2011-feb, 6to Fis_mat, mat I, IAVA

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14 de febrero de 2011 
EXAMEN MATEMÁTICA 3FM 
1)A) Demostrar que ( ) xf x e x admite una única raíz real. Enunciar los teoremas utilizados 
 b) E.A y R. G de ( ) ( )xg x artg e x 
2) A) Enunciar y demostrar el Teorema de Lagrange 
B) Sea
2
( )
1
x
g x
x
 ¿g cumple con las hipótesis de Lagrange en [-1,1]?¿Y en [0,1]? En caso afirmativo determine el c 
de Lagrange. Justifique sus respuestas 
3)A) Demostrar que si una función es derivable en a entonces es continua en a 
 b) Hallar a y b para que la función sea derivable en R: 
2
1
 x 1
( ) si -1<x<1
cos( ) si x -1
x
t dt
h x ax b
x
 
4) A) Calcular: 
1
0
1 2 1
)lim ( ) ii) lim
14
x
x x
i artg sen x
x
x 
B) Definir función creciente estricta en x=a. Demostrar que si f es derivable en a y f’(a) >0 entonces f es 
estrictamente creciente en x=a 
 
5) A) Probar que si f y g son dos funciones continuas en tales que 
 entonces . 
 
B) Discutir según los extremos relativos de