Avaliação Final (Discursiva) - Cálculo I

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04/12/2023, 21:45 Avaliação Final (Discursiva) - Individual
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GABARITO | Avaliação Final (Discursiva) - Individual
(Cod.:883782)
Peso da Avaliação 4,00
Prova 70348052
Qtd. de Questões 2
Nota 10,00
Em matemática, um ponto crítico, também chamado de ponto estacionário, é um ponto no domínio de 
uma função onde a primeira derivada é nula. Os pontos críticos serão sempre pontos de máximos ou 
mínimos relativos ou pontos de inflexão, podendo-se descobrir em que categoria o ponto cai 
analisando a sua segunda derivada (a curvatura) da função. Em matemática, a análise de máximos e 
mínimos (pontos críticos) possui diversas aplicações. Uma delas é na área fabril. 
Sendo assim, imagine que o custo de fabricação de x unidades de um produto é dado por: C(x) = 3x³ - 
441x +192. Quantas unidades deverão ser fabricadas para que o custo médio seja mínimo?
(lembre de mostrar e provar que a quantidade encontrada é mínimo)
Resposta esperada
Devemos primeiramente encontrar os pontos críticos da função.
C'(x) = 0
9x2 - 441 = 0
9x2 = 441
x2 = 49
x = ±7
Como o única solução que interessa é x = 7, verificaremos se é um ponto de máximo ou mínimo
com auxilio da derivada segunda.
C''(x) = 18x
C''(7) = 18 · 7
C''(7) = 126
Como o resultado foi positivo, temos um ponto de mínimo. Portanto, a quantidade mínimo é de 7
peças.
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Minha resposta
Para determinar a quantidade ideal de unidades a serem fabricadas, de modo a alcançar o custo
médio mínimo, é necessário identificar o ponto crítico na função C(x) = 3x³ - 441x + 192. Esse
processo envolve a análise das derivadas da função. Primeiramente, calculamos a primeira
derivada de C(x), que resulta em C'(x) = 9x^2 - 441. Em seguida, igualamos essa primeira
derivada a zero para encontrar os pontos críticos, que são os valores de x nos quais a inclinação
da curva atinge um extremo. O cálculo nos leva a: 9x^2 - 441 = 0, o que resulta em x^2 = 49 e,
consequentemente, x = ±7. Temos, portanto, dois pontos críticos, x = 7 e x = -7. O próximo passo
é determinar se esses pontos representam mínimos ou máximos. Isso é feito calculando a
segunda derivada de C(x), que é C''(x) = 18x. Ao substituir x = 7 e x = -7 na segunda derivada,
obtemos os resultados: C''(7) = 126 (indicando um mínimo) e C''(-7) = -126 (indicando um
máximo). Dessa forma, o ponto crítico x = 7 é confirmado como um ponto de mínimo da função
C(x). Isso implica que a quantidade ideal de unidades a serem fabricadas para alcançar o custo
médio mínimo é de 7 unidades. A confirmação adicional é obtida ao verificar que a segunda
derivada, no ponto crítico, é positiva (C''(7) = 126 > 0), reforçando a conclusão de que x = 7 é de
fato um ponto de mínimo na função C(x).
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Parabéns, acadêmico, sua resposta atingiu os objetivos da questão e você contemplou o esperado,
demonstrando a competência da análise e síntese do assunto abordado, apresentando excelentes
argumentos próprios, com base nos materiais disponibilizados.
Informalmente, dizemos que uma função é contínua quando seu gráfico não apresenta interrupções, 
ou seja, seu gráfico pode ser traçado sem que o lápis se afaste do papel. Na disciplina de Cálculo 
Diferencial e Integral, o conceito de continuidade está ligado ao de limite de uma função em um 
ponto específico. 
Desta forma, verifique se a função a seguir é contínua no ponto x = 1.
Resposta esperada
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O acadêmico deve proceder da seguinte maneira:
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