Pratique Unidade 2 Exercício

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REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DE SISTEMAS
Olá, estudante!
Este é o momento em que você colocará a mão na massa. Na proposta a seguir, você será convidado(a) a realizar uma atividade prática aplicando os conteúdos estudados até aqui. Você irá desenvolver habilidades e competências importantes para seu desenvolvimento profissional. Preparado(a)?
Antes de iniciar, veja, a seguir, as habilidades contempladas nesta atividade prática:
	reconhecer sistemas de equações diferenciais lineares;
	modelar espaços de estados por meio de EDOs e funções de transferência.
Pode-se dizer que um sistema é uma combinação de ações que interferem ou provocam uma ação, a fim de realizar um processo. No caso de sistemas dinâmicos, as ações são modificadas mediante variação temporal, como é o caso de muitos processos industriais, elétricos e mecânicos.
Os sistemas massa-mola ou massa-mola-amortecedor são processos mecânicos que têm um movimento periódico devido à movimentação de um bloco em relação a um conjunto. Este, em repouso, mantém o bloco parado, tal como a mola e o amortecedor (NUNES, 2018).
Um exemplo é o amortecedor veicular, que, ao passar sobre um quebra-molas, tenta manter o chassi do veículo estático, mas há um conjunto de variações no solo e relativo ao movimento do veículo, ações que alteram a dinâmica veicular.
Fazem parte de um sistema massa-mola-amortecedor os elementos que dão nome ao sistema:
	massa: o bloco ou objeto que será a referência para se manter, de acordo com a primeira Lei de Newton (Lei da Inércia);
	mola: tem a capacidade de armazenar energia mecânica, tanto na compressão quanto na tração, denominada energia potencial elástica, baseada na deformação da mola. A força aplicada na mola é medida pela Lei de Hooke, apresentada como f(x)=k.x;
	amortecedor: tem a capacidade de absorver impactos no deslocamento do corpo. A força aplicada ao amortecedor é relativa à velocidade de deslocamento do objeto (NUNES, 2018). Nesse caso, temos que f(x)=b.v(t), sendo v(t) a velocidade de deslocamento do corpo.
Obs.: a velocidade é a primeira derivada do deslocamento.
As modelagens realizadas pelo espaço de estados representam outra forma de resolver sistemas algébricos muito complexos, utilizando-se de matrizes, em que o número de variáveis do sistema é oriundo da sua ordem, podendo ser descrito das seguintes formas:
x′=A.x+B.u
y=C.x+D.u
Se um sistema possui ordem 2, então precisaremos utilizar duas variáveis de estado. Sua equação característica é definida a seguir.
[x˙1x˙2]=[a11a21a12a22].[x1x2]+[b1b2].u(t)
y=[c1c2].[x1x2]+[d1d2].u(t)
[x˙1x˙2]=[0−km1−bm].[x1x2]+[01m].u(t)
y=[10].[x1x2]+[00].u(t)
[x˙1x˙2]=[0−201−10].[x1x2]+[01].u(t)
y=[10].[x1x2]+[00].u(t)
Sendo que os elementos A, B, C e D representam as matrizes do sistema, podendo ser obtidas por meio da relação de análise do sistema em forma matemática.
As modelagens no espaço de estado permitem transitar entre o domínio do tempo e da frequência, de modo que sua transformação, no domínio da frequência, baseado nas matrizes, dá-se por T(s)=C.(s.I−A)−1.B+D.
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Figura 2.1 - Exercício proposto de massa-mola-amortecedor
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : a imagem apresenta um bloco fixo pelo lado esquerdo a uma mola de coeficiente elástico k e um elemento amortecedor de coeficiente de amortecimento b. Em seguida, está conectado a um bloco de massa m, sendo que o m está identificado próximo ao centro do objeto. O objeto/bloco está representado na silhueta de um bloco quadrado de fundo branco. Temos, ainda, x(t), o qual indica que o lado sendo puxado é da esquerda para direita, e, por fim, uma força f(t), que está sendo aplicada no bloco da esquerda para direita, tendo em vista que o objeto inicialmente está em repouso.
Desse modo, considere a modelagem da figura anterior no domínio da frequência T(s), sendo que a massa do corpo é de 1 kg, o coeficiente elástico k é igual a 20 N/m e o coeficiente de amortecimento b é igual a 10 N.s/m. Considere, também, que, no deslocamento do bloco em relação ao solo, não há atrito.
VAMOS PRATICAR
A partir da modelagem, identifique os mecanismos para controle de processos e apresente os elementos da modelagem de sistemas mecânicos contínuo e dinâmico, com ênfase, principalmente, em sistemas massa-mola, plano inclinado e Leis de Newton.
Ao final, disponibilize seu trabalho no fórum da seção.
Caro(a) estudante,
Inicialmente, sugere-se a relação da Segunda Lei de Newton para modelagem do sistema: .
Reescrevendo a equação, baseada na Lei de Hooke e Lei da Dinâmica, temos: 
Isolando o item de maior grau, ficamos com  
Observe que o grau da equação é 2, então, deve-se identificar quais são as variáveis de estado (posição e velocidade, no caso), sendo que a saída desejada é o posicionamento do bloco. Então:
 
Dessa equação 10, obtém-se a primeira derivada de x1: 
 
x2' pode ser obtido pela equação x_2=x'(t), tendo em vista que x2 é a derivada do deslocamento, e x2' a segunda derivada do deslocamento x''. Substituindo os valores de x1 e x2, tem-se:   
 
Em forma de matrizes de estado, tem-se:
 
 
 
 
 
 
O próximo passo é substituir na equação T(s)=C.(s.I-A)^(-1).B+D: T(s) = {1,0}.({s,-1;20,s+10}^-1).{0;1}+{0;0}
 
 
Resposta 1:
A modelagem é uma ferramenta fundamental para o controle de processos. Através dela, é possível representar o comportamento de um sistema de forma matemática, o que permite a compreensão de suas características e a identificação de mecanismos para seu controle.
Os mecanismos para controle de processos podem ser divididos em dois grupos principais:
	Controle de malha aberta: neste tipo de controle, a saída do sistema não é utilizada para retroalimentar o sistema. Como resultado, o sistema pode apresentar erros de estado e de saída.
	Controle de malha fechada: neste tipo de controle, a saída do sistema é utilizada para retroalimentar o sistema. Isso permite que o controle seja mais preciso, pois o erro de estado é reduzido.
A modelagem de sistemas mecânicos contínuo e dinâmico é uma área da engenharia que estuda os sistemas mecânicos por meio de equações matemáticas. Essas equações descrevem o movimento dos corpos e as forças que atuam sobre eles.
Os elementos básicos da modelagem de sistemas mecânicos contínuo e dinâmico são:
	Massa: é a medida da inércia de um corpo. Quanto maior a massa de um corpo, mais difícil é movê-lo.
	Força: é uma grandeza física que mede a interação entre dois corpos. A força pode ser utilizada para acelerar ou desacelerar um corpo.
	Aceleração: é a variação da velocidade de um corpo em relação ao tempo.
	Velocidade: é a variação da posição de um corpo em relação ao tempo.
	Sistemas massa-mola: são sistemas mecânicos compostos por uma massa e uma mola. A mola exerce uma força sobre a massa, que é proporcional à deformação da mola.
A equação de movimento de um sistema massa-mola é dada por:
	m * a = k * x
onde:
m é a massa do sistema
a é a aceleração do sistema
k é a constante da mola
x é a deformação da mola
Plano inclinado: é um sistema mecânico composto por uma superfície inclinada e um corpo que pode se mover sobre ela. A força da gravidade atua sobre o corpo, causando sua aceleração.
A equação de movimento de um corpo em um plano inclinado é dada por:
	m * a = g * sin(θ)
onde:
m é a massa do corpo
a é a aceleração do corpo
g é a aceleração da gravidade
θ é o ângulo de inclinação do plano
Leis de Newton: são três leis físicas que descrevem o movimento dos corpos.
	Primeira lei de Newton: um corpo permanece em repouso ou em movimento uniforme em linha reta, a menos que seja submetido a uma força resultante não nula.
	Segunda lei de Newton: a força resultante que atua sobre um corpo é igual ao produto da massa do corpo pela sua aceleração.
	Terceira lei de Newton: para toda ação, existe uma reação igual e oposta.
As leis de Newton podem ser utilizadas para modelar sistemas mecânicos. Por exemplo, a primeira lei de Newton pode ser utilizada para modelaro movimento de um corpo que está sujeito a uma força constante. A segunda lei de Newton pode ser utilizada para modelar o movimento de um corpo que está sujeito a uma força variável. A terceira lei de Newton pode ser utilizada para modelar o movimento de dois corpos que estão interagindo.
A modelagem de sistemas mecânicos contínuo e dinâmico é uma ferramenta importante para o estudo e o controle de sistemas mecânicos. Através dela, é possível compreender o comportamento dos sistemas e identificar mecanismos para seu controle.
Resposta 2: 
As leis de Newton, podendo aplicar a segunda lei do movimento de Newton. 
Considerando a configuração do sistema descrito, onde um bloco está conectado a uma mola e a um amortecedor. A força resultante é a soma das forças devido à mola, ao amortecedor e à força aplicada (se houver). 
Para modelagem desse sistema apresentado termos também à transformada de Laplace T (s). Aplicando os dados à transformada de Laplace, podemos obter a função de transferência T (s) descrevendo o sistema no domínio da frequência.
 Para isso, vamos considerar a força aplicada F (t)=0, uma vez que inicialmente o bloco está em repouso. 
Para calcular temos os dados fornecidos à cima temos então as variáveis, conforme abaixo: 
✓ m é a massa do bloco (1 kg), 
✓ b é o coeficiente de amortecimento (10 N.s/m), 
✓ k é o coeficiente elástico (20 N/m),
 ✓ x (t) é o deslocamento do bloco em relação ao solo,
 ✓ F (t) é a força aplicada.
 Através dos dados modelados, a função de transferência que descreve o sistema no domínio da frequência, considerando a massa do corpo, o coeficiente elástico e o coeficiente de amortecimento fornecidos.
 Esses dois métodos são uma representação matemática fundamental para analisar o comportamento dinâmico do sistema nos permitindo prever suas respostas à diferentes entradas no domínio da frequência.