ACELEARACAO DA GRAVIDADE

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ACELERACAO DA GRAVIDADE 
 
 O valor da aceleração da gravidade terrestre possui uma dependência com a latitude local de acordo com a expressão:
𝑔ᵩ ≌ 9,7805 (1 + 0,00529 𝑠𝑒𝑛2ᵩ )𝑚/𝑠2	(1)
Ou seja, utiliza-se g como 9,80665 𝑚/𝑠2 aproximadamente, pois há uma variação de acordo com a localização. Se estiver ao nível do mar e a latitude de 45º usa-se 9,80665 𝑚/𝑠2. A aceleração da Terra varia pouco, devido a diferentes altitudes, variações na latitude e distribuição de massas do planeta. (LOPES, 2008)
No equador, os valores variam de 9, 789𝑚/𝑠2, e nos pólos até 9, 823 𝑚/𝑠2. Isto devido à rotação da Terra, que impõe uma aceleração adicional no corpo em relação à aceleração da gravidade. O corpo atraído gravitacionalmente sente uma força centrífuga atuando para cima, reduzindo o seu peso. (LOPES, 2008)
Outra razão que explica este fenômeno é a forma não tão esférica da Terra, podendo-se dizer mais achatada nos polos, também causada pela força centrífuga. Sendo assim, o raio da Terra é maior no equador do que nos polos. Como a atração gravitacional entre os dois corpos varia inversamente entre o quadrado da distância entre eles, objetos no equador possuem gravidade menor do que nos polos.
O resultado da combinação dos dois efeitos é que g é 0, 052 𝑚/𝑠2 maior, então a força da gravidade sobre um objeto é 0,5% maior nos polos do que no equador. Se o local estiver ao nível do mar, usamos a expressão (1), onde 𝑔ᵩ é a aceleração em 𝑚/𝑠2 a latitude ᵩ. (STACEY, 1977)
A tabela 1 apresenta a variação de g de acordo com a latitude local, demonstrando assim que 9,8 𝑚/𝑠2 é um valor de aproximação utilizado nos cálculos.
Tabela 1– Variação de g de acordo com a latitude
	Latitud
	g (𝑚/𝑠2)
	0°
	9,78
	20°
	9,786
	27° a
	9,79
	40°
	9,802
	60°
	9,819
	80°
	9,831
	90°
	9,832
Fonte: WERLANG, 2011. Adaptada pelo autor.
Em relação à altitude (ℎ), a aceleração da gravidade diminui de acordo com a equação:
𝑔 =		GM (R+h)²
(2)
Onde 𝐺 é a constante de gravitação universal e vale:
6,67 × 10–11 ∙ N∙m²
kg²
(3)
Onde,
𝑀 é a massa da Terra;
𝑅 é o raio da Terra;
ℎ é a altura do ponto considerado em relação à superfície da Terra.
Tabela 2 – Variação de g em relação à altitude (a 45° de latitude).
	Altitude (𝑘𝑚)
	g (𝑚/𝑠2)
	0
	9,81
	20
	9,75
	40
	9,69
	60
	9,63
	80
	9,57
	100
	9,51
	200
	9,22
Fonte: WERLANG, 2011. Adaptada pelo autor.
1.1.1 Vetor Posição e Vetor Velocidade
Ao realizar um lançamento com uma catapulta como irá descrever este movimento? O que determina onde o objeto lançado irá cair? Qual o tempo de queda do objeto lançado?
Para descrever o movimento oblíquo de uma catapulta precisa-se descrever a posição do objeto a ser lançado. Considerando o ponto 𝑃 a localização do objeto, o vetor 𝑟⃑ é o vetor que vai da origem das coordenadas até o ponto 𝑃. As coordenadas
𝑥, 𝑦 e 𝑧 do ponto 𝑃 são componentes 𝑥, 𝑦 e 𝑧 do vetor 𝑟⃑, conforme gráfico 1 . (YANG e FREEDMAN, 2003).
 𝑟⃑ = 𝑥𝚤̂ + 𝑦𝚥̂ + 𝑧𝑘^	(4)
Gráfico 1 – vetor posição 𝑟⃗ da origem até o ponto 𝑃 possui componentes 𝑥, 𝑦 e 𝑧.
𝑷
𝑧𝒌^
𝑟⃗
𝑦J
𝑥7̂
Fonte: YOUNG E FREEDMAN, (2003). Adaptada pelo autor.
Quando o objeto se desloca no espaço, a trajetória descrita é uma curva, conforme mostra o gráfico 2. Durante um intervalo de tempo ∆𝑡 o objeto se move do ponto 𝑃1, onde o vetor posição é 𝑟⃑1 até o ponto 𝑃2, onde o vetor posição é 𝑟⃑2. A variação da posição neste intervalo de tempo é ∆𝑟⃗ = 𝑟⃗2 − 𝑟⃗1 (vetor deslocamento). (TIPLER, 1985)
30
Gráfico 2 – A velocidade média 𝑣⃗m entre os pontos 𝑃1 e 𝑃2 possui a mesma direção e o mesmo sentido do vetor deslocamento ∆𝑟⃗.
𝑃2
𝑟⃗
𝑣⃗m
2
∆𝑟⃗
𝑟⃗1
𝑃1
Tra
Fonte: YOUNG E FREEDMAN, (2003). Adaptada pelo autor.
Define-se como velocidade média, a razão entre o vetor deslocamento ∆𝑟⃗ e o intervalo de tempo transcorrido neste deslocamento ∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1:
31
𝑣⃗m
= r⃗2 –r⃗1
t2–t1
= ∆r⃗ Δt
(5)
Define-se como velocidade instantânea, o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo ∆𝑡 tende a zero, sendo igual à taxa de variação do vetor posição com o tempo.
𝑣⃗ = im
∆r⃗ = dr⃗
	
(6)
∆t→0 Δt	dt
Segundo Young e Freedman (2003), o vetor velocidade instantânea pode ser calculado usando componentes. Durante qualquer deslocamento ∆𝑟⃗ as variações
∆𝑥, ∆𝑦 e ∆𝑧 das três coordenadas da partícula são os componentes de ∆𝑟⃗. Assim, pode-se concluir que os componentes da velocidade instantânea 𝑣x , 𝑣y e 𝑣z da velocidade instantânea 𝑣⃗ são as derivadas das coordenadas 𝑥, 𝑦 e 𝑧 em relação ao tempo.
Sendo assim, as componentes da velocidade instantânea são:
𝑣 = dx,	𝑣
= dy,	𝑣
= dz
(7)
x	dt
y 
dt
z 
dt
Também pode ser obtido este resultado derivando a equação (4), onde os vetores 𝚤̂, 𝚥̂, 𝑘^ possuem módulo, direção e sentido constantes, logo suas derivadas são nulas, e encontramos:
𝑣⃗ = dr⃗ = dx 𝚤̂ + dy 𝚥̂ + dz 𝑘^	(8)
dt	dt	dt	dt
A velocidade escalar é dada em termos dos componentes 𝑣x , 𝑣y e 𝑣z através do teorema de Pitágoras (ver apêndice C):
|𝑣⃗| = 𝑣 = √𝑣2 + 𝑣2 + 𝑣2	(9)
x	y	z
No decorrer das próximas seções, quando mencionado velocidade, estaremos se referindo à velocidade instantânea 𝑣⃗ (ao invés do vetor velocidade média). Lembrando que velocidade é uma grandeza vetorial que possui módulo, direção e sentido.
Gráfico 3 – Os dois componentes da velocidade para um movimento no plano 𝑥 𝑦.
𝑣y
𝑣⃗
𝛼
𝑣x
Fonte: YOUNG E FREEDMAN, (2003). Adaptada pelo autor.
1.1.2 Vetor aceleração
Segundo Yang e Freedman (2003) considera-se a aceleração de uma partícula que se move no espaço em um movimento retilíneo, a variação da
velocidade. A aceleração média é definida como a razão entre a variação do vetor velocidade instantânea ∆𝑣 e o intervalo de tempo ∆𝑡:
𝑎⃗
= v¯⃗2–v¯⃗1 = ∆v¯⃗
	
(10)
m	t2–t1	∆t
A aceleração média é uma grandeza vetorial que possui mesma direção e sentindo do vetor ∆𝑣⃗.
Quando falamos em aceleração instantânea, esta é definida como a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo: (TIPLER, 1985)
𝑎 = lim
∆v = dv
	
(11)
∆t→0 ∆t	dt
Durante uma trajetória curvilínea, por exemplo, em um lançamento de projéteis, a aceleração do projétil é sempre diferente de zero, mesmo quando sua velocidade escalar for constante. Essa definição se dá quando dizemos que houve qualquer variação no vetor velocidade, incluindo apenas variação da direção deste vetor, sem variação da velocidade escalar, ou variação simultânea da direção e da velocidade escalar. (YOUNG e FREEDMAN, 2003)
Na aceleração instantânea, os componentes vetoriais são definidos pela derivada do respectivo componente do vetor velocidade:
𝑎x
= dvx,	𝑎
dty
= dvy,	𝑎
dtz
= dvz
dt
(12)
Para vetores unitários teremos:
𝑎⃗ = dvx 𝚤^ + dvy 𝚥̂ + dvz 𝑘^	(13)
dt	dt	dt
De acordo com Young e Freedman (2003), a componente da derivada é dada pela derivada da respectiva coordenada da posição, descrevendo os componentes
𝑎x, 𝑎y e 𝑎z teremos:
𝑎x
= d2x ,	𝑎
dt2	y
= d2y ,	𝑎
dt2	z
= d2z dt2
(14)
E para o vetor da aceleração 𝑎⃗:
𝑎⃗ = d2x 𝚤̂ + d2y 𝚥̂ + d2z 𝑘^	(15)
dt2
dt2
dt2
 
 
 
 
ACELE
RACAO DA GRAVIDADE 
 
 
 
 
 
 
O valor da aceleração da gravidade terrestre possui uma dependência com a
 
 
 
latitude
 
local
 
de
 
acordo
 
com
 
a
 
expressão:
 
 
??
?
 
?
 
9,7805
 
(1
 
+
 
0,00529
 
??????
2
?
 
)
??
/
??
2
 
(1)
 
 
 
Ou
 
seja,
 
utiliza
-
se
 
g
 
como
 
9,80665 
??
/
??
2
 
aproximadamente,
 
pois
 
há
 
uma
 
variação de acordo com a localização. Se estiver ao nível do mar e a latitude de 45º
 
usa
-
se
 
9,80665 
??
/
??
2
.
 
A
 
aceleração
 
da
 
Terra
 
varia
 
pouco,
 
devido
 
a
 
diferentes
 
altitudes,
 
variações na
 
latitude
 
e
 
distribuição de
 
massas doplaneta. (LOPES,
 
2008)
 
No
 
equador,
 
os
 
valores
 
variam
 
de
 
9,
 
789
??
/
??
2
,
 
e
 
nos
 
pólos
 
até
 
9,
 
823
 
??
/
??
2
.
 
Isto devido à rotação da Terra, que impõe uma aceleração adicional no corpo em
 
relação à aceleração da gravidade. O corpo atraído gravitacionalmente sente uma
 
força
 
centrífuga
 
atuan
do
 
para
 
cima,
 
reduzindo
 
o
 
seu
 
peso.
 
(LOPES,
 
2008)
 
Outra razão que explica este fenômeno é a forma não tão esférica da Terra,
 
podendo
-
se dizer mais achatada nos polos, também causada pela força centrífuga.
 
Sendo assim, o raio da Terra é maior no equador do que nos polos. Como a atração
 
gravitacional entre os dois corpos varia inversamente entre o quadrado da distância
 
entre
 
eles,
 
objetos
 
no
 
equador
 
possuem
 
gravidade
 
menor
 
do
 
que
 
nos
 
polos.
 
O resultado da combinação dos dois efeitos é
 
que 
g 
é 
0, 052 
??
/
??
2
 
maior,
 
então 
a força da gravidade sobre um objeto é 0,5% maior nos polos do que no
 
equador. Se 
o local estiver ao nível do mar,
 
usamos a expressão (1), onde 
??
?
 
é a
 
aceleração
 
em
 
??
/
??
2
 
a
 
latitude
 
?
.
 
(
STACEY,
 
1977)
 
A
 
tabela
 
1
 
apresenta
 
a
 
variação
 
de
 
g
 
de
 
acordo
 
com
 
a
 
latitude
 
local,
 
demonstrando
 
assim
 
que
 
9,8
 
??
/
??
2
 
é
 
um
 
valor
 
de
 
aproximação
 
utilizado
 
nos
 
cálculos.
 
 
 
 ACELERACAO DA GRAVIDADE 
 
 O valor da aceleração da gravidade terrestre possui uma dependência com a 
latitude local de acordo com a expressão: 
 
??? ? 9,7805 (1 + 0,00529 ??????
2
? )??/??
2
 (1) 
 
 
Ou seja, utiliza-se g como 9,80665 ??/??
2
 aproximadamente, pois há uma 
variação de acordo com a localização. Se estiver ao nível do mar e a latitude de 45º 
usa-se 9,80665 ??/??
2
. A aceleração da Terra varia pouco, devido a diferentes altitudes, 
variações na latitude e distribuição de massas do planeta. (LOPES, 2008) 
No equador, os valores variam de 9, 789??/??
2
, e nos pólos até 9, 823 ??/??
2
. 
Isto devido à rotação da Terra, que impõe uma aceleração adicional no corpo em 
relação à aceleração da gravidade. O corpo atraído gravitacionalmente sente uma 
força centrífuga atuando para cima, reduzindo o seu peso. (LOPES, 2008) 
Outra razão que explica este fenômeno é a forma não tão esférica da Terra, 
podendo-se dizer mais achatada nos polos, também causada pela força centrífuga. 
Sendo assim, o raio da Terra é maior no equador do que nos polos. Como a atração 
gravitacional entre os dois corpos varia inversamente entre o quadrado da distância 
entre eles, objetos no equador possuem gravidade menor do que nos polos. 
O resultado da combinação dos dois efeitos é que g é 0, 052 ??/??
2
 maior, então 
a força da gravidade sobre um objeto é 0,5% maior nos polos do que no equador. Se 
o local estiver ao nível do mar, usamos a expressão (1), onde ??? é a aceleração em 
??/??
2
 a latitude ?. (STACEY, 1977) 
A tabela 1 apresenta a variação de g de acordo com a latitude local, 
demonstrando assim que 9,8 ??/??
2
 é um valor de aproximação utilizado nos cálculos.