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101 Equação geral da parábola: A equação geral da parábola é obtida pelo desenvolvimento das formas reduzidas. 𝑥=𝑎𝑦2+𝑏𝑦+𝑐 (parábola com eixo de simetria na horizontal) 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 (parábola com eixo de simetria na vertical) Observação: Quando a equação da parábola se apresentar em sua forma geral é recomendável transforma essa equação para sua forma reduzida, conforme exemplos a seguir: Exemplos: 01) Dada a parábola de equação 𝑥2−4𝑥−12𝑦−8=0. Determine a equação reduzida dessa parábola. 02) Determine o vértice, o parâmetro e a equação da diretriz da parábola 𝑦=𝑥2−6𝑥+8. 03) Dada a parábola de equação 𝑦2−12𝑦+20𝑥+16=0. Determine foco dessa parábola. (Contagem e Análise Combinatória) - Fatorial; - Princípio Fundamenta da Contagem; - Arranjos e Combinações Simples. ANÁLISE COMBINATÓRIA Fatorial Sendo 𝒏 um número natural qualquer, define-se o fatorial de 𝒏 e denota-se 𝒏! a expressão: 𝒏!=𝒏𝒏−𝟏⋅𝒏−𝟐⋅….𝟐⋅𝟏 Em outras palavras, o fatorial de 𝒏 é o produto de todos os naturais menores ou iguais a 𝒏 Por convenção, define-se que 0!=1 e 1! = 1 Exemplos: 1) 2!= 2) 5!= 3) 10!7! = 4) 8!⋅3!5!⋅6! = 5) 𝑛!𝑛−2!= 6) n − 1!𝑛+1!= Princípio Fundamenta da Contagem Exemplo: Para viajar de uma cidade A para uma cidade C, por uma rodovia, deve-se passar necessariamente por uma cidade B. Se há 3 rodovias ligando A a B e 4 rodovias ligando B a C, quantas opções diferentes há para ir de A até C? Arranjos simples Um arranjo simples de n elementos tomados p a p, é qualquer agrupamento de p elementos distintos, escolhidos entre n elementos, que diferem entre si pela sua ordem ou natureza. Exemplo: São escritos todos os agrupamentos de dois elementos distintos que se formam com as letras da palavra BOLA, que diferem pela ordem ou pela natureza. (B, O) (B, L) (B, A) (O, B) (O, L) (O, A) (L, B) (L, O) (L, A) (A, B) (A, O) (A, L) As sequências de dois elementos obtidas são chamadas de ARRANJOS SIMPLES, onde as sequencias diferem pela sua natureza e pela sua ordem. Cálculo do número de arranjos simples: Exemplo: São escritos todos os agrupamentos de dois elementos distintos que se formam com as letras da palavra BOLA, que diferem pela ordem ou pela natureza. (B, O) (B, L) (B, A) (O, B) (O, L) (O, A) (L, B) (L, O) (L, A) (A, B) (A, O) (A, L) 𝑨𝒏,𝑷=𝒏!𝒏−𝒑! http://www.elitemil.com.br/ 102 Combinações simples Uma combinação simples de n elementos tomados p a p, é qualquer agrupamento de p elementos distintos, escolhidos entre n elementos, que diferem entre si apenas pela sua natureza. Exemplo: São escritos todos os agrupamentos de dois elementos distintos que se formam com as letras da palavra BOLA, que diferem pela natureza (subconjuntos). {B, O} {B, L} {B, A} {O, L} {O, A} {L, A} Os subconjuntos de dois elementos obtidas são chamadas de COMBINAÇÕES SIMPLES. Cálculo do número de combinações simples: Exemplo: São escritos todos os agrupamentos de dois elementos distintos que se formam com as letras da palavra BOLA, que diferem pela natureza (subconjuntos). {B, O} {B, L} {B, A} {O, L} {O, A} {L, A} 𝑪𝒏,𝑷 = 𝒏! 𝒑! (𝒏 − 𝒑)! Observação: A diferenciação entre combinações e arranjos será de fundamental importância na resolução dos problemas de contagem. COMBINAÇÕES ⇒ a ordem não importa ARRANJOS ⇒ a ordem importa ATIVIDADES 01) Quantos números inteiros positivos menores que 1000 (com algarismos distintos) podemos formar? a) 504 b) 645 c) 648 d) 738 e) 845 02) Com um grupo de 15 pessoas, do qual fazem parte Lúcia e José, o número de comissões distintas que se podem formar com 5 membros, incluindo, necessariamente, Lúcia e José, é: a) 3003 b) 792 c) 455 d) 286 e) 348 03) De um grupo de 8 candidatos serão escolhidos 3 para ser o gerente, o caixa e o vendedor de uma loja. De quantas maneiras pode ser feita essa escolha? a) 24 b) 56 c) 336 d) 1444 e) 120 (Contagem e Análise Combinatória) - Permutações. ANÁLISE COMBINATÓRIA PERMUTAÇÃO SIMPLES É um caso particular de arranjos simples. A permutação de n elementos distintos é o arranjo de n elementos distintos tomados n a n. 𝑷𝒏 = 𝑨𝒏,𝒏 = 𝒏! Exemplos: 01) De quantas maneiras 5 pessoas podem ficar em fila? 02) Quantos anagramas distintos da palavra ROTAS são possíveis obter, se as letras R e T devem permanecer juntas? 03) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de seis algarismos distintos. Dentre eles, quantos serão iniciados por números pares e são divisíveis por 5? PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÕES É o número de permutações de n objetos onde há a repetição de um ou mais elementos. Para ser mais objetivo, o primeiro elemento repete-se ∝1 vezes, o segundo elemento repete-se ∝2 vezes, ..., o k-ésimo elemento repete-se ∝k vezes. 𝑷𝒏 𝜶𝟏,𝜶𝟐…𝜶𝒌 = 𝒏! 𝜶𝟏! ⋅ 𝜶𝟐! ⋅ … 𝜶𝒌! http://www.elitemil.com.br/ 103 Exemplos: 01) Qual a quantidade de anagramas distintos da palavra ARARA? 02) Quantos anagramas da palavra BANANA, iniciados com a letra A é possível obter? 03) O desenho representa seis quarteirões retangulares e um dos possíveis percursos de A até B. O número total de percursos mínimos distintos, de A até B, ao longo das ruas, é: PERMUTAÇÃO CIRCULAR É o caso em que deseja colocar elementos em torno de objetos circulares. É dado por: 𝑷(𝒏−𝟏) = (𝒏 − 𝟏)! ou 𝑛! 𝑛 Exemplos: 01) De quantas maneiras distintas 6 pessoas podem sentar-se em uma mesa redonda 02) Numa reunião de 8 países (EUA, Canadá, Inglaterra, Alemanha, Japão, Rússia, Itália e França), deseja-se acomodar os 8 representantes de governo em torno de uma mesa em forma de octógono regular (figura abaixo). De quantos modos posso dispô-los se os representantes dos EUA, Canadá e Inglaterra devem sentar- se sempre juntos? a) 720 b) 120 c) 4320 d) 5040 (Contagem e Análise Combinatória) “Binômio de Newton introdução” - Números binomiais; - Triângulo de Pascal. BINÔMIO DE NEWTON NÚMEROS BINÔMIAIS O número binomial de ordem 𝑛 e classe 𝑝 ( 𝑛 𝑝), com 𝑛 e 𝑝 ∈ ao conjunto dos naturais e 𝑛 ≥ 𝑝, é a combinação simples de 𝑛, 𝑝 a 𝑝 ( 𝒏 𝒑) = 𝑪𝒏𝑷 = 𝒏! 𝑷!⋅(𝒏−𝒑)! Exemplo: ( 𝟔 𝟑 ) = ( 𝟓 𝟎 ) = ( 𝟎 𝟎 ) = ( 𝟒 𝟑 ) = ( 𝟒 𝟒 ) = Observação: Dois números binomiais de mesmo numerador e cuja soma dos denominadores é igual ao numerador são chamados binomiais complementares. Propriedade de números binomiais Dois números binomiais são iguais se tiverem o mesmo numerador e: Seus denominadores forem iguais, ou São binomiais complementares. Exemplo: Dado dois números binomiais ( 7 3 ) 𝑒 ( 7 𝑥 ), sabendo que ( 7 3 ) = ( 7 𝑥 ), determine o valor de x TRIÂNGULO DE PASCAL É uma tabela onde podemos dispor ordenadamente os números binomiais. Calcular: 1) ( 8 2 ) + ( 8 3 ) = http://www.elitemil.com.br/
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