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FACULDADE ÚNICA
JOÃO VITOR NOGUEIRA MORAIS
PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA: ETAPAS A TRILHAR
IPATINGA - MG
2021
FACULDADE ÚNICA
JOÃO VITOR NOGUEIRA MORAIS
PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA: ETAPAS A TRILHAR
Monografia apresentada à Faculdade Única, como parte das exigências para a obtenção do título de Especialista em docência em matemática e práticas pedagógicas
IPATINGA - MG
2021
PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA: ETAPAS A TRILHAR
João Vitor Nogueira Morais
RESUMO
Trata-se de um resumo na língua do país onde o trabalho será apresentado. Elemento obrigatório, devendo possuir no mínimo 100 e no máximo 250 palavras, constituindo uma sequência de frases concisas e objetivas de maneira que o leitor possa identificar o conteúdo do trabalho. Logo abaixo do resumo devem constar as palavras chave, que devem representar os principais assuntos tratados no trabalho. Para construção de um bom resumo: ressalte o tema do seu artigo; utilize o verbo na voz ativa e na 3ª pessoa; deve ser escrito em bloco único; fonte tamanho 10, Arial ou Times New Roman; espaçamento entre linhas simples; apresente o objetivo do seu artigo; relate de forma breve a metodologia utilizada na pesquisa e o referencial teórico; não utilize citações; demonstre os principais resultados finalizando com uma breve exposição da conclusão. 
Palavras chave: Palavra 1. Palavra 2. Palavra 3. Palavra 4. Palavra 5.
Coloque somente o termo “Palavras chave” em negrito. Deve-se utilizar a fonte em tamanho 12, Arial ou Times New Roman. Apresente de três a cinco palavras mais representativas do conteúdo do seu artigo, separando as palavras com ponto final.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 – Etapas do processo de ensino e aprendizagem 	10
Figura 2 – O que deve constar na identificação?	12
Figura 3 – Sequência do processo de ensino de matemática	16
Figura 4 – Materiais concretos no ensino de matemática	18
Figura 5 – Aparência do simulador “tiro livre de futebol”	20
Figura 6 – Etapas do ensino	24
Figura 7 – Autoavaliação segundo Bibiano	27
Figura 8 – Questão contextualizada Enem 2017	30
Figura 9 – Questão operatória Enem 2017	32
Figura 10 – Questões transcritórias – caderno do futuro 2° ano	32
SÚMARIO
Introdução	6
1 Processo de ensino e aprendizagem para matemática	8
2 A etapa de planejamento	11
2.1 Primeiro nível do plano de aula	11
2.2 Segundo nível do plano de aula	12
2.3 Terceiro nível do plano de aula	12
3 A etapa do ensino	15
3.1 Metodologia: material concreto (manipulável)	16
3.2 Metodologia: Objetos de Aprendizagem	18
3.3 Metodologia tradicional	20
3.4 Etapa de ensino para matemática	22
4 A etapa da avaliação	.........................................................................................25
4.1 Autoavaliação	26
4.2 Avaliação contínua	27
4.3 Avaliação escrita	29
Conclusão 	34
Referências 	35
Anexos 	40
1. Introdução
 Este trabalho discorre sobre a melhor abordagem no processo de ensino na engenharia, para que o aluno obtenha sucesso em seu aprendizado. Propondo então, identificar como desenvolver o processo de ensino de maneira mais eficaz e com alto impacto no aprendizado do estudante de engenharia, assim como, quais as ferramentas necessárias e qual metodologia se adequa melhor a essa área.
Analisando processo de ensino aprendizagem, segundo a perspectiva de Lima (2020), que diz que o “ensino e a aprendizagem são processos diferentes, complexos e interdependentes que compõem as atividades educativas” (p.298). Pode-se dizer que o uso de metodologias diferenciadas vem contribuindo em um maior interesse dos alunos em aprender, desenvolvendo sua curiosidade e seu próprio conhecimento.
Para isso, Masseto (2007, p. 17) afirma que: “Novas técnicas desenvolvem a curiosidade dos alunos e os instigam a buscarem, por iniciativa própria, as informações de que precisam para resolver problemas ou explicar fenômenos que fazem parte de sua vida profissional”. Isso significa que além de buscarem as informações necessárias para responder a determinadas questões, refletir sobre decisões a serem tomadas, fazerem cálculos e resolver os problemas a eles submetidos, os alunos se sentem envolvidos com o conteúdo, uma vez que eles percebem a teoria na prática ou no seu dia a dia ou ainda projeta aquele conhecimento no seu futuro trabalho.
Segundo Masseto: A diferenciação e a variedade de técnicas quebram a rotina das aulas e assim os alunos se sentem mais animados em frequentá-las. Além disso, facilitam a participação e incentivam as atividades dinâmicas durante o período das aulas, levando os aprendizes a saírem da situação passiva de espectadores da ação individual do professor (MASSETO, 2007, p. 17).
Então, esse artigo será uma pesquisa bibliográfica, que abordará a metodologia tradicional e a construtivista nas aulas de engenharia, como ferramentas complementares para um maior aprendizado dos discentes.
2. Desenvolvimento
Ensinar, segundo o dicionário é “passar conhecimento teórico ou prático sobre algo a alguém, tornar conhecido, mostrar com precisão” (HOUAISS; VILLAR; FRANCO, 2008, p.289). Já o conceito de ensino no dicionário, diz que é “transferência de conhecimentos, conjunto de métodos e estratégias para essa transmissão [...], ofício do professor, magistério” (HOUAISS; VILLAR; FRANCO, 2008, p.289).
Desses conceitos é possível extrair que ensinar, nada mais é que tornar conhecido o ensino, mostrar com precisão os conhecimentos, ou seja, transmitir algum conhecimento de forma eficaz a quem está interessado em aprender.
A união dos conceitos citados forma o processo de ensino e aprendizagem, que vão desde a forma de planejar as ações para um ano letivo, para um período letivo ou para uma aula específica, à tomada de decisões do que ensinar e como ensinar, até a forma de conduzir as aulas, de intervir com os estudantes e de desenvolver os processos avaliativos (SANTANA; SERRAZINA, 2020, p. 93).
Portanto ao escolher o recurso educativo deve-se planejar a melhor estratégia, de como apresentar os conteúdos, depois de como expor os mesmos fazendo uso das diversas ferramentas disponíveis para atingir todo o público algo e por consequência, a melhor forma de avaliar o que foi mostrado, com o objetivo detectar possíveis problemas no processo de ensino aprendizado.
Segundo Almeida e Grubisich (2011), 
quando se compreende a relação ensino-aprendizagem na sala de aula como mediação, o ensino e aprendizagem são opostos entre si e se relacionam por meio de uma tensão dialética. Desse modo, esses termos, apesar de negarem-se mutuamente, se completam (p.5) .
Focando agora na etapa de apresentação do conteúdo para uma turma de engenharia, deve –se refletir sobre as metodologias.
 2.1 Metodologia tradicional
Essa metodologia, o nome já diz, é a que é tradicionalmente mais utilizada em sala de aula. Para Tarouco, Silva e Silva (2016) o ensino tradicional é “aquele cuja prática pedagógica predominante se faz baseada na transmissão de conceitos e técnicas” (p.3). 
A principal característica então dessa metodologia é a centralização do professor, como agente ativo que apresenta os conteúdos enquanto os alunos, são os agentes passivos, que apenas receberem a informação, sendo coadjuvante, apenas receptores, não participando ativamente do processo, como nos salienta Rodrigues, Moura e Testa (2011), 
Quem ensina? O professor. Fator predominante, não se preocupa com problemas e características do aluno. É ele o responsável por transmitir, comunicar, orientar, instruir, mostrar. É ele quem avalia e dá a última palavra. Ocupando lugar central, na sala de aula, assume, na maioria das vezes, uma postura autoritária em relação a seus educandos (p.2).
Observando o posicionamento acima, pode-se afirmar que, segundo o ensino tradicional, o professor é aquele que detêm todo o conhecimento e deverá transmiti-lo ao seu aluno, sendo este apenas o ouvinte, portanto, só será bem avaliado aquele que gravou bem a mensagem, ou seja, memorizou o conhecimento. De acordocom Mizukami (1986) a educação é exposta de forma convencional partindo do princípio de que a inteligência é uma premissa que faz o ser humano apto a memorizar informações.
A cerca desta questão Rodrigues, Mora e Testa (2011) mostram como o professor deverá organizar a sala der aula no ensino tradicional. Segundo os autores 
a centralidade do professor, no processo de ensino-aprendizagem, evidencia-se, também, na organização física da sala de aula. Nesta, encontramos as carteiras dos alunos dispostas em colunas e, bem ao centro, encontramos a mesa do professor. A partir desse ponto, ele consegue ter uma visão ampla de todo o corpo estudantil, impondo, assim, sua disciplina e autoridade (RODRIGUES, MOURA, TESTA, 2011,p.2).
Moretto (2014) ilustra que neste contexto, o processo de ensino e aprendizagem se dá pela memorização (p. 13). Porém o mesmo autor (Moretto, 2014) diz também que o ensino tradicional poderá tomar um novo foco: “o desenvolvimento de competências em vários campos de saber” (p.19). Se comparar este conceito com a definição inicial apresentada, é perceptível que este novo foco torna o ensino tradicional mais abrangente, ou seja, agora não será apenas um transmissor e sim um agente de várias mudanças em várias áreas do conhecimento.
Nesse sentido podemos atingir este novo foco quando
o conhecimento sistematizado historicamente pelos seres humanos pode ser transmitido às novas gerações por diversas formas, inclusive, mas não somente, por aulas expositivas e preleções. O que buscamos sublinhar é que a transmissão do conhecimento advogada pela pedagogia histórico-crítica não se confunde com a apresentação ou verbalização de conhecimentos pelo professor, nem se confirma por sua verbalização e fixação mnemônica pelo aluno: a questão que se coloca é como organizar a atividade escolar do estudante para que nela se reconstitua a atividade intelectual e prática historicamente acumulada e sintetizada nos sistemas conceituais das diversas áreas do conhecimento e da prática social, para que tais sistemas conceituais se tornem elementos mediadores da atividade social dos estudantes, ensejando a práxis (PASQUALINI; LAVOURA, 2020, p. 22).
Tomando como base a ideia acima, pode-se dizer que o ensino tradicional (conhecimento sistematizado) funciona, porém deve ser observado novas formas de empregá-lo. Trazendo esse método para as aulas de engenharia, existem muitas teorias, muitos conceitos e histórias a serem contadas nas disciplinas de uma turma de engenheiros, portanto o ensino tradicional se faz muito necessário.
 
Não da maneira como é citado anteriormente, em que todo o conhecimento deve ser decorado, mas na forma que sem o embasamento teórico, não se consegue alcançar o máximo de um entendimento, como por exemplo: entender o surgimento de uma fórmula - que em algum momento o engenheiro precisará usar- ou o porquê de realizar uma ação ou não e quais as consequências, ou ainda qual a melhor decisão a ser tomada em algum projeto ou problema a ser resolvido, tudo isso requer conhecimento, aprendizado teórico e histórico. 
É preciso levar em consideração também que cada ser humano aprende de uma forma diferente, é por isso que trazendo atividades diferenciadas, o professor poderá utilizar-se do método tradicional para atingir e desenvolver o aprendizado do seu diferente público. Outra saída é a inserção da metodologia construtivista, que vem tomando conta do ensino na atualidade.
 
2.2 Metodologia Construtivista
Construtivismo, é uma linha pedagógica que defende que a função da sala de aula é estimular o aprendizado dos estudantes, colocando o aluno como protagonista, como o principal responsável pela construção do seu conhecimento, enquanto o professor media toda as ferramentas para que esse aprendizado ocorra de maneira orgânica.
O biólogo e psicólogo suíço, Jean Piaget (1896-1980), defensor do construtivismo, propôs que o conhecimento é adquirido através da interação do ser humano com o ambiente em que ele vive, ou seja, é a ideia de que o conhecimento é construído por meio das interações entre sujeitos e o meio.
Segundo Morelatti et al. (2014), o ensino é 
um conhecimento prático e, portanto, mais do que o domínio de uma disciplina ou de um conteúdo, assenta-se no modo pelo qual é construído, permitindo a inserção dos alunos em um mundo complexo, compreendido nas suas certezas e ambiguidades. Neste contexto, os professores, ao exercerem a atividade da docência, utilizam conhecimentos teóricos e práticos, sempre ressignificados a partir das demandas que surgem durante a ação da prática pedagógica (p. 640).
Os principais objetivos do construtivismo, é impulsionar a conquista da própria independência do aluno, desenvolvendo seu senso crítico, fazendo ele pensar sobre como resolver problemas e elaborando hipóteses buscando respostas e aprendendo a ter autonomia, tudo através de estímulos, guiados pelo professor. O estudante é o agente construtor do próprio conhecimento, uma vez que ele desenvolverá suas próprias interações sociais e dialógicas, aprendendo a trabalhar em equipe. 
Nessa metodologia o professor tem o papel de mediador, como se fosse um guia para o encontro com o aprendizado, é o facilitador do conhecimento e o mediador do processo educacional, fazendo uso do conhecimento prévio dos alunos e os direcionando para que eles adquiram novos conhecimentos. O professor que vai planejar e criar situações - problemas para que os alunos se envolvam, incentivando a participação, buscando opiniões sobre determinado tema, feedbacks sobre os resultados, sempre promovendo atividades interativas e sociais, ele prepara todas as atividades, estimula a argumentação e as discussões sobre as soluções encontradas no problema proposto.
Presume-se, portanto, que ensino é a relação que o professor estabelece entre o conhecimento e o aluno, se apropriando de metodologias. Ele deve então, mediar o conteúdo, inserindo o contexto do que será estudado em sala de aula. Wichnoski (2020) afirma que
a existência de metodologias não tradicionais para o ensino tem sugerido mudanças nas práticas docentes e discentes, implicando, diretamente, no modo de ensinar e aprender. A escola, enquanto parte do processo educativo, é imediatamente alcançada pelos novos paradigmas e, em tese, também tende a se modificar (p.1) .
Essa metodologia chegou à América Latina por meio da argentina Emilia Ferreiro, que foi aluna de Jean Piaget na Universidade de Genebra. Ela escreveu o livro “Psicogênese da Língua Escrita”, em parceria com Ana Teberosky, no qual defende que a aprendizagem se dá através do todo para as partes e que cada um aprende em seu tempo.
A maneira como se aprende algo é peculiar de cada um, ou seja, cada pessoa aprende à sua maneira, portanto as metodologias de ensino devem ser diversificadas para atender a todos os tipos de aprendizagem. No contexto escolar Almeida e Grubisich (2011), esclarece que “não é possível discutir a aprendizagem como fizemos com o ensino, porque ela é de cunho singular e, dessa forma, ocorre de modo diverso em cada estudante” (p. 8).
2.2.1 Tradicionalismo X Construtivismo
Essas duas metodologias são bem diferentes:
· O construtivismo, em sua essência, busca formar cidadãos pensantes e cientes de suas escolhas, com a capacidade de levar o conhecimento para fora da escola, aplicando de maneira significativa ao longo de sua vida, portanto, os alunos são avaliados pelo seu empenho e desenvolvimento diário, em avaliações diagnósticas. Avaliações essas que o professor percebe as dificuldades dos alunos e promovem ações para melhorar o aproveitamento deles de maneira contínua. 
· Enquanto a tradicional, busca aplicar conteúdos necessários para a evolução acadêmica, aqueles cobrados em vestibulares e concursos, geralmente com aulas expositivas, conteudistas, em que o aprendizado do aluno é medido por meio de provas e avaliações periódicas.
O ensino de Engenharia deve formar profissional através de uma aprendizagem significativa, contextualizada e orientada, estimulando a inteligência, gerandohabilidades em resolver problemas e conduzir projetos nos diversos segmentos do setor produtivo, deixando-os aptos a utilizar de todas as tecnologias disponíveis para seu crescimento intelectual. É indispensável também, que o estudante seja capaz de exercer valores e condições de formação humana, como: conduta ética, capacidade de iniciativa, criatividade, atitude empreendedora, flexibilidade, autocontrole, comunicação, expressão oral e escrita, dentre outros.
 Goldberg, afirma que os alunos de Engenharia estão tendo dificuldades em: 
· Fazer boas perguntas; 
· Nomear objetos tecnológicos; 
· Modelar processos e sistemas; 
· Decompor problemas complexos em problemas menores; 
· Coletar dados para análise; 
· Visualizar soluções e gerar novas ideias; e 
· Comunicar soluções de forma oral e por escrito. 
Por isso a importância de fazer uso das metodologias construtivistas atreladas ao conteúdo tradicional, pois elas estimulam o aluno a ouvir, ver, perguntar, discutir, fazer e ensinar dentro do assunto lecionado. Justamente por serem diferentes que elas se complementam.
 Muitos fatores interferem para que uma ou outra seja aplicada no ensino superior. Deve haver um ambiente propício, com salas de aula com menos alunos, organizadas em círculos, ou grupos, para que os estudantes sejam incentivados a interagir uns com os outros. Segundo Hamze (s/d), aprendizagem é um processo de mudança de comportamento obtido através da experiência construída por fatores emocionais, neurológicos, relacionais e ambientais.
Por se tratar de ensino superior, mesmo com todas as dificuldades citadas acima, aplicar uma metodologia ativa(construtivista) pode ser possível. Como:
· Ter aulas práticas em laboratório
· Desenvolver oficinas
· Tarefas em grupo
· Trabalhos em equipe dentro e fora do ambiente escolar com tarefas colaborativas
· Visitas técnicas e desenvolvimento de projetos
· Discussão de temas e tópicos de interesse profissional
· Estudo de casos em áreas profissionais específicas
· Debates sobre temas da atualidade
· Geração de ideias para solução de um problema
· Uso de mapas mentais para aprofundar conceitos e ideias
· Modelagem e simulação de processos e sistemas
· Criação de espaços virtuais para aprendizagem coletiva
· Questões de pesquisa na área científica e tecnológica, etc.
3. CONCLUSÃO
O maior desafio no ensino de Engenharia, é prover uma formação profissional em sintonia com as mudanças tecnológicas e evolutivas cada vez mais intensas e que exigem muita resiliência do profissional. Dentre as metodologias discutidas acima, qual seria a melhor abordagem para moldar o engenheiro para estar apto ao mercado de trabalho e suas exigências? 
O interessante no ensino superior, é que é composto por pessoas adultas que escolheram estudar determinada área. No ensino profissional de engenharia, os conteúdos são diversificados, entre matérias de teorias e conteúdo de cálculos. Considerando que ao escolher engenharia, o aluno já tenha uma afinidade com os conteúdos da grade curricular, ainda assim, não é garantido que terão um bom aprendizado e se tornarão bons profissionais, tudo depende do interesse e esforço do aluno, e da dedicação e metodologia do professor. Isso é corroborado por Guimarães que diz: 
Assim, práticas formativas referem-se a maneiras bem identificáveis de ensinar, mas também à qualidade das relações entre professor e aluno, ao exemplo profissional, à autoridade intelectual do professor formador, entre muitas outras ocorrências que os alunos podem avaliar como importante para o aprendizado do ser professor. (GUIMARÃES, 2004, p. 56)
O estudo das disciplinas de engenharia possui conteúdos muito difíceis, e em função das dificuldades de aprendizagem, principalmente em assuntos que demandam cálculos, a maioria dos estudantes não conclui a graduação; ou trocam de curso ou evadem consideravelmente nos primeiros períodos.
Os alunos já possuem maus hábitos em relação aos estudos, acostumados com a ideia de memorizar os conteúdos e reproduzir apenas o necessário, o que a prova exige, não estão se tornando bons profissionais, mas sim, tendo um diploma. Esses, como futuros engenheiros, devem ser estimulados a buscar autonomia na aprendizagem, a desenvolver ideias, projetos e aprender a desenvolve-los de maneira independente, aprendendo a se tornar um líder.
 Os docentes do ensino superior, por sua vez, devem se capacitar e aprender a ensinar de forma mais dinâmica, principalmente conteúdos mais complexos ou conteúdos que são muito necessários para a carreira dos estudantes.
Por possuírem um público que está se capacitando para exercer uma profissão no futuro próximo, o professor deve trazer a realidade da função para os estudantes, por meio de aulas práticas e diversificadas, ou até pelas suas próprias experiências, ou ainda por visitas técnicas, palestras, etc. Qualquer outra forma didática, que traga uma nova perspectiva sobre o que está sendo exposto em termo de conteúdo, pois se não houver essa contextualização como forma de trabalhar melhor os conteúdos, não haverá o envolvimento efetivo com a disciplina por parte dos estudantes. 
Minha análise é que o antigo e o novo se complementam, que o ensino hibridizado do tradicional com o construtivismo, formam profissionais e pessoas melhores, uma vez que não podemos abrir mão da teoria, das fórmulas e datas, pois é preciso ter todas as informações necessárias para se construir um conhecimento, mas em contra partida, o modo como se ensina esses conteúdos obrigatórios pode ser de maneira mais construtiva, despertando o interesse do aluno sobre o assunto, fazendo com que a curiosidade e a dinâmica do processo da aula o leve a despertar a aprender. Esse processo seria mais natural e, portanto, mais assertivo em relação ao aprendizado, pois o conhecimento adquirido iria além dos limites do ambiente escolar e passaria a fazer parte da vida do aluno.
Como resposta ao tema: melhor metodologia no processo de ensino e aprendizagem na engenharia, afirmo em dizer que propor um mesclado de aulas expositivas com aulas investigativas e práticas, pois Borges (2002; Sá, et al., 2007), diz que as atividades investigativas podem assumir diferentes configurações (atividades práticas, atividades teóricas, atividades com banco de dados, atividades de avaliação de evidências, atividades de simulação, dentre outras possibilidades). E que “As ações desenvolvidas no ensino por investigação estão atreladas a situações problema, o que abre espaço para o debate, argumentação, negociações para o desenvolvimento de estratégias pelos estudantes (em parceria com o professor) par a solução dos problemas propostos”. O que é o ideal de ensino para que os alunos de engenharia saíssem mais preparados para o mercado de trabalho.
O mercado de trabalho precisa de um indivíduo colaborativo, criativo, inovador, sensato e voltado para o mundo no sentido global (Mintzberg; Gosling,2003)
Então levar os conhecimentos teóricos de modo mais prático, trazendo esses assuntos lincados com a realidade, a vivência dos alunos, faz com que eles sintam mais empatia e queiram aprender, ou aprendam com mais facilidades, uma vez que eles se identificam com o que está sendo mostrado. Na infância, o professor trás o lúdico, que são as brincadeiras e ferramentas que chamam atenção da criança, e ela aprende dessa forma. Já na fase adulta esse lúdico, tem que vim de maneira mais palpável, talvez trazendo uma roda de discussão sobre o assunto, ou em um cálculo matemático utilizar exemplos do dia a dia, etc... Essa didática que faz com que o conhecimento dos jovens e adultos sejam absorvidos com mais facilidade e assertividade.
MIZUKAMI, M. G. N. Ensino: as abordagens do processo. São Paulo: EPU, 1986.
GUIMARÃES, Valter S. Formação de professores: saberes, identidade e profissão. Campinas, SP: Papirus, 2004 
HAMZE, Amélia. O que é aprendizagem? Disponível em: http://www.educador.brasilescola.com/trabalho-docente/o-que-e-aprendizagem.htm.
3.1 Metodologia: material concreto(manipulável).
Um material concreto poderá ser escrito em diversas obras como material manipulável (MD), portanto ao longo do texto considere as duas nomeações como sendo uma só.
Um material concreto para matemática, segundo Silva et al. (2013) “é uma forma de apresentar ao aluno uma maneira mais fácil e palpável de aprender matemática e como ela pode ser usada no nosso cotidiano” (p. 4).
Santos, Oliveira e Oliveira (2013) descrevem o material concreto como um desenvolvedor do
raciocínio do aluno estimulando o pensamento lógico matemático, na construção de esquemas conceituais dando contornos e significados. É por meio dessas interações com o meio físico e social, que a criança constrói seu conhecimento (p.1).
Destaca-se então que o material concreto é qualquer recurso que um aluno utiliza na aula que estimule o raciocínio, por exemplo quadro, giz, lápis, caderno, jogos, blocos, dentre outros. Eles além de ajudar de estimular promovem a aprendizagem significativa, dando prática a teoria, sendo esse um dos maiores desafios da matemática. Ainda segundo Santos, Oliveira e Oliveira (2013) os materiais concretos servem como mediadores entre professores, alunos e o conhecimento (matemática no nosso caso) (p.1).
Rodrigues e Gazire (2012) explicitam que 
os materiais didáticos manipuláveis (MD) constituem um importante recurso didático a serviço do professor em sala de aula. Estes materiais podem tornar as aulas de matemática mais dinâmicas e compreensíveis, uma vez que permitem a aproximação da teoria matemática da constatação na prática, por meio da ação manipulativa (p.188).
No entanto é preciso saber usá-los. Santos, Oliveira e Oliveira (2013) alertam que 
a atitude adequada do professor, o conhecimento didático e pedagógico em relação ao uso do material concreto no ensino da matemática é de suma importância tanto para os pedagogos que ministram aulas de matemática nas séries iniciais para os professores licenciados em matemática para as series finais e ensino médio (p. 12).
Willingham (2020), em seu site, complementa que “os materiais manipuláveis não favorecem a compreensão se não canalizarem a atenção dos alunos para as características relevante para a aprendizagem” (p.2).
Seguindo estas ideias podemos dizer que é preciso planejar bem qual material concreto utilizar em cada aula. Em matemática é importante observar este alerta pois esta é uma disciplina de difícil assimilação, conforme visto nos capítulos anteriores.
A Figura 4 apresenta um exemplo de material concreto para o ensino de matemática. Este material da figura poderá ser utilizado para ensinar geometria por ser da forma de um paralelepípedo e apresentar círculos em uma das faces , raciocínio lógico (encaixe) e ainda poderá ser utilizado na contagem (contando as peças).
Figura 4 – Materiais concretos no ensino de matemática
Fonte: (WILLINGHAM, 2020, p.2). 
Rêgo (2014) demostra a importância de usar o material concreto, quando a aborda que “o desenvolvimento das funções psíquicas humanas (a produção de ideias, das representações, do pensamento, enfim da consciência) está intimamente relacionada à atividade material e ao intercâmbio entre os homens” (p.98). Com base nisso podemos afirmar que um professor de matemática que usa o material concreto em sua aula está tornando a aprendizagem do seu aluno mais significativa, ou seja, está fazendo a junção teoria e prática.
3.2 Metodologia: Objetos de Aprendizagem
Um objeto de aprendizagem também pode ser chamado de OA ou de objeto virtual de aprendizagem. Braga e Menezes define um OA como “ componentes ou unidades digitais, catalogadas, disponibilizadas em repositórios na internet para serem reutilizados para o ensino” (p.21).
Outra definição é a de Wiley (2000) citado por Carneiro e Silveira (2014) . Ele diz que um objeto de aprendizagem é um recurso digital que apoia o ensino e deve ser reutilizável, assim favorecendo o processo de ensino e aprendizagem (WILEY apud CARNEIRO;SILVEIRA. 2014, p.238).
Desta surge a definição de Carneiro e Silveira (2014) sobre um objeto de aprendizagem. Eles afirmam que um OA é
quaisquer materiais eletrônicos (como imagens, vídeos, páginas web, animações ou simulações), desde que tragam informações destinadas à construção do conhecimento (conteúdo autocontido), explicitem seus objetivos pedagógicos e estejam estruturados de tal forma que possam ser reutilizados e recombinados com outros objetos de aprendizagem (padronização) (CARNEIRO; SILVEIRA. 2014, p.239).
A definição de Carneiro e Silveira (2014) será a norteadora desta seção pois apresenta-se a princípio a mais abrangente em se tratando do processo de ensino. A partir dela podemos perceber que um objeto virtual de aprendizagem deverá conter uma estrutura bem definida. Destacam-se: 
· Conteúdo autocontido: quem usa o objeto deverá perceber qual conteúdo está sendo trabalhado.
· Explicitar os objetivos: é preciso deixar claro qual a função daquele objeto, ou seja, qual o conhecimento gostaríamos de atingir usando aquele OA.
· Reutilização: Os OA’s poderão ser reutilizados ou melhorados por outros professores ou por quem o usar. Esta é uma das principais funções.
· Disponibilizar em repositórios: devem estar em repositórios para que todos possam ter acesso. Esta característica é fundamental para que se tenha a reutilização.
Almeida, Chaves e Junior (2013) alerta-nos que “atualmente, um dos grandes desafios dos professores e pesquisadores ao fazer uso de OA é ter certeza de que estes objetos produzidos para fins educacionais são eficazes e têm quesitos básicos de qualidade para o processo de ensino e aprendizagem” (p.6). Portanto ao escolher essa metodologia o educador deverá observar se será possível alcançar o conhecimento utilizando o objeto de aprendizagem.
Entretanto Zarpelon et. al (2018) nos acalenta afirmando que “enquanto meio auxiliar para apoiar o trabalho docente, as tecnologias digitais permitem a implementação de alternativas didáticas diversificadas, o que consequentemente amplia a probabilidade de que a aprendizagem ocorra”(p.50).
Baseado nas citação desta seção, um objeto de aprendizagem que respeita todas as características poderá ser uma metodologia utilizada por um professor de matemática, uma vez que seria possível aliar teoria e prática e fazendo com a aprendizagem ocorra, conforme Zarpeon et al. (2018) nos esclarece.
A Figura 5 nos apresenta um modelo de um objeto de aprendizagem. Ele foi retirado de uma pesquisa desenvolvida por Araújo e Bracho (2020) para as disciplinas de Física e Matemática no conteúdo de velocidade média. Eles utilizaram o software Geogebra para criar os OA’s.
Figura 5 - Aparência do simulador “tiro livre de futebol”.
Fonte: (ARAUJO; BRACHO, 2020, p. 207)
3.3 3.4 Etapa de ensino para matemática
O que seria um professor competente no ensinar matemática? Está é uma das perguntas que aquele que ensina esta disciplina deveria se fazer antes de entrar em uma sala de aula. A partir das seções anteriores podemos perceber que para ocorrer a etapa de ensino devemos observar algumas metodologias e escolher a melhor para que a aula seja produtiva e possa ser alcançado no final a aprendizagem.
Entretanto o professor de matemática deve observar mais algumas características nesta etapa do processo de ensino e aprendizagem. Segundo Moretto (2014) o professor competente é aquele que tem a habilidade de ensinar (tem sua metodologia bem definida), conhece o conteúdo que irá ministrar de sua disciplina, no nosso caso, matemática, identifica os valores culturais dos se alunos que estão ligados à sua disciplina, utiliza linguagem correta ao ensinar e sabe administrar as emoções, suas e de seus alunos.
Quando o professor escolhe bem sua metodologia (primeiro ponto proposto por Moretto) e a torna clara ao seu aluno ele poderá ter sucesso ao ensinar conforme tratamos nas seções anteriores. Relembrando o começo deste capítulo, um professor de matemática deverá fazer uso de uma habilidade prática para que possa ensinar os conceitos dos conteúdos trabalhados, escolhendo a que melhorse encaixa em cada um deles.
Santos, França e Santos (2007) afirmam que 
aprender matemática não é tarefa fácil, mas é preciso inovar o ensino mostrando cada vez mais a importância dessa área do conhecimento no dia–a–dia . Com isso, o aluno tende a ser um sujeito crítico e participativo para que o processo de ensino e aprendizagem possa fluir naturalmente (p.13).
Esta inovação é escolher a melhor metodologia, conforme apresentamos anteriormente. Esta escolha deve levar fazer com que o aluno se interesse pela matemática tornando para ele uma disciplina importante.
O segundo ponto apresentado por Moretto (2014), é ter bem dominado o conteúdo específico de sua disciplina. Este ponto é interessante pois como alguém pode ensinar outra pessoa se ele mesmo não sabe o que ensina. Essa situação se dá muitas vezes pela falta de qualificação profissional do professor. Silva, Sousa e Medeiros (2020) destacam que
tanto na matemática quanto nas demais áreas de ensino existem profissionais que estão em sala de aula e não mantêm o empenho necessário para que os estudantes obtenham êxito na aprendizagem. Outro fator importante a ser questionado é a falta de formação continuada por parte de muitos profissionais, limitando-se aos conhecimentos construídos durante a formação inicial (p.8).
O terceiro ponto proposto por Moretto (2014) é a identificação e a associação de valores culturais dos alunos com a matemática. Este ponto é interessante pois assim como o autor afirma que “identificar esses elementos (valores) e saber utilizá-los é um recurso que o professor competente deve ter disponível para abordar a situação complexa de ensinar”(MORETTO, 2014, p.35) . Ainda nesse sentido Silva, Sousa e Medeiros (2020) explicam que se faz necessário
adequar as práticas pedagógicas com a realidade dos alunos, buscando atingir os objetivos do processo de ensino e aprendizagem e proporcionar situações em que os alunos realmente aprendam, compreendendo os conhecimentos da disciplina como parte integrante do cotidiano, não somente nos conteúdos ministrados no ambiente escolar (p.6).
Um professor ao ministrar sua aula deve, portanto, analisar qual o contexto social e cultural do seu aluno e como relacionar este conceito a matemática. Um exemplo seria a matemática financeira, o professor poderia desenvolver a ideia de lucro ou prejuízo utilizando a compra de doces por crianças por exemplo, ou a ideia de caro ou barato, maior ou menor. Estes conceitos podem ser trabalhados utilizando o local em que os alunos estão inseridos, proporcionando assim uma visão prática do conteúdo ensinado.
O quarto ponto abordado por Moretto (2014) é a utilização da linguagem correta na sala de aula. Segundo ele “uma linguagem correta adequada permite ao professor facilitar a construção de relações significativas por parte do aluno. A utilização de linguagem adequada favorece também a identificação dos sentidos das palavras em diferentes contextos.”(MORETTO, 2014, p.35).
O professor de matemática deverá falar com uma linguagem clara e concisa acerca do conteúdo trabalhado. Deverá apresentar exemplos, situações do contexto e utilizar de linguagem fácil e correta, porém sem deixar a linguagem matemática de lado.
O quinto ponto exposto por Moretto (2014) destaca que o professor deve administrar as emoções de todos nas salas. Cada aluno possui seu próprio sentimento, isto é inerente ao ser humano, portanto, cada uma poderá sentir empolgação, rejeição, aceitação, medo, indiferença, amor, ira, dentre outros e cabe ao professor conciliar tudo isso.
Silva Sousa e Medeiros (2020) complementa que “é importante refletir sobre as particularidades de território, condição social, cultura, religião e, também, orientação sexual como componentes integrantes desse processo, haja vista que a escola, por sua vez, é responsável por acolher múltiplas identidades”(p.8).
Podemos resumir a etapa de ensino de matemática conforme a figura 6 abaixo, na qual observamos a aula no topo e as competências do professor, sendo que cada uma relaciona-se entre si para que tenhamos o sucesso no ensinar.
Figura 6 – Etapas do ensino
Fonte: Elaborada pelo autor (2021)
4 A ETAPA DA AVALIAÇÃO
Avaliar está presente na vida no do ser humano. Avaliamo-nos quanto a emprego, trabalho, vida social, relacionamentos e não poderia ser diferente quanto a nossa educação. Segundo o dicionário avaliar é “estabelecer o valor ou o preço de algo, determinar a quantidade, contar, pensar ou determinar a qualidade, a intensidade” (HOUAISS; VILLAR; FRANCO, 2008, p.79). 
Na escola às vezes a avaliação pode ser confundida com a avaliação escrita, porém não se pode generalizar dessa forma. Moretto (2014) ilustra-nos que 
a avaliação precisa ser analisada sob novos parâmetros e tem que assumir outro papel no processo de intervenção pedagógica, em consequência da redefinição dos processos de ensino e de aprendizagem. A avaliação é parte do ensino e da aprendizagem (p.117).
Com essa visão a forma de avaliar ganha mais vertentes como por exemplo a autoavaliação e a avaliação contínua. Porém não se pode desprezar a avaliação escrita, forma na qual por muito tempo o ensino vem sendo avaliado, principalmente no que diz respeito a matemática.
Leite et al. (2006) aborda-nos que a “avaliação refere a processos de construção de sentidos e conhecimentos sobre sujeitos, objetos ou coisas, atividades e instituições, colocados em relação educativa ou profissional durante determinado período de tempo (p.461)”
A BNCC (2018) complementa afirmando que 
na Matemática escolar, o processo de aprender uma noção em um contexto, abstrair e depois aplicá-la em outro contexto envolve capacidades essenciais, como formular, empregar, interpretar e avaliar – criar, enfim –, e não somente a resolução de enunciados típicos que são, muitas vezes, meros exercícios e apenas simulam alguma aprendizagem (BRASIL, 2018, p.277). 
A avaliação deverá então verificar se o aluno conseguiu atingir a aprendizagem desejada, analisando suas percepções, raciocínios, conjecturas, aplicações. Ela deverá ser trabalhada também na prática e não somente a memorização, sendo esta uma das mais utilizadas nas provas escritas.
Nas próximas seções abordaremos três tipos de avaliações que um professor de matemática poderá utilizar em suas aulas para que se possa analisar com clareza se a aprendizagem foi alcançada. 
Antes, porém, deve-se deixar claro que consideramos a aprendizagem alcançada quando os objetivos traçados na etapa de planejamento forem alcançados nos resultados verificados na avaliação.
4.1 Autoavaliação
Autoavaliar é uma das formas de avaliação que iremos propor aos professores de matemática. Porém antes de aplicá-la é necessário ter em mente o que significa esta palavra. Leite et al.(2006) define a autoavaliação como um “processo interno de avaliação que é realizado por sujeitos interessados na instituição envolvidos como avaliadores e avaliados, isto é, eles são não só sujeitos, mas também parte do objeto de avaliação (p.466)”.
Nesse sentido pode-se afirmar que o aluno poderá compreender quais de seus objetivos de estudo foram alcançados e de que forma melhorar seus estudos para contemplar aqueles que ainda não formam. Silva, Bartholomeu e Claus (2007) corroboram afirmando que “a autoavaliação, segundo as pesquisas, tem se mostrado um excelente auxiliar para o processo de ensino/aprendizagem em sala de aula, como mecanismo diagnóstico, para que professores e alunos tenham uma visão mais clara de suas potencialidades (p.89)”. Entretanto Leite et al. (2020) nos alerta que esta forma de avaliação nos “exige tempo, recursos e dedicação (p. 342)”. 
Correlacionando as duas ideias anteriores 
a autoavaliação, entre essas outras formas, pode alcançar bons resultados, desde que as pessoas envolvidas nesse processo estejam conscientes dos critérios para a sua aplicação: estabelecimento de objetivos gerais e de objetivos específicos para cada questão; clareza quanto às necessidades dos alunos; planejamento bem delineado; e reflexões teóricas a respeitodas teorias que subjazem ao processo, pois se a autoavaliação for utilizada de maneira impressionista, em vez de ser um instrumento de desenvolvimento, poderá se tornar fonte de desentendimento (SILVA;BARTHOLOMEU;CLAUS, 2007, p.90).
Bibiano (2010, p.6) aponta-nos alguns critérios que devemos levar em consideração quando um professor adota este tipo de avaliação. São eles: 
1. Exposição dos conteúdos: deixar claro o que será avaliado, qual o conhecimento será exigido do aluno.
2. Definição de critérios: qual a forma que será cobrado o conhecimento do aluno, quais as regras exigidas.
3. Dupla reflexão: O aluno reflete primeiro colocando seu ponto de vista do que aprendeu ou não segundo os critérios definidos e depois o professor realiza o mesmo processo seguindo os mesmo critérios. As divergências encontradas servem para melhoria.
4. Plano de ação: focar em ações para resolver as tentar resolver as divergências encontradas.
A autora ainda nos ilustra uma autoavaliação que apresenta esses critérios, observe a figura 7.
Figura 7 – Autoavaliação segundo Bibiano
Fonte: (BIBIANO, 2010, p.6)
Compete, portanto, ao professor que aderir a esse modelo de avaliação observar esses critérios e relembrar que é preciso de tempo para decidir o que será avaliado e como, conforme vimos anteriormente.
 
4.2 Avaliação contínua
A avaliação contínua é uma das formas de avaliar presentes em alguns PPP’s de escolas no Brasil. No PPP da Escola Estadual Nossa Senhora das Graças de Irati (2019) é deixado claro que avaliação será feita de forma “emancipadora, diagnóstica e contínua”(p.67). Igualmente o da Colégio Estadual Professor José Aloísio Aragão de Londrina (2012) afirmando que ela é pautada no “ambiente educativo; prática pedagógica; avaliação; gestão escolar democrática; formação e condições de trabalho dos profissionais da escola; ambiente físico escolar; acesso, permanência e sucesso na escola”(p.35). Este ambiente, práticas, gestão, é a forma de avaliar continuamente.
Entretanto, para um professor de matemática utilizar essa forma de avaliação, ele deverá saber quais são suas características e como implementá-las em sua aula. Este modelo consiste, segundo Miranda (2020) em seu site, “um método de avaliação onde o aluno é avaliado por inteiro, ou seja, a avaliação não deve acontecer somente ao final de um bimestre através das famosas provas bimestrais. É preciso que o processo de avaliação seja constante”(p.1).
Vieira e Sforni (2010) reafirmam que a avaliação deve ser “realizada em diferentes momentos, oportunizando um acompanhamento sistematizado da aprendizagem do aluno pelo professor” (p.48)
Podemos destacar então que o professor deverá elaborar estratégias para avaliar seu aluno por inteiro, por exemplo, numa aula de adição, o aluno deverá ser avaliado se consegue compreender o conceito, aplicar, socializar e introduzir no seu contexto. 
Elegemos, portanto, as seguintes características da avaliação contínua: 
· Compreensão por parte do aluno;
· Observação por parte do aluno e do professor;
· Aplicação do conteúdo no dia a dia por parte do aluno e do professor;
· Avaliação diária e não somente no final do bimestre.
É esclarecido na BNCC (2018) que ao utilizar-se esta avaliação nas aulas de matemática “espera-se que eles (alunos) desenvolvam a capacidade de identificar oportunidades de utilização da matemática para resolver problemas, aplicando conceitos, procedimentos e resultados para obter soluções e interpretá-las segundo os contextos das situações” (BRASIL, 2018, p.265).
Moretto (2014) complementa ainda que para utilizar-se deste método, “avaliação da aprendizagem precisa ser coerente com a forma de ensinar. Se a abordagem no ensino foi dentro dos princípios da construção do conhecimento, a avaliação da aprendizagem seguirá a mesma orientação” (p.119).
É oportuno ao utilizar esta forma de avaliar, observar como é o aluno na sala de aula, por quais daqueles critérios será possível, pois cada um “aprende” de forma diferente, conforme vimos em capítulos anteriores, não obstante cada um deverá ser avaliado de formas diferentes.
Miranda (2019) exemplifica-nos para que o professor tenha registrado quais critérios os alunos foram avaliados, se faz necessário que o professor:
· anote o que seu aluno produz na sala, suas participações, dúvidas, críticas, pensamentos ditos; 
· montar fichas individuais de cada um; 
· realizar debates, avaliações orais; 
· autoavaliação.
4.3 Avaliação escrita
Em nosso contexto escolar podemos afirmar que esta é uma das formas de avaliar mais utilizadas, principalmente no que diz respeito a matemática. Segundo Vieria e Sforni (2010) “a avaliação escolar implica necessariamente em avaliar conhecimentos, conteúdos ensinados, objetivos propostos e alcançados, enfim, avaliar o que o aluno aprendeu”( p.55).
Porém Moretto (2014) afirma que “a avaliação da aprendizagem é um momento privilegiado de estudo, e não um acerto de contas” (p.119). Nesse sentido podemos considerar que a avaliação escrita deve privilegiar o conhecimento e o estudo ao aluno e não o contrário.
Percebe-se no entanto, que algumas avaliações principalmente da área de exatas, tem deixado a desejar no contexto anterior. Algumas vezes as avaliações apresentam uma exploração da memorização exagerada, falta de parâmetros para correção e ainda utilização de perguntas que não apresentam sentido para que o aluno compreenda e resolva aquela questão (MORRETTO, 2014).
Laburú, Silva e Vidotto (2005) complementa-nos que “a prova é um momento organizado, no qual o aluno deve “provar” ao professor uma parte daquilo que ele convencionou como importante e salientou como questão merecedora de atenção” (p. 28, apud SORDI, 1999).
Conforte vimos anteriormente a prova é um momento de privilegiar o estudo e portanto deve ser elaborada para tal fim, para isso, Moretto (2014) afirma que ela deve conter contextualização, parametrização, exploração da capacidade de leitura e de escrita do aluno e proposição de questões “operatórias” e não apenas “transcritórias”.
Contextualizar uma prova é proporcionar ao aluno um apoio nas perguntas das avaliações. Temos como exemplo de prova contextualizada o ENEM. Veja o exemplo de uma questão de matemática retirada da prova amarela, questão 136 do ENEM 2017. 
Figura 8 – Questão contextualizada Enem 2017
Fonte: (Enem, p. 14, 2° dia, 2017)
Nesta questão pode-se perceber o contexto social “congestionamento” como o problema. Na sequência o texto da pergunta afirma que o gráfico deverá mostra a variação de velocidade durante um congestionamento (que é o problema na qual está inserido a pergunta) definida por um intervalo de tempo. Por fim o aluno tendo como apoio essas informações pergunta-se “quantos minutos o veículo permaneceu imóvel ao longo do intervalo de tempo total paralisado”. Quando o aluno lê a pergunta pode-se concluir que deverá olhar o gráfico e resolver a pergunta de forma mais clara e ainda poderá refletir como é difícil o problema do congestionamento.
É importante, portanto, contextualizar as avaliações escritas para que se possa ter um momento privilegiado de estudo, no caso desta pergunta, o estudo do congestionamento.
A BNCC (2018) exalta-nos nesse sentido que não se pretende com a contextualização apenas 
a resolução do problema, mas também que os alunos reflitam e questionem o que ocorreria se algum dado do problema fosse alterado ou se alguma condição fosse acrescida ou retirada. Nessa perspectiva, pretende-se que os alunos também formulem problemas em outros contextos. (BRASIL, 2018, pag. 277)
Parametrizar uma prova escrita é deixar bem claro o que será avaliado. Por exemplo na questão do Enem (Figura 8), o critério a ser avaliado é “quantos minutos o veículo permaneceu imóvel ao longo do intervalo de tempo total paralisado”, ou seja, será avaliado os minutos e não a variação de velocidade. Conforme mencionamos anteriormente algumas provas não deixam isso bem claro, o que atrapalha o aluno na resolução.
A prova escrita deve explorar a capacidade de leitura e escrita dos alunos, por exemplo,se a questão do Enem (Figura 9) fosse apresentada em uma sala de aula, ela poderia ser uma questão subjetiva com uma pergunta adicional: Observando os dados que você encontrou, na sua opinião, podemos afirmar que o congestionamento é um grave problema nos dias atuais, conforme diz o enunciado?
Ao adicionar essa nova pergunta o aluno poderá observar o contexto “congestionamento”, pensar em matemática (cálculos) e ainda explanar seu ponto de vista sobre o problema.
Por fim, o quarto ponto que Moretto (2014) nos traz é a proposição da prova “operatória” e não “transcritórias”. As provas operatórias são aquelas que exigem do aluno raciocínio e não a memorização, por outro lado, as transcritórias já exigem memorização e pouco raciocínio. Este ponto remete-se muito a avaliação de matemática na qual a pergunta “calcule” está muito presente e é característica da prova transcritórias. 
A figura 9 apresenta uma questão que tem característica operatória. Nela aluno deverá observar o gráfico e pensar qual a mediana da taxa de desemprego e não somente memorizar a fórmula e aplicar um número apresentado em um enunciado.
Figura 9– Questão operatória Enem 2017
Fonte: (Enem, p. 27, 2° dia, 2017)
A figura 10 apresenta uma questão com característica transcritórias na qual o aluno deverá apenas saber “o que é”, “como se chama” e “quanto é”, características da memorização.
Figura 10 – Questão transcritórias – caderno do futuro 2° ano
Fonte: (SILVA, p.14, 2013)
Em resumo para que se tenha uma boa avaliação escrita deve-se observar: 
· clareza e objetivo da questão bem claros;
· conteúdo relevante e claro na questão;
· contextualização das questões;
· questões críticas;
· evitar perguntas de memorização;
· enunciados claros e com critérios bem definidos;
Conclusão
A palavra Conclusão deve ser colocada em caixa baixa, alinhamento a esquerda e fonte tamanho 12, Arial ou Times New Roman. 
Os aprendizados e observações realizados por meio da pesquisa, afinal, são a parte mais relevante da conclusão. Feito isso, você deve listar quais dos objetivos definidos no início do trabalho foram alcançados. Caso um ou mais deles não tenha apresentado o resultado desejado, não se preocupe, basta explicar o porquê disso, o que provavelmente é uma resposta que você obteve ao longo da produção. A conclusão é de caráter qualitativo, portanto, não permite quadros, tabelas, citações entre outros.
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Anexo A – Plano de aula - Cadernos de Práticas de Ensino de Matemática Da UFABC – VOL. 1 (CARDOSO; PAZUCH. 2019, p. 21-26).