matematica modulo 5 EJA

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Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim 
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Módulo 9 
Objetivos:
 
- Identificar representações de ponto, reta e plano em situações 
concretas; 
- Representar e nomear ponto, reta e plano; 
- Identificar as posições das retas em vertical, horizontal e inclinada, 
- Identificar as posições de 2 retas num plano em paralelas, concorrentes 
e coincidentes; 
- Identificar segmento de reta, segmentos consecutivos e segmentos 
congruentes; 
- Identificar um polígono; 
- Distinguir os lados e as diagonais de um polígono e calcular o nº de 
diagonais; 
- Calcular o perímetro de um polígono; 
- Identificar o uso de ângulos; 
- Reconhecer os ângulos : reto, agudo e obtuso; 
- Determinar os ângulos complementares e suplementares; 
- Reconhecer ângulos congruentes e ângulos opostos pelo vértice; 
- Caracterizar um triângulo representando e nomeando seus elementos; 
- Verificar a existência de um triângulo formado com três segmentos 
dados; 
- Determinar a medida de um dos ângulos internos de um triângulo, 
conhecendo as medidas dos outros ângulos; 
- Identificar a mediana, a altura e a bissetriz de um triângulo; 
- Classificar triângulos quanto à medida dos lados e quanto à medida dos 
ângulos; 
- Identificar triângulos semelhantes; 
- Determinar a razão de semelhança em triângulos semelhantes; 
- Calcular a medida de lados em triângulos semelhantes;. 
- Aplicar p Teorema de Talles; 
- Aplicar as relações métricas no triângulo retângulo em resolução de 
situações-problemas. 
Roteiro de estudo: 
- Para estudar e aprender o conteúdo deste módulo você deverá ler com 
muita atenção, pensando e raciocinando sobre o que você leu. 
- Você deverá resolver os exercícios do módulo e fazer a correção pelo 
gabarito. 
FAÇA OS EXERCÍCIOS NO SEU CADERNO, NÃO 
ESCREVA NA APOSTILA. 
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Introdução à Geometria
 
Finalmente você vai estudar uma parte da matemática onde 
não será preciso “decorar” teoremas ou fórmulas. É a GEOMETRIA 
(estudo de medidas e formas que existem na terra). 
GEO significa terra e METRIA significa medida. 
PONTO, RETA E PLANO 
1- Conceito (idéia) de PONTO:
 
Observando o mundo em que vivemos certas idéias surgem de 
modo intuitivo 
Exemplo: A marca da ponta de um lápis, uma marca de giz no 
quadro negro, a localização de uma cidade no mapa, tudo isso nos 
dá a idéia de ponto em geometria. 
O ponto não tem dimensões (tamanho) e é normalmente 
indicado por letras maiúsculas do nosso alfabeto. 
Ex.: . A . B 
 ( ponto A ) ( ponto B ) 
2- Conceito de RETA:
 
Exemplo: Um fio esticado por duas pessoas, a linha divisória de 
um campo de futebol sugerem a idéia de reta em geometria, com 
uma diferença básica: a reta não tem começo e nem fim, portanto 
não pode ser medida. 
As retas são indicadas por letras minúsculas do nosso alfabeto. 
Ex.: r s a 
 (reta r) (reta s) (reta a) 
3- Conceito de PLANO:
 
Qualquer superfície (a parede de uma sala, um pedaço de 
madeira compensada, o piso de um campo de futebol), 
sugerem a idéia de plano em geometria. 
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Usualmente os planos são indicados por letras do alfabeto 
grego. 
Ex: (alfa), (beta), (gama) 
Representação: 
 (plano alfa) (plano Beta) 
Conclusão: 
- O ponto, a reta e o plano são noções intuitivas, ou seja, são 
modelos criados por nossa imaginação e usados justamente 
para compreendermos melhor certos aspectos do mundo em 
que vivemos. 
Posições de uma reta:
 
Vertical, Horizontal, Inclinada 
A figura acima nos mostra um campo de voleibol onde: 
 
cada vara lateral sugere a idéia de reta (r, t ); 
 
cada faixa da rede sugere a idéia de reta (s, u ); 
 
o campo sugere a idéia de plano ( ). 
 
 t 
 u
 
 
 
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Em relação ao campo ( plano ) as varas laterais ( letra r , t ) 
ocupam a posição vertical. 
Representação da reta vertical 
 
 Observe a posição vertical do mastro da bandeira 
Em relação ao campo (plano ) as faixas da rede (s, u ) 
ocupam a posição horizontal. 
Representação da reta horizontal 
 
Observe a posição horizontal da flexa: 
Um foguete ocupa a posição inclinada em relação ao chão 
quando está em movimento. 
Representação da reta inclinada 
 Observe a posição inclinada do foguete: 
Posições relativas de duas retas em um plano: 
Retas Paralelas e Concorrentes 
 
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A figura anterior mostra uma quadra de voleibol. Nela você observa 
que: 
 
as linhas laterais que sugerem a idéia de retas (retas a e b) 
não se cruzam, então, as linhas laterais são paralelas 
(mantém sempre a mesma distância entre elas); 
 
as faixas da rede que sugerem a idéia de retas (retas r e s) 
não se cruzam, então as faixas das retas são paralelas. 
RETAS PARALELAS: Quando duas retas de um mesmo plano 
não se cruzam elas mantêm sempre a mesma distância entre si, 
portanto, não possuem ponto em comum e são denominadas retas 
paralelas. 
Representação de retas paralelas 
 a 
 
 b 
 r s 
 
 a || b r || s 
(lê-se: a é paralela a b) (lê-se: r é paralela a s) 
 
Veja novamente a figura da quadra de voleibol na página anterior 
e observe: 
 
As linhas laterais e as linhas de fundo sugerem a idéia de 
retas que se interceptam (cruzam a com c ou b com c) 
isto é, têm um ponto comum, por isso são chamadas de 
concorrentes. 
 
A vara lateral e a faixa da rede sugerem a idéia de retas (t 
e r ou t e s) que se cruzam em um ponto comum, então, a 
vara lateral e a faixa de rede são concorrentes. 
Portanto: 
A linha do trem exemplifica o conceito de 
paralelismo, pois mantém sempre a mesma 
 
distância entre seus trilhos. 
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RETAS CONCORRENTES: Quando duas retas de um mesmo 
plano possuem um ponto comum, isto é, que pertence às duas 
retas são denominadas retas concorrentes (se cruzam em um 
ponto). 
Representação de retas concorrentes 
 c t 
 P A 
 a r 
 
 
a x c t x r 
lê-se a é concorrente a c lê-se t é concorrente a 
r 
P é o ponto em comum A é o ponto em 
comum 
RETAS COINCIDENTES: Quando duas retas r e s possuem 
todos os pontos comuns isto é, uma está sobreposta (encima) à 
outra. 
Representação de retas coincidentes 
 r=s lê-se r é coincidente a s 
 
 
SEGMENTO DE RETA (pedaço da reta) 
Considereuma reta r e sobre ela marque dois pontos A e B 
distintos (diferentes). O conjunto de pontos formados por A, por B e 
por todos os pontos que estão entre A e B, denomina-se segmento 
de reta AB . O segmento é identificado por um traço em cima das 
letras que identificam o início e o fim do segmento 
 
Observe as duas agulhas de tricô que se cruzam 
num ponto. Elas nos dão a idéia de 
concorrentes. 
 
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A 
F 
 H 
 
 
A 
B r 
 
 Veja um exemplo prático 
SEGMENTOS CONGRUENTES ( tem a mesma medida) 
De acordo com a figura acima observe que: 
 
Os segmentos AB e CD têm a mesma medida logo são 
congruentes 
 
Os segmentos AC e BD são congruentes (têm a mesma 
medida) 
Então: 
Tomando a mesma unidade de referência, dois segmentos 
que têm a mesma medida são denominados segmentos 
congruentes. 
Você pode representar a congruência usando o símbolo . 
Veja: AB CD (segmento AB é congruente ao segmento CD). 
 
 
Os pontos A e B são chamados 
extremidades do segmento
 
AB determinado sobre a reta r. 
LEMBRE-SE: 
RETA não tem começo e nem 
fim. Não pode ser medida. 
SEGMENTO DE RETA tem 
começo e fim logo pode ser 
medido.
 
AF leia segmento AF 
FH leia segmento FH 
 B 
 D 
 A 
 C
 
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A 
F 
 H 
 
SEGMENTOS CONSECUTIVOS 
Observe o desenho acima. O segmento FH
 
começa no mesmo 
ponto onde termina o segmento AF . Eles são chamados 
segmentos consecutivos (um após o outro). 
Então: 
Dois segmentos que têm em comum apenas uma extremidade 
são denominados segmentos consecutivos. 
Observe o desenho ao lado: 
AB e BC são segmentos consecutivos pois têm 
 em comum o ponto B.. 
BC e CD são segmentos consecutivos com o 
ponto C em comum. 
FIGURAS POLIGONAIS 
 
Observe as figuras desenhadas abaixo. Elas são formadas por 
segmentos consecutivos. 
 ( aberta ) (fechada) (aberta) (fechada) 
Essas figuras geométricas planas são chamadas de figuras 
poligonais. Elas podem ser abertas ou fechadas. 
As figuras poligonais fechadas recebem o nome de POLÍGONOS. 
 G H 
E F 
A D 
 B C 
M N
 
O P 
X 
Y Z 
 
A 
B
 
C 
D 
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ELEMENTOS DOS POLÍGONOS 
LADOS: são os segmentos de reta (AB, BC, CD, DF, FH, HG 
e EA) que formam o primeiro polígono desenhado acima. 
VÉRTICES: são as extremidades comuns a dois lados 
consecutivos de um polígono, ou seja, os pontos A, B, C, D, E, F, G 
,H são os vértices do polígono acima desenhado 
Existem diferentes tipos de polígonos e eles são classificados 
de acordo com a quantidade de lados ou de ângulos. Veja alguns 
deles: 
Nome dos polígonos 
Nº de lados Nome 
3 lados triângulo 
4 lados quadrilátero 
5 lados pentágono 
6 lados hexágono 
7 lados heptágono 
8 lados octógono 
9 lados eneágono 
10 lados decágono 
11 lados undecágono 
20 lados icoságono 
 
Diagonais de um polígono: são todos os segmentos com 
extremidades em dois vértices não-consecutivos. 
 
 
 
A quantidade de diagonais depende do nº (quantidade) de 
vértices do polígono. Para saber quantas diagonais têm um 
polígono faça o cálculo aplicando a fórmula: 
 
AC , AE diagonais em relação ao 
vértice A 
BD , BE diagonais em relação ao 
vértice B 
DC diagonal em relação ao vértice 
D ou C
 
 A 
B 
C 
D
 
 E 
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 Onde n = quantidade de lados do polígono 
 n = 5 (no desenho acima) 
 Então:D = 
2
355 = 
2
25 = 
2
10 = 5 diagonais 
 
Exemplo: O eneágono (polígono de 9 lados) tem quantas 
diagonais? 
Substituindo n por 9 na fórmula acima,você tem: 
D = 9 . (9 – 3) = 9 . 6 = 54 = 27 diagonais 
 2 2 2 
PERÍMETRO de um polígono qualquer: é a soma das 
medidas de todos os seus lados. 
Exemplo 
 4cm 
 
3cm 2cm 
 2,5cm 
ÂNGULOS 
Você já viu que os polígonos são formados por lados 
(segmentos) e vértices (ângulos). 
O que são ângulos? 
É toda região interna ou externa compreendida entre duas 
semi-retas que têm o mesmo ponto de origem. A unidade de 
medida do ângulo é o grau. 
O perímetro do polígono é 
4+3+2+2,5= 11,5cm 
D = n . (n - 3) 
 2
 
O
 
A 
B 
Região interna formada por duas semi-
retas 
AÔB = ângulo interno 
Os ângulos também podem ser 
representados por letras gregas
 
tais 
como: a, ß, 
 
ou simplesmente com o 
acento circunflexo na letra: Â, C, H
 
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 Â 
Os ângulos são classificados de acordo com suas medidas: 
ÂNGULO DE 360º - é o ângulo que forma uma circunferência. 
ÂNGULO RASO - é igual a 180º. É a metade da circunferência. 
ÂNGULO RETO - ângulo cuja medida é 90º. Esse ângulo é o mais 
usado em arquitetura, construções, etc É o ângulo de 360º dividido 
em 4 partes iguais. O ângulo reto é representado pelo símbolo 
ÂNGULO ÂGUDO – ângulo com medida menor do que 90º. É o 
ângulo fechado representado pelo sinal 
ÂNGULO OBTUSO – ângulo com medida maior do que 90º ( é o 
ângulo aberto) 
 
B 
90º 
Ângulo A > 90º 
 > 90º 
 
90º 
 
O
 
Ângulo O < 90º
 
Ô < 90º
 
50º 
 145º 
 A 
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MEDIDAS DE ÂNGULOS 
Um ângulo não tem comprimento, nem largura nem espessura. 
Ele só tem uma medida chamada amplitude e sua unidade de 
medida é o graus representado pelo sinal º Ex. 30º (trinta graus) 
O instrumento usado para medir um ângulo é o transferidor. 
Observe o desenho do transferidor e veja como se faz para medir 
um ângulo. 
 
. 
ÂNGULOS COMPLEMENTARES 
Considere os ângulos AÔB, de medida x = 40°, e DÊF, de 
medida Y = 50º 
Observe que se você “juntar” os dois ângulos você forma um 
ângulo de 90º. 
Então : X + Y = 90° 
 40º + 50º = 90º 
Nesse caso, os ângulos AÔB e DÊF são complementares. Veja a 
representação de ângulos complementares no desenho do 
transferidor, no início desta página. 
Dois ângulos são complementares quando 
a soma de suas medidas é igual a 90° 
 
B 
 40º 
O 
 A
 
 50º 
E 
 D 
 F 
O transferidor é dividido em 
unidades de medidas 
denominadas GRAUS, no 
intervalo de 0º à 180º (meia 
circunferência) ou de 0º à 360º 
(uma cirunferência). 
Esta região está marcando um 
ângulo de 40º 
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Veja o exemplo: 
1- Calcule o complemento do ângulo de 20º 
Solução: 
Sendo X a medida do complemento do ângulo de 20° você tem: 
X + 20° = 90° (calculando o valor de X) 
X = 90º - 20º 
X = 70º ( complementar de 20º) 
ÂNGULOS SUPLEMENTARES 
Considere os ângulos AÔB, de medida x=35°, e DÊF, de medida 
 y = 145º 
Observe que X + Y = 180° 
Nesse caso dizemos que AÔB e DÊF são ângulos suplementares.Veja a ilustração no exemplo abaixo 
Veja o exemplo: 
Região do arco de linha pontilhada = 55º 
Região do arco de linha cheia = 125º 
 
 
Dois ângulos são suplementares quando 
a soma de suas medidas é 180°. 
 
 
 55º 
O A 
B 
 125º 
 E D 
 
 
 
F 
A 
B 
C 
O 
 
 55º 125º
 
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Calcule o suplemento do ângulo de 30º 
Solução 
Sendo X a medida do suplemento do ângulo de 30º você tem: 
X + 30° = 180° (calculando o valor de X) 
X = 180º - 30º 
X = 150º (suplemento do ângulo de 30º) 
Ângulos congruentes – ângulos que têm a mesma medida 
Observe os seguintes ângulos: 
Eles têm a mesma medida portanto são ângulos 
congruentes. 
Representação: AÔB RST (lê-se: AÔB é congruente a RST) 
Ângulos opostos pelo vértice
 
Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são 
semi-retas opostas aos lados do outro. 
Você vai dar continuidade a geometria estudando um polígono 
especial formado por 3 lados e 3 ângulos, chamado triângulo. 
O 
50º 
A 
B 
50º 
R 
T 
S 
OBSERVE OS ÃNGULOS: 
X e Y são ângulos opostos pelo 
vértice ( A) 
 
A
 
 X
 
Y 
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes 
( têm a mesma medida). 
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CLASSIFICAÇÃO DE ÂNGULOS 
ÂNGULO DE 360°
 
- forma 
uma circunferência (uma 
volta inteira) 
 
ÂNGULO RASO
 
– mede 
180° (meia volta) 
 
Ex.: um livro inteiramente 
aberto forma um ângulo de 
180° em relação ao fechado 
(180°) 
 
ÂNGULO RETO
 
– mede 
90° - é representado pelo 
símbolo 
Ex.: Os ponteiros do relógio 
(horas e minutos) às 3 horas
 
ÂNGULO AGUDO
 
– são 
ângulos com medidas 
menores do que 90° 
(são os ângulos fechados) 
 
Ex.: uma pasta entreaberta 
 
ÂNGULO OBTUSO
 
– são 
ângulos com medidas 
maiores do que 90° (são os 
ângulos abertos) 
 
Ex.: O ângulo entre o 
assento e o encosto da 
poltrona. 
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Módulo 10 
Objetivos: 
O aluno será capaz de: 
 
Reconhecer as características de um triângulo, 
 
Identificar e classificar os triângulos, 
 
Conceituar proporcionalidade, 
 
Identificar triângulos semelhantes, 
 
Entender o Teorema de Tales, 
 
Aplicar esses conceitos em resolução de problemas; 
 
Identificar triângulo retângulo, 
 
Reconhecer a relação métrica a ser usada, 
 
Calcular as medidas desconhecidas nos triângulos, 
 
Aplicar esses conhecimentos para solução de problemas. 
Roteiro: 
 
Leia atentamente o módulo; 
 
Faça os exercícios e depois confira as respostas no gabarito; 
 
Anote as dúvidas no caderno para perguntar ao orientador. 
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TRIÂNGULOS 
Você vai estudar neste módulo o mais simples e o mais 
importante dos polígonos: o triângulo. 
São inúmeras as aplicações práticas do triângulo em 
construções e estruturas que exigem rigidez e uma boa distribuição 
de forças. 
Observe as figuras abaixo e veja se consegue enxergar onde 
estão os triângulos, sabendo que: 
TRIÂNGULO é um polígono que possui 3 lados e 3 ângulos. 
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Representação e elementos de um triângulo qualquer 
CLASSIFICAÇÃO 
Você pode classificar os triângulos observando os lados e os 
ângulos. 
Quanto aos lados os triângulos são classificados em: 
equilátero isósceles escaleno 
A 
B 
C 
Representação: ABC 
ELEMENTOS: 
Vértices: A, B, C 
Lados: AB. AC, BC 
Ângulos internos: Â, 
^
B , 
^
C 
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EQUILÁTERO: os 3 lados são congruentes (tem a mesma medida). 
ISÓSCELES: têm dois lados congruentes (mesma medida) e um 
diferente. 
ESCALENO: as medidas dos 3 lados são diferentes. 
Quanto aos ângulos os triângulos são classificados em: 
RETÂNGULO: 1 ângulo tem medida 
Igual a 90º (ângulo reto 
^
X ). 
( Observe o desenho) 
OBTUSÂNGULO: tem um 
ângulo com medida maior 
do que 90º (ângulo Ô aberto). 
 
ACUTÂNGULO: os 3 ângulos 
têm medidas menores do que 
 90º (ângulos 
^
A , 
^
B ,
^
C fechados) 
 70º 
 A 
60ª 
 B 
C 
50º 
120º 
 O 
X 
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OBSERVAÇÕES: 
 
Base ( b ) é o lado sobre o qual o triângulo 
 se apoia. No triângulo isósceles, considera-se a 
base o lado de medida diferente. 
 
Altura ( h ) é a medida da base até o vértice oposto. 
A altura é representada por uma linha pontilhada. 
 
Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados 
congruentes (de mesma medida) é chamado ângulo do 
vértice. 
 
No triângulo isósceles os ângulos da base são 
congruentes ( mesma medida) 
 
Num triângulo retângulo denomina-se hipotenusa o lado 
oposto ao ângulo reto. Os demais lados denominam-se 
catetos. 
CURIOSIDADE : CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA 
Para você construir um triângulo qualquer é necessário que a 
medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das 
medidas dos outros dois lados. Veja o exemplo: 
 9 < 5 + 7 ou 
 5 < 7 + 9 ou 
 7 < 5 + 9 
hipotenusa
 
cateto 
cateto 
7 
9 
5 
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Medida 
^
A = 70º 
Medida 
^
B = 55º 
Medida 
^
C = 55º 
^
A + 
^
B + 
^
C = 180 º 
 
70º + 50º + 60º = 180º
 
Copie e responda em seu caderno:
 
1) Classifique os triângulos abaixo: 
a) Quanto aos lados. 
b) Quanto aos ângulos 
 
2) É possível construir um triângulo com os lados medindo 8cm, 
10cm e 15 cm ? 
SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE 
UM TRIÂNGULO 
(TEOREMA ANGULAR DE TALES) 
Tales, filósofo e matemático grego ( Mileto, 625 a.C.), foi 
um dos chamados 7 sábios da Grécia. Ele usou a geometria 
para prever um eclipse solar. 
Este é um teorema importante das medidas dos ângulos de 
um triângulo qualquer, descoberto por Tales. 
 
 
“ A SOMA DOS TRÊS ÂNGULOS INTERNOS DE UM 
TRIÂNGULO QUALQUER É IGUAL A 180º ”
 
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Este triângulo é denominado retângulo, 
portanto a medida do ângulo  é 90º então: 
X + Â + 40º = 180 
X + 90º + 40 = 180 
X + 130 = 180 
 X = 180 – 130 
 X = 50º 
 X + X + 2X = 180 
 4X = 180 
 X = 180
 
 4 
 X = 45º 
1º Exemplo: 
Observe o desenho abaixo e veja como calcular a medida do 
ângulo 
^
C do triângulo A
^
B C sabendo que a soma dos 3 ângulos é 
igual a 180º. 
 
^
A + 
^
B + 
^
C = 180º 
 55 + 65 + X = 180 
 120 + X = 180 
 X = 180 – 120X = 60º 
2º Exemplo: 
 
3º Exemplo: 
 M + N + O = 180º 
 20 + 2X + 10 + X = 180 
 2X + X + 20 + 10 = 180 
 3X + 30 = 180 
 3X = 180 – 30 
 3X = 150 
 X = 150
 
 3 
 X = 50º 
4º Exemplo: 
 55º
 
A 
 
B 
 65º 
 
X C 
 
40º 
 X 
A 
 2X + 10 
N 
X 
 O 
 M 
 20º 
 
X 2X 
X 
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Copie e responda em seu caderno:
 
3) Determine o valor do ângulo x nos triângulos abaixo. 
 
 
 
ELEMENTOS DO TRIÂNGULO 
São medidas usadas no TRIÂNGULO. 
Mediana: é o segmento de reta que une um dos vértices ao ponto 
médio do lado oposto.
 
 AM
 
é a mediana relativa ao lado BC 
 BM
 
BC (mesma medida) 
 
Altura: é a medida do segmento de reta perpendicular a um lado 
do triângulo, traçado pelo seu vértice oposto. 
A ) B) 
C) 
D) 
E) 
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 AH
 
é a altura relativa ao lado BC 
 AH
 
 (perpendicular) 
Bissetriz : é o segmento de reta que divide um ângulo interno em 
outros dois congruentes (mesma medida). 
 
FIGURAS SEMELHANTES 
Na Matemática uma foto e sua ampliação são exemplos de 
figuras semelhantes, pois têm as mesmas características, porém 
suas medidas são diferentes mas proporcionais ( a largura da figura 
A é o dobro da largura da figura B). 
O mesmo princípio é válido para qualquer figura geométrica. 
B 
^
A D D
^
A C
 
 A 
B C 
H 
h 
Ângulo de 90º 
Observe que a foto 
dobrou de tamanho. 
 A
 
B 
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TRIÂNGULOS SEMELHANTES 
 
Dois triângulos têm a mesma forma uma vez que ambos têm 
3 lados e 3 ângulos, mas nem sempre são semelhantes. 
 
Para que dois triângulos sejam semelhantes devem ter seus 
ângulos correspondentes congruentes (mesma medida) e 
seus lados correspondentes proporcionais. 
Não semelhantes ( ângulos diferentes) semelhantes ( ângulos 
congruentes) 
 
 Dois círculos são sempre semelhantes. 
NOÇÃO DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
Observe os dois triângulos ABC e DEF da figura abaixo: 
Eles têm ângulos correspondentes congruentes ( mesma 
medida ) : 
^
A
^
D , 
^
B
^
E , 
^
C
^
F
 
Esses dois triângulos têm a mesma “forma”. Eles são 
semelhantes. A razão de semelhança é 
2
1 .ou 0,5 
Os lados dos triângulos 
são respectivamente 
paralelos 
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Vamos retirar o ABC de dentro do DEF: 
1º) Você pode observar que os ângulos são ordenadamente 
congruentes: 
^
A
^
D , 
^
B
^
E , 
^
C
^
F
 
 2º) Os lados correspondentes ( ou homólogos ) são proporcionais: 
 
DE
AB =
DF
AC =
EF
BC 
Veja alguns exemplos : 
Dois triângulos são semelhantes quando têm os ângulos 
correspondentes congruentes e os lados homólogos 
(correspondentes) proporcionais. 
Note que são 
triângulos 
semelhantes, pois os 
ângulos 
correspondentes 
são congruentes. 
1º ) 
2º ) 
8 
10 
6 
5 
3 
4 
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12 
4 
9 X 
12 = 9
 
4 x 
12.X = 4.9 
 X = 36
 
 12 
 X = 3 
X 
6 
10 
14 20º 
20º 
 
80º 
80º 
 
Os triângulos acima são semelhantes, pois os lados 
correspondentes são proporcionais. 
Veja : 
4
8 = 2 
3
6 = 2 
5
10 = 2 Note que a 
razão de semelhança neste caso é 2 ( o primeiro triângulo é duas 
vezes maior que o segundo ). 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1: 
 Os triângulos abaixo são semelhantes. Descubra a medida do lado X. 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 2: 
Calcule o valor de x : 
14
x = 
10
6 ( aplicando a regra da proporção) 
10 . X = 14 . 6 
10. X = 84 X = 
10
84 X = 8,4 
 
Copie e responda em seu caderno:
 
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4 
2 
8
 
X 
6
 
Y 
b ) 
4) Sabendo que os triângulos das figuras abaixo são semelhantes, 
determine as medidas dos lados indicados. 
 
18 
20 
X 
Y 
10 
5 
c)
 
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TEOREMA DE TALES 
Curiosidades sobre Tales de Mileto 
Você sabe quem foi Tales? 
- Foi um legislador, filósofo matemático e astrônomo. 
- Tales nasceu em Mileto (atualmente pertence à Turquia) no ano 
646 aC. e morreu em 546 aC. 
- A ele são atribuídas as seguintes descobertas geométricas: 
 
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ESTUDO DO TEOREMA DE TALES E SUAS APLICAÇÕES 
NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 
Você já aprendeu no módulo 9 que quando dois triângulos 
são semelhantes , os seus lados correspondentes são 
proporcionais. A mesma teoria se aplica quando duas retas (m e 
n) cortam três retas paralelas (r, s, t ). Os seus segmentos a, b, c, 
d, também são proporcionais. Veja o exemplo resolvido abaixo, 
aplicando a propriedade da proporção:o produto (multiplicação) dos 
meios é igual ao produto dos extremos. 
b
a = 
d
c ou 
a
x = 
c
y ou 
b
x = 
d
y 
5
10 = 
7
14 
10
15 = 
14
21 
5
15 = 
7
21 
10 • 7 = 5 • 14 15 • 14 = 10 • 21 15 • 7 = 5 • 21 
 70 = 70 210 = 210 105 = 105 
Observe que aplicando o teorema das proporções você 
pode determinar a medida de um dos segmentos das retas 
transversais que você desconhece. 
 
 12 = 20 multiplicando X . 20 = 12 . 10 
 12 20 x 10 X . 20 = 120 
 X = 120 
 x 10 20 
 X = 6 
c = 14 
r 
s 
t 
m
 
n 
a = 10 
b = 5 d = 7x = a + b y = c + d 
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Você sabe que existem situações que é difícil efetuar 
medições, então, pode-se usar o Teorema da Proporcionalidade 
(Tales) aplicando a teoria dos triângulos semelhantes. 
APLICAÇÃO PRÁTICA 
Imagine que uma ponte deve ser construída sobre um rio. 
Como calcular a largura do rio para saber qual será o comprimento 
da ponte? 
Veja o esquema abaixo e observe como achar o valor de x que 
representa o comprimento da ponte. Do ponto A até o ponto E e de 
E até o ponto C você pode medir assim como do ponto A até o 
ponto D (início da ponte). Com essas medidas você forma um 
triângulo imaginário e calcula o comprimento da ponte. 
 
Observe que o triângulo ADE é semelhante ao triângulo ABC, 
pois seus ângulos são congruentes ( mesma medida) e seus lados 
correspondentes tem as medidas proporcionais então, pode-se 
usar o Teorema de Tales como foi demonstrado acima no próprio 
desenho. 
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 5
 
3
 
4
 
12
 
 9
 
X 
1º EXEMPLO: observe os lados correspondentes: 
12
4 = 
9
3
= 
X
5 proporções dos lados correspondentes 
para calcular o valor de X multiplique cruzando: 
X
5 = 
9
3 3 • X = 5 • 9 
 X = 45 X = 15 
 3 
Copie e responda em seu caderno:
 
5) Calcule o valor de X dos exercícios abaixo: 
 A 
a) 
 2 2,4 
 B E 
 
 1 X 
 C D 
 
b) 
 X 1,4 
 
 2,4 
 1,2 
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c) Calcule a medida do lado X do triângulo: 
APLICAÇÕES PRÁTICAS:
 
Copie e responda em seu caderno:
 
6) Como você pode calcular a altura da torre de uma igreja que 
projeta uma sombra de 18 m de comprimento se, no mesmo 
instante, uma vara de 1,5 m produz uma sombra de 2,5m? 
Observe o desenho abaixo: 
 
 
 
 
7) Se uma haste de 1m projeta uma sombra de 2m, qual será a 
altura de um poste de iluminação que, no mesmo instante tem 
uma sombra de 15 m? 
SUGESTÃO; faça a representação do problema com os desenhos 
dos triângulos. 
 
20 
 
 8 
10 
 x 
 
T 
O 
R 
R 
E X 
 
 
 
18m 
SOMBRA 
V 
A 1,5 
R 
A 
 2,5 
 
 SOMBRA
 
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TRIÂNGULO RETÂNGULO 
TRIÂNGULO RETÂNGULO : É um tipo especial de triângulo 
que tem dois lados perpendiculares formando um ângulo reto ( 
90º ). Os triângulos retângulos foram assuntos dos estudos de 
Pitágoras, importante matemático grego que descobriu uma 
propriedade válida para todos esses triângulos. 
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RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
 
TRIÂNGULO RETÂNGULO ( tem um ângulo reto Â
 
= 90º 
que é representado pelo símbolo ). 
 
Hipotenusa – é o lado oposto ao ângulo reto Â
 
(fica na 
frente do ângulo de 90º). É o lado maior do triângulo. 
Catetos - são os outros dois lados que formam o ângulo de 
90º (são perpendiculares entre si ). 
Altura - medida que parte do vértice até o lado oposto. O 
segmento da altura em relação ao ângulo de 90º divide a 
hipotenusa em duas partes denominadas projeções. 
HIPOTENUSA
 
CATETO 
CATETO 
 
A 
L 
T 
U 
R 
A 
PROJEÇÃO PROJEÇÃO 
 
A
 
Observe o triângulo retângulo e seus 
elementos (catetos, hipotenusa, altura 
e projeções desenhado abaixo) 
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CATETO 
CATETO
 
 HIPOTENUSA 
No triângulo retângulo temos quatro relações métricas que 
nos possibilitam calcular as medidas de seus elementos. A 
principal delas é o TEOREMA DE PITÁGORAS: “ O quadrado da 
hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos” 
1) 
 
 
 TEOREMA DE PITÁGORAS 
Ex.: Determine a medida 
Aplicando o Teorema de Pitágoras temos: 
 hip² = cat² + cat² 
 x² = 3² + 4² 
 x² = 9 + 16 
 x² = 25 
 x = 25 
 x = 5 
Você sabe o que fazer para achar a medida de um cateto 
do triângulo retângulo? 
 OBSERVE: 
Você sabe que: 
HIPOTENUSA é o lado oposto ao ângulo reto. 
CATETOS: são os outros dois lados. 
ALTURA: medida que vai do vértice A até a 
hipotenusa, formando um ângulo de 90º. 
PROJEÇÕES: medidas que resultam da divisão 
da hipotenusa ao ser traçada a altura. 
Cada cateto tem a sua projeção na hipotenusa. 
 
 Hip2 = cat2 + cat² 
3
 
4
 
 X
 
x
 
5
 
 Hip² = cat² + cat² 
 5² = X² + 3² 
 25 = X² + 9 
25 - 9 = X² 
 16 = X 
 X = 4
 
3
 
LEMBRE-SE! 
3² = 3 • 3 = 9 
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Copie e responda em seu caderno:
 
8) Determine o valor de X: 
a-) b-) 
As outras relações métricas você irá usar quando precisar 
calcular as medidas internas do triângulo: 
( altura ou projeções). 
Veja como usar essas fórmulas: 
 
4 
3 
 5 
 X 
1º EXEMPLO 
No triângulo ao lado são dadas 
as medidas dos catetos 
( 3 e 4 ), e da hipotenusa ( 5 ). 
Falta achar a medida da 
altura ( X )
 
6
 
8
 
X
 
X
 
6
 
 4
 
2) Cat² = hip . proj 
3) Hip . alt = cat . cat 
4) Alt² = proj . proj 
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Há duas fórmulas (3 e 4) 
onde aparece altura. 
3) Hip . alt = cat . cat
 
4) Alt² = proj . proj 
Qual delas devo usar? 
Na relação nº 4 é necessário ter
 
as medidas das projeções e no 
triângulo acima não tem então, 
a relação nº 3 é a mais 
adequada. 
 
Veja as medidas: 
Cat. = 4 
Cat. = 3 hip . alt = cat . cat 
Hip. = 5 5 . x = 3 . 4 
Alt. = X 5x = 12 
 x = 
5
12 
 x = 2,4 
9) Determine o valor de X: 
a-) b-) 
c-)6
 
8
 
X
 
3
 
8
 
X
 
12 
 
15 
9 
X 
No exercício b você tem a medida da 
hipotenusa e do cateto e quer determinar 
a medida da projeção. 
No exercício c você tem as medidas das 
projeções e quer calcular a medida da 
altura. 
Veja na página anterior as fórmulas 2,3,4 
e descubra qual a mais indicada para 
cada caso. 
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APLICAÇÕES PRÁTICAS: esses teoremas são usados para 
resolver situações problemas. É conveniente fazer a 
representação através do desenho. 
 1º exemplo 
Uma torre metálica de 10m de altura será fixada ao solo por um 
cabo de aço em um ponto distante a 30m da extremidade inferior da 
torre. Quantos metros de cabo de aço serão necessários ? 
Passos para resolver o problema: 
1- Faça a representação do problema com desenho anotando as 
medidas dadas e identificando o lado X; 
2- Identifique o lado da hipotenusa e o dos catetos; 
3- Escolha a fórmula mais adequada; 
4- Resolva para calcular o valor de X. 
Hip² = cat² + cat² 
 X² = 10² + 30² 
 X² = 100 + 900 
X² = 1000 
X = 1000 
X = 31,62 
Serão necessários aproximadamente 31,62 metros de cabo de aço. 
 10m 
 cat X hip 
 30m cat 
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Copie e responda em seu caderno:
 
10) Um bombeiro precisa colocar uma escada até a janela do 2º 
andar que está a 15m de altura do chão. A escada está fixada 
a 8m de distância da parede. Qual deve ser a medida mínima 
da escada? 
Observe a representação geométrica do problema: 
11) Um monumento será construído em forma de triângulo 
retângulo cuja hipotenusa mede 10m, um dos catetos mede 
6m e o outro 8m. Qual será a altura desse monumento? 
 Parede = 15m 
Escada 
(X) 
8 m 
 
10m 
 6m 
 8m 
X 
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GABARITO: 
1) A - I = Eqüilátero B - I = acutângulo 
II = Isósceles II = Obtusângulo 
III = Escaleno III= Retângulo 
 
2) Sim 
3) a) 40º b) 55º 
 c) 30º d) 40º 
 e) 108º 
4 ) a) X = 12 
5-) a) X = 1,2 b) X = 2,8 c) X = 16 
6-) X = 10,8 
7-) X = 7,5 
8-) a) X = 10 b) X = 4,4 
 
9-) a) X = 7,2 b) X = 4,5 c) X = 4,8 
10-) X = 17 
11-) X = 4,8 
 B) X = 4
 
 Y = 3 
C ) X = 10 
 Y = 9 
 
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Bibliografia: 
Desenhos ilustrativos tirados dos livros: 
BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, 
José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava 
Série 
São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995. 
IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série 
São Paulo. Editora Scipione. 1999. 
SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E 
HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione 
1997. 
ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007: 
- Elisa Rocha Pinto de Castro 
- Francisco Carlos Vieira dos Santos 
- Josué Elias Latance 
- Rosy Ana Vectirans 
COLABORAÇÃO: 
- Adriana Moreira Molinar 
- Esmeralda Cristina T. Ramon 
- Rosimeire Maschetto Nieri 
- Sara M. Santos 
DIREÇÃO: 
- Elisabete Marinoni Gomes 
- Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper 
COORDENAÇÃO: 
- Neiva Aparecida Ferraz Nunes 
APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim 
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