessárias para o entendimento dos</p><p>próximos TEMAS.</p><p>No TEMA II apresentaremos o sistema de coordenadas cartesianas,</p><p>distância entre dois pontos, equação geral da recta e aplicações.</p><p>No TEMA III apresentaremos as noções de funções e suas principais</p><p>propriedades aplicações.</p><p>No TEMA IV apresentaremos alguns tipos especiais de funções tais</p><p>como: funções lineares, polinomiais, exponenciais, logarítmica,</p><p>trigonométrica e aplicações.</p><p>No TEMA V apresentaremos, de um ponto de vista intuitivos, as</p><p>noções de limites e continuidade, bem como suas principais</p><p>propriedades.</p><p>No TEMA VI apresentaremos, de um ponto de vista intuitivos, as</p><p>noções de derivada, bem como suas principais propriedades.</p><p>No TEMA VII aplicaremos os conhecimentos sobre derivadas para</p><p>revolver problemas de máximo e mínimo, gráficos de funções, bem</p><p>como taxas relacionadas.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>3</p><p>▪ Ter domínio sobre teoria de conjuntos e diferentes conjuntos e</p><p>conjunto numéricos;</p><p>▪ Compreender e aplicar o conceito de limites e continuidade;</p><p>▪ Introduzir o conhecimento sobre cálculo Diferencial e suas</p><p>aplicações.</p><p>Quem deveria estudar este módulo</p><p>Este Módulo foi concebido para estudantes do 1º ano do curso de</p><p>licenciatura em Contabilidae e Auditoria do ISCED e outros como</p><p>Gestão de Rcursos Humanos, Administração, etc. Poderá ocorrer,</p><p>contudo, que haja leitores que queiram se actualizar e consolidar</p><p>seus conhecimentos nessa disciplina, esses serão bem vindos, não</p><p>sendo necessário para tal se inscrever. Mas poderá adquirir o</p><p>manual.</p><p>Como está estruturado este módulo</p><p>O módulo de Matemática Aplicada, para estudantes do 1º ano do</p><p>curso de licenciatura em Contabilidade e Auditoria, à semelhança</p><p>dos restantes do ISCED, está estruturado como se segue:</p><p>Páginas introdutórias</p><p>▪ Um índice completo.</p><p>▪ Uma visão geral detalhada dos conteúdos do módulo,</p><p>resumindo os aspectos-chave que você precisa conhecer para</p><p>melhor estudar. Recomendamos vivamente que leia esta secção</p><p>com atenção antes de começar o seu estudo, como componente</p><p>de habilidades de estudos.</p><p>Objectivos</p><p>Específicos</p><p>▪ Ser capaz de fazer diversas representações gráficas;.</p><p>▪ Ter domínio sobre funções;</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>4</p><p>Conteúdo desta Disciplina / módulo</p><p>Este módulo está estruturado em Temas. Cada tema, por sua vez</p><p>comporta certo número de unidades temáticas ou simplesmente</p><p>unidades. Cada unidade temática se caracteriza por conter uma</p><p>introdução, objectivos, conteúdos.</p><p>No final de cada unidade temática ou do próprio tema, são</p><p>incorporados antes o sumário, exercícios de auto-avaliação, só</p><p>depois é que aparecem os exercícios de avaliação.</p><p>Os exercícios de avaliação têm as seguintes caracteristicas: Puros</p><p>exercícios teóricos/Práticos, Problemas não resolvidos e</p><p>actividades práticas algunas incluido estudo de caso.</p><p>Outros recursos</p><p>A equipa dos académicos e pedagogos do ISCED, pensando em si,</p><p>num cantinho, recóndito deste nosso vasto Moçambique e cheio</p><p>de dúvidas e limitações no seu processo de aprendizagem,</p><p>apresenta uma lista de recursos didácticos adicionais ao seu</p><p>módulo para você explorar. Para tal o ISCED disponibiliza nas</p><p>bibliotecas física e virtual do seu Centro de Recursos mais material</p><p>de estudos relacionado com o seu curso como: Livros e/ou</p><p>módulos, CD, CD-ROOM, DVD. Para elém deste material físico ou</p><p>electrónico disponível na biblioteca, pode ter acesso a Plataforma</p><p>digital moodle para alargar mais ainda as possibilidades dos seus</p><p>estudos.</p><p>Auto-avaliação e Tarefas de avaliação</p><p>Tarefas de auto-avaliação para este módulo encontram-se no final</p><p>de cada unidade temática e de cada tema. As tarefas dos exercícios</p><p>de auto-avaliação apresntam duas caracteristicas: primeeiro</p><p>apresentam exercícios resolvidos com detalhes. Segundo,</p><p>exercícios que mostram apenas respostas.</p><p>Tarefas de avaliação devem ser semelhantes às de auto-avaliação</p><p>mas sem mostrar os passos e devem obedecer o grau crescente de</p><p>dificuldades do processo de aprendizagem, umas a seguir a outras.</p><p>Parte das terefas de avaliação será objecto dos trabalhos de campo</p><p>a serem entregues aos tutores/doceentes para efeitos de</p><p>correcção e subsequentemente nota. Também constará do exame</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>5</p><p>do fim do módulo. Pelo que, caro estudante, fazer todos os</p><p>exrcícios de avaliação é uma grande vantagem.</p><p>Comentários e sugestões</p><p>Use este espaço para dar sugestões valiosas, sobre determinados</p><p>aspectos, quer de natureza científica, quer de natureza</p><p>diadácticoPedagógica, etc, sobre como deveriam ser ou estar</p><p>apresentadas. Pode ser que graças as suas observações que, em</p><p>goso de confiança, classificamo-las de úteis, o próximo módulo</p><p>venha a ser melhorado.</p><p>Ícones de actividade</p><p>Ao longo deste manual irá encontrar uma série de ícones nas</p><p>margens das folhas. Estes icones servem para identificar diferentes</p><p>partes do processo de aprendizagem. Podem indicar uma parcela</p><p>específica de texto, uma nova actividade ou tarefa, uma mudança</p><p>de actividade, etc.</p><p>Habilidades de estudo</p><p>O principal objectivo deste campo é o de ensinar aprender a</p><p>aprender. Aprender aprende-se.</p><p>Durante a formação e desenvolvimento de competências, para</p><p>facilitar a aprendizagem e alcançar melhores resultados, implicará</p><p>empenho, dedicação e disciplina no estudo. Isto é, os bons</p><p>resultados apenas se conseguem com estratégias eficientes e</p><p>eficazes. Por isso é importante saber como, onde e quando</p><p>estudar. Apresentamos algumas sugestões com as quais</p><p>esperamos que caro estudante possa rentabilizar o tempo</p><p>dedicado aos estudos, procedendo como se segue:</p><p>1º Praticar a leitura. Aprender a Distância exige alto domínio de</p><p>leitura.</p><p>2º Fazer leitura diagonal aos conteúdos (leitura corrida).</p><p>3º Voltar a fazer leitura, desta vez para a compreensão e</p><p>assimilação crítica dos conteúdos (ESTUDAR).</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>6</p><p>4º Fazer seminário (debate em grupos), para comprovar se a sua</p><p>aprendizagem confere ou não com a dos colegas e com o padrão.</p><p>5º Fazer TC (Trabalho de Campo), algumas actividades práticas ou</p><p>as de estudo de caso se existir.</p><p>IMPORTANTE: Em observância ao triângulo modo-espaço-tempo,</p><p>respectivamente como, onde e quando estudar, como foi referido</p><p>no início deste item, antes de organizar os seus momentos de</p><p>estudo reflicta sobre o ambiente de estudo que seria ideal para si:</p><p>Estudo melhor em casa/biblioteca/café/outro lugar? Estudo</p><p>melhor à noite/de manhã/de tarde/fins de semana/ao longo da</p><p>semana? Estudo melhor com música/num sítio sossegado/num</p><p>sítio barulhento!? Preciso de intervalo em cada 30 minutos, em</p><p>cada hora, etc.</p><p>É impossível estudar numa noite tudo o que devia ter sido</p><p>estudado durante um determinado período de tempo; Deve</p><p>estudar cada ponto da matéria em profundidade e passar só ao</p><p>seguinte quando achar que já domina bem o anterior.</p><p>Privilegia-se saber bem (com profundidade) o pouco que puder ler</p><p>e estudar, que saber tudo superficialmente! Mas a melhor opção é</p><p>juntar o útil ao agradável: Saber com profundidade todos</p><p>conteúdos de cada tema, no módulo.</p><p>Dica importante: não recomendamos estudar seguidamente por</p><p>tempo superior a uma hora. Estudar por tempo de uma hora</p><p>intercalado por 10 (dez) a 15 (quinze) minutos de descanso</p><p>(chama-se descanso à mudança de actividades). Ou seja que</p><p>durante o intervalo não se continuar a tratar dos mesmos assuntos</p><p>das actividades obrigatórias.</p><p>Uma longa exposição aos estudos ou ao trabalhjo intelectual</p><p>obrigatório, pode conduzir ao efeito contrário: baixar o</p><p>rendimento da aprendizagem. Por que o estudante acumula um</p><p>elevado volume de trabalho, em termos de estudos, em pouco</p><p>tempo, criando interferência entre os conhecimentos, perde</p><p>sequência lógica, por fim ao perceber que estuda tanto mas não</p><p>aprende, cai em insegurança, depressão e desespero, por se achar</p><p>injustamente incapaz!</p><p>Não estude na última da hora; quando se trate de fazer alguma</p><p>avaliação. Aprenda a ser estudante de facto (aquele que estuda</p><p>sistemáticamente), não estudar apenas para responder a questões</p><p>de alguma avaliação, mas sim estude para a vida, sobre tudo,</p><p>estude pensando na sua utilidade como futuro profissional, na área</p><p>em que está a se formar.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>7</p><p>Organize na sua agenda um horário onde define a que horas e que</p><p>matérias deve estudar durante a semana; Face ao tempo livre que</p><p>resta, deve decidir como o utilizar produtivamente, decidindo</p><p>quanto tempo será dedicado ao estudo e a outras actividades.</p><p>É importante identificar as ideias principais de um texto, pois será</p><p>uma necessidade para o estudo das diversas matérias que</p><p>compõem o curso: A colocação de notas nas margens pode ajudar</p><p>a estruturar a matéria de modo que seja mais fácil identificar as</p><p>partes que está a estudar e Pode escrever conclusões, exemplos,</p><p>vantagens, definições, datas, nomes, pode também utilizar a</p><p>margem para colocar comentários seus relacionados com o que</p><p>está a ler; a melhor altura para sublinhar é imediatamente a seguir</p><p>à compreensão do texto e não depois de uma primeira leitura;</p><p>Utilizar o dicionário sempre que surja um conceito cujo significado</p><p>não conhece ou não lhe é familiar;</p><p>Precisa de apoio?</p><p>Caro estudante, temos a certeza que por uma ou por outra razão,</p><p>o material de estudos impresso, lhe pode suscitar algumas dúvidas</p><p>como falta de clareza, alguns erros de concordância, prováveis</p><p>erros ortográficos, falta de clareza, fraca visibilidade, páginas</p><p>trocadas ou invertidas, etc). Nestes casos, contacte os seriços de</p><p>atendimento e apoio ao estudante do seu Centro de Recursos (CR),</p><p>via telefone, sms, e-mail, se tiver tempo, escreva mesmo uma carta</p><p>participando a preocupação.</p><p>Uma das atribuições dos Gestores dos CR e seus assistentes</p><p>(Pedagógico e Administrativo), é a de monitorar e garantir a sua</p><p>aprendizagem com qualidade e sucesso. Dai a relevância da</p><p>comunicação no Ensino a Distância (EAD), onde o recurso as TIC se</p><p>torna incontornável: entre estudantes, estudante – Tutor,</p><p>estudante – CR, etc.</p><p>As sessões presenciais são um momento em que você caro</p><p>estudante, tem a oportunidade de interagir fisicamente com staff</p><p>do seu CR, com tutores ou com parte da equipa central do ISCED</p><p>indigetada para acompanhar as sua sessões presenciais. Neste</p><p>período pode apresentar dúvidas, tratar assuntos de natureza</p><p>pedagógica e/ou admibistrativa.</p><p>O estudo em grupo, que está estimado para ocupar cerca de 30%</p><p>do tempo de estudos a distância, é muita importância, na medida</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>8</p><p>em que permite lhe situar, em termos do grau de aprendizagem</p><p>com relação aos outros colegas. Desta maneira ficará a saber se</p><p>precisa de apoio ou precisa de apoiar aos colegas. Desenvolver</p><p>hábito de debater assuntos relacionados com os conteúdos</p><p>programáticos, constantes nos diferentes temas e unidade</p><p>temática, no módulo.</p><p>Tarefas (avaliação e autoavaliação)</p><p>O estudante deve realizar todas as tarefas (exercícios, actividades</p><p>e auto avaliação), contudo nem todas deverão ser entregues, mas</p><p>é importante que sejam realizadas. As tarefas devem ser entregues</p><p>duas semanas antes das sessões presenciais seguintes.</p><p>Para cada tarefa serão estabelecidos prazos de entrega, e o não</p><p>cumprimento dos prazos de entrega, implica a não classificação do</p><p>estudante. Tenha sempre presente que a nota dos trabalhos de</p><p>campo conta e é decisiva para ser admitido ao exame final da</p><p>disciplina/módulo.</p><p>Os trabalhos devem ser entregues ao Centro de Recursos (CR) e os</p><p>mesmos devem ser dirigidos ao tutor/docente.</p><p>Podem ser utilizadas diferentes fontes e materiais de pesquisa,</p><p>contudo os mesmos devem ser devidamente referenciados,</p><p>respeitando os direitos do autor.</p><p>O plágio1 é uma viloção do direito intelectual do(s) autor(es). Uma</p><p>transcrição à letra de mais de 8 (oito) palavras do texto de um</p><p>autor, sem o citar é considerado plágio. A honestidade, humildade</p><p>científica e o respeito pelos direitos autoriais devem caracterizar a</p><p>realização dos trabalhos e seu autor (estudante do ISCED).</p><p>Avaliação</p><p>Muitos perguntam: Com é possível avaliar estudantes na</p><p>modalidade de Ensino a Distância (EAD), estando eles fisicamente</p><p>separados e muito distantes do docente/tutor!? E nós afirmamos:</p><p>1 Plágio - copiar ou assinar parcial ou totalmente uma obra literária, propriedade</p><p>intelectual de outras pessoas, sem prévia autorização.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>9</p><p>Sim é muito possível, talvez seja uma avaliação mais fiável e</p><p>concistente.</p><p>Você será avaliado durante os estudos à distância que contam com</p><p>um mínimo de 90% do total de tempo que precisa de estudar os</p><p>conteúdos do seu módulo. Quando o tempo de contacto presencial</p><p>conta com um máximo de 10%) do total de tempo do módulo. A</p><p>avaliação do estudante consta detalhada do regulamentada de</p><p>avaliação.</p><p>Os trabalhos de campo por si realizaos, durante estudos e</p><p>aprendizagem no campo, pesam 25% e servem para a nota de</p><p>frequência para ir aos exames.</p><p>Os exames são realizados no final da cadeira disciplina ou modulo</p><p>e decorrem durante as sessões presenciais. Os exames pesam no</p><p>mínimo 75%, o que adicionado aos 25% da média de frequência,</p><p>determinam a nota final com a qual o estudante conclui a cadeira.</p><p>A nota de 10 (dez) valores é a nota mínima de conclusão da cadeira.</p><p>Nesta cadeira o estudante deverá realizar pelo menos 2 (dois)</p><p>trabalhos e 1 (um) (exame).</p><p>Algumas actividades práticas, relatórios e reflexões serão</p><p>utilizados como ferramentas de avaliação formativa.</p><p>Durante a realização das avaliações, os estudantes devem ter em</p><p>consideração a apresentação, a coerência textual, o grau de</p><p>cientificidade, a forma de conclusão dos assuntos, as</p><p>recomendações, a identificação das referências bibliográficas</p><p>utilizadas, o respeito pelos direitos do autor, entre outros.</p><p>Os objectivos e critérios de avaliação constam do Regulamento de</p><p>Avaliação.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>11</p><p>TEMA – I: NÚMEROS REA RAIS.</p><p>Unidade 1.1. Conjuntos;</p><p>Unidade 1.2. Conjunto Numéricos;</p><p>Unidade 1.3 Representação Geométrica dos Números Reais;</p><p>Unidade 1.4 Desigualdade.</p><p>UNIDADE Temática 1.1. CONJUNTOS (Noções).</p><p>Introdução</p><p>Os fundamentos da teoria dos conjuntos foram lançados no final do</p><p>século XIX, a partir dos trabalhos de George Cantor (1845-1918). A</p><p>partir de então, está teoria passou por um forte processo de</p><p>desenvolvimento, dando suporte a diversos ramos da matemática e</p><p>influenciando outras áreas do conhecimento, dentre elas a Ciência da</p><p>Computação.</p><p>O conceito de conjunto é fundamental para a Ciência da</p><p>Computação, uma vez que grande parte de seus conceitos,</p><p>construções e resultados são escritos na linguagem dos conjuntos ou</p><p>baseados em construções sobre conjuntos (MENEZES, 2008),</p><p>existindo aplicações em áreas como Banco de Dados e Linguagens</p><p>Formais, por exemplo.</p><p>Nesta Unidade 1.1., introduziremos os principais conceitos da teoria</p><p>dos conjuntos, que serão indispensáveis para estudos posteriores.</p><p>Três noções são consideradas primitivas: Conjunto; elemento;</p><p>pertinência entre elemento e conjunto.</p><p>Conjunto –notação: letras maiúsculas</p><p>Pode ser designada, intuitivamente, como uma coleção de objetos de</p><p>qualquer natureza, considerados globalmente. Em um conjunto, a</p><p>ordem dos elementos não importa e cada elemento deve ser listado</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>12</p><p>apenas uma vez. A repetição dos elementos em um conjunto é</p><p>irrelevante</p><p>Elemento-notação: letras minúsculas</p><p>Os objetos que constituem um conjunto denominam-se elementos do</p><p>conjunto.</p><p>Pertinência ou Pertença - notação: Є</p><p>Relacionam elemento com conjunto. Qualquer objeto que faça parte</p><p>de um conjunto é chamado “membro” ou “elemento” daquele</p><p>conjunto ou ainda é dito pertencer aquele conjunto.</p><p>Para denotar</p><p>que o elemento x pertence ao conjunto A utiliza-se: X A.</p><p>Mais detalhes sobre Conjuntos veja o desenvolvimento a seguir.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>13</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>▪ Entender e</p><p>explicar um</p><p>breve</p><p>historial sobre a</p><p>Teoria de</p><p>Conjuntos;</p><p>▪ Ter noções de tipos de Conjuntos;</p><p>▪ Representar um Conjunto;</p><p>▪ Ter noções de Conjuntos numéricos.</p><p>CONJUNTOS (Noções)</p><p>Se o elemento não pertence ao conjunto A denota-se: X A</p><p>Objectivos</p><p>específicos</p><p>▪ Indicar ou mencionar os três elemntos primitivos de</p><p>conjuntos;</p><p>▪ Ter noções de elementos de um conjunto;</p><p>▪ Ter noções de pertença;</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>14</p><p>Ex: Considerando o conjunto D dos dias da semana, temos que:</p><p>segunda feira D; sábado D; janeiro D</p><p>REPRESENTAÇÃO</p><p>Um conjunto pode ser representado basicamente de duas maneiras:</p><p>por extensão ou por compreensão.</p><p>Extensão: os elementos são listados exaustivamente, sendo colocados</p><p>entre um par de chaves e separados por vírgulas. Por exemplo, D =</p><p>{segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo}</p><p>Compreensão: em casos em que os números de elementos são</p><p>muitos, devemos optar por descrever o conjunto por meio de uma</p><p>propriedade que caracteriza os seus elementos. De forma geral,</p><p>escreve-se S= {x | P(x)}, onde P(x) representa a propriedade.</p><p>Exemplos:</p><p>a) A = {a, e, i, o, u}</p><p>b) B = {1, 3, 5, 7, ..., 15}</p><p>c) C = {1, 2, 3, 4, 5,...}</p><p>d) D = {n|n=2y, onde y é um número inteiro}</p><p>1. A foi representado por meio da listagem de todos os seus elementos.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>15</p><p>2. B e C, alguns elementos foram omitidos, mas podem facilmente ser</p><p>deduzidos do contexto. Nos três casos, a forma de representação</p><p>utilizada foi a extensão.</p><p>3. O conjunto D, que corresponde ao conjunto D = {0, 2, 4, 6, 8, ...}, foi</p><p>representado por meio da propriedade comum a seus elementos, o</p><p>que constitui a forma de representação por compreensão.</p><p>Ex1:Descreva cada um dos seguintes conjuntos, listando seus</p><p>elementos:</p><p>• {x|x é a capital do Pará}</p><p>• {y|y é um número primo menor do que 30}</p><p>Ex 2: Descreva cada um dos seguintes conjuntos, através de uma</p><p>propriedade que caracteriza seus elementos:</p><p>• {1,3,5,7,9...}</p><p>b). {1,4,9,16...}</p><p>Alguns Conjuntos Especiais</p><p>Considere a seguinte situação: queremos listar todos os elementos de</p><p>um conjunto A={a|a é um número natural par menor do que 2}. Então,</p><p>quantos elementos o conjunto A possui? A não possui nenhum</p><p>elemento, pois não existe nenhum número natural par que seja menor</p><p>do que 2. Neste caso, dizemos que o conjunto A é vazio, e</p><p>representamos como segue:</p><p>A = { } ou A =</p><p>E se quiséssemos listar todos os elementos do conjunto B = {b|b é um</p><p>número natural ímpar menor do que 2}, quantos elementos esse</p><p>conjunto teria? Neste caso, B teria apenas um elemento, sendo, por</p><p>isso, chamado de conjunto unitário. B = { 1 }</p><p>CONJUNTO UNITÁRIO é o conjunto que possui apenas um elemento.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>16</p><p>Um conjunto possui um número finito ou infinito de elementos.</p><p>Chamamos de conjunto finito aquele que pode ser descrito por</p><p>extensão, ou seja, é possível listar todos os seus elementos. Um</p><p>conjunto é dito infinito quando não é possível listar exaustivamente</p><p>todos os seus elementos.</p><p>CONJUNTO UNIVERSO</p><p>Geralmente, o conjunto universo é representado pela letra U, é o</p><p>conjunto que contém todos os conjuntos que estão sendo</p><p>considerados, ou seja, define o contexto da discussão.</p><p>1. Num diagrama de Venn, os elementos de U são geralmente</p><p>representados por pontos internos a um quadrado (retângulo) e os</p><p>demais são representados por um círculo contidos no</p><p>quadrado/retângulo.</p><p>2. U não é um conjunto fixo e, para qualquer conjunto A, temos:</p><p>Propriedades dos Conjuntos</p><p>1. Qualquer conjunto é subconjunto do conjunto universo;</p><p>2. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;</p><p>3. Todo conjunto é subconjunto de si próprio;</p><p>4. Se todo elemento de um conjunto A pertence também a um</p><p>conjunto B, e todo elemento de B pertence a um conjunto C, então</p><p>todo elemento de A pertence a C (propriedade da transitividade).</p><p>RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>17</p><p>Já introduzimos a noção de pertinência entre elementos e conjuntos.</p><p>Além desta, outra noção importante é a de continência, a partir da</p><p>qual podemos introduzir os conceitos de subconjuntos e de igualdade</p><p>deconjuntos.</p><p>Relações de pertinência são estabelecidas entre elemento e conjunto,</p><p>enquanto que as relações de continência são estabelecidas entre</p><p>conjunto e conjunto.</p><p>- SUBCONJUNTOS</p><p>Se e são conjuntos e todo o elemento pertencente a e também</p><p>pertence a , então o conjunto é dito um subconjunto do conjunto ,</p><p>denotado por . Note que esta definição inclui o caso em que A e B</p><p>possuem os mesmos elementos, isto é, A = B. Se e ao menos um</p><p>elemento pertencente a não pertence a</p><p>, então é chamado de subconjunto próprio de , denotado por</p><p>. Todo conjunto é subconjunto dele próprio, chamado de</p><p>subconjunto impróprio.</p><p>Sejam dois conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.</p><p>Observe que todos os elementos do conjunto A são também</p><p>elementos do conjunto B. Com a notação A B indicamos que “A” é</p><p>subconjunto de “B” ou “A” está contido em “B” ou “A é parte de B”,</p><p>ou ainda que B contém A, com notação B A.</p><p>A B ↔( x)(x A→x B)</p><p>Quando A não é um subconjunto de B, ou seja, quando existe pelo</p><p>menos um elemento de A que não pertence a B, indicamos A B.</p><p>- IGUALDADE DE CONJUNTOS</p><p>Consideremos os conjuntos A={1, 3, 5} e B={1, 3, 5}. Não é preciso se</p><p>esforçar para perceber que A é um subconjunto de B e B, por sua vez,</p><p>também é subconjunto de A. Neste caso, dizemos que os conjuntos A</p><p>e B são iguais.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>18</p><p>Formalmente, podemos dizer: dois conjuntos A e B são iguais se, e</p><p>somente se, todo elemento de A pertence também a B e,</p><p>reciprocamente, todo elemento de B pertence a A, ou seja: A = B ↔</p><p>( x)((x A→x B) (x B →x A))</p><p>CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO</p><p>Se tivermos um conjunto de elementos a que chamamos F, o conjunto</p><p>das partes de F será aquele formado por todos os possíveis</p><p>subconjuntos de F e será representado por P(F). Se o conjunto F tem</p><p>n elementos, então o conjunto das partes de F, P(F), terá 2n</p><p>elementos.</p><p>Exemplo: Sendo F = {3, 5, 9}, vamos escrever todos os possíveis</p><p>subconjuntos de F:</p><p>→ com nenhum elemento Ø</p><p>→ com 1 elemento {3}, {5}, {9}</p><p>→ com 2 elementos {3, 5}, {3, 9}, {5, 9}</p><p>→ com 3 elementos {3, 5, 9}</p><p>Podemos então escrever: P(F) = {Ø, {3}, {5}, {9}, {3, 5}, {3, 9}, {5, 9}, {3,</p><p>5, 9}</p><p>O número de elementos de um conjunto F é denominado ordem do</p><p>conjunto e é indicado por n(F). Repare que no exemplo acima n(F) =</p><p>3 e n (P(F)) = 23 = 8</p><p>CONJUNTO COMPLEMENTAR</p><p>Complementar de B com respeito a A e é representada por = B</p><p>-</p><p>A.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>19</p><p>No caso dos alunos de uma classe, o conjunto complementar do</p><p>conjunto dos alunos presentes à aula será formado pelos alunos</p><p>ausentes à aula.</p><p>RELAÇÃO DE INCLUSÃO</p><p>A relação de inclusão possui 3 propriedades:</p><p>→ Propriedade reflexiva: A A, isto é, um conjunto sempre é</p><p>subconjunto dele mesmo.</p><p>→ Propriedade an-simétrica: se A B e B A, então A = B.</p><p>→ Propriedade transiva: se A B e B C, então A C.</p><p>DIAGRAMAS DE VENN</p><p>Podemos expressar um conjunto através de diagramas de Venn, de</p><p>forma a facilitar o entendimento de definições, o desenvolvimento</p><p>de raciocínios e a compreensão dos componentes e relacionamentos</p><p>que estejam sendo discutidos</p><p>(MENEZES, 2008). Um diagrama de</p><p>Venn é uma representação pictórica na qual os conjuntos são</p><p>representados por áreas delimitadas por curvas no plano. Lipschutz e</p><p>Lipson (2004).</p><p>Para seguir este modelo de representação, devemos observar as</p><p>seguintes regras:</p><p>1. O conjunto universo é representado por um retângulo;</p><p>2. Cada um dos demais conjuntos é representado por um círculo (ou</p><p>uma elipse);</p><p>3. Cada conjunto deve ser identificado por uma letra maiúscula;</p><p>A seguir, são ilustradas algumas situações para que você possa</p><p>entender como utilizar Diagramas de Venn para representar</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>20</p><p>conjuntos. Para representar a continência de dois conjuntos,</p><p>construímos uma elipse dentro de outra, como segue:</p><p>Figura 1.1: Diagrama de Venn</p><p>A Figura 1.1 representa a relação A B, ou seja A é subconjunto de B.</p><p>Perceba que a elipse que representa o conjunto A está totalmente</p><p>contida na que representa o conjunto B. Isto representa que todos os</p><p>elementos de A são também elementos de B, conforme a definição de</p><p>subconjunto já apresentada.</p><p>Observe agora a Figura:</p><p>Figura 1.2: Diagrama de Venn</p><p>Perceba que as figuras que representam os conjuntos A e B estão</p><p>totalmente separadas. Isto representa que não existem elementos de</p><p>A que sejam também elementos de B. Neste caso, dizemos que A e B</p><p>são conjuntos disjuntos.</p><p>Reflicta: E se quisermos representar dois conjuntos A e B onde seja</p><p>possível que alguns elementos de A não pertençam a B e que alguns</p><p>elementos de B não pertençam a A?</p><p>Neste caso, a representação é como segue:</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>21</p><p>Figura 1.3: Diagramas de Venn</p><p>Portanto, dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura acima,</p><p>podemos estabelecer uma relação entre os respectivos números de</p><p>elementos:</p><p>n (A B) = n (A) + n (B) − n (A∩ B) Observe</p><p>o diagrama e comprove.</p><p>Figura 1.4: Diagramas de Venn n(A B C) = n(A) + n(B)+ n(C) - n(A∩B)</p><p>- n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C) Conjuntos numéricos:</p><p>Os conjuntos numéricos são os seguintes: naturais, inteiros, racionais,</p><p>irracionais, reais e complexos.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>22</p><p>Figura 1.4: Diagramas de Venn</p><p>Sumário</p><p>Nesta Unidade Temática 1.1 sobre noções de CONJUNTO, estudamos:</p><p>1. Introdução ao estudo de Conjuntos;</p><p>2. Representação de Conjuntos;</p><p>3. Conjunto Universo;</p><p>4. Relações entre Conjuntos;</p><p>5. Diagrama de Venn e;</p><p>6. Conjunto Numéricos.</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO</p><p>GRUPO -1 (Com respostas detalhadas).</p><p>1. De quantas maneiras pode ser representado um Conjunto?</p><p>Quais são? Exemplifique (pelo menos três exemplos de cada).</p><p>2. Dê exemplo de Conjuntos especiais.</p><p>3. Construa um Conjunto Universo, indicando seus subconjuntos.</p><p>4. Quando é que dois conjuntos são iguais? Ilustre com pelo</p><p>menos dois exemplos.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>23</p><p>5. O que entende pelo conceito “Conjunto das partes de um</p><p>Conjunto” ? Exemplifique.</p><p>6. Dê pelo menos quatro exemplos de Conjuntos</p><p>Complementares.</p><p>7. Quais são a propriedades de Inclusão de Conjuntos? Sustente a</p><p>sua resposta com três exemplos para cada propriedade.</p><p>8. Construa dois Conjuntos que se interseptam e represente-os</p><p>em Diagrama de Venn.</p><p>9. Mencione os conjuntos numéricos em ordem lógica do seu</p><p>surgimento ou de arrumação.</p><p>Respostas:</p><p>1. Revisitar a página 11. 2.</p><p>Revisitar a página 13. 3.</p><p>Revisitar a página 13. 4.</p><p>Revisitar a página 15.</p><p>5. Revisitar a página 15.</p><p>6. Revisitar as páginas 15 e 16.</p><p>7. Revisitar a página 16.</p><p>8. Revisitar as páginas de 16 a 18.</p><p>9. Revisitar a página 18.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>24</p><p>Exercícios de AUTO-AVALIAÇÃO</p><p>GRUPO-2 (Com respostas sem detalhes)</p><p>Neste grupo de exercicios vamos aprender um pouco a respeito de conjuntos,</p><p>suas notações matemáticas e por fim vamos trazer alguns exercícios resolvidos</p><p>passo a passo para o seu melhor entendimento e fixação do assunto, então mão</p><p>a obra!</p><p>A notação padrão para representação de um conjunto é dado pelos seus</p><p>elementos separados por virgulas cuja delimitação e feito através do uso de</p><p>chaves, abaixo temos o exemplo de um conjunto A, que é composto somente</p><p>por números pares.</p><p>A = {2, 4, 6, 8}</p><p>Pertinência/Pertença: É a relação utilizada para relacionar determinado</p><p>elemento ao conjunto em questão.</p><p>Símbolos utilizados para representar essa relação:</p><p>→ Pertence ;</p><p>→ Não pertence;</p><p>Por exemplo:</p><p>2 A e 7 A</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>25</p><p>Acontece quando um conjunto possui somente um elemento, exemplo: B = {1}</p><p>É o tipo de conjunto que não possui nenhum elemento, sua representação</p><p>pode se dar das seguintes formas: {} ou</p><p>Importante lembrar: Que todo conjunto possui como subconjunto o conjunto</p><p>vazio.</p><p>Dizemos que A é um subconjunto de B quando todos os elementos existentes</p><p>em A também pertencerem ao conjunto B.</p><p>Ou seja A esta contido em B ou em outras palavras B contém A.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>26</p><p>Exemplo1:</p><p>A = {2, 4, 6, 8}</p><p>B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}</p><p>Assim tempos a seguinte representação:</p><p>A B → A está condo B ou A é subconjunto de B B</p><p>A → B contém A</p><p>Além desses dois símbolos de relacionamentos, temos outros como:</p><p>→ Não contém;</p><p>→ Não está contido ou não é subconjunto de;</p><p>s</p><p>• União</p><p>A B → A União B, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem</p><p>ao menos a um dos conjuntos, podendo ser definida por {x, x A ou x B}</p><p>Exemplo 2: Qual o resultado de A B, tendo como conjunto A = {2, 4, 6} e</p><p>B = {1, 2, 3, 4, 5}</p><p>A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>27</p><p>• Interseção</p><p>Diferentemente do que acontece na união, onde o conjunto é formado pelos</p><p>elementos pertencentes ao menos a um dos conjuntos, na interseção o</p><p>conjunto A ∩ B é composto por elementos que pertencem tanto ao conjunto</p><p>A e B., podendo ser definida por {x, x A e x B}.</p><p>Exemplo 3: Qual o resultado de A ∩ B, sendo A = {2, 4, 6} e B = {1, 2, 3, 4, 5}</p><p>A ∩ B = {2, 4}</p><p>• Diferença</p><p>A – B = {x, x A e x B}, ou seja, é a</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>28</p><p>diferença de dois conjuntos A e B formado pelos elementos existentes em A</p><p>que não estão em B.</p><p>Exemplo : Qual o resultado de A – B, sendo A = {2, 4, 6} e B = {1, 2, 3, 4, 5}</p><p>A – B = {6};</p><p>N: Conjunto dos números naturais, exemplo N={0, 1, 2, 3, …}</p><p>Z: Conjunto dos números inteiros, exemplo Z={…, -2, -1, 0, 1, 2,…}</p><p>R; Conjunto dos números reais, exemplo R={-∞ , +∞}</p><p>Poblemas Resolvidos</p><p>• Problema 1 - Em uma classe de 150 alunos, 80 gostam de matemática, e 30 de</p><p>física, sabendo que 10 gostam de física e matemática, quanto não gostam nem</p><p>de física e nem de matemática?</p><p>Solução: Neste tipo de exercício, a resolução fica mais fácil e rápida utilizando</p><p>o diagrama de Veen, que são representados por círculos conforme exemplos</p><p>anteriores, mas antes vale a pena descrever e encontrar algumas informações</p><p>que o exercício nos fornece que é:</p><p>Total de alunos = 150</p><p>Gostam de matematica = 80</p><p>Gostam de física = 30</p><p>Gostam de física e matemática = 10 Assim</p><p>temos:</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>29</p><p>Como vemos no diagrama acima, fica mais fácil de entender, ou seja, desta sala</p><p>70 gostam somente de matemática, outros 20 somente de física e ainda outros</p><p>10 que gostam de ambas, realizando a soma desses três conjuntos de alunos</p><p>temos o seguinte: 70+20+10 = 100</p><p>Ou seja, desse 150 alunos 100 gostam de física, de matemática ou de ambas as</p><p>disciplinas, agora fazendo a seguinte conta 150 – 100, concluímos que 50 alunos</p><p>não gostam</p><p>nem de física nem de matemática.</p><p>Desta forma o total de alunos que não gostam nem de física e nem de</p><p>matemática, é 50 !</p><p>• Problema 2 - Qual o resultado de (A-B) ∩ C , sendo A = {2, 4, 6}, B = {1, 2, 3, 4,</p><p>5} e C = {2, 5, 6, 7, 10}</p><p>Solução: Esse problema pode ser solucionado também utilizando o diagrama</p><p>de Venn como feito no anterior, mas favos fazer de forma direta, para você</p><p>pode entender.</p><p>Primeiro passo: (A-B)</p><p>Como vimos anteriormente na definição para diferença, que o resultado de A-B</p><p>é a diferença de dois conjuntos A e B formado pelos elementos existentes em</p><p>A que não estão em B.</p><p>Assim A – B = {6}</p><p>Segundo passo: Como já sabemos que o resultado de A-B é {6}, agora realizamos</p><p>a segundo operação que é {6} ∩ C.</p><p>Lembrando que na interseção o conjunto A ∩ B é composto por elementos que</p><p>pertencem tanto ao conjunto A e B, e como temos {6} ∩ {2, 5, 6, 7, 10} a</p><p>resposta para o nosso exercício é conjunto unitário, ou seja, {6}.</p><p>É isso amigos e amigas, espero que tenham gostado e principalmente entendido,</p><p>e como sempre digo e comento, o importante agora é praticar, aproveite e tente</p><p>resolver sozinho esse último exemplo aplicando o diagrama de Venn. Bons</p><p>estudos a todos</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>30</p><p>GRUPO-3 (Exercícios de GABARITO)</p><p>Problemas NÃO Resolvidos</p><p>1.Qual o resultado de A B, tendo como conjuntos A = {1, 3, 4, 6} e B = {1, 2, 3,</p><p>4, 5, 6, 7, 9}</p><p>2.Seja uma Interseção de Cnjuntos.</p><p>Qual o resultado de A ∩ B, sendo A = {1, 3, 4, 6, 7} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 8}.</p><p>Represente em diagram de Vdenn.</p><p>3.Considere a Diferença de Conjuntos</p><p>4.Qual o resultado de A – B, sendo A = {0, 1, 2, 4, 6, 7} e B = {1, 2, 3, 4, 5}</p><p>A – B = {6};</p><p>Conjuntos Numéricos</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>31</p><p>• Problema 1 - Numa sala de aulas com 150 alunos, dos quais 70 gostam de</p><p>matemática, e 40 de física, sabendo que 15 gostam de física e matemática,</p><p>quanto não gostam nem de física e nem de matemática? Ilistre num diagram</p><p>de Venn.</p><p>Problema 02 - Qual o resultado de (A-B) ∩ C , sendo A = {2, 4, , 5, 6, 8}, B = {0, 2,</p><p>3, 4, 5} e C = {0, 2, 3, 5, 6, 7}</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>32</p><p>UNIDADE Temática 1.2. Conjuntos Numéricos</p><p>Introução</p><p>A concepção do conjunto numérico pode ser compreendida a partir</p><p>da compreensão de um conjunto (revide a Unidade temática 1.1</p><p>anterior). Os conjuntos numéricos foram concebidos na medida em</p><p>que iam surgindo mudanças na matemática.</p><p>Para desenvolver a matemática hoje estudada, inúmeras mudanças</p><p>na organização de todos os conceitos matemáticos foram</p><p>necessárias. A concepção dos conjuntos numéricos recebeu maior</p><p>rigor em sua construção com Georg Cantor, que pesquisou a respeito</p><p>do número infinito. Cantor iniciou diversos estudos sobre os</p><p>conjuntos numéricos, constituindo, assim, a teoria dos conjuntos.</p><p>A construção de todos os conjuntos numéricos que hoje possuímos</p><p>parte de números inteiros usados apenas para contar até os números</p><p>complexos que possuem vasta aplicabilidade nas engenharias, nas</p><p>produções químicas, entre outras áreas.Definir conjunto é algo tão</p><p>primitivo que se torna uma tarefa difícil. Entretanto,</p><p>compreendemos conjunto como uma coleção de objetos, números,</p><p>enfim, elementos com características semelhantes.</p><p>Sendo assim, os conjuntos numéricos são compreendidos como os</p><p>conjuntos dos números que possuem características semelhantes.</p><p>Nesta seção, a concepção desses conjuntos será abordada, visando à</p><p>compreensão dos elementos que constituem cada um dos conjuntos</p><p>numéricos.</p><p>Nesta Unidade Temática analisaremos e debateremos os seguintes</p><p>conjuntos numéricos:</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>33</p><p>1. Conjunto dos números Naturais (</p><p>2. Conjunto dos números Inteiros (</p><p>3. Conjunto dos números Racionais ( );</p><p>4. Conjunto dos números Irracionais ( );</p><p>5. Conjunto dos números Reais (</p><p>6. Conjunto dos números Complexos ( );</p><p>Este último conjunto numérico possui uma secção especial para ele</p><p>(Números Complexos).</p><p>Ao completar esta unidade, você deverá ser capaz de:</p><p>▪ Definir e dar exemplos: de Conjuntos numéricos;</p><p>Objectivos</p><p>específicos</p><p>▪ Representar: Conjuntos numéricos;</p><p>▪ Explicar a breve resenha histórica: do números</p><p>Naturais;</p><p>▪ Consolidar e ter domínio: das propriedades das</p><p>Operações com números dos diferentes conjuntos;</p><p>▪ Ter domínio das Prioridades das Operações: nos</p><p>diferentes conjunto numéricos.</p><p>Conjuntos dos números</p><p>Os números naturais: o conjunto</p><p>) ;</p><p>) ;</p><p>) ;</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>34</p><p>= {1,2,3,4,5,6, ... , 19,20, ... , 1001, 1002, ... , 10000001, ... }</p><p>Notas elucidativas:</p><p>• Os números naturais surgiram da necessidade de contagem dos</p><p>elementos de um conjunto pelo homem primitivo e, neste sentido, o</p><p>zero ( 0 ) não seria um número natural.</p><p>• Por volta do ano 458 DC, o zero foi introduzido pelos hindus, para</p><p>representar a coluna vazia dos ábacos, daí sua denominação original</p><p>de sunya (vazio).</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>35</p><p>Ábaco - segundo o dicionário Melhoramentos - 7ª edição: calculador</p><p>manual para aritmética, formado de um quadro com vários fios</p><p>paralelos em que deslizam botões ou bolas móveis.</p><p>Veja a ilustração a seguir, obtida no Museo Pedagógico José Pedro</p><p>Varela - poeta e educador uruguaio 1845 - 1879. Caso você visite o</p><p>site acima, para retornar à esta página, clique em VOLTAR no seu</p><p>browser.</p><p>Nota: observe acima à direita, a linha vazia no ábaco, significando o</p><p>zero.</p><p>• no entanto, como o zero atende às propriedades básicas dos números</p><p>naturais, ele pode ser considerado um número natural, não obstante</p><p>a premissa contrária não conflitar a teoria. Assim, não deveremos</p><p>estranhar quando aparecer em provas de vestibulares o conjunto N</p><p>como sendo N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }, definindo-se um outro conjunto</p><p>sem o zero:</p><p>N* = N - {0} = {1,2,3,4, ... }. Como esta forma de abordagem é a mais</p><p>usual, consideraremos o zero como sendo um número natural, no que</p><p>se segue.</p><p>Ao agrupamento de elementos com características semelhantes</p><p>damos o nome de conjunto. Quando estes elementos são números,</p><p>tais conjuntos são denominados conjuntos numéricos.</p><p>ISCED – MANUAL DE MATEMÁTICA APLICADA</p><p>36</p><p>Neste tópico estudaremos os cinco conjuntos numéricos</p><p>fundamentais, que são os conjuntos numéricos mais amplamente</p><p>utilizados.</p><p>Conjunto dos Números Naturais</p><p>Em algum momento da sua vida você passou a se interessar por</p><p>contagens e quantidades. Talvez a primeira ocorrência desta</p><p>necessidade, tenha sido quando lá pelos seus dois ou três anos de</p><p>idade algum coleguinha foi lhe visitar e começou a mexer em seus</p><p>brinquedos. Provavelmente, neste momento mesmo sem saber, você</p><p>começou a se utilizar dos números naturais, afinal de contas era</p><p>necessário garantir que nenhum dos seus brinquedos mudasse de</p><p>proprietário e mesmo desconhecendo a existência dos números, você</p><p>já sentia a necessidade de um sistema de numeração.</p><p>Em uma situação como esta você precisa do mais básico dos conjuntos</p><p>numéricos, que é o conjunto dos números naturais. Com a utilização</p><p>deste conjunto você pode enumerar brinquedos ou simplesmente</p><p>registrar a sua quantidade, por exemplo.</p><p>Este conjunto é representado pela letra N ( ). Abaixo temos uma</p><p>representação do conjunto dos números naturais:</p><p>As chaves ou Chavetas são utilizadas na representação para dar ideia</p><p>de conjunto. Os pontos de reticência dão a ideia de infinidade, já que</p><p>os conjuntos numéricos são infinitos.</p><p>Este conjunto numérico inicia-se em zero e é infinito, no entanto</p><p>podemos ter a representação de apenas</p>