Livro Texto - Unidade I - Matematica para Economia

Prévia do material em texto

Autores: Prof. Celso Ribeiro Campos
 Profa. Deiby Santos Gouveia
 Profa. Patrícia Alves Rodrigues
Colaboradores: Prof. Maurício Manzalli
 Profa. Ana Carolina Bueno Borges 
Matemática para Economia
Professores conteudistas: Celso Ribeiro Campos / Deiby Santos Gouveia / 
Patrícia Alves Rodrigues
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
C198m Campos, Celso Ribeiro.
Matemática para economia / Celso Ribeiro Campos et al. – 
São Paulo: Editora Sol, 2019.
140 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XXV, n. 2-116/19, ISSN 1517-9230.
1. Equações. 2. Funções. 3. Porcentagem. I. Campos, Celso 
Ribeiro. II. Gouveia, Deiby Santos. III. Rodrigues, Patrícia Alves. 
IV. Título.
CDU 51
Celso Ribeiro Campos
É físico, engenheiro mecânico, mestre em Ensino de Matemática 
pela PUC-SP e doutor em Educação Matemática pela Unesp.
É professor de Matemática desde 1990, tendo passado por 
diversas instituições de Ensino Superior em São Paulo.
Atua na UNIP, desde 2007, na qual é professor e líder de 
diversas disciplinas na área de Matemática e Estatística, nas 
instituições de ensino FIEO, nas Faculdades Integradas Campos 
Salles e na PUC-SP, é membro do grupo de pesquisa em educação 
estatística da Unesp e é associado da Sociedade Brasileira de 
Educação Matemática (SBEM).
Também é autor do livro Matemática Financeira, lançado 
em 2010 pela editora LCTE, coautor do livro Educação Estatística: 
Teoria e Prática em Ambientes de Modelagem Matemática, 
lançado em 2011 pela editora Autêntica, e autor de diversos 
materiais didáticos na área de Matemática e Estatística para o 
segmento de Educação a Distância da (UNIP).
Deiby Santos Gouveia
É licenciada em Química (2000) e mestre em Química 
(2002) pela Universidade Federal da Paraíba. Atuou em 2003 
como técnica na área de Células a Combustível pelo Instituto de 
Pesquisas Energéticas e Nucleares (IPEN-USP). Em 2008, obteve 
o título de doutora em Engenharia de Materiais pelo mesmo 
instituto, na área de Biomateriais.
É professora desde 2006, tendo trabalhado em diversas 
instituições de ensino.
Na Universidade Paulista (UNIP), atua desde 2008 como 
professora em diversas disciplinas na área de Matemática, 
Estatística, e Tecnologia da Informação. Na EaD, ministra aula 
para os cursos de Economia e para o Pronatec. Além disso, é 
coordenadora auxiliar da Empresa Júnior (JUNIP).
Patrícia Alves Rodrigues
É licenciada em Matemática, mestre em Ciências 
da Computação pelo IME-USP e doutoranda em Ciências da 
Computação também pelo IME-USP.
É professora de Matemática e computação desde 2001, tendo 
trabalhado em diversas instituições de ensino em São Paulo.
Na UNIP, atua desde 2008 como professora e líder de diversas 
disciplinas na área de Matemática, Estatística e Tecnologia 
de Informação.
Além disso, atua também no desenvolvimento e na 
aplicação de cursos para aperfeiçoamento de professores de 
Matemática no IME-USP e faz parte do grupo de pesquisa 
do Laboratório de Ensino de Matemática da USP (LEM-USP), 
trabalhando no desenvolvimento de ferramentas matemáticas 
para EaD.
U503.25 – 19
Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Marcilia Brito
 Ana Fazzio
Sumário
Matemática para Economia
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................7
Unidade I
1 NÚMEROS REAIS ................................................................................................................................................9
1.1 Introdução ..................................................................................................................................................9
1.2 Conjunto, elemento e pertinência....................................................................................................9
1.2.1 Principais classificações ....................................................................................................................... 12
1.2.2 Operações ................................................................................................................................................... 13
1.3 Conjuntos numéricos, representações e operações ............................................................... 18
1.3.1 Conjunto dos números naturais ....................................................................................................... 18
1.3.2 Conjunto dos números inteiros ........................................................................................................ 18
1.3.3 Conjunto dos números racionais...................................................................................................... 19
1.3.4 Conjunto dos números irracionais ................................................................................................... 21
1.3.5 Conjunto dos números reais .............................................................................................................. 21
1.4 Arredondamento .................................................................................................................................. 22
1.5 Intervalos ................................................................................................................................................. 23
1.5.1 Operações com intervalos ................................................................................................................... 27
2 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS ........................................................................................................................... 28
2.1 Operações com frações ...................................................................................................................... 28
2.2 Operações com expressões numéricas......................................................................................... 31
2.3 Potenciação e radiciação ................................................................................................................... 32
2.4 Operações com expressões algébricas ......................................................................................... 34
2.5 Valor numérico de expressões algébricas ................................................................................... 35
2.6 Fatoração e simplificação ................................................................................................................. 36
3 EQUAÇÕES ......................................................................................................................................................... 37
3.1 Introdução ...............................................................................................................................................37
3.2 Equação do 1º grau ............................................................................................................................. 38
3.3 Equação do 2º grau ............................................................................................................................. 40
4 INEQUAÇÕES ..................................................................................................................................................... 42
4.1 Introdução ............................................................................................................................................... 42
4.2 Inequação do 1º grau ......................................................................................................................... 43
4.3 Inequação do 2º grau ......................................................................................................................... 45
Unidade II
5 FUNÇÕES ............................................................................................................................................................ 53
5.1 Conceitos introdutórios ..................................................................................................................... 53
5.1.1 Plano cartesiano ...................................................................................................................................... 53
5.1.2 Par ordenado ............................................................................................................................................ 54
5.1.3 Produto cartesiano (AxB) ..................................................................................................................... 55
5.1.4 Relações ...................................................................................................................................................... 58
5.1.5 Domínio e imagem ................................................................................................................................. 58
5.2 Conceitos elementares de função ................................................................................................. 59
5.2.1 Domínio e imagem: análise gráfica ................................................................................................. 62
5.3 Funções definidas por fórmulas matemáticas ......................................................................... 63
5.4 Função do 1º grau (função linear ou afim)................................................................................ 66
5.4.1 Ponto de intersecção de duas retas ................................................................................................ 73
5.5 Função do 2º grau (função quadrática) ...................................................................................... 75
5.5.1 Ponto de intersecção: reta e parábola ........................................................................................... 83
5.6 Equação exponencial .......................................................................................................................... 86
5.7 Função exponencial ............................................................................................................................. 89
5.7.1 Crescimento exponencial .................................................................................................................... 94
5.8 Logaritmos .............................................................................................................................................. 95
5.9 Função logarítmica .............................................................................................................................. 97
5.10 Outras funções ..................................................................................................................................100
5.10.1 Função polinomial..............................................................................................................................100
5.10.2 Função racional ...................................................................................................................................101
6 SISTEMA DE EQUAÇÕES..............................................................................................................................102
6.1 Introdução .............................................................................................................................................102
6.2 Identificando um sistema de equações .....................................................................................102
6.3 Classificação dos sistemas ..............................................................................................................103
6.4 Solução do sistema ............................................................................................................................105
6.4.1 Métodos de adição e subtração ......................................................................................................105
6.4.2 Regra de Cramer ...................................................................................................................................109
Unidade III
7 REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA ...............................................................................................121
7.1 Introdução .............................................................................................................................................121
7.2 Grandezas diretamente proporcionais.......................................................................................121
7.3 Grandezas inversamente proporcionais ....................................................................................122
7.4 Regra de três simples ........................................................................................................................123
7.5 Regra de três composta ...................................................................................................................124
8 PORCENTAGEM ..............................................................................................................................................126
8.1 Porcentagens ou taxas percentuais ............................................................................................126
8.2 Fator multiplicativo ...........................................................................................................................128
8.3 Taxa percentual de variação ..........................................................................................................130
8.4 Lucro sobre o preço de custo e sobre o preço de venda ....................................................131
7
APRESENTAÇÃO
Caro aluno,
Seja bem-vindo ao nosso curso. É grande a satisfação de recebê-lo na qualidade de aprendiz dessa 
disciplina que tanto nos intriga e nos desafia.
Preparamos este material para que você possa evoluir de forma consistente e progressiva ao longo 
dos principais conceitos básicos que norteiam o estudo da Matemática e sua aplicação em economia.
Os módulos apresentam os conteúdos de forma progressiva e estão repletos de exemplos dos 
tópicos conceituais. Além disso, apresentamos referências e indicações de leitura para que você possa 
compreender melhor e aprofundar os assuntos estudados.
De maneira genérica, podemos dizer que o objetivo dessa disciplina é possibilitar a você um sólido 
desenvolvimento dentro dos conceitos básicos da Matemática, de modo que seja possível entender e 
operar suas principais ferramentas.
Esperamos que você construa uma base de conhecimento que possibilite utilizar o conteúdo da 
disciplina como aliado em sua formação profissional.
INTRODUÇÃO
A Matemática é uma ciência de grande relevância na formação profissional do aluno das mais 
diversas carreiras.
Assim, nesta disciplina, procuraremos dar prioridade aosconteúdos que apresentam ferramentas 
essenciais para o entendimento dessa ciência, tendo em vista a aplicabilidade a ser trabalhada em 
outras disciplinas.
Dessa forma, objetivamos apresentar os conteúdos básicos de Matemática de forma gradual, 
ou seja, desde seus princípios mais rudimentares até uma álgebra mais elaborada, representada 
pelo estudo das funções.
No estudo das funções, particularmente, buscaremos aparelhá-lo com as ferramentas necessárias à 
modelização de problemas que envolvem a relação de dependência entre duas variáveis quantitativas.
Por outro lado, visamos ainda possibilitar o desenvolvimento de um modo de expressão mais crítico 
e criativo quando da aplicação das funções matemáticas, porcentagens e demais conteúdos aqui 
abordados na solução de problemas.
Acreditamos que o conhecimento matemático ilustrado neste trabalho auxiliará sobremaneira o 
futuro profissional a enfrentar os desafios típicos do exercício da profissão com a devida confiança 
e competência.
9
MATEMÁTICA PARA ECONOMIA
Unidade I
1 NÚMEROS REAIS
1.1 Introdução
A origem da Matemática se deu há milhares de anos, ou seja, desde que o homem sentiu a necessidade 
de fazer contagens. Ao longo de muitas civilizações, as representações numéricas e suas operações 
foram evoluindo e a notação que prevaleceu foi a dos algarismos hindu-arábicos.
Uma forma de organização dos números muito difundida foi a dos conjuntos, na qual existe certa 
hierarquia de classificação dos números.
Começaremos nossa disciplina com o estudo dos conjuntos de maneira genérica, para aplicarmos, 
em diversos contextos, essa noção de organização numérica, que é mais utilizada atualmente pelos 
estudiosos da Matemática.
Estudada desde os primeiros anos da Educação Básica, a teoria dos conjuntos é vista como um fator 
integrador de toda a Matemática, pois todos os assuntos dos quais ela trata acabam, de uma forma ou 
de outra, derivando da noção de conjunto.
1.2 Conjunto, elemento e pertinência
Três noções básicas são consideradas primitivas, isto é, são aceitas sem a necessidade de definição. 
São elas:
• conjunto;
• elemento;
• pertinência entre elemento e conjunto.
Embora não seja preciso fazer definição alguma sobre essas ideias, podemos indicar algumas de suas 
características:
• conjunto: sua noção matemática se assemelha ao significado comum da palavra, que indica 
coleção ou agrupamento. Alguns exemplos:
— conjunto das letras do alfabeto;
10
Unidade I
— conjunto dos planetas do Sistema Solar;
— conjunto dos meses do ano;
— conjunto dos algarismos romanos;
— conjunto dos números pares;
— conjunto dos números primos;
— conjunto das soluções da equação x² = 4.
• elemento: cada item que compõe um conjunto é chamado de elemento. Nos conjuntos citados 
anteriormente, temos os seguintes elementos:
— conjunto das letras do alfabeto: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z;
— conjunto dos planetas do Sistema Solar: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, 
Netuno;
— conjunto dos meses do ano: janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, agosto, setembro, 
outubro, novembro, dezembro;
— conjunto dos algarismos romanos: I, V, X, L, C, D, M;
— conjunto dos números pares: 0, 2, 4, 6, 8 etc.;
— conjunto dos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13 etc.;
— conjunto das soluções da equação x² = 4: -2, 2.
• pertinência entre elemento e conjunto: quando um elemento faz parte de um conjunto, afirmamos 
que ele pertence a esse conjunto. Por exemplo, o número 2 pertence ao conjunto dos números 
pares, mas o número 3 não pertence a esse conjunto.
Um conjunto pode ser formado por números, letras, nomes ou, até mesmo, por outros conjuntos, o 
que indica que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto.
Podemos pensar, por exemplo, no conjunto dos clubes de futebol que disputam a primeira divisão 
do Campeonato Brasileiro. Esse conjunto é formado por times de futebol, e cada time, por sua vez, é 
formado por um conjunto de jogadores.
Geralmente, um conjunto é indicado por letras maiúsculas (A, B, C etc.) e seus elementos são 
indicados por letras minúsculas (x, y, a, b, c etc.).
11
MATEMÁTICA PARA ECONOMIA
Um conjunto ainda pode ser indicado com seus elementos representados entre chaves ou por uma 
descrição. Exemplo:
A = conjunto dos números de um dado
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Quando um conjunto é infinito, representamos alguns de seus elementos e depois colocamos 
reticências. Exemplo:
B = conjunto dos números pares
B = {0, 2, 4, 6, ...}
Se um conjunto for finito, mas tiver uma quantidade muito grande de elementos, também podemos 
usar reticências, basta que indiquemos o último elemento do conjunto para representar sua finitude. 
Exemplo:
C = conjunto dos múltiplos de 3 menores que 100
C = {0, 3, 6, 9, ..., 99}
Em notação matemática, usa-se o símbolo ∈ para indicar que um elemento pertence a um conjunto 
e ∉ para indicar que um elemento não pertence a um conjunto. Por exemplo, sendo A o conjunto dos 
números pares e B o conjunto dos números ímpares, em notação de conjuntos, temos:
A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}
Para indicar que o 2 pertence ao conjunto dos números pares, escrevemos: 2 ∈ A. Para indicar que 
o 2 não pertence ao conjunto dos números ímpares, escrevemos: 2 ∉ B.
De um modo geral, se A é um conjunto e x é um elemento desse conjunto, podemos escrever: x ∈ A. 
Por outro lado, se x não é um elemento do conjunto A, escrevemos: x ∉ A.
Costuma-se usar um círculo para representar um conjunto e seus elementos. Esse tipo de notação 
se chama diagrama de Venn. Veja a seguir a representação dos conjuntos dos números pares (A) e dos 
números ímpares (B):
12
Unidade I
A B
0
2
6
4
8
...
1
3
7
5
9
...
Figura 1 – Diagrama de Venn
Também podemos designar um conjunto por meio de uma propriedade ou característica. Por exemplo: 
o conjunto dos estados da região Sudeste do Brasil pode ser representado pela seguinte notação: D = 
{x | x é um estado da região Sudeste do Brasil} (lê-se: conjunto dos elementos x, tal que x é um estado 
da região Sudeste do Brasil).
1.2.1 Principais classificações
Existem três classificações de conjuntos muito utilizadas no que diz respeito ao número de elementos. 
São elas:
Conjunto vazio: é aquele que não possui elemento algum e é indicado por ∅ ou { }.
Exemplo:
Seja M o conjunto dos meses do ano que começam com a letra P, assim:
M = ∅ ou M = { }
Já que nenhum mês do ano começa pela letra P, o conjunto M é vazio.
Vejamos outro exemplo:
C = {x | x > 4 e x < 3} = ∅
Essa notação indica que o conjunto C é composto pelos elementos maiores que 4 e, simultaneamente, 
menores que 3. Porém, como não existe nenhum número que satisfaça essa condição, o conjunto C é 
vazio.
Conjunto unitário: é aquele que possui um único elemento.
Exemplo:
Seja M o conjunto dos meses do ano que possuem exatamente quatro letras, assim:
13
MATEMÁTICA PARA ECONOMIA
M = {maio}
Como apenas o mês de maio satisfaz a condição apresentada, esse conjunto possui apenas um 
elemento e recebe a denominação de conjunto unitário.
Vejamos outro exemplo:
C = {x | x + 2 = 5} = {3}
Essa notação indica que o conjunto C é composto pelos elementos que, ao serem somados ao 
número 2, resultam em 5. Nesse caso especificamente, apenas o número 3 satisfaz a condição, assim, o 
conjunto C é composto apenas por um elemento e também recebe a denominação de conjunto unitário.
Conjunto universo: essa designação é usada geralmente quando se desenvolve um assunto em 
Matemática e se quer indicar todos os elementos utilizados no referido assunto. Esse conjunto é 
representado por U. Por exemplo: em um estudo sobre pesos de pessoas, o conjunto universo tem por 
elementos os números positivos, afinal, não faz sentido usar números negativos para representar pesos. 
Outro exemplo: em um estudo sobre os meses do ano, o conjunto universo terá como elementos os 12 
meses do ano.
1.2.2 Operações
Igualdade
Dizemosque dois conjuntos A e B são iguais quando todos os elementos de A são também elementos 
de B e vice-versa. Por exemplo: seja A o conjunto das vogais em ordem crescente, assim: A = {a, e, i, o, u}, 
e B o conjunto das vogais em ordem decrescente, assim: B = {u, o, i, e, a}.
Observe que todos os elementos do conjunto A são iguais aos do conjunto B, portanto, o conjunto 
A é igual ao conjunto B. Em notação: A = B.
Considere agora os seguintes conjuntos:
C = {x | x + 5 = 12}
D = {7}
O conjunto C é composto dos elementos que, somados ao número 5, resultam em 12. Nesse caso, 
apenas o número 7 satisfaz a condição. Como o conjunto C é composto apenas do elemento 7 e o 
conjunto D também, esses conjuntos são iguais. Logo, C = D.
Como consequência da definição de igualdade, temos A ≠ B (A diferente de B), se ao menos um 
elemento de A não pertence a B ou ao menos um elemento de B não pertence a A.
14
Unidade I
 Observação
Note que a ordem dos elementos do conjunto não é importante para 
a noção de igualdade. Outra observação que precisamos fazer é que os 
elementos na notação de conjuntos não devem ser repetidos.
Subconjunto
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A também for 
elemento de B. Para indicar a situação de subconjunto, escrevemos A ⊂ B. Por exemplo:
{a} ⊂ {a, b, c, d, e}
Essa ideia de inclusão também pode ser representada por meio do diagrama de Venn:
A
B
Figura 2 – Subconjunto
Outra notação que deriva da ideia de inclusão é B ⊂ A, que indica que o conjunto B contém o 
conjunto A.
Além disso, se o conjunto A não for subconjunto de B, podemos escrever A ⊄ B. Exemplo: {a, b, c} 
⊄ {a, e, i, o, u}.
Assim, usando a premissa de inclusão, podemos escrever a igualdade da seguinte forma: A = B ⇔ 
A ⊂ B e B ⊂ A.
 Lembrete
O símbolo ⇔ significa se, e somente se.
Sendo A, B e C três conjuntos genéricos, podemos observar quatro propriedades relativas ao conceito 
de inclusão:
15
MATEMÁTICA PARA ECONOMIA
• ∅ ⊂ A (o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto);
• A ⊂ A (todo conjunto é subconjunto de si mesmo);
• se A ⊂ B e B ⊂ C, A ⊂ C (propriedade transitiva);
• se A ⊂ B e B ⊂ A, A = B.
União ou reunião
Dados dois conjuntos A e B quaisquer, chama-se união de A com B o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos, a união é indicada assim:
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
Por exemplo:
A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8, 10} → A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}.
No diagrama de Venn, podemos indicar a união de seguinte forma:
B
2
4
8
6
10
A
1
2
4
3
A ∪ B
1
2
3 6
104
8
União de A com B
Figura 3 – União de conjuntos no diagrama de Venn
Intersecção
Dados dois conjuntos A e B quaisquer, chama-se intersecção de A com B o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem a A e a B. Em símbolos, a intersecção é indicada assim:
16
Unidade I
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
Por exemplo:
A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8, 10} → A ∩ B = {2, 4}.
No diagrama de Venn, podemos indicar a intersecção por meio da área sombreada:
8
6
10
A
1
2
43
B
Figura 4 – Intersecção de conjuntos no diagrama de Venn
 Observação
Quando a intersecção dos conjuntos é um conjunto vazio, 
denominamo-nos conjuntos disjuntos, ou seja, se A ∩ B = ∅, dizemos que 
os conjuntos A e B são disjuntos.
Diferença
Dados dois conjuntos A e B quaisquer, chama-se diferença entre o conjunto A e o conjunto B o 
conjunto de todos os elementos de A que não pertencem ao conjunto B. Em símbolos, a diferença 
entre conjuntos é indicada assim:
A − B = {x | x ∈ A e x ∉ B}
Por exemplo:
A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8, 10} → A − B = {1, 3}.
17
MATEMÁTICA PARA ECONOMIA
No diagrama de Venn, podemos indicar a diferença entre conjuntos por meio da área sombreada:
8
6
10
A
1
2
43
B
Figura 5 – Diferença de conjuntos no diagrama de Venn
Complementar
Dados dois conjuntos A e B quaisquer, se B é subconjunto de A, a diferença entre os conjuntos A e 
B é denominada complementar do subconjunto B. Em símbolos, a complementar de B em relação a A é 
indicada assim:
B ⊂ A → Bc = A - B = {x | x A e x ∉ B}
Por exemplo:
A = {2, 4, 6, 8, 10} e B = {2, 4} → A − B = {6, 8, 10}.
No diagrama de Venn, podemos indicar a complementar do subconjunto B por meio da área 
sombreada:
A
B
8
6
10
2
4
Figura 6 – O complementar do subconjunto B no diagrama de Venn
Adotando U para o conjunto universo e A e B como dois subconjuntos quaisquer de U, são válidas 
as seguintes propriedades:
• ∅c = U;
• Uc = ∅;
18
Unidade I
• A ∪ Ac = U;
• A ∩ Ac = ∅;
• (Ac)c = A;
• (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc;
• (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc.
1.3 Conjuntos numéricos, representações e operações
1.3.1 Conjunto dos números naturais
O conjunto dos números naturais é composto de todos os números inteiros não negativos. Ele é 
representado pela seguinte notação:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}
 Observação
Usa-se o asterisco (*) para indicar que o zero não pertence ao conjunto. 
Veja o exemplo: N* = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}.
1.3.2 Conjunto dos números inteiros
O conjunto dos números inteiros é composto de todos os números inteiros positivos e negativos e 
também pelo zero. Esse conjunto é representado pela seguinte notação:
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...} 
 Observação
O conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos 
números inteiros, já que todos os seus elementos também pertencem ao 
conjunto dos inteiros. Essa relação pode ser assim representada: N ⊂ Z.
19
MATEMÁTICA PARA ECONOMIA
Módulo de um número inteiro
O módulo de um número inteiro é a distância entre o 0 (zero) e o número x em unidades. Por 
exemplo, a distância do número 5 até o 0 (zero), em unidades, é 5, e a distância do número -5 até o 0 
(zero) também é 5.
Como o módulo mede a “distância” de um número até o zero, ele nunca assumirá valores negativos. 
Por essa razão, ao se extrair um número de um módulo, ele sempre será positivo.
A notação de módulo é dada por duas barras verticais, como demonstrado a seguir:
| 5 | = 5
| -5 | = 5
Observe que, para extrair um número do módulo, é só tirar as barras verticais e o sinal do número 
quando este for negativo.
1.3.3 Conjunto dos números racionais
O conjunto dos números racionais é composto de todos os números que podem ser escritos na forma 
de fração com denominador não nulo. Esse conjunto pode ser representado pela seguinte notação:
Q
a
b
a Z e b Z  




| * (lê-se: 
a
b
 tal que a pertence ao conjunto dos números inteiros e b 
pertence ao conjunto dos números inteiros não nulos).
Vejamos alguns exemplos:
2
5
1
3
5
3
0 5 1 2 0 333; ; ; , ; ; ; , ...− −
Note que todos os números inteiros podem ser escritos em forma de fração, já que todos eles são 
divisíveis pelo número 1 e podem ser escritos da seguinte forma:
x
1 , onde x ∈ Z
Alguns exemplos de números inteiros escritos em forma de fração podem ser verificados a seguir:
5
5
1
=
  2 2
1
20
Unidade I
12
12
1
=
Portanto, o conjunto dos números inteiros é um subconjunto do conjunto dos números racionais e 
pode ser representado pela notação: Z ⊂ Q.
Decimal finito
Todo número decimal finito, ou seja, que possui um número exato de algarismos após a vírgula, 
pertence ao conjunto dos números racionais, já que é possível que ele seja escrito em forma de fração.
Veja alguns exemplos:
0 5
1
2
, = 0 75
3
4
, = 0 1
1
10
, =   0 25
1
4
,
Decimal infinito periódico
Todo número decimal infinito periódico possui um número sequencial repetitivo e infinito de 
algarismos após a vírgula e pertence ao conjunto dos números racionais, já que é possível que ele seja 
escrito em forma de fração. Por exemplo:
1
3
0 33333 0 33= =, ... ,
5
3
16666 166= =, ... ,
 Observação
Note que usamos um traço sobre o valor que será repetido infinitamente 
no número decimal infinito periódico.
Para encontrar o valor decimal periódico de uma fração, bastadividir o numerador pelo denominador. 
Para obter o decimal da fração 1/3, por exemplo, basta dividir o número 1 pelo número 3, obtendo, como 
resultado, 0,33333...
 Lembrete
Um número decimal infinito periódico também é conhecido por 
dízima periódica. A fração que dá origem à dízima periódica, por sua vez, é 
denominada fração geratriz.
21
MATEMÁTICA PARA ECONOMIA
No entanto, escrever a fração de um valor expresso em decimal infinito periódico não é tão simples. 
Para isso, pode-se usar a seguinte estratégia:
1º passo: faça x = 0,33333...
2º passo: multiplique ambos os lados por 10
10x = 3,33333...
3º passo: subtraia
10x = 3,33333...
− x = 0,33333...
 9x = 3
4º passo: Isole o x e obtenha a fração geratriz de 0,3333...
x = =3
9
1
3
1.3.4 Conjunto dos números irracionais
O conjunto dos números irracionais é composto de todos os números que não possuem representação 
na forma de fração, ou seja, são números que, na forma decimal, não são periódicos e não têm um 
número finito de casas. É comum representar o conjunto dos números irracionais pelo símbolo I.
Vejamos alguns exemplos:
0,123456...
14,01020304...
π = 3,14 ...
2 14142135
3 17320508
=
=
, ...
, ...
1.3.5 Conjunto dos números reais
O conjunto dos números reais é formado pela união dos números racionais e irracionais, ou seja, 
Q ∪ I = R. O mais comum é representar os números reais pela reta geométrica dos reais, formada por 
todos os números reais nela inseridos uma única vez e em ordem crescente:
22
Unidade I
Exemplo da representação geométrica de R:
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
0,5 π
R
− 3
4 2
Figura 7 – Reta dos números reais
R
Q
Z
N
I
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Figura 8 – Representação do conjunto dos números reais no diagrama de Venn
1.4 Arredondamento
A aplicação da regra de arredondamento nos números se mostra particularmente útil quando estes 
possuem infinitos algarismos. Para isso, basta aplicar a seguinte regra: verifique se o algarismo que se 
encontra imediatamente à direita do algarismo da ordem que se deseja arredondar é maior ou igual a 5. 
Se for, incremente-o em 1, caso contrário, mantenha-o. A seguir, alguns exemplos
Ao arredondar o número 12,6378 para duas casas decimais, obtemos 12,64. Acompanhe:
12,6378
Ao arredondar o número para duas casas decimais, iremos “cortá-lo” no segundo algarismo após a 
vírgula, sendo o número 3 o algarismo da ordem.
12,6378
O número que vem imediatamente após o 3 é o 7, que é maior do que 5, assim, o número 3 deve ser 
incrementado em 1.
12,64
23
MATEMÁTICA PARA ECONOMIA
Assim, substitua o número 3 por 4 e teremos que o número 12,6378 foi arredondado para duas casas 
decimais, ficando 12,64.
Se o número fosse 12,6328, veja como ficaria:
12,6328
O número que vem imediatamente após o 3 é o 2, que é menor do que 5, assim, o número 3 deve 
ser mantido.
12,6328
Ao arredondar o número para duas casas decimais, iremos “cortá-lo” no segundo algarismo após a 
vírgula, sendo o número 3 o algarismo da ordem.
12,63
Desse modo, o número 12,6328 foi arredondado para duas casas decimais, ficando 12,63.
1.5 Intervalos
Intervalos são subconjuntos do conjunto dos números reais. Eles podem ser expressos diretamente 
na reta dos reais ou pelos delimitadores [ ].
Dados dois números reais a e b, com a < b, tem-se as seguintes notações de intervalos:
Intervalo aberto
Quadro 1 
Representado na reta dos reais Representado pelos delimitadores
a b R ]a,b[={x ∈ R | a < x < b}
 Observação
A bolinha aberta indica que os extremos a e b não pertencem ao 
intervalo.
24
Unidade I
Por exemplo:
3 5 R
]3,5[={x ∈ R | 3 < x < 5}
Figura 9 
O intervalo ilustrado anteriormente representa todos os números maiores que 3 e menores que 5, ou 
seja, todos os números entre 3 e 5.
Intervalo fechado
Quadro 2 
Representado na reta dos reais Representado pelos delimitadores
a b R ]a,b[={x ∈ R | a < x < b}
 Observação
A bolinha fechada indica que os extremos a e b pertencem ao intervalo.
Por exemplo:
[3,5]={x ∈ R | 3 < x < 5}
3 5 R
Figura 10
O intervalo ilustrado representa todos os números maiores ou iguais a 3 e menores ou iguais a 5, ou 
seja, todos os números entre 3 e 5 incluindo o 3 e o 5.
Intervalo aberto à direita
Quadro 3
Representado na reta dos reais Representado pelos delimitadores
a b R [a,b[={x ∈ R | a < x < b}
25
MATEMÁTICA PARA ECONOMIA
Por exemplo:
[3,5[={x ∈ R | 3 < x < 5}
3 5 R
Figura 11
O intervalo ilustrado na imagem anterior representa todos os números maiores ou iguais a 3 e 
menores que 5, ou seja, todos os números entre 3 e 5 incluindo o 3.
Intervalo aberto à esquerda
Quadro 4 
Representado na reta dos reais Representado pelos delimitadores
a b R ]a,b]={x ∈ R | a < x < b}
Exemplo:
]3,5]={x ∈ R | 3 < x < 5}
3 5 R
Figura 12
O intervalo ilustrado na figura 12 representa todos os números maiores que 3 e menores ou iguais a 
5, ou seja, todos os números entre 3 e 5 incluindo o 5.
Intervalos infinitos
Quadro 5 
Representado na reta dos reais Representado pelos delimitadores
b R ]-∞,b]={x ∈ R | x < b}
b R ]-∞,b[={x ∈ R | x < b}
a R [a, ∞[={x ∈ R | x > a}
]a, ∞[={x ∈ R | x > a}
26
Unidade I
 Observação
O símbolo ∞ representa o infinito positivo e o - ∞ representa o 
infinito negativo.
Observe mais alguns exemplos:
]–∞,5]={x ∈ R | x < 5}
5 R
Figura 13
O intervalo ilustrado anteriormente representa todos os números menores ou iguais a 5.
]–∞,5[={x ∈ R | x < 5}
5 R
Figura 14
O intervalo ilustrado anteriormente representa todos os números menores que 5.
[3, ∞[={x ∈ R | x > 3}
3 R
Figura 15
O intervalo ilustrado anteriormente representa todos os números maiores ou iguais a 3.
]3, ∞[={x ∈ R | x > 3}
3 R
Figura 16
O intervalo ilustrado anteriormente representa todos os números maiores que 3.
27
MATEMÁTICA PARA ECONOMIA
1.5.1 Operações com intervalos
Seja A e B os seguintes intervalos numéricos:
A={x ∈ R | –1 < x < 1}=]–1,1[
–1 R1
B={x ∈ R | 0 < x < 5}=[0,5[
0 R5
Figura 17
A configuração da união desses intervalos seria representada por:
–1 1
A ∪ B={x ∈ R | –1< x < 5}=]–1,5[
0 5
A
–1 5
B
A ∪ B
Figura 18
A seguir, a representação da intersecção dos intervalos A e B:
–1 1
A ∩ B={x ∈ R | 0 < x < 1}=[0,1[
0 5
A
B
A ∩ B
0 1
Figura 19
28
Unidade I
A diferença entre os intervalos em questão ficaria conforme ilustram as imagens a seguir:
–1 1
A – B={x ∈ R | –1 < x < 0}=]–1,0[
0 5
A
B
A – B
0–1
Figura 20
–1 1
B – A={x ∈ R | 1 < x < 5}=[1,5[
0 5
A
B
B – A
51
Figura 21
 Saiba mais
Você encontrará curiosidades e informações interessantes sobre os 
números em:
BELLOS, A. Alex no país dos números: uma viagem ao mundo maravilhoso 
da matemática. São Paulo: Companhia das Letras, 2011.
2 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
2.1 Operações com frações
Adição ou subtrações de frações
Nas adições ou subtrações de frações de mesmo denominador, mantém-se o denominador e 
efetua-se o cálculo apenas dos valores do numerador. Observe os exemplos a seguir:
29
MATEMÁTICA PARA ECONOMIA
4
5
2
5
4 2
5
6
5
   
4
5
2
5
4 2
5
2
5
   
8
5
2
5
3
5
8 2 3
5
9
5
     
Porém, em adições ou subtrações de frações de denominadores diferentes, uma forma rápida de 
realizar o cálculo é aplicar a seguinte regra:
a
b
c
d
ad c b
b d
  . .
.
Vejamos alguns exemplos:
2
5
4
3
2 3 4 5
5 3
6 20
15
26
15
     . .
.
2
5
4
3
2 3 4 5
5 3
6 20
15
14
15
     . .
.
Outra técnica para efetuar essas somas e subtrações de frações de denominadores diferentes é por 
meio do Mínimo Múltiplo Comum (MMC). Por exemplo, para calcular:
2
10
4
6
3
2
 
1º passo: calcular o MMC dos denominadores:
10,6,2 2
5,3,1 3
5,1,1 5
Ao multiplicar os divisores entre si, obtemos o MMC (10, 6, 2) = 2.3.5 = 30
30
Unidade I
2º passo: reescrever a fração alocando no denominador o MMC encontrado:
[( ). ] [( ). [( ). ]
( . ) ( . ) ( . )
30 10 2 30 6 4 30 2 3
30
3 2 5 4 15 3
30
6
� � � � �
�
�
� �
�
�� �
�
� �
�
20 45
30
14 45
30
31
30
Portanto, 
2
10
4
63
2
31
30
� � �
Multiplicação de frações
Para multiplicar frações, multiplique o numerador pelo outro numerador e o denominador pelo 
outro denominador, como exemplificado a seguir:
a
b
c
d
ac
b d
.
.
.
=
2
5
4
3
2 4
5 3
8
15
.
.
.
= =
2
5
4
3
1
2
2 4 1
5 3 2
8
30
4
15












     . . .
. .
A regra dos sinais para multiplicação é:
• (+ 1) x (+ 1) = + 1
• (+ 1) x (– 1) = – 1
• (– 1) x (+ 1) = – 1
• (– 1) x (– 1) = + 1
 Observação
Sempre que possível, expresse as frações de forma irredutível, ou seja, 
de tal modo que o denominador e o numerador não tenham divisores 
comuns. Veja o exemplo:
2
10
1
5
=
31
MATEMÁTICA PARA ECONOMIA
Divisão de frações
O processo de divisão de frações é simples. Para realizá-lo, é preciso apenas multiplicar o numerador 
pelo inverso do denominador, como demonstrado a seguir:
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
d
c
   
2
5
4
3
2
5
4
3
2
5
3
4
6
20
    
1
5
2
3
1
5
2
3
1
5
3
4
3
10
� ��
��
�
��
�
��
��
�
��
� � ��
��
�
��
� �
 Lembrete
A regra dos sinais para a divisão é idêntica à da multiplicação, pois uma 
operação é a inversa da outra.
2.2 Operações com expressões numéricas
Nos cálculos de expressões numéricas, é necessário obedecer a seguinte ordem e prioridade:
Ordem
1º Potenciação ou radiciação
2º Multiplicação ou divisão
3º Adição ou subtração
Prioridade
1º Parênteses ( )
32
Unidade I
2º Colchetes [ ]
3º Chaves { }
Veja alguns exemplos:
Exemplo 1
14 + 6 ÷ 2 = 14 + 3 = 17
Exemplo 2
(14 + 6) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10
Exemplo 3
3 × 2 – 15 ÷ 3 = 6 – 5 = 1
Exemplo 4
3 × (2 – 15) ÷ 3 = 3 × –13 ÷ 3 = –39 ÷ 3 = –13
Ao compararmos o exemplo 1 com o 2, e o 3 com o 4, observamos que, apesar das expressões serem 
muito semelhantes, os resultados são diferentes. Isso se dá pela prioridade dos parênteses, presentes nos 
exemplos 2 e 4.
Exemplo 5
[30 ÷ 5 – (12 ÷ 3)] × (3 × 2 – 15 ÷ 3 ) + (14 + 6) ÷ 2 =
[30 ÷ 5 – 4 ] × ( 6 – 5 ) + ( 20 ) ÷ 2 =
[ 6 – 4 ] × ( 1 ) + 20 ÷ 2 =
[ 2 ] × ( 1 ) + 10 = 2 + 10 = 12
2.3 Potenciação e radiciação
A potenciação representa a multiplicação de um número por ele mesmo diversas vezes, como 
mostra o esquema a seguir:
a a a a a an
n vezes
   ...� �� ��
33
MATEMÁTICA PARA ECONOMIA
Onde: a é um número real e n é um número inteiro positivo. O a é a base e o n é o expoente da 
potência. Exemplos:
23 = 2.2.2 = 8
52 = 5.5 = 25
(− 3)2 = (−3).(−3) = 9
− 32 = − 3.3 = − 9
Propriedades da potenciação
Adotando a como um número real e m e n como números inteiros positivos, as seguintes propriedades 
de potenciação são validadas:
• a0=1
• a1=a
• a–n= 1
an
, a ≠ 0
• 
a
b
b
a
a e b
n n



 





, 0
• an . am = an+m
• 
a
a
a a
n
m
n m  , 0
• (am)n = amn
•
 
a
b
a
b
b
n n
n




 , 0
Observe mais alguns exemplos:
2 . 2 = 2 = 22 3 (2+3) 5
8
2
2
2
2
2
2 2
1
3
3
3
3
5
3
3 5
3
15
3
15 3 12
5
0
5
0 5

 
  
 

  3 5
34
Unidade I
A operação oposta à potenciação é a radiciação, expressa pela seguinte relação:
a b b an n  
E que: a e b são números reais e n é um número inteiro positivo. Além disso, n é o índice, a é o 
radicando, b é a raiz e é o radical.
Propriedades da radiciação
• a ann =
• ab a bn n n. .=
• a amn n m= .
• a amn
m
n=
• a
b
a
b
bn
n
n
 , 0
 Observação
Quando o índice da raiz for 2, não precisamos escrevê-lo, ele fica 
subentendido, como no exemplo: 5 52 = .
Observe:
25 5=
8 2 2 2 2 2 2 232 22 22 2= = = =. . .
5
1
5
1
5
1
5
33
3
3
3
33
   
2.4 Operações com expressões algébricas
As expressões algébricas são operações matemáticas compostas de números e/ou letras e 
classificadas por:
Monômio: expressão algébrica composta de apenas um termo. Exemplos:
35
MATEMÁTICA PARA ECONOMIA
100
5x
-43ab3
Binômio: expressão algébrica composta de dois monômios. Exemplos:
100 + 5x
5x − 43ab3
x + 2
Trinômio: expressão algébrica composta de três monômios. Exemplos:
100 + 5x − 43ab3
2x2 + x + 2
-a3 + bc + ab2
Polinômio: expressão algébrica composta de mais de três monômios. Exemplos:
2x2 + x + 2 - y
b − a3 + bc + ab2 + 3ac – 5b
Adição e subtração
A adição e a subtração de expressões algébricas só são possíveis a partir da soma ou da subtração de 
monômios que possuem exatamente a mesma parte literal, como ilustrado a seguir:
3x + 4y – 2y + 5x – 2 = 8x + 2y – 2
(2xy + 4x) – (xy + x ) = 2xy + 4x – xy – x = xy + 3x
Multiplicação e divisão
Na multiplicação e na divisão de expressões algébricas, utilizam-se principalmente as propriedades 
de potenciação. Exemplos:
(2x2y).(5xz) = 10x3yz
(2xy + 4x).(xy + x) = 2x2y2 + 2x2y + 4x2y + 4x2
2.5 Valor numérico de expressões algébricas
Para calcular o valor numérico de uma expressão algébrica, é preciso substituir a parte literal por 
valores numéricos. Por exemplo, para calcular o valor da expressão algébrica 2x2 + x + 2 para x = 2, basta 
substituir o x por 2:
2.22 + 2 + 2 = 8 + 2 + 2 = 12
36
Unidade I
Para x = -1, faça:
2.(-1)2 + (-1) + 2 = 2.1 - 1 + 2 = 2 -1 + 2 = 3
2.6 Fatoração e simplificação
Fatorar uma expressão é apresentá-la na forma de uma multiplicação. Veja exemplos de 
expressões fatoradas:
2x
- x2y
a3(3+b2)
(2xy + 4x).(xy + x)
A fatoração é muito utilizada no processo de simplificação de expressões algébricas, como apresentado 
a seguir:
x x
x
x x
x
x2 4
2
4
2
4
2
 
   
Para facilitar o processo de simplificação, os produtos notáveis também são muito utilizados. Os 
principais produtos notáveis estão apresentados a seguir:
•
•
a b a b a b a ab ba b a ab b
a b a b a
              
    
2 2 2 2 2
2
2
         
         
b a ab ba b a ab b
a b a b a b a ab b
2 2 2 2
3 2 2 2
2
2•        
          
a b a a b ab b
a b a b a b a ab b a
3 2 2 3
3 2 2 2
3 3
2•      
          
b a a b ab b
a b a b a ab ba b a b
3 2 2 3
2 2 2 2
3 3
•
A seguir, um exemplo de uma simplificação usando produtos notáveis:
x
x
x x
x
x
2 9
3
3 3
3
3



   

 
37
MATEMÁTICA PARA ECONOMIA
 Saiba mais
Para aprofundar seus conhecimentos a respeito de aplicações 
matemáticas, leia: 
BONORA JUNIOR., D.; ALVES, J. B. Matemática: complementos e 
aplicações nas áreas de ciências contábeis, administração e economia. São 
Paulo: Ícone, 2000.
3 EQUAÇÕES
3.1 Introdução
A finalidade de uma equação é encontrar o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira.
Acompanhe o exemplo a seguir:
João tem R$ 10,00 e quer gastar seu dinheiro comprando trufas de chocolate. Se cada trufa custa 
R$ 2,50, quantas trufas João pode comprar com seu dinheiro?
Para a resolução, adote x para representar a quantidade de trufas que João pode comprar com 
R$ 10,00, assim, x será a incógnita do problema.
Agora, estruturemos a equação do problema:
2,5x = 10
Nessa igualdade, está implícita a seguinte pergunta: qual é o valor de x que, ao ser multiplicado por 
2,5, resulta em 10?
Para responder a essa pergunta, é necessário resolver a equação, ou seja:
2,5x = 10
x = =10
2 5
4
,
Portanto, João pode comprar quatro trufas de chocolate com seus R$ 10,00.
Para conferir se os cálculos foram realizados corretamente, substitua o valor encontrado na equação 
inicial. Se a igualdade se mantiver, o cálculo está correto, caso contrário, está errado:
38
Unidade I
2,5.x = 10
2,5.4 = 10
10 = 10
 Observação
É comum o uso das letras x e y para representar as incógnitas nas 
equações, no entanto, podem ser utilizadas quaisquer letras do alfabeto, 
símbolos e até mesmo desenhos para esse fim.
As equações são nomeadas de acordo com o maior grau do expoente das incógnitas nelas presentes. 
Por exemplo:
2,5x = 10 é uma equação do 1º grau, pois o expoente do x é 1.
Vejamos outros exemplos:
x2 + 5x = 0 é uma equação do 2º grau, pois o maior expoente do x é 2.
- 2x + 3x2 = 5x + 1 é uma equação do 2º grau, pois o maior expoentedo x é 2.
y3 - y + 5y2 = 1 é uma equação do 3º grau, pois o maior expoente do y é 3.
3.2 Equação do 1º grau
A estrutura geral da equação do 1º grau é dada pela expressão ax + b = 0, sendo que a e b são 
números reais e a ≠ 0.
Para resolver equações do 1º grau, é preciso isolar a incógnita em um dos lados da equação e 
apresentar o resultado no conjunto solução (S). O valor da incógnita que torna a equação verdadeira é 
denominado raiz da equação.
Observe:
Exemplo 1
5x - 10 = 0
5x = 10
39
MATEMÁTICA PARA ECONOMIA
x = 10
5
x = 2
S = {2}
Assim, 2 é a raiz da equação do exemplo 1.
Exemplo 2
5
2
4 0x  
5
2
4x  
x   4 2
5
.
x   8
5
S  




8
5
Assim, − 8
5
 é a raiz da equação do exemplo 2.
Exemplo 3
2 1
2
2
3
x x  
3(2x – 1) = 2(x + 2)
6x – 3 = 2x + 4
6x►– 2x = 4 + 3
4x = 7
40
Unidade I
x = 7
4
S  




7
4
Assim, 
7
4
 é a raiz da equação do exemplo 3.
3.3 Equação do 2º grau
A estrutura geral da equação do 2º grau é dada pela expressão ax2 + bx + c = 0, sendo que a, b e c 
são números reais e a ≠ 0. A equação do 2º grau também é denominada equação quadrática. As letras 
a, b e c presentes na equação são chamadas de coeficientes da equação. O coeficiente a acompanha x2, 
b acompanha x e c é o termo independente.
O principal método utilizado para calcular equações do 2º grau é a fórmula de Bhaskara, expressa a 
seguir:
x
b
a
b ac     
2
42
O ∆, denominado discriminante, é uma fórmula importante que possibilita saber a quantidade de 
soluções possíveis para uma equação do 2º grau:
∆ = 0 indica que a equação admite duas raízes reais e iguais.
∆ > 0 indica que a equação admite duas raízes reais e diferentes.
∆ < 0 indica que a equação não admite raízes reais.
Veja alguns exemplos:
Exemplo 1
Encontremos as possíveis soluções (ou raízes) da equação quadrática x2 - 5x + 6 = 0:
1º passo: identificar os coeficientes
a = 1, b = -5, c = 6
41
MATEMÁTICA PARA ECONOMIA
2º passo: calcular ∆ = b2 - 4ac e analisar o resultado
∆ = (- 5)2 - 4 . 1 . 6 = 25 - 24 = 1
Como ∆ > 0, a equação admite duas raízes reais e diferentes.
3º passo: calcular as raízes
x
b
a
’
.
   
       
2
5 1
2 1
5 1
2
6
2
3
x
b
a
"
.
   
       
2
5 1
2 1
5 1
2
4
2
2
S = {2, 3}
Portanto, as raízes da equação são 2 e 3.
Exemplo 2
Encontremos as possíveis soluções (ou raízes) da equação quadrática x2 + 2x + 1 = 0:
1º passo: identificar os coeficientes
a = 1, b = 2, c = 1
2º passo: calcular ∆ = b2 - 4ac e analisar o resultado
∆ = 22 - 4 . 1 . 1 = 4 - 4 = 0
Como ∆ = 0, a equação admite duas raízes reais e iguais.
3º passo: calcular as raízes
x
b
a
’
.
            
2
2 0
2 1
2 0
2
2
2
1
x
b
a
"
.
            
2
2 0
2 1
2 0
2
2
2
1
S = {- 1}
42
Unidade I
Portanto, a raiz da equação é −1.
Exemplo 3
Encontremos as possíveis soluções (ou raízes) da equação quadrática x2 + 2x + 2 = 0:
1º passo: identificar os coeficientes
a = 1, b = 2, c = 2
2º passo: calcular ∆ = b2 - 4ac e analisar o resultado
∆ = 22 - 4 . 1 . 2 = 4 - 8 = - 4
Como ∆ < 0, a equação não admite raízes reais, logo, o conjunto solução é vazio: S = ∅.
4 INEQUAÇÕES
4.1 Introdução
As inequações são muito semelhantes às equações. A única diferença é que os resultados das 
inequações são intervalos de valores e, nas equações, os resultados são valores pontuais.
A finalidade de uma inequação é encontrar todos os valores da incógnita que tornam a desigualdade 
verdadeira.
Acompanhe o exemplo a seguir:
João tem R$ 10,00 e, considerando que cada trufa custa R$ 2,50, quer saber até quantas trufas de 
chocolate pode comprar com seu dinheiro.
Para a resolução, adote x para representar a quantidade de trufas que João pode comprar com seu 
dinheiro, ou seja, x será a incógnita do problema.
Agora, estruturemos a equação do problema:
2,5x ≤ 10
Nessa igualdade, está implícita a seguinte pergunta: quais são os valores de x que, ao serem 
multiplicados por 2,5, resultam em um valor menor ou igual a 10?
43
MATEMÁTICA PARA ECONOMIA
Para responder a essa pergunta, basta resolver a inequação:
2,5x < 10
x ≤ ≤10
2 5
4
,
Portanto, João pode comprar até quatro trufas de chocolate com seus 10 reais.
Assim como nas equações, as inequações são nomeadas de acordo com o maior grau do expoente 
das incógnitas presentes na expressão. Por exemplo:
2,5x ≤ 10 é uma inequação do 1º grau, pois o expoente do x é 1.
Verifique outros exemplos:
x2 + 5x > 0 é uma inequação do 2º grau, pois o maior expoente do x é 2.
- 2x + 3x2 ≥ 5x + 1 é uma inequação do 2º grau, pois o maior expoente do x é 2.
y3 - y + 5y2 ≤ 1 é uma inequação do 3º grau, pois o maior expoente do y é 3.
4.2 Inequação do 1º grau
A estrutura geral da inequação do 1º grau é dada pelas seguintes expressões:
• ax + b < 0
• ax + b ≤ 0
• ax + b > 0
• ax + b ≥ 0
Sendo que a e b são números reais e a ≠ 0.
Para resolver inequações do 1º grau, usa-se a mesma técnica de resolução das equações, com a 
manutenção do sinal da desigualdade. O resultado deve ser apresentado usando a notação de intervalos. 
Observe alguns exemplos:
Exemplo 1
5x – 10 < 0
5x < 10
44
Unidade I
x < 10
5
x < 2
S = {x ∈ R | x < 2} = ]– ∞ ,2[
R2
 Observação
Qualquer uma das notações é válida, ou seja, não é necessário que todas 
sejam apresentadas. Adote a que você julgar mais fácil e use-a.
Exemplo 2
5
2
4 0x  
5
2
4x  
x   4 2
5
.
x   8
5
S x x   




  



 | ,
8
5
8
5
R− 8
5
Exemplo 3
    2 1
2
2
3
x x
 
45
MATEMÁTICA PARA ECONOMIA
3(- 2x - 1) > 2(- x + 2)
- 6x - 3 > - 2x + 4
- 6x + 2x > 4 + 3 
- 4x > 7 
Preste atenção que, nessa passagem, é necessário 
multiplicar ambos os lados da inequação por (-1) e 
trocar o sentido do sinal.
(- 1)(- 4x) > (- 1)(7)
4x < - 7
x   7
4
S x x   




  



 | ,
7
4
7
4
R
− 7
4
4.3 Inequação do 2º grau
A estrutura geral da inequação do 2º grau é dada pelas seguintes expressões:
• ax2 + bx + c < 0;
• ax2 + bx + c ≤ 0;
• ax2 + bx + c > 0;
• ax2 + bx + c ≥ 0.
Nelas, a, b e c são números reais e a ≠ 0.
Para resolver inequações do 2º grau, usa-se a mesma técnica de resolução das equações e 
insere-se ao final o estudo do sinal da desigualdade. O resultado deve ser apresentado usando a 
notação de intervalos.
A seguir, apresentaremos um esquema para o estudo do sinal das inequações do 2º grau.
Adotando, ∆ = b2 – 4ac, x
b
a
’    
2
 e x
b
a
"    
2
, se ∆ > 0, o intervalo da solução segue a 
46
Unidade I
seguinte estrutura:
mesmo sinal do 
coeficiente a
sinal contrário ao 
do coeficiente a
mesmo sinal do 
coeficiente a
x’ x“
Figura 22
Se ∆ = 0, o intervalo da solução segue o seguinte esquema:
mesmo sinal do 
coeficiente a
mesmo sinal do 
coeficiente a
x’ = x“
Figura 23
Se ∆ < 0, o intervalo da solução segue o esquema:
mesmo sinal do 
coeficiente a
Figura 24
Para que os conceitos fiquem mais claros, observe a seleção de exemplos:
Exemplo 1
Encontremos os valores que tornam a inequação x2 - 5x + 6 > 0 verdadeira:
1º passo: identificar os coeficientes
a = 1, b = -5, c = 6
2º passo: calcular ∆ = b2 - 4ac e analisar o resultado
∆ = (-5)2 - 4 . 1 . 6 = 25 - 24 = 1
Como ∆ > 0, a inequação admite duas raízes reais e diferentes.
47
MATEMÁTICA PARA ECONOMIA
3º passo: calcular as raízes
x
b
a
x
b
a
’
( )
’’
( )
      

   
      

  


2
5 1
2 1
5 1
2
6
2
3
2
5 1
2 1
5 1
2
4
22
2
4º passo: fazer o estudo do sinal
Como ∆ > 0, o intervalo da solução segue o seguinte esquema:
mesmo sinal do 
coeficiente a
sinal contrário ao 
do coeficiente a
mesmo sinal do 
coeficiente a
x’ x“
Figura 25
Assim, após substituir as informações no esquema, temos:
+ - +
2 3
Figura 26
Como se deseja que na inequação os valores sejam maiores que zero (x2 - 5x + 6 > 0), o intervalo que 
torna a inequação verdadeira se configura sob o sinal positivo:
+ – +
2 3
Figura27
Logo, a solução da inequação x2 - 5x + 6 > 0 é o intervalo:
S x x ou x U      { | } ] , [ ] , [ 2 3 2 3
48
Unidade I
Exemplo 2
Encontremos os valores que tornam a inequação x2 + 2x + 1 < 0 verdadeira.
1º passo: identificar os coeficientes
a = 1, b = 2, c = 1
2º passo: calcular ∆ = b2 - 4ac e analisar o resultado
 ∆ = 22 - 4 . 1 . 1 = 4 - 4 = 0
Como ∆ = 0, a inequação admite duas raízes reais e iguais.
3º passo: calcular as raízes
x
b
a
x
b
a
’
’’
     

      
     

    


2
2 0
2 1
2 0
2
2
2
1
2
2 0
2 1
2 0
2
2
2
 1
4º passo: fazer o estudo do sinal
Como ∆ = 0, o intervalo da solução segue a estrutura:
mesmo sinal do 
coeficiente a
mesmo sinal do 
coeficiente a
x’ = x“
Figura 28
Após substituir as informações no esquema, temos:
+ +
–1
Figura 29
49
MATEMÁTICA PARA ECONOMIA
Como se deseja que na inequação os valores sejam menores que zero (x2 + 2x + 1 < 0), não há 
solução nos reais para essa inequação, pois, no estudo dos sinais, só existe o sinal positivo, portanto, o 
conjunto solução será vazio: S = ∅
Exemplo 3
Encontremos os valores que tornam a inequação x2 + 2x + 2 > 0 verdadeira:
1º passo: identificar os coeficientes
a = 1, b = 2, c = 2
2º passo: calcular ∆ = b2 - 4ac e analisar o resultado
Como ∆ < 0, a inequação não admite raízes reais.
∆ = 22 - 4 . 1 . 2 = 4 - 8 = -4
3º passo: fazer o estudo do sinal
Como ∆ < 0, o intervalo da solução segue a estrutura:
mesmo sinal do 
coeficiente a
Figura 30
Assim, após substituir as informações no esquema, temos:
+
Figura 31
Como se deseja que na inequação os valores sejam maiores que zero (x2 - 5x + 6 > 0), todos os 
valores da reta dos reais tornam essa inequação verdadeira, logo, o conjunto solução será o conjunto 
dos números reais: S = R.
50
Unidade I
 Resumo
Dentre os assuntos expostos nesta unidade, vale destacar os 
fundamentos elementares da Teoria dos Conjuntos, principalmente o 
conceito de conjunto. Assim, relembrando, conjunto indica coleção ou 
agrupamento no qual cada item que o compõe é chamado de elemento. 
Quando um elemento faz parte de um conjunto, dizemos que ele pertence 
a esse conjunto.
Um conjunto pode ser formado por números, letras, nomes ou até 
mesmo por outros conjuntos. Isso quer dizer que um conjunto pode ser 
elemento de outro.
Geralmente, um conjunto é indicado por letras maiúsculas e seus 
elementos são indicados por letras minúsculas.
Vimos que um importante grupo de conjuntos são os conjuntos 
numéricos: o conjunto dos números naturais é composto de todos os 
números inteiros não negativos; o conjunto dos números inteiros é 
composto de todos os números inteiros positivos, negativos e pelo zero; 
o conjunto dos números racionais é composto de todos os números que 
podem ser escritos na forma de fração, com denominador não nulo; o 
conjunto dos números irracionais é composto de todos os números que 
não possuem representação na forma de fração, ou seja, são números 
que, na forma decimal, não são periódicos e não têm um número finito de 
casas; e o conjunto dos números reais é formado pela união dos números 
racionais aos irracionais.
As equações e inequações foram outros dois tópicos abordados na 
unidade. Desse modo, aprendemos que a finalidade de uma equação 
é encontrar o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira. As 
equações são nomeadas de acordo com o maior grau do expoente das 
incógnitas presentes na equação.
Já as inequações são muito semelhantes às equações, a única 
diferença é que os resultados das inequações são intervalos de valores 
e, nas equações, os resultados são valores pontuais. A finalidade de 
uma inequação é encontrar todos os valores da incógnita que tornam 
a desigualdade verdadeira.
 Exercícios
51
MATEMÁTICA PARA ECONOMIA
Questão 1. (Enade 2011) Considerando a, b e c pertencentes ao conjunto dos números naturais e 
representando por a/b a relação “a divide b”, analise as afirmativas a seguir:
I – Se a/(b + c), então a/b ou a/c.
II – Se a/bc e mdc(a, b) = 1, então a/c.
III – Se a não é primo e a/bc, então a/b ou a/c.
IV – Se a/b e mdc(b, c) = 1, então mdc(a, c) = 1.
É correto apenas o que se afirma em:
A) I.
B) II.
C) I e III.
D) II e IV.
E) III e IV.
Resposta correta: alternativa D.
Análise da afirmativas
I – Afirmativa incorreta.
Justificativa: se a = 2, b = 5 e c = 7, teremos que 2 divide (5 + 7), 2 não divide 5 e 2 não divide 7. Em 
outros termos, a divide (b + c), mas a não divide b e a não divide c.
II – Afirmativa correta.
Justificativa: se fizermos o mdc (a, b) = 1, significa que a e b não possuem fatores primos em comum 
porque são primos entre si e, por isso, a não divide b. Logo, como a divide bc e a não divide b, então a 
tem que dividir c.
III – Afirmativa incorreta.
Justificativa: se a = 8 (não primo), b = 4 e c = 10, então, a divide b.c, porque b.c = 40 e 8 divide 40, 
52
Unidade I
mas a não divide b (8 não divide 4) e a não divide c (8 não divide 10).
IV – Afirmativa correta.
Justificativa: se a divide b, significa que todos os fatores primos de a também estão em b. Mas, se 
mdc (b, c) = 1, é porque b e c não têm nenhum fator primo em comum, logo, nenhum comum em 
a e c. Assim, mdc (a, c) = 1.
Questão 2. (Amazul, Cargo Engenheiro, 2015). Sobre o assunto expressões algébricas, analise as 
assertivas abaixo.
I – O resultado da expressão ( )
3
4 35 625xy . 5x é x y
6 216
 
  
II – A expressão algébrica 108x3y – 189x2y – 24x + 42 pode ser escrita na forma 3(9x2y – 2) . (4x – 7)
III – A forma simplificada da expressão 
24x 1 8
x 3
−
−
 é 4x – 6
É correto o que se afirma em:
A) I, apenas.
B) II, apenas.
C) I e II, apenas.
D) II e III, apenas.
E) I, II e III.
Resposta desta questão na plataforma.