Permutação e Combinação total

Prévia do material em texto

Prof° Cristhian - Aulas Particulares – (44)998318518 
 
Permutação 
A permutação é uma técnica de contagem utilizada para determinar quantas 
maneiras existem para ordenar os elementos de um conjunto finito. Fazer uma 
permuta é realizar uma troca e, nos problemas de combinatória, significa trocar 
os elementos de lugar, considerando a ordenação desses. 
Essas técnicas fazem parte de um campo da Matemática chamado, Análise 
Combinatória, que se destina a conhecer e contar os diferentes modos de 
organizar conjuntos e seus elementos. A permutação simples e a com 
elementos repetidos tratam desta categoria de problemas. 
Permutação simples 
Uma permutação simples é a ordenação dos elementos de um conjunto finito, 
quando seus elementos não se repetem, são distintos. É utilizada para 
determinar a quantidade dessas ordenações. 
A quantidade de permutações de um conjunto de n elementos é igual a n! 
(lê-se n fatorial). 
A fórmula para determinar a quantidade de permutações simples é 
 
 
Exemplo: Quantos são os anagramas da palavra GARFO? 
 
Como são cinco letras que podem varias de posição, realizamos o fatorial de 5. 
 
Permutação com repetição 
Uma permutação com elementos repetidos acontece quando em um conjunto 
de n elementos, alguns destes são iguais. 
Na fórmula para determinar o número de permutações com repetição, 
dividimos o fatorial do número total n de elementos, pelo produto entre os 
fatoriais dos elementos que se repetem. 
 
 é o número de permutações de n elementos. 
 são os números de elementos de cada tipo que se repetem. 
 é o fatorial do número total de elementos n. 
 
 
Exemplos: 
1) Vamos determinar quantas permutações existem para a palavra OVO. Para 
facilitar vamos colorir as letras. Vejamos os anagramas da palavra OVO. 
 
O número de permutações simples com 3 elementos é dado por 
 
No entanto, algumas permutações se repetem e não podemos contá-las duas 
vezes. Para isso devemos dividir o valor de (pois a palavra possui três 
letras), por (pois a letra O se repete duas vezes). 
 
Dessa forma, o número de permutações para as letras da palavra OVO é igual 
a 3. 
2) Vejamos este outro exemplo em que definiremos o número de permutações 
para as letras da palavra BANANA. 
 
Assim, o denominador é dessa forma pois, a letra A se repete três vezes. 
e a letra N se repete duas vezes. 
Uma dica para facilitar o cálculo é desenvolver o 6! até chegar em 3!, fazendo a 
simplificação com o denominador. Veja o desenvolvimento. 
 
Sendo assim, o número de permutações para as letras da palavra BANANA é 
igual a 60. 
 
Combinações 
As combinações são subconjuntos em que a ordem dos elementos não é 
importante, entretanto, são caracterizadas pela natureza dos mesmos. 
Assim, para calcular uma combinação simples de n elementos tomados p a p 
(p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão: 
 
Exemplo: 
A fim de exemplificar, podemos pensar na escolha de 3 membros para formar 
uma comissão organizadora de um evento, dentre as 10 pessoas que se 
candidataram. 
De quantas maneiras distintas essa comissão poderá ser formada? 
Note que, ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem dos elementos 
não é relevante. Isso quer dizer que escolher Maria, João e José é equivalente 
à escolher João, José e Maria. 
 
Observe que para simplificar os cálculos, transformamos o fatorial de 10 em 
produto, mas conservamos o fatorial de 7, pois, desta forma, foi possível 
simplificar com o fatorial de 7 do denominador. 
Assim, existem 120 maneiras distintas formar a comissão. 
 
Exercícios: 
 
1) Heitor está brincando com os seus carrinhos, os enfileirando de maneiras 
distintas. Sabendo que ele está brincando com 4 carrinhos, de quantas maneiras 
distintas ele pode enfileirá-los? 
a) 4 
b) 8 
c) 16 
d) 24 
e) 120 
2) Determine o número de anagramas que podem ser formados com as letras 
do nome ALEMANHA. 
 
 
 
3) Em uma sala de aula existem 12 alunas, onde uma delas chama-se Carla, e 
8 alunos, onde um deles atende pelo nome de Luiz. Deseja-se formar 
comissões de 5 alunas e 4 alunos. Determine o número de comissões, onde 
simultaneamente participam Carla e Luiz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
1) D 
2) 6720 
3) 550