Aula 04 AFRFB 2009 RACIOCÍNIO LÓGICO

Prévia do material em texto

CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 1
Aula 04: Teoria e Exercícios Comentados e Resolvidos 
7. Combinações, Arranjos e Permutação. 
8.1. Probabilidade, Variáveis Aleatórias, Principais Distribuições de 
Probabilidade. 
1. Introdução 
É, nesta aula não houve jeito. Muita matéria! Não houve como eu fazer um 
arquivo com menos páginas, pois não posso deixar de escrever as informações 
que julgo principais. Bom, vamos em frente, pois o tempo urge e a prova se 
aproxima. 
Vamos iniciar a aula de hoje, como sempre, com as nossas tradicionais questões 
adaptadas de Malba Tahan: 
Problema 1: Em um jardim esafiano, a quinta parte de um enxame de abelhas 
pousou na flor “AFRFB”, a terça parte pousou na flor “ATRFB”, o triplo da 
diferença entre estes dois números voa sobre a flor “ATA”, e uma abelha voa 
sozinha, no ar, atraída por um perfume de jasmim. Assinale a alternativa que 
corresponde a número de abelhas que pousou na flor “AFRFB”: 
(a) 1 
(b) 3 
(c) 5 
(d) 6 
(e) 15 
Problema 2: Uma jovem princesa declarou que casaria com o mais inteligente 
entre três príncipes (A, B e C) apaixonados. Os três príncipes foram levados ao 
palácio e, no local, foram mostrados cinco discos de madeira muito fina, dos 
quais dois são pretos e três brancos. Os discos são todos do mesmo tamanho e 
do mesmo peso e só se distinguem pela cor. 
A seguir, um pajem vendou cuidadosamente os olhos dos três príncipes, 
deixando-os impossibilitados de distinguir a menor sombra. O rei (pai da jovem 
princesa), então, tomou ao acaso três dos cinco discos e pendurou-os às costas 
dos três pretendentes. Disse o rei: 
- Cada um de vós tem preso às costas um disco cuja cor ignora! Sereis 
interrogados um a um. Aquele que descobrir a cor do disco que lhe coube por 
sorte, será declarado vencedor e casará com a linda princesa. O primeiro a ser 
interrogado poderá ver os discos dos dois outros concorrentes; ao segundo será 
permitido ver o disco do último. E este (o último) terá que formular a sua 
resposta sem ver coisa alguma! Aquele que der a resposta certa, para provar 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 2
que não foi favorecido pelo acaso, terá que justificá-la por meio de um 
raciocínio rigoroso, metódico e simples. Qual de vós deseja ser o primeiro? 
O príncipe “A” optou por ser o primeiro. O pajem retirou a venda que cobria os 
olhos do príncipe e este pôde ver a cor dos discos que se achavam presos às 
costas de seus rivais. Interrogado, em segredo, pelo rei, não foi feliz na 
resposta. Declarado vencido, foi obrigado a retirar-se do salão. O príncipe “A” 
viu os dois discos e não soube dizer, com segurança, qual a cor de seu disco. 
O príncipe “B” optou por ser o segundo. Desvendados os seus olhos, o príncipe 
“B” olhou para as costas do terceiro príncipe e viu a cor do disco. Aproximou-se 
do rei e formulou, em segredo, a sua resposta. O rei sacudiu negativamente a 
cabeça. O príncipe “B” havia errado, e foi logo convidado a deixar o salão. 
Restava apenas o príncipe “C”. Este, logo que o rei anunciou a derrota do 
príncipe “B”, aproximou-se, com os olhos ainda vendados, do rei, e declarou, 
em voz alta, a cor exata de seu disco. 
Pode-se afirmar com certeza: 
(a) O príncipe “A” viu dois discos pretos. 
(b) O príncipe “C” disse que possuía um disco branco preso às costas. 
(c) O príncipe “B” viu um disco preto. 
(d) O príncipe “A” viu um disco preto e outro branco. 
(e) O príncipe “C” disse que possuía um disco preto preso às costas. 
E aí, gostou das questões de Malba Tahan? Semana que vem tem mais. 
============================================== 
ERRATA da Aula 02 – Parte 2 (Ainda! Não adianta, pois aula de cálculo é 
assim mesmo. Vários “errinhos”! Sem demagogia, fico arrasado com 
estes erros.). A aula está atualizada no site. 
1. Página 56: Questão 4: corrigir os itens II e III conforme abaixo. 
II – Sistema possível e indeterminado: D = 0, ou seja, p = -2 e Dx e Dy forem 
iguais a zero. 
Dy = 0, quando q = 4. 
Para p = -2 e q = 4, temos: Dx = 2p + q = 2 x (-2) + 4 = 0. Logo, o sistema 
será possível e indeterminado para p = -2 e q = 4. 
III – Sistema impossível: D = 0, ou seja, p = -2 e; 
Dx≠ 0 => Dx = 2p + q = 2 x (-2) + q ≠ 0 => q ≠ 4 
Dy≠ 0 => q – 4 ≠ 0 => q ≠ 4 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 3
2. Página 76: corrigir conforme abaixo (faltou o símbolo da matriz transposta): 
III – Cálculo de At.B-1 
1
1
2 2 3 ( 1) 2 ( 1) 3 12 3 2 1
. . 
4 2 1 ( 1) 4 ( 1) 1 14 1 1 1
1 1
. 
7 3
t
t
A B
A B
−
−
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
× + × − × − + ×−
= = =
× + × − × − + ×−
= 
−
Soma dos elementos da diagonal principal de At.B-1 = 1 – 3 = -2 
ERRATA da Aula 03 (espero que seja parte única!) 
1. Pagina 02: alterar a alternativa “a” do problema 1, conforme abaixo: 
a) Eram 7 as filhas do rei. 
2. Pagina 25: é “x” pertencente a R. 
( )mn x , x∈ e , , 1n m n∈ > 
3. Pagina 42: no final da página, corrigir o cálculo de f[f(1)], conforme abaixo: 
Calcule: 
I) f[f(1)] = f[3] = 3 + 2 = 5 
4. Pagina 43: corrigir conforme abaixo: 
f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 
5. Pagina 46: no exemplo 2 da função logarítmica, corrigir conforme abaixo: 
log (x – 50)= 2=> x – 50 = 102 => x – 50 = 100 => x = 150 
6. Pagina 46: corrigir a imagem da função logarítmica: 
Imagem: 
7. Pagina 51 - Questão 4: corrigir conforme destacado abaixo: 
Para resolver a questão, temos que saber duas propriedades de potências: 
I) xn : xm = xn – m ⇒ divisão de potências de mesma base ⇒ conserva a base e 
subtrai os expoentes. Ex: 24 : 22 = 22 
II) (xn)m = xn . m ⇒ potência de potência ⇒ multiplica os expoentes. 
Ex: (24)2 = 28 
8. Pagina 54 - Questão 7: corrigir conforme destacado abaixo: 
Nota: 1 kg = 1.000 gramas => 1 grama = 10-3 kg 
9. Pagina 56 - Questão 9: No primeiro gráfico representativo, o -1 (do conj. 
C) é fechado (C=-1<=x<3) e não aberto. 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 4
10. Pagina 58 - Questão 12: corrigir conforme destacado abaixo: 
X = 36 => X´= 63 => |X – X´| = |36 – 63| = |-27| = 27 = 33 
(corresponde a 3 elevado ao cubo) => ok 
11. Pagina 59 - Questão 14: é o logaritmo inteiro elevado à potência. Do jeito 
que escrevi, parecia que era somente o logaritmando. Corrigir conforme abaixo: 
Q (ln (x + 1)) = [ln (x + 1)]1/3 
Propriedade da Potência: 
(xn)m = xn . m ⇒ potência de potência ⇒ multiplica os expoentes. 
P[Q(ln (x + 1))] = [[ln (x + 1)]1/3]3 = [ln (x + 1)](1/3).3 = ln (x + 1) 
12. Pagina 64 - Questão 18: corrigir conforme destacado abaixo:
Nota: (x2 – a2) = (x + a).(x – a) 
13. Pagina 64 – Questão 19: O gabarito é a letra "C" e não a "B”. Alterar o 
gabarito da questão 19 também na página 79. 
=============================================== 
Coluna “Dúvidas Interessantes” 
1. Sugestões: um aluno sugeriu que eu fizesse resumos ao final de cada aula e 
que fizesse um simulado ao final do curso. A minha intenção é fazer isto tudo no 
início de dezembro, quando estarei com mais tempo disponível. Ou seja, após a 
última aula do seu curso, provavelmente, na primeira semana de dezembro, 
farei uma aula extra com um resumo geral da matéria e um simulado. Contudo, 
só conseguirei fazer isso em dezembro, ok? 
2. Resolução de Questão – Parte 1: uma aluna sugeriu que eu comentasse a 
seguinte questão: Para todo número real x, tal que 0 < x < 1, pode-se 
considerar 2 − x como uma boa aproximaçãopara o valor de 4/(2 + x) . 
Nessas condições, a razão positiva entre o erro cometido ao se fazer essa 
aproximação e o valor correto da expressão, nessa ordem, é 
a) x2/4 
b) x2/2 
c) x2 
d) x2/(2+x) 
e) x2/(2-x) 
Resolução 
De acordo com a questão, para todo real x, tal que 0 < x < 1, (2 – x) é uma 
boa aproximação para 4/(2 + x). Como é uma aproximação, há um erro, e este 
erro é justamente a diferença entre as expressões: 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 5
Aproximação = 2 – x 
Valor Correto = 4/(2 + x) 
Erro = Aproximação – Valor Correto 
Erro = (2 – x) – 4/(2 + x) = [(2 – x).(2 + x) – 4]/(2 + x) => 
 Erro = [4 – 2x + 2x – x2 – 4]/(2 + x) = x2/(2 + x) 
A questão pede a razão positiva entre o erro e o valor correto: 
Razão = Erro/Valor Correto = [x2/(2 + x)]/[4/(2 + x)] = x2/4 
GABARITO: A 
3. Resolução de Questão – Parte 2: um aluno pediu para explicar novamente 
a questão abaixo em relação à mudança de base de binário para decimal. 
 (TTN-1997-Esaf) Nos sistemas de numeração posicional, cada dígito da 
seqüência que representa o número pode ser interpretado como o coeficiente de 
uma potência da base, onde o valor do expoente depende da posição do dígito 
na seqüência. Entre tais sistemas, um dos mais importantes é o binário, ou de 
base 2, que utiliza apenas os dígitos 0 e 1 na notação dos números. Por 
exemplo, o número que corresponde ao 11 do sistema decimal, é indicado por 
1011 no sistema binário, pois 11 (decimal) é igual a (1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 
21) + (1 x 20). Assim, o resultado, expresso no sistema decimal, da adição dos 
números binários 1011 e 101 será igual a 
a) 15 
b) 13 
c) 14 
d) 12 
e) 16 
Resolução 
Repare que, para determinar um número, em uma base específica, eu devo 
multiplicar os seus algarismos pela base elevada à posição dos algarismos. 
Vejamos: 
Número: ABCD na base decimal. 
A => algarismo da posição 3 (milhares) 
B => algarismo da posição 2 (centenas) 
C => algarismo da posição 1 (dezenas) 
D => algarismo da posição 0 (unidades) 
Pode ser representado por: 
Número = A x 103 + B x 102 + C x 101 + D x 100 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 6
Exemplos: 
I) Número (base decimal) = 3.567 
Número = 3 x 103 + 5 x 102 + 6 x 10 + 7 x 100 => 
 Número = 3 x 1.000 + 5 x 100 + 6 x 10 + 7 x 1 => 
 Número = 3.000 + 500 + 60 + 7 = 3.567 
II) Número (base decimal) = 641 
Número = 6 x 102 + 4 x 10 + 1 x 100 => 
 Número = 6 x 100 + 4 x 10 + 1 x 1 => 
 Número = 600 + 40 + 1 = 641 
III) Número (base decimal) = 40.502 
Número = 4 x 104 + 0 x 103 + 5 x 102 + 0 x 10 + 2 x 100 => 
 Número = 4 x 10.000 + 0 x 1.000 + 5 x 100 + 0 x 10 + 2 x 1 => 
 Número = 40.000 + 0 + 500 + 0 + 2 = 40.502 
A base decimal é chamada assim, pois possui 10 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 
7, 8 e 9. 
A base binária só possui dois algarismos: 0 e 1 
Na questão, devemos passar um número de binário (base 2) para decimal (base 
10). Portanto, basta pegar o número binário e multiplicar pela base elevada à 
posição dos algarismos: 
Número Binário = 1011 
1 => posição 3 => 23 
0 => posição 2 => 22 
1 => posição 1 => 21 
1 => posição 0 => 20 
Número Decimal = 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 
Número Binário = 101 
1 => posição 2 => 22 
0 => posição 1 => 21 
1 => posição 0 => 20 
Número Decimal = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 4 + 0 + 1 = 5 
Soma dos números decimais = 11 + 5 = 16 
GABARITO: E 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 7
4. Resolução de Questão – Parte 3: a questão abaixo gerou muitas dúvidas 
e, por isso, vou resolvê-la novamente. 
Com relação ao sistema 
ax –y = 0 
x + 2ay = 0, de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema 
a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. 
b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. 
c) tem solução não trivial para um único valor real de a. 
d) tem somente a solução trivial para todo valor de a. 
e) é impossível para qualquer valor real de a. 
Resolução 
Para resolver a questão, considerarei que “a” pertence ao conjunto dos números 
reais. 
Primeiramente, temos que esclarecer o que seria, um sistema linear 
homogêneo, uma solução trivial e uma solução não trivial: 
Sistema linear Homogêneo: os termos independentes de todas as equações 
são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução 
trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear 
homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir 
somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da 
trivial. 
Exemplo de sistema linear homogêneo: 
2x - 3y + z = 0 
3x + 5y + 7z = 0 
x + 2y + 3z = 0 
Solução Trivial: seria, simplesmente, admitir como solução x = 0, y = 0, z = 
0, etc. 
Logo, no caso concreto da questão, independentemente do valor de a, as 
equações seriam válidas, pois teríamos: 
ax – y = 0 => a . 0 – 0 = 0 => 0 = 0 (ok) 
x + 2ay = 0 => 0 + 2.a.0 = 0 => 0 = 0 (ok) 
 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 8
Poderíamos, então, concluir que a alternativa “D” é verdadeira, mas repare que 
a referida alternativa fala que tem somente a solução trivial para todo valor de 
a. Será que a equação tem somente a solução trivial? Vamos ver. 
Solução Não Trivial: seria a outra solução possível e determinada para x e y 
diferentes de zero. 
De acordo com a Regra de Cramer, temos: 
D => determinante da matriz incompleta. 
Dx => determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a 
coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. 
Dy => determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a 
coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. 
Sistema possível e determinado: D ≠ 0 (uma única solução) 
Possível e indeterminado: se D = 0 e todos os determinantes Dx e Dy 
forem iguais a zero. 
Impossível: D = 0 e (Dx ou Dy) forem diferentes de zero. 
Escrevendo o sistema em forma de matriz, teríamos: 
1 0
.
1 2 0
xa
ya
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− 
= 
D = 2.a2 – (-1).1 = 2a2 + 1, ou seja, será sempre diferente de zero, 
considerando que “a” pertence ao conjunto dos números reais. 
0 1 
0
0 2 
Dxa
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
− 
=> = , independe de a. 
0 
0
1 0
a 
Dy
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
=> = , independe de a. 
x = Dx/D = 0 
y = Dy/D = 0 
Portanto, teremos: 
Portanto, neste caso, como x = 0 e y = 0 para qualquer valor de “a”, 
teríamos, na verdade, somente a solução trivial para todo o valor de “a” 
e a resposta correta seria a alternativa “D”. 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 9
Se resolvêssemos o sistema utilizando o método da substituição, chegaríamos 
ao mesmo resultado. Veja esta outra solução: 
ax – y = 0 => ax = y 
x + 2ay = 0 => x + 2a.(ax) = 0 => (1 + 2a2) . x = 0. 
Como (1 + 2a2) é sempre diferente de zero (“a” pertence ao conjunto dos 
números reais), teríamos que: x = 0. 
Conseqüentemente, se x = 0 => y = ax = a . 0 = 0. Logo, o sistema somente 
admite solução trivial para todo o valor de “a”. 
GABARITO: D 
Agora, você deve estar perguntando. Mas o gabarito da questão não é “A”? Por 
que o professor está, agora, falando que o gabarito é “D”? Simplesmente, 
porque o seu professor (eu mesmo. Risos)errou no enunciado da questão. A 
questão da prova não tinha aquele y multiplicado por 2a. Lamentável e ponto 
negativo para mim. 
O ponto positivo foi que a questão que eu “criei” gerou tanta discussão que 
conseguimos estudar mais um pouco os sistemas lineares e ficamos com duas 
questões para estudar: a “criada” e a original. Portanto, segue abaixo a questão 
original com a solução (já alterei a aula 02): 
13. (Analista Administrativo-MPU-2004-Esaf) Com relação ao sistema 
ax –y = 0 
x + 2a = 0, de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema 
a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. 
b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. 
c) tem solução não trivial para um único valor real de a. 
d) tem somente a solução trivial para todo valor de a. 
e) é impossível para qualquer valor real de a. 
Resolução 
Solução Trivial: x = 0 e y = 0 . 
Em relação à questão teríamos: 
ax – y = 0 => a . 0 – 0 = 0 => 0 = 0 (ok) 
x + 2a = 0 => 0 - 2.a = 0 => 0 = 2a (falso). Só seria verdadeiro se a = 0. 
Poderíamos, então, concluir o sistema da questão não admite solução trivial, 
exceto, quando a = 0. 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 10
Solução Não Trivial: seria a outra solução possível e determinada para x e y 
diferentes de zero. 
No caso do sistema, teríamos: 
x + 2a = 0 => x = -2a 
ax – y = 0 => y = ax = a.(-2a) => y = -2a2 
Portanto, teremos uma solução não trivial para uma infinidade de 
valores de “a”. Somente se “a” = 0 é que a solução seria trivial. 
GABARITO: A 
5. Resolução de questões – Parte 4: uma aluna solicitou a resolução das 
questões abaixo, de proposições: 
(ACE-TCU-2002-Esaf) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair 
do castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o 
conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão 
sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. 
Logo: 
a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa. 
b) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa. 
c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa. 
d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim. 
e) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça. 
Resolução 
Primeiro, vamos relembrar: 
Proposição condicional 
1. O antecedente é condição suficiente para o conseqüente. 
2. O conseqüente é condição necessária para o antecedente. 
Se p então q 
 
p q 
p => antecedente 
q => conseqüente 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 11
Voltando à questão: 
1. O rei ir à caça (conseqüente) é condição necessária para o duque sair do 
castelo (antecedente). 
Logo, temos: Se o duque saiu do castelo, então o rei foi à caça. 
Tipo de Proposição: Condicional 
p = o duque saiu do castelo 
q = o rei foi à caça 
p q => O duque saiu do castelo O rei foi à caça. 
~p = o duque não saiu do castelo 
~q = o rei não foi à caça 
Proposição Equivalente: 
~q ~p => O rei não foi à caça O duque não saiu do castelo. 
2. O rei ir à caça (antecedente) é condição suficiente para a duquesa ir ao 
jardim (conseqüente). 
Logo, temos: Se o rei foi à caça, então a duquesa foi ao jardim. 
Tipo de Proposição: Condicional 
p = o rei foi à caça 
q = a duquesa foi ao jardim 
p q => O rei foi à caça a duquesa foi ao jardim. 
~p = o rei não foi à caça 
~q = a duquesa não foi ao jardim 
Proposição Equivalente: 
~q ~p => A duquesa não foi ao jardim O rei não foi à caça. 
3. O conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão 
sorrir. 
Logo, se a condição é necessária e suficiente, estamos diante de uma 
proposição bicondicional. 
Proposição Bicondicional 
O conde encontrou a princesa ↔ O barão sorriu. 
4. O conde encontrar a princesa (conseqüente) é condição necessária para a 
duquesa ir ao jardim (antecedente). 
Logo, temos: Se a duquesa foi ao jardim, então o conde encontrou a 
princesa. 
Tipo de Proposição: Condicional 
p q ~q ~p 
p q ~q ~p 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 12
p = a duquesa foi ao jardim 
q = o conde encontrou a princesa 
p q => A duquesa foi ao jardim O conde encontrou a princesa. 
~p = a duquesa não foi ao jardim 
~q = o conde não encontrou a princesa 
Proposição Equivalente: 
~q ~p => O conde não encontrou a princesa A duquesa não foi ao 
jardim. 
Proposições e suas equivalentes: 
1. O duque saiu do castelo O rei foi à caça. 
1´. O rei não foi à caça O duque não saiu do castelo. 
2. O rei foi à caça a duquesa foi ao jardim. 
2´. A duquesa não foi ao jardim O rei não foi à caça. 
3. O conde encontrou a princesa ↔ O barão sorriu. 
4. A duquesa foi ao jardim O conde encontrou a princesa. 
4´. O conde não encontrou a princesa A duquesa não foi ao jardim. 
Informação adicional: O barão não sorriu. 
Do item 3, temos que: O conde encontrou a princesa ↔ O barão sorriu. 
Logo, se o barão não sorriu, o conde não encontrou a princesa. 
Do item 4´, temos que: O conde não encontrou a princesa A duquesa não 
foi ao jardim. 
Logo, se o conde não encontrou a princesa, a duquesa não foi ao jardim. 
Do item 2´, temos que: A duquesa não foi ao jardim O rei não foi à caça. 
Logo, se a duquesa não foi ao jardim, o rei não foi à caça. 
Do item 1´, temos que: O rei não foi à caça O duque não saiu do castelo. 
Logo, se o rei não foi à caça, o duque não saiu do castelo. 
Conclusões: 
1. O barão não sorriu. 
2. O conde não encontrou a princesa. 
3. A duquesa não foi ao jardim. 
4. O rei não foi à caça. 
5. O duque não saiu do castelo. 
p q ~q ~p 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 13
Vamos analisar as alternativas: 
a) A duquesa foi ao jardim (F) ou o conde encontrou a princesa (F) = (F). 
b) Se o duque não saiu do castelo (V), então o conde encontrou a princesa (F) 
= (F). 
c) O rei não foi à caça (V) e o conde não encontrou a princesa (V) = (V). 
d) O rei foi à caça (F) e a duquesa não foi ao jardim (V) = (F). 
e) O duque saiu do castelo (F) e o rei não foi à caça (V) = (F). 
GABARITO: C 
(Técnico de Controle Interno-MPU-2004-Esaf) Sabe-se que João estar feliz 
é condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para Daniela 
abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é condição 
necessária e suficiente para a Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra 
não abraça Sérgio, 
a) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo. 
b) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo. 
c) João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo. 
d) João não está feliz, e Maria não sorri, e Daniela não abraça Paulo. 
e) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo. 
Resolução 
1. João estar feliz (conseqüente) é condição necessária para Maria sorrir 
(antecedente). 
Logo, temos: Se Maria sorri, então João está feliz. 
Tipo de Proposição: Condicional 
p = Maria sorri 
q = João está feliz 
p q => Maria sorri João está feliz. 
~p = Maria não sorri 
~q = João não está feliz 
Proposição Equivalente: 
~q ~p => João não está feliz Maria não sorri. 
2. João estar feliz (antecedente) é condição suficiente para Daniela abraçar 
Paulo (conseqüente). 
Logo, temos: Se João está feliz, então Daniela abraça Paulo. 
p q ~q ~p 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAESJUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 14
Tipo de Proposição: Condicional 
p = João está feliz 
q = Daniela abraça Paulo 
p q => João está feliz Daniela abraça Paulo. 
~p = João não está feliz 
~q = Daniela não abraça Paulo 
Proposição Equivalente: 
~q ~p => Daniela não abraça Paulo João não está feliz. 
3. Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para Sandra abraçar 
Sérgio. 
Logo, se a condição é necessária e suficiente, estamos diante de uma 
proposição bicondicional. 
Proposição Bicondicional 
Daniela abraça Paulo ↔ Sandra abraça Sérgio. 
Proposições e suas equivalentes: 
1. Maria sorri João está feliz. 
1´. João não está feliz Maria não sorri. 
2. João está feliz Daniela abraça Paulo. 
2´. Daniela não abraça Paulo João não está feliz. 
3. Daniela abraça Paulo ↔ Sandra abraça Sérgio. 
Informação adicional: Sandra não abraça Sérgio. 
Do item 3, temos que: Daniela abraça Paulo ↔ Sandra abraça Sérgio. 
Logo, se Sandra não abraça Sérgio, Daniela não abraça Paulo. 
Do item 2´, temos que: Daniela não abraça Paulo João não está feliz. 
Logo, se Daniela não abraça Paulo, João não está feliz. 
Do item 1´, temos que: João não está feliz Maria não sorri. 
Logo, se João não está feliz, Maria não sorri. 
Conclusões: 
1. Sandra não abraça Sérgio. 
2. Daniela não abraça Paulo. 
3. João não está feliz. 
4. Maria não sorri 
p q ~q ~p 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 15
Vamos analisar as alternativas: 
a) João está feliz(F), e Maria não sorri(V), e Daniela abraça Paulo(F) = (F). 
b) João não está feliz(V), e Maria sorri(F), e Daniela não abraça Paulo(V)=(F). 
c) João está feliz(F), e Maria sorri(F), e Daniela não abraça Paulo(V)=(F). 
d) João não está feliz(V), e Maria não sorri(V), e Daniela não abraça 
Paulo(V)=(V). 
e) João não está feliz(V), e Maria sorri(F), e Daniela abraça Paulo(F) = (F). 
GABARITO: D 
E aí? Você ainda tem alguma dúvida de que você irá acertar todas as questões 
de proposições da prova utilizando as proposições equivalentes? Eu não tenho. 
Sei que você acertará. 
6. Resolução de questão – Parte 5: me pediram mais questões de 
trigonometria. Vamos resolver mais uma aqui: 
1. (AFTN-1998-Esaf) O valor de y para o qual a expressão trigonométrica: 
(cosx + senx)2 + y senx cosx - 1 = 0 representa uma identidade é: 
a) 2 
b) 0 
c) -1 
d) -2 
e) 1 
Resolução 
(cos x + sen x)2 + y sen x cos x - 1 = 0 => 
 cos2 x + 2.sen x.cos x + sen2 x + y.sen x.cos x – 1 = 0 => 
 sen2 x + cos2 x + 2.sen x.cos x + y.sen x.cos x – 1 = 0 => 
 sen2 x + cos2 x + (2 + y) sen x.cos x – 1 = 0 (I) 
Sabemos que (temos que saber): sen2 x + cos2 x = 1 (II) 
Substituindo (II) em (I): 1 + (2 + y) sen x.cos x – 1 = 0 => 
 (2 + y).sen x.cos x = 0 
Para que a identidade seja satisfeita, pelo menos um dos termos deve ser zero. 
Logo, temos: 
I) 2 + y = 0 => y = -2; 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 16
II) sen x = 0 => x = 0º. Conseqüentemente, cos x = cos 0º = 1 
ou 
III) cos x = 0 => x = 90º. Conseqüentemente, sen x = sen 90º = 1 
GABARITO: D 
7. Resolução de questão – Parte 6: um aluno me pediu para resolver a 
questão abaixo: 
(Assistente Técnico-Administrativo-MF-2009-Esaf) Na antiguidade, consta 
que um Rei consultou três oráculos para tentar saber o resultado de uma 
batalha que ele pretendia travar contra um reino vizinho. Ele sabia apenas que 
dois oráculos nunca erravam e um sempre errava. Consultados os oráculos, dois 
falaram que perderia a batalha e um falou que ele a ganharia. Com base nas 
respostas dos oráculos, pode-se concluir que o Rei: 
a) teria uma probabilidade de 44,4% de ganhar a batalha. 
b) certamente ganharia a batalha. 
c) teria uma probabilidade de 33,3% de ganhar a batalha. 
d) certamente perderia a batalha. 
e) teria uma probabilidade de 66,6% de ganhar a batalha. 
Resolução 
Três oráculos: dois oráculos nunca erravam e um sempre errava. 
Consultados os oráculos, dois falaram que perderia a batalha e um falou que ele 
a ganharia. 
I. Hipótese 1: 
Dois oráculos que nunca erravam => falaram que perderia a batalha. 
Um oráculo que sempre errava => falou que ele ganharia. 
Logo, pode-se concluir que o rei, certamente, perderia a batalha. 
II. Hipótese 2: 
Um oráculo que nunca errava => falou que perderia a batalha. 
Um oráculo que nunca errava => falou que ganharia a batalha. 
Um oráculo que sempre errava => falou que perderia a batalha. 
Logo, há uma contradição, tendo em vista que dois oráculos nunca erravam, e, 
um não poderia dizer que o rei ganharia a batalha, e o outro dizer que o rei 
perderia a batalha. 
GABARITO: D 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 17
7. Curiosidades matemáticas: para descontrair um pouco. 
1) 
1 x 1 = 1 
11 x 11 = 121 
111 x 111 = 12321 
1111 x 1111 = 1234321 
11111 x 11111 = 123454321 
111111 x 111111 = 12345654321 
1111111 x 1111111 = 1234567654321 
11111111 x 11111111 = 123456787654321 
111111111 x 111111111 = 12345678987654321 
2) Se: 
A = 1 % B = 2 % C = 3 % D = 4 % E = 5 % F = 6% 
G = 7 % H = 8 % I = 9% J = 10% K = 11% L = 12% 
M = 13% N = 14% O = 15% P = 16% Q = 17% R = 18% 
S = 19% T = 20% U = 21% V = 22% W = 23% X = 24% 
Y = 25% Z = 26% 
H-A-R-D-W-O-R- K (trabalho duro) = 8+1+18+4+23+15+18+11 = 98% 
K-N-O-W-L-E-D-G-E (conhecimento) = 11+14+15+23+12+5+4+7+5 = 96% 
A-T-T-I-T-U-D-E (atitude) = 1+20+20+9+20+21+4+5 = 100% 
L-O-V-E-O-F-G-O-D (amor de Deus) = 12+15+22+5+15+6+7+15+4 = 101% 
Portanto, pode-se concluir, com certeza matemática, que: 
Enquanto “Trabalho Duro” e “Conhecimento” o levarão perto dos 100% e 
“Atitude” o levará até lá (100%), é o amor de DEUS que o colocará no topo 
(101%)! 
Deus te abençoe! 
Ufa! Terminamos a sessão de dúvidas. Vamos a parte principal da aula de hoje? 
============================================== 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 18
7. Combinações, Arranjos e Permutação. 
Nesta parte da matéria, vamos estudar a Análise Combinatória e veremos 
diversos métodos de contagem e o número de possibilidades que podem ocorrer 
em eventos incertos. Ou seja, a Análise Combinatória corresponde a uma 
análise quantitativa dos problemas e calcula a quantidade de agrupamentos 
distintos que podem ser formados a partir de um determinado número de 
elementos de um conjunto. 
7.1 Conceitos Iniciais 
Fatorial: seja n um número inteiro não negativo. O fatorial de n, representado 
pelo símbolo n!, é definido conforme abaixo: 
n! = n.(n-1).(n-2).(n-3)....3.2.1 
Exemplos: 
I) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3.628.800 
II) 9! = 9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 362.880 
III) 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40.320 
IV) 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040 
V) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 
VI) 5! = 5.4.3.2.1 =120 
VII) 4! = 4.3.2.1 = 24 
VIII) 3! = 3.2.1 = 6 
IX) 2! = 2.1 = 2 
X) 1! = 1 
XI) 0! = 1 (por definição) 
Princípio Fundamental da Contagem: Caso um evento qualquer ocorra em n 
etapas consecutivas e independentes da seguinte maneira: 
Primeira etapa: existem k1 maneiras diferentes de ocorrer o evento. 
Segunda etapa: existem k2 maneiras diferentes de ocorrer o evento. 
Terceira etapa: existem k3 maneiras diferentes de ocorrer o evento. 
(...) 
Enésima etapa: existem kn maneiras diferentes de ocorrer o evento. 
Número Total de Maneiras de Ocorrer o Evento = k1.k2.k3.k4...kn 
Exemplo: As placas dos automóveis do Brasil são compostas por três letras e 
quatro números.Qual é o número máximo de veículos que podem ser 
licenciados pelo Detran, de acordo com esse padrão de confecção das placas? 
Nosso alfabeto possui 26 letras (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, 
R, S, T, U, V, X, Y, W, Z). 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 19
Nós utilizamos a base decimal, que possui 10 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
8, 9). 
A placa é composta da seguinte maneira: 
(Letra) (Letra) (Letra) (Número) (Número) (Número) (Número) 
Exemplo: LAG 2134 
Logo, para a primeira letra, temos 26 possibilidades, assim como para a 
segunda e para a terceira. Para o primeiro número temos 10 possibilidades, 
assim como para o segundo, para o terceiro e para o quarto. 
Portanto, o número máximo de placas (veículos licenciados) seria: 
(Letra) (Letra) (Letra) (Número) (Número) (Número) (Número) 
 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 263 . 104
Número Máximo de Placas = 175.760.000 
7.2 Arranjos Simples (A) 
Suponha que: 
A: conjunto com n elementos distintos. 
p (classe ou ordem do arranjo): número natural, tal que p ≤ n 
Arranjos Simples: corresponde ao número de agrupamentos ordenados 
possíveis de n elementos do conjunto A, tomados p a p, considerando p
elementos distintos. Os agrupamentos diferem entre si pela natureza e pela 
ordem em que os elementos são dispostos. 
An,p = n!/(n – p)! => número de arranjos de n elementos tomados p a p. 
Exemplo: Suponha que seu banco pela internet solicita que você cadastre uma 
senha de seis dígitos, com as seguintes características: 
1) Só é possível utilizar os algarismos de 0 a 9; e 
2) Os dígitos devem ser distintos. 
Qual é o número máximo de senhas que você pode criar? 
A senha a ser criada será formada por seis números distintos. Repare que para 
o “dígito 1”, temos 10 possibilidades (de 0 a 9). Contudo, para o “dígito 2”, 
como os números devem ser distintos, teríamos 9 possibilidades, pois devemos 
retirar o número utilizado no “dígito 1”. Para o “dígito 3”, teríamos 8 
possibilidades, e assim por diante. Logo, teríamos a seguinte estrutura: 
Senha: 
(Dígito 1) (Dígito 2) (Dígito 3) (Dígito 4) (Dígito 5) (Dígito 6) 
 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 151.200 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 20
Ou, utilizando a fórmula do arranjo simples: 
n = 10 algarismos 
p = 6 dígitos (senha) 
A10,6 = n!/(n – p)! = 10!/(10 – 6)! = 10!/4! = (10.9.8.7.6.5.4.3.2.1)/(4.3.2.1) 
=> A10,6 = 10.9.8.7.6.5 = 151.200 
Nota: 
10! = 10.9! = 10.9.8! = 10.9.8.7! = 10.9.8.7.6! = 10.9.8.7.6.5! = 
= 10.9.8.7.6.5.4! = 10.9.8.7.6.5.4! = 10.9.8.7.6.5.4.3! = 
= 10.9.8.7.6.5.4.3.2! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 
Generalizando: 
n! = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)! = n.(n-1).(n-2).(n-3)! = ... 
Logo, no cálculo do arranjo acima, poderia ter feito da seguinte maneira: 
A10,6 = n!/(n – p)! = 10!/(10 – 6)! = 10!/4! = (10.9.8.7.6.5.4!)/4! => 
=> A10,6 = 10.9.8.7.6.5 = 151.200 
7.3 Permutações Simples (P) 
Quando os arranjos são diferentes entre si somente em função da ordem de 
seus elementos, teremos uma permutação. Além disso, os agrupamentos serão 
formados por todos os elementos do conjunto dado. 
Suponha que: 
A: conjunto com n elementos distintos. 
Pn = n! 
An,n = n!/(n – n)! = n!/0! = n!/1 = n! 
Logo, Pn = An,n 
Exemplo: Suponha o seguinte conjunto A = {1, 2, 3, 4}. Qual é o número de 
permutações possíveis de seus elementos? 
n = 4 => Pn = n! => P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 
Permutações possíveis (somente para conferência): 
{1, 2, 3, 4} 
{1, 2, 4, 3} 
{1, 3, 2, 4} 
{1, 3, 4, 2} 
{1, 4, 2, 3} 
{1, 4, 3, 2} 
{2, 1, 3, 4} 
{2, 1, 4, 3} 
{2, 3, 1, 4} 
{2, 3, 4, 1} 
{2, 4, 1, 3} 
{2, 4, 3, 1} 
{3, 1, 2, 4} 
{3, 1, 4, 2} 
{3, 2, 1, 4} 
{3, 2, 4, 1} 
{3, 4, 1, 2} 
{3, 4, 2, 1}
{4, 1, 2, 3} 
{4, 1, 3, 2} 
{4, 2, 1, 3} 
{4, 2, 3, 1} 
{4, 3, 1, 2} 
{4, 3, 2, 1}
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 21
Exemplo: Suponha que você e seus quatro primos compraram 5 passagens 
aéreas para conhecer o país ESÁFIO, que vieram com os seguintes assentos 
marcados: 1A, 1B, 1C, 1D e 1E. Caso vocês quisessem trocar de lugar entre si, 
sem considerar o nome de cada um nas passagens aéreas, de quantas formas 
distintas vocês poderiam ocupar estes 5 lugares no avião? 
Repare que a questão pede para calcular o número de possibilidades de cinco 
primos se sentarem em cinco lugares diferentes. 
Logo, no “lugar 1A” poderia se sentar um dos 5 primos; no “lugar 1B”, teriam 
apenas 4 primos com possibilidade de sentar, tendo em vista que um primo já 
sentou no “lugar 1A"; no “lugar 1C”, três primos; no “lugar 1D”, dois primos; e, 
finalmente, no “lugar 1E”, 1 primo. 
Portanto, teríamos: 
(Lugar 1A) (Lugar 1B) (Lugar 1C) (Lugar 1D) (Lugar 1E) 
 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 
ou: P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 
Nota 1: Anagrama: palavra ou frase formada de outra por meio de 
transposição de letras - como em Alice, Célia; Roma, amor; Pedro, poder; ou 
América, Iracema. 
Exemplo: Determine o número de anagramas da palavra PODER. 
PODER => 5 letras => n = 5 => P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 
Nota 2: Permutações Circulares: Pn = n!/n = (n-1)! => normalmente, são 
problemas que envolvem n pessoas em torno de uma mesa circular. 
Exemplo: De quantas maneiras 5 pessoas (P1, P2, P3, P4 e P5) podem se 
sentar ao redor de uma mesa circular? 
n = 5 => Pn = (n-1)! = (5-1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 maneiras 
Repare que, como as pessoas são colocadas ao redor da mesa, as arrumações 
{P1,P5,P4,P3,P2} e {P3,P2,P1,P5,P4} são iguais, pois, para cada pessoa 
selecionada, os vizinhos à esquerda e à direita permanecem os mesmos. Deste 
modo, podemos “rodar” com esta arrumação ao redor da mesa que a 
arrumação não sofrerá alteração. 
P1
P5 
P3 P4 
P2 
P2 
P3
P4
P5
P1 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 22
Nota 3: Permutações com elementos repetidos: neste caso, há um 
conjunto de n elementos, com q elementos repetidos do tipo 1, r elementos 
repetidos do tipo 2, s elementos repetidos do tipo 3, etc. 
Pn (q,r,s,...) = n!/(q!.r!.s!...) 
Exemplo: Determine o número de anagramas da palavra RACIOCÍNIO. 
Total de Letras em RACIOCÍNIO = 10 
Letras repetidas: 
I (3 vezes, considerando que Í = I) => 3! 
O (2 vezes) => 2! 
C (2 vezes) => 2! 
Total de Anagramas = 10!/(3!.2!.2!) = 151.200 
7.4 Combinação Simples (C) 
Quando os arranjos são diferentes entre si somente em função da natureza de 
seus elementos, teremos uma combinação, ou seja, na combinação não importa 
a ordem. 
Combinações Simples: corresponde ao número de subconjuntos possíveis de 
n elementos do conjunto A, tomados p a p, considerando p elementos distintos 
escolhidos entre n elementos dados (p ≤ n). 
, 
,! !
!.( )! !.( )!n p 
n p 
p
nAn nC oup n p P p n pp
= = =
− −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
(*) 
(*) Também conhecido como número binomial. 
Exemplo: Suponha o seguinte conjunto A = {1, 2, 3, 4}. Qual é o número de 
subconjuntos possíveis de seus elementos? 
Subconjunto vazio: { } 
4,0
4! 4! 10!.(4 0)! 1.4!C = = =− 
Subconjuntos de 1 elemento: {1}, {2}, {3}, {4} 
4,1
4! 4! 4.3! 41!.(4 1)! 1!.3! 1!.3!C = = = =− 
Subconjuntos de 2 elementos: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4} 
Repare que aqui não importa a ordem, tendo em vista que, por exemplo, o 
subconjunto {1,2} é igual ao subconjunto {2,1}. 
4,2
4! 4! 4.3.2! 4.3 62!.(4 2)! 2!.2!2.1.2! 2C = = = = =− 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 23
Subconjuntos de 3 elementos: {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4} 
Repare que aqui não importa a ordem, tendo em vista que, por exemplo, o 
subconjunto {1,2,3} é igual ao subconjunto {3,2,1}. 
4,3
4! 4! 4.3! 43!.(4 3)! 3!.1! 3!.1C = = = =− 
Subconjunto de 4 elementos: {1,2,3,4} 
Repare que aqui não importa a ordem, tendo em vista que, por exemplo, o 
subconjunto {1,2,3,4} é igual ao subconjunto {3,2,4,1}. 
4,4
4! 4! 14!.(4 4)! 4!.0!C = = =− 
Logo, o número total de subconjuntos é: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 ou 2n (como 
vimos na aula de conjuntos). 
Nota: Repare que propriedade interessante: 
No exemplo anterior: 
C4,0 = C4,4 
C4,1 = C4,3 
Logo, generalizando, teríamos: 
Cn,0 = Cn,n 
Cn,1 = Cn,n-1 
Cn,2 = Cn,n-2 
Cn,3 = Cn,n-3 
(....) 
Exemplo: Quantos grupos distintos de 3 pessoas podemos fazer com João, 
Maria, José, Mário e Joana? 
Repare que, quando formamos grupos de pessoas, não importa a ordem. 
Portanto, teremos uma combinação de 5 pessoas (João – J1, Maria – M1, José – 
J2; Mário – M2 e Joana – J3), tomadas 3 a 3: 
5,3
5! 5! 5.4.3! 103!.(5 3)! 3!.2! 3!.2.1C = = = =− 
Combinações possíveis (somente para conferência): 
{J1,M1,J2} 
{J1,M1,M2} 
{J1,M1,J3} 
{J1,J2,M2} 
{J1,J2,J3} 
{J1,M2,J3} 
{M1,J2,M2} 
{M1,J2,J3} 
{M1,M2,J3} 
{J2,M2,J3} 
Repare que o grupo {J1,M1,J2} seria igual ao grupo {M1,J2,J1}, pois a ordem 
não importa neste caso. 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 24
Exemplo: Suponha que você está se preparando para realizar a prova de 
Raciocínio Lógico-Quantitativo da Receita Federal e estabeleceu como objetivo 
resolver e acertar 16 das 20 questões possíveis. Qual é o número de maneiras 
possíveis que você poderá selecionar estas 16 questões para resolvê-las? 
Repare que a ordem das questões não importa neste caso. Logo, não 
utilizaremos uma permutação e sim uma combinação das 20 questões da prova, 
tomadas 16 a 16. 
20,16
20! 20.19.18.17.16! 20.19.18.17 4.84516!.(20 16)! 16!.4.3.2.1 4.3.2.1C = = = =− 
7.5 Exemplos 
Exemplo 1: Hildemar possui quatro pares de tênis e cinco pares de meias 
distintos. De quantas maneiras diferentes ele poderá sair, utilizando um par de 
tênis e um par de meias? 
Princípio Fundamental da Contagem 
Possibilidades de escolha do tênis = 4 
Possibilidades de escolha das meias = 5 
Número de Possibilidades Total = 4 x 5 = 20 maneiras diferentes. 
Exemplo 2: Quantos números de cinco algarismos é possível formar, com 
algarismos distintos, considerando que o algarismo 2 ficará sempre na segunda 
posição? 
Base decimal: 10 algarismos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) 
Repare que para formar números de 5 algarismos, o algarismo “0” não pode 
aparecer à esquerda, pois, neste caso, o número seria de quatro algarismos 
(Ex: 01.234 = 1.234); 
Princípio Fundamental da Contagem 
Posição 5 = 8 possibilidades (total de algarismo menos o “2”, que ficará na 
“posição 2” e menos o “0”, que não pode aparecer à esquerda). 
Posição 4 = 8 possibilidades (total de algarismo menos o “2”, que ficará na 
“posição 2”, e menos o algarismo colocado na “posição 5”. Aqui, o “0” pode 
aparecer). 
Posição 3 = 7 possibilidades (total de algarismo menos o “2”, que ficará na 
“posição 2”, e menos os algarismos colocados nas “posições 5 e 4”). 
Posição 2 = 1 possibilidade (algarismo “2”) 
Posição 1 = 6 possibilidades (total de algarismo menos o “2”, que ficou na 
“posição 2”, e menos os algarismos colocados nas “posições 5, 4 e 3”). 
Total de números = 8.8.7.1.6 = 2.688 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 25
Exemplo 3: Em uma sala com 5 portas, de quantos modos distintos Hildemar 
pode ingressar na sala e sair dela utilizando portas diferentes? 
Princípio Fundamental da Contagem 
Entrar na Sala = 5 possibilidades (5 portas) 
Sair da Sala = 4 possibilidades (a porta de saída deve ser distinta da porta de 
entrada) 
Total = 5.4 = 20 possibilidades 
Exemplo 4: Quantos anagramas da palavra “PODER” iniciam com a letra “P”? 
Total de Letras = 5 (P,O,D,E,R) 
Neste exemplo, devemos fixar a letra “P” na primeira posição. 
Princípio Fundamental da Contagem 
Posição 1 = 1 possibilidade (“P”) 
Posição 2 = 4 possibilidades (total de letras menos a letra da posição 1) 
Posição 3 = 3 possibilidades (total de letras menos as letras das posições 1 e 2) 
Posição 4 = 2 possibilidades (total de letras menos as letras das posições 1, 2 e 
3) 
Posição 5 = 1 possibilidade (total de letras menos as letras das posições 1, 2, 3 
e 4) 
Total = 1.4.3.2.1 = 24 anagramas 
Ou 
Como a letra “P” é fixa na primeira posição, poderíamos, então, considerar que 
só temos 4 letras para formar os anagramas: 
P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 anagramas 
Exemplo 5: Quantos times de futebol de 11 jogadores podemos formar a partir 
de um processo seletivo de 15 atletas? 
Nesta questão, a ordem não importa. Não faz diferença a ordem que os atletas 
são selecionados, pois o time seria o mesmo. Logo, temos uma combinação. 
15,11
15! 15.14.13.12.11! 15.14.13.12 1.36511!.(15 11)! 11!.4! 4.3.2.1C = = = =− times 
Exemplo 6: Em uma prova de natação, há 8 competidores. De quantas 
maneiras distintas podem ser conquistadas as medalhas de ouro, prata e 
bronze? 
Princípio Fundamental da Contagem 
Medalha de Ouro = 8 possibilidades (8 nadadores) 
Medalha de Prata = 7 possibilidades (8 nadadores menos aquele que ganhou a 
medalha de ouro) 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 26
Medalha de Bronze = 6 possibilidades (8 nadadores menos aqueles que 
ganharam as medalhas de ouro e de prata) 
Total = 8.7.6 = 336 maneiras 
Exemplo 7: Quantos números de 4 algarismos distintos, maiores que 5.000, 
podemos formar com os algarismos 2, 3, 5, 6, 8 e 9? 
Total de algarismos = 6 
Como o número deve ser maior que 5.000, o primeiro algarismo deve ser maior 
ou igual a 5 (5, 6, 8 ou 9 => 4 algarismos). 
Princípio Fundamental da Contagem 
Posição 4 = 4 possibilidades (4 algarismos maiores ou iguais a 5) 
Posição 3 = 5 possibilidades (total de algarismos menos o algarismo utilizado na 
“posição 4”) 
Posição 2 = 4 possibilidades (total de algarismos menos os algarismos utilizados 
nas “posições 4 e 3”) 
Posição 1 = 3 possibilidades (total de algarismos menos os algarismos utilizados 
nas “posições 4, 3 e 2”) 
Total = 4.5.4.3 = 240 algarismos 
Exemplo 8: Quantos anagramas da palavra “UNIVERSO” podemos formar, de 
modo que as letras “UNI” fiquem juntas nessa ordem? 
Total de letras = 8 (U,N,I,V,E,R,S,O => todas distintas) 
Nesta questão, as letras “UNI” devem ficar juntas nessa ordem, mas em 
qualquer posição. Portanto, basta considerar “UNI” como uma única letra. 
Total de letras recalculado (“UNI”,V,E,R,S,O) = 6 letras 
Letra 1 = 6 possibilidades 
Letra 2 = 5 possibilidades (total de letras recalculado menos a letra 1) 
Letra 3 = 4 possibilidades (total de letras recalculado menos as letras 1 e 2) 
Letra 4 = 3 possibilidades (total de letras recalculado menos as letras 1,2 e 3) 
Letra 5 = 2 possibilidades (total de letras recalculado menos as letras 1,2,3 e 4) 
Letra 6 = 1 possibilidade (total de letras recalculado menos as letras 1,2,3,4 e 
5) 
Total = 6.5.4.3.2.1 = 720 anagramas 
Ou 
P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 anagramas 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br27
Exemplo 9: Quantos anagramas da palavra “UNIVERSO” podemos formar, de 
modo que as letras “UNI” fiquem juntas, em qualquer ordem? 
Vimos, no exemplo anterior, que teríamos 720 anagramas possíveis da palavra 
”UNIVERSO”, com as letras “UNI” juntas, nessa ordem. 
Agora, neste exemplo, as letras “UNI” continuam juntas, mas em qualquer 
ordem. Neste caso, basta multiplicar o resultado do exemplo anterior pelas 
possibilidades de anagramas destas três letras: 
Possibilidades de anagramas utilizando: U, N e I. 
Letra 1 = 3 possibilidades 
Letra 2 = 2 possibilidades (total de letras recalculado menos a letra 1) 
Letra 3 = 1 possibilidades (total de letras recalculado menos as letras 1 e 2) 
Total = 3.2.1 = 6 anagramas 
Total de Anagramas de “UNIVERSO” com “UNI” juntas em qualquer ordem: 
Total´ = 720 . 6 = 4.320 anagramas 
Exemplo 10: Quantos números de 5 algarismos podemos formar com os 
algarismos 1, 3, 4, 6, 8 e 9, de modo que pelo menos um desses algarismos 
apareça mais de uma vez? 
Total de algarismo = 6 
Exemplos de números que satisfazem a condição do problema: 6.666, 8.138, 
4.334, 9.999, 8.881, etc. 
Total de números com 5 algarismos = 6.6.6.6.6 = 7.776 
Total de números com 5 algarismos distintos = 6.5.4.3.2 = 720 
Logo, o total de números em que pelo menos um dos algarismos apareça mais 
de uma vez é justamente a diferença entre o total de números com 5 
algarismos e o total de números com 5 algarismos distintos: 
Total de Números (pelo menos um dos algarismos repetido) = 
= 7.776 – 720 = 7.056 
Exemplo 11: Se um ratinho quer ir do ponto “A” ao ponto “B”, onde há um 
delicioso queijo, mas só pode andar para cima ou para a direita (um movimento 
de cada vez), por quantos caminhos distintos poderá completar este trajeto? 
A 
B
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 28
Como cada passo leva de um cruzamento entre linha e coluna, não importa o 
caminho escolhido pelo ratinho, pois ele, necessariamente, terá que passar por 
oito cruzamentos entre linha e coluna para se deslocar no ponto “A” para o 
ponto “B”. 
Um dos caminhos possíveis seria: 
Logo, teremos uma permutação de oito alternativas para formar os caminhos, 
sendo que, em cada uma delas, há quatro repetições de movimentos para cima 
e quatro repetições de movimentos para a direita. Portanto, seria uma 
permutação com elementos repetidos: 
8 (4, 4) 
8! 8.7.6.5.4! 8.7.6.5 2.7.5 704!.4! 4!.4! 4.3.2.1P = = = = = caminhos distintos 
Exemplo 12: Os amigos Katya, Maria, Deborah, Junior, Vitor, Patrick e Priscilla 
irão ocupar sete lugares de uma mesma fileira em um espetáculo do Circo 
Kaprisma. Determine de quantos modos esses lugares poderão ser ocupados, 
sabendo-se que os lugares das extremidades deverão ser ocupados por 
meninos. 
Total de Amigos = 7 
Meninos = Junior (J), Vitor (V) e Patrick (P) = 3 
Meninas = Katya (K), Maria (M), Deborah (D) e Priscilla (P) = 5 
Lugar 1 (extremidade): 3 possibilidades (J, V ou P => somente meninos) 
Lugar 2: 5 possibilidades (total menos os meninos das extremidades) 
Lugar 3: 4 possibilidades (total menos os meninos das extremidades e a pessoa 
do lugar 2) 
Lugar 4: 3 possibilidades (total menos os meninos das extremidades e as 
pessoas dos lugares 2 e 3) 
Lugar 5: 2 possibilidades (total menos os meninos das extremidades e as 
pessoas dos lugares 2, 3 e 4) 
Lugar 6: 1 possibilidades (total menos os meninos das extremidades e as 
pessoas dos lugares 2, 3, 4 e 5) 
Lugar 7 (extremidade): 2 possibilidades (J, V ou P menos o menino do lugar 1) 
Total = 3.5.4.3.2.1.2 = 720 modos 
A 
B 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 29
Exemplo 13: Considere duas retas “r” e “s”, paralelas. Na reta “r” há 4 pontos 
e na reta “s” há 5 pontos. Quantos triângulos distintos é possível formar unindo-
se quaisquer três dos 9 pontos disponíveis? 
Repare que não poderemos ter agrupamentos de três pontos na mesma reta, 
pois não seria um triângulo. 
Portanto, para formar os triângulos, teríamos: 
Hipótese 1: Dois pontos na reta “s” e um ponto na reta “r” 
Ponto 1 = 5 possibilidades (5 pontos da reta “s”) 
Ponto 2 = 4 possibilidades (4 pontos da reta “r”) 
Ponto 2 = 4 possibilidades (4 pontos restantes da reta “s”) 
Total = 5.4.4 = 80 
Além disso, temos que eliminar as repetições, tendo em vista que temos 8 
pontos para formar agrupamentos de três pontos, mas, por exemplo, os 
triângulos “s1r2s2” e “s2r2s1” são o mesmo triângulo. Logo, para cada triângulo 
formado, há um outro igual, e temos que dividir o total por 2: 
Total 1 = 80/2 = 40 
Hipótese 2: Dois pontos na reta “r” e um ponto na reta “s” 
Ponto 1 = 4 possibilidades (4 pontos da reta “r”) 
Ponto 2 = 5 possibilidades (5 pontos da reta “s”) 
Ponto 2 = 3 possibilidades (2 pontos restantes da reta “5”) 
Total = 4.5.3 = 60 
Além disso, temos que eliminar as repetições, tendo em vista que temos 8 
pontos para formar agrupamentos de três pontos, mas, por exemplo, os 
triângulos “r1s2r2” e “r2s2r1” são o mesmo triângulo. Logo, para cada triângulo 
formado, há um outro igual e temos que dividir o total por 2: 
Total 2 = 60/2 = 30 
Total de Triângulos Formados = Total 1 + Total 2 = 40 + 30 = 70 
Terminamos a primeira parte. Respire. Pegue fôlego. Beba uma água. Vamos 
em frente! 
 
s1 s2 s3 s4 s5 
r1 r2 r3 r4 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 30
8. Probabilidade, Variáveis Aleatórias, Principais 
Distribuições de Probabilidade. 
8.1. Conceitos Iniciais 
Chegamos no tópico da Matemática que calcula as chances de determinado 
evento ocorrer. 
Experimentos Aleatórios: é um experimento cujo resultado não pode ser 
previsto, ou seja, os experimentos podem ser realizados nas mesmas condições 
e apresentarem resultados distintos. 
Exemplos: 
1) Lançamento de um dado não viciado; e 
2) Seqüência de resultados nos lançamentos sucessivos de uma moeda 
honesta. 
Espaço Amostral (S): é o conjunto formado por todos os resultados possíveis 
de um experimento aleatório. 
Exemplos: 
1) Lançamento de um dado não viciado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
2) Seqüência de resultados no lançamento sucessivo, por três vezes, de uma 
moeda honesta: 
S={(k, k, k); (k, k, c); (k, c, k); (c, k, k); (k, c, c); (c, k, c); (c, c, k); (c; c; c)} 
Onde: k = cara e c = coroa. 
Evento (E): conjunto dos resultados desejados de um experimento aleatório, 
ou seja, é uma ocorrência que queremos quantificar. Logo, E está contido em S
(é um subconjunto de S). 
Exemplos: 
1) E: ocorrer um resultado maior que 3, no lançamento de um dado não viciado 
=> E = {4, 5, 6} 
2) E: ocorrer dois resultados cara e uma coroa, no lançamento sucessivo de 
uma moeda honesta, por três vezes => E = {(k, k, c); (k, c, k); (c, k, k)} 
Evento Certo: ocorre quando o evento é igual ao espaço amostral (o evento 
sempre acontecerá). 
Exemplo: no lançamento de um dado, cair uma face de 1 a 6 é um evento 
certo. E = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 31
Evento Impossível: é um evento que nunca acontecerá, ou seja, suas 
possibilidades não fazem parte do espaço amostral. É representado por um 
conjunto vazio. 
Exemplo: no lançamento de um dado, cair a face 7 é um evento impossível. 
Eventos Independentes: são eventos em que a ocorrência de um não 
interfere na probabilidade de ocorrência do outro. 
Exemplo: quando efetuamos o lançamento de um dado duas vezes, o fato de 
sair uma determinada face no primeirolançamento não influi absolutamente em 
nada na probabilidade de sair qualquer outra face no segundo lançamento. 
8.2. Probabilidade de Ocorrer um Evento [p(E)] 
A probabilidade de ocorrer um evento corresponde à chance de ocorrência do 
evento. Caso todos os elementos do espaço amostral possuam a mesma chance 
de ocorrer, teríamos: 
p(E) = (número de casos favoráveis)/(número de casos possíveis) => 
 p(E) = n(E)/n(S) 
Como 0 ≤ n(E) ≤ n(S), então 0 ≤ p(E) ≤ 1. 
Nota: 
1) A probabilidade de um evento impossível é ZERO; 
2) A probabilidade de um evento certo é UM (100%); e 
3) A probabilidade é um número real entre 0 e 1 (0% e 100%), inclusive. 
Exemplos: 
1) Calcule a probabilidade de ocorrer um resultado maior que 3 no lançamento 
de um dado não viciado. 
Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Evento = E = {4, 5, 6} 
p(E) = n(E)/n(S) = 3/6 = 0,5 = 50% 
O resultado significa que acreditamos que, repetindo essa experiência um 
grande número de vezes, devemos encontrar resultado maior que 3 em cerca 
de 50% dos lançamentos. 
2) Calcule a probabilidade de ocorrer dois resultados cara e um coroa no 
lançamento sucessivo de uma moeda honesta, por três vezes. 
S={(k, k, k); (k, k, c); (k, c, k); (c, k, k); (k, c, c); (c, k, c); (c, c, k); (c; c; c)} 
Onde: k = cara e c = coroa. 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 32
E = {(k, k, c); (k, c, k); (c, k, k)} 
p(E) = n(E)/n(S) = 3/8 = 0,375 = 37,5% 
3) Em uma urna com bolas numeradas de 1 a 10, uma bola é retirada ao acaso. 
Qual é a probabilidade de que esta bola seja ímpar? 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} => n(S) = 10 
E = {1, 3, 5, 7, 9} => n(E) = 5 
p(E) = n(E)/n(S) = 5/10 = 0,5 = 50% 
4) Em uma urna com bolas numeradas de 1 a 10, uma bola é retirada ao acaso. 
Qual é a probabilidade de que o número desta bola seja par ou múltiplo de 3? 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} => n(S) = 10 
E (par) = {2, 4, 6, 8, 10} => n(E = par) = 5 
E (múltiplo de 3) = {3, 6, 9} => n(E = múltiplo de 3) = 3 
E (par ou múltiplo de 3) = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10} => n = 7 
p(E=par ou múltiplo de 3) = n(E)/n(S) = 7/10 = 70% 
Eventos Complementares: são eventos em que um é a negação do outro. O 
evento complementar de E é o subconjunto de S em que não acontece E. 
Nota: 
1) A soma da probabilidade de dois eventos complementares é 1 (100%). 
2) Considerando que um evento certo e um evento impossível são 
complementares, a soma de suas probabilidades é 1 (100%). 
Exemplo: Calcule a probabilidade de ocorrer soma diferente de 7 no 
lançamento sucessivo de dois dados honestos. 
S = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4);.....; (6,6)} 
Cálculo do número possibilidade do espaço amostral [n(S)]: 
Dado 1: 6 possibilidades 
Dado 2: 6 possibilidades 
n(S) = 6.6 = 36 
A soma 7 ocorre quando: 
E = {(1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2); (6,1)} 
n(E) = 6 
p(E) = n(E)/n(S) = 6/36 = 1/6 => probabilidade de ocorrer soma 7. 
Evento complementar de ocorrer a soma 7 (p(E´)): 
p(E) + p(E´) = 1 => 
=> p(E´) = probabilidade de não ocorrer a soma 7 = 1 – p(E) = 1 – 1/6 = 5/6 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 33
8.3. Probabilidade de Ocorrer o Evento “A” e o Evento “B” 
Considerando A e B dois eventos independentes, pode-se dizer que a 
probabilidade de ocorrer um evento A e um evento B é: 
( ) ( ) ( ). ( )P AeB P A B P A P B= ∩ = 
Exemplo: Em dois lançamentos de um dado honesto, qual é a probabilidade de 
sair 2 no primeiro lançamento e 5 no segundo lançamento? 
Primeiro Lançamento: E = {2} => n = 1 
n(S) = 6 
p(E = 2) = n(E)/n(S) = 1/6 
Segundo Lançamento: E = {5} => n = 1 
n(S) = 6 
p(E = 5) = n(E)/n(S) = 1/6 
p(E=2 e E=5) = p(E = 2) . p(E = 5) = 1/6 . 1/6 = 1/36 = 0,027 = 2,7% 
8.4. Probabilidade de Ocorrer o Evento “A” ou o Evento “B” 
Considerando A e B dois eventos, pode-se dizer que a probabilidade de ocorrer 
um evento A ou um evento B é: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )P AouB P A B P A P B P A B= ∪ = + − ∩ 
Se A e B são dois eventos independentes: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( )P AouB P A B P A P B P A P B= ∪ = + − 
Exemplo: Em dois lançamentos de um dado honesto, qual é a probabilidade de 
sair 2 no primeiro lançamento ou 5 no segundo lançamento? 
Primeiro Lançamento: E = {2} => n = 1 
n(S) = 6 
p(E = 2) = n(E)/n(S) = 1/6 
Segundo Lançamento: E = {5} => n = 1 
n(S) = 6 
p(E = 5) = n(E)/n(S) = 1/6 
p(E=2 e E=5) = p(E = 2) . p(E = 5) = 1/6 . 1/6 = 1/36 = 0,027 = 2,7% 
p(E=2 ou E=5) = p(E = 2) + p(E = 5) - p(E=2 e E=5) => 
=> p(E=2 ou E=5) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36 = 0,3056 = 30,56% 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 34
8.5. Probabilidade Condicional 
Corresponde à probabilidade de ocorrer o evento A, sabendo-se que o evento B
já ocorreu, sendo representada por p(A/B). 
p(A/B) = n(A ∩B)/n(B) => p(A∩B) = p(A/B).P(B) => Teorema de 
Bayes 
Nota: 
1) Caso a probabilidade de ocorrência do evento B não altere a probabilidade de 
ocorrência do evento A => p(A/B) = p(A) => neste caso, os eventos “A” e 
“B” são independentes. 
2) Para eventos independentes, já sabemos que: p(A∩B) = p(A) . p(B) 
3) 
p(A/B) => probabilidade de ocorrer o evento “A”, sabendo que “B” já 
ocorreu => p(A∩B) = p(A/B) . p(B) 
P(B/A) => probabilidade de ocorrer o evento “B”, sabendo que “A” já 
ocorreu => p(A∩B) = p(B/A) . p(A) 
Exemplo: Suponha que uma urna possua cinco bolas vermelhas e duas bolas 
brancas. Qual a probabilidade de, em duas retiradas, sem reposição, a 
primeira bola ser vermelha e a segunda bola ser branca? 
I – Primeira retirada: vermelha (sem reposição) 
Total de Bolas = 5 vermelhas (V) + 2 brancas (B) = 5 + 2 = 7 => n(S) = 7 
n(E = Vermelha) = 5 
p(E) = n(E)/n(S) = 5/7 = p(V) 
II – Segunda retirada: branca, sabendo-se que a primeira foi vermelha 
Total de Bolas = 4 vermelhas (V) + 2 brancas (B) = 4 + 2 = 6 => n(S´) = 6 
n(E´ = Branca) = 2 
p(E´) = n(E´)/n(S´) = 2/6 = 1/3 = p(B/V) 
p(B∩V) = p(V). p(B/V) = 5/7 . 1/3 = 5/21 = 0,2380 = 23,80% 
Exemplo: Suponha que uma urna possua cinco bolas vermelhas e duas bolas 
brancas. Qual a probabilidade de, em duas retiradas, com reposição, a 
primeira bola ser vermelha e a segunda bola ser branca? 
Como haverá reposição da bola após a primeira retirada, os eventos ficam 
independentes. 
I – Primeira retirada: vermelha (com reposição) 
Total de Bolas = 5 vermelhas (V) + 2 brancas (B) = 5 + 2 = 7 => n(S) = 7 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 35
n(E = Vermelha) = 5 
p(E) = n(E)/n(S) = 5/7 = p(V) 
II – Segunda retirada: branca 
Total de Bolas = 5 vermelhas (V) + 2 brancas (B) = 4 + 2 = 7 => n(S´) = 7 
n(E´ = Branca) = 2 
p(E´) = n(E´)/n(S´) = 2/7 = 2/7= p(B) 
p(B∩V) = p(V). p(B) = 5/7 . 2/7 = 10/49 = 0,2041 = 20,41% 
Exemplo: Considere que uma urna possui duas bolas pretas e quatro bolas 
vermelhas, e, outra urna possui uma bola preta e três bolas vermelhas. Passa-
se uma bola da primeira urna para a segunda urna e, em seguida, retira-se uma 
bola da segunda urna. Qual a probabilidade de que a bola retirada da segunda 
urna seja vermelha? 
Neste exemplo, os eventos são dependentes, pois a bola retirada da segunda 
urna é influenciada pela bola da primeira urna que foi colocada na segunda 
urna. Repare, ainda, que a questão envolve dois eventos mutuamente 
exclusivos, ou seja, a bola transferida de urna pode ser preta ou vermelha. 
Hipótese 1: bola transferida de urna é vermelha 
I – Probabilidade da bola transferida da primeira para segunda urna ser 
vermelha: 
Totalde Bolas (Urna 1) = 2 pretas (P) + 4 vermelhas (V) = 2 + 4 = 6 
=> n(S) = 6 
n(E = Vermelha) = 4 
p(E) = n(E)/n(S) = 4/6 = 2/3 = p(V) 
II – Probabilidade da bola retirada da segunda urna ser vermelha: a urna 2 
ficará com 4 bolas vermelhas, pois já havia 3 e 1 foi transferida. 
Total de Bolas (Urna 2) = 1 preta (P) + 4 vermelhas (V) = 1 + 4 = 5 
=> n(S´) = 5 
n(E´ = Vermelha) = 4 
p(E´) = n(E´)/n(S´) = 4/5 = p(V´/V) 
p(V´∩V) = p(V). p(V´/V) = 2/3 . 4/5 = 8/15 = 0,5333 = 53,33% 
Hipótese 2: bola transferida de urna é preta 
I – Probabilidade da bola transferida da primeira para segunda urna ser preta: 
Total de Bolas (Urna 1) = 2 pretas (P) + 4 vermelhas (V) = 2 + 4 = 6 
=> n(S) = 6 
n(E = Preta) = 2 
p(E) = n(E)/n(S) = 2/6 = 1/3 = p(P) 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 36
II – Probabilidade da bola retirada da segunda urna ser vermelha: a urna 2 
ficará com 2 bolas pretas, pois já havia 1 e 1 foi transferida. 
Total de Bolas (Urna 2) = 2 pretas (P) + 3 vermelhas (V) = 2 + 3 = 5 
=> n(S´) = 5 
n(E´ = Vermelha) = 3 
p(E´) = n(E´)/n(S´) = 3/5 = p(V/P) 
p(V∩P) = p(P). p(V/P) = 1/3 . 3/5 = 3/15 = 1/5 = 0,20 = 20,00% 
Logo, a solução do problema é: 
P[p(V∩V´)∪ p(P∩V´)] = 53,33% + 20,00% = 73,33% 
8.6. Variáveis Aleatórias 
Variável aleatória corresponde a uma variável em que não sabemos, de modo 
preciso, que valor tomará. Contudo, podemos calcular a probabilidade de tomar 
determinado valor, ou seja, é uma variável que toma um valor específico 
quando ocorre determinado evento aleatório. 
Variáveis Aleatórias Discretas: só podem tomar valores isolados. 
Exemplo: Suponha que um dado não viciado seja jogado duas vezes e que T é 
a média dos dois números que aparecem. Logo, T será uma variável aleatória 
discreta com valores: 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5; 5,5 e 6. 
Exemplo: Seja uma população de N pessoas, tal que M pessoas (M < N) têm 
uma característica particular, e os outros N – M não a têm. Se não conhecemos 
o valor de M, como poderemos estimá-lo? 
Poderemos observar uma amostra aleatória da população, e, seja X, o número 
de elementos da amostra que possuem a característica particular. Deste modo, 
X é uma variável aleatória, pois seu valor depende dos indivíduos escolhidos 
para formar a amostra. 
Variáveis Aleatórias Contínuas: podem tomar quaisquer valores em um 
intervalo. Exemplo: Alturas de todos os habitantes da cidade de Brasília (será 
tratada com mais detalhes quando for apresentada a distribuição normal). 
8.6.1. Funções de Probabilidade 
A função de probabilidade, para um número em particular, corresponde à 
probabilidade de a variável aleatória ser igual àquele número, e é também 
conhecida como função massa de probabilidade ou função densidade de 
probabilidade. Logo, teríamos: 
fx(a) = p(X = a), onde X = variável aleatória e a = número. 
fx(a) => função de probabilidade da variável aleatória X. 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 37
Exemplo: Função de probabilidade para a jogada de um dado não viciado: 
fx(1) = 1/6 
fx(2) = 1/6 
fx(3) = 1/6 
fx(4) = 1/6 
fx(5) = 1/6 
fx(6) = 1/6 
Propriedades: 
1) f(a) ≤ 1, para todos os valores possíveis de a. 
2) f(a) ≥ 0, para todos os valores possíveis de a. 
A probabilidade de uma variável aleatória está entre 0 e 1, inclusive. 
Exemplo: Função de probabilidade para que dê resultado cara em três jogadas 
de uma moeda honesta: 
S={(k, k, k); (k, k, c); (k, c, k); (c, k, k); (k, c, c); (c, k, c); (c, c, k); (c; c; c)} 
a =0 => nenhuma cara => 1 possibilidade ={(c; c; c)} 
a =1 => 1 cara => 3 possibilidades = {(k, c, c); (c, k, c); (c, c, k)} 
a =2 => 2 caras => 3 possibilidades = {(k, k, c); (k, c, k); (c, k, k)} 
a =3 => 3 caras => 1 possibilidade ={(k; k; k)} 
fx(0) = 1/8 
fx(1) = 3/8 
fx(2) = 3/8 
fx(3) = 1/8 
3) A soma das probabilidades de todos os valores possíveis da variável 
aleatória X é igual a 1: 
Valores possíveis de X: a1, a2, a3, a4,...., an
f(a1) + f(a2) + f(a3) + f(a4) + .... + f(an) = 1 
fx 
x 
1 2 3 4 5 6 
1/6 
fx 
x 
0 1 2 3 
1/8 
3/8 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 38
Função de Distribuição Acumulada: fornece a probabilidade de um variável 
aleatória Z ser, no máximo, igual a um valor em particular. 
F(a) = Pr(Z ≤ a) 
Exemplo: Função de distribuição acumulada para o número de caras, X, que 
aparece em três jogadas de uma moeda não viciada: 
F(0) = p(X ≤ 0) = f(0) = 1/8 
F(1) = p(X ≤ 1) = f(0) + f(1) = 1/8 + 3/8 = 1/2 
F(2) = p(X ≤ 2) = f(0) + f(1) + f(2) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8 
F(3) = p(X ≤ 3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1 
0, se a < 0 
 1/8, se 0 ≤ a < 1 
 F(a) = 1/2, se 1 ≤ a < 2 
7/8, se 2 ≤ a < 3 
 1, se 3 ≤ a 
8.6.2. Esperança ou Valor Esperado 
A esperança da variável (E) aleatória X é a média ponderada de todos os 
valores possíveis de X, onde o peso ou ponderação de cada valor é igual à 
probabilidade de X tomar este valor. 
E(X) = a1 . f(a1) + a2 . f(a2) + a3 . f(a3) + a4 . f(a4) + .... + an . f(an) 
Exemplo: Calcule a esperança do número de caras, X, que aparece em três 
jogadas de uma moeda honesta: 
f(0) = 1/8 
f(1) = 3/8 
f(2) = 3/8 
f(3) = 1/8 
E(X) = a1 . f(a1) + a2 . f(a2) + a3 . f(a3) + a4 . f(a4) => 
=> E(X) = 0 x 1/8 + 1 x 3/8 + 2 x 3/8 + 3 x 1/8 = 12/8 = 3/2 = 1,5 
Exemplo: Calcule a esperança do número, X, que aparece ao jogar um dado 
não viciado: 
f(1) = 1/6 f(2) = 1/6 f(3) = 1/6 
f(4) = 1/6 f(5) = 1/6 f(6) = 1/6 
E(X) = a1 . f(a1) + a2 . f(a2) + a3 . f(a3) + a4 . f(a4) + a5 . f(a5) + a6 . f(a6) => 
 E(X) = 1 x 1/6 + 2 x 1/6 + 3 x 1/6 + 4 x 1/6 + 5 x 1/6 + 6 x 1/6 => 
 E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) x 1/6 = 21/6 = 3,5 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 39
Propriedades da esperança: 
I. E(cX) = c . E(X), onde c = constante. 
II. E (X + Y) = E(X) + E(Y) 
8.6.3. Variância (este assunto será discutido com mais detalhes em aula 
posterior) 
A variância de uma variável aleatória X corresponde à esperança do somatório 
do quadrado da distância de cada valor “a” em relação à E(X). Um valor maior 
da variância significa uma maior chance de a variável aleatória se afastar da 
média. A variância também é simbolizada por 2σ . 
Var(X) = f(a1).[a1 – E(X)]2 + f(a2).[a2 – E(X)]2 + .... + f(an).[an – E(X)]2 
=> Var (X) = E[(X – E(X))2] 
( )Desvio Padrão Var Xσ− = = => mede a dispersão dos valores da variável 
aleatória X em relação à média. 
Para fins de cálculo, é muito mais fácil deduzir a fórmula abreviada para a 
variância: 
Var (X) = E[(X – E(X))2] = E[X2 – 2.X.E(X) + (E(X))2] => 
 Var (X) = E(X2) – E[2.X.E(X)] + E[(E(X))2] => 
 Var (X) = E(X2) – 2.E(X).E(X) + (E(X))2 => 
 Var (X) = E(X2) - (E(X))2 
Exemplo: Calcule a variância do número, X, que aparece ao jogar um dado não 
viciado: 
E(X) = a1 . f(a1) + a2 . f(a2) + a3 . f(a3) + a4 . f(a4) + a5 . f(a5) + a6 . f(a6) => 
 E(X) = 1 x 1/6 + 2 x 1/6 + 3 x 1/6 + 4 x 1/6 + 5 x 1/6 + 6 x 1/6 => 
 E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) x 1/6 = 21/6 = 3,5 
a p(X = a) a2 a2. p(X = i) 
1 1/6 = 0,1667 1 0,1667 
2 1/6 = 0,1667 4 0,6667 
3 1/6 = 0,1667 9 1,5000 
4 1/6 = 0,1667 16 2,6667 
5 1/6 = 0,1667 25 4,1667 
6 1/6 = 0,1667 36 6,0000 
Total 6/6 = 1 15,1667 
E(X2) = a12 . f(a1) + a22 . f(a2) + a32 . f(a3) + a42 . f(a4) + a52 . f(a5) + a62 . f(a6) 
E(X2) = 15,1667 
Var (X) = E(X2) – (E(X))2 = 15,1667 – 3,52 = 2,9167 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERALDO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 40
Propriedades: 
I. Se realizarmos um experimento que tem uma probabilidade p de sucesso, e Z 
é uma variável aleatória que será igual a 1, se o experimento resultar em 
sucesso, e 0, se resultar em falha, então, Z é uma variável aleatória de 
Bernoulli. 
E(Z) = p 
Var(Z) = p.(1-p) 
Exemplo: Suponha que você esteja realizando um experimento. Há a 
probabilidade p, igual a 1/5, de o experimento resultar em sucesso em qualquer 
prova. Este experimento pode apresentar apenas dois resultados possíveis: 
sucesso ou fracasso. Seja X a variável aleatória igual ao número de sucessos 
em um determinado dia. Portanto, X possui apenas dois valores possíveis: 0 
(fracasso) e 1 (sucesso). Determine a função de probabilidade, a função 
distribuição acumulada, a média e a variância deste experimento? 
Função de Probabilidade: 
f(0) = p(X=0) = 1 – p = 1 – 1/5 = 4/5 = 0,8 
f(1) = p(X=1) = p = 1/5 = 0,2 
Função Distribuição Acumulada: 
F(a) = 0, se a < 0 
F(a) = f(0) = 1 – p, se 0 ≤ a < 1 
F(a) = f(0) + f(1) = 1, se a ≥ 1 
Média: E(X) = 0.f(0) + 1.f(1) = 0 + 1.p = p 
Variância: 
E(X2) = [02.f(0) + 12.f(1)] = 0 + 1.p = p 
Var(X) = E(X2) – [E(X)]2 = p – p2 = p.(1 – p) 
II. Var(cX) = c2 . Var(X), sendo c = constante 
III. Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y), se X e Y forem variáveis aleatórias 
independentes. 
IV. Var(X + a) = Var (X), sendo a = constante. 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 41
8.7. Principais Distribuições de Probabilidade 
8.7.1. Distribuição Binomial de Probabilidades 
Considere que um experimento aleatório é repetido n vezes nas mesmas 
condições. Além disso, suponha que: 
I. S = espaço amostral do experimento 
II. A = evento do espaço amostral => p(A) = p 
III. A´= evento complementar do evento “A” => p(A´) = q 
IV. p(A) = n(A)/n(S) 
V. p(A) + p(A´) = 1 => p + q = 1 => q = 1 – p 
Para que o experimento supracitado ocorra k vezes, teremos a seguinte 
expressão, denominada Distribuição Binomial de Probabilidades: 
( , ) . . . .(1 )k n k k n k
n n
p n k p q p p
k k
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= − 
p(n,k) = probabilidade de ocorrer exatamente k vezes o evento “A”, após n
repetições. 
! 
!.( )!
n n 
k n kk
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
= 
− 
 
Exemplo: Suponha que um dado não viciado seja lançado 8 vezes. Qual é a 
probabilidade de sair exatamente 5 números iguais a 3? 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} => n(S) = 6 
A = {3} => n(A) = 1 
Evento “A” = sair um número igual a 3 => p(A) = n(A)/n(S) = 1/6 
Complementar de “A” = A´= não sair um número igual a 3 
A´= {1, 2, 4, 5, 6} => n(A´) = 5 
p(A´) = n(A´)/n(S) = 5/6 
n= 8 vezes 
k = 5 (5 números iguais a 3) 
3
5 3 5 2
5 58 5 8 5
.
8 1 5 8! 1 5(8,5) . . .6 6 5!.(8 5)! 6 65
8.7.6.5!.5 8.7.125(8,5) 0,004 0,4%5!.3!.6 .6 3.2.1.6 .6
p
p
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 
⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⇒
= = 
−
= = = =
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 42
Exemplo: Suponha que uma moeda honesta seja lançada 8 vezes. Qual é a 
probabilidade de sair exatamente 5 vezes coroa? 
S = {k, c} => n(S) = 2 
A = {c} => n(A) = 1 
Evento “A” = sair coroa => p(A) = n(A)/n(S) = 1/2 
Complementar de “A” = A´= sair cara 
A´= {k} => n(A´) = 1 
p(A´) = n(A´)/n(S) = 1/2 
n= 8 vezes 
k = 5 (5 vezes coroa) 
5 3 8
5 8 5 5 8 5
.
8 1 1 8! 1 1(8,5) . . .2 2 5!.(8 5)! 2 25
8.7.6.5! 8.7.6 56(8,5) 0,21875 21,875%5!.3!.2 .2 3.2.1.2 256
p
p
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 
⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⇒ = =
= = 
−
= = =
Esperança da distribuição binomial: E(X) = n.p 
Variância da distribuição binomial: Var(X) = n.p.(1-p) 
8.7.2. Distribuição de Poisson 
Seja X o número de chamadas recebidas por uma mesa telefônica durante o 
período de uma hora. Portanto, X é uma variável aleatória e sua função de 
probabilidade, normalmente, tem a seguinte forma: 
( ) . !
k
f k e k
λ λ−= 
onde: 
X = variável aleatória de Poisson; 
k = número de chamadas 
λ = parâmetro da distribuição de Poisson; 
e = número de Euler ou neperiano = 2,71828 
A distribuição de Poisson é um modelo de probabilidade cuja série, a partir do 
segundo membro, é convergente. 
Exemplo: Suponha que uma pesquisa tenha determinado que o número de 
chamadas telefônicas recebidas pela secretária em uma hora possa ser 
representado por uma variável aleatória de Poisson, com parâmetro λ = 5. As 
probabilidades de X seriam: 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 43
k p(X=k) 
probabilidade de obter exatamente k chamadas 
0 0,006 = 0,6% 
1 0,033 = 3,3% 
2 0,084 = 8,4% 
3 0,140 = 24% 
4 0,175 = 17,5% 
5 0,175 = 17,5% 
6 0,146 = 14,6% 
7 0,104 = 10,4% 
8 0,065 = 6,5% 
9 0,036 = 3,6% 
10 0,018 = 1,8% 
11 0,008 = 0,8% 
12 0,003 = 0,3% 
A distribuição de Poisson também pode ser aplicada como uma aproximação da 
distribuição binomial, quando n é muito grande e np é moderado (nem muito 
grande, nem muito pequeno). 
Exemplo: Suponha exista 500 estudantes, cada um com a probabilidade de 
0,00002 de ser reprovado no teste escrito final. O cálculo da probabilidade de i 
reprovações por meio da função binomial torna-se impraticável. Se fizermos λ = 
np, a função binomial pode ser aproximada pela distribuição de Poisson. 
( ) . !
i
P X i e i
λ λ−= = 
λ = np = 500 x 0,00002 = 0,01. 
A probabilidade de dois estudantes terem sido reprovadas no exame final é: 
5
2 20,01 0,010,01 0,01( 2) . (2,71828) . 4,95 102! 2!P X e x
−− −= = = = 
Outros exemplos onde a distribuição de Poisson pode ser aplicada: 
I. o número de estrelas novas em nossa galáxia, em uma determinada década. 
II. o número de filmes que faturam mais de 25 milhões de dólares em um ano. 
III. o número de doutorandos que não terminam suas teses a tempo. 
IV. o número de pessoas, dentre as que compraram este curso online, que são 
da cidade de São Paulo. 
CURSO ONLINE - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO – TEORIA E EXERCÍCIOS 
P/ RECEITA FEDERAL DO BRASIL 
PROF. MORAES JUNIOR 
Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 44
Esperança da distribuição de Poisson: E(X) = λ
Variância da distribuição de Poisson: Var(X) = λ
8.7.3. Distribuição Hipergeométrica 
A distribuição hipergeométrica será aplicada nas seguintes situações: 
- há N objetos (ou indivíduos) na população; 
- a população se divide em dois tipos: M objetos do tipo A e N – M objetos 
do tipo B; 
- escolhe-se uma amostra de tamanho n da população; 
- seja X uma variável aleatória igual ao número de objetos tipo A na 
amostra. 
Então, X tem distribuição hipergeométrica com parâmetros N, M e n. 
.
( )
M N M 
i n ip X i N 
n
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
−
−= = 
0 ≤ M ≤ N; 0 ≤ n ≤ N; 0 ≤ i ≤ n; 0 ≤ i ≤ M 
Uma variável aleatória com distribuição de Bernoulli, se acumulados os 
resultados sem reposição, geram uma distribuição hipergeométrica e, se for 
com reposição, geram uma distribuição Binomial. 
Esperança da distribuição hipergeométrica: E(X) = n.M/N 
Variância da distribuição hipergeométrica: 
( ) . . 1 . 1
M M N nVar X n N N N
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
−= − 
− 
 
8.7.4. Distribuição Uniforme 
Como o próprio nome diz, a distribuição uniforme é constante é todo o intervalo 
considerado. 
Exemplo: Seja x distribuída uniformemente entre − 2 ≤ x ≤ 2. Calcule p(x ≤1): 
Tamanho do intervalo = 2 – (-2) = 4 
p(x ≤ 2) => Tamanho do intervalo para x ≤ 2 = 2 – (-2) = 4 
p(x ≤ 2) = (Tamanho do intervalo para x ≤ 2)/ Tamanho do intervalo = 4/4 = 1 
p(x ≤ 1) => Tamanho do intervalo para x ≤ 1 = 1 – (-2) = 3 
p(x