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Distribuições 
de Probabilidades
1. ObjetivOs
•	 Entender	o	conceito	de	variável	aleatória.
•	 Visualizar	a	composição	de	uma	distribuição	de	probabi-
lidades.
•	 Compreender	e	 interpretar	a	 curva	normal	 como	distri-
buição	de	probabilidade.
2. COnteúdOs
•	 Variáveis	aleatórias.
•	 Distribuição	de	probabilidade.
•	 Distribuição	normal	padronizada.
© Estatística138
3. ORientAÇÕes pARA O estudO dA unidAde
Antes	de	 iniciar	o	estudo	desta	unidade,	é	 importante	que	
você	leia	as	orientações	a	seguir:
1)	 Sua	formação	é	essencial,	pois	ela	determinará	posturas	
e	 escolhas	 no	 desenvolvimento	 de	 sua	 prática.	 Invista	
em	você,	faça	da	pesquisa	e	da	interação	com	seus	cole-
gas	de	curso	e	com	seu	tutor	hábitos	que	poderão	ajudá-
-lo	a	ampliar	e	aprofundar	seus	conhecimentos.	
2)	 Reflita	sobre	alguns	conceitos	importantes	vistos	em	Es-
tatística	e	notação.	
3)	 As	 variáveis	 que	 geralmente	 estudamos	 em	 Estatística	
possuem	infinitos	resultados	e	alguns	não	são	enumerá-
veis.	Por	exemplo,	a	renda	de	um	indivíduo,	o	número	de	
insetos	em	uma	região,	entre	outros.	Assim,	a	aplicação	
das	probabilidades	similares	às	estudadas	na	Unidade	5	
fica	comprometida,	daí	a	importância	das	Distribuições	
de	Probabilidades,	que	serão	vistas	nesta	unidade.
4)	 Um	conceito	muito	importante	estudado	em	Estatística	e	
presente	no	estudo	das	Distribuições	de	Probabilidades	
é	a	simetria.	Sempre	que	temos	a	média	de	uma	variável	
igual	à	mediana	e	igual	à	moda,	temos	uma	variável	si-
métrica,	que	tem	como	principal	característica	apresen-
tar	menor	variação	do	que	uma	variável	não	simétrica.	
5)	 Em	 geral,	 adotamos	 letras	 do	 alfabeto	 grego	 para	 fa-
zer	referência	a	dados	populacionais	ou	probabilísticos.	
Nesta	unidade,	utilizaremos	a	letra	mu	(m )	para	repre-
sentar	a	média	da	distribuição	e	a	letra	sigma	(s )	para	
o	desvio	padrão.
4. intROduÇÃO à unidAde
Na	unidade	anterior,	estudamos	a	aplicação	e	os	conceitos	
básicos	 da	 probabilidade	 frequentista,	 que	 é	 fundamentada	 na	
contagem	de	eventos.	Assim,	suas	formulações	são	limitadas	para	
aqueles	casos	em	que	podemos	de	fato	contar	os	elementos.	Con-
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139© U6 - Distribuições de Probabilidades
tudo,	nas	variáveis	trabalhadas	aqui	na	Estatística,	essa	contagem	
é	problemática,	pois	em	alguns	casos	teremos	infinitos	resultados	
e	em	outros	a	variável	é	fracionária	impedindo	a	contagem.	Assim,	
trocamos	o	processo	de	cálculo	fundamentado	em	contagens	para	
um	processo	mais	amplo,	com	base	em	uma	distribuição	de	pro-
babilidades.	
Para	a	montagem	das	distribuições	de	probabilidade,	é	im-
portante	inicialmente	visualizar	o	que	é	uma	variável	aleatória.
O	estudo	das	probabilidades	 é	 importante	no	 contexto	da	
Estatística	 por	 causa	 das	 variáveis	 utilizadas	 serem	 resultado	de	
coletas	 de	 dados,	 pesquisas,	 investigações,	 gerando	 dados	 com	
erro	e,	com	isso,	possuírem	resultados	sempre	sujeitos	a	incerte-
zas,	que	 são	 caracterizadas	 como	variáveis	 aleatórias.	 Então,	 te-
mos	uma	chance	de	obtermos	resultados	representativos	ou	não,	
ou	seja,	existe	sempre	uma	probabilidade	de	o	erro	ser	suficiente	
para	prejudicar	a	análise,	e	devemos	conhecer	essa	probabilidade,	
ou	seja,	calculá-la.
Devemos	utilizar	uma	medida	de	probabilidade.	Ocorre	que	
a	variável	em	estudo	em	uma	amostra	não	tem	um	comportamen-
to	que	possibilite	uma	contagem	adequada,	conforme	definido	na	
unidade	anterior.
Nesse	sentido,	as	formulações	da	probabilidade	não	podem	
ser	aplicadas	de	imediato,	devem	ser	transformadas	em	uma	dis-
tribuição	de	probabilidades,	que	podem	ser	adaptadas	aos	proble-
mas	em	questão.
5. distRibuiÇÕes de pRObAbiLidAde
Uma	distribuição	de	 frequências	nada	mais	é	do	que	uma	
forma	 de	 se	 caracterizar	 o	 comportamento	 das	 probabilidades	
considerando-se	todos	os	possíveis	resultados	da	variável	aleató-
ria.
© Estatística140
O	mais	importante	para	nós	é	encontrarmos	as	propriedades	
regulares	de	uma	distribuição	de	probabilidades,	ou	seja,	suas	par-
ticularidades,	focando	nosso	interesse	maior	que	é	associá-las	aos	
dados	amostrais.	Retomemos	o	exemplo	do	lançamento	das	mo-
edas	e	vamos	construir	diversas	distribuições	de	probabilidades.	
Suponhamos	o	lançamento	de	uma	moeda	honesta	(não	viciada)	n	
vezes.	Para	cada	possível	resultado,	registramos	o	número	de	caras	
obtidas	e	calculamos	a	probabilidade	de	ocorrência.	As	probabili-
dades,	então,	serão	dispostas	em	gráficos	de	colunas.
Para	identificar	de	maneira	clara	as	propriedades,	vamos	re-
presentar	graficamente,	por	meio	de	um	gráfico	de	colunas,	a	ta-
bela	com	as	probabilidades	para	diversas	situações	de	lançamento.	
Nos	Gráficos	1,	2,	3,	4	e	5	a	 seguir,	 temos	a	 situação	para	
 5, 10, 20, 50n = 	e	100	lançamentos,	respectivamente.
Gráfico 1	Distribuição	de	probabilidades	para	 5n = 	lançamentos.
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Gráfico 2	Distribuição	de	probabilidades	para	 10n = 	lançamentos.
Gráfico 3	Distribuição	de	probabilidades	para	 20n = 	lançamentos.
© Estatística142
Gráfico 4	Distribuição	de	probabilidades	para	 50n = 	lançamentos.
Gráfico 5 Distribuição de probabilidades para 100n = 
lançamentos.
Note	que	todos	os	gráficos	ficaram	simétricos	em	torno	de	
um	ponto,	que	é	a	média	do	número	de	caras,	e	como	trabalhamos	
com	 o	 espaço	 amostral,	 todos	 os	 gráficos	 somam	 100%.	 Ainda,	
conforme	aumentamos	o	n,	as	probabilidades	diminuem	(observe	
o	eixo	vertical)	e	os	retângulos	ficam	mais	próximos.
Ao	admitir	que	podemos	generalizar	para	 n →∞ ,	supomos	
que	 os	 retângulos	 ficarão	 praticamente	 grudados,	 gerando	 uma	
curva	 simétrica	em	 torno	da	média,	 com	 frequência	máxima	na	
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143© U6 - Distribuições de Probabilidades
média	e	diminuindo	 conforme	nos	afastamos	dela.	 Essa	 curva	é	
chamada	curva normal.
6. A CuRvA nORMAL COMO uMA distRibuiÇÃO de 
pRObAbiLidAdes
As	distribuições	de	probabilidades	podem	tomar	uma	diver-
sidade	de	formas.	Podemos	ter	distribuição	perfeitamente	simétri-
ca	ou	sem	nenhuma	simetria,	dependerá	do	tipo	de	variável	a	ser	
considerada.
No	entanto,	dentre	as	formas	possíveis,	a	que	se	tornou	mais	
importante	e	popular	foi	a	curva	em	forma	de	sino	e	simétrica	co-
nhecida	como	curva normal,	por	 causa	da	presença	de	simetria	
em	diversos	cenários	práticos.
A	partir	de	uma	equação	matemática,	chegou-se	a	uma	cur-
va,	denominada	curva normal,	que	é	um	modelo	teórico	e	é	utili-
zado	para	descrever	e	determinar	os	valores	referentes	às	proba-
bilidades.	Para	simplificar	seu	uso,	representamos	a	curva normal	
graficamente	e	seus	valores	são	obtidos	por	meio	de	uma	tabela	
de	referência.
A	curva	normal	é	um	ingrediente	essencial	para	a	tomada	de	
decisão	estatística,	em	que	o	pesquisador	generaliza	seus	resulta-
dos	de	amostra	para	populações.
Para	entender	melhor	essa	curva,	vamos	às	suas	proprieda-
des.
propriedades da curva normal
A	curva	normal	possui	a	seguinte	forma:
© Estatística144
Note	que	a	curva	é	simétrica,	unimodal	(apenas	um	pico)	e	
que	coincide	com	a	média	e	com	a	mediana.	
Analisando a área sob a curva normal
Por	se	tratar	de	dados	probabilísticos	(populacionais),	repre-
sentaremos	a	média	da	curva	normal	por	m	e	seu	desvio	padrão	
por	s.
A	média	 ( )m de	uma	distribuição	normal	situa-se	exatamen-
te	no	seu	centro	e	o	desvio	padrão	determina	a	forma	como	a	cur-
va	terá	seu	caimento,	se	será	mais	espalhada	ou	se	será	mais	con-
centrada.	De	forma	geral,	temos:
Dessa	forma,	utilizamos	a	distribuição	normal	na	resolução	
de	problemas,	sempre	utilizando	a	área	sob	a	curva,	e	por	isso	pre-
cisamos	 conhecê-la.	 E,	 para	determinar	uma	parcela	dessa	 área	
total,	 traçando	 segmentos	 da	 reta	 base	 até	 a	 curva,	 vejamos	 o	
exemplo	no	seguinte	gráfico:	
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145© U6 - Distribuições de Probabilidades
O	grande	problema	aqui	passa	a	ser	determinar	o	valor	da	
área,	pois	é	ela	que	representará	nossas	probabilidades.Como	a	
figura	não	se	assemelha	com	nenhuma	daquelas	que	estudamos	
em	geometria,	a	única	forma	de	determinar	as	áreas	é	utilizar	fer-
ramentas	 de	 cálculo	 integral.	 Contudo,	 para	 facilitar	 a	 vida	 dos	
usuários,	a	fim	de	simplificar	a	utilização	da	curva	normal,	foi	cria-
da	uma	curva	padronizada	com	valores	tabelados.	
Mais	adiante	nessa	unidade,	você	observará	uma	tabela	com	
os	valores	da	distribuição	ou	curva	normal,	conhecida	como	nor-
mal padronizada.	Ao	longo	dessa	unidade	aprenderemos	a	utilizar	
a	curva	e	a	tabela	padronizada.
7. A CuRvA nORMAL pAdROniZAdA
Para	 facilitar	a	vida	dos	usuários,	 foi	desenvolvida	uma	ta-
bela	padronizada	para	a	distribuição	normal,	que	se	encontra	de-
talhada	no	 final	 da	 apostila,	 cujo	padrão	estabelece	uma	média	
0=m 	e	um	desvio	padrão	 1s = .
Após	os	conceitos	aprendidos,	podemos	achar	a	porcenta-
gem	da	área	total	sob	a	curva	normal	associada	a	qualquer	interva-
lo	de	interesse,	bastando	para	isso	padronizar	nossa	variável	X	de	
interesse	e	sua	respectiva	curva	normal,	a	partir	de	uma	fórmula	
conhecida	como	fórmula	de	padronização.
Com	essa	fórmula,	passamos	de	uma	variável	X,	que	possui	
uma	média	m	qualquer	e	um	desvio	padrão	s	qualquer,	para	uma	
© Estatística146
variável	que	é	conhecida	como	variável	Z,	que	possui	média	 0=m
e	desvio	padrão	 1=s .	A	fórmula	da	padronização	é	a	seguinte:
XZ −= m
s
Onde:	
•	 Z	é	o	valor	da	variável	padronizada.
•	 X	é	o	valor	da	variável	de	interesse.
•	 m	é	a	média	populacional	de	X.
•	 s	é	o	desvio	padrão	populacional	de	X.
Antes	 de	 trabalharmos	 alguns	 exemplos,	 vamos	 explicar	
como	se	utiliza	a	Tabela	da	Normal	Padronizada.	Dê	uma	primeira	
olhada	na	tabela,	ela	está	subdividida	em	três	tabelas,	para	facili-
tar	a	utilização.	Note	que	a	tabela	possui	duas	colunas,	visto	que	
na	coluna	da	direita	estão	colocados	os	valores	da	variável	padro-
nizada	Z	(com	duas	casas	decimais)	e	que	são	obtidos	mediante	a	
fórmula	anterior.	Na	coluna	da	esquerda	estão	colocadas	as	pro-
babilidades	(áreas)	correspondentes	ao	intervalo	que	se	inicia	na	
média	de	Z	(que	vale	zero)	e	termina	em	Z.	Graficamente,	temos:
Exemplo
•	 A	probabilidade	de	Z	variar	de	0	até	1,33	é	igual	a	0,408241	
ou	40,8241%.
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•	 A	probabilidade	de	Z	variar	de	0	até	2,19	é	igual	a	0,485738	
ou	48,5738%.
•	 A	probabilidade	de	Z	variar	de	0	até	7,66	é	igual	a	0,499999	
ou	49,9999%.
Note	que	a	tabela	não	apresenta	valores	negativos	para	Z,	
pois	como	é	simétrica,	as	áreas	e	probabilidades	do	lado	positivo	
(a	direita	da	média	zero)	são	as	mesmas	que	para	o	lado	negativo	
(a	esquerda	da	média	zero).
Observe,	também,	que,	como	a	normal	é	simétrica,	a	proba-
bilidade	no	intervalo	entre	a	média	e	um	valor	negativo	é	exata-
mente	a	mesma	para	esse	valor	positivo,	por	isso	que	trabalhamos	
apenas	com	os	positivos.
Assim	temos,	por	exemplo,	que:
•	 A	 probabilidade	 de	 Z	 variar	 de	 −2,11	 até	 0	 é	 igual	 a	
0,482571	ou	48,2571%.
•	 A	 probabilidade	 de	 Z	 variar	 de	 −3,03	 até	 0	 é	 igual	 a	
0,498777	ou	49,8777%.
tabela 1 Tabela	da	Normal	Padronizada	para	Zi	de	0,00	a	1,43.	
Zi P(0	<	Z	<	Zi) Zi P(0	<	Z	<	Zi) Zi P(0	<	Z	<	Zi) Zi P(0	<	Z	<	Zi)
0,00 0,000000 0,36 0,140576 0,72 0,264238 1,08 0,359929
0,01 0,003989 0,37 0,144309 0,73 0,267305 1,09 0,362143
0,02 0,007978 0,38 0,148027 0,74 0,270350 1,10 0,364334
0,03 0,011966 0,39 0,151732 0,75 0,273373 1,11 0,366500
0,04 0,015953 0,40 0,155422 0,76 0,276373 1,12 0,368643
0,05 0,019939 0,41 0,159097 0,77 0,279350 1,13 0,370762
0,06 0,023922 0,42 0,162757 0,78 0,282305 1,14 0,372857
0,07 0,027903 0,43 0,166402 0,79 0,285236 1,15 0,374928
0,08 0,031881 0,44 0,170031 0,80 0,288145 1,16 0,376976
0,09 0,035856 0,45 0,173645 0,81 0,291030 1,17 0,379000
0,10 0,039828 0,46 0,177242 0,82 0,293892 1,18 0,381000
0,11 0,043795 0,47 0,180822 0,83 0,296731 1,19 0,382977
© Estatística148
Zi P(0	<	Z	<	Zi) Zi P(0	<	Z	<	Zi) Zi P(0	<	Z	<	Zi) Zi P(0	<	Z	<	Zi)
0,12 0,047758 0,48 0,184386 0,84 0,299546 1,20 0,384930
0,13 0,051717 0,49 0,187933 0,85 0,302337 1,21 0,386861
0,14 0,055670 0,50 0,191462 0,86 0,305105 1,22 0,388768
0,15 0,059618 0,51 0,194974 0,87 0,307850 1,23 0,390651
0,16 0,063559 0,52 0,198468 0,88 0,310570 1,24 0,392512
0,17 0,067495 0,53 0,201944 0,89 0,313267 1,25 0,394350
0,18 0,071424 0,54 0,205401 0,90 0,315940 1,26 0,396165
0,19 0,075345 0,55 0,208840 0,91 0,318589 1,27 0,397958
0,20 0,079260 0,56 0,212260 0,92 0,321214 1,28 0,399727
0,21 0,083166 0,57 0,215661 0,93 0,323814 1,29 0,401475
0,22 0,087064 0,58 0,219043 0,94 0,326391 1,30 0,403200
0,23 0,090954 0,59 0,222405 0,95 0,328944 1,31 0,404902
0,24 0,094835 0,60 0,225747 0,96 0,331472 1,32 0,406582
0,25 0,098706 0,61 0,229069 0,97 0,333977 1,33 0,408241
0,26 0,102568 0,62 0,232371 0,98 0,336457 1,34 0,409877
0,27 0,106420 0,63 0,235653 0,99 0,338913 1,35 0,411492
0,28 0,110261 0,64 0,238914 1,00 0,341345 1,36 0,413085
0,29 0,114092 0,65 0,242154 1,01 0,343752 1,37 0,414657
0,30 0,117911 0,66 0,245373 1,02 0,346136 1,38 0,416207
0,31 0,121720 0,67 0,248571 1,03 0,348495 1,39 0,417736
0,32 0,125516 0,68 0,251748 1,04 0,350830 1,40 0,419243
0,33 0,129300 0,69 0,254903 1,05 0,353141 1,41 0,420730
0,34 0,133072 0,70 0,258036 1,06 0,355428 1,42 0,422196
0,35 0,136831 0,71 0,261148 1,07 0,357690 1,43 0,423641
tabela 2	Tabela	da	Normal	Padronizada	para	Z	de	1,44	a	2,87.
Zi P(0	<	Z	<	Zi) Zi P(0	<	Z	<	Zi) Zi P(0	<	Z	<	Zi) Zi P(0	<	Z	<	Zi)
1,44 0,425066 1,80 0,464070 2,16 0,484614 2,52 0,494132
1,45 0,426471 1,81 0,464852 2,17 0,484997 2,53 0,494297
1,46 0,427855 1,82 0,465620 2,18 0,485371 2,54 0,494457
1,47 0,429219 1,83 0,466375 2,19 0,485738 2,55 0,494614
1,48 0,430563 1,84 0,467116 2,20 0,486097 2,56 0,494766
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Zi P(0	<	Z	<	Zi) Zi P(0	<	Z	<	Zi) Zi P(0	<	Z	<	Zi) Zi P(0	<	Z	<	Zi)
1,49 0,431888 1,85 0,467843 2,21 0,486447 2,57 0,494915
1,50 0,433193 1,86 0,468557 2,22 0,486791 2,58 0,495060
1,51 0,434478 1,87 0,469258 2,23 0,487126 2,59 0,495201
1,52 0,435745 1,88 0,469946 2,24 0,487455 2,60 0,495339
1,53 0,436992 1,89 0,470621 2,25 0,487776 2,61 0,495473
1,54 0,438220 1,90 0,471283 2,26 0,488089 2,62 0,495604
1,55 0,439429 1,91 0,471933 2,27 0,488396 2,63 0,495731
1,56 0,440620 1,92 0,472571 2,28 0,488696 2,64 0,495855
1,57 0,441792 1,93 0,473197 2,29 0,488989 2,65 0,495975
1,58 0,442947 1,94 0,473810 2,30 0,489276 2,66 0,496093
1,59 0,444083 1,95 0,474412 2,31 0,489556 2,67 0,496207
1,60 0,445201 1,96 0,475002 2,32 0,489830 2,68 0,496319
1,61 0,446301 1,97 0,475581 2,33 0,490097 2,69 0,496427
1,62 0,447384 1,98 0,476148 2,34 0,490358 2,70 0,496533
1,63 0,448449 1,99 0,476705 2,35 0,490613 2,71 0,496636
1,64 0,449497 2,00 0,477250 2,36 0,490863 2,72 0,496736
1,65 0,450529 2,01 0,477784 2,37 0,491106 2,73 0,496833
1,66 0,451543 2,02 0,478308 2,38 0,491344 2,74 0,496928
1,67 0,452540 2,03 0,478822 2,39 0,491576 2,75 0,497020
1,68 0,453521 2,04 0,479325 2,40 0,491802 2,76 0,497110
1,69 0,454486 2,05 0,479818 2,41 0,492024 2,77 0,497197
1,70 0,455435 2,06 0,480301 2,42 0,492240 2,78 0,497282
1,71 0,456367 2,07 0,480774 2,43 0,492451 2,79 0,497365
1,72 0,457284 2,08 0,481237 2,44 0,492656 2,80 0,497445
1,73 0,458185 2,09 0,481691 2,45 0,492857 2,81 0,497523
1,74 0,459070 2,10 0,482136 2,46 0,493053 2,82 0,497599
1,75 0,459941 2,11 0,482571 2,47 0,493244 2,83 0,497673
1,76 0,460796 2,12 0,482997 2,48 0,493431 2,84 0,497744
1,77 0,461636 2,13 0,483414 2,49 0,493613 2,85 0,497814
1,78 0,462462 2,14 0,483823 2,50 0,493790 2,86 0,497882
1,79 0,463273 2,15 0,484222 2,51 0,493963 2,87 0,497948
© Estatística150
tabela 3	Tabela	da	Normal	Padronizada	para Z	maiores	que	2,87.
Zi P(0	<	Z	<	Zi) Zi P(0	<	Z	<	Zi) Zi P(0	<	Z	<	Zi) Zi P(0	<	Z	<	Zi)
2,88 0,498012 3,24 0,499402 3,60 0,499841 3,96 0,499963
2,89 0,498074 3,25 0,499423 3,61 0,499847 3,97 0,499964
2,90 0,498134 3,26 0,499443 3,62 0,499853 3,98 0,4999662,91 0,498193 3,27 0,499462 3,63 0,499858 3,99 0,499967
2,92 0,498250 3,28 0,499481 3,64 0,499864 4,00 0,499968
2,93 0,498305 3,29 0,499499 3,65 0,499869 4,01 0,499970
2,94 0,498359 3,30 0,499517 3,66 0,499874 4,02 0,499971
2,95 0,498411 3,31 0,499534 3,67 0,499879 4,03 0,499972
2,96 0,498462 3,32 0,499550 3,68 0,499883 4,04 0,499973
2,97 0,498511 3,33 0,499566 3,69 0,499888 4,05 0,499974
2,98 0,498559 3,34 0,499581 3,70 0,499892 4,06 0,499975
2,99 0,498605 3,35 0,499596 3,71 0,499896 4,07 0,499976
3,00 0,498650 3,36 0,499610 3,72 0,499900 4,08 0,499977
3,01 0,498694 3,37 0,499624 3,73 0,499904 4,09 0,499978
3,02 0,498736 3,38 0,499638 3,74 0,499908 4,10 0,499979
3,03 0,498777 3,39 0,499651 3,75 0,499912 4,11 0,499980
3,04 0,498817 3,40 0,499663 3,76 0,499915 4,12 0,499981
3,05 0,498856 3,41 0,499675 3,77 0,499918 4,13 0,499982
3,06 0,498893 3,42 0,499687 3,78 0,499922 4,14 0,499983
3,07 0,498930 3,43 0,499698 3,79 0,499925 4,15 0,499983
3,08 0,498965 3,44 0,499709 3,80 0,499928 4,16 0,499984
3,09 0,498999 3,45 0,499720 3,81 0,499931 4,17 0,499985
3,10 0,499032 3,46 0,499730 3,82 0,499933 4,18 0,499985
3,11 0,499065 3,47 0,499740 3,83 0,499936 4,19 0,499986
3,12 0,499096 3,48 0,499749 3,84 0,499938 4,20 0,499987
3,13 0,499126 3,49 0,499758 3,85 0,499941 4,21 0,499987
3,14 0,499155 3,50 0,499767 3,86 0,499943 4,22 0,499988
3,15 0,499184 3,51 0,499776 3,87 0,499946 4,23 0,499988
3,16 0,499211 3,52 0,499784 3,88 0,499948 4,24 0,499989
3,17 0,499238 3,53 0,499792 3,89 0,499950 4,25 0,499989
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151© U6 - Distribuições de Probabilidades
Zi P(0	<	Z	<	Zi) Zi P(0	<	Z	<	Zi) Zi P(0	<	Z	<	Zi) Zi P(0	<	Z	<	Zi)
3,18 0,499264 3,54 0,499800 3,90 0,499952 4,26 0,499990
3,19 0,499289 3,55 0,499807 3,91 0,499954 4,27 0,499990
3,20 0,499313 3,56 0,499815 3,92 0,499956 4,28 0,499991
3,21 0,499336 3,57 0,499822 3,93 0,499958 4,29 0,499991
3,22 0,499359 3,58 0,499828 3,94 0,499959 4,30
0,499999
3,23 0,499381 3,59 0,499835 3,95 0,499961 ou	+
Vejamos	alguns	exemplos	de	como	utilizar	a	curva normal 
padronizada	e	a	tabela da normal padronizada.
Exemplo 1
Suponha	 que	 estamos	 estudando	 a	 distribuição	 da	 renda	
anual	(X)	de	caixas	que	trabalham	no	balcão	de	uma	cadeia	de	lan-
chonetes,	em	que	a	renda	anual	média	é	de	R$ 14.000,00 	e	o	des-
vio	padrão	é	de	R$ 15.000,00 .	Admitindo-se	que	a	distribuição	da	
renda	anual	seja	normal,	qual	a	probabilidade	da	renda	anual	estar	
entre	R$ 14.000,00 	e	R$ 16.000,00 ?
Devemos	calcular	a	seguinte	probabilidade:	
(14000 16000)P X< <
Como	a	variável	de	interesse	(que	denotaremos	por	X)	pos-
sui	uma	média	diferente	de	0	e	um	desvio	padrão	diferente	de	1,	
vamos	inicialmente	padronizá-la,	transformá-la	na	variável	padrão	
Z,	da	forma:
Para	 14000 1400014000 0
1500
X Z −= ⇒ = = 	
Para 16000 14 00016000 1,33
1500
X Z −= ⇒ = = + 	
Dessa	 forma,	 a	 questão	 passa	 a	 ser	 calcular	 o	 seguinte:	
(0 1,33)P Z< < .	Graficamente,	temos:	
© Estatística152
 
	
Consultando	a	Tabela	da	Normal	Padronizada,	temos	direta-
mente	que	a	área	do	gráfico	será	igual	a	0,408241	ou	40,8241%.
Portanto,	a	probabilidade	procurada	é:
(14000 16000) 40,8241%P x< < =
Nem	sempre	as	probabilidades	procuradas	serão	calculadas	
de	forma	direta.	Lembre-se	de	que	a	tabela	só	fornece	a	área	(a	
probabilidade)	no	intervalo	entre	a	média	e	um	determinado	valor	
de	Z.	Em	situações	onde	o	intervalo	seja	diferente	desse,	algumas	
regras	deverão	ser	seguidas.	Acompanhe	os	exemplos	a	seguir.
Exemplo 2
As	 vendas	 mensais	 (X)	 de	 um	 determinado	 produto	 têm	
apresentado	distribuição	normal	com	média	de	600	unidades/mês	
e	desvio	padrão	40	unidades/mês.	Se	a	empresa	decide	 fabricar	
700	unidades	naquele	mesmo	mês,	qual	 é	 a	probabilidade	dela	
não	poder	atender	todos	os	pedidos	desse	mês,	por	estar	com	a	
produção	completa?
A	probabilidade	a	ser	calculada	é:	 ( 700)P X > .	 Inicialmen-
te,	vamos	padronizar	a	variável	X	(número	de	unidades	vendidas/
mês)	para	a	variável	Z	da	tabela,	utilizando	 600m = 	e	 40s = :
700 600 100 2,5
40 40
XZ − −= = = =m
s 	
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153© U6 - Distribuições de Probabilidades
Graficamente,	temos:
Pela	Tabela	Normal	Padronizada,	a	probabilidade	entre	0	e	
2,50	é	0,493790	ou	49,3790%.
Assim:
( 700) 50% 49,3790% 0,6210%P X > = − =
ou	 seja,	 a	probabilidade	de	não	atender	 todos	os	pedidos	
desse	mês	é	de	0,621%.
Note	que	a	área	de	interesse	em	destaque	no	gráfico	é	a	di-
ferença	entre	a	metade	do	gráfico	e	a	área	da	tabela,	assim,	sub-
traímos	50%	do	valor	da	tabela.
Exemplo 3
Os	balancetes	semanais	 realizados	por	uma	empresa	mos-
traram	que	o	lucro	realizado	distribui-se	normalmente	com	média	
igual	 R$ 48.000,00 	 e	 com	 desvio	 padrão	 igual	 a	 R$ 8.000,00 .	
Qual	a	probabilidade	de	que	na	próxima	semana:
a)	 o	lucro	seja	menor	que	R$ 52.000,00 ?
b)	 o	lucro	esteja	entre	R$ 40.000,00 	e	R$ 55.000,00 ?
c)	 haja	prejuízo?
Dados	do	problema:	a	variável	de	interesse	é	o	lucro sema-
nal	da	empresa,	que	denotaremos	por	X,	cuja	média	 48000=m e	
desvio	padrão	 8 000=s .
© Estatística154
a)	 Queremos	 calcular	 ( 52000)P X < .	 De	 início,	 devemos	
padronizar	a	variável	X	para	a	variável	Z	da	tabela	normal	
padrão,	por	meio	da	fórmula	da	padronização:
52 000 48000 4 000 0,50
8000 8 000
XZ − −= = = =m
s
Graficamente,	temos:
Pela	Tabela	da	Normal	Padronizada,	a	probabilidade	entre	0	
e	0,50	é	de	0,191462	ou	19,1462%.
Assim:
( 52000) 50% 19,1462% 69,1462%P X < = + =
ou	seja,	a	probabilidade	de	que	o	lucro	semanal	seja	menor	que	
R$ 52.000,00 	é	de	69,1462%.
Observe	que	a	área	de	interesse	em	destaque	no	gráfico	pos-
sui	o	lado	esquerdo	completo,	que	vale	metade,	ou	seja,	50%.	En-
tão	somamos	50%	com	a	área	do	valor	Z	calculado.
a)	 Queremos	 calcular	 (40000 45000)P x< < .	 Padroni-
zando	os	dois	valores,	temos:
40000 48000 8000 1,00
8000 8000
XZ − −= = = − = −m
s
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155© U6 - Distribuições de Probabilidades
45000 48000
8000
3000 0,375 0,38
8000
XZ − −= = =
= − = − = −
m
s
Graficamente,	temos:
Pela	Tabela	da	Normal	Padronizada,	a	probabilidade	entre	0	
e	1,00	(veja	que	a	probabilidade	para	−1,00	é	a	mesma	que	para	
1,00	por	causa	da	simetria)	é	de	0,341345	ou	34,1345%,	e	a	proba-
bilidade	entre	0	e	0,38	é	de	0,148027	ou	14,8027%.
Assim:	
(40000 45000) 34,1345% 14,8027% 19,3318%P x< < = − =
ou	seja,	a	probabilidade	de	que	o	lucro	semanal	seja	maior	
que	R$ 40.000,00 	e	menor	que	R$ 45.000,00 	é	de	19,3318%.
Observe	que	a	área	de	interesse	em	destaque	no	gráfico	é	
a	diferença	da	área	maior	para	a	área	menor,	assim,	subtraímos	o	
maior	valor	do	menor	valor	da	tabela.
a)	 Queremos	 calcular	 ( 0)P X < ,	 já	 que	 para	 que	o	 lucro	
seja	 interpretado	como	prejuízo	ele	deve	ser	negativo.	
Padronizando	o	valor,	temos:
0 48000 48000 6,00
8000 8000
XZ − −= = = − = −m
s
© Estatística156
Graficamente,	temos:
Pela	Tabela	da	Normal	Padronizada,	a	probabilidade	entre	0	
e	6,00	é	de	0,499999	ou	49,9999%.
Assim:
( 0) 50% 49,9999% 0,0001%P X < = − =
ou	seja,	a	probabilidade	de	que	haja	prejuízo	na	próxima	semana	
é	de	0,00001%.
Observe	que	a	área	de	interesse	em	destaque	no	gráfico	é	
a	diferença	entre	a	metade	do	gráfico	e	a	área	da	tabela,	assim,	
subtraímos	50%	do	valor	da	tabela.
Exemplo 4
Sabe-se	que	a	distribuição	salarial	entre	6	000	sujeitos	que	
compõem	a	 população	 economicamente	 ativa	 de	 um	município	
é	 normal	 com	média	 igual	 a	 R$ 1.565,30 	 e	 um	 desvio	 padrão	
de	 R$ 275,80 .	Encontre	a	probabilidade	e	o	número	de	sujeitos	
dessa	população	que	possuem	salário:
a)	 entre	R$ 1.300,00 	e	R$ 2.100,00 .
b)	 maior	que	R$ 1.800,00 .
Dados	do	problema:	a	variável	de	interesse	é	o	salário	dos	
sujeitos,	que	denotaremos	por	X,	cuja	média	 1565,30=m 	e	desvio	
padrão	 275,80s = .
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157© U6 - Distribuições de Probabilidades
c)	 Queremos	 calcular	 (1300 2100)P x< < .	 Padronizando	
os	valores,	temos:
1300 1565,30 265,30 0,96
275,80 275,80
XZ − −= == − = −m
s
2100 1565,30 534,70 1,94
275,80 275,80
XZ − −= = = =m
s
Graficamente,	temos:
Pela	 Tabela	da	Normal	 Padronizada,	 a	 probabilidade	entre	
0	e	0,96	é	de	0,331472	ou	33,1472%,	e	a	probabilidade	entre	0	e	
1,94	é	de	0,473810	ou	47,3810%.
Assim:
(1300 2100) 33,1472% 47,3810% 80,5282%P x< < = + =
ou	seja,	a	probabilidade	de	que	o	salário	do	sujeito	esteja	entre	
R$ 1.300,00 	e	R$ 2.100,00 	é	de	80,5282%.
Observe	que	a	área	de	interesse	em	destaque	no	gráfico	é	
a	soma	de	duas	áreas,	assim	somamos	os	dois	valores	da	tabela.
d)	 Queremos	 calcular	 ( 1800)P X > .	 Padronizando	os	 va-
lores,	temos:
1800 1565,30 234,70 0,85
275,80 275,80
XZ − −= = = − =m
s
© Estatística158
Graficamente,	temos:
Pela	Tabela	da	Normal	Padronizada,	a	probabilidade	entre	0	
e	0,85	é	de	0,302337	ou	30,2337%.
Assim:
( 1800) 50% 30,2337% 19,7663%P X > = − =
ou	seja,	a	probabilidade	de	que	o	salário	do	sujeito	seja	maior	que	
R$ 1.800,00 	é	de	19,7663%.
Exemplo 5
Em	um	determinado	banco,	pela	avaliação	de	um	longo	perí-
odo	de	dias	de	movimentação,	constatou-se	que	os	montantes	diá-
rios	de	depósitos	eram	normalmente	distribuídos	com	média	igual	
a	R$ 12.000,00 	e	um	desvio	padrão	de	R$ 4.000,00 ,	e	ainda	que	
o	montante	de	retiradas	também	segue	uma	distribuição	normal,	
com	média	 de	 R$ 10.000,00 	 e	 desvio	 padrão	 de	 R$ 5.000,00 .	
Calcule	a	probabilidade	de	nesse	banco,	no	dia	de	amanhã:	
a)	 termos	 um	 montante	 de	 depósitos	 superiores	 a	
R$ 13.000,00 .
b)	 termos	 um	 montante	 de	 retiradas	 inferiores	 a	
R$ 13.000,00 .
Dados	do	problema:	devemos	 ter	um	cuidado	a	mais	para	
resolver	esse	exercício,	pois	são	dadas	duas	variáveis	diferentes:	o	
montante	de	depósitos	e	o	montante	de	retiradas.	Denotaremos	
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159© U6 - Distribuições de Probabilidades
o	montante	diário	de	depósitos	por	X,	 cuja	média	 12000=m 	 e	
desvio	padrão	 4000=ó ,	e,	em	seguida,	mostraremos	o	montante	
diário	de	retiradas	por	Y,	cuja	média	 10000=m 	e	desvio	padrão	
5000=ó .
c)	 Queremos	calcular	 ( 13000)P X > .	Padronizando	os	va-
lores,	temos:
13000 12000 1000 0,25
4000 4000
XZ − −= = = =m
s
Graficamente,	temos:
Pela	Tabela	da	Normal	Padronizada,	a	probabilidade	entre	0	
e	0,25	é	de	0,098706	ou	9,8706%.
Assim:
( 13000) 50% 9,8706% 40,1294%P X > = − =
ou	seja,	a	probabilidade	de	que	o	montante	diário	de	depósitos	
seja	maior	que	R$ 13.000,00 	é	de	40,1294%.
d)	 Queremos	calcular	 ( 13000)P Y < .	Padronizando	os	va-
lores,	temos:
13000 10000 3000 0,60
5000 5000
YZ − −= = = =m
s
Graficamente,	temos:
© Estatística160
Pela	Tabela	da	Normal	Padronizada,	a	probabilidade	entre	0	
e	0,60	é	de	0,225747	ou	22,5747%.
Assim:
( 13000) 50% 22,5747% 72,5747%P X > = + =
ou	seja,	a	probabilidade	de	que	o	montante	diário	de	retiradas	seja	
menor	que	R$ 13.000,00 	é	de	72,5747%.
Exemplo 6
Sabe-se	 que	 um	 determinado	 produto	 perecível	 da	 cesta	
básica	teve	uma	demanda	média	de	100	unidades	nos	últimos	15	
meses,	com	um	desvio	padrão	de	12	unidades.	Um	determinado	
estabelecimento	comercial	está	adquirindo	uma	grande	quantidade	
desse	produto	para	 seu	 estoque,	 acreditando	que,	 se	os	 preços	
se	mantiverem	estáveis,	 irá	 vender	 neste	mês	mais	 do	 que	 180	
unidades	do	produto.	Qual	a	probabilidade	de	que	isso	realmente	
ocorra,	ou	seja,	de	que	o	estabelecimento	realmente	venda	mais	
de	180	unidades?	Considerando	o	resultado	obtido,	o	que	poderia	
ser	recomendado	ao	comerciante?
Dados	do	problema:	a	variável	em	questão	é	a	demanda	por	
certo	produto	da	cesta	básica,	que	denotaremos	por	X,	cuja	média	
100=m 	e	desvio	padrão	 12=ó .
Claretiano - Centro Universitário
161© U6 - Distribuições de Probabilidades
Inicialmente,	queremos	calcular	 ( 180)P X > .	Padronizando	
os	valores,	temos:
180 100 80 6,67
12 12
XZ m
s
− −
= = = =
Graficamente,	temos:
Pela	Tabela	da	Normal	Padronizada,	a	probabilidade	entre	0	
e	6,67	é	de	0,499999	ou	49,9999%.
Assim:
( 180) 50% 49,9999% 0,0001%P X > = − =
ou	 seja,	 a	 probabilidade	 de	 que	 o	 estabelecimento	 de	 fato	
comercialize	mais	que	180	unidades	do	produto	é	de	0,0001%.
Como	 o	 produto	 é	 perecível,	 não	 é	 recomendável	 que	 o	
estabelecimento	 adquira	 uma	 quantidade	muito	 grande,	 pois	 a	
probabilidade	 de	 comercializá-lo	 é	 baixa.	 Assim,	 recomenda-se	
que	 seja	 comprado	 em	 menor	 quantidade.	 Mas,	 pergunta-se:	
Quanto	comprar?
Por	exemplo,	quantas	unidades	o	estabelecimento	deveria	
comprar	 a	 fim	 de	 que	 a	 probabilidade	 de	 comercialização	
seja	 de	 85%,	 ou	 seja,	 qual	 o	 valor	 de	 K	 para	 a	 probabilidade	
( ) 75%P X K> = ?
Esse	 tipo	 de	 problema	 também	pode	 ser	 resolvido	 com	 a	
normal	padronizada,	invertendo	o	processo	de	resolução.	Vamos	
© Estatística162
representar	a	situação	pedida	no	gráfico,	ou	seja,	vamos	marcar	no	
eixo	horizontal	um	ponto	K de	forma	que	a	área	abaixo	de	K	seja	
igual	a	85%:
Note	que	acima	do	ponto	K,	temos	uma	das	metades	do	
gráfico	 (50%)	mais	 uma	 fatia	 que	deverá	 corresponder	 a	 35%	
(50% 35% 85%+ = 	 pedidos).	 Assim,	 K	 deve	 ser	 um	 valor	 da	
tabela	que	forneça	uma	área	de	35%.
Consultando	 a	 tabela,	 na	 coluna	 das	 probabilidades	 (a	
coluna	 da	 direita),	 vamos	 procurar	 pelo	 valor	 mais	 próximo	 de	
35%	 ou	 0,35.	 Ao	 procurar,	 encontramos	 como	 mais	 próximo	 o	
valor	0,350830,	que	corresponde	a	um	valor	de	 1,0Z = .	Como	
o	ponto	está	do	 lado	esquerdo	do	gráfico	 (à	esquerda	da	média	
zero),	 1,04Z = .
Substituindo	 o	 valor	 de	 Z	 na	 fórmula	 da	 padronização,	
podemos	achar	o	valor	de	K	procurado,	da	forma:
1001,04
12
12,48 100
100 12,48 87,52
X KZ
K
K
m
s
− −
= ⇒ − = ⇒
⇒ − = − ⇒
⇒ = − =
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163© U6 - Distribuições de Probabilidades
Portanto,	para	ter	uma	probabilidade	de	comercialização	em	
torno	de	85%,	o	estabelecimento	deveria	adquirir	uma	quantidade	
próxima	de	87	unidades.
8. questÕes AutOAvALiAtivAs
Confira,	a	seguir,	as	questões	propostas	para	verificar	seu	de-
sempenho	no	estudo	desta	unidade:
1)	 Uma	empresa	metal-mecânica	produz	um	tipo	especial	de	motor.	A	quanti-
dade	em	estoque	desse	motor	segue	uma	distribuição	normal	com	média	de	
200	unidades	e	desvio	padrão	de	18.	Qual	é	a	probabilidade,	em	um	dado	
momento,	de	o	estoque	da	empresa	apresentar	mais	de	220	unidades?	
2)	 Em	uma	 indústria	cerâmica,	os	pisos	da	categoria	PEI4	são	produzidos	de	
forma	a	possuírem	uma	largura	média	igual	a	30	cm,	com	um	desvio	pa-
drão	igual	a	1	cm.	Uma	determinada	peça	não	é	aprovada	no	controle	
de	qualidade	se	sua	 largura	 for	 inferior	a	28	cm	ou	superior	a	32	cm.	
Então,	qual	a	probabilidade	de	um	determinado	piso	ser	 rejeitado	no	
controle	de	qualidade?
3)	 Pelos	balanços	realizados	nos	últimos	anos,	sabe-se	que	em	uma	grande	
rede	de	supermercados	o	consumo	médio	(em	unidades	monetárias)	é	
igual	a	R$	80,00	com	um	desvio	padrão	igual	a	R$	50,00.	Considerando	
um	dia	qualquer	de	funcionamento	dessa	rede,	qual	a	probabilidade	de	
que	o	consumo	esteja	entre	R$	100,00	e	R$	150,00?
4)	 O	Departamento	de	Marketing	de	uma	empresa,	a	fim	de	motivar	seus	fun-
cionários,	decidiu	premiar	5%	dos	seus	vendedores	mais	eficientes.	Sabe-
-se	que	as	vendas	individuais	dos	funcionários	dessa	empresa	se	distribuem	
normalmente,	com	uma	média	de	240	unidades	e	um	desvio	padrão	de	30	
unidades.	 Então,	quantas	unidades	devem	ser	 vendidas,	no	mínimo,	para	
que	um	funcionário	seja	premiado?	
5)	 Em	um	determinado	processo	de	controle	de	qualidade,	 foi	utilizada	uma	
amostra	de	lotes	suficientemente	grande,	e	o	número	de	defeitos	por	lote	
apresentou	uma	distribuição	normal	com	média	igual	a	6	defeitos	com	um	
desvio	padrão	igual	a	2	defeitos.	Sob	essas	condições,	se	for	admitido	um	
máximo	de	2%	de	lotes	de	reprovados,	por	possuírem	uma	quantidade	de	
defeitos	acima	do	permitido,	qual	a	quantidade	mínima	de	defeitos	que	um	
determinado	lote	deve	possuir	para	ser	reprovado?	
© Estatística164
Gabarito
Depois	de	 responder	às	questões	autoavaliativas,	é	 impor-tante	que	você	confira	seu	desempenho,	a	fim	de	que	possa	saber	
se	é	preciso	retomar	o	estudo	desta	unidade.
1)	 13,35%.
2)	 4,55%.
3)	 26,3821%.
4)	 Devem	ser	vendidas,	no	mínimo,	290	unidades.
5)	 Devem	possuir,	no	mínimo,	11	defeitos.
9. COnsideRAÇÕes
Nesta	unidade,	vimos	que	a	curva	normal	é	um	importante	
instrumento	 para	 reconhecer	 situações	 e	 auxiliar	 na	 tomada	 de	
decisões	em	exercícios	que	envolvam	o	cálculo	das	probabilidades.	
Os	conceitos	colocados	nessa	unidade	servirão	de	base	para	apli-
cação	nos	testes	de	estimação	e	de	hipóteses	que	serão	enfocados	
nas	unidades	seguintes.
Ainda,	para	possibilitar	uma	ampliação	da	aplicação	da	cur-
va	normal	em	Estatística,	deveremos	estender	a	discussão	para	os	
componentes	amostrais,	ou	seja,	as	médias	e	as	proporções	obti-
das	nas	amostras.	Quando	relacionamos	as	distribuições	de	pro-
babilidades	com	as	amostras,	estamos	construindo	as	chamadas	
distribuições	amostrais,	que	serão	estudadas	na	unidade	seguinte.
10. RefeRênCiAs bibLiOGRáfiCAs 
COSTA	NETO,	P.	L.	O.	Estatística.	2.	ed.	São	Paulo:	Edgard	Blϋcher,	2002.
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